上海市九年级上学期期中数学试题
上海市徐汇中学2024-2025学年九年级上学期数学期中考试试卷
上海市徐汇中学2024-2025学年九年级上学期数学期中考试试卷一、单选题1．下列各组线段中，成比例线段的组是（）A ．0.2cm,0.3cm,4cm,6cmB ．1cm,3cm,4cm,8cmC ．3cm,4cm,5cm,8cmD ．1.5cm,2cm,4cm,6cm2．下列命题一定正确的是（）A ．两个等腰三角形一定相似B ．两个等边三角形一定相似C ．两个直角三角形一定相似D ．两个含有30°角的三角形一定相似3．把抛物线y=﹣x 2+1向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的解析式为（）A ．y=﹣（x+3）2+1B ．y=﹣（x+1）2+3C ．y=﹣（x ﹣1）2+4D ．y=﹣（x+1）2+44．如图，在ABC V 中，DE BC ∥，2AD =，3BD =，10AC =，则AE 的长为（）A ．3B ．6C ．5D ．45．如图，梯形ABCD 中，AB CD ∥，AC ，BD 交于O ，下列等式正确的是（）A ．AOD AOB S ADS AB=△△B ．COD AOB S CDS AB=△△C ．AOD BOA S DOS OB= D ．AOD BOC S DOS OC=△△6．如图，是二次函数2y ax bx c =++图象的一部分，直线1x =-是对称轴，且经过点(2,0)．有下列判断：①20a b -=；②1640a b c -+<；③9a b c a -+=-；④若1(3,)A y -，2(1.5,)B y 是抛物线上两点，则12y y >．其中正确的是（）A ．①③B ．①④C ．①③④D ．②③④二、填空题7．已知:1:3x y =，那么():x y y +=．8．如果地图上A 、B 两处的图距是4cm ，表示这两地的实际距离是200km ，那么实际距离是500km 的两地在地图上的图距是cm .9．已知点P 是线段AB 上的一点，且2AP AB PB =⋅，如果2AB =，那么AP =．10．若两个相似三角形的周长比为2：3，则它们的面积比是.11．如图，直线AD ，BC 交于点O ，AB EF CD ∥∥，若5AO =，2OF =，3FD =，则BE EC的值为．12．抛物线()212y x =-+与y 轴交点的坐标为．13．已知抛物线y=ax 2+bx+c （a ＞0）的对称轴是直线x=2，且经过点P （3，1），则a+b+c 的值为．14．如图，DE 是ABC V 的中位线，点F 在DB 上，2DF BF =，连接EF 并延长，与CB 的延长线交于点M ．若8BC =，则线段CM 的长为．15．如图1是装了液体的长方体容器的主视图（数据如图），将该容器绕地面一棱进行旋转倾斜后，水面恰好接触到容器口边缘，如图2所示，此时液面宽度AB．16．如图，点P 是ABC V 的重心，点D 是边AC 的中点，PE AC ∥交BC 于点E ，DF BC ∥交EP 于点F ．若四边形CDFE 的面积为6，则ABC 的 面积为17．如图，Rt △OAB 的顶点A （﹣2，4）在抛物线y =ax 2上，将Rt △OAB 绕点O 顺时针旋转90°，得到△OCD ，边CD 与该抛物线交于点P ，则点P 的坐标为．18．如图，在等腰直角ABC V 中，2AC =，M 为边BC 上任意一点，连接AM ，将ACM △沿AM 翻折得到AC M '△，连接BC '并延长交AC 于点N ，若点N 为AC 的中点，则CM 的长为．三、解答题19．如图，AD BE ，BD CE ．(1)试说明OA OBOB OC=；(2)若4OA =，12AC =，求OB 的长．20．在ABC 中，2AB =，将ABC 绕点B 逆时针旋转得到MBN ，且CN BM ∥，MA 的延长线与CN 交于点P ，若3AM =，152CN =．(1)求证：ABM CBN ∽；(2)求AP 的长．21．如图，抛物线2y a(x 1)4=-+与x 轴交于点A ，B ，与轴交于点C ，过点C 作CD ∥x轴，交抛物线的对称轴于点D ，连结BD ，已知点A 坐标为（-1，0）．（1）求该抛物线的解析式；（2）求梯形COBD 的面积．22．在初中物理中我们学过凸透镜的成像规律．如图MN 为一凸透镜，F 是凸透镜的焦点．在焦点以外的主光轴上垂直放置一小蜡烛AB ，透过透镜后呈的像为CD ．光路图如图所示：经过焦点的光线AE ，通过透镜折射后平行于主光轴，并与经过凸透镜光心的光线AO 汇聚于C 点．