第九章差错制编码(信道编码)
信道编码差错控制编码课件
若将上述8种码组选择其中的4种作为许 用码组，例如选择
000 = 晴 011 = 云 101 = 阴 110 = 雨 用来传输信息，令其余4种作为禁用码组，即 001，010，100，111。
组码的结构如图5-3所示。
图5-3 分组码的结构
（4）码组重量
分组码的一个码组中“1”的数目，称为 码组重量，简称码重。
（5）码距
两个码组对应位上数字不同的位数称码 组的距离，简称码距，又称为汉明（Hamming） 距离。
例如001，010，100，111这4个码组之间， 任意两个码组的距离均为2。
5.3.2 汉明码
汉明码是1950年由美国贝尔实验室汉明 （也译为海明）提出的，是第一个用于纠正 一位错码的效率较高的线性分组码。
目前，汉明码及其变型在数字通信系统、 数据存储系统中应用广泛。
本节以汉明码为例，介绍汉明码的构造 原理以及线性分组码的一般原理。
由于S取值有两种，因此只能代表有错和
行监督码元 ↓
0101101100
1
0101010010
0
0011000011
0
1100011100
1
0011111111
0
0001001111
1
1110110000
1
列监督码元 0 0 1 1 1 0 0 0 0 1
0
5.2.3 群计数码
把信息码元中“1”的个数用二进制数字 表示，并作为监督码元放在信息码元的后面， 这样构成的码称为群计数码。
前者主要用于发生零星独立错误的信道， 如卫星信道容易出现随机性错误；而后者则 用于对付以突发错误为主的信道，如短波信 道或存储系统。
第九章 信道的纠错编码
随机(suí jī)信道: 错码出现是随机的, 统计独立的. 例如, 高斯白噪声信道, 卫星信道、同轴电缆、光缆信道 等. —纠随机差错码.
突发信道: 错码成串集中出现, 在很短的时间出现大 量错码, 而过后又存在较大的无错码位. 例如, 移动
通信信道、短波信道、带擦伤的光盘等. — 纠突 发差错码.
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2010.6.19
9.2.1 纠错码分类(fēn lèi)
➢ 按码元取值分类(fēn lèi)
二元码和多元(duō yuán)(q)码.
➢ 按构造码的数学理论分类
代数码: 建立在近世代数基础上. 线性分组码是代数
码中一类重要的码. 几何码: 数学理论基础是投影几何学. 算术码: 数学理论基础是数论、高等算术. 组合码: 数学理论基础是排列组合和数论.
方法和设备(shèbèi)简单, 无需纠、检错编译系统. 但需 要双向信道, 传输效率↓、实时性差.
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纠错(jiū cuò)方式小结
FEC ARQ HEC IRQ
发
收
可纠正错误的码
发 能够发现错误的码 收
应答信号 发 能够发现和纠正错误的码 收
应答信号
发
信息信号
n 0
1
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9.2.2
纠错 码的基本概念及纠错 (jiū cuò)
( jiū cuò)
能力 ➢ 分组码纠错(jiū cuò)能力与码最小距离的关系
码距的几何(jǐ hé)意义: 以n = 3的编码为例, a2a1a0
码距是 n 维空间中单位 正多面体顶点之间的
卷积码: 把信息序列以每k个分组, 通过编码器输出长
通信原理教程信道编码和差错控制课件
总结词
线性分组码是一种通过将信息位与固定数量的冗余位进行线性组合来检测和纠正错误的编码方式。
详细描述
线性分组码将信息位和冗余位组成一个更大的分组，然后使用线性方程组来描述这些位之间的关系。通过检测这些方程的满足情况，可以在一定程度上检测和纠正错误。常见的线性分组码包括汉明码和格雷码等。
差错控制
在计算机通信、网络通信等领域应用广泛，用于保证数据传输的正确性和完整性。
应用场景比较
信道编码在长距离、高噪声环境下具有优势，而差错控制更适合短距离、低噪声环境。
应用场景比较
随着通信技术的发展，信道编码技术也在不断进步，如LDPC码、Turbo码等新型编码技术的出现，提高了数据传输的可靠性和速率。
奇偶校验
总结词：高效可靠
