2009年第二十届“希望杯”全国高二数学邀请赛(第2试)
历届(1-18)希望杯数学邀请赛高二试题(含答案)(1) 全国通用
第一届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)第一试1990年3月18日 上午8：30—10：00一、选择题1、等差数列的第p 项是1990，第1990项是p ，那么第p + q （q ≥ 1991）项（ ）（A ）是正数 （B ）是负数 （C ）是零 （D ）符号不能确定2、设S k =11k ++12k ++ (12)，则（ ） （A ）S k + 1 = S k +122k + （B ）S k + 1 = S k +121k ++122k + （C ）S k + 1 = S k +121k +–122k + （D ）S k + 1 = S k –121k ++122k +3、函数y ）（A ）有最小值没有最大值 （B ）有最大值没有最小值（C ）有最小值也有最大值 （D ）没有最小值也没有最大值4、a ，b ∈R ，那么| a + b | = | a | – | b |是a b ≤ 0的（ ）（A ）充要条件 （B ）充分不必要条件 （C ）必要不充分条件 （D ）不充分也不必要条件5、α ≠2k π( k ∈ Z )，那么sec α与sin 2 α tan 2α的符号（指正负号）（ ） （A ）总是相同 （B ）总是相异（C ）在第一、三象限时，它们同号，在第二、四象限时，它们异号（D ）在第一、三象限时，它们异号，在第二、四象限时，它们同号6、正四面体内切球的体积是V ，则它的外接球的体积是（ ）（A ）8V （B ）27V （C ）64V （D ）4V7、一个平面最多把空间分为两部分，两个平面最多把空间分为四部分，三个平面最多把空间分为八部分，那么，四个平面最多把空间分成（ ）（A ）16部分 （B ）14部分 （C ）15部分 （D ）20部分8、设a = arcsin ( sin 17)，b = arccos ( –17)，c = arcsin ( –17)，则（ ） （A ）a > b > c （B ）b > a > c （C ）c > a > b （D ）b > c > a9、方程arccot x + arcsin x = π的实数根的个数是（ ）（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）310、在四个数12，中，与等的个数是（ ）（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3二、填空题11、方程arcsin ( sin x ) + arccos ( cos x ) =2π的解集是 。
2009年第20届全国希望杯数学邀请赛数学初二第1试试卷
第二十届“希望杯”全国数学邀请赛(2009年)初二第一试一、选择题（每小题4分，共40分）1．在一次视力检查中，初二（1）班的50人中只有8人的视力达标．用扇形图表示视力检查结果，则表示视力达标的扇形的圆心角是（）A．64.8ºB．57.6ºC．48ºD．16º2．如图，已知点B在反比例函数y＝kx的图象上．从点B分别作x轴和y轴的垂线，垂足分别为A、C．若△ABC的面积是4，则反比例函数的解析式是（）A．y＝－8x B．y＝8x C．y＝－4x D．y＝4x3．如果a＋2ab＋b＝2，且b是有理数，那么（）A．a是整数B．a是有理数C．a是无理数D．a可能是有理数，也可能是无理数4．复印纸的型号有A0、A1、A2、A3、A4等，它们有如下的关系：将上一个型号（例如A3）的复印纸在长的方向对折后得到两张下一型号（A4）的复印纸，且各种型号的复印纸的长与宽的比相等，那么这些型号的复印纸的长与宽的比约为（）A．1.141∶1 B．1∶1 C．1∶0.618 D．1.732∶15．The number of integer solutions for the syetem of inequalities⎩⎨⎧x－2a≥0，3－2x＞－1about x is just 6，then the range of value for real number a is （）A．－2.5＜a≤－2 B．－2.5≤a≤－2 C．－5＜a≤－4 D．－5≤a≤－4(integer solutions 整数解syetem of inequalities 不等式组the range of value 取值范围)6．若分式|x|－23x－2的值是负数，则x的取值范围是（）A．23＜x＜2 B．x＞23或x＜－2C．－2＜x＜2且x≠23D．23＜x＜2或x＜－27．在100到1000的整数中(含100和1000)，既不是完全平方数，也不是完全立方数的有（）A．890个B．884个C．874个D．864个8．如图，在正方形ABCD中，E是CD边的中点，点F在BC上，∠EAF＝∠DAE，则下列结论中正确的是（）A．∠EAF＝∠F AB B．BC＝3FCC．AF＝AE＋FC D．AF＝BC＋FC9．计算：33)7411()7411(-++，结果等于（）A．58 B．387C．247D．32710．已知在代数式a＋bx＋cx2中，a、b、c都是整数，当x＝3时，该式的值是2008；当x＝7时，该式的值是2009，这样的代数式有（）A CBD A ．0个 B ．1个 C ．10个 D ．无穷多个二、A 组填空题（每小题4分，共40分）11．某地区有20000户居民，从中随机抽取200户，调查是否已安装电话，结果如右表所示，则该地区已安装电话的户数大约是 ．12．若14x ＋5－21x 2＝－2，则6x 2－4x ＋5＝ ．13．不等式x －1＞2 x 的最大整数解是 ．14．已知m 是整数，以4m ＋5、2m －1、20－m 这三个数作为同一个三角形三边的长，则这样的三角形有个．15．当x 依次取1，2，3， (2009)1 2， 1 3， 1 4，…， 1 2009时，代数式 x 21＋x 2的值的和等于 ．16．由直线y ＝x ＋2、y ＝－x ＋2和x 轴围成的三角形与圆心在点(1，1)、半径为1的圆构成的图形覆盖的面积等于 ． 17．在Rt △ABC 中，∠C ＝90º，斜边AB 边上的高为h ，则两直角边的和a ＋b 与斜边及其高的和c ＋h 的大小关系是a ＋b c ＋h （填“＞”、“＝”、“＜”）． 18．The figure on the right is composed of square ABCD and triangle BCE ，where ∠BEC is right angle ．Supposethe length of CE is a ，and the length of BE is b ，then the distance between point A and line CE equals to ．(be composed of 由…组成 right angle 直角 length 长度 distance 距离)19．如图，在△ABC 中，AB ＞BC ，BD 平分∠ABC ，若BD 将△ABC 的周长分为4∶3的两部分，则△ABD与△BCD 的面积比等于 ．20．如果将n 个棋子放入10个盒子内，可以找到一种放法，使每个盒子内都有棋子，且这10个盒子内的棋子数都不同；若将(n ＋1)个棋子放入11个盒子内，却找不到一种放法，能使每个盒子内都有棋子，并且这11个盒子内的棋子数都不同，那么整数n 的最大值等于 ，最小值等于 ．三、B 组填空题（每小题8分，共40分）21．如果自然数a 与b (a ＞b )的和、差、积、商相加得27，那么a ＝ ，b ＝ ． 22．若 a b ＋c ＝ b c ＋a ＝ ca ＋b ，则2a ＋2b ＋c a ＋b －3c＝ 或 ．23．若关于x 的方程 1 x －1－ a2－x ＝ 2(a ＋1) x 2－3x ＋2无解，则a ＝ 或 或 ．24．对于正整数k ，记直线y ＝－k k ＋1x ＋ 1k ＋1与坐标轴所围成的直角三角形的面积为S k ，则S k ＝ ，S 1＋S 2＋S 3＋S 4＝ ．25．将 1 2， 1 3， 1 4，…， 1100这99个分数化成小数，则其中的有限小数有 个，纯循环小数有 个(纯循环小数是指从小数点后第一位开始循环的小数)．【部分详解】1、解：扇形的圆心角=8÷50×360°=57.6°．故选B．2、解：由题意得：三角形的面积等于1/ 2 |k|，∴|k|=8，又∵反比例函数图象在四象限．∴k＜0，∴k=-8，∴反比例函数的解析式是y=-8/ x ．故选A．3、4、5、这六个整数解为1,0，-1，-2，-3，-4-5<2a<=-4,故选A6、7、解：在100到1000中（包括100和1000），完全平方的有100、121、144、169、196、225、256、289、324、361、400、441、484、529、576、625、676 729、784、841、900、961，共22个，完全立方的有125、216、343、512、729、1000，共6个，729既是完全平方数，又是立方数，∴既不是完全平方数，也不是完全立方数个数为901-22-6+1=874．故选C．8、9、10、解：根据题意，得a+3b+9c=2008，①a+7b+49c=2009，②，由②-①，得4b+40c=1，③∵a、b、c都是整数，∴③的左边是4的倍数，与右边不等，所以，这样的代数式不存在；故选A．11、解：安装的频率=95/ 200 ，∴该地区已安装电话的户数大约=20000×95 /200 =9500．故答案为：9500．12、13、14、解：根据三角形两边之和大于第三边，可得（4m+5）+（2m-1）＞20-m，7m＞16①；（4m+5）+（20-m）＞2m-1，m＞-26②；（2m-1）+（20-m）＞4m+5，3m＜14③．整理16/7 ＜m＜14/ 3 ．∵m取整数∴m=3或4．故这样的三角形有2个．故答案为：2．15、16、17、18、19、20、解：①对于n值为最大的情况，从已知n值最小为出发点，在增加一个盒子之后若出现使得各个盒子中的棋子数不相同，则应该有1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11．而1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11=66，如果n=65，n+1=66，就能够找到11个不重复且不为0的方法了，所以最大值是64个②对于n值最小的情况，必有一盒子中放有1棋子，而其它的也都各不相同，为使总棋子数最小则其它应依次为2、3、4、5、6、7、8、9、10，共有55 颗，若再添一颗棋子则找不到各个不同的方法，所以n值最小为55．故答案为：64、55．21、22、23、24、25、解：分母中只含有质因数2的数是：2，4，8，16，32，64；分母中只含有质因数5的数是：5，25；分母中只含有质因数2和5的数是：10，20，40，50，80，100；一共有：6+2+6=14（个）；答：能化成有限小数的分数有14个．故答案为：14．1/2,1/4,1/5,1/8,1/10.1/16.1/20,1/25,1/32,1/40,1/50,1/64,1/80,1/100分母分解的质因数中不含2或5，则该分数为纯循环小数100以内的质数为25个，去掉2和5还有13个还有9,21,33,39,49,51,57,63,69,77,87,91,93,99共14个所以共有39个。
第二十届希望杯全国数学邀请赛章程