若焦距4OF =，物距6OB =，小蜡烛的高度1AB =，求蜡烛的像CD 的长度以及像CD 与透镜MN 之间的距离．23．已知，如图，在梯形ABCD 中，AD BC ∥，90BCD ∠=︒，对角线AC 、BD 相交于点E ，且AC BD ⊥．(1)求证：2CD BC AD =⋅；(2)点F 是边BC 上一点，连接AF ，与BD 相交于点G ，如果BAF DBF ∠=∠，求证：22AG BGBDAD =．24．如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线()20y ax bx c a =++>与x 轴相交于点()1,0A -和点B ，与y 轴交于点C ，对称轴为直线1x =．(1)求点C 的坐标（用含a 的代数式表示）；(2)连接AC 、BC ，若ABC V 的面积为6，求此抛物线的表达式；(3)在第（2）小题的条件下，点Q 为x 轴正半轴上一点，点G 与点C ，点F 与点A 关于点Q 成中心对称，当CGF △为直角三角形时，求点Q 的坐标．25．在ABC V 中，45ACB ∠=︒，点D （与点B 、C 不重合为射线BC 上一动点，连接AD ，以AD 为一边且在AD 的右侧作正方形ADEF ．(1)如果AB AC =．如图①，且点D 在线段BC 上运动．试判断线段CF 与BD 之间的位置关系，并证明你的结论．(2)如果AB AC ≠，如图②，且点D 在线段BC 上运动．（1）中结论是否成立，为什么？(3)若正方形ADEF 的边DE 所在直线与线段CF 所在直线相交于点P ，设AC =3BC =，CD x =，求线段CP 的长．（用含x 的式子表示）。
【初三数学】上海市九年级数学上期中考试测试题(含答案解析)
新九年级上学期期中考试数学试题及答案一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分)1．在下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ C ）2．用配方法解方程x2＋10x＋9＝0，配方后可得(A)A．(x＋5)2＝16 B．(x＋5)2＝1C．(x＋10)2＝91 D．(x＋10)2＝1093．(2018·济宁)如图，在平面直角坐标系中，点A，C在x 轴上，点C的坐标为(－1，0)，AC＝2，将Rt△ABC先绕点C顺时针旋转90°，再向右平移3个单位长度，则变换后点A的对应点的坐标是( A)A．(2，2) B．(1，2) C．(－1，2) D．(2，－1)4．(雅安中考)将抛物线y＝(x－1)2＋3向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度后所得抛物线的解析式为(D) A．y＝(x－2)2B．y＝(x－2)2＋6C．y＝x2＋6 D．y＝x25．某商品原售价为50元，10月份下降了10%，从11月份起售价开始增长，12月份售价为64.8元，设11、12月份每个月的平均增长率为x，则下列结论正确的是（D）A．10月份的售价为50(1＋10%)元B．11月份的售价为50(1＋10%)元C．50(1＋x)2＝64.8D．50(1－10%)(1＋x)2＝64.86．已知a≥2，m，n为x2－2ax＋2＝0的两个根，则(m－1)2＋(n－1)2的最小值是（ A ）A．6 B．3 C．－3 D．07．(呼和浩特中考)在同一平面直角坐标系中，函数y＝mx ＋m和函数y＝－mx2＋2x＋2(m是常数，且m≠0)的图象可能是（D）8．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，AC＝2，△ABC绕点C顺时针旋转得△A1B1C，当A1落在AB边上时，连接B1B，取BB1的中点D，连接A1D，则A1D的长度是( A )A.7 B．2 2 C．3 D．2 3第8题图第9题图第10题图9．如图，小明家的住房平面图呈长方形，被分割成3个正方形和2个长方形后仍是中心对称图形，若只知道原住房平面图长方形的周长，则分割后不用测量就能知道周长的图形的标号为( A )A ．①②B ．②③C ．①③D ．①②③10．(2018·达州)如图，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象与x 轴交于点A(－1，0)，与y 轴的交点B 在(0，2)与(0，3)之间(不包括这两点)，对称轴为直线x ＝2.