详细描述：循环冗余校验是一种通过模2除法运算来检测错误的方法。发送方计算数据的CRC值并附加在数据后面，接收方通过同样的方式计算接收到的数据的CRC值并与附加的CRC值进行比较。如果两个值相等，则数据被认为是正确的；否则，数据被认为有错误。CRC是一种高效的差错控制方法，能够检测出大部分错误。
03
信道编码分类
线性编码
线性编码是指将输入信息序列映射为线性码字序列的过程。常见的线性编码包括奇偶校验码、循环冗余校验码等。
非线性编码
非线性编码是指将输入信息序列映射为非线性码字序列的过程。常见的非线性编码包括卷积码、交织码等。
信道编码在数据传输中广泛应用，如TCP/IP协议中的差错控制机制、无线通信中的QPSK、QAM等调制方式。
01
差错控制
在数据传输过程中，对传输的数据进行检测、纠正和恢复，以确保数据的完整性和准确性。
02
差错产生原因
第9章差错控制编码概要
A(x) an 1xn 1 an 2 xn 2
a1x a0
9.4.1 生成多项式及生成矩阵
如果一种码的所有码多项式都是多项式g(x)的倍式，则称 g(x)为该码的生成多项式。在(n,k)循环码中任意码多项式A(x)都 是最低次码多项式的倍式。如表 9-4 的(7,3)循环码中，
g(x) A1(x) x4 x3 x 2 1
9.1.3
(1) 根据纠错码各码组信息元和监督元的函数关系，可分 为线性码和非线性码。如果函数关系是线性的，即满足一组 线性方程式，则称为线性码，否则为非线性码。
(2) 根据上述关系涉及的范围，可分为分组码和卷积码。 分组码的各码元仅与本组的信息元有关；卷积码中的码元不 仅与本组的信息元有关， 而且还与前面若干组的信息元有关。
C1 S1 S2 S3 C2 S1 S3
表 9-6 (2,1,2)编码器的工作过程
9.5.2 卷积码的描述
1.
树图
状
a＝0 0 b＝0 1
态
c＝1 0 d＝1 1
00
数码
起点 a
11
数码
1
00 a
11
10 b
01
1
00 a
11 10 b 01 11 c 00 01 d 10
0
00 a 11
a
b
10
海上卫星通信 Inmarsat-C
另外，按照噪声或干扰的变化规律，可把信道分为三 类：随机信道、突发信道和混合信道。
恒参高斯白噪声信道是典型的随机信道，其中差错的出现 是随机的，而且错误之间是统计独立的。
具有脉冲干扰的信道是典型的突发信道， 错误是成串成群 出现的，即在短时间内出现大量错误。
短波信道和对流层散射信道是混合信道的典型例子，随机 错误和成串错误都占有相当比例。对于不同类型的信道， 应采用不同的差错控制方式。
信息基础与编码理论-第九章..
若传输后(000)错成(111)或(111)错成(000) ,则接收端 无法检测其错误 。
结论: 最小码距为3时，能检测2个随机错误 , 能纠正 1个随机错误。
推 小结：以上使用的编码方式为——重复码 。
重量的最小值称为码 C 的最小Hamming重量 , 或码C最小
重量记为Wmin 。
Wmin minW (Ci )
推论 设Ci ,Cj 为二元分组码C的任意两个码字 , 则
W(Ci + ) = d (Ci , Cj )。
证明：Ci ,Cj 的对应码元相同时,则Ci + Cj 对应的码元为0；
差错控制机制分类：反馈纠错，前向纠错，及所派生出的 混合纠错。
a）反馈纠错 发信端采用某种能发现一定程度传输差错的简单编码
方法对所传信息加入少量监督码元进行编码，在接收端则 根据编码规则对收到的编码信号进行检查，当检测出错码 时，即向发信端发出询问的信号，要求重发。发信端收到 询问信号时，立即重发已发生传输差错的那部分信息，直 到正确收到为止。
在收信端，根据信息码元与监督码元的特定关系，实 现检错或纠错，输出原信息码元，完成这个任务的过程称 误码控制译码(或解码)。
注：无论检错和纠错，都有一定的误差范围。
9.2 纠错编码的基本概念及其本质
（1）差错控制码的分类 a）按照误码控制的不同功能 检错码：仅具备识别错码功能 而无纠正错码功能。 纠错码：不仅具备识别错码功能，同时具备纠正错码 功能。 纠删码：不仅具备识别错码和纠正错码的功能，而且 当错码超过纠正范围时可把无法纠错的信息删除。 b）按照误码产生的原因不同 纠正随机错误的码：主要用于产生独立的局部误码的 信道。 纠正突发性错误的码：主要用于产生大面积的连续误 码的情况，如磁带数码记录中磁粉脱落而发生的信息丢
