能量和动量的综合应用(超详细)

【本讲主要内容】能量和动量的综合应用相互作用过程中的能量转化及动量守恒的问题【知识掌握】【知识点精析】1. 应用动量和能量的观点求解的问题综述：该部分是力学中综合面最广，灵活性最大，内容最为丰富的部分。

要牢固树立能的转化和守恒思想，许多综合题中，当物体发生相互作用时，常常伴随多种能量的转化和重新分配的过程。

因此，必须牢固地以守恒（系统总能量不变）为指导，这样才能正确无误地写出能的转化和分配表达式。

2. 有关机械能方面的综述：（1）机械能守恒的情况：例如，两木块夹弹簧在光滑水平面上的运动，过程中弹性势能和木块的动能相互转化；木块冲上放在光滑面上的光滑曲面小车的过程，上冲过程中，木块的动能减少，转化成木块的重力势能和小车的动能。

等等……（2）机械能增加的情况：例如，炸弹爆炸的过程，燃料的化学能转化成弹片的机械能；光滑冰面上两个人相互推开的过程，生物能转化成机械能。

等等…… （3）机械能减少的情况：例如，“子弹击木块”模型，包括“木块在木板上滑动”模型等；这类模型为什么动量守恒，而机械能不守恒（总能量守恒），请看下面的分析：如图1所示，一质量为M 的长木板B 静止在光滑水平面上，一质量为m 的小滑块A 以水平速度v 0从长木板的一端开始在长木板上滑动，最终二者相对静止以共同速度一起滑行。

滑块A 在木板B 上滑动时，A 与B 之间存在着相互作用的滑动摩擦力，大小相等，方向相反，设大小为f 。

因水平面光滑，合外力为零，以A 、B 为系统，动量守恒。

（过程中两个滑动摩擦力大小相等，方向相反，作用时间相同，对系统总动量没有影响，即系统的内力不影响总动量）。

由动量守恒定律可求出共同速度0v m M m v += 上述过程中，设滑块A 对地的位移为s A ，B 对地位移为s B 。

由图可知，s A ≠s B ， 且s A ＝（s B +Δs ），根据动能定理：对A ：W fA ＝2020202B 21)(212121)(mv m M mv m mv mv s s f -+=-=∆+-对B ：202B fB )(21021mM mv M Mv fs W +=-== 以上两式表明：滑动摩擦力对A 做负功，对B 做正功，使A 的动能减少了，使B 的动能增加了。

我们计算一下系统机械能的变化量：)21(21))((2121)(21202020202mv m M M mv m M mv m M mv v m M E +-=-++=-+=∆ 我们再研究一下W fA 和W fB 的代数和W fA +W fB s f fs s s f ∆-=+∆+-=B B )(又W fA +W fB )21(21)2121(202202mv m M M Mv mv mv +-=+-= 从中可以看出：本题中一对滑动摩擦力做功的代数和（为负值）恰为系统机械能的变化量，其绝对值即s f ∆正是系统机械能的减少量，即“摩擦生热”。

即A 的动能减少了，B 的动能增加了，但二者的变化的绝对值并不等，其差值｜W fA ｜－｜W fB ｜＝f （s A -s B ）＝f Δs ，等于A 和B 系统的机械能减少量，即“摩擦生热”，即系统的初始机械能（木块A 的动能）等于系统末态机械能（木板的动能和木块的动能）加上产生的内能。

可以认为摩擦力对滑块A 做负功使其动能减少，一部分通过摩擦力对木板B 做正功，转移给木板B ，另一部分转化为系统的内能。

简言之，相互作用的滑动摩擦力对A 、B 作用时间相同，而A 、B 发生的位移不同，使得系统动量守恒而机械能不守恒。

【解题方法指导】例1. 两个木块A 和B 的质量分别为m A ＝3kg ，m B ＝2kg ，A 、B 之间用一轻弹簧连接在一起。

A 靠在墙壁上，用力F 推B 使两木块之间弹簧压缩，地面光滑，如图2所示。

当轻弹簧具有8J 的势能时，突然撤去力F 将木块B 由静止释放。

求：（1）撤去力F 后木块B 能够达到的最大速度是多大？（2）木块A 离开墙壁后，弹簧能够具有的弹性势能的最大值多大？分析：本题第一问，撤去力F 后木块B 只在弹簧弹力作用下运动，木块A 不动，弹簧的弹性势能转化为木块B 的动能，弹簧第一次恢复原长时，木块B 有最大速度。