下列结论：①abc<0；②9a ＋3b ＋c>0；③若点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，y 1、点N ⎝ ⎛⎭⎪⎫52，y 2是函数图象上的两点，则y 1<y 2； ④－35<a<－25.其中正确结论有( D )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二、填空题(本大题共8小题，每小题3分，共24分)11．如图，对称轴平行于y 轴的抛物线与x 轴交于(1，0)，(3，0)两点，则它的对称轴为直线x＝2.第11题图第15题图第18题图12．一元二次方程(x＋3)2－x＝2(x2＋3)化成一般形式为x2－5x－3＝0，方程根的情况为有两个不相等的实数根．13．等边三角形绕中心点至少旋转120度后能与自身重合，正方形绕中心点至少旋转90度后能与自身重合．14．平面直角坐标系中有一个点A(－2，6)，则与点A关于原点对称的点的坐标是(2，－6)，经过这两点的直线的解析式为y＝－3x.15．(原创)如图，直线y＝x＋m和抛物线y＝x2＋bx＋c都经过点A(1，0)和B(3，2)，不等于x2＋bx＋c＞x＋m的解集为x ＜1或x＞ 3.16．一位运动员投掷铅球的成绩是14 m，当铅球运行的水平距离是6 m时达到最大高度4 m，若铅球运行的路线是抛物线，则铅球出手时距地面的高度是1.75 m.17．已知方程(p－2)x2－x＋p2－3p＋2＝0的一个根为0，则实数p的值是1.18．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝2，将△ABC绕点A顺时针方向旋转60°到△AB′C′的位置，连接C′B，则C′B三、解答题(本大题共7小题，共66分)19．(8分)(1)解方程3x2－x－1＝0；解：∵a＝3，b＝－1，c＝－1∴b2－4ac＝(－1)2－4× 3×(－1)＝13＞0，∴x＝－（－1）±132× 3＝1±136，∴x1＝1＋136，x2＝1－136；(2)通过配方，写出抛物线y＝1＋6x－x2的开口方向、对称轴和顶点坐标．解：y＝1＋6x－x2＝－(x－3)2＋10，开口向下，对称轴是直线x＝3，顶点坐标是(3，10)．20．(8分)如图所示，△ABC是直角三角形，BC是斜边，将△ABP绕点A逆时针旋转后，能与△ACP′重合，AP＝5，则PP′的长是多少？解：由旋转易知AP′＝AP＝5，∠BAP＝∠CAP′，∵∠BAC ＝90°，∴∠PAP′＝∠CAP＋∠CAP′＝∠CAP＋∠BAP＝90°，则在Rt△PAP′中，由勾股定理得PP′＝AP2＋AP′2＝5 2.21(8分)(眉山中考)如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别是A(－3，2)，B(－1，4)，C(0，2)．(1)将△ABC以点C为旋转中心旋转180°，画出旋转后对应的△A1B1C；(2)平移△ABC，若A的对应点A2的坐标为(－5，－2)，画出平移后的△A2B2C2；(3)若将△A 2B 2C 2绕某一点旋转可以得到△A 1B 1C ，请直接写出旋转中心的坐标．解：(1)如图；(2)如图；(3)旋转中心的坐标为(－1，0)．22．(8分)如图，经过原点O 的抛物线y ＝ax 2＋bx(a ≠0)与x 轴交于另一点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，在第一象限内与直线y ＝x 交于点B(2，t)．(1)求抛物线的解析式；(2)若点M 在抛物线上，且∠MBO ＝∠ABO ，求点M 的坐标．新人教版九年级数学上册期中考试试题(含答案)一.选择题（每小题3分，总分36分）1．下列方程中，关于x的一元二次方程是（）A．（x+1）2＝2（x+1）B．C．ax2+bx+c＝0 D．x2+2x＝x2﹣12．若关于x的一元二次方程（m﹣2）x2﹣2x+1＝0有实根，则m的取值范围是（）A．m＜3 B．m≤3 C．m＜3且m≠2 D．m≤3且m≠2 3．方程x（x﹣1）＝x的根是（）A．x＝2 B．x＝﹣2 C．x1＝﹣2，x2＝0 D．x1＝2，x2＝04．下列方程中以1，﹣2为根的一元二次方程是（）A．（x+1）（x﹣2）＝0 B．（x﹣1）（x+2）＝1C．（x+2）2＝1 D．5．把二次函数y＝3x2的图象向左平移2个单位，再向上平移1个单位，所得到的图象对应的二次函数表达式是（）A．y＝3（x﹣2）2+1 B．y＝3（x+2）2﹣1C．y＝3（x﹣2）2﹣1 D．y＝3（x+2）2+16．函数y＝﹣x2﹣4x+3图象顶点坐标是（）A．（2，﹣7）B．（2，7）C．