苏教版高一数学下学期期末复习试卷
苏教版高一数学下学期期末考试模拟试卷(二)
高一数学下学期期末考试模拟试卷（二）一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1．在等比数列}{n a 中，121=+a a ，943=+a a ，则=+54a a ____27±____.2.如图表示甲、乙两名篮球运动员每场得分情况的茎叶图，则甲、乙得分的中位数分别是,a b ，则a b += 57.5 ．3．若执行如图所示的算法流程图，输出的结果是17，则其判断框中的横线上可以填入的最大整数为 644．某商场有四类食品，其中粮食类、植物油类、动物性食品类及果蔬类分别有40种、10种、30种、20 种，从中抽取一个容量为20的样本进行食品安全检测．若采用分层抽样的方法抽取样本，则抽取的植物油类与果蔬类食品种数之和是 6 5. 将一枚硬币连续抛掷3次，则有且只有2次出现正面向上的概率为 386．已知等比数列的前n 项和为S n ，若S 3 :S 2=3:2，则公比q = 112-或 . 7．已知变量,x y 满足⎧⎪⎨⎪⎩224y x x y y x ≤+≥≥-，则3z x y =+的最大值是 16 ．8. 有一组统计资料，数据如下（不完全依大小排列）：2,4,4,5,5,6,7,8,9,11,x,已知这组数据的平均数为6，则这组数据的方差为 69．下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x (吨)与相应的生产能耗Y (则刻画y 关于x 的线性回归方程y bxa =+是 y=x+1 10．已知递增的等比数列{}n a 满足23428a a a ++=，且3242,a a a +是的等差中项，若21log n n b a +=，则数列{}n b 的前n 项和n S =(3)2n n + . 11．设关于x 的不等式ax b +>0的解集为(,)1+∞，则关于x 的不等式ax bx x +-->2560的解集为 {|11x x -<<或x>6} 12.如图，△12OA A 是等腰直角三角形，1121AO A A ==,以2OA 为直角边作等腰直角三角形△23OA A ，再以3OA 为直角边作等腰直角三角形△34OA A ，如此继续下去得等腰直角三角形 △45OA A ……．则△910OA A 的面积为 128 13.在锐角△ABC 中，b ＝2，B ＝π3，sin 2sin()sin 0A A C B +--=，则△ABC 的面积为．14．对一切实数x ，不等式01||2≥++x a x 恒成立，则实数a 的取值范围是 [)+∞-,2 二、解答题：（本大题共6小题,共90分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤．） 15．已知集合{}2230,A x xx x R =--≤∈，{}22240,,B x x mx m x R m R =-+-≤∈∈.（Ⅰ）若[]0,3A B =，求实数m 的值；（Ⅱ）若B C A R ⊆，求实数m 的取值范围.16. 如图所示的茎叶图是青年歌手电 甲 乙 视大奖赛中7位评委给参加最后决赛的两位选手 8 5 7 9甲、乙评定的成绩，程序框图用来编写程序统计 8 5 5 4 8 4 4 4 6 7 每位选手的成绩（各评委所给有效分数的平均值）， 2 9 3试根据下面条件回答下列问题：（1）根据茎叶图，乙选手的成绩中，中位数和众数分别是多少？（2）在程序框图中，用k 表示评委人数，用a 表示选手的最后成绩（各评委所给有效分数的平均值）．那么图中①②处应填什么？“S 1=S -max-min ”的含义是什么？（3）根据程序框图，甲、乙的最后成绩分别是多少？15. （1）;84;84 （2） 1S 表示总分S 减去最高分和最低分17．甲打靶射击，有4发子弹，其中有一发是空弹.（1）求空弹出现在第一枪的概率；（2）求空弹出现在前三枪的概率;（3）如果把空弹换成实弹，甲前三枪在靶上留下三个两两距离分别为3，4，5的弹孔,,P Q R ，第四枪瞄准了三角形PQR 射击,第四个弹孔落在三角形PQR 内，求第四个弹孔与前三个弹孔的距离都超过1的概率（忽略弹孔大小）. 15. 解：设四发子弹编号为0（空弹），1，2，3，（1）设第一枪出现“哑弹”的事件为A ，有4个基本事件,则：（2分）1()4P A =（4分）(2) 法一:前三枪出现“哑弹”的事件为B,则第四枪出现“哑弹”的事件为B ,那么()()P A P B =，（6分）13()1()1()1.44P B P B P A =-=-=-=（9分）法二:前三枪共有4个基本事件{0,1,2},{0,1,3},{0,2,3},{1,2,3},满足条件的有三个,（7分）则3().4P B =（9分）(3) RT PQR ∆的面积为6，（10分）分别以,,P Q R 为圆心、1为半径的三个扇形的面积和11442πππ=+=,（12分）设第四个弹孔与前三个弹孔的距离都超过1的事件为C,162()1612P C ππ-==-.（14分） 18. 假设某市2004年新建住房400万平方米，其中有250万平方米是中低价房．预计在今后的若干年后，该市每年新建住房面积平均比上年增长8%．另外，每年新建住房中，中底价房的面积均比上一年增加50万平方米．那么到哪一年底（1）该市历年所建中低价房的累计面积（以2004年为累计的第一年）将首次不少于4750万平方米？（2）当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%？ 参考数据：41.08 1.360=，51.08 1.469=，61.08 1.587=，71.08 1.714=，81.08 1.851=19．在△ABC 中，c b a ,,分别为角A 、B 、C 的对边，58222bcb c a -=-，a =3, △ABC 的面积为6，D 为△ABC 内（不含边界）任一点，点D 到三边距离之和为d 。
2020-2021学年高一数学下学期期末测试卷(苏教版 2019)02(必修二解析版)
2020-2021学年高一数学下学期期末测试卷（苏教版 2019）02试卷满分：150分 考试时长：120分钟注意事项：1.本试题满分150分，考试时间为120分钟.2.答卷前务必将姓名和准考证号填涂在答题纸上.3.使用答题纸时，必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写，要字迹工整，笔迹清晰.超出答题区书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效.一、单选题（本大题共8小题，共40分）1．若向量(2,3)BA =，(4,7)AC =--，则BC =（ ）A ．(2,4)--B ．(2,4)C ．(6,10)D ．(6,10)--【答案】A【分析】由向量加法的坐标运算计算．【详解】 (2,3)(4,7)(2,4)BC BA AC =+=+--=--．故选：A ．2．已知复数z 满足1iz i =-(i 为虚数单位），则z 在复平面内对应的点在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】C【分析】先利用复数的除法运算化简复数z ，可得对应点的坐标，从而可得答案.【详解】因为1iz i =-， 所以()()()111i i i z i i i i ---===---， 则z 在复平面内对应点的坐标为()1,1--，所以z 在复平面内对应的点在第三象限，3．已知水平放置的△ABC 是按“斜二测画法”得到如图所示的直观图，其中B ′O ′＝C ′O ′＝1，A ′O ′原△ABC 的面积是( )A B ．C ．2D ．4【答案】A【分析】先根据已知求出原△ABC 的高为AO △ABC 的面积.【详解】由题图可知原△ABC 的高为AO∴S △ABC ＝12×BC ×OA ＝12A 【点睛】本题主要考查斜二测画法的定义和三角形面积的计算，意在考察学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.4．为了解学生课外阅读的情况，随机统计了n 名学生的课外阅读时间，所得数据都在[50,150]中，其频率分布直方图如图所示．已知在[50,75)中的频数为100，则n 的值是（ ）A ．500B ．1000C ．10000D ．25000【分析】根据频率分布直方图可得在[50,75)中的频率，进而可得n .【详解】由图可得在[50,75)中的频率为0.004250.1⨯=， 所以10010000.1n ==， 故选：B.5．已知一个直角三角形的边长分别为3，4，5，若以斜边所在直线为旋转轴，将该三角形旋转一周，所得几何体的体积等于（ ）A ．12πB ．16πC ．485πD ．1445π 【答案】C【分析】先判断所得几何体是由两个同底的圆锥拼接而成，Rt ABC 中通过等面积法计算底面半径BO ，再利用圆锥体积之和求所得几何体的体积即可.【详解】依题意，所得几何体是由两个同底的圆锥拼接而成，如图所示， Rt ABC 中，4,3,5AB BC AC ===，由Rt ABC 的面积1122S AB BC AC BO '=⋅=⋅，得431255AB BC BO AC ⋅⨯===，即圆锥底面面积214425S BO ππ=⋅=， 又上面圆锥体积为113V S AO =⋅，下面圆锥体积为213V S OC =⋅，故几何体的体积()122111144485333255V V V V S AO OC S AC ππ=+==⋅+=⋅=⨯⨯=. 故选：C.6．已知α∈（2π，π），并且sin α+2cos α25=，则tan （α4π+）＝（ ） A ．1731- B ．3117- C ．17- D ．﹣7【答案】A【分析】将已知等式平方，利用同角三角函数的基本关系可得cos α﹣2sin α115=-，再结合已知等式作商可求得tan α，由两角和与差的正切公式计算即可得解．【详解】 由sin α+2cos α25=，得sin 2α+4sin αcos α+4cos 2α425=， 所以（1﹣cos 2α）+4sin αcos α+4（1﹣sin 2α）425=， 整理得cos 2α﹣4sin αcos α+4sin 2α12125=， 所以（cos α﹣2sin α）212125=， 因为α∈（2π，π），所以sin 0cos 0αα⎧⎨⎩＞＜， 所以cos α﹣2sin α115=-，又sin α+2cos α25=， 所以7cos 25α=-，24sin 25α=， 所以tan α247=-， 所以tan （α4π+）241tan 1177241tan 3117αα-++===--+． 故选：A ．【点睛】关键点点睛：由sin α+2cos α25=推出cos α﹣2sin α115=-是本题的解题关键. 7．已知点G 是ABC ∆的重心，(,)AG AB AC R λμλμ=+∈，若120A ∠=，2AB AC ⋅=-，则AG 的最小值是A B C ．23 D ．34【答案】C【分析】 由题意将原问题转化为均值不等式求最值的问题，据此求解AG 的最小值即可.【详解】 如图所示，由向量加法的三角形法则及三角形重心的性质可得()2133AG AD AB AC ==+, 120,2A AB AC ∠=⋅=-， 根据向量的数量积的定义可得cos1202AB AC AB AC ⋅=⨯⨯=-, 设,AB x AC y ==，则4AB AC xy ⨯==， 2211233AG AB AC AB AC AB AC =+=++⋅ 22112443x y xy =+-≥-=， 当且仅当x y =，即AB AC =，△ABC 是等腰三角形时等号成立.综上可得AG 的最小值是23. 本题选择C 选项.【点睛】本题主要考查平面向量的加法运算，向量的模的求解，均值不等式求解最值的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.8．设a ，b ，c 为ABC 中的三边长，且a +b +c =1，则a 2+b 2+c 2+4abc 的取值范围是（ ）A ．131,272⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．131,272⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．131,272⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．131,272⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】B【分析】记f (a ，b ，c )=a 2+b 2+c 2+4abc ，则f (a ，b ，c )=1﹣2ab ﹣2c (a +b )+4abc ，再根据三角形边长性质可以证得f (a ，b ，c )12<.再利用不等式和已知可得ab 22(1)24a b c +-⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以f (a ，b ，c )≥1﹣2(1)2(12)4c c -⨯-﹣2c (1﹣c )=321122c c -+，再利用求导根据单调性可以推得a 2+b 2+c 2+4abc 1327，继而可以得出结果. 【详解】记f (a ，b ，c )=a 2+b 2+c 2+4abc ，则f (a ，b ，c )=1﹣2ab ﹣2c (a +b )+4abc=1﹣2ab (1﹣2c )﹣2c (1﹣c )=2(c +ab )2﹣2a 2b 2﹣2(ab +c )+1=2[c +ab ﹣12]2﹣2a 2b 2+121112()()222c ab ab c ab ab =+-++--+ 1112(2)()222c ab c =+--+ 1112(12)()222a b ab c =--+--+ 1112(2)()222a b ab c =--+-+ 1114()()42222a b ab c =--+-+ =4(c ﹣12)(a ﹣12)(b ﹣11)22+， 又a ，b ，c 为ABC 的三边长，所以1﹣2a >0，1﹣2b >0，1﹣2c >0，所以f (a ，b ，c )12<. 