北邮-通信原理-第九章-信道编码(推荐完整)
任一码组在传输中产生传输中产生一个或多 个错误，都会变成另一个信息码组。无法检 错和纠错。
P 15
原因：码组中只有信息码元，没有监督码元
9.1 信道编码的基本概念
检错和纠错的基本原理
例2：利用2位二进制数字的4种组合表示4 种天气，再加1位奇偶校验位。
信息位 监督位
晴
00
0
云
01
1
P 19
dmin t e 1
9.1 信道编码的基本概念
两种简单的信道编码
(n,1)重复码（以(3,1) 重复码为例）
许用码组(000),(111) dmin=n 可纠1位错或检2位错 用来纠错时，出现错误的概率为
信道分类（按差错出现类型）
独立随机差错信道
差错随机出现，且相互独立（无记忆性） 原因：由高斯白噪引起（信道本身的传输特性比
较理想） 太空信道、卫星信道、同轴电缆、光缆信道、视
距微波信道
P5
9.1 信道编码的基本概念
信道分类（按差错出现类型）
突发差错信道
差错成串出现（记忆性） 原因：信道传输特性不理想（衰落和码间干扰），
非线性码：约束关系不是线性关系。（缺少 理论和应用上的研究）
P9
9.1 信道编码的基本概念
信道编码分类（按编码方式分类）
分组码：将信息序列分成独立的若干组进行 编码。编码后，一组中的码元只与本组的原 始信息码元有关，而与其他组的信息码元无 关。
分组码用符号（n，k）表示。k是一组中信息码 元的数目，n是码元总数目，则监督码元有n-k位
P 18
9.1 信道编码的基本概念
一种编码的最小码距直接关系到这种编码的检错和纠 错能力（图9.1.2）
通信原理（陈启兴版）第9章课后习题答案
a.监督子仅与错误图样有关，而与发送的具体码字无关； b.若S =0，则判断没有错码出现，它表明接收的码字是一个许用码字，当然如果错码超过了纠错能力，也无法检测出错码。若S≠0,判断有错码出现; c.在纠错能力范围内，不同的错误图样具有不同的监督子，监督子是H 阵中“与错误码元相对应”的各列之和。对于纠一位错码的监督矩阵，监督子就是H 阵中与错误码元位置对应的各列。 (3) 汉明码 汉明码是能够纠正单个错误而且编码效率高的线性分组码。关于线性分组码的分析方法全部适用于汉明码。 一般说来，如果希望用r 个监督码元构造的(n ,k )线性分组码能够纠正一位错码，则要求 21r n -≥ (9-7) 汉明码满足条件 21r n -= (9-8) 汉明码的监督矩阵H 的列是由所有非零的互不相同的(n-k )重二元序列组成。如果码字中哪一位发生错误，其伴随式就是H 中该列的列矢量。 5. 循环码 在线性分组码中，有一种重要的码称为循环码(cyclic code)。它是在严密的代数学理论基础上建立起来的。这种码的编码和解码设备都不太复杂，而且检纠错的能力较强。循环码除了具有线性码的一般性 质外，还具有循环性。循环性是指任一码组循环一位（即将最右端的一个码元移至左端，或反之）以后，仍为该码中的一个码组。 (1) 码多项式 在代数编码理论中，为了便于计算，通常用多项式去描述循环码，它把码组 中各码元当作是一个多项式(poly-nomial)的系数，即把一个长度为n 的码组表示成 121210()n n n n T x a x a x a x a ----=++++ (9-9) 在循环码中，若T (x )是一个长为n 的许用码组，则x i ﹒T (x )在按模x n +1运算下，也是该编码中的一个许用码组，即若 ） （模)1()()(+'≡?n i x x T x T x (9-10) 则T '(x )也是该编码中的一个许用码组。 (2) 生成多项式 在一个(n , k )循环码中，有一个且仅有一个次数为(n-k )的多项式： 111()11n k n k n k g x x a x a x -----=?+++ (9-11) 称此g (x )为该循环码的生成多项式。g (x )表示该循环码的前(k -1)位皆为“0”的码组。g (x )有如下性质： a. g (x )是一个常数项为1，最高次数为(n -k )次，且是x n +1的一个因式。 b. 所有码多项式T (x )都可被g (x )整除，而且任意一个次数不大于(k -1)的多项式乘g (x )都是码多项式。 (3) 生成矩阵G 在循环码中，一个(n , k )码有2k 个不同的码组。若用g (x )表示其中前(k -1)位皆为“0”的码组，则g (x )，xg (x )，x 2g (x )，?，x k-1g (x )都是码组，而且这k 个码组是线性无关的。因此它们可以用来构成此 循环码的生成矩阵G 。一旦确定了g (x )，则整个(n , k )循环码就被确定了。 因此，循环码的生成矩阵G 可以写成 12()()()()()k k x g x x g x x xg x g x --?????? ? ?=???????? G (9-12) 由于上面的生成矩阵不是标准阵，这样编码得到的码字一般不是系统码。 (4) 系统循环码的编码思路 a. 用信息码元的多项式m (x )表示信息码元。 b. 用x n - k 乘m (x ),得到 x n - k m (x )。 c. 用g (x )除x n - k m (x )，得到商Q (x )和余式r (x )，即 ()()()()() n k x m x r x Q x g x g x -=+ (9-13) d. 编出的码组()T x 为 ()()()n k T x x m x r x -=+ (9-14) (5) 循环码的译码 接收端可以将接收码组R (x )用原生成多项式g (x )去除。当传输中未发生错误 时，接收码组与发送码组相同，即R (x ) = T (x )，故接收码组R (x )必定能被g (x )整除；若码组在传输中发生错误，则R (x ) ≠ T (x )，R (x )被g (x )除时可能除不尽而有余项，从而发现错误。 纠正错码相对复杂。因此，原则上纠错可按下述步骤进行： a. 用生成多项式g (x )除接收码组R (x )，得出余式r (x )。 b. 按余式r (x )，用查表的方法或通过某种计算得到错误图样E (x )；例如，通过计算校正子S 和表中的关系，就可以确定错码的位置。 c. 从R(x )中减去E (x )，便得到已经纠正错码的原发送码组T (x )。 6. 卷积码 卷积码是指把信源输出的信息序列，以k 个信息码元划分为一组，通过编码器输出长为n (≥k )的码段。与线性分组码不同的是：卷积码的子码中(n -k )个监督码不仅与本组的信息码元有关，而且也与其前 m 组的信息码元有关。一般用(n ,k ,m )表示，其中m 为编码存储器，它表示输入信息在编码器中需存储的单位时间。编码效率R =k /n 。 类似于线性分组码，卷积码的输入序列A =[…a k-2 a k-1 a k a k+1…]，输出序列0:10:20:31:11:21:32:12:22:3[,,,,,,,,,]C c c c c c c c c c =，监督矩阵H ∞和生成矩阵G ∞具有下列关系 ,0,0T T T C MG H C G H ∞∞∞∞==?= (9-15) 卷积码可以采用解析表示法，即采用码的生成矩阵、监督矩阵和码的多项式 来计算分析。此外，由于卷积码的特点，还可以采用图形表示法来研究，即从树状图、网格图和状态图的观点进行研究。 卷积码的译码方法主要有三种：序列译码、大数逻辑解码(门限译码)和概率解码(最大似然译码)。 9.1.2 难点 本章的难点主要有汉明码的特点及检验接收码组B 是否出错的方法。
差错控制编码的基本概念
随机信道、突发信道、混合信道。 对不同类型的信道应该采用不同的差错控制技术。
1.2 纠错码的分类
(1)根据码的用途，可分为检错码和纠错码。检错码以检 错为目的，不一定能纠错；而纠错码以纠错为目的，一定能 检错。
(2)根据纠错码各码组信息元和监督元的函数关系，可分 为线性码和非线性码。如果函数关系是线性的，即满足一组 线性方程式，则称为线性码，否则为非线性码。
(3)按照信息码元和监督码元之间的约束方式不同，可 以将它分为分组码和卷积码。分组码的各码元仅与本码组的 信息元有关；卷积码中的码元不仅与本码组的信息元有关， 而且还与前面若干信息元有关。
特点：适合突发信道。
3 .恒比码
码字中 1 的数目与 0 的数目保持恒定比例的码称为恒比 码。接收端只要检测接收到的码组“1”的数目是否对，就可 以知道有无错误。 例：“5中取3”恒比码，有C53 =10种不同组合，表示10个阿 拉伯数字。如表 10.2 所示。 “7中取3”恒比码，有C73 =35种不同组合，表示26个英文字 母和其他符号。 而每个汉字又是以四位十进制数来代表的。。
