第1章复数与复变函数
第一章复变函数
为闭区域
（三）复变函数例 1. 多项式
a 0 a1 z a 2 z a n z
2
n
( n 为整数 )
2. 有理分式
a 0 a1 z a 2 z b 0 b1 z b 2 z
2
anz bm z
n m
2
( m 和 n 为整数 )
(e
z
iz
e
z
),
cos z ch z 1 2
1 2
(e
z
iz
e
z
iz
)
(e e
),
(e e
)
ln z ln(| z | e z
s
i Arg z
) ln | z | i Arg z
e
s ln z
( s 为复数 )
sh同sinh，双曲正弦 (hyperbolic sine) ch同cosh, 双曲余弦 (hyperbolic cosine)
全体复数与平面上的点一一对应
y
cos =|z|
•
z=x+iy (x,y) (,)
/2-
复数平面
sin cos(/2-) x
o
z1=x1+i y1 ，z2=x2+i y2，如z1=z2，则x1=x2， y1 = y2
2) 极坐标表示 利用坐标变换:
y arctan 2 2 x 0 2
例5. 指数函数
2 i sin e
i
sin
e 2i
- i
5
3. 辐角主值: 辐角 = Arg
复数与复变函数
非零复数ｚ的整数n次根式 为:
n
z
=n
iϕ +2kπ
ρe n
=n
ρ (cos ϕ + 2kπ
+ i sin ϕ + 2kπ )
n
n
(k = 0,1,2....n −1)
2. 无穷远点
复平面上一点与球面上的点 一一对应 ，复平面上∝ 点与 球面上N相对应，点的幅角无 意义。复平面+ ∝为闭平面。
（全平面扩充平面）。
ii) 复数“零”的幅角无定义，其模为零.
iii) 当ρ=1时, z = cosϕ + isinϕ = eiϕ称为单位复数.
利用复数的指数形式作乘除法比较简单，如：
z1 z2
=
ρ1 ρ 2 [cos(ϕ1
+ ϕ2 ) + i sin(ϕ1
+ ϕ2 )] =
ρ ρ ei(ϕ1 +ϕ2 ) 12
z1 z2
上却有很大的区别，这是因为实变函数Δx 只沿实轴逼近零
，而复变函数Δz却可以沿复平面上的任一曲线逼近零，因此
复变函数可导的要求比实变函数可导的要求要严格得多.
z x
例： f (z) = z = x − iy 在复平面上处处不可导
∵ z + ∆z − z = ∆z
∆z
∆z
当 Δz→0 沿实轴
∆z = ∆x, ∆z = ∆x → 1 ∆x ∆x
立。
4. 复变函数
例 ： 初等单值函数
幂函数： w=zn n=1,2, - - - - -
多项式： a0+a1z1+a2z2+- - - - +anzn n 为整数
复变函数第一章
z1 z1 z2 z2
Arg(
z1 z2
)
Arg
z1
Arg
z2
1、 幂函数
非零复数 z 的 n 次幂
zn rnein rn (cos n i sin n )
其中
zn z n , Arg zn nArg z.
令 r = 1，则得棣莫弗公式
(cos i sin )n cos n i sin n
21
•连续曲线 若实函数 x(t) 和 y(t) 在闭区间[, ]
上连续，则方程组
x x(t),
y
y(t),
( t )
或复数方程 z z(t) x(t) iy(t) ( t )
代表一条平面曲线，称为 z 平面上的连续曲线.
进一步地，若在 t 上，x '(t) 及 y '(t) 存在、
E(C)
线 C 把 z 平面唯一地分成
C、I(C) 及 E(C) 三个点集，
I(C)
它们具有如下性质：
（1）彼此不交；
O
C
x
（2）I(C) 是一个有界区域（称为 C 的内部）；
（3）E(C) 是一个无界区域（称为 C 的外部）.
25
•单连通区域 设 z 平面上的区域 D， 若在 D 内 无论怎样画简单闭曲线，其内部仍全含于 D， 则称 D 为单连通区域. 非单连通的区域称为多 连通区域.
y
z
v
w
2 O 2 x
4 O 4 u
31
•反函数 假设函数 w=f(z) 的定义域是 z 平面上的 集合 G，值域是 w 平面上的集合 G*. 对 G* 中 的每一个点 w，在 G 中有一个（或至少两个） 点与之相对应，则在 G* 上确定了一个单值（或
复变函数第一章
边界点: N (z0 )既有E的点,也有不是E的点,
集E的全部边界点所组成的集合称为E的边界，
记为 E.