另一方面f (a ，b ，c )=1﹣2ab (1﹣2c )﹣2c (1﹣c )，由于a >0，b >0，所以ab 22(1)24a b c +-⎛⎫= ⎪⎝⎭， 又1﹣2c >0， 所以f (a ，b ，c )≥1﹣2(1)2(12)4c c -⨯-﹣2c (1﹣c )=321122c c -+， 不妨设a ≥b ≥c ，且a ，b ，c 为ABC 的三边长， 所以0<c <13. 令y =321122c c -+，则y ′=3c 2﹣c =c (3c ﹣1)≤0， 所以y min =127﹣2111232⎛⎫+ ⎪⎝⎭=1327， 从而1327<f(a,b,c)<12. 当且仅当a =b =c =13时取等号. 故选：B.【点睛】本题主要考查了解三角形，考查导数求函数的最值，考查基本不等式的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.二、多选题（本大题共4小题，共20分）9．袋中装有形状完全相同的3个白球和4个黑球，从中一次摸出3个球，下列事件是互斥事件的是（ ） A ．摸出三个白球事件和摸出三个黑球事件B ．恰好有一黑球事件和都是黑球事件C ．至少一个黑球事件和至多一个白球事件D ．至少一个黑球事件和全是白球事件【答案】ABD【分析】根据互斥事件的定义可判断各选项的正误，从而可得正确的选项.【详解】对于A ，摸出三个白球事件和摸出三个黑球事件不可能同时发生，故它们为互斥事件，故A 正确. 对于B ，恰好有一黑球事件和都是黑球事件不可能同时发生，故它们为互斥事件，故B 正确.对于C ，比如三个球中两个黑球和1个白球，则至少一个黑球事件和至多一个白球事件可同时发生，故C 错误.对于D ，至少一个黑球事件和全是白球事件也不可能同时发生，故D 正确.故选：ABD.10．已知a ，b 是平面上夹角为23π的两个单位向量，c 在该平面上，且()()·0a c b c --=，则下列结论中正确的有（ ）A ．||1a b +=B ．||3a b -=C ．||3<cD ．a b +，c 的夹角是钝角 【答案】ABC【分析】在平面上作出OA a =，OB b =，1OA OB ==，23AOB π∠=，作OC c =，则可得出C 点在以AB 为直径的圆上，这样可判断选项C 、D ． 由向量加法和减法法则判断选项A 、B ．【详解】对于A ：()2222+2||+cos 13a b a b a b a b π+=+=⨯⨯=，故A 正确； 对于B ：设OA a =，OB b =，1OA OB ==，23AOB π∠=，则2222+c 32os 3AB O OA O A O B B π-⋅==，即3a b -=，故B 正确； OC c =，由(a ﹣c )·(b﹣c )=0得BC AC ⊥，点C 在以AB 直径的圆上（可以与,A B 重合）．设AB 中点是M ， c OC =的最大值为1+222+A bBO MC a M +==<C 正确；a b +与OM 同向，由图，OM 与c 的夹角不可能为钝角．故D 错误．故选：ABC ．【点睛】思路点睛：本题考查向量的线性运算，考查向量数量积．解题关键是作出图形，作出OA a =，OB b =，OC c =，确定C 点轨迹，然后由向量的概念判断．11．如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A BC D -中，P ，M ，N 分别为棱1CC ，CB ，CD 上的动点(点P 不与点C ，1C 重合)，若CP CM CN ==，则下列说法正确的是（ ）A ．存在点P ，使得点1A 到平面PMN 的距离为43B ．用过P ，M ，1D 三点的平面去截正方体，得到的截面一定是梯形C ．1//BD 平面PMND ．用平行于平面PMN 的平面α去截正方体，得到的截面为六边形时，该六边形周长一定为【答案】ABD【分析】A ．根据条件分析出1A 到平面PMN 的距离的取值范围，即可进行判断；B ．根据空间中点、线、面的位置关系，结合线段比例关系，作出过P ，M ，1D 三点的截面，并进行判断；C ．根据1BD 与平面1BC D 的位置关系，以及平面PMN 与平面1BC D 的位置关系进行判断； D ．先利用平行关系作出截面α，然后根据长度关系求解出截面六边形的周长并进行判断.【详解】A ．连接1111111,,,,,,AC BC AB BDCD A D B C ，如图所示：因为CP CM CN ==，所以易知11//,//,//MN BD NP C D MP BC ，且平面//MNP 平面1BC D ， 又已知三棱锥11A BC D -各条棱长均为11A BC D -为正四面体， 所以1A 到平面1BC D3=， 因为11A B ⊥平面11BCC B ，所以111A B BC ⊥，又11BC B C ⊥，且1111A B B C B =，所以1BC ⊥平面11A B C ，又1AC ⊂平面11A B C ，所以11BC AC ， 同理可得11C D AC ⊥，且111BCC D C ⋂=，所以1AC ⊥平面1BC D ，又因为1AC ，所以1A 到平面PMN 的距离∈⎝43<< B ．如图所示，连接1D P 并延长交DC 的延长线于Q 点，连接QM 并将其延长与AD 相交于A '， 因为CP CM =，且1//,//CP DD CM AD ，则1CP CM CQ DD DA DQ =='，所以1DA DD '=，所以A '即为A ，连接1AD ，所以过P ，M ，1D 的截面为四边形1AD PM ，由条件可知111//,//MP BC BC AD ，且1MP AD ≠，所以四边形1AD PM 为梯形，故正确；C ．连接1BD ，由A 可知平面//MNP 平面1BC D ，又因为B ∈平面1BC D ，1D ∉平面1BC D ，所以1BD 不平行于平面1BC D ，所以1//BD 平面PMN 不成立，故错误；D ．在1BB 上取点1P ，过点1P 作12//PP MP 交11B C 于2P ，过2P 作21//P N MN 交11C D 于1N ，以此类推，依次可得点212,,N M M ，此时截面为六边形，根据题意可知：平面121212//PP N N M M 平面MNP ，不妨设1BP x =，所以122121PM P N N M ===，所以)1212121PP N N M M x ===-，所以六边形的周长为：)31x ⎤-=⎦故选：ABD.【点睛】方法点睛：作空间几何体截面的常见方法：（1）直接连接法：有两点在几何体的同一个面上，连接该两点即为几何体与截面的交线，找截面就是找交线的过程；（2）作平行线法：过直线与直线外一点作截面，若直线所在的平面与点所在的平面平行，可以通过过点找直线的平行线找到几何体与截面的交线；（3） 作延长线找交点法：若直线相交但是立体图形中未体现，可通过作延长线的方法先找到交点，然后借助交点找到截面形成的交线；（4）辅助平面法：若三个点两两都不在一个侧面或者底面中，则在作截面时需要作一个辅助平面. 12．在ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且2a =，sin 2sin B C =，有以下四个命题中正确的是（ ）A ．满足条件的ABC 不可能是直角三角形B ．ABC 面积的最大值为43C ．当A =2C 时，ABC 的周长为2+D ．当A =2C 时，若O 为ABC 的内心，则AOB 的面积为13【答案】BCD【分析】对于A ，利用勾股定理的逆定理判断；对于B ，利用圆的方程和三角形的面积公式可得答案；对于C ，利用正弦定理和三角函数恒等变形公式可得答案对于D ，由已知条件可得ABC 为直角三角形，从而可求出三角形的内切圆半径，从而可得AOB 的面积【详解】对于A ，因为sin 2sin B C =，所以由正弦定理得，2b c =，若b 是直角三角形的斜边，则有222a c b +=，即2244c c +=，得233c =，所以A 错误；对于B ，以BC 的中点为坐标原点，BC 所在的直线为x 轴，建立平面直角坐标系，则(1,),(1,0)B C -，设(,)A m n ，因为2b c =2222(1)2(1)m n m n -+=++，化简得22516()39m n ++=，所以点A 在以5,03⎛⎫- ⎪⎝⎭为圆心，43为半径的圆上运动， 所以ABC 面积的最大值为1442233⨯⨯=，所以B 正确； 对于C ，由A =2C ，可得3B C π=-，由sin 2sin B C =得2b c =， 由正弦定理得，sin sin b c B C=，即2sin(3)sin c c C C π=-， 所以sin 32sin C C =，化简得2sin cos 22cos sin 2sin C C C C C +=，因为sin 0C ≠，所以化简得23cos 4C =， 因为2b c =，所以B C >，所以3cos 2C =，则1sin 2C =， 所以sin 2sin 1B C ==，所以2B π=，6C π=，3A π=， 因为2a =，所以2343,33c b ==， 所以ABC 的周长为223+，所以C 正确；对于D ，由C 可知，ABC 为直角三角形，且2B π=，6C π=，3A π=，2343c b ==， 所以ABC 的内切圆半径为123433212r ⎛=+= ⎝⎭，所以AOB的面积为11122cr ⎛=-= ⎝⎭ 所以D 正确，故选：BCD【点睛】 此题考查三角形的正弦定理和面积公式的运用，考查三角函数的恒等变换，考查转化能力和计算能力，属于难题.三、填空题（本大题共4小题，共20分）13．写出一个虚数z ，使得23z +为纯虚数，则z =___________.【答案】12i +（答案不唯一）．【分析】设i z a b =+（a ，b ∈R ，0b ≠），代入计算后由复数的定义求解．【详解】设i z a b =+（a ，b ∈R ，0b ≠），则222332i z a b ab +=-++，因为23z +为纯虚数，所以223a b -=-且0ab ≠.任取不为零的实数a ，求出b 即可得，答案不确定，如12z i =+，故答案为：12i +．14．棱长均为1的正四棱锥，该正四棱锥内切球半径为1R ，外接球半径为2R ，则12R R 的值为______.【分析】 对角线1AC BD O ⋂=，设外接球球心为O ，外接球球心到各顶点距离相等列出关于2R 的方程可得2R ，利用“体积法”可得1R ，进而可得结果.【详解】如图所示，对角线1AC BD O ⋂=，设外接球球心为O，12PO =，则22222R R ⎫=-+⎪⎪⎝⎭⎝⎭，解得22R =， 内切球半径1R满足1111141113232R ⎛⨯⨯+⨯⨯⨯=⨯⨯ ⎝⎭，解得1R =，于是1212R R ==，故答案为：12.15．在△ABC 中，设角A ，B ，C 对应的边分别为,,a b c ，记△ABC 的面积为S ，且22242a b c =+，则2S a 的最大值为__________.【答案】6【分析】根据题中条件利用余弦定理进行简化，然后化简为二次函数，求出二次函数的最值即可.【详解】由题知22222222422c 2os 4b a c a c ac B a b c ⇒=-=+-=+，整理得()222232cos 33cos 2a c ac B a c B ac -=-+⇒=， 因为()222222221sin 1cos sin 224ac B c B S c B a a a a ⎛⎫- ⎪⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪⎝⎭，代入()223cos 2a c B ac-=整理得2422421922916S c c a a a ⎛⎫⎛⎫=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 令22c t a =，有()22222111110922931616336S t t t a ⎛⎫⎛⎫=--+=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以2221036S S a a ⎛⎫≤⇒≤ ⎪⎝⎭，所以2S a故答案为：6【点睛】 本题主要考查了利用余弦定理解三角形，结合考查了二次函数的最值问题，属于中档题.16．赵爽是我国古代数学家大约在公元222年，他为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成）类比“赵爽弦图”，可构造如图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间一个小等边三角形拼成的一个较大的等边三角形，设AD AB AC λμ=+，若2DF AF =，则可以推出λμ+=_________.【答案】1213【分析】利用建系的方法，假设1AF =，根据120ADB ∠=，利用余弦定理可得AB 长度，然后计算cos ,sin DAB DAB ∠∠，可得点D 坐标，最后根据点,B C 坐标，可得结果.【详解】设1AF =，则3,1AD BD AF ===如图由题可知：120ADB ∠=，由2222cos AB AD BD AD BD ADB =+-⋅⋅∠所以AB =AC AB ==所以),B C ⎝⎭，()0,0A又sin sin sin 26BD AB BAD BAD ADB =⇒∠=∠∠所以cos BAD ∠=所以()cos ,sin D AD AD BAD BAD ∠∠即D ⎝⎭ 所以()2113339,13,0,AD AB⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭ 13AC ⎛=⎝⎭又AD AB AC λμ=+所以913313μλμμ⎧==⎪⎪⇒⎨⎪==⎪⎩所以1213λμ+=故答案为：12 13【点睛】本题考查考查向量的坐标线性表示，关键在于建系，充分使用条件，考验分析能力，属难题.