第二十届希望杯全国数学邀请赛章程Company number：【0089WT-8898YT-W8CCB-BUUT-202108】第二十届“希望杯”全国数学邀请赛章程(发第二试初审点)1. 主办单位中国科学技术协会普及部,中国优选法统筹法与经济数学研究会,华罗庚实验室,《数理天地》杂志社，《中青在线》网站。
2. 宗旨通过邀请赛活动，引导中学生学好中学数学课程中最主要的内容并适当地拓宽知识面，鼓励他们探索数学在其它学科和社会活动中的应用，激发他们钻研和应用数学的兴趣和热情，培养他们科学的思维能力，同时也为中学数学教师提供新的信息和资料，以促进我国数学教育水平的提高。
3. 对象普通中学的初一、初二、高一、高二年级的学生。
4. 考试按初一、初二、高一、高二四个年级分年级命题，每个年级组都进行两试。
所有报名参赛的学生都参加第一试，其中成绩优秀的选手参加第二试。
第一试：考查教学进度内现行中学数学课本里应掌握的内容，对知识和能力的考查并重。
初、高中满分均为120分。
时间：2009年3月14日(星期六) 上午8∶30至10∶00。
地点：原则上安排在各参赛学校。
第二试：试题内容同第一试，能力上比第一试要求高，初、高中满分均为120分。
时间：2009年4月11日(星期六) 上午9∶00至11∶00。
由地、市级教研室(或教科院、所，教育学院，教师进修学校，师大数学系，青少年活动中心)或本地区“希望杯”组委分会及《数理天地》编委分会统一组织，必须：统一考场，统一监考。
5．命题由数学家、数学教育专家、大中学数学教师组成命题委员会负责命题。
欢迎各地数学教研员，大、中学数学教师编拟备选题。
备选题须在2008年11月15日前向邀请赛组委会寄出。
题目被选用的命题人将获得“希望杯命题奖”及奖金。
本届试题及培训题将汇编至《“希望杯”数学竞赛系列丛书》中，于2009年10月出版。
6．试卷第一、第二两试试卷均由组委会在北京统一印制，在考试前一个月向各考点负责人挂号寄出。
历届“希望杯”全国数学邀请赛高二数学精选100题详析(4)
历届“希望杯”全国数学邀请赛高二数学精选题详析(四)题31 Let point M move along the ellipse 18922=+y x ,and point F be its right focus, then for fixed point P(6,2) ,then maximum of 3|MF|-|MP| is ,where the coordinate of Mis .(ellipse 椭圆；focus 焦点；coordinate 坐标)（第十四届高二第二试第18题）译文：点M 是椭圆18922=+y x 上一点，点F 是椭圆的右焦点，点P （6，2），那么3|MF|-|MP|的最大值是 ，此时点M 的坐标是 .解 在椭圆18922=+y x 中，8,922==b a ，则1,12==c c ，所以椭圆的右焦点F 的坐标 为（1，0），离心率31==a c e ，右准线9:2==ca x l ，显然点P （6，2）在椭圆18922=+y x 的外部.过点P 、M 分别作PG ⊥l 于G ，MD ⊥l 于D ，过点P 作PQ ⊥MD 于Q ，由椭圆的定义知，3|MF|-|MP|=|MD|-|MP|≤|MD|-|MQ|=|QD|=|PG|=9-6=3，当且仅当点P 位于线段MD 上，即点P 与Q 点重合时取等号.由点P 位于线段MD 上，MD ⊥l 及点P （6，2），知点M 的纵坐标为2，设M 的横坐标为0x ，即M （0x ，2），则有184920=+x ，解得2230±=x ，因此3|MF|-|MP|的最大值是3，此时点M 的坐标是（223±，2）. 评析 若设点M 的坐标为(x,y)，则可将3|MF|-|MP|表示成x 、y 的二元无理函数，然后再求其最大值，可想而知，这是一件相当麻烦的事，运用椭圆的定义，将3|MF|-|MP|转化为||MD|-|MP|，就把无理运算转化为有理运算，从而大大简化了解题过程.拓展 将此题引伸拓广，可得定理 M 是椭圆E ：)0(12222>>=+b a by a x 上的动点，F 是椭圆E 的一个焦点，c 为椭圆E 的半焦距，P （m,n ）为定点.1、 若点P 在椭圆E 内，则当F 是右焦点时，e 1|MF|+|MP|的最小值是m ca -2；当F 是左焦点时，e 1|MF|+|MP|的最小值是m ca +2. 2、 若点P 在椭圆E 外，则F 是右焦点，且0≤m≤c a 2，|n|≤b 时，e 1|MF|-|MP|的最大值是m c a -2. F 是右焦点，且m>c a 2，|n|≤b 时，|MP|-e 1|MF|的最小值是c a m 2-.F 是左焦点，且c a 2-≤m≤0，|n|≤b 时，e 1|MF|-|MP|的最大值是m c a +2. F 是左焦点，且m≤c a 2-，|n|≤b 时，|MP|-e 1|MF|的最小值是ca m 2--.简证 1、如图1，作MN ⊥右准线l 于N ，PQ ⊥l 于Q ，由椭圆定义，|MN|=e1|MF|. ∴e 1|MF|+|MP|=|MN|+|MP|≥|PQ|=m c a -2，当且仅当P 、M 、Q 三点共线，且M 在P 、Q 之间时取等号.如图2，同理可证e 1|MF|+|MP||=|MN|+|MP|≥|PQ|=m ca +2，当且仅当P 、M 、Q 三点共线，且M 在P 、Q 之间时取等号.2、 如图3，e 1|MF|-|MP|=|MN|-|MP|≤|MN|-|MR|=|RN|=|PQ|=m ca -2，当且仅当P 位于线段MN 上，即P 与R 重合时取等号.m图1图2如图4，|MP|-e 1|MF|=|MP|-|MN|≥|MQ|-|MN|=|NQ|=ca m 2-，当且仅当P 位于直线MN上，即点P 与Q 重合时取等号.如图5，e 1|MF|-|MP|=|MN|-|MP|≤|MN|-|MR|=|RN|=|PQ|=m ca +2，当且仅当P 位于线段MN 上，即P 与R 重合时取等号.如图6，|MP|-e 1|MF|=|MP|-|MN|≥|MQ|-|MN|=|NQ|=ca m 2--，当且仅当P 位于直线MN上，即点P 与Q 重合时取等号.题32 已知双曲线k y x =-22关于直线x-y=1对称的曲线与直线x+2y=1相切，则k 的值等于（ ）A 、32 B 、34 C 、45 D 54 （第十五届高二培训题第19题）解 设点P （x 0,y 0）是双曲线k y x =-22上任意一点，点P 关于直线x-y=1的对称点为图3 图4图5图6P’（x,y ）,则12200=+-+y y x x ①，又10-=--x x y y ②，解①、②联立方程组得 0011x y y x =+⎧⎨=-⎩③.∵P 点在双曲线k y x =-22上，∴k y x =-2020 ④.③代入④，得k x y =--+22)1()1( ⑤，此即对称曲线的方程，由x+2y=1，得x=1-2y`,代入⑤并整理，得01232=-+-k y y .由题意，△=4-12（k-1）=0，解得k=34，故选B. 评析 解决此题的关键是求出对称曲线的方程.由于对称曲线与直线相切，故由△=0便可求得k 的值.拓展 关于直线的对称，我们应熟知下面的结论 1、点（x 0,y 0）关于x 轴的对称点是（x 0,-y 0）. 2、点（x 0,y 0）关于y 轴的对称点是（-x 0, y 0）. 3、点（x 0,y 0）关于y=x 的对称点是（y 0,x 0）. 4、点（x 0,y 0）关于y=-x 的对称点是（-y 0,-x 0）.5、点（x 0,y 0）关于y=x+m 的对称点是（y 0-m,x 0+m ）.6、点（x 0,y 0）关于y=-x+n 的对称点是（n-y 0,n-x 0）.7、点（x 0,y 0）关于直线Ax+By+C=0的对称点是（x,y ），x,y 是方程组⎪⎩⎪⎨⎧-=-=++⋅++⋅)()(022********x x B y y A c y y B x x A 的解. 根据以上结论，不难得到一曲线关于某直线对称的曲线的方程，比如曲线f(x,y)=0关于直线y=x+m 对称的曲线的方程是f(y-m,x+m)=0.题33 21,F F 是双曲线3322=-y x 的左、右焦点，B A ,两点在右支上，且与2F 在同一条直线上，则11F A F B +的最小值是____________-.（第四届高二第二试第15题）解 双曲线3322=-y x ,即1322=-y x ，如图，B A ,在双曲线右支上，3221=-AF AF ,3221=-BF BF ,故当22BF AF +取得最小值时，11BF AF +也取最小值.设l 是双曲线对应于2F 的准线，l BD l AC ⊥⊥,,垂足为D C ,，则由双曲线定义可知BD e BF AC e AF ==22,，而MN BD AC 2=+，其中MN 是梯形ACDB 的中位线，当21F F AB ⊥时，MN取最小值21232=-，这时，22BF AF +取得最小值322=MN e ,从而11BF AF +取最小值33143234=+. 评析 解决此题的关键是灵活运用双曲线的第一、第二定义，发现22BF AF +，即)(BD AC e +，亦即MN e 2最小时，B F A F 11+也最小，并能知道21F F AB ⊥时MN最小（这点请读者自己证明）.本题虽然也有其他解法，但都不如此法简单，双曲线定义及平几知识的运用在简化本题解题过程中起了决定性的作用.拓展 将本题中的双曲线一般化，便得定理 1F 、2F 是双曲线12222=-b y a x 的左、右焦点，B A ,两点在右支上，且与2F 在同一条直线上，则B F A F 11+的最小值是ab a 224+.仿照本题的解法易证该定理（证明留给读者）. 用此定理可知本题中的最小值为3314312342=⨯+⋅. 题34 方程()()|3|2222+-=-+-y x y x 表示的曲线是( )A 、直线B 、椭圆C 、双曲线D 、抛物线（第十二届高二培训题第23题）解法1 由()()|3|2222+-=-+-y x y x 的两边平方并整理得012102=-+-y x xy .令v u y v u x -=+=,，则()()()()012102=--++--+v u v u v u v u ，整理得91812288222-=---+-v v u u ，即()()9322222-=+--v u ，故已知方程表示双曲线，选C.解法2 已知方程就是()()2|3|22222+-⋅=-+-y x y x ，由双曲线的第二定义，可知动点P ()y x ,到定点（2，2）的距离与到定直线03=+-y x 的距离比为2，因为12>，所以选C.评析 根据选择支，可知解决本题的关键是将已知方程化为某二次曲线的标准方程或直线方程.显然，平方可去掉根号与绝对值符号，但却出现了乘积项xy .如何消去乘积项便成了问题的关键.解法1表明对称换元是消去乘积项的有效方法.解法2从已知方程的结构特征联想到两点距离公式与点线距离公式，发现方程表示的曲线是到定点（2，2）的距离与到定直线03=+-y x 的距离之比为2的动点()y x ,的轨迹，根据双曲线定义选C.显示了发现与联想在解题中的作用. 拓展 将此题一般化，我们有下面的定理 若()()||22C By Ax b y a x ++=-+-（b a C B A 、、、、为常数，且BA 、不全为零），则（1）当1022<+<B A 时，方程表示()b a ,为一个焦点，直线0=++C By Ax 为相应准线的椭圆.（2）当122>+B A 时，方程表示()b a ,为一个焦点，直线0=++C By Ax 为相应准线的双曲线.（3）当122=+B A 且0=++c Bb Aa 时，方程表示过点()b a ,且与直线0=++C By Ax 垂直的直线.