3.开集: 所有点为内点的集合；
闭集: 或者没有聚点，或者所有聚点都属于它；
E' E,
有界集:
M 0,z E, z M, 或M 0,使E NM (0)
例 E {z | z 1}
例3: 设 z 1 ,试证 (1 i)z3 iz 3 .
2
4
证明: (1 i)z3 iz z (1 i)z2 i
z (1i z 2 i )
1 (1 2 1) 1 (1 1) 3
24
22
4
例4: 求复数 1 z 的实部,虚部和模.(z 1)
1 z
解:
1 1
z z
(1 z)(1 1 z 2
由几段依次相接的光滑曲线所组成的曲线 称为按段光滑曲线.
注:按段光滑曲线是可求长的,但简单曲线不一定可求长.
5 单连通区域
复平面上的一个区域D, 如果在其中任作 一条简单闭曲线, 而曲线的内部总属于D, 就称 为单连通域. 一个区域如果不是单连通域, 就称 为多连通域.
单连通域
多连通域
例 (1) 满足下列条件的点集是什么, 如果是区 域, 指出是单连通域还是多连通域?
E的每一点及圆周 z 1上点都是E的聚点, 圆周 z 1为E的边界,
E为开集.
4.聚点(极限点)的等价说法
(1) z0 E', (2) N (z0 ) E有无穷多点, (3) N (z0 )存在异于z0属于E的点, (4) N (z0 )含属于E的两个不同的点,
(5)
{zn}
E, lim n
《复变函数》第一章 复数与复变函数
的定义域, w 值的全体组成的集合称为函数 w = f ( z ) 的值域. 及 w = z +1
z 1
( z ≠ 1)
均为单值函数,w = n z
均为多值函数.
今后如无特别说明,所提到的函数均为单值函数.
设 w = f ( z ) 是定义在点集 则
容易验证复数的四则运算满足与实数的四则运算相应的运算规律. 全体复数并引进上述运算后称为复数域,必须特别提出的是,在复数域 中,复数是不能比较大小的.
2.复平面
从上述复数的定义中可以看出,一个复数 z = x + iy 实际上是由一对有 序实数 ( x, y ) 唯一确定.因此,如果我们把平面上的点 ( x, y )与复数 z = x + iy 对应,就建立了平面上全部的点和全体复数间的一一对应关系. 由于 x 轴上的点和 y 轴上非原点的点分别对应着实数和纯虚数,因而 通常称
对应相等,即 x1 = x2 且 y1 = y2 虚部为零的复数可看作实数,即x + ii0 = x ,
0 特别地, + ii0 = 0 ,因此,全体实数是全体复数的一部分.
实数为零但虚部不为零的复数称为纯虚数,复数 x + iy 为互为共轭复数,记为
( x + iy ) = x iy
和 x iy
2.区域与约当(Jordan)曲线
定义1.5 若非空点集 D 满足下列两个条件: (1) D 为开集. (2) D 中任意两点均可用全在 D 中的折线连接起来,则称 D 为区域 (图) 定义1.6 若 z0 为区域 D 的聚点且 z0 不是 D 的内点,则称 z0 为 D 的界点, D 的所有界点组成的点集称为 D 的边界,记为 D , 若 r > 0 ,使得 N r ( z0 ) ∩ D = ,则称 z 0 为 D 的外点 定义1.7 区域 D 加上它的边界 C 称为闭区域,记为 D = D + C
复变函数 第1章 复数与复变函数
6
1 cos
2 k
6
i sin
2 k
6
( k 0 , 1, 2 , 3 , 4 , 5 )
可求出6个根，它们是
z0 3 2 1 2 i, z 1 i, z2 3 2 1 2 i
z3
3 2
1 2
i,
z 4 i,
z5
3 2
0
}
为 z 0 的去心 —邻域，
开集 如果点集 D 的每一个点都是 D 的内 点，则称 D 为开集. 闭集 如果点集 D 的余集为开集，则称 D 为 闭集. 连通集 设是 D开集，如果对于 D 内任意两 点，都可用折线连接起来，且该折线上的 点都属于 D ，则称开集 D 是连通集. 区域（或开区域） 连通的开集称为区域或 开区域. 闭区域 开区域 D 连同它的边界一起，称为 闭区域，记为 D .