四、解答题（本大题共6小题，共70分）17．（10分）2020年春季，受疫情的影响，学校推迟了开学时间.上级部门倡导“停课不停学”，鼓励学生在家学习，复课后，某校为了解学生在家学习的周均时长(单位:小时)，随机调查了部分学生，根据他们学习的周均时长，得到如图所示的频率分布直方图.（1）求该校学生学习的周均时长的众数的估计值;（2）估计该校学生学习的周均时长不少于30小时的概率.【答案】（1）25小时；（2）0.3.【分析】（1）根据直方图，频率最大的区间中点横坐标为众数即可求众数；（2）由学习的周均时长不少于30小时的区间有[30,40)、[40,50)，它们的频率之和，即为该校学生学习的周均时长不少于30小时的概率.【详解】（1）根据直方图知：频率最大的区间中点横坐标即为众数，∴由频率最大区间为[20,30)，则众数为2030252+=；（2）由图知：不少于30小时的区间有[30,40)、[40,50)，∴该校学生学习的周均时长不少于30小时的概率0.03100.3P=⨯=.【点睛】本题考查了根据直方图求众数、概率，应用了众数的概念、频率法求概率，属于简单题. 18．（12分）已知复数z ＝a ＋i (a >0，a ∈R )，i 为虚数单位，且复数2z z +为实数. （1）求复数z ；（2）在复平面内，若复数(m ＋z )2对应的点在第一象限，求实数m 的取值范围.【答案】（1）1z i =+；（2）()0,∞+.【分析】（1）利用复数的四则运算以及复数的分类即求解.（2）利用复数的四则运算以及复数的几何意义即可求解.【详解】（1）因为z ＝a ＋i (a >0)，所以z ＋2z＝a ＋i ＋2a i + ＝a ＋i ＋()()()2a i a i a i -+- ＝a ＋i ＋2221a i a -+ ＝2222111a a i a a ⎛⎫⎛⎫++- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭， 由于复数z ＋2z为实数，所以1－221a +＝0， 因为a >0，解得a ＝1，因此，z ＝1＋i .（2）由题意(m ＋z )2＝(m ＋1＋i )2＝(m ＋1)2－1＋2(m ＋1)i ＝(m 2＋2m )＋2(m ＋1)i ，由于复数(m ＋z )2对应的点在第一象限，则()220210m m m ⎧+>⎪⎨+>⎪⎩，解得m >0. 因此，实数m 的取值范围是(0，＋∞).19．（12分）已知函数2()2cos f x x x =+． （1）求()f x 的最小正周期及()f x 的图象的对称轴方程；（2）若[4x π∈-，]4π，求()f x 的取值范围．【答案】（1）最小正周期为π，对称轴方程为612x k ππ=+，k Z ∈；（2）1[2，3]2． 【分析】（1）将()f x 化为()1sin(2)62x f x π++=，然后可求出答案； （2）由[4x π∈-，]4π可得2[63x ππ+∈-，2]3π，然后可得答案. 【详解】（1）2()2cos f x x x =+1cos 2222x x +=+ 1sin(2)62x π++=， ()f x ∴的最小正周期22T ππ==， 令262x k πππ+=+，k Z ∈，可得612x k ππ=+，k Z ∈，即()f x 的图象的对称轴方程为612x k ππ=+，k Z ∈． （2）[4x π∈-，]4π， 2[63x ππ∴+∈-，2]3π，sin(2)[62x π∴+∈-，1]，可得11()sin(2)[622f x x π=++∈，3]2． 【点睛】本题考查的是三角函数的恒等变换和三角函数的性质，考查了学生对基础知识的掌握情况，较简单. 20．（12分）已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且sin sin sin 4cos 0cos sin a A b B c C c A A B--+=． （1）求A ； （2）若a c >，求a b c +的取值范围． 【答案】（1）3A π=；（2）(2,)+∞． 【分析】（1）利用正弦定理与余弦定理将题中所给条件化简整理，即可求出1cos 2A =，从而可得角A ； （2）先由题中条件，得到0,3C π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，再由正弦定理将所求式子化为sin sin sin A B C +，进而转化为关于C 的函数，即可求出结果.【详解】 （1）由条件与正弦定理可得，2224cos 0cos a b c c A b A--+=， 即2224cos 0cos b c a c A b A+--=， 由余弦定理得，2cos 4cos 0cos bc A c A b A-=， 所以2cos 10A -=，即1cos 2A =． 由0A π<<得，3A π=． （2）由a c >可知，0,3C π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭． 由正弦定理可知，21sin sin sin sin 3222sin sin sin C C C a b A B c C C Cπ⎛⎫-++ ⎪++⎝⎭===22cos 11cos 122sin 22sin cos 22C C C C C +==+112tan 2C =又知0,26C π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以tan 2C ⎛∈ ⎝⎭，所以2a b c +>， 故a b c+的取值范围为(2,)+∞． 【点睛】方法点睛：求解三角形中有关边长、角、面积的最值（范围）问题时，常利用正弦定理、余弦定理与三角形面积公式，建立a b +，ab ，22a b +之间的等量关系与不等关系，然后利用函数或基本不等式求解.21．（12分）如图，在AOB 中，D 是边OB 的中点，C 是边OA 上靠近点O 的一个三等分点，AD 与BC 交于点M .设OA a =，OB b =.（1）用a ，b 表示OM .（2）过点M 的直线与边OA ，OB 分别交于点E ，F .设OE pa =，OF qb =，求12p q+的值. 【答案】（1）1255OM a b =+（2）125p q += 【分析】（1）设OM xa yb =+，利用A ，M ，D 三点共线和C ，M ，B 三点共线可以得出,x y 的两个方程，然后解出即可（2）利用EM ，EF 共线即可推出【详解】（1）设OM xa yb =+，则()()11AM OM OA x OA yOB x a yb =-=-+=-+，∵A ，M ，D 三点共线，12AD OD OA a b =-=- ∴AM ，AD 共线，从而()112x y -=-.① 又C ，M ，B 三点共线. ∴BM ，BC 共线， 同理可得()113y x -=-.②联立①②，解得1525x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 故1255OM a b =+. （2）∵12125555EM OM OE a b pa p a b ⎛⎫=-=+-=-+ ⎪⎝⎭， EF OF OE qb pa =-=-，且EM ，EF 共线， ∴1255p q p ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，整理得125p q +=. 【点睛】1.平面向量共线定理：若a 与b 共线且0b ≠，则存在唯一实数λ使得a b λ=2.平面向量基本定理：若1e ，2e 是平面α内两个不共线的向量，则对于平面α中的任一向量a ，使12a e e λμ=+的实数λ，μ存在且唯一.22．（12分）在四棱锥P -ABCD 中，侧面PAD ⊥ 底面ABCD ，底面ABCD 为直角梯形，//BC AD ，∠ADC =90°，BC =CD =12AD =1，PA =PD ，E ，F 分别为AD ，PC 的中点.（1）求证：//PA 平面BEF ；（2）若PC 与AB 所成角为45°，求二面角F -BE -A 的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）-【分析】（1）连接AC 交BE 于O ，并连接FO ，根据条件可证//OF PA ，从而可证明结论.（2）由ABCE 为平行四边形可得//EC AB ，PCE ∠为PC 与AB 所成角，即45PCE ∠=︒，又由条件可得PE ABCD ⊥平面，可得PE EC ==PD 中点M ，连,ME MA MF ，，可得MEA ∠为F BE A --的平面角，可得答案.【详解】（1）证明：连接AC 交BE 于O ，并连接FO ，1,2BC AD BC AD =∥，E 为AD 中点，∴//AE BC ，且AE =BC . ∴四边形ABCE 为平行四边形，∴O 为AC 中点，又F 为AD 中点，//OF PA ∴，OF ⊂平面,BEF PA ⊄平面BEF ，//PA ∴平面BEF .（2）由BCDE 为正方形可得EC ==由ABCE 为平行四边形可得//EC AB .PCE ∴∠为PC 与AB 所成角，即45PCE ∠=︒.PA PD =E 为AD 中点,所以PE AD ⊥.侧面PAD ⊥底面,ABCD 侧面PAD 底面,ABCD AD PE =⊂平面PAD ，PE ∴⊥平面ABCD ，PE EC ∴⊥，PE EC ∴==取PD 中点M ，连,ME MA MF ，，由M F ，，分别为,PD PC 的中点，所以//,MF CD又//CD BE ，所以//MF BE ,所以,,,B E M F 四点共面.因为平面PAD ⊥平面ABCD ，且平面PAD 平面,ABCD AD BE AD =⊥，BE ∴⊥平面PAD ，,EM AE ⊂平面PAD所以,BE AE BE EM ⊥⊥,则MEA ∠为F BE A --的平面角.又1,22EM AE AM ===cos 3MEA ∴∠=.所以二面角F BE A --的余弦值为 【点睛】本题考查证明线面平行和求二面角的平面角，解答本题的关键是取PD 中点M ，连,ME MA MF ，，证明出,BE AE BE EM ⊥⊥,得到MEA ∠为F BE A --的平面角，属于中档题.。
江苏省淮安市淮海中学2013-2014学年高一下学期期末学业质量调查测试 数学 Word版含答案(苏教版)
淮安市淮海中学2013－2014学年度高一年级下学期期末学业质量调查测试数 学 试 卷 命题人：肖海峰 2014.7本试卷满分共160分；考试时间120分钟。
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.请把答案填写在答题卡相应位置上. 1. 已知集合A ={4,3,1,2--}，}3,2,1{-=B ，则A B ⋂= ▲ . 2.不等式01<-xx 的解集是 ▲ . 3．若角α的终边经过点(3,2)P ，则tan α的值为 ▲ ．4.设抽测的树木的底部周长均在区间[80,130]上,株树木中,有 ▲ 株树木的底部周长小于100cm.5.右图是一个算法流程图,则输出的n 的值是 ▲ .6. 从1,2,3,6这4个数中一次随机地取2个数,则所取27．已知e 1，e 2是夹角为2π3的两个单位向量，a ＝e 1－2e 2，b ＝k e 1＋e 2.若a ·b ＝0，则实数k 的值为 ▲ .8.若不等式042≥+-ax x 对任意的)3,0(∈x 都成立,则实数a 的取值范围是 ▲ .9.记等差数列｝｛n a 的前n 项和为n S .若),N ,2(0211*+-∈≥=-+m m a a a m m m 且,5812=-m S则=m ▲ .10. 若函数()||(2)f x x x =⋅+在区间(,21)a a +上单调递减，则实数a 的取值范围是 ▲ . 11.若,54)6cos(=+πα则)62sin(πα-的值是 ▲ . 12．等比数列{}n a 的公比12q =，前5项的和为3164．令12log n n b a =，数列11{}n n b b +的前n 项和为n T ，若n T c <对*n N ∈恒成立，则实数c 的最小值为 ▲ .13.定义在R 上的函数()f x 满足：(2)()1f x f x +⋅=当[1,1)x ∈-时，2()l o g (4),f x x =-则(2014)f = ▲ . 14.已知,11121,0,0=+++>>b b a b a 则b a +的最小值是 ▲ .100 80 90 110 （第4题）二、解答题:本大题共6小题,共90分.,解答时应写出文字说明、证明 过程或演算步骤. 15.(本小题满分14分)已知函数()2sin cos f x x x x =+，x R ∈. （1）求函数()f x 的最小正周期； （2）求函数()f x 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡4,0π上的值域. 16．（本题满分14分）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且满足2cos cos cos b A c A a C =+． （1）求角A 的大小；（2）若b c +=，ABC ∆的面积S =，求a 的长．17.(本小题满分15分)如图，在△ABC 中,,1,4==AC AB ∠︒=60BAC . (1)求BC 的长和sin ACB ∠的值；(2)延长AB 到AC M ,到,N 连结.MN 若四边形BMNC 的面积为，33 求CN BM ·的最大值.18(本小题满分15分)已知函数()af x x b x=++，不等式()0xf x <的解集为(1,3). （1）求实数,a b 的值.（2）若关于x 的方程(2)20xxf k k --⋅-=有两个不相等的实数根，求实数k 的取值范围.19．