（4）当122=+B A 且0≠++c Bb Aa 时，方程表示()b a ,为焦点，直线0=++C By Ax 为准线的抛物线.读者可仿照解法2，运用二次曲线的第二定义自己证明该定理. 题 35 已知1≥x ，则动点A ⎪⎭⎫⎝⎛-+x x x x 1,1与点B（1，0）的距离的最小值是_________-.（第七届高二第一试第23题）解法1 由已知得2222111101AB x x x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+--=+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦214x x ⎡⎤⎛⎫++-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦212x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭2111723222x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+-=+-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦将此式看作以xx 1+为自变量的二次函数，111,22x x x x x≥∴+≥=,这表明该二次函数的定义域是[)+∞,2. 该函数在[)2,+∞上是增函数，∴当21=+xx 时，1,1272122m i n 22mi n=∴=-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=AB AB .解法 2 令24,tan πθπθ<≤=x ，则112tan 2csc 22tan sin 2x x θθθθ+=+==≥ 112,x x x ⎛⎫≥⇒+≥ ⎪⎝⎭112tan 2cot 2.tan tan 2x x θθθθ--=-==-AB ∴=== ∴当12csc =θ，即4πθ=时，12741182min=-⎪⎭⎫⎝⎛-=AB .解法 3 设11x t ty t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（t 1≥）,两式平方并相减，得),0,2(422≥≥=-y x y x 即动点A 的轨迹是双曲线422=-y x 的右半支在x 轴上方的部分（含点（2，0）），由图知|AB|min =1.评析 所求距离|AB|显然是x 的函数，然而它是一个复杂的分式函数与无理函数的复合函数，在定义域[)+∞,1上的最小值并不好求，解法1根据|AB|≥0，通过平方，先求2min ||AB ，再求|AB|min =2min ||AB ，并将xx 1+看作一个整体，将原问题化为求二次函数在[)+∞,2上的最值问题；解法2通过三角换元，把求|AB|min 的问题转化为求关于θ2csc 的二次函数在[)+∞,2的最小值问题，整体思想、转化思想使得问题化繁为简，化生为熟；解法3则求出点A 的轨迹，从图形上直观地看出答案，简捷得让人拍案叫绝，这应当归功于数形结合思想的确当运用.许多最值问题，一旦转化为图形，往往答案就在眼前.题36 抛物线2x y =上到直线02=++y x 的距离最小的点的坐标是________．（第九届高二培训题第27题）解法1 设抛物线2x y =上的点的坐标是()2,xx ，则它到直线02=++y x 的距离是271()24x d ++==，当12x =-时d 最小，此时14y =.故所求点的坐标是()11,24-. 解法 2 如图，将直线02=++y x 平移至与抛物线2x y =相切，则此时的切点即为所求点.设切线方程为k x y +-=，代入2x y =，得02=-+k x x .由o =∆，即041=+k ，得14k =-.解214y x y x ⎧=⎪⎨=--⎪⎩得1214x y ⎧=-⎪⎨⎪=⎩.故所求点的坐标是()11,24-.解法3 设所求点的坐标为P ()00,y x ，则过点P 的抛物线的切线应与直线02=++y x 平行.而其切线方程为02y y x x +=，故120-=x ，012x =-.20014y x ∴==. 故所求点的坐标为()11,24-. 评析 解法1由点线距离公式将抛物线上的任意一点()2,x x 到直线02=++y x 的距离d 表示成x 的二次函数，再通过配方求最值，体现了函数思想在解析几何中的运用.解法2运用数形结合思想发现与直线02=++y x 平行的抛物线2x y =的切线的切点就是所求点，设切线方程为k x y +-=后运用方程思想求出k ，进而求出切点坐标.解法3则设切点为P ()00,y x ，直接写出过二次曲线()0,=y x f 上一点P ()0,0y x 的切线方程，由切线与已知直线平行.两斜率相等，求出切点坐标.解法2、3不仅适用于求抛物线上到直线的距离最小的点的坐标，同样也适用于求椭圆、双曲线上到直线的距离最小的点的坐标，故为通法.解法3涉及到过抛物线上一点的抛物线的切线方程，下面用导数证明一般情形的结论：定理 过抛物线c bx ax y ++=2上一点P ()00,y x 的切线方程是00022y y x x ax x b c ++=++. 证明 设过点P ()00,y x 的抛物线c bx ax y ++=2的切线的方程为()00x x k y y -=-①. b ax y +=2/，b ax y k x x +===0/20，代入①得()()0002x x b ax y y -+=-，()()000022222ax b x x y y y +-+=+，200000022y y x x ax x b y ax bx ++=++--②. 点()00,y x 在抛物线c bx ax y ++=2上，c bx ax y ++=∴0200，c bx ax y =--0200，代入②，得切线方程为000y y x x ax x b c ++=++. 拓展 观察切线方程的特征，就是同时将曲线方程中的22,y x 分别换成x x 0，y y 0，把y x ,分别换成00,22x x y y++便得切线方程.事实上，对于一般二次曲线，有下面的定理. 定理 过二次曲线022=+++++F Ey Dx Cy Bxy Ax 上一点Ρ()00,y x 的该曲线的切线方程是0000000222x y xy x x y yAx x BCy y D E F ++++++++=. 运用该定理必须注意点Ρ()00,y x 在曲线上.例 求过点()3,2的曲线2223448300x xy y x y ++---=的切线的方程.解 经验证，点()3,2在曲线2223448300x xy y x y ++---=上，根据上面的定理，所求切线方程为23322234348300222y x yx x y +++⋅+⋅+⋅-⋅-⋅-=，即0922213=-+y x .题37 在抛物线x y 42=上恒有两点关于直线3+=kx y 对称,则k 的取值范围是 .(第十五届高二培训题第71题)解法1 设两点B ()11,y x 、C ()22,y x 关于直线3+=kx y 对称，直线BC 的方程为m ky x +-=，将其代入抛物线方程x y 42=，得0442=-+m ky y .若设BC 的中点为M ()00,y x ，则k y y y 22210-=+=.因为M 在直线3+=kx y 上，所以 ()3222++=-m k k k .kk k k k k m 32223232++-=-+-=，因为BC 与抛物线相交于两个不同点，所以016162>+=∆m k .再将m 的式子代入，经化简得0323<++kk k ，即 ()()0312<+-+kk k k ，因为032>+-k k ，所以01<<-k .解法2 由解法1，得k y y 421-=+，k k k m y y 12884321++=-=.因为212212y y y y >⎪⎭⎫ ⎝⎛+，所以k k k k 1288432++>，解得01<<-k . 解法3 设B ()11,y x 、C ()22,y x 是抛物线x y 42=上关于直线3+=kx y 对称的两点，且BC 中点为M ()00,y x .因为2221214,4x y x y ==，所以()1221224x x y y -=-，即()4211212=+⋅--y y x x y y ，所以k y y k 2,42100-==⋅-.又300+=kx y ,所以k k x 320+-=,因为M ()00,y x 在抛物线x y 42=的内部，所以0204x y <，即()⎪⎭⎫⎝⎛+-<-k k k 32422，解得01<<-k .解法4 设B 、C 是抛物线x y 42=上关于直线3+=kx y 对称的两点， M 是BC 中点.设M()00,y x ，B()y x ,，C()y y x x --002,2,则xy 42=①，()()x x y y -=-020242②.①-②，得0220200=-+-x y y y x ③.因为点M ()00,x y 在直线3+=kx y 上，003y kx ∴=+④.④代入③得直线BC的方程为()()023320200=-+++-x kx y kx x ，故直线BC 的方向向量为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=32,000kx x x ，同理得直线3+=kx y 的方向向量()00,kx x v =.因为直线BC 与直线3+=kx y 垂直，所以0=⋅，即()0,32,00000=⋅⎪⎪⎭⎫⎝⎛+kx x kx x x ，化简得 ()03320020=+++kx k kx x ，得0320=++k kx 或020=x （舍去）.显然0≠k ，解得k kx y kk x 23,32000-=+=+-=.因为M ()00,y x 在抛物线x y 42=的内部，所以0204x y <，即()⎪⎭⎫⎝⎛+-<-k k k 32422，3223(1)(3)0,0,k k k k k k k +++-+<<又032>+-k k ，所以01<<-k .评析 定（动）圆锥曲线上存在关于动（定）直线对称的两点，求直线（圆锥曲线）方程中参数的取值范围.这是解析几何中一类常见的问题.解决这类问题的关键是构造含参数的不等式，通过解不等式求出参数的范围.解法1运用二次方程根的判别式，解法2运用均值不等式，解法3、4运用抛物线弦的中点在抛物线内部，分别成功地构造了关于k 的不等式，这其中，韦达定理、曲线与方程的关系、两垂直直线的方向向量的数量积为零等为构造关于k 的不等式起了积极作用.练习 若抛物线12-=ax y 上总存在关于直线0=+y x 对称的两个点，则实数a 的取值范围是（ ）A 、⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞,41B 、⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞,43C 、⎪⎭⎫ ⎝⎛41,0D 、⎪⎭⎫⎝⎛-43,41 答案：B题38 抛物线x y 42=的一条弦的倾斜角是α,弦长是α2csc 4,那么这种弦都经过一定点,该定点是 ．（第十三届高二培训题第73题）解法1 设弦过点)0,(a M ，则弦所在的直线是)(a x k y -=，αtan =k ，︒≠90α，代入抛物线方程，消去x 得)4(2a y k y -=，即042=--ak y y k ． (弦长)2=)cot 1(2α+()222416161cot 16tan a a k αα⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=++⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦()22csc 16cot 16a αα=+ =α4csc 16，即2216cot 1616csc a αα+=21616cot α=+，由此得1=a ．