换
器器 器器 介 器
调制信道
解 译 解信 调 码 密宿 器 器器
编码信道
由于数字信号传输过程中受到加性干扰和乘性干扰的影
响，会产生误码。由加性干扰引起的码间干扰，通常可以采 用信道均衡、匹配滤波器、升余弦系统特性、增加发射功率、 合理选择调制/解调方法等措施，减少误码。由于乘性干扰 影响，或采用了上述方法后，仍不能有效地抑制加性干扰的 影响时, 就要采用差错控制技术。
an1 an2 a1 a0 0
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第九章差错控制编码（信道编码）9.1引言一、信源编码与信道编码数字通信中，根据不同的目的，编码分为信源编码与信道编码二大类。
信源编码~ 提高数字信号的有效性，如，PCM编码，M编码，图象数据压缩编码等。
信道编码~ 提高传输的可靠性，又称抗干扰编码，纠错编码。
由于数字通信传输过程中，受到干扰，乘性干扰引起的码间干扰，可用均衡办法解决。
加性干扰解决的办法有：选择调制解码，提高发射功率。
如果上述措施难以满足要求，则要考虑本章讨论的信道编码技术，对误码（可能或已经出现）进行差错控制。
从差错控制角度看：信道分三类：（信道编码技术）①随机信道：由加性白噪声引起的误码，错码是随机的，错码间统计独立。
②突发信道：错码成串，由脉冲噪声干扰引起。
③混合信道：既存在随机错误，又存在突发错码，那一种都不能忽略不计的信道。
信道编码（差错控制编码）是使不带规律性的原始数字信号，带上规律性（或加强规律性，或规律性不强）的数字信号，信道译码器则利用这些规律性来鉴别是否发生错误，或进而纠错。
需要说明的是信道编码是用增加数码，增加冗余来提高抗干扰能力。
二：差错控制的工作方式(1) 检错重发(2) 前向纠错，不要反向信道(3) 反馈校验法，双向信道这三种差错控制的工作方式见下图所示：检错重发前向纠错反馈校验法检错误判决信号纠错码信息信号发发收信息信号9.2 纠错编码的基本原理举例说明纠错编码的基本原理。
用三位二进制编码表示8种不同天气。
⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧雹雾霜雪雨阴云晴111011101001110010100000−−−→−种许使用种中只准48码组许用码组，其它为禁用雨阴云晴 011101110000⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫许用码组中，只要错一位（不管哪位错），就是禁用码组，故这种编码能发现任何一位出错，但不能发现的二位出错，二位出错后又产生许用码。
上述这种编码只能检测错误，不能纠正错误。
因为晴雨阴错一位，都变成1 0 0。
要想纠错，可以把8种组合（3位编码）中，只取2种为许用码，其它6种为禁用码。
例如： 0 0 0 晴 1 1 1 雨这时，接收端能检测两个以下的错误，或者能纠正一个错码。
例：收到禁用码组1 0 0时，如认为只有一位错，则可判断此错码发生在第1位，从而纠正为0 0 0（晴），因为1 1 1（雨）发生任何一个错误都不会变成1 0 0。
若上述接收码组种的错码数认为不超过二个，则存在两种可能性： 位错）（位错）（21111000/变成100 因为只能检出错误，但不能纠正。
一：分组码，码重，码距 （见樊书P282 表9-1）将码组分段：分成信息位段和监督位段，称为分组码，记为（n, k ） n ~ 编码组的总位数，简称码长（码组的长度）k ~ 每组二进制信息码元数目，（信息位段） r k n =- ~ 监督码元数目，（监督位段）（见樊书P282，图9-2）一组码共计8种在分组码中，有“1”的数目称为码组的重量，简称码重。
例如，码组（1 1 0 1 0），码长n=5，码重为3。
把两个码组对应位不同的数目称为这两个码组的距离，简称码距，又称Hamming （汉明）的距离。
例如，码组（1 1 0 0 0）与（1 0 0 1 1）的距离为3。
⎪⎪⎭⎫⎝⎛1001111000而码组集合中，全体码组之间的距离的最小值称为最小码距（0d ）。
码距的几何意义见樊书P283，图9-3。