（本题满分16分）如图，ABCD 是长方形海域，其中10AB =海里，AD =飞机在该海域失事，两艘海事搜救船在A 处同时出发，沿直线、AQ 向前联合搜索，且4PAQ π∠=（其中P 、Q 分别在边BC 、CD 上），搜索区域为平面四边形APCQ 围成的海平面．设PAB θ∠=，搜索区域的面积为S ．（1）试建立S 与tan θ的关系式，并指出tan θ的取值范围； （2）求S 的最大值，并指出此时θ的值．20.(本小题满分16分)QPDCBANABC(第17题图)在数列｝｛n a 中，n S 为其前n 项和.已知).N (214*∈+=n S a n n (1)求数列｝｛n a 的通项公式； (2)是否存在正整数M ,使得当M n >时,···741a a a …7823·a a n >-恒成立？若存在，求出M 的 最小值；若不存在,请说明理由；(3)是否存在等差数列｝｛n b ,使得对任意的,N *∈n 都有+++--23121···n n n a b a b a b …122··121--=++-na b a b n n n ？若存在,试求出｝｛n b 的通项公式;若不存在,请说明理由.参考答案参考答案:1.{-1,3}2.（0,1）3.244.23 5.5 6. 13 7. 548. 4a ≤ 9.15 10. 1(1,]2-- 11. 257- 12. 12 21.13 14. 2315．解: （1）由条件可得sin22sin(2)3y x x x π=+=+， (4)分所以该函数的最小正周期22T ππ==………………………………………………………6分 （2）⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈4,0πx ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈+∴65,332πππx ，……………………………………………………8分 当12π=x 时，函数y 取得最大值为2，当4π=x 时，函数y 取得最小值为1∴函数y的值域为[]2,1…………………………………………………………………………14分2)2(;3;13)1.(17==ABC S BC V19．解：（1）在Rt APB ∆中，10tan BP θ=， 11010tan 50tan 2ABP S θθ∆=⨯⨯= 在Rt ADQ ∆中，)4DQ πθ=-，1)100tan()244ADQ S ππθθ∆=⨯⨯-=-∴50tan 100tan()4S πθθ=---1tan 50tan 1001tan θθθ-=--⨯+ …5分其中0tan 10tan()42θπθ≤≤⎧⎪⎨≤-≤⎪⎩，解得：3tan 1θ-≤≤（注：观察图形的极端位置，计算出tan θ的范围也可得分．）∴1tan 50tan 1001tan S θθθ-=--⨯+，3tan 1θ-≤≤ (8)分（2）∵tan 0θ>，1tan 450(tan 2)50(tan 13)1tan tan 1S θθθθθ-=-+⨯=-++-++3)50≤--=- ……………13分当且仅当4tan 1tan 1θθ+=+时取等号，亦即tan 1θ=时，max 50S =-∵(0,)2πθ∈ 4πθ∴=答：当4πθ=时，S 有最大值50-． ……………15分..)3(;8)2(;2)1.(202n b a n n n ==-。
江苏省盐城市2012-2013学年高一下学期期末数学试题 Word版含答案(苏教版)
2012/2013学年度第二学期期终调研考试高一数学试题注意事项：1．本试卷考试时间为120分钟，试卷满分160分，考试形式闭卷． 2．本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分．3．答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上．4．第19、20题，请四星级高中学生选做（A ），三星级高中与普通高中学生选做（B ），否则不给分.一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上. 1．已知集合{}1,2,3P =，{},4Q a =，若{}1P Q =，则a = ▲ ．2．函数13sin()23y x π=-的最小正周期为 ▲ .3．在等比数列{}n a 中，若251,8a a ==，则3a = ▲ ． 460y +-=的倾斜角的大小为 ▲ ．5．在ABC ∆中，若45,60AB B C =∠=︒∠=︒，则AC = ▲ ．6．已知直线1:240l x y +-=与 2:(2)10l mx m y +--=平行，则实数m = ▲ ． 7．已知正四棱锥的底面边长是6，则该正四棱锥的侧面积为 ▲ ． 8．如图，在ABC ∆中，90A ∠=︒，3AB =，4AC =，则CA CB ⋅= ▲ ． 9．设2()log f x x =，则10(4)f = ▲ ．10．已知,m n 是两条不重合的直线，,αβ是两个不重合的平面． ①若m β⊥，m α⊂，则αβ⊥； ②若αβ⊥， n αβ=，m α⊂，则m n ⊥；③若//αβ，m α⊂，n β⊂，则//m n ； ④若//m α，m β⊂，n αβ=，则//m n ．上述命题中为真命题的是 ▲ （填写所有真命题的序号）．11．若方程ln 3x x =-的解在区间(1,)()a a a Z -∈内，则a = ▲ ．A B C第8题12．若函数()||f x x x a =+-的最小值为32a +，则实数a 的值为 ▲ ． 13．已知数列{}n a 为等差数列，若9810a a +<，则数列{}||n a 的最小项是第 ▲ 项．14．在平面直角坐标系xOy中，若曲线x =y x b =+的距离为1，则b 的取值范围是 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）在斜三棱柱111ABC A B C -中，已知侧面11ACC A ⊥底面ABC ，11AC C C =，,E F 分别是11AC 11A B 的中点．（1）求证：//EF 平面11BB C C ； （2）求证：平面ECF ⊥平面ABC . 16．（本小题满分14分）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，设(3,1)m =，(1cos ,sin )n A A =+. （1）当3A π=时，求||n 的值；（2）若1,a c ==m n ⋅取最大值时，求b .17．（本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C 经过(2,2)A -，(1,1)B 两点，且圆心在直线220x y --=上．第15题ABCE FA 1B 1C 1（1）求圆C 的标准方程；（2）设直线l 与圆C 相交于,P Q 两点，坐标原点O 到直线l 的距离为15，且POQ ∆的面积为25，求直线l 的方程.18．（本小题满分16分）根据国际公法，外国船只不得进入离我国海岸线12海里以内的区域（此为我国领海，含分界线）. 若外国船只进入我国领海，我方将向其发出警告令其退出. 如图，已知直线AB 为海岸线，,A B 是相距12海里的两个观测站，现发现一外国船只航行于点P 处，此时我方测得α=∠BAP ，β=∠ABP （0απ<<，0βπ<<）. （1）试问当120,30==βα时，我方是否应向该外国船只发出警告？ （2）若1tan 2α=，则当β在什么范围内时，我方应向该外国船只发出警告？ 19．（本小题满分16分） （A ）（四星级高中学生做）已知数列{}n a 是首项为1，公差为d 的等差数列；数列{}n b 是公比为2的等比数列，且{}n b 的前4项的和为152.ABPαβ 第18题·O xyA B ·第17题（1）求数列{}n b 的通项公式；（2）若3d =，求数列{}n a 中满足*89()i b a b i N ≤≤∈的所有项i a 的和； （3）设数列{}n c 满足n n n c a b =⋅，若5c 是数列{}n c 中的最大项，求公差d 的取值范围.（B ）（三星级高中及普通高中学生做）已知数列{}n a 是首项为1，公差为d 的等差数列；数列{}n b 是公比为2的等比数列，且{}n b 的前4项的和为152.（1）求数列{}n b 的通项公式；（2）若3d =，求数列{}n a 中满足*89()i b a b i N ≤≤∈的所有项i a 的和；（3）设数列{}n c 满足n n n c a b =⋅，数列{}n c 的前n 项和为n T ，若n T 的最大值为5T ，求公差d 的取值范围.20．（本小题满分16分） （A ）（四星级高中学生做）（1）求证：函数()22xxf x -=+在[0,)+∞上是单调递增函数；（2）求函数()22()xxf x x R -=+∈的值域；（3）设函数1421()421x x k x x g x ++++=++，若对任意的实数123,,x x x ，都有123()()()g x g x g x +≥，求实数k 的取值范围.（B ）（三星级高中及普通高中学生做）（1）求证：函数()22xxf x -=+在[0,)+∞上是单调递增函数；（2）求函数()22()xxf x x R -=+∈的值域；（3）设函数()44(22)()xxx x h x a a R --=+++∈，求()h x 的最小值()a ϕ.2012/2013学年度第二学期期终调研考试高一数学参考答案一、填空题：每小题5分，共计70分.1．1 2．4π 3．2 4．120°(23π) 5 6．237．488．16 9．20 10．①④ 11．3 12． －1 13．814．(2]二、解答题：本大题共6小题,共计90分.15．证明:（1）在111ABC ∆中，因为,E F 分别是11AC ,11A B 的中点，所以11//EF B C ， ……4分又EF ⊄面11BB C C，11B C ⊂面11BB C C ，所以//EF 平面11BB C C . …………7分（2）因为11AC C C =，且E 是11AC 的中点，所以EC ⊥11AC ，故EC ⊥AC ， 又侧面11ACC A ⊥底面ABC ，且EC ⊂侧面11ACC A ，所以EC ⊥底面ABC . …………11分又EC ⊂面ECF ，所以面ECF ⊥面ABC . …………14分16．解: （1）当3A π=时，33(,2n =，…………3分所以23||()n =+= …………6分（2）因为3(1cos )sin 2sin()3m n A A A π⋅=++=++，所以当m n ⋅取最大值时，6A π=. …………10分又1,a c ==22132cos 336b b b b π=+-=+-，解之得2b =或1b =. …………14分17．解:（1）因为(2,2)A -，(1,1)B ，所以3AB k =-，AB 的中点为31(,)22-，故线段AB 的垂直平分线的方程为113()232y x +=-，即330x y --=，由330220x y x y --=⎧⎨--=⎩，解得圆心坐标为(0-. …………4分所以半径r 满足221(11)5r =+--=. …………6分故圆C 的标准方程为22(1)5x y ++=. …………7分（2）因为112255OPQ S PQ ∆=⨯⨯=，所以4PQ =.①当直线l 与x 轴垂直时，由坐标原点O 到直线l 的距离为15知，直线l 的方程为15x = 或15x =-，经验证，此时4PQ ≠，不适合题意； …………9分②当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为y kx b =+， 由坐标原点到直线l的距离为115d ==，得22125k b += （*）， …………11分又圆心到直线l的距离为2d =，所以4PQ ==，即22(1)1b k +=+（**）， …………13分由（*），（**）解得3414k b ⎧=±⎪⎪⎨⎪=⎪⎩.综上所述，直线l的方程为3410x y +-=或3410x y -+=. …………14分18．解：（1）如图：过P 作PH 垂直AB 于H ，因为 120,30==βα，所以30=∠APB ，所以AB=PB=12， …………4分 所以PH=AB 123660sin <= ，所以应向该外国船只发出警告. (7)分（2）在ABP ∆中，由正弦定理得：()αβαπsin sin PBAB =--，所以()βαπα--=sin sin 12PB ，所以()()()βαβαβαπβαβπ+=--=-⋅=s s s 12sin sin sin 12sin PB PH ， …………10分令12≤PH ，得()12sin sin sin 12≤+βαβα，即()βαβα+≤sin sin sin ， 所以s αβ≤+， …………12分又因为1tan 2α=，所以α为锐角，且sin αα==，所以25c o s5βββ≤，即s i ββ≥-， …………14分故sin cos 0ββ+≥)04πβ+≥，解得304πβ<≤， ABPαβ H所以当304πβ<≤时，我方应向该外国船只发出警告. …………16分 19．（A ）（四星级高中学生做）解:（1）因为{}n b 是公比为2的等比数列，且其前4项的和为152，所以115(1248)2b +++=，解得112b =， …………2分 所以121222n n n b --=⨯=. …………4分（2）因为数列{}n a 是首项为1，公差3d =的等差数列，所以32n a n =-，由89i b a b ≤≤，得672322i ≤-≤，解得2243i ≤≤， …………6分所以满足89i b a b ≤≤的所有项i a 为222343,,,a a a ⋅⋅⋅，这是首项为2264a =，公差为3的等差数列， 共43－22+1=22项，故其和为22216422321012⨯⨯+⨯=. …………9分 （3）由题意，得2[1(1)]2n n n n c a b n d -=⋅=+-⨯， 因为5c 是{}n c 的最大项，所以首先有54c c ≥且56c c ≥， 即32(14)2(13)2d d +⨯≥+⨯且34(14)2(15)2d d +⨯≥+⨯， 解得1156d -≤≤-. …………12分 ① 当4n ≥时，在1156d -≤≤-的条件下，35[14]20c d =+⨯>，但7n ≥时，2[1(1)]20n n c n d -=+-⨯≤，所以此时5c 是最大的； …………14分②当3n ≤时，由152535,,c c c c c c ≤⎧⎪≤⎨⎪≤⎩，得18(14),218(14),2(12)8(14)d d d d d ⎧≤+⎪⎪+≤+⎨⎪+≤+⎪⎩，解得1564731314d d d ⎧≥-⎪⎪⎪≥-⎨⎪⎪≥-⎪⎩.