当︒=90α时，弦所在直线方程为)0(>=a a x ，弦长为4．由⎩⎨⎧==x y ax 42，得⎩⎨⎧==a y a x 2或⎩⎨⎧-==ay ax 2．又由弦长44=a ，得1=a ． 综上，这些弦都经过点（1，0）．解法2 由题意，对任意α都得同一结论，故运用特殊化思想解． 令2πα=，则弦长为42csc42=π，此时弦所在直线方程为)0(>=a a x ，代入x y 42=，得a y 42=，a y 2±=．由题设，44=a ，即1=a ．所以2πα=时，弦所在直线方程为1=x ．再令4πα=，则弦长为84csc42=π，设此时弦所在直线方程为1-=-x b y ，得b y x -+=1，代入x y 42=并整理，得04442=-+-b y y ，弦长⋅+=11212214)(y y y y -+8)44(4162=--⋅=b ，解得0=b ，所以4πα=时，弦所在直线方程为1-=x y ．解⎩⎨⎧-==11x y x ，得定点为（1，0）．评析 题目本身反映了对于一条确定的抛物线，若α确定，则以α为其倾斜角的弦的长也确定，α变化，则以α为其倾斜角的弦的长也变化．但不论α怎样变化，这样的弦都过一个定点，这反映了客观世界运动变化中的相对不变因素的存在．由题设可知0≠α，故解法1设弦过点)0,(a ，并分直线的斜率存在与不存在两类情形，根据弦长是α2csc 4，直接求出1=a ．从而说明不论α为何值，弦总过定点（1，0）．这是合情合理的常规思维．然而，根据题意，这些弦过定点肯定是正确的，这就意味着满足题设的任意两弦的交点就是所求定点．这就具备了运用特殊化思想解题的前提．解法2分别令2πα=与4πα=，得到两个相应的弦所在直线的方程，解其联立方程组得其交点为(1,0)，即为所求．这种解法的逻辑依据是“若对一般正确，则对一般中的特殊也正确．”至于解法2中为什么令2πα=与4πα=，而不令713πα=与325πα=，主要是为了计算的方便，这也是用此法解题时应当十分注意的．应当指出，凡解某种一般情形下某确定结论是什么的问题都可用这种方法解．拓展 原题中弦长α2csc 4中的4恰好为抛物线方程中的p 2，而答案中的定点(1,0)又恰好为抛物线x y 42=的焦点．这是偶然的巧合，还是普遍规律呢？经研究，这 并非巧合，而是一个定理.定理 若抛物线)0(22>=p px y 的弦PQ 的倾斜角为θ，则θ2c s c 2p PQ =的充分必要条件是PQ 经过抛物线的焦点)0,2(pF ． 证明 先证必要性:由已知，可设PQ 的方程为)90,tan ()(︒≠=-=θθk a x k y ，代入px y 22=，得-22x k)(2222=++a k x p a k ①．由已知及弦长公式得[]21221224)()1(x x x x k PQ -+⋅+=②．将①的两根之和与积代入②，得()2242241c s c 2k p p a p k kθ+=+，从而得2442csc tan sec p θθθ=（222tan p ap θ+），解得2p a =，即知PQ 过焦点(,0)2p F ．容易验证当90θ︒=时，结论也成立．再证充分性：由已知可设PQ 的方程为()(tan ,90)2py k x k θθ︒=-=≠，代入2y =2px ，得 22244(2)k x p k x -+22k p +0=③，将③的两根之和与积代入②得22csc PQ p θ=．容易验证当90θ︒=时，结论也成立．应用该定理，可解决下面的问题：1．斜率为1的直线经过抛物线24y x =的焦点，与抛物线相交于A 、B 两点，求线段AB 的长．2．PQ 是经过抛物线24(0)y ax a =>焦点F 的弦，若PQ b =，试求△POQ 的面积（O 是坐标原点）．（91年全国高中联赛题）3．PQ 是经过抛物线24y x =焦点F 的弦，O 是抛物线的顶点，若△POQ 的面积为4，求PQ 的倾斜角α．（98年上海高考题）答案：1. 82. 3.30︒或150︒题39 长为)1(<l l 的线段AB 的两端在抛物线2x y =上滑动，则线段AB 的中点M 到x 轴的最短距离等于 .（第13届高二第二试第20题）解 设AB 的中点为M （y x ,），点A 的坐标为（βα++y x ,），由对称性知B 的坐标为(),x y αβ--，于是有以下关系成立：22222()()()2y x y x l βαβααβ⎧+=+⎪⎪-=-⎨⎪⎪+=⎩ ①+②，得22α+=x y ④，-②，得x αβ2= ⑤.将④、⑤代入③，得4)41)((222l x x y =+-，即2222221[(14)1]4(14)4(14)l l y x x x x =+=++-++，因为2(0,0),a u x a x x =+>>当x a =时, u 有最小值,当x a >时, u 是单调增加的.又214(1),x l l y +><关于2x 是单调增加的,所以,当0x =时, y 取得最小值24l .评析 点M 到x 轴的最短距离显然就是点M 的纵坐标的最小值.巧妙利用对称性，设出点M 、A 、B 的坐标后，利用曲线与方程的关系及平几知识，可以得到三个关系式，这又有何用处呢？我们要求的是y 的最小值，现在却出现了四个 变量βα、、、y x ，能否消去βα、从而得到)(x f y =，再求其最小值呢？果然，可以消去βα、，得到①, ②, ③.222)41(4x x l y ++= ⑥（这里用到了“设而不求”及函数的思想方法）.若变形为2422164164xx x l y +++=，再令2x u =，得到 22416416l u u y u++=⇒+)0(04)164(1622≥=-+-+u y l u y u ⑦，则可由方程⑦有非负实数解求出y 的最小值，但方程⑦有非负实数解的充要条件很复杂.能否用别的什么方法呢？考虑到⑥式中的0412>+x ，故将⑥式变形为]1)41(41[41222-+++=x xl y ⑧，由于2241x l +与241x +的积是定值，故当2241xl +=241x +，即214x l +=时,有y 最小值..然而，因为1<l ，所以l x >+241，即214x +取不到l ，故由函数⑧为2x 的单调增函数，可知当时，0=x 42minl y =. 注：形如)0()(2>+=a xa x x f 的函数，若0,x >则当x a =时, ()f x 取得最小值2a ；若(0)x ab b ≥+>,则()f x 单调递增, min ()()f x f a b =+；若0(0)x a b b a <≤-<<,则()f x单调递减，)()(min b a f x f -=.(请读者自己证明该结论)拓展 将此题推广，可得定理1 长为l 的线段AB 的两端在抛物线)0(22>=p py x 上滑动，线段AB 的中点M 到x 轴的距离为d ，则（1） 当;8202minpl d p l =≤<时， （2） pl d p l d p l 8,222max min=-=>时，当. 证明 由题意，直线AB 的斜率k 存在.设),,(),2,(),2,(00222211y x M px x B p x x A 则22121222ABx x p pk x x -=- 0122x x x p p +==，所以直线AB 的方程为)(000x x p x y y -=-，由20002()x pyx y y x x p ⎧=⎪⎨-=-⎪⎩，消去y ，得22x -2000220x x x py +-=，因为点M 在抛物线的内部，即202x y p>，所以200420py x ∆=->（），又212012002,22x x x x x x py +==-，所以12|l x x =-=.于是,2)(82020220p x x p pl y d ++==对x 求导数，得2'2220001(1)()2282x pl d p x x x p -=-++2202220[1]4()x p l p p x =-+ 22002220[2()]4()x p x pl p p x =+++])(2[202pl x p -+. （1）若02l p <≤（抛物线的通径长），令0'0x d =，得00x =，易知00x =，是d的唯一极小值点，所以当 00x =（即AB y ⊥轴）时，2min8l d p=； （2）若2l p >，令0'0x d =，得00x =或0x =，易知当00x =时，2ma x 8l d p=；当0x =2min p l d -=. 令定理中的21p =，由定理的结论（1）可知本赛题的答案为24l .此定理尽管也可以用均值不等式加以证明，但配凑的技巧性很强.这里，运用高中数学的新增内容导数进行证明，显得较为简洁.用导数研究函数的最值问题，顺理成章，不必考虑特殊技巧，易被大家接受，应当加以重视并大力提倡.此定理还可进一步拓广到椭圆、双曲线的情形，便得如下：定理2 已知A 、B 两点在椭圆)0(12222>>=+b a by a x 上滑动，|AB| =l ，线段AB 的中点M 到y 轴的距离为d ，则（1）22max 22)2(22b a l a a d a l a b --=≤≤时，当； （2）当bl b a d a b l 24222max 2-=<时，. 定理3 已知A 、B 两点同在双曲线)0,(12222>=-b a by a x 的右（或左）分支上滑动，|AB| =l ，线段AB 的中点M 到y 轴的距离为d ，则（1）22min 22)2(2b a l a a d a b l ++=≥时，当； （2）当bl b a d a b l 24222min 2+=<时， . 为证定理2、3，可以先证引理 在圆锥曲线过焦点的弦中，垂直于对称轴的弦最短. 证明 设圆锥曲线的极坐标方程为θρcos 1e ep-=，其中e 表示圆锥曲线的离心率，p 表示焦点F 到对应准线l 的距离，设AB 是圆锥曲线过焦点F 的弦，且A ),(),,(21θπρθρ+B ，因为12,1cos 1cos()1cos ep ep epe e e ρρθπθθ===--++，所以12||AB ρρ=+1cos ep e θ=-+θcos 1e ep +=θ22cos 12e ep-.当2πθ=，即当AB 与对称轴x 轴垂直时，ep AB 2||min =，故在圆锥曲线过焦点的弦中，垂直于对称轴的弦最短.下面运用引理证明定理2 .证明 （1）不妨设椭圆的右焦点为F （0,c ），A 、M 、B 三点到右准线ca x 2=的距离分别是,22121t t t t t t +=，则、、由椭圆的第二定义知：|AF|=1et ，|BF|=)(2a ce et =，|AF|+|BF|≥|AB|=l ，所以e l t 2≥.又过焦点的弦最小值为时，当ab l a b 222,2≥线段AB 可以过焦点F ，当AB 过焦点F 时，t 有最小值2l e ，因此222max 2)2(2)2(2ba l a a c l a a e l c a d --=-=-=. （2）时，当ab l 22<线段AB 不可能过焦点F ，但点M 总可以在过F 垂直于x 轴的椭圆的弦的右侧，如右图，在△AFM 中，设∠AMF=α，由余弦定理知222||||||2||||cos AF FM AM FM AM α=+-22211||cos 42FM l l α=+-，在△BFM 中，222211||||cos 42BF FM l l α=++，所以22221||||2||2AF BF FM l +=+，所以||FM =22||a b FM t c c c+≥-=，所以cb l BF AF t 2222||||221≥-++）（ ①，无论线段AB 在什么位置，不等式①都成立.