弹簧第一次恢复原长后，由于惯性，木块B 将继续运动，弹簧被拉长，木块A 将离开墙壁。

木块A 离开墙壁后，只有弹簧弹力做功，三者组成的系统机械能仍守恒，且墙壁对此系统不再施加外力，所以此系统的动量也守恒。

此后当木块A 和B 具有相同的速度时，弹簧形变最大，弹簧具有最大弹性势能。

解答：（1）设撤去力F 后，木块B 的最大速度v 0，根据机械能守恒有2021v m E B = B02m E v =∴＝22m/s （2）设两木块具有的相同速度为v ，根据动量守恒定律有m B v 0＝（m A +m B ）v2 礼花弹在爆炸过程中，化学能转化成机械能的大小即为弹片动能的改变量， 2222121221221mv v m v m E -+=∆ 解得ΔE ＝180J评价：该题是机械能增加的情况：炸弹爆炸的过程，燃料的化学能转化成弹片的机械能；光滑冰面上两个人相互推开的过程，生物能转化成机械能。

【考点突破】【考点指要】动量和能量的综合问题，是高中力学最重要的综合问题，也是难度较大的问题，分析这类问题时，应首先建立清晰的物理图景，抽象出物理模型，选择物理规律，建立方程进行求解。

例3. 在水平桌面上固定有一块质量为M的木块，一粒质量为m，速度为v0的子弹沿水平方向射入木块，子弹深入木块d后停在其中。

若将该木块放在光滑水平面上，仍用原来的子弹射击木块，求子弹射入木块的深度d′多大？有多少机械能转化为内能？设两种情况下子弹相连，在光滑的水平直轨道上处于静止状态，在它们左边有一垂直于轨道的固定挡板P，右边有一小球C沿轨道以速度v0射向B球，如图3所示。

C与B发生碰撞并立即结成一个整体D，在它们继续向左运动的过程中，当弹簧长度变到最短时，长度突然被锁定，不再改变，然后，A球与挡板P发生碰撞，碰后，A、D都静止不动，A与P接触而不粘连。

过一段时间，突然解除锁定（锁定及解除锁定均无机械能损失）。

已知A、B、C三球的质量均为m。

（1）求弹簧长度刚被锁定后A 球的速度？（2）求在A 球离开挡板P 之后的运动过程中，弹簧的最大弹性势能？分析：C 与B 发生碰撞结成一个整体D 的过程，是一个瞬时的碰撞过程，可以不考虑弹簧对它们的作用，以B 、C 为系统，属于完全非弹性碰撞，满足动量守恒，机械能有损失。

C 与B 合为D 后，向左压缩弹簧，D 减速，A 加速，D 的动能减少，A 的动能增加，弹簧弹性势能增加，A 和D 速度相等时，弹簧最短，弹性势能最大，此过程A 和D 及弹簧组成的系统合外力为零，满足动量守恒，且只有弹簧弹力做功，满足机械能守恒。

A 球与挡板P 发生碰撞后A 、D 都静止不动，说明P 对A 和D 及弹簧组成的系统做了负功，使它们的动能减为零，由于此前弹簧已被锁定，所以，此时弹簧仍具有最大弹性势能。

解除锁定后，开始A 不动，弹性势能转化成D 的动能，弹簧达到原长时D 的速度最大，此后A 被带动离开P ，D 减速、A 加速，弹簧开始伸长，弹性势能增加，当A 和D 速度相等时，弹性势能达到最大。