综合①②，所求的公差d 的取值范围是1156d -≤≤-. …………16分（B ）（三星级高中及普通高中学生做） 解：（1）（2）同（A ）（3）因为120n n b -=>，若0d ≥，则0n a >，所以0n n n c a b =⋅>，此时n T 无最大项， 所以0d <， …………12分 此时{}n a 单调递减，欲n T 的最大项为5T ，则必有560,0c c ≥≤，即560,0a a ≥≤，…………14分又1(1)n a n d =+-，所以140,150d d +≥⎧⎨+≤⎩，解得1145d -≤≤-. …………16分20．（A ）（四星级高中学生做）解：（1）证明：设12,[0,)x x ∈+∞，且12x x <，因为112212121211()()(22)(22)(22)()22xx x x x x x x f x f x ---=+-+=-+- 21121212121222(22)(21)(22)22x x x x x x x x x x x x +++---=-+=， …………3分因为12121220,220,210x x x x x x ++>-<->，所以12()()0f x f x -<，所以()2x x f x -=+在[0,)+∞上是单调递增函数. …………5分（2）由（1）知，当[0,)x ∈+∞时，()[(0),)f x f ∈+∞，即()[2,)f x ∈+∞， …………7分又因为()22()x x f x f x --=+=，所以()f x 是偶函数， 所以当x R∈时，()f x 的值域为[2+∞. …………9分（3）因为对任意的实数123,,x x x ，都有123()()()g x g x g x +≥，所以min max [2()][()]g x g x ≥，…………11分由于1421()421x x k x x g x ++++=++222222x x k x x--++=++，令22x xt -+=， 则222()()1(2)22k k t g x r t t t t +-===+++≥， ①当1k =时，()1r t =，适合题意； …………12分②当1k <时，22()14k r t +<≤，由22214k +⨯≥，得1k <； …………14分③当1k >时，221()4k r t +<≤，由22214k +⨯≥，得21log 6k <≤．综上，实数k 的取值范围为2(,log 6]-∞． …………16分 （B ）（三星级高中及普通高中学生做） 解：（1）（2）同（A ）；（3）因为2()(22)(22)2x x x x h x a --=+++-，令22x xt -+=，则2()()2,[2,)h x m t t at t ==+-∈+∞， (11)分因为函数()m t 的对称轴方程为2at =-，所以 ①当22a -≥，即4a ≤-时，2()()224a a a m ϕ=-=--， …………13分 ②当22a-<，即4a >-时，()(2)22a m a ϕ==+， …………15分综上所述，22,4()422,4a a a a a ϕ⎧--≤-⎪=⎨⎪+>-⎩. …………16分。
2021学年江苏高一下学期苏教版高中数学期末考试【含解析】
2021学年江苏高一下学期苏教版高中数学期末考试【含解析】姓名：__________ 班级：__________学号：__________题号一二三四五六总分评分一、选择题（共12题）1、已知点M（1，6）， N（7，3），则直线MN的斜率为22、的值为3、圆的圆心坐标为4、下列命题错误的是A．不在同一直线上的三点确定一个平面B．两两相交且不共点的三条直线确定一个平面C．如果两个平面垂直，那么其中一个平面内的直线一定垂直于另一个平面D．如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线一定平行于另一个平面5、下列叙述正确的是A．频率是稳定的，概率是随机的B．互斥事件一定不是对立事件，但是对立事件一定是互斥事件C． 5张奖券中有1张有奖，甲先抽，乙后抽，那么乙比甲抽到有奖奖券的可能性小D．若事件A发生的概率为P（A），则6、在△ABC中，已知∠B＝60°，边AB＝4，且△ABC的面积为2，则边AC的长为7、某同学5次考试的数学成绩x与物理成绩y的统计数据如下表，已知该同学的物理成绩）与数学成绩x是线性相关的，根据数据可得回归方程的b的值为0．5，则当该生的物理成绩y达到90分时，可以估计他的数学成绩为А． 140B． 142C． 145D． 1488、阿基米德（Archimedes，公元前287年一公元前212年）是古希腊伟大的数学家、物理学家和天文学家．他推导出的结论“圆柱内切球体的体积是圆柱体积的三分之二，并且球的表面积也是圆柱表面积的三分之二”是其毕生最满意的数学发现，后人按照他生前的要求，在他的墓碑上刻着一个圆柱容器里放了一个球，如图，该球顶天立地，四周碰边，圆柱的底面直径与高都等于球的直径，若球的体积为36π，则圆柱的表面积为A．36πB．45πC．54πD．63π9、已知直线，则下列说法正确的是A．若，则m＝－1或m＝3B．若，则m＝3C．若，则D．若，则10、已知△ABC的内角A， B， C所对的边分别为a， b， c，则下列说法正确的是A．若sinB＞sinC，则B＞CB．若a＝4， b＝2， A＝，则三角形有两解C．若bcosB－ccosC＝0，则△ABC一定为等腰直角三角形D．若bcosC－ccosB—0，则△ABC一定为等腰三角形11、PM2．5是衡量空气质量的重要指标，下图是某地7月1日到10日的PM2．5日均值（单位： ug/m3）的折线图，则下列关于这10天中PM2．5日均值的说法正确的是A．众数为30B．中位数是31C．平均数小于中位数D．后4天的方差小于前4天的方差12、如图，在棱长为1的正方体中，下列结论正确的是A．异面直线AC与BC1所成的角为60°B．直线AB1与平面ABC1D1所成角为45°C．二面角的正切值为D．四面体的外接球的体积为二、填空题（共4题）1、已知tanα＝2，tanβ＝－1，则tan（α－β）的值为________2、过圆上一点P（1，－2）的圆的切线的一般式方程为________3、在我国，每年的农历五月初五是端午节，民间有吃粽子的习惯，粽子又称粽粒，俗称“粽子”，古称“角黍”，传说这是为了纪念战国时期楚国大臣、爱国主义诗人屈原．如图，平行四边形形状的纸片是由六个边长为2的正三角形构成的，将它沿虚线折起来，可以得到如图所示粽子形状的六面体，则该六面体的体积为________4、如图，某数学学习兴趣小组的同学要测量学校地面上旗杆CD的高度（旗杆CD垂直于地面），设计如下的测量方案：先在地面选定距离为30米的A， B两点，然后在A处测得，在B处测得，由此可得旗杆CD的高度为________米三、解答题（共6题）1、已知 A（3， 2）和．（1）求过点A且与直线l平行的直线方程；（2）求点A关于直线l的对称点B的坐标．2、已知(1)求cosα的值；（2）求sin2α的值．3、已知△ABC的内角A， B， C所对的边分别为a， b， c， A＝，________且b＝，请从这三个条件中任选一个补充在横线上，求出此时△ABC的面积．4、手机支付也称为移动支付（Mobile Payment），是当今社会比较流行的一种付款方式．某金融机构为了了解移动支付在大众中的熟知度，对15—65岁的人群作了问题为“你会使用移动支付吗？”的随机抽样调查，把回答“会”的100个人按照年龄分成5组，绘制成如图所示的频率分布表和频率分布直方图．(1)求x，a的值；（2）若从第1， 3组中用分层抽样的方法抽取5人，求两组中分别抽取的人数；（3）在（2）抽取的5人中再随机抽取2人，求所抽取的2人来自同一个组的概率5、如图，在P—ABC中，PA⊥面ABC， PA＝2， CA＝CB＝AB＝2， D为棱AB的中点，点E在棱PA上．(1)若AE＝EP，求证：PB∥平面CDE；(2)求证：平面PAB⊥平面CDE；（3）若二面角B—CD—E的大小为120°，求异面直线PC与DE所成角的余弦值．6、如图，在平面直角坐标系xOy中，已知圆M：，过点O及点A(－2，0)的圆N与圆M外切．（1）求圆N的标准方程；（2）若过点A的直线l被两圆截得的弦长相等，求直线l的方程；（3）直线MN上是否存在点B，使得过点B分别作圆M与圆N的切线，切点分别为P， Q (不重合)，满足BQ＝2BP?若存在，求出点B的坐标，若不存在，请说明理由．============参考答案============一、选择题1、 B2、 D3、 B4、 C5、 D6、 C7、 A8、 C9、 BD10、 ABD11、 AD12、 ACD二、填空题1、2、3、4、；三、解答题1、（1）设所求直线的方程为，将点代入，得，故所求直线的方程为．……………………………………………4分（2）设，则由及线段的中点在直线上可得，…………………………………………………………8分解得，，所以点的坐标为．……………………………………………………10分2、（1）因为，所以，所以，由，所以，所以．………………………………………6分（2）．………………………………………12分3、情形一：若选择①，由余弦定理，……………………………………2分情形二：若选择②，则，因为，所以，……………………………………………………2分因为，所以；………………………………………………………4分情形三：若选择③，则，所以，………………………………………………………………2分因为，所以，所以，所以；………4分由正弦定理，得，……………………6分因为，，所以，………………………………8分所以，……10分所以．…………………12分4、（1）由题意可知，，…………………………………………2分所以，（2）第1，3组共有50人，所以抽取的比例是，则从第1组抽取的人数为，……………………………………………6分从第3组抽取的人数为．……………………………………………8分（3）设第1组抽取的2人为，，第3组抽取的3人为，，，则从这5人中随机抽取2人有如下种情形：，，，，，，，，，共有10个基本事件．………………………………………………………10分其中符合“抽取的2人来自同一个组”的基本事件有，，，共4个基本事件，所以抽取的2人来自同一个组的概率．………………………………12分5、（1）由知，为棱的中点，又因为为棱的中点，所以在中，，因为平面，平面，所以平面．………………………………………………………………2分（2）因为底面，平面，所以，在中，，为的中点，所以，又因为，平面，平面，所以平面．………………………………………………………5分又因为平面，所以平面平面．…………………………6分（3）由题意知，二面角的大小为，由（2）的证明可知，平面，又因为平面，所以，又，所以即为二面角的平面角，………………8分所以，因为底面，平面，所以，在中，，，所以．因为，所以为棱的中点，故，于是即为异面直线与所成的角．………………………………10分易知，，在中，由余弦定理知，，所以异面直线与所成角的余弦值为．………………………………12分6、（1）由题意知，圆的圆心在直线上，设，半径为，因为圆与圆外切，且圆的圆心，半径为，所以，………………………………1分即①又，即②………………………………2分由①得，，代入②得，，解得或（舍），所以，故所求圆的标准方程为．………………………………4分（2）当的斜率不存在时，不符合题意．当的斜率存在时，设为，故的方程为，因为被两圆截得的弦长相等，所以，……………………………………………6分即，解得或，故直线的方程为或．…………………………………8分（3）设，由可知，，即，所以，即，整理得①，…………………………………………10分又直线的方程为②，…………………………………………11分由①②联立解得，，或，，由，两点不重合，故，不合题意，舍去，故存在点符合题意．………………………………………………………12分。
苏教版高一下学期数学期末试卷(含答案解析)