1.3.2 单连通域与多（复）连通域
1. 简单曲线、简单闭曲线 若存在满足 t ， t 且 t t 的 t 1 与 t 2，使 z ( t ) z ( t ) ,则称此曲线C有重点， 无重点的连续曲线称为简单曲线或约当 （Jordan）曲线；除 z ( ) z ( ) 外无其它重 点的连续曲线称为简单闭曲线，例如，
n
z z z
n个
若
z r （ cos i sin ，则有 )
z r （ cos i sin )
当 r 1 时，得到著名的棣莫弗（De Moivre） 公式
(cos i sin )
n
cos n i sin n
3
z 1 i 3 2 (c o s
第1章复数与复变函数汇总
z z (Re z ) (Im z ) z ;
(6) z z 2 Re z, z- z 2i Im z.
利用共轭复数的概念，还可以得到 两个关于复数模的重要公式：
z1 z 2 z1 z 2 Re( z1 z 2 ), z1 z2 z1 z2 Re( z1 z2 ).
(2) ∞的实部，虚部及幅角都无 意义， (3)b≠0(但可为∞)时， b b ,
b ; a 0 , 0, (4)a≠∞时， a a a ; 0 (5)运算∞± ∞，0· ∞， , 0 无意义
§3 复数的乘幂与方根
第一章 复数与复变函数
§1 复数及其代数运算
目录
§2 复数几何表示
§3 复数的乘幂与方根
§4 区 域 §5 复变函数
§6 复变函数的极限和连续性
第一章 复数与复变函数
§1 复数及其代数运算
1.复数的概念 形如 z=x+iy 或 z=x+yi 的数，称为复数 虚部为零的复数就可看作实数，即 x+i· 0=x 复数
z n r n (cosn i sin n ) r nein
n
2k 2k z r (cos i sin ) n n 1
1 n
w0 r (cos i sin ) n n 1 2 2 n
n
w1 r (cos
1 n
………………………………………
当x在第一象限
当x在第二象限 当x在第三象限 当x在第四象限 当z在正y轴上
2 arg z 2 0, ,
当z在负y轴上
当z在正x轴上 当z在负x轴上
复变函数-第一章-复数与复变函数
y
28
1 i
2
q
4
w0
r 2
q 2k
n i sin
w2
q 2k
n )
o
w3
x
wk n r (cos
16
例 2. 求
4
-1
解 : 1 cos i sin
4
1 cos
2k
4
i sin
2k
4
, (k 0,1,2,3).
z1
z2
z0 内点
P
D-区域
(6) 连通 D中任意两点可用一条全在D
中的曲线连接起来。
21
外点
z1
z2
z0 内点
P
(7) 区域
连通的开集.
D-区域
区域D与它的边界一起构成闭区域, 或闭域. D
22
(8) 有界区域 如果存在正数M，使得对于一切D中的点z， z M, 有 则称 D为有界区域,否则称为无界区域。 例如
设 w e , 由w z , 有 ne in re iq ,
i n
则 n r , n q 2k
(k为整数 ).
即 w = n z = n re
r (cos
n
i
θ + 2 kπ n
，
q 2k
n )
q 2k
n
i sin
(k为整数).