又222||||2l BF AF -+）（2221222)(||||l t t e l BF AF -+=-+≥）（,4222l t e -=故c b l t e t 222241≥-+ ②.解此不等式，得bl b a c a t 24222--≥③，当线段AB 垂直 于x 轴且在焦点F 的右侧时，不等式①、②、③都取等号，此时b l b a c a t 24222mi n --=，bl b a b l b a c a c a d 24)24(222222max-=---=. 仿此亦可证明定理1、3，不再赘述.题40 动圆M 过定点A 且与定圆O 相切，那么动圆M 的中心的轨迹是 （ ）A 、圆B 、圆，或椭圆C 、圆，或椭圆，或双曲线D 、圆，或椭圆，或双曲线，或直线（第三届高二第二试第10题）解 动圆M 、定点A 、定圆O ,这三者的位置关系有5种可能，如图⑴～⑸：在情形⑴：A 在圆O 上，这时动圆M 与定圆O 相切于A ，所以M 点的轨迹是过A O ,的一条直线. 在情形⑵：A 与O 重合，这时动圆M 在定圆O 的内部，与它内切，所以M 点的轨迹是以O 为圆心，以定圆O 的半径的一半为半径的圆.在情形⑶：A 在定圆O 的内部但不重合于O 点，动圆M 过A 且与定圆O 内切，这时动点M 与定点O 、A 的距离的和是R x x R MA MO =+-=+)(（定值），其中的R 、x 分别表示定圆O 、动圆M 的半径.可知点M 的轨迹是以O 、A 为焦点，R 为长轴长的椭圆. 在情形⑷：A 在定圆O 的外部，动圆M 过A 且与定圆O 外切，这时R x x R MA MO =-+=-)(（定值）.可知M 的轨迹是以O 、A 为焦点，R 为实轴长的双曲线的一支.在情形⑸：A 在定圆O 的外部，动圆M 与定圆O 内切，这时R R x x MO MA =--=-)(（定值）.可知M 点的轨迹也是以A O ,为焦点.R 为实轴长的双曲线的一支（和情形4对应的另一支）.综上，可知选D.评析 分类讨论是参加高考与竞赛必须掌握的数学思想.分类要注意标准的统一，不可重复，也不能遗漏.此题的关键是要搞清全部情形有5种，然后再分别求动圆中心的轨迹.运用二次曲线的定义大大简化了解题过程.应当指出，当点A 在圆O 上时，动圆M 的中心的轨迹是直线OA ，但应除去点O 、A . 另外，讨论完第一种情形后就可排除,,,C B A 而选D ，这样就更快捷了.O。
希望杯第20届(09年)初二第二试试卷
希望杯第二十届(2009年) 初二第二试一、选择题（每小题4分，共40分）以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将正确答案的英文字母写在每题后面的圆括号内.1．篆刻是中国独特的传统艺术,篆刻出来的艺术品叫印章．印章的文字刻成凸状的称为“阳文”，刻成凹状的称为“阴文”．如图1的“希望”即为阳文印章在纸上盖出的效果，此印章是下列选项中的（阴影表示印章中的实体部分，白色表示印章中镂空的）（ ）2．如果1-<<y x ，那么代数式xyx y -++11的值是（ ） （A ） 0 （B ） 正数 （C ）负数 （D ）非负数3．将x 的整数部分记为[x ]，x 的小数部分记为{x }，易知=x [x ]+{x }（{}10<<x ）．若5353+--=x ，那么[x ]等于（ ）（A ） 2- （B ）1- （C ） 0 （D ）1 4．某种产品由甲、乙、丙三种元件构成．根据图2，为使生产效率最高，在表示工人分配的扇形图中，生产甲、乙、丙元件的工人数量所对应的扇形圆心角的大小依次是（ ）（A ）120°，180°，60°（B ）108°，144°，108° （C ）90°，180°，90° （D ） 72°，216°，72°5．面积是48的矩形的边长和对角线的长都是整数，则它的周长等于 ( ) （A ）20 （B ） 28 （C ） 36 （D ）406．In the rectangular coordinates,abscissa and ordinate of the intersection pointofthe lines k x y -= and 2+=kx y are integers for imteger k ,then the number of the possible values of k is （ ） （A ）4 （B ）5 （C ）6 （D ）7（英汉小词典：abscissa 横坐标；ordinate 纵坐标；intersection point 交点；integer 整数）7．将一张四边形纸片沿两组对边的中点连线剪开，得到四张小纸片，如图3所示．用这四张小纸片一定可以拼成（ ）（A ）梯形 （B ）矩形 （C ）菱形 （D ）平行四边形 8．若不等式组⎩⎨⎧>++<+-m x x m x 1104的解集是4>x ，则（ ）（A ）29≤m （B ）5≤m （C ）29=m （D ）5=m9．如图4，四边形ABCD 中，∠A=∠C=90°，∠ABC=60°，AD=4，CD=10，则BD 的长等于（ ）（A ） 134 （B ）38 （C ）12 （D ）31010．任何一个正整数n 都可以写成两个正整数相乘的形式，对于两个乘数的差的绝对值最小的一种分解q p n ⨯=（q p ≤）可称为正整数n 的最佳分解，并规定qpn F =)(．如：12=1×12=2×6=3×4，则43)12(=F ． 则在以下结论 ①21)2(=F ②2(24)3F = ③若n 是一个完全平方数，则1)(=n F④若n 是一个完全立方数，即3a n =（a 是正整数），则an F 1)(=． 中，正确的结论有（ ）（A ） 4个 （B ）3个 （C ）2个 （D ）1个二、填空题（每小题4分，共40分）11．将一根钢筋锯成a 段,需要b 分钟,按此速度将同样的钢筋锯成c 段(a ，b ，c 都是大于1的自然数)，需要 分钟．12．给机器人下一个指令[s ，A ]（0≥s ，1800<≤A ），它将完成下列动作： ①先在原地向左旋转角度A ；②再朝它面对的方向沿直线行走s 个单位长度的距离． 现机器人站立的位置为坐标原点，取它面对的方向为x 轴的正方向，取它的左侧为y 轴的正方向，要想让机器人移动到点（5-，5）处，应下指令： ．13．已知实数x ，y ，z 满足3321zy x z z y y x x ++=+=+=+，则_________或=++z y x ． 14．已知实数x ，y 满足432=-y x ，并且0≥x ，1≤y ，则y x -的最大值是 ，最小值是 ．15．汽车燃油价税费改革从2009年元旦起实施：取消养路费，同时汽油消费税每升提高0.8元．若某车一年的养路费是1440元,百公里耗油8升,在“费改税”前后该车的年支出与年行驶里程的关系分别如图5中的1l 、2l 所示，则1l 与2l 的交点的横坐标=m .(不考虑除养路费和燃油费以外的其它费用)16．Given d cx bx ax x f +++=23)(,if when x takes the value of its inverse number ，the corresponding value of )(x f is also the inverse number,and0)2(=f ，then=++ba dc ．（英汉小词典：inverse number 相反数） 17．8人参加象棋循环赛,规定胜1局得2分.平1局得1分,败者不得分,比赛结果是第二名的得分与最后4名的得分之和相同,那么第二名得 分．18．若正整数a ,b 使等式20092)1)((=-+++b a b a a 成立,则=a ,=b ．19．如图6,长为2的三条线段'AA 、'BB 、'CC 交于O 点，并且OB C OA B ''∠=∠=∠=OC A '60°，则这三个三角形的面积的和321S S S ++3．（填“<”、“=”、“>”）20．已知正整数x ，y 满足2492y x =+，则=x ，=y ．三、解答题（每题都要写出推算过程） 21．（本题满分10分）在分母小于15的最简分数中，求不等于52但与52最接近的那个分数．22．（本题满分15分）如图7，一次函数33+-=x y 的函数图象与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ，以线段AB 为直角边在第一象限内作Rt △ABC ，且使∠ABC=30°．（1）求△ABC 的面积；（2）如果在第二象限内有一点P （m ，23），试用含m 的代数式表示四边形AOPB 的面积，并求当△APB 与△ABC 面积相等时m 的值；（3）是否存在使△QAB 是等腰三角形并且在坐标轴上的点Q ？若存在，请写出点Q 所有可能的坐标；若不存在，请说明理由．23．（本题满分15分）点A （4，0），B （0，3）与点C 构成边长分别为3，4，5的直角三角形，如果点C 在反比例函数xky =的图象上，求k 可能取的一切值．第二十届“希望杯”全国数学邀请赛参考答案及评分标准初二第2试（每小题4分）（每小题4分，含两个空的小题，每空2分）【详解】1解：易得“望”字应在左边，字以外的部分为镂空部分，故选D．23、4、5、解：∵假设面积是48的矩形的边长分别为x，y，且边长和对角线的长都是整数，∴xy=48，∴x，y，中一定有一个偶数，∴可能是：2×24，3×16，4×12，6×8，四种可能．∵对角线的长是整数，∴只有6×8符合要求；即矩形的边长为6，8，∴它的周长等于28．故选：B．6、7、解：四边形JFCG绕点F顺时针旋转180°，四边形HAEJ绕点E顺时针旋转180°，余下的四边形DHJG沿着DB方向进行平移，刚好构成一个平行四边形．故选D．8、9、10、11、12、13、14、15、16、17、从最后4名选手来分析，他们共要比赛6场，每一场的得分时2分，结果4场下来，就是12分，所以答案是12。
2009年第20届“希望杯”全国数学邀请赛试卷(初一第2试)(含解析)