启东市高一下学期数学期末试卷一、填空题（每题5分，共70分）1．若直线l的斜率为﹣1，则直线l的倾斜角为．2．一元二次不等式﹣2x2﹣x+6≥0的解集为．3．一个三角形的两个内角分别为30°和45°，如果45°角所对的边长为8，那么30°角所对的边长是．4．给出下列条件：①l∥α；②l与α至少有一个公共点；③l与α至多有一个公共点．能确定直线l在平面α外的条件的序号为．5．已知直线l过点P（2，3），且与两条坐标轴在第一象限所围成的三角形的面积为12，则直线l的方程为．6．在等比数列{a n}中，已知公比q=，S5=﹣，则a1= ．7．在△ABC中，已知a=6，b=5，c=4，则△ABC的面积为．8．已知正四棱锥的底面边长是2，侧面积为12，则该正四棱锥的体积为．9．已知点P（x，y）在不等式组所表示的平面区域内运动，则的取值范围为．10．在平面直角坐标系xOy中，直线l：（2k﹣1）x+ky+1=0，则当实数k变化时，原点O到直线l的距离的最大值为．11．已知正三角形ABC的边长为2，AM是边BC上的高，沿AM将△ABM折起，使得二面角B ﹣AM﹣C的大小为90°，此时点M到平面ABC的距离为．12．已知正实数m，n满足+=1，则3m+2n的最小值为．13．已知直线l：2x﹣y﹣2=0和直线l：x+2y﹣1=0关于直线l对称，则直线l的斜率为．14．正项数列{a n}的前n项和为S n，满足a n=2﹣1．若对任意的正整数p、q（p≠q），不等式S P+S q＞kS p+q恒成立，则实数k的取值范围为．二、解答题15．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bcosA=asinB．（1）求角A的大小；（2）若a=1，求△ABC面积的最大值．16．如图所示，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，点D在边BC上，AD⊥C1D．（1）求证：平面ADC1⊥平面BCC1B1；（2）如果点E是B1C1的中点，求证：AE∥平面ADC1．三、解答题17．已知数列{a n}满足a n+1=λa n+2n（n∈N*，λ∈R），且a1=2．（1）若λ=1，求数列{a n}的通项公式；（2）若λ=2，证明数列{}是等差数列，并求数列{a n}的前n项和S n．18．已知三条直线l1：ax﹣y+a=0，l2：x+ay﹣a（a+1）=0，l3：（a+1）x﹣y+a+1=0，a＞0．（1）证明：这三条直线共有三个不同的交点；（2）求这三条直线围成的三角形的面积的最大值．19．如图是市儿童乐园里一块平行四边形草地ABCD，乐园管理处准备过线段AB上一点E设计一条直线EF（点F在边BC或CD上，不计路的宽度），将该草地分为面积之比为2：1的左、右两部分，分别种植不同的花卉．经测量得AB=18m，BC=10m，∠ABC=120°．设EB=x，EF=y（单位：m）．（1）当点F与C重合时，试确定点E的位置；（2）求y关于x的函数关系式；（3）请确定点E、F的位置，使直路EF长度最短．20．已知数列{a n}满足对任意的n∈N*，都有a13+a23+…+a n3=（a1+a2+…+a n）2且a n＞0．（1）求a1，a2的值；（2）求数列{a n}的通项公式；（3）若b n=，记S n=，如果S n＜对任意的n∈N*恒成立，求正整数m的最小值．参考答案一、填空题（每题5分，共70分）1．若直线l的斜率为﹣1，则直线l的倾斜角为．【考点】I2：直线的倾斜角．【分析】设直线l的倾斜角为θ，θ∈[θ，π）．可得tanθ=﹣1，解得θ．【解答】解：设直线l的倾斜角为θ，θ∈[θ，π）．∴tanθ=﹣1，解得θ=．故答案为：．2．一元二次不等式﹣2x2﹣x+6≥0的解集为[﹣2，] ．【考点】74：一元二次不等式的解法．【分析】把不等式化为（2x﹣3）（x+2）≤0，求出解集即可．【解答】解：不等式﹣2x2﹣x+6≥0化为2x2+x﹣6≤0，即（2x﹣3）（x+2）≤0，解得﹣2≤x≤，所以不等式的解集为[﹣2，]．故答案为：[﹣2，]．3．一个三角形的两个内角分别为30°和45°，如果45°角所对的边长为8，那么30°角所对的边长是4．【考点】HP：正弦定理．【分析】设30°角所对的边长是x，由正弦定理可得，解方程求得x的值．【解答】解：设30°角所对的边长是x，由正弦定理可得，解得 x=，故答案为．4．给出下列条件：①l∥α；②l与α至少有一个公共点；③l与α至多有一个公共点．能确定直线l在平面α外的条件的序号为①③．【考点】LP：空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】根据直线与平面的位置关系的定义判定即可．【解答】解：直线l在平面α外包含两种情况：平行，相交．对于①，l∥α，能确定直线l在平面α外，对于②，l与α至少有一个公共点，直线可能与平面相交，故不能确定直线l在平面α外，对于③，l与α至多有一个公共点，直线可能与平面相交或平行，故能确定直线l在平面α外，故答案为：①③5．已知直线l过点P（2，3），且与两条坐标轴在第一象限所围成的三角形的面积为12，则直线l的方程为3x+2y﹣12=0 ．【考点】IB：直线的点斜式方程．【分析】写出直线的截距式方程，根据要求条件参数的值，得到本题结论．【解答】解：设l在x轴、y轴上的截距分别为a，b（a＞0，b＞0），则直线l的方程为+=1∵P（2，3）在直线l上，∴+=1．又由l与两条坐标轴在第一象限所围成的三角形面积为12，可得ab=24，∴a=4，b=6，∴直线l的方程为+=1，即3x+2y﹣12=0，故答案为：3x+2y﹣12=0．6．在等比数列{a n}中，已知公比q=，S5=﹣，则a1= ﹣4 ．【考点】89：等比数列的前n项和．【分析】利用等比数列的前n项和公式直接求解．【解答】解：∵在等比数列{a n}中，公比q=，S5=﹣，∴==﹣，a1=﹣4．故答案为：﹣4．7．在△ABC中，已知a=6，b=5，c=4，则△ABC的面积为．【考点】HR：余弦定理；%H：三角形的面积公式．【分析】由余弦定理算出cosA，结合同角三角函数的平方关系得sinA，最后由正弦定理的面积公式，可得△ABC的面积．【解答】解：∵△ABC中，a=6，b=5，c=4，∴由余弦定理，得cosA==，∵A∈（0，π），∴sinA==，由正弦定理的面积公式，得：△ABC的面积为S=bcsinA=×5×4×=，故答案为：．8．已知正四棱锥的底面边长是2，侧面积为12，则该正四棱锥的体积为．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】由题意画出图形，求出正四棱锥的斜高，进一步求出高，代入棱锥体积公式得答案．【解答】解：如图，∵P﹣ABCD为正四棱锥，且底面边长为2，过P作PG⊥BC于G，作PO⊥底面ABCD，垂足为O，连接OG．由侧面积为12，即4×，即PG=3．在Rt△POG中，PO=∴正四棱锥的体积为V=故答案为：9．已知点P（x，y）在不等式组所表示的平面区域内运动，则的取值范围为（1，）．【考点】7C：简单线性规划．【分析】作出题中不等式组表示的平面区域，得如图的阴影部分．则z=，表示直线的斜率，再将点P移动，观察倾斜角的变化即可得到k的最大、最小值，从而得到的取值范围．【解答】解：设直线3x﹣2y+4=0与直线2x﹣y﹣2=0交于点A，可得A（8，14），不等式组表示的平面区域如图：则的几何意义是可行域内的P（x，y）与坐标原点连线的斜率，由可行域可得k的最大值为：k OA=，k的最小值k=1．因此，的取值范围为（1，）故答案为：（1，）．10．在平面直角坐标系xOy中，直线l：（2k﹣1）x+ky+1=0，则当实数k变化时，原点O到直线l的距离的最大值为．【考点】IT：点到直线的距离公式．【分析】由于直线l：（2k﹣1）x+ky+1=0经过定点P（1，﹣2），即可求出原点O到直线l 的距离的最大值．【解答】解：直线l：（2k﹣1）x+ky+1=0化为（1﹣x）+k（2x+y）=0，联立，解得，经过定点P（1，﹣2），由于直线l：（2k﹣1）x+ky+1=0经过定点P（1，﹣2），∴原点O到直线l的距离的最大值为．故答案为：．11．已知正三角形ABC的边长为2，AM是边BC上的高，沿AM将△ABM折起，使得二面角B ﹣AM﹣C的大小为90°，此时点M到平面ABC的距离为．【考点】MK：点、线、面间的距离计算．【分析】以M为原点，MB，MC，MA为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出点M到平面ABC的距离．【解答】解：∵正三角形ABC的边长为2，AM是边BC上的高，沿AM将△ABM折起，使得二面角B﹣AM﹣C的大小为90°，∴MA、MB、MC三条直线两两垂直，AM=，BM=CM=1，以M为原点，MB，MC，MA为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，则M（0，0，0），B（1，0，0），C（0，1，0），A（0，0，），=（﹣1，0，0），=（﹣1，0，），=（﹣1，1，0），设平面ABC的法向量=（x，y，z），则，取x=，得=（，，1），∴点M到平面ABC的距离为：d===．故答案为：．12．已知正实数m，n满足+=1，则3m+2n的最小值为3+．【考点】7F：基本不等式．【分析】根据题意，分析可得3m+2n=（m+n）+（m﹣n），又由+=1，则有3m+2n=[（m+n）+（m﹣n）]×[+]=3++，利用基本不等式分析可得答案．【解答】解：根据题意，3m+2n=（m+n）+（m﹣n），又由m，n满足+=1，则有3m+2n=[（m+n）+（m﹣n）]×[+]=3++≥3+2=3+，当且仅当=时，等号成立，即3m+2n的最小值为3+，故答案为：3+．13．已知直线l：2x﹣y﹣2=0和直线l：x+2y﹣1=0关于直线l对称，则直线l的斜率为或﹣3 ．【考点】IQ：与直线关于点、直线对称的直线方程．【分析】设P（a，b）是直线l上任意一点，则点P到直线l：2x﹣y﹣2=0和直线l：x+2y﹣1=0的距离相等．，整理得a﹣3b﹣1=0或3a+b﹣3=0，即可求解．【解答】解：设P（a，b）是直线l上任意一点，则点P到直线l：2x﹣y﹣2=0和直线l：x+2y﹣1=0的距离相等．整理得a﹣3b﹣1=0或3a+b﹣3=0，∴直线l的斜率为或﹣3．故答案为：或﹣314．正项数列{a n}的前n项和为S n，满足a n=2﹣1．若对任意的正整数p、q（p≠q），不等式S P+S q＞kS p+q恒成立，则实数k的取值范围为．【考点】8H：数列递推式．【分析】a n=2﹣1，可得S n=，n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1，利用已知可得：a n﹣a n﹣=2．利用等差数列的求和公式可得S n，再利用基本不等式的性质即可得出．1【解答】解：∵a n=2﹣1，∴S n=，∴n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=﹣，化为：（a n+a n﹣1）（a n﹣a n﹣1﹣2）=0，∵∀n∈N*，a n＞0，∴a n﹣a n﹣1=2．n=1时，a1=S1=，解得a1=1．∴数列{a n}是等差数列，首项为1，公差为2．∴S n=n+=n2．∴不等式S P+S q＞kS p+q化为：k＜，∵＞，对任意的正整数p、q（p≠q），不等式S P+S q＞kS p+q恒成立，∴．则实数k的取值范围为．故答案为：．二、解答题15．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bcosA=asinB．（1）求角A的大小；（2）若a=1，求△ABC面积的最大值．【考点】HP：正弦定理．【分析】（1）根据正弦定理化简可得sinAsinB=sinBcosA，结合sinB≠0，可求tanA，由范围0＜A＜π，可求A的值．（2）由已知利用余弦定理，基本不等式可求bc≤2，进而利用三角形面积公式即可计算得解．【解答】解：（1）在△ABC中，∵ asinB=bcosA．由正弦定理，得： sinAsinB=sinBcosA，∵0＜B＜π，sinB≠0．∴sinA=cosA，即tanA=．∵0＜A＜π，∴A=．（2）∵由a=1，A=，∴由余弦定理，1=b2+c2﹣bc≥2bc﹣bc，得：bc≤2，当且仅当b=c等号成立，∴△ABC的面积S=bcsinA≤（2+）×=，即△ABC面积的最大值为．16．如图所示，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，点D在边BC上，AD⊥C1D．（1）求证：平面ADC1⊥平面BCC1B1；（2）如果点E是B1C1的中点，求证：AE∥平面ADC1．【考点】LY：平面与平面垂直的判定；LS：直线与平面平行的判定．【分析】（1）推导出AD⊥C1D，从而CC1⊥平面ABC，进而AD⊥CC1，由此能证明AD⊥平面BCC1B1．即平面ADC1⊥平面BCC1B1（2）由AD⊥BC，得D是BC中点，连结ED，得四边形AA1DE是平行四边形，由此能证明A1E ∥平面ADC1．【解答】证明：（1）∵在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，点D在边BC上，AD⊥C1D，∴CC1⊥平面ABC，又AD⊂平面ABC，∴AD⊥CC1，又C1D∩CC1=C1，∴AD⊥平面BCC1B1．AD⊂面ADC1，∴平面ADC1⊥平面BCC1B1（2）∵AD⊥平面BCC1B1，∴AD⊥BC，∵在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=BC=AC，∴D是BC中点，连结ED，∵点E是C1B1的中点，∴AA1∥DE且AA1=DE，∴四边形AA1DE是平行四边形，∴A1E∥AD，又A1E⊄面ADC1，AD⊂平面ADC1．∴A1E∥平面ADC1．三、解答题17．已知数列{a n}满足a n+1=λa n+2n（n∈N*，λ∈R），且a1=2．（1）若λ=1，求数列{a n}的通项公式；（2）若λ=2，证明数列{}是等差数列，并求数列{a n}的前n项和S n．【考点】8H：数列递推式；8E：数列的求和．【分析】（1）当λ=1时，，由此利用累加法能求出数列{a n}的通项公式．（2）当λ=2时， =，再由，能证明数列{}是首项为1，公差为的等差数列，从而a n=（）•2n=（n+1）•2n﹣1，由此利用错位相减法能出数列{a n}的前n项和．【解答】解：（1）当λ=1时，a n+1=a n+2n（n∈N*），且a1=2．∴，∴a n=a1+a2﹣a1+a3﹣a2+…+a n﹣a n﹣1=2+2+22+…+2n﹣1=2+=2n．证明：（2）当λ=2时，a n+1=2a n+2n（n∈N*），且a1=2．∴，即=，∵，∴数列{}是首项为1，公差为的等差数列，∴=，∴a n=（）•2n=（n+1）•2n﹣1，∴数列{a n}的前n项和：S n=2•20+3•2+4•22+…+（n+1）•2n﹣1，①2S n=2•2+3•22+4•23+…+（n+1）•2n，②②﹣①，得：S n=（n+1）•2n﹣2﹣（2+22+23+…+2n﹣1）=（n+1）•2n﹣2﹣=（n+1）•2n﹣2﹣2n+2=n•2n．18．已知三条直线l1：ax﹣y+a=0，l2：x+ay﹣a（a+1）=0，l3：（a+1）x﹣y+a+1=0，a＞0．（1）证明：这三条直线共有三个不同的交点；（2）求这三条直线围成的三角形的面积的最大值．