从图看出，码距d 越大，检错，纠错能力越强。
二：纠错编码的效用 樊书P284监督位数r 越多，对提高抗干扰，降低误码率越有好处。
例子表明：纠错码的抗干扰能力完全取决于许用码字之间的距离，码的最小距离越大，说明码字间的最小差别越大，抗干扰能力就越强。
因此，码字之间的最小距离是衡量该码字检错和纠错能力的重要依据，最小码距是信道编码的一个重要的参数。
在一般情况下，分组码的最小汉明距离与检错和纠错能力之间满足下列关系：（1）当码字用于检测错误时，如果要检测e 个错误，则 10+≥e d（2）当码字用于纠正错误时，如果要纠正t 个错误，则 120+≥t d（3）若码字用于纠t 个错误，同时检e 个错误时（e>t ），则10++≥e t d9.3常用的简单编码纠错码的分类 ：（沈振元书 P388） (1) 奇偶校验码（“1”的数目应为偶数或奇数）。
（见樊书P285） 偶校验码满足条件：0021=⊕⊕⊕--a a a n n Λ举例：偶校验的例子：码组：110011码长6=n ，信息位段长5=k ， 监督位数1=r偶校验位=“1” 满足条件：0110011=⊕⊕⊕⊕⊕ (2) 二维奇偶校验码仍然举偶校验的例子：01111100001110011111001010111110011 (3) 恒比码例如，我国电传机传输阿拉伯数字时，用5位代码表示，每个码组的长度为5，其中恒有3个“1”，称为 “5中取3” 恒比码。
阿拉伯数字 保护电码 阿拉伯数字 保护电码1 2 01011 11001 6 7 10101 11100偶校验位 信息位 ⊕⊕⊕1 1 0 0 1 10= 行监督位，0110011=⊕⊕⊕⊕⊕/0 /1 /0 对称出现4个错码也检不出来(4) 正反码正反码的信息位段长k 与监督位段长r 相同，如正反码组： 信息位段有奇数个1：1100111001 （监督位与信息位重复）信息位段有偶数个1：1000101110 （监督位是信息位反码）9.4 线性分组码一：基本概念可用线性方程组（代数关系）表述码的规律性的分组码称为线性分组码。
如奇偶校验码的编程原理利用了代数关系，0021=⊕⊕⊕--a a a n n Λ（偶校验关系），称奇偶校验码为线性分组码。
在代数码中，常见的是线性码，即编码中的信息位和监督位是由一些线性代数方程联系着，或者说可用线性代数方程表述编码的规律性。
上述正反码中，为了纠正一位错误，使用的监督位和信息位一样多，即编码效率只有50%（编码效率n k /=η）。
那么为了纠正一位错误码，在分组码中最少要几位监督码位？编码效率能否提高。
从这种思想出发，便导致了汉明码的诞生。
汉明码是能够纠正一位错码且编码效率较高的一种线性分组码。
二：线性分组码的一种 —— 汉明码下面介绍汉明码（Hamming ）的构造原理。
先回顾偶校验码，在接收端实际上计算监督关系式：021a a a s n n ⊕⊕⊕=--Λ 若0=s ~ 无错 1=s ~ 有错 s ~ 称校正子由于s 校正子只有两种形式“0”或“1”，只能代表有错或无错，因而不能找出错码的位置。
信息位 监督位信息位 监督位不难想象，如果监督位增加一位，即变成二位监督位，即能增加一个类似于偶校验码监督式的新的监督式。
两个监督式就有两个校正子，其可能值有4种组合： 0 0，0 1，1 0，1 1，这4种组合代表不同信息。
若用1种组合表示无错，其余3种组合就可以用来表示一位错码的3种不同位置。
同理，r 个监督式能指示一位错码的12-r 个可能位置。
一般来说，若码长n ，信息位数k ，则监督位k n r -=，汉明码n 与r 满足：12-=r n现以（n ，k ）=（7，4），r =3为例的汉明码来说明如何具体构造这些监督关系式。
设码字（n ，k ）= 0456a a a a Λ 信息位监督位~~456012a a a a a a321s s s ,, ～校正子（3个监督关系式中的校正子）这3个校正子321s s s ,,，可建立三个互为独立的监督关系式。
321s s s ,,的值与错码位置的对应关系可以规定如下表： （见樊书P288，图9-4）321s s s ,,全为零，表示无错。