2009年第20届“希望杯”全国数学邀请赛试卷（初一第2试）一、选择题1、=（）A．B．C．D．2、每只玩具熊的售价为250元．熊的四条腿上各有两个饰物，标号依次为1，2，3，…，8．卖家说：“1，2，3，4，…，8号饰物依次要收1，2，4，8，…，128元．如果购买全部饰物，那么玩具熊就免费赠送．”若按这样的付费办法，这只熊比原售价便宜了（）A．5元B．-5元C．6元D．-6元3、如图，直线MN∥PQ．点O在PQ上．射线OA⊥OB，分别交MN于点C和点D．∠BOQ=30°．若将射线OB绕点O逆时针旋转30°，则图中60°的角共有（）A．4个B．5个C．6个D．7个4、如果有理数a，b使得，那么（）A．a+b是正数B．a-b是负数C．a-b2是正数D．a-b2是负数5、As in figure 2．In the circular ring of which center is point O．if AO⊥BO，and the area of the shadowy part is 25cm2，then the area of the circuiar ring equals to（）（π≈3.14）A．147cm2B．157cm2C．167cm2D．177cm26、已知多项式p1（x）=2x2-5x+1和p2（x）=3x-4，则p1（x）×p2（x）的最简结果为（）A．6x3-23x2+23x-4B．6x3+23x2-23x-4 C．6x3-23x2-23x+4D．6x3+23x2+23x+47、若三角形的三边长a，b，c满足a＜b＜c，且a2+bc=t12，b2+ca=t22，c2+ab=t32，则t12、t22、t32中（）A．t12最大B．t22最大C．t32最大D．t32最小8、如图，边长20m的正方形池塘的四周是草场，池塘围栏的M、N、P、Q处各有一根铁桩，QP=PN=MN=4m，用长20m的绳子将一头牛拴在一根铁桩上，若要使牛的活动区域的面积最大，则绳子应拴在（）A．Q桩B．P桩C．N桩D．M桩9、电影票有10元、15元、20元三种票价，班长用500元买了30张电影票，其中票价为20元的比票价为10元的多（）A．20张B．15张C．10张D．5张10、将图中的正方体的表面展开到平面内可以是下列图形中的（）A．B．C．D．二、填空题11、据测算，11瓦节能灯的照明效果相当于80瓦的白炽灯．某教室原来装有100瓦的白炽灯一只．为了节约能源，并且保持原有的照明效果，可改为安装__________瓦（取整数）的节能灯一只．12、将五个有理数，，，，每两个的乘积由小到大排列，则最小的是__________；最大的是__________．13、十进制的自然数可以写成2的方幂的降幂的多项式，如：19（10）=16+2+1=1×24+0×23+0×22+1×21+1×20=10011（2），即十进制的数19对应二进制的数10011．按照上述规则，十进制的数413对应二进制的数是__________．14、如图，点P在正方形ABCD外，PB=10，△APB的面积为60，△BPC的面积为30，则正方形ABCD的面积为__________．15、已知x2+2x+5是x4+px2+q的一个因式，那么pq的值等于__________．16、若abc≠0．则的最大值是__________；最小值是__________．17、已知F（x）表示关于x的运算规律：F（x）=x3，（例如F（2）=23=8，F（3）=33=27，…）．又规定△F（x）=F（x+1）-F（x），则△F（a+b）=__________．18、一条公交线路从起点到终点有8个站．一辆公交车从起点站出发，前6站上车100人，前7站下车80人．则从前6站上车而在终点站下车的乘客有__________人．19、If the product of a simple binomial x+mand a quadratic （x-1）2 is a cubic multinomial x3+ax+b，then a=__________，b=__________，m=__________．若（x+m）（x-1）2=x3+ax+b，则a=__________，b=__________，m=__________．20、方程x+…+=2009的解是x=__________．三、解答题21、如果两个整数x，y的和、差、积、商的和等于100．那么这样的整数有几对？求x与y的和的最小值，及x与y的积的最大值．22、某林场安排了7天的植树工作．从第二天起每天都比前一天增加5个植树的人，但从第二天起每人每天都比前一天少植5棵树，且同一天植树的人，植相同数量的树．若这7天共植树9947棵，则植树最多的那天共植了多少棵树？植树最少的那天，有多少人在植树？23、5个有理数两两的乘积是如下的10个数：-12，0.168，0.2，80，-12.6，-15，-6000，0.21，84，100．请确定这5个有理数，并简述理由．2009年第20届“希望杯”全国数学邀请赛试卷（初一第2试）的答案和解析一、选择题1、答案：A试题分析：先根据平方差公式分别对分子、分母进行因式分解，然后计算即可．试题解析：，=，=，=．故选A．2、答案：B试题分析：求出购买全部饰物所花的钱数，用每只玩具熊的售价减去购买全部饰物所花的钱数即可求解．试题解析：1+2+4+8+16+32+64+128=255元．250-255=-5元．则这只熊比原售价便宜了-5元．故选B．3、答案：D试题分析：可先作出简单的旋转后的图形，进而结合平行线的性质以及对顶角相等即可得出结论．试题解析：旋转后的图形如图，∵OA⊥OB，∠BOQ=30°，∴∠AOP=60°，∵MN∥PQ，∴∠OCD=∠AOP=60°，即∠ACM=∠OCD=60°，∵OA⊥OB，且OB逆时针旋转30°，∴∠AOB=60°，∠BOQ=60°，在△COD中，则∠ODC=60°，即∠BDN=60°．∴题中等于60°的角共有7个．故选D．4、答案：D试题分析：根据分式的值为0的条件列出不等式组，再根据a、b的取值范围进行解答即可．试题解析：∵，∴，解得，A、当b＜-1时，a+b是负数，故A选项错误；B、因为b＜-1，所以a-b是正数，故B选项错误；C、因为b＜-1，a=1，所以b2＞1，a-b2是负数，故C选项错误；D、因为b＜-1，所以b2，＞1，a-b2是负数，故D选项正确．故选D．5、答案：B试题分析：设大圆的半径为R，小圆的半径为r，根据阴影的面积为两个直角三角形的面积之差，可得R2-r2=50，又知圆环的面积为两个圆的面积之差，据此即可解得答案．试题解析：设大圆的半径为R，小圆的半径为r，∵AO⊥BO，∴阴影的面积为两个直角三角形的面积之差，∴R2-r2=50，∵圆环的面积为两个圆的面积之差，∴圆环的面积=π（R2-r2）=50π=157cm2．故选B．6、答案：A试题分析：先根据题意，得出p1（x）×p2（x）=（2x2-5x+1）（3x-4），再根据多项式的乘法法则计算即可．试题解析：∵p1（x）=2x2-5x+1，p2（x）=3x-4，∴p1（x）×p2（x）=（2x2-5x+1）（3x-4），=6x3-8x2-15x2+20x+3x-4，=6x3-23x2+23x-4．7、答案：C试题分析：作差法得出t12-t22=a2+bc-（b2+ca）=a2-b2+bc-ca=（a+b）（a-b）-c（a-b）=（a-b-c）（a-b），t32-t22=c2+ab-（b2+ca）=c2-b2+ab-ca=（c+b）（c-b）-a（c-b）=（c+b-a）（c-b），t32-t12=c2+ab-（a2+bc）=c2-a2+ab-bc=（c+a）（c-a）-b（c-a）=（c+a-b）（c-a），根据已知和三角形三边关系即可得出t12、t22、t32中最大的数．试题解析：∵t12-t22=a2+bc-（b2+ca）=a2-b2+bc-ca=（a+b）（a-b）-c（a-b）=（a-b-c）（a-b）＞0，t 32-t22=c2+ab-（b2+ca）=c2-b2+ab-ca=（c+b）（c-b）-a（c-b）=（c+b-a）（c-b）＞0，t 32-t12=c2+ab-（a2+bc）=c2-a2+ab-bc=（c+a）（c-a）-b（c-a）=（c+a-b）（c-a）＞0，∴t32＞t12＞t22．故选C．8、答案：C试题分析：可看出，绳子拴在M、P处时，牛的活动区域的面积相同，则分别计算绳子拴在N、P、Q处时的活动面积即可．试题解析：绳子拴在N处时的活动面积：π×202=300πm2；绳子拴在P处时的活动面积：π×202+π×42+π×162=268πm2；绳子拴在Q处时的活动面积：π×202+π×82+π×122=252πm2；∵300＞268＞252，∴应拴在N柱上．故选C．9、答案：C试题分析：设三种票分别买了x、y、z张．则根据题意列出关于x、y、z的三元一次方程组，然后解z-x的值即可．试题解析：分别设三种票买了x、y、z张．则根据题意，得由②，得y=30-x-z，③将③代入②，得z-x=10，所以，20的比10块得多10张．10、答案：D试题分析：正方体的侧面展开图共11种，本题要掌握正方体侧面展开图中相邻的面和相对的面．试题解析：A、希应在左上角，不符合题意；B、汉字的位置不对，不符合题意；C、不是正方体的侧面展开图，不符合题意；D、符合题意．故选D．二、填空题11、答案：试题分析：根据题意，设改为安装 x瓦（取整数）的节能灯一只．然后根据比例的性质列出关于x的一元一次方程，解方程即可．试题解析：设为了节约能源，并且保持原有的照明效果，可改为安装 x瓦（取整数）的节能灯一只．则根据题意，得11：80=x：100，解得，x=，∵x是整数，∴x=≈14．故答案是：14．12、答案：试题分析：将乘积由小到大排列，由于有负数，故最小一定是负数，最大一定是正数，找出相乘得负数的与相乘得正数的比较即可．试题解析：∵＜＜＜＜，∴数与相乘的积最小，为，∴×=，（）×（）=，＞．故答案为：，．13、答案：试题分析：仿照例子，首先把413写成2的方幂的降幂的多项式的形式，然后确定二进制数．试题解析：413=256+128+16+8+4+1，=1×28+1×27+0×26+0×25+1×24+1×23+1×22+0×21+1×20，=110011101．（2）故答案为：110011101．14、答案：试题分析：由两个三角形的面积可知：P到AB的距离是P到BC的距离的2倍．设P到BC的距离为x，利用勾股定理，求出BC，则可求出正方形的面积．试题解析：因为△APB的面积为60，△BPC的面积为30，P到AB的距离是P到BC的距离的2倍设P到BC的距离为x，则x2+（2x）2=102x=2，所以•BC•2=30，BC=6故BC2=180，即正方形ABCD的面积为180．故答案为180．15、答案：试题分析：先设x4+px2+5q的另一个因式是（x2+mx+n），那么有（x2+2x+5）（x2+mx+n）=x4+px2+5q，把左边展开，并合并同类项，然后利用等式的对应相等性，可得到关于m、n、p、q的方程组，解即可求m、n、p、q，从而可求p+q的值．试题解析：设x4+px2+5q的另一个因式是（x2+mx+n），那么有（x2+2x+5）（x2+mx+n）=x4+px2+5q，即有x4+（2+m）x3+（5+2m+n）x2+（5m+2n）x+5n=x4+px2+5q，∴，解得，∴pq=30．故答案为：30．16、答案：试题分析：由题意可知，当a、b、c都取正数时，代数式有最大值为4，当a、b、c都取负数时，代数式的最小值为-4．试题解析：由题意知abc≠0，当a、b、c都取正数时，代数式有最大值为4，当a、b、c都取负数时，代数式有最小值为-4，故答案为4，-4．17、答案：试题分析：先利用△F（x）=F（x+1）-F（x），对△F（a+b）展开，得△F（a+b）=F（a+b+1）-F（a+b），再利用F（x）=x3展开式子的右边，然后结合立方公式计算即可．试题解析：∵△F（x）=F（x+1）-F（x），∴△F（a+b）=F（a+b+1）-F（a+b），又∵F（x）=x3，∴△F（a+b）=F（a+b+1）-F（a+b），=（a+b+1）3-（a+b）3，=（a+b）3+3（a+b）2×1+3（a+b）×12+13-（a+b）3，=3（a+b）2+3（a+b）+1．故答案是：3（a+b）2+3（a+b）+1．18、答案：试题分析：前6站上车100人，包含前6站下车人数和第6站停车后仍然在车上人数，前7站下车80人包含6站下车人数和第6站没下车的人但在第7站下车的人数，由此列出等式，进一步解答即可．试题解析：前7站下车的人数，一定是在第一站到第六站上车的人数，前6站上车100人=前6站下车人数+第6站停车后仍然在车上人数①，前7站下车80人=前6站下车人数+第6站没下车的人但在第7站下车的人数②，①②两者相减为：第6站停车后仍然在车上人数-第6站没下车的人但在第7站下车=20人，这时候这些人都会在终点下车了．故答案为：20．19、答案：试题分析：已知等式左边利用多项式乘以多项式法则计算，利用多项式相等的条件即可求出a，b，m的值．试题解析：（x+m）（x-1）2=（x+m）（x2-2x+1）=x3-（2-m）x2+（1-2m）x+m=x3+ax+b，可得2-m=0，1-2m=a，m=b，解得：a=-3，b=2，m=2．