14
当k＝0，1，2，…，n－1时，得到n个相异的根：
z. 共轭 x iy为x iy的共轭复数，记为
注:(1)两个复数相等，是指二者实部、虚部分别相同； (2)两个复数之间无法比较大小，除非都是实数； (3)实部为0，虚部不为0，为纯虚数。
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第1章 复数与复变函数1.1 复数及复平面1-1 若1||1,n nz z z ω==+（n 是正整数），则（ ）. （A ）Re()0ω= （B ）Im()0ω= （C ）arg()0ω= （D ）arg()πω=解 由||1z =知1z z=，因此1n n n n z z z z+=+为实数，故Im()0ω=. 选（B ）||1z =时n z = 1/.n n z z =1-233n n+=（ ）. （A ）(1)2n - （B ）1(1)2n -- （C ）2 （D ）2-解2i π3e =2i π3e =知，等式中两项皆为1. 选（C ） 1-3 i |(1e )|n θ+=（ ）.（A ）2cos2n nθ（B ）2sin2n nθ（C ）/222(1cos )n n θ+ （D ）/222(1sin )n n θ+解 i 222|1e |(1cos )sin 2(1cos )θθθθ+=++=+故 i /22|(1e )|2(1c o s ).nnn θθ+=+ 选（C ）本题容易错选(A)项，因为2(1+2cos )4cos 2θθ=得i |1e |θ+=2cos .2θ错在cos 2θ应加上绝对值.1-4 42max{|i |||1}z z z +≤=（ ）. （A（B（C（D ）2 解 由4242|i |||||2,z z z z +≤+≤而当i4e z π=时，πi4i π2422e 1,i ie 1,|i |2z z z z ==-==-+=，故最大值为2 .选 （D ）用不等式确定最大值是常用方法.1-5 对任意复数12,z z ，证明不等式121212||||||||||||.z z z z z z -≤±≤+证1 121212*********|||()|||||||||||||||||z z z z z z z z z z z z z z z -=+-≤+-=+=+-≤++故 1212||||||z z z z -≤+，同理 2112||||||z z z z -≤+ 即 121212||||||||z z z z z z -+≤-≤+ 也就是 1212||||||||.z z z z -≤+ 证2 （代数法） 设i (1,2)k k k z x y k =+=则只要证 222121122||||2||||||z z z z z z +≤++即只要证12122x x y y y + （1） 只要证 2222212121122()()()x x y y x y x y +≤++ 此不等式等价于 22221221112220x y x y x y x y +-≥由于,k k x y 皆是实数，上式左边是完全平方式，故此不等式成立，也就是1212||||||z z z z +≤+成立，以下同证1.证3 （三角法）.设12i i 1122e ,e ,z r z r θθ==则2221211221122||(cos cos )(sin sin )z z r r r r θθθθ+=+++ 222212*********cos()2r r r r r r r r θθ=+-≤+ 21212()(||||)r r z z =+=+ 即 1212||||||z z z z +≤+成立，以下同证1. 1-6 当1||≤z 时，求||α+n z 的最大与最小值，n 是正整数，a 是复常数. 解1 （代数法）.由1-5 题知.||1||||||||||||αα+≤+≤+≤-a z z z z n n n我们知道，当1||=n z ，且向量nz 与α夹角为0°时右边不等式等号成立.故||α+n z 的最大值是.||1α+对左边不等式，要分情况讨论.（1）若1||>α，则.1||||||||-≥-≥+αααn n z z 等号当,1||=z 且nz 与α方向相反时成立.这时最小值是.1||-α（2）若1||≤α，则由0||≥+αn z ，当α-=nz 时等号成立，最小值为0.总之，不论α为何复数，|1|+n z 的最大值是||1α+；而当1||>α时，最小值为1||-α.当1||≤α时，最小值为0.解 2 （几何法）.我们仅就1||>α加以证明.由1||≤z 知1||≤n z 。
即n z 是闭单位圆上一点.||α+n z 表示nz 点到α-点的距离.很明显（初等几何）当nz 位于如图1.2的1ω的位置时，nz 与α-距离最大，且最大值就是||1α+；当nz 位于2ω点时，||α+n z 最小，最小值为1||-α.1||≤α的情况请读者自己研究.1-7 若123||||||z z z ==，且1230z z z ++=证明以123,,z z z 为顶点的三角形是正三角形. 证1 记1||z a =，则222221232323||||2(||||)||z z z z z z z =+=+--|得 2223||3.z z a -=同样 2223112||||3z z z z a -=-= 即得 213213||||||.z z z z z z -=-=-命题得证.证2 设(1,2,3)k i k z ae k θ==因而有 312()0,i i i a ee e θθθ++=即123123cos cos cos sin sin sin 0.θθθθθθ++=++=不妨设 12302.θθθπ≤<<≤则2222123123(cos cos )cos ,(sin sin )sin .θθθθθθ+=+=于是 121222(c o s c o ss i n s i n ) 1.θθθθ++= 即 212112cos(),.23θθθθπ-=--= 同理，3223θθπ-=，说明123,,z z z 在圆周上且 1223,z z z z 与 31z z 的度数均为2,3π所以123,,z z z 为顶点的三角形是正三角形.1-8 证明复数形式的柯西（Cauchy ）不等式：22111||||||.n nnk k k kk k k a αββ===≤∑∑∑证 对任意n 个复数，由三角不等式.知11||||||.n nk k k k k k a αββ==≤∑∑ （见1-5题）.再由关于实数的柯西不等式得22221111||(||||)||||.n n nnk k k k k kk k k k a αββαβ====≤≤∑∑∑∑说明它的几何意义。