从A 离开P 开始，A 和D 及弹簧组成的系统合外力为零，满足动量守恒，且只有弹簧弹力做功，满足机械能守恒。

解答：（1）设C 球与B 球粘结成D 时，D 的速度为v 1，由动量守恒，有：mv 0＝2mv 1 ① 当弹簧压至最短时，D 与A 的速度相等，设此速度为v 2，由动量守恒有：2mv 1＝3mv 2 ② 由①②两式得A 的速度为v 2＝031v ③（2）设弹簧长度被锁定后，贮存在弹簧中的势能为E p ，由能量守恒有：2221)3(21)2(21v m v m =+E P ④撞击P 后，A 与D 的动能都为零，解除锁定后，当弹簧刚恢复到自然长度时，势能全部转化成D 的动能，设D 的速度为v 3，则有：E p ＝23)2(21v m ⑤ 以后弹簧伸长，A 球离开挡板，并获得速度。

当A 、D 的速度相等时，弹簧伸至最长，设此时速度为v 4，由动量守恒，有：2mv 3＝3mv 4 ⑥ 当弹簧伸到最长时，其势能最大，设此势能为E p ′，由能量守恒有：P 2423)3(21)2(21E v m v m '+= ⑦解以上各式得 P E '＝20361mv 评述：从解答过程可以看出，本题过程复杂，但我们可以把复杂的过程分解成多个我们熟知的模型，这是解决复杂问题的一般方法。

一定要仔细分析物理过程，确定好关键的物理状态，认真分析每一过程的特点（受力情况、能量转化情况等），选择合适的规律解决。

请同学们类比一下，本题的多个过程与我们熟悉的哪些模型类同。

例5. （上海市高考）柴油打桩机的重锤由气缸、活塞等若干部件组成，气缸与活塞间有柴油与空气的混合物。

在重锤与桩碰撞的过程中，通过压缩使混合物燃烧，产生高温高压气体，从而使桩向下运动，锤向上运动。

现把柴油打桩机和打桩过程简化如下：柴油打桩机重锤的质量为m ，锤在桩帽以上高度为h 处（如图4）从静止开始沿竖直轨道自由落下，打在质量为M （包括桩帽）的钢筋混凝土桩子上。

同时，柴油燃烧，产生猛烈推力，锤和桩分离，这一过程的时间极短。

随后，桩在泥土中向下移动一距离l 。

已知锤反跳后到达最高点时，锤与已停下的桩帽之间的距离也为h （如图5）。

已知m ＝1.0×103kg ，M ＝2.0×103kg ，h ＝2.0m ，l ＝0.20m ，重力加速度g ＝10m/s 2，混合物的质量不计。

设桩向下移动的过程中泥土对桩的作用力F 是恒力，求此力的大小。

解答：锤自由下落，碰桩前速度v 1向下，gh v 21= ①碰后，已知锤上升高度为（h －l ），故刚碰后向上的速度为)(22l h g v -= ②设碰后桩的速度为V ，方向向下，由动量守恒，21mv MV mv -= ③桩下降的过程中，根据功能关系，Fl Mgl MV =+221 ④ 由①、②、③、④式得])(22)[(l h h l h Mm l mg Mg F -+-+= ⑤ 代入数值，得5101.2⨯=F N ⑥【达标测试】1. 如图1所示，在光滑水平面上有两块木块A 和B ，质量均为m ，B 的左侧固定一轻质弹簧。

开始时B 静止，A 以v 0速度向右运动与B 发生无机械能损失的碰撞，那么A 与B 碰撞过程中（ ）A. 任意时刻，A 、B 系统的总动量应守恒B. 任意时刻，A 、B 系统的总动能恒定不变C. 当弹簧压缩到最短长度时，A 与B 具有相同的速度D. 当弹簧恢复到原长时，A 与B 具有相同的速度2. 质量为m的子弹以初速度v0水平射入一静止在光滑水平面上，质量为M的木块中，但并未穿透，则下述说法正确的是（）A. 子弹动能的增量等于子弹克服阻力做功的负值B. 子弹克服阻力做的功等于系统增加的内能C. 子弹克服阻力f做的功等于f的反作用对木块做的功D. 子弹机械能的损失量等于木块获得的动能和系统损失的机械能之和3. 质量为6.0kg的物体A静止在水平桌面上，另一个质量为2.0kg的物体B以5.0m/s的水平速度与物体A相碰，碰撞后物体B以1.0m/s的速度反向弹回，则相碰撞过程中损失的机械能是______J。