故答案为：-3，2，2．20、答案：试题分析：本题将原方程变形，将大部分系数消掉，便可解答．试题解析：原方程可化为：=2009；即；提取公因式，得；化简得：2x（1-）=2009；解得：x=1005．三、解答题21、答案：试题分析：由题意得出关于x、y的不定方程，再根据x，y为整数可得出x+y，x-y，xy都是整数，再由它们与的和是整数100，也是整数，进行讨论即可．试题解析：由题意得，（y≠0），即，亦即，∵x，y为整数，∴x+y，x-y，xy都是整数，又∵它们与的和是整数100，∴也是整数，（1）=25，（y+1）2=22时，y+1=±2，则或；（2）=4，（y+1）2=52时，y+1=±5，则或；（3）=1，（y+1）2=102时，y+1=±10，则或；（4）=100，（y+1）2=12时，y+1=±1，则（舍去）或；由上可知，满足题意的整数x，y共7对；其中x+y的最小值为-200+（-2）=-202；xy的最大值为：（-200）×（-2）=400．故答案为：7对；-202；400．22、答案：试题分析：假设出第4天的植树棵数与植树人数，从而表示出其他6天的植树棵树与人数，从而得出有关总数9947的方程，得出mn=1521，进而分析得出m=n=39．因为第4天植树的棵数为39×39=1521，其它各天植树的棵数为（39-a）（39+a），可以得出植树最多与最少是哪一天．试题解析：设第4天有m人植树，每人植树n棵，则第4天共植树mn棵．于是第3天有（m-5）人植树，每人植树（n+5）棵，则第3天共植树（m-5）（n+5）棵．同理，第2天共植树（m-10）（n+10）棵；第1天共植树（m-15）（n+15）棵；第5天共植树（m+5）（n-5）棵；第6天共植树（m+10）（n-10）棵；第7天共植树（m+15）（n-15）棵．由7天共植树9947棵，知：（m-15）（n+15）+（m-10）（n+10）+（m-5）（n+5）+mn+（m+5）（n-5）+（m+10）（n-10）+（m+15）（n-15）=9947．化简得7mn-700=9947，即mn=1521因为1521=32×132，又每天都有人植树，所以m＞15，n＞15．故m=n=39．因为第4天植树的棵数为39×39=1521．其它各天植树的棵数为（39-a）（39+a）=392-a2=1521-a2＜1521，①（其中a=5或10或15）．所以第4天植树最多，这一天共植树1521棵．由①知，当a=15时，392-a2的值最小．又当a=15时，植树人数为39+15=54或39-15=24，所以植树最少的那天有54人或24人植树．23、答案：试题分析：首先将将5个有理数两两的乘积由小到大排列，由5个有理数的两两乘积中有4个负数且没有0，可得这5个有理数中有1个负数和4个正数，或者1个正数和4个负数．再分别从若这5个有理数是1负4正，不妨设为x1＜0＜x2＜x3＜x4＜x5，可得x1x5＜x1x4＜x1x3＜x1x2＜0＜x2x3＜x2x4＜＜x3x5＜x4x5，（其中x2x5和x3x4的大小关系暂时还不能断定），若这5个有理数是4负1正．不妨设为：x1＜x2＜x3＜x4＜0＜x 5，则x1x5＜x2x5＜x3x5＜x4x5＜0＜x3x4＜x2x4＜＜x1x3＜x1x2，（其中x1x4和x2x3的大小关系暂时还不能断定），去分析求解即可求得答案．试题解析：将5个有理数两两的乘积由小到大排列：-6000＜-15＜-12.6＜-12＜0.168＜0.2＜0.21＜80＜84＜100．∵5个有理数的两两乘积中有4个负数且没有0，∴这5个有理数中有1个负数和4个正数，或者1个正数和4个负数．（1）若这5个有理数是1负4正，不妨设为x1＜0＜x2＜x3＜x4＜x5，则x1x5＜x1x4＜x1x3＜x1x2＜0＜x2x3＜x2x4＜＜x3x5＜x4x5，（其中x2x5和x3x4的大小关系暂时还不能断定），∴x1x5=-6000，x1x4=-15，x4x5=100，三式相乘，得（x1x4x5）2=9×106，又∵x1＜0，x4＞0，x5＞0，∴x1x4x5=-3000，则x1=-30，x4=0.5，x5=200．再由x1=-30，x1x2=-12，x1x3=-12.6，得x2=0.4，x3=0.42．经检验x1=-30，x2=0.4，x3=0.42，x4=0.5，x5=200满足题意．（2）若这5个有理数是4负1正．不妨设为：x1＜x2＜x3＜x4＜0＜x5，则x1x5＜x2x5＜x3x5＜x4x5＜0＜x3x4＜x2x4＜＜x1x3＜x1x2，（其中x1x4和x2x3的大小关系暂时还不能断定），∴x1x5=-6000，x2x5=-15，x1x2=100，三式相乘，得（x1x2x5）2=9×106，又∵x1＜0，x2＜0，x5＞0，解得x1x2x5=3000，∴x1=-200，x2=-0.5，x5=30，再由x5=30，x3x5=-12.6，x4x5=-12，得x3=-0.42，x4=-0.4．经检验，x1=-200，x2=-0.5，x3=-0.42，x4=-0.4，x5=30满足题意．综上可得：这5个有理数分别是-30，0.4，0.42，0.5，200或-200，-0.5，-0.42，-0.4，30．。
第二十三届“ 希望杯” 全国数学邀请赛高二第2试试题
第二十三届 希望杯 全国数学邀请赛高二㊀第2试试题一㊁选择题(每小题4分,共40分.)1.已知集合P ={x |0ɤx ɤ5,x ɪZ },Q ={y |y =|x 2-1|,x ɪP },则P ɘQ 中元素的个数是()(A )3.(B )6.(C )8.(D )9.2.方程l o g 13|x |=s i n (π2-12x )的实根的个数是()(A )2.(B )4.(C )6.(D )8.3.命题p :不经过第一象限的图象所对应的函数一定不是幂函数.命题q :函数y =x +2x的单调递增区间是[-2,0)ɣ[2,+ɕ),则下列命题中,真命题是()(A )p ɡq .(B )(ʏp )ᶱq .(C )(ʏp )ɡ(ʏq ).(D )p ɡ(ʏq ).4.设a ,c 是正实数,则对于每个实数t ,抛物线y =a x 2+t x +c 的顶点在x O y 平面内组成的图形是()(A )一条直线.(B )一条抛物线.(C )一条抛物线的一部分而不是全部.(D )双曲线的一支.5.T h em i n i m u mv a l u e o f t h e f u n c t i o n y =x 2-2x +5+x 2+4i s ()(A )4.(B )32.(C )25.(D )17.6.若对于任意实数x ,都有t 2+5t ɤ|2x -4|-|x +2|恒成立,则t 的取值范围是()(A )[1,4].(B )[-4,-1].(C )(-ɕ,1]ɣ[4,+ɕ).(D )(-ɕ,-4]ɣ[-1,+ɕ).7.已知数列{a n }的通项公式为a n =(49)n -1-(23)n -1(n ɪN ∗),则数列{a n }()(A )有最大项,没有最小项.(B )有最小项,没有最大项.(C )既有最大项又有最小项.(D )既没有最大项也没有最小项.8.已知函数f (x )=(1-t a n 2x 1+t a n 2x )2,则f (x )的最小正周期是()(A )2π.(B )32π.(C )π.(D )π2.9.双曲线x 2-y 22=1在点(-2,2)处的切线的方程是()(A )y =-x +2.(B )y =-x +32.(C )y =-2x -2.(D )y =-2x +32.10.已知向量O A ң=(-2,0),O B ң=(2,2),B C ң=(2c o s θ,2s i n θ)(0ɤθ<2π),则向量O A ң与O C ң的夹角的取值范围是()(A )[7π6,11π6].(B )[7π12,11π12].(C )[2π3,5π3].(D )[5π4,7π4].二㊁填空题(每小题4分,共40分.)11.函数f (x )=l n x x -1的定义域是.12.三角式6t a n 10ʎ+42c o s 80ʎ的值等于.13.已知数列{a n }中,a 1=2,a n +1=1+a n 1-a n .记数列{a n }的前n 项的乘积为ᵑn ,则ᵑ2012=.14.H o w m a n yp o s i t i v e r o o t sd o e s t h ee q u a t i o n (x +12)2012-x 2012+2x +12=0h a v e ?.15.不等式c o s 2θ+22c o s θ>1的解集是.16.已知向量a ,b ,c 是三个具有公共起点的非零向量,且|a |=2|b |=2,又a ㊃b =-1, a -c ,b -c ⓪=π3,则当|a -c |=7时,向量a 与c 的夹角是.17.若数列{x n }满足条件x 1=3,x n +1=x 2n +12x n,则该数列的通项公式x n =.18.已知点M 是әA B C 所在平面内的一点,且满足MA 2+M B 2+M C 2=4,那么әA B C 三条边长之积A B ㊃B C ㊃C A的最大值是.图119.如图1,正方体A B C D A ᶄB ᶄC ᶄD ᶄ中,E E ᶄʊF F ᶄʊB B ᶄ,平面A E E ᶄA ᶄ与平面A B B ᶄA ᶄ成15ʎ角,平面A F F ᶄA ᶄ与平面A D D ᶄA ᶄ成30ʎ角.如果正方体的棱长为1,那么几何体A E F A ᶄE ᶄF ᶄ的体积等于.20.已知A ,B 是抛物线y 2=4x 上的两个动点,且|A B |=3,则当A B 的中点M 到y 轴的距离最短时,点M 的横坐标是.三㊁解答题每题都要写出推算过程.21.(本题满分10分)解不等式l o g a (x 2+1+x )+l o g a (x 2-2x +10+x -1)ȡl o g a 3(a >0且a ʂ1).22.(本题满分15分)已知正三棱锥底面的一个顶点与它所对的侧面的重心的距离为4,求此正三棱锥的体积的最大值.23.(本题满分15分)图2椭圆C :x 2+y 24=1(0ɤx ɤ1,0ɤy ɤ2)在第一象限内的一段弧记为A B ,点P (x ,y )在弧A B 上,如图2.(1)用t (P )表示椭圆C 在P 点处的切线的单位向量,方向是依椭圆的逆时针走向.求向量t (P )的解析式;(2)令函数f (P )=t (P )㊃O P ң,写出函数f (P )ʉf (x )的解析式;(3)求函数f (P )的最大值及取得最大值时的点P 的坐标,并确定函数f (P )ʉf (x )的值域.。
第二十四届“希望杯”全国数学邀请赛高二第2试试题