【考点】IM：两条直线的交点坐标．【分析】（1）分别求出直线l1与l3的交点A、l1与l2的交点B和l2与l3的交点C，且判断三点的坐标各不相同即可；（2）根据题意画出图形，由AB⊥BC知点B在以AC为直径的半圆上，除A、C点外；由此求出△ABC的面积最大值．【解答】解：（1）证明：直线l1：ax﹣y+a=0恒过定点A（﹣1，0），直线l3：（a+1）x﹣y+a+1=0恒过定点A（﹣1，0），∴直线l1与l3交于点A；又直线l2：x+ay﹣a（a+1）=0不过定点A，且l1与l2垂直，必相交，设交点为B，则B（，）；l2与l3相交，交点为C（0，a+1）；∵a＞0，∴三点A、B、C的坐标不相同，即这三条直线共有三个不同的交点；（2）根据题意，画出图形如图所示；AB⊥BC，∴点B在以AC为直径的半圆上，除A、C点外；则△ABC的面积最大值为S=•|AC|•|AC|=×（1+（a+1）2）=a2+a+．19．如图是市儿童乐园里一块平行四边形草地ABCD，乐园管理处准备过线段AB上一点E设计一条直线EF（点F在边BC或CD上，不计路的宽度），将该草地分为面积之比为2：1的左、右两部分，分别种植不同的花卉．经测量得AB=18m，BC=10m，∠ABC=120°．设EB=x，EF=y（单位：m）．（1）当点F与C重合时，试确定点E的位置；（2）求y关于x的函数关系式；（3）请确定点E、F的位置，使直路EF长度最短．【考点】5C：根据实际问题选择函数类型．【分析】（1）根据面积公式列方程求出BE；（2）对F的位置进行讨论，利用余弦定理求出y关于x的解析式；（3）分两种情况求出y的最小值，从而得出y的最小值，得出E，F的位置．【解答】解：（1）∵S△BCE=，S ABCD=2×，∴==，∴BE=AB=12．即E为AB靠近A的三点分点．（2）S ABCD=18×10×sin120°=90，当0≤x＜12时，F在CD上，∴S EBCF=（x+CF）BCsin60°=90，解得CF=12﹣x，∴y==2，当12≤x≤18时，F在BC上，∴S△BEF==，解得BF=，∴y==，综上，y=．（3）当0≤x＜12时，y=2=2≥5，当12≤x≤18时，y=＞＞5，∴当x=，CF=时，直线EF最短，最短距离为5．20．已知数列{a n}满足对任意的n∈N*，都有a13+a23+…+a n3=（a1+a2+…+a n）2且a n＞0．（1）求a1，a2的值；（2）求数列{a n}的通项公式；（3）若b n=，记S n=，如果S n＜对任意的n∈N*恒成立，求正整数m的最小值．【考点】8E：数列的求和．【分析】（1）由题设条件知a1=1．当n=2时，有a13+a23=（a1+a2）2，由此可知a2=2．（2）由题意知，a n+13=（a1+a2++a n+a n+1）2﹣（a1+a2++a n）2，由于a n＞0，所以a n+12=2（a1+a2++a n）+a n+1．同样有a n2=2（a1+a2++a n﹣1）+a n（n≥2），由此得a n+12﹣a n2=a n+1+a n．所以a n+1﹣a n=1．所以数列{a n}是首项为1，公差为1的等差数列，由通项公式即可得到所求．（3）求得b n===2[﹣]，运用数列的求和方法：裂项相消求和，可得S n，结合不等式的性质，恒成立思想可得m≥，进而得到所求最小值．【解答】解：（1）当n=1时，有a13=a12，由于a n＞0，所以a1=1．当n=2时，有a13+a23=（a1+a2）2，将a1=1代入上式，可得a22﹣a2﹣2=0，由于a n＞0，所以a2=2．（2）由于a13+a23+…+a n3=（a1+a2+…+a n）2，①则有a13+a23+…+a n3+a n+13=（a1+a2+…+a n+a n+1）2．②②﹣①，得a n+13=（a1+a2+…+a n+a n+1）2﹣（a1+a2+…+a n）2，由于a n＞0，所以a n+12=2（a1+a2+…+a n）+a n+1．③同样有a n2=2（a1+a2+…+a n﹣1）+a n（n≥2），④③﹣④，得a n+12﹣a n2=a n+1+a n．所以a n+1﹣a n=1．由于a2﹣a1=1，即当n≥1时都有a n+1﹣a n=1，所以数列{a n}是首项为1，公差为1的等差数列．故a n=n．（3）b n===2[﹣]，则S n=2[﹣+﹣+﹣+﹣+…+﹣+﹣]=2[+﹣﹣]＜2×=，S n＜对任意的n∈N*恒成立，可得≥，即有m≥，可得正整数m的最小值为4．2017年7月28日。
高一数学苏教版试卷
高一数学苏教版试卷考试范围：xxx；考试时间：xxx分钟；出题人：xxx姓名：___________班级：___________考号：___________1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上一、选择题1.某同学证明+＜+的过程如下：∵﹣＞﹣＞0，∴＜，∴＜，∴+＜+，则该学生采用的证明方法是（）A．综合法 B．比较法 C．反证法 D．分析法2.已知直线过点A（2，-1）和B（3，2），直线的倾斜角是直线倾斜角的2倍，则直线的斜率是（）A．-6 B． C． D．3.在中，内角所对的边分别是，已知，，则( )A． B． C． D．4.从一批产品中取出三件产品，设A=“三件产品全不是次品”，B=“三件产品全是次品”，C=“三件产品至少有一件是次品”，则下列结论正确的是（）A．A与C互斥 B．任何两个均互斥 C．B与C互斥 D．任何两个均不互斥5.已知集合A＝{x∈N*|－≤x≤}，则必有()A．－1∈AB．0∈AC．∈AD．1∈A6.化简的结果为（）A．a16 B．a8 C．a4 D．a27.用数学归纳法证明“1+++…+＜n（n∈N*，n＞1）”时，由n=k（k＞1）不等式成立，推证n=k+1时，左边应增加的项数是（）A．2k﹣1 B．2k﹣1 C．2k D．2k+18.若x是三角形的最小内角，则函数y=sinx+cosx﹣sinxcosx的最小值是（）A． B． C．1 D．9.要得到函数的图象，只要将函数的图象（）A．向左平行移动个单位B．向左平行移动个单位C．向右平行移动个单位D．向右平行移动个单位10.（2011•湖南模拟）选做题：用分数法优选最佳点时，若可能的试点数为20，则第一、二试点分别安排的分点处为（）A．， B．， C．， D．，11.已知映射f：A→B，其中A＝B＝R，对应为f：x→y＝x2-2x＋2，若对实数k∈B，在集合中没有元素对应，则k的取值范围是（）A．（-∞，1]B．（-∞，1）C．（1，＋∞）D．[1，＋∞）12.已知，且，则的值是（）A． B． C． D．13.已知一组数，按这组数的规律，应为A． B． C． D．14.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为（）A． B． C． D．15.已知两地相距千米，某人开汽车以千米/小时的速度从地到达地，在地停留小时后再以千米/小时的速度返回地，把汽车离开地的距离表示为时间（小时）的函数表达式（）A．B．C．D．16.已知集合，，在集合中任取一个元素，则该元素是集合中的元素的概率为（）A． B． C． D．17.已知是偶函数，对任意的,都有，则下列关系式中成立的是（）A．B．C．D．18.已知集合若则实数a的取值范围是（）A． B． C． D．19.设函数，若，，则关于的方程的解的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．420.函数图像的一条对称轴方程是（ ） A ．B ．C ．D ．二、填空题21.=22.．若直线l 与直线l 1：5x －12y +6=0平行，且l 与l 1的距离为2，则l 的方程为 。
苏教版新教材必修一高一数学期末复习(一)集合(含答案)
高一第一学期期末复习（一）（集合）【知识梳理】1．集合与元素(1)集合中元素的三个特征：确定性、互异性、无序性．(2)元素与集合的关系是属于或不属于，用符号∈或∉表示．(3)集合的表示法：列举法、描述法、Venn图．思考：A＝{x|y＝x2＋1}；B＝{y|y＝x2＋1}；C＝{(x，y)|y＝x2＋1}．问：(1)它们是不是相同的集合？(2)它们各自的含义是什么？(4)常见数集的记法2.集合间的基本关系（1）A∩B＝A⇔A⊆B；A∪B＝A⇔B⊆A ；A∩B＝A∪B ⇔ A＝B（2）若一个集合A有n个元素，则集合A有2n个子集，2n－1个真子集，2n－2个非空真子集．【考点突破】一、集合的含义与表示1.下列各组集合中表示同一集合的是()A．M＝{(3,2)}，N＝{(2,3)} B．M＝{2,3}，N＝{3,2}C．M＝{(x，y)|x＋y＝1}，N＝{y|x＋y＝1} D．M＝{2,3}，N＝{(2,3)}答案 B2.设集合A中含有三个元素2x－5，x2－4x,12，若－3∈A，则x的值为________．答案 3解析∵－3∈A，∴－3＝2x－5或－3＝x2－4x.①当－3＝2x－5时，解得x＝1，此时2x－5＝x2－4x＝－3，不符合元素的互异性，故x≠1；②当－3＝x2－4x时，解得x＝1或x＝3，由①知x≠1，且x＝3时满足元素的互异性．综上可知x＝3.3.设A＝{1,4，x}，B＝{1，x2}，且A∩B＝B，则x的可能取值组成的集合为________．答案{0,2，－2}解析∵A∩B＝B，∴B⊆A，∴x2＝4或x2＝x，解得x＝－2,0,1,2，当x＝1时，A，B均不符合互异性，∴x≠1，故x＝±2,0.4.已知集合A＝{0,1,2}，则集合B＝{(x，y)|x≥y，x∈A，y∈A}中元素的个数是．答案 6解析 当x ＝0时，y ＝0；当x ＝1时，y ＝0或y ＝1；当x ＝2时，y ＝0,1,2.5.给出下列四个命题，其中正确的命题是________．(填序号)①{(x ，y )|x ＝1或y ＝2}＝{1,2}； ②{x |x ＝3k ＋1，k ∈Z }＝{x |x ＝3k －2，k ∈Z }；③由英文单词“apple ”中的所有字母组成的集合有15个真子集；④设2 021∈{x ，x 2，x 2}，则满足条件的所有x 组成的集合的真子集的个数为3.答案 ②③④解析 ①中左边集合表示横坐标为1，或纵坐标为2的所有点组成的集合，即x ＝1和y ＝2两直线上所有点的集合，右边集合表示有两个元素1和2，左、右两集合的元素属性不同．②中3k ＋1,3k －2(k ∈Z )都表示被3除余1的数，易错点在于认为3k ＋1与3k －2中的k 为同一个值，对集合的属性理解错误．③中集合有4个元素，其真子集的个数为24－1＝15(个)．④中x ＝－2 021或x ＝－ 2 021，满足条件的所有x 组成的集合为{－2 021，－ 2 021}，其真子集有22－1＝3个．所以②③④正确．二、集合间的关系解答与集合有关的问题时，应首先认清集合中的元素是数集还是点集，再进行相关的运算．分清集合中的两种隶属关系，即元素与集合、集合与集合的关系．1.集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x ＝n 2＋1，n ∈Z ，N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y ⎪⎪y ＝m ＋12，m ∈Z ，则两集合M ，N 的关系为( ) A ．M ∩N ＝∅ B ．M ＝N C ．M ⊆ND ．N ⊆M答案 D 解析 由题意，对于集合M ，当n 为偶数时，设n ＝2k (k ∈Z )，则x ＝k ＋1(k ∈Z )，当n 为奇数时，设n＝2k ＋1(k ∈Z )，则x ＝k ＋1＋12(k ∈Z )，∴N ⊆M ，故选D. 2.已知集合A ＝{x ∈R |x 2－3x ＋2＝0}，B ＝{x ∈N |0<x <5}，则满足条件A ⊆C ⊆B 的集合C 的个数为____． 答案 4解析 由题意可得，A ＝{1,2}，B ＝{1,2,3,4}．又∵A ⊆C ⊆B ，∴C ＝{1,2}或{1,2,3}或{1,2,4}或{1,2,3,4}，∴有4个．3．已知集合A ＝{x ∈N *|x 2－3x －4<0}，则集合A 的真子集有 个．答案 7解析 ∵集合A ＝{x ∈N *|x 2－3x －4<0}＝{x ∈N *|－1<x <4}＝{1,2,3}，∴集合A 中共有3个元素，∴真子集有23－1＝7(个)．三、集合的运算1．集合的运算有交、并、补这三种常见的运算，它是集合这一单元的核心内容之一．在进行集合的交集、并集、补集运算时，利用数轴分析(或Venn 图)能将复杂问题直观化．在具体应用时要注意检验端点值是否适合题意，以免增解或漏解．1.已知集合A ＝{x |x 2－2x －3≤0}，B ＝{x |x <2}，则A ∩B = ．答案 [－1,2)解析 因为A ＝{x |x 2－2x －3≤0}＝{x |－1≤x ≤3}，B ＝{x |x <2}，所以A ∩B ＝[－1,2)．2.设集合A ＝{(x ，y )|x ＋y ＝2}，B ＝{(x ，y )|y ＝x 2}，则A ∩B = ．答案 {(1,1)，(－2,4)}解析 首先注意到集合A 与集合B 均为点集，联立⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝2，y ＝x 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－2，y ＝4.从而集合A ∩B ＝{(1,1)，(－2,4)}．3.设集合M ＝{y |y ＝2cos x ，x ∈[0,π]}，N ＝{x |y ＝log 2(x －1)}，则M ∩N ＝________.答案 {x |1<x ≤2}解析 ∵M ＝{y |y ＝2cos x ，x ∈[0, π]}＝{y |－2≤y ≤2}，N ＝{x |y ＝log 2(x －1)}＝{x |x >1}，∴M ∩N ＝{y |－2≤y ≤2}∩{x |x >1}＝{x |1<x ≤2}．4.(多选)已知集合A ＝{x |x 2－3x ＋2≤0}，B ＝{x |2<2x ≤8}，则下列判断不正确的是( )A ．