1-9 若复数123,,z z z 满足等式13213123z z z z z z z z --=-- 证明 213123||||||.z z z z z z -=-=- 证 由已知等式取模可得2212313||||||z z z z z z --=- （1）又由已知等式知213113233123()()()()z z z z z z z z z z z z ------=-- 即23123123z z z z z z z z --=--，从而有 2123123||||||z z z z z z --=- （2）（1）、（2）两式相比得 2231231323||||||||z z z z z z z z --=-- 故 3123||||z z z z -=-，代入（1）即可得所要证明的结论： 213123||||||.z z z z z z -=-=-1-10 设实数||1r <，求下面级数的和.（1）cos kk rk θ∞=∑ （2）1sin k k r k θ∞=∑解 记e (e )(0,1,)k ik i k k a r r k θθ===于是111e 1cos i sin k i k a r r r θθθ∞===---∑21c o s i s i n 12c o s r r r r θθθ-+=-+ 故 （1）21cos cos 12cos kk r r k r r θθθ∞=-=-+∑ （2）221sin sin 12cos k r r k r r θθθ∞==-+∑ 1.2 复变函数、极限与连续性一个复函数()f z ω=可以看作是从z 平面到ω平面上的一个映射（也可称为变换）. 1-11 已知映射1zω=，求 （1）圆周||2z =的像；（2）直线y x =的像；（3）区域1x >的像. 解 （1）||211|||,||2z z ω===是ω面上以原点为圆心，12为半径的圆周.（2）11i.(1i)2x xω-==+则11,,22u v x x ==-像是直线.u v =- （3）先看直线1x =的像. 211i 1i 1+y y yω-==+,则22221,,,11yu v u v u y y -==+=++是以12ω=为圆心，12为半径的偏心圆，而由0z =的像是ω=∞，在圆外部，因此，1x >的像是圆的内部，即22u v u +<.1-12 设22Im (),0(),,0z z f z z z α⎧≠⎪=⎨⎪=⎩则（ ）.（A ）0α=时，()f z 连 （B ）21(1i)α=+时，()f z 连续 （C ）1α=时，()f z 连 （D ）不论α为何值，()f z 在0z =处均不连续解 记i z x y =+，则222222i .Im (),z x y xy z y =-+=故当0z ≠时2223222()2i()()y x y xy f z x y --=+ 考虑222222()(,)()y x y u x y x y -=+，令y kx =，得2222(1)(,),0(1)k k u x kx x k -=→+时极限不同故z →0时，(,)u x y 极限不存在. 因此，不论α取何值，()f z 在0z =处不连续. 选（D ）.相当于用极坐标研究二元函数的极限.1-13 求极限：2122lim1z zz z z z →+---解 原极限=1(1)2(1)lim (1)(1)z z z z z z →-+--+123lim.12z z z →+==+ 复函数的极限与实二元函数极限的关系.即0lim ()z z f z →与000lim (,),lim (,)x x x x y y y y u x y v x y →→→→两问题是等价的.1-14 证明定理：设000i ,i .()(,)i (,).z x y z x y f z u x y v x y =+=+=+则00lim ()z z f z u iv →=+的充要条件是000lim (,)x x y y u x y u →→=及000lim (,)x x y y v x y v →→=证 必要性. 由000lim ()i z z f z u v →=+知，对任意0,0εδ>∃>，只要00||z z δ<-=<便有 00|(,)((,))|.u x y u i v x y v ε-+-< 这时000|(,)||(,)i()|u x y u u x y u v v ε-≤-+-<000|(,)||(,)i((,))|v x y v u x y u v x y v ε-≤-+-<即 00l i m(,)x x y y u x y u →→=及000lim (,)x x y y v x y v →→=. 充分性.对0ε>，存在10,δ>只要01||z z σρδ<=-=<便有 0|(,)|/2u x y u ε-< （1） 又存在20,δ>只要20ρδ<<便有 0|(,)|/2v x y v ε-< （2） 成立.取12min(,)δδδ=，因此，只要0ρδ<<，（1）、（2）便成立，由三角不等式0000|()()|||||u iv u iv u u v v ε+-+≤-+-< 成立.即000lim ().z z f z u iv →=+本问题的逆问题成立吗？ 1-15 设0lim ()z z f z α→=，证明lim ().z z f z α→=证 对0ε>，存在0δ>，只要0ρδ<<，便有||()|||||()|f z f z ααε-≤-<成立.即0lim |()|||.z z f z α→=本题证明方法与证明二元实函数极限不存在的方法相同。