第二十四届 希望杯 全国数学邀请赛高二㊀第2试试题一㊁选择题(每小题4分,共40分.)1.已知函数y =f (x )是偶函数,且f (4+x )=f (4-x ),则函数f (x )()(A )是周期为2的函数.(B )是周期为4的函数.(C )是周期为8的函数.(D )不是周期函数.2.两个非零向量a 和b 满足|a |=|b |=|a +b |,则向量a 和b 的夹角等于()(A )60ʎ.(B )90ʎ.(C )120ʎ.(D )150ʎ.3.若函数y =x 2+a x +a 2+52a -2有4个单调区间,则实数a 的取值范围是()(A )(-ɕ,-4).(B )(-4,23).(C )(23,+ɕ).(D )[-4,23].4.当0<x <π2时,下列命题中正确的是()(A )s i n (c o s x )>c o s (s i n x ).(B )s i n (c o s x )<c o s (s i n x ).(C )s i n (c o s x )=co s (s i n x ).(D )s i n (c o s x ),c o s (s i n x )的大小不确定.5.直线3a x -2b y -3=0(a >0,b >0)与曲线x 2+y 2-2x +6y +1=0相交于A ㊁B 两点,若A B =6,则1a +1b的最小值是()(A )22.(B )3.(C )32.(D )3+22.6.若关于x 的不等式1<2c o s x -3a2a -c o s x<2有解,则参数a 的取值范围是()(A )(-47,0)ɣ(0,47).(B )(-47,0)ɣ(0,35).(C )(-35,0)ɣ(0,35).(D )(-35,0)ɣ(0,47).7.已知集合A ={(x ,y )|y =-x 2},B ={(x ,y )|(x -5)2+(y -1)2=4},M ɪA ,N ɪB ,则|MN |m i n =()(A )25-2.(B )2.(C )23-2.(D )23+1.8.已知椭圆C 的两个焦点分别是F 1(-1,0)和F 2(1,0),且C 与直线x +y -3=0有公共点,则C 的离心率的最大值是()(A )612.(B )55.(C )66.(D )510.9.L e t A B C D b ea t e t r a h e d r o n w i t he d g e l e n gt h7,13,18,27,36,a n d 41.I f A B =41,t h e n C D =()(A )7.(B )13.(C )18.(D )27.10.在平面直角坐标系中,过点A (2,3)且与单位圆O 相切的圆的圆心轨迹是()(A )圆.(B )椭圆.(C )双曲线.(D )抛物线.二㊁填空题(每小题4分,共40分.)11.已知关于x 的函数y =l g[x 2+2(a +1)x +1]的定义域是R ,则a 的取值范围是.12.已知f (x )=x +2x,则函数y =f (f (x ))的单调递增区间是.13.若关于θ的不等式c o s 22θ-2c o s 2θ+4-m 2<0的解集为{θθʂk π+π2,k ɪZ },则实数m 的值是.14.S u p p o s e f (x )=12x +5+l g 1-x 1+x ,t h e n t h e s o l u t i o n s e t f o r t h e i n e q u a l i t y f [x (x -12)]<15w i l lb e .15.已知直线l :y =k x -1与圆C :x 2+y 2-8x -6y +21=0交于A ㊁B 两点(C 为圆心),若C A ң㊃C B ң=0,则k =.16.已知三棱锥A B C D 的侧棱长都是6,且A B ʅA C ,A B ʅA D ,øC A D =60ʎ,点E ㊁F 分别在A C ㊁A D 上,C E E A =A FF D=2,则V F B D E =.17.若关于x 的方程3c o s 2x -2kc o s x=25有解,则参数k 的取值范围是.18.已知抛物线C :x 2=4y 的焦点是F ,直线l 与C 交于A ㊁B 两点,若A F =2,B F =5,则满足条件的直线l 的条数是.19.有一个正四棱锥V A B C D ,侧面都是边长为1的正三角形,设点P 在侧面V A B 的边A B 的高线上,且点P 到点V 与到边A B 的距离比为1ʒ3,M 是边B C 的中点,则在棱锥表面上从点P 到点M 的最短距离是.20.以棱长为1的正方体的一个顶点,以及与它不共面的三个面的中心组成一个三棱锥,则这个三棱锥的体积是.三㊁解答题每题都要写出推算过程.21.(本题满分10分)已知函数y =f (x )=2-1x,数列{a n }满足:a 1=2,a n +1=f (a n ).(1)证明:存在一个等差数列{b n },使得当n >1时,a n =b nb n -1成立;(2)求{a n }的通项公式.22.(本题满分15分)已知四棱锥P A B C D 的底面是正方形,P D =A D =4,P D 与底面成60ʎ角,点H 在A D 上,且PH ʅ底面A B C D ,点M 是P C 的中点.求:(1)DM 与B C 所成角的余弦值;(2)直线P C 与H B 间的距离.23.(本题满分15分)在平面直角坐标系x O y 中,曲线C 的方程是x 29+(|y |-1)24=1,内接于曲线C 的矩形D 的边都平行于坐标轴.(注:矩形D 的顶点在曲线C 上,且矩形D 的边上的任意一点(x 0,y 0)在曲线C 内,即x 209+(|y 0|-1)24ɤ1.)(1)求矩形D 的周长L 和面积S 关于x 的函数表达式;(2)求周长L 的最大值.高二第2试答案21.（1）略.（2）数列{a n}的通项公式是1 nnan+=.22.（1）4.（2）31.23.（1）.。
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第20届全国希望杯高二数学邀请赛 第二试
一、选择题（每题4分，40分）
1、设的定义域为D ，又()()().h x f x g x =+若(),()f x g x 的最大值分别是M ，N ，最小值分别是m ，n ，则下面的结论中正确的是（ ）
A ．()h x 的最大值是M+N
B ．()h x 的最小值是m ＋n
C ．()h x 的值域为{|}x m n x M N +≤≤+
D ．()h x 的值域为{|}x m n x M N +≤≤+的一个子集
2、方程log (0,1)x a a x a a -=>≠的实数根的个数为（ ）
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
3、已知函数32()1(0)f x ax bx cx a =++-<，且(5)3f =，那么使()0f x =成立的x 的个数为（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．不确定的
4、设22{(,)|S x y x y =-是奇数，,}x y R ∈,22{(,)|sin(2)sin(2)T x y x y ππ=-＝ 22cos(2)cos(2),,}x y x y R ππ-∈，则S ，T 的关系是（ ）
A ．S ≠⊂T
B ．T ≠
⊂S C ．S=T D ．S T =Φ 5、定义集合M,N 的一种运算*，：1212*{|,,}M N x x x x x Mx N ==∈∈，若{1,2,3}M =，N={0,1,2}，则M*N 中的所有元素的和为（ ）
A ．9
B ．6
C ．18
D ．16
6、关于x 的整系数一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠中，若a b +是偶数，c 是奇数，则（ ）
A ．方程没有整数根
B ．方程有两个相等的整数根
C ．方程有两个不相等的整数根
D ．不能判定方程整数根的情况
7、设x 是某个三角形的最小内角，则cos cos sin 22
x y x x =-的值域是（ ） A
．( B
．( C
． D
． 8、已知e
tan ）
A
．<< B
．sin << C
．sin < D ．
<<9、()f x 是定义在R 上的奇函数，且(2)f x -是偶函数，则下列命题中错误的是（ ）
A ．()f x 的图像关于x ＝2对称
B ．()f x 的图像关于点(4,0)-对称
C ．()f x 的周期为4
D ．()f x 的周期为8
10、某航空公司经营A,B,C,D 四个城市之间的客运业务，其中部分单程机票的价格如下： A,B 区间：2000元；A,C 区间：1600元；A,D 区间：2500元；B,C 之间：1200元；C,D 区间：900元。
已知这家公司规定的机票与城市间的直线距离成正比，则B,D 区间机票价格为（ ）
A ．1200元
B ．1500元
C ．1600元
D ．2000元
二、填空题（每题4分，共40分）
11、如图1，动点P 从直角梯形ABCD 的直角顶点B 出发，沿B —C —D —A 的
顺序运动，得到以点P 运动的路程x 为
自变量，△ABP 的面积y 为函数的图像，
如图2，则梯形ABCD 的面积为 。
12、锐角△ABC 的三个内角的度数成等
比数列，且B ＝2A ，则其中最小角的值等于 。
13、已知公差大于零的等差数列的第5项与第13项的绝对值相等，则当前n 项和最小时，n ＝ 。
14、已知等比数列｛a n ｝中，a 3＝2，当此数列的前5项和取得最小值时，前5项依次为 。
15、已知3432
()23,(())4474f x x x f g x x x x x =--=+--，则()g x 的各项系数（包括常数项）的和等于 。
16、设O 为△ABC 内一点,则OA BC OB CA OC AB ⋅+⋅+⋅ = 。
17、The number 2009 has the following properties:
①It is divisible by 7 ;②When divisible by 8, it has a remainder of 1;③When divisible by 9, it has a remainder of 2。
The 3－digit number with the above properties is 。
18
4=，则23x y +的取值范围是 。
19、2009 apples are distributed among a number of children so that each child gets a different positive mumber of apples 。
How many children are there at the most ？Answer ：
20、设集合A ＝｛1，2，3，…，n ｝，则集合A 的所有非空子集中元素和的和等于 。
三、解答题 每题都要写出推算过程
21、本题10分
图1
已知关于x 的不等式250ax x a
-<-的解集为M ，若2及－1有且恰有一个不在M 中，求实数a 的取值范围。
22、本题满分15分
向量a ，b 的夹角为60°，且|a|＝|b|＝1
（1）当|a ＋tb|取得最小值时，求t 的值；
（2）当|a ＋tb|取得最小值时，证明：b ⊥（a ＋tb ）
23、本题满分15分
数列｛a n ｝是各项均为正数的等差数列，前n 项的和为S n 。
数列｛b n ｝是等比数列，且满足
111b a ==，33b S ＝144，{}n a b 的公比＝16，求数列｛a n ｝
，｛b n ｝的通项公式。
参考答案
DBCAD ACCCB
11、104
12
13、8或9
14、2，－2，2，－2，2
15、0或2
16、0
17、497
18、[9,17]
19、62
20、2(1)2n n n -+⋅
21、当2,1M M ∈-∉时，有250450a 11a a a a
-⎧<⎪⎪-⎨--⎪≥⎪-⎩或＝ 解得a 的范围为5
5][1,)(4,)2
∞+∞ （－，－ 当2,1M M ∉-∈时，有250a 4501a a a a
-⎧≥⎪⎪-⎨--⎪<⎪-⎩或＝4解得a 的范围为φ 综上所述：a 的范围为
5
5][1,)(4,)2∞+∞ （－，－ 22、（1）22||1a tb t t +=++ ，∴当t ＝12-时，||a tb + 最小 （2）当||a tb + 最小时，t ＝12
-， b ·（a －12b ）＝ab －12b 2＝1212-＝0，∴b ⊥（a ＋tb ） 23、a n ＝2n －1，1n 1*4
4n n n b N -=∈－或（－），。