A ∪B ＝B B ．(∁R B )∪A ＝RC ．A ∩B ＝{x |1<x ≤2}D ．(∁R B )∪(∁R A )＝R 答案 ABD解析 因为x 2－3x ＋2≤0，所以1≤x ≤2，所以A ＝{x |1≤x ≤2}；因为2<2x ≤8，所以1<x ≤3，所以B ＝{x |1<x ≤3}．所以A ∪B ＝{x |1≤x ≤3}，A ∩B ＝{x |1<x ≤2}． (∁R B )∪A ＝{x |x ≤2或x >3}，(∁R B )∪(∁R A )＝{x |x ≤1或x >2}．四、利用集合的运算求参数1.设集合A ＝{－1,1,2}，B ＝{a ＋1，a 2－2}，若A ∩B ＝{－1,2}，则a 的值为________．答案 －2或1解析 ∵集合A ＝{－1,1,2}，B ＝{a ＋1，a 2－2}，A ∩B ＝{－1,2}，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋1＝－1，a 2－2＝2或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋1＝2，a 2－2＝－1，解得a ＝－2或a ＝1.经检验，a ＝－2和a ＝1均满足题意．2.设集合A ＝{x |－1≤x <2}，B ＝{x |x <a }，若A ∩B ≠∅，则a 的取值范围是 ．答案a >－1解析 在数轴上画出集合A ，B (如图)，观察可知a >－1.3.已知集合A ＝{x |x 2－2 021x ＋2 020<0}，B ＝{x |x <a }，若A ⊆B ，则实数a 的取值范围是_____________．答案 [2 020，＋∞)解析 由x 2－2 021x ＋2 020<0，解得1<x <2 020，故A ＝{x |1<x <2 020}．又B ＝{x |x <a }，A ⊆B ，如图所示，可得a ≥2 020.4．设常数a ∈R ，集合A ＝{x |(x －1)(x －a )≥0}，B ＝{x |x ≥a －1}，若A ∪B ＝R ，则a 的取值范围为________． 答案 (－∞，2]解析 当a >1时，A ＝(－∞，1]∪[a ，＋∞)，B ＝[a －1，＋∞)，当且仅当a －1≤1时，A ∪B ＝R ，故1<a ≤2；当a ＝1时，A ＝R ，B ＝{x |x ≥0}，A ∪B ＝R ，满足题意；当a <1时，A ＝(－∞，a ]∪[1，＋∞)，B ＝[a －1，＋∞)，又∵a －1<a ，∴A ∪B ＝R ，故a <1满足题意，综上知a ∈(－∞，2]．5.已知集合A ＝{x |x 2－3x <0}，B ＝{1，a }，且A ∩B 有4个子集，则实数a 的取值范围是( )A ．(0,3)B ．(0,1)∪(1,3)C ．(0,1)D ．(－∞，1)∪(3，＋∞)答案 B解析 因为A ∩B 有4个子集，所以A ∩B 中有2个不同的元素，所以a ∈A ，所以a 2－3a <0，解得0<a <3.又a ≠1，所以实数a 的取值范围是(0,1)∪(1,3)，故选B.【重点突破】1.已知集合A ＝{x |x 2＋x －6＝0}，B ＝{x |ax －1＝0}，若B ⊆A ，则实数a 的值为 . 解：由题意知，A ＝{2，－3}．当a ＝0时，B ＝∅，满足B ⊆A ；当a ≠0时，ax －1＝0的解为x ＝1a ，由B ⊆A ，可得1a ＝－3或1a ＝2，∴a ＝－13或a ＝12. 综上可知，a 的值为－13或12或0. 2. 设A 是由方程ax 2－3x ＋2＝0(a ∈R )的根组成的集合．(1)若A 是单元素集合，求a 的取值范围；(2)若A 中至少有一个元素，求a 的取值范围；(3)若A 中至多有一个元素，求a 的取值范围．解 (1)若A 是单元素集合，则方程ax 2－3x ＋2＝0有一个实数根，当a ＝0时，原方程为－3x ＋2＝0，解得x ＝23，满足题意．当a ≠0时，由题意知方程ax 2－3x ＋2＝0只有一个实数根，所以Δ＝(－3)2－4×a ×2＝0，解得a ＝98.所以a 的值为0或98.(2)当A 中恰有一个元素时，由(1)知，a ＝0或98.当A 中有两个元素时，则a ≠0，且Δ＝9－8a >0，解得a <98，且a ≠0，此时关于x 的方程ax 2－3x ＋2＝0有两个不相等的实数根．综上，a ≤98时，A 中至少有一个元素． (3)当A 中没有元素时，则a ≠0，Δ＝9－8a <0，解得a >98，此时关于x 的方程ax 2－3x ＋2＝0没有实数根． 当A 中恰有一个元素时，由(1)知，a ＝0或a ＝98. 综上，a ＝0或a ≥98时，A 中至多有一个元素．3．设集合A ＝{1,3，a }，B ＝{1，a 2－a ＋1}，且A ⊇B ，求a 的值．解 ∵A ⊇B ，而a 2－a ＋1∈B ，∴a 2－a ＋1∈A . ∴a 2－a ＋1＝3或a 2－a ＋1＝a .当a 2－a ＋1＝3时，a ＝2或a ＝－1.(1)a ＝2时，A ＝{1,3,2}，B ＝{1,3}，这时满足条件A ⊇B ；(2)a ＝－1时，A ＝{1,3，－1}，B ＝{1,3}，这时也满足条件A ⊇B .当a 2－a ＋1＝a 时，a ＝1，此时A ＝{1,3,1}，B ＝{1,1}，根据集合中元素的互异性，故舍去a ＝1. ∴a 的值为2或－1.4.已知集合A ＝{x |x 2－3x －10≤0}．(1)若B ＝{x |m －6≤x ≤2m －1}，A ⊆B ，求实数m 的取值范围；(2)若B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}，B ⊆A ，求实数m 的取值范围．解：由A ＝{x |x 2－3x －10≤0}，得A ＝{x |－2≤x ≤5}．(1)若A ⊆B ，则⎩⎪⎨⎪⎧2m －1＞m －6，m －6≤－2，2m －1≥5，解得3≤m ≤4.所以m 的取值范围为[3，4]．(2)若B ⊆A ，则①当B ＝∅，有m ＋1＞2m －1，即m ＜2，此时满足B ⊆A ；②当B ≠∅，有⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≤2m －1，m ＋1≥－2，2m －1≤5，解得2≤m ≤3.由①②得，m 的取值范围是(－∞，3]．5.设集合A ＝{0，－4}，B ＝{x |x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－1＝0，x ∈R }．若A ∩B ＝B ，求实数a 的取值范围． 解： 因为A ＝{0，－4}，所以B ⊆A 分以下三种情况：①当B ＝A 时，B ＝{0，－4}，由此可知，0和－4是方程x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－1＝0的两个根，由根与系数的关系，得⎩⎪⎨⎪⎧ Δ＝4(a ＋1)2－4(a 2－1)>0，－2(a ＋1)＝－4，a 2－1＝0，解得a ＝1；②当B ≠∅且B A 时，B ＝{0}或B ＝{－4}，并且Δ＝4(a ＋1)2－4(a 2－1)＝0，解得a ＝－1，此时B ＝{0}满足题意；③当B ＝∅时，Δ＝4(a ＋1)2－4(a 2－1)<0，解得a <－1.综上所述，所求实数a 的取值范围是(－∞，－1]∪{1}．6.设集合A ＝{x |a ≤x ≤a ＋4}，B ＝{x |x ＜－1或x ＞5}，若A ∩B ≠∅，求实数a 的取值范围．解 当A ∩B ＝∅时，如图所示，则⎩⎪⎨⎪⎧a ≥－1，a ＋4≤5，解得－1≤a ≤1. 即A ∩B ＝∅时，实数a 的取值范围为M ＝{a |－1≤a ≤1}．而A ∩B ≠∅时，实数a 的取值范围显然是集合M 在R 中的补集，故实数a 的取值范围为{a |a ＜－1或a ＞1}．【基本规律】1．首先要弄清构成集合的元素是什么，如是数集还是点集，要明了集合{x |y ＝f (x )}，{y |y ＝f (x )}，{(x ，y )|y ＝f (x )}三者是不同的．2．集合中的元素具有三性——确定性、互异性、无序性，特别是互异性，在判断集合中元素的个数以及在含参的集合运算中，常因忽视互异性，疏于检验而出错．3．数形结合常使集合间的运算更简捷、直观．对离散的数集间的运算或抽象集合间的运算，可借助韦恩(Venn)图实施；对连续的数集间的运算，常利用数轴进行；对点集间的运算，则往往通过坐标平面内的图形求解．这在本质上是数形结合思想的体现和运用．4．空集是不含任何元素的集合，在未明确说明一个集合非空的情况下，要考虑集合为空集的可能．另外，不可忽视空集是任何元素的子集．5．五个关系式A ⊆B ，A ∩B ＝A ，A ∪B ＝B ，∁U B ⊆∁U A 以及A ∩(∁U B )＝∅是两两等价的．对这五个式子的等价转换，常使较复杂的集合运算变得简单．6．正难则反原则对于一些比较复杂，比较抽象，条件和结论不明确，难以从正面入手的涉及集合的数学问题，在解题时要调整思路，考虑问题的反面，探求已知与未知的关系，化难为易，化隐为显，从而解决问题． 例如：已知A ＝{x |x 2＋x ＋a ≤0}，B ＝{x |x 2－x ＋2a －1＜0}，C ＝{x |a ≤x ≤4a －9}，且A ，B ，C 中至少有一个不是空集，求a 的取值范围．这个问题的反面即是三个集合全为空集，即⎩⎪⎨⎪⎧1－4a ＜0，1－4（2a －1）≤0，a ＞4a －9，解得58≤a ＜3，从而所求a 的取值范围为⎩⎨⎧⎭⎬⎫a |a ＜58或a ≥3.。
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Read
If Then x 0≤
()x
x f 4← Else
()x
x f 2
← If End
()x
f int Pr (第5题) 时
30 80
70 60 50 40 组距
频率
0.039 0.028 0.018 0.01 0.005
高一数学周末练习
一、填空：
1.高一（1）班共有56人，学号依次为1，2，3，┅，56，现用系统抽样的办法抽取一个容量为4的样本，已知学号为6，34，48的同学在样本中，那么还有一个同学的学号应为 .
2. 200辆汽车经过某一雷达地区，时速频率分布直方图如下图所示，则时速超过
70km/h 的汽车数量为 辆.
3．某程序框图如右上图所示，该程序运行后输出的k 的值是 . 4．执行右下所示的程序框图，若输出的b 的值为31，则图中判断框内①处应填的整
数为 ．
5．如下图，给出一个算法的伪代码，则=+-)2()3(f f .
(第8题图)
6. 阅读右下的程序：输出的结果是 ．
7. 如下图所示是一算法的伪代码, 执行此算法时, 输出的结果是 .
8. 右图是一个算法流程图，若输入x 的值为－4，则输出y 的值为 .
9.根据如下所示的算法，可知输出的结果为 ．
10. 将20个数平均分为两组，第一组的平均数为50，第二组的平均数为40，则整
个数组的平均数是 .
11．函数)
0(132>+++=x x x x y 的最小值是 ．
12．若实数y x ,满足不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≤--≥-+0
10320
33my x y x y x ，且y x +的最大值为9，则实数m = .
13．数列{}n a 满足2
)
1(+=n n a n (*N n ∈)，则201321111a a a +++Λ等于 .
Read 1S ← For I From 1 to 5 Step 2
S S I ←+
Print S （第6题）
0102321Pr int n S n While S S S n n End While n
++ ≤ ←←0
←←
14.对于*∈N k ，)(k g 表示k 的最大奇数因子，如：,3)3(=g 5)20(=g ，设
)2()3()2()1(n n g g g g S ++++=Λ，则=n S .
二、解答题
15．在ABC ∆中，三个内角分别为,,A B C ，且sin()2cos 6
B B π
+
=．
（1）若cos 3
C =,3AC =,求AB ． （2）若0,3A π⎛⎫
∈ ⎪⎝
⎭
，且()4
cos 5
B A -=
，求sin A
16. 在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，tanC ＝sinA ＋sinB
cosA ＋cosB
.
(1) 求角C 的大小；
(2) 若△ABC 的外接圆直径为1，求a 2＋b 2的取值范围．
17．已知数列
}
{n a 的首项51=a ，前n 项和为n S ，且)(52*
1N n n S S n n ∈++=+
（1）证明数列}
1{+n a 是等比数列；
（2）求数列}
{n a 的通项公式.
18．已知函数2()(1)(1)1f x m x m x m =+--+- （1）若不等式()1f x <的解集为R ，求m 的取值范围； （2）解关于x 的不等式()(1)f x m x ≥+；
（3）若不等式()0f x ≥对一切11[,]22
x ∈-恒成立，求m 的取值范围．
周练（13）参考答案
1. 20 2． 20 3． 4 4． 4 5． -8 6．10 7． 3 8．2 9．11
10．45 11．132- 12． 1 13．10072013 14．3
24+n
15．(1)
3π
=
B .(2) 103
34-
16. (1) C ＝π
3
(2) a 2＋b 2＝＝1＋1
2
cos2α
由－π3＜α＜π3，知－2π3＜2α＜2π3，－12＜cos2α≤1，故34＜a 2＋b 2≤32
17.(1)略 （2）123-•=n
n
a
18．（1）m <
（2）①当10m +=即1m =-时，解集为{
}1x x ≥
②当10m +>即1m >-时，解集为111m x x x m ⎧-⎫
≤
≥⎨⎬+⎩⎭或 ③当10m +<即1m <-时，解集为111m x x m ⎧-⎫
≤≤
⎨⎬+⎩
⎭
（3）1m ≥。