只要1s （或2s ，或3s ）为“1”，就表示有错，1s 是不是1，由6542a a a a ,,,的出错决定，可写成偶监督关系式：24561a a a a s ⊕⊕⊕=（只有1s 为零时才无错，发送编码时，将监督码元2a 与信息码元的关系满足此式） 同理13562a a a a s ⊕⊕⊕= 同理03463a a a a s ⊕⊕⊕=在发端编码时，信息位6543a a a a ,,,的值是随机的，监督位012a a a ,,应根据信息位按监督关系来确定，即监督位应使上面的321s s s ,,监督式为零。
即要求：02456=⊕⊕⊕a a a a 01356=⊕⊕⊕a a a a 00346=⊕⊕⊕a a a a 或写成监督码元在左边的形式： 4562a a a a ⊕⊕= 3561a a a a ⊕⊕= 3460a a a a ⊕⊕=信息位3456a a a a ,,,一旦确定后，可直接按上式计算出监督位。
（见樊书P289 图9-5）接收端收到每个码字（码组）后，先计算出偶监督关系式，321s s s ,,再按表9-4（樊书P288）判断错码情况。
如果321s s s ,,不全零，可判出在哪一位出错。
汉明码最小距0d =3（见樊书表9-5），能够纠正单个错误。
三：线性分组码的一般原理 (1) 监督阵和生成矩阵将上述汉明码（7，4）的监督关系式改写成：（见樊书P289，9.4-8） 000101110123456=⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅a a a a a a a 001010110123456=⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅a a a a a a a 010011010123456=⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅a a a a a a a上式中⊕简写为+，表示模2相加。
写成矩阵形式：查樊书表9-4，判错哪一位并纠正之 346035614562a a a a a a a a a a a a ⊕⊕=⊕⊕=⊕⊕=000034613562456=⊕⊕⊕=⊕⊕⊕=⊕⊕⊕a a a a a a a a a a a a 发送端，将信息位按此式加上监督位后接收端，先计算校正321s s s ,,为零否，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100110101010110010111⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡0123456a a a a a a a =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡000 （模2）简记T T A H 0=⋅ （H ~ 监督矩阵）监督矩阵H 为n r ⨯（r 行，n 列）阶矩阵，H 阵的每行之间彼此线性无关。
也可将H 矩阵分为两部分： H = []r PI =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡10001010101011001011136a a Λ 012a a a其中P 为r ×k 阶矩阵，r I 为r ×r 阶单位矩阵。
若把监督关系式改写补充：3463561456233445566a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ++=++=++=====可改写为矩阵形式：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡3456012345611011011011110010********1a a a a a a a a a a a 即⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=3456a a a a G A T T ， 变换为[]G a a a a A ⋅=3456，其中⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=1101000101010001100101110001Gk I QG 称为生成矩阵，如果找到G ，则纠错编码方法就确定了，可由信息组和G 可产生全部码字。