（﹣2，﹣7）D．（﹣2，7）7．抛物线y＝（x+2）2+1的顶点坐标是（）A．（2，1）B．（﹣2，1）C．（2，﹣1）D．（﹣2，﹣1）8．y ＝（x ﹣1）2+2的对称轴是直线（ ）A ．x ＝﹣1B ．x ＝1C ．y ＝﹣1D ．y ＝19．如果x 1，x 2是方程x 2﹣2x ﹣1＝0的两个根，那么x 1+x 2的值为（ ）A ．﹣1B ．2C ．D ．10．当a ＞0，b ＜0，c ＞0时，下列图象有可能是抛物线y ＝ax 2+bx +c 的是（ ）A ．B ．C ．D ．11．不论x 为何值，函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的值恒大于0的条件是（ ）A ．a ＞0，△＞0B ．a ＞0，△＜0C ．a ＜0，△＜0D ．a ＜0，△＞012．某班同学毕业时都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送1035张照片，如果全班有x 名同学，根据题意，列出方程为（ ）A ．x （x +1）＝1035B ．x （x ﹣1）＝1035×2C ．x （x ﹣1）＝1035D ．2x （x +1）＝1035二.填空题（每小题3分，总分18分）13．若关于x 的一元二次方程x 2﹣3x +m ＝0有实数根，则m 的取值范围是 ．14．方程x 2﹣3x +1＝0的解是 ．15．如图所示，在同一坐标系中，作出①y ＝3x 2②y ＝x 2③y ＝x 2的图象，则图象从里到外的三条抛物线对应的函数依次是（填序号） ．16．抛物线y ＝﹣x 2+15有最 点，其坐标是 ．17．水稻今年一季度增产a 吨，以后每季度比上一季度增产的百分率为x ，则第三季度化肥增产的吨数为 ．18．已知二次函数y ＝+5x ﹣10，设自变量的值分别为x 1，x 2，x 3，且﹣3＜x 1＜x 2＜x 3，则对应的函数值y 1，y 2，y 3的大小关系为三.解答题（本大题共8个小题，）19．（6分）解方程x 2﹣4x +1＝0x （x ﹣2）＝4﹣2x ；20．（6分）抛物线y ＝ax 2+bx +c 的顶点为（2，4），且过（1，2）点，求抛物线的解析式．21．（8分）已知关于x 的一元二次方程x 2﹣3x +m ＝0有两个不相等的实数根x 1、x 2．（1）求m 的取值范围；（2）当x 1＝1时，求另一个根x 2的值．22．（8分）已知：抛物线y ＝﹣x 2+x ﹣（1）直接写出抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标；（2）求抛物线与坐标轴的交点坐标；（3）当x 为何值时，y 随x 的增大而增大？23．（9分）百货商店服装柜在销售中发现：某品牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了迎接“六一”国际儿童节，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，减少库存．经市场调查发现：如果每件童装降价1元，那么平均每天就可多售出2件．要想平均每天销售这种童装盈利1200元，那么每件童装应降价多少元？24．（9分）某广告公司要为客户设计一幅周长为12m 的矩形广告牌，广告牌的设计费为每平方米1000元．请你设计一个广告牌边长的方案，使得根据这个方案所确定的广告牌的长和宽能使获得的设计费最多，设计费最多为多少元？25．（10分）如图，对称轴为直线x ＝2的抛物线y ＝x 2+bx +c 与x 轴交于点A 和点B ，与y 轴交于点C ，且点A 的坐标为（﹣1，0）（1）求抛物线的解析式；（2）直接写出B 、C 两点的坐标；（3）求过O ，B ，C 三点的圆的面积．（结果用含π的代数式表示）26．（10分）某片果园有果树80棵，现准备多种一些果树提高果园产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每棵树所受光照就会减少，单棵树的产量随之降低．若该果园每棵果树产果y（千克），增种果树x（棵），它们之间的函数关系如图所示．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）在投入成本最低的情况下，增种果树多少棵时，果园可以收获果实6750千克？（3）当增种果树多少棵时，果园的总产量w（千克）最大？最大产量是多少？参考答案一.选择题1．下列方程中，关于x的一元二次方程是（）A．（x+1）2＝2（x+1）B．C．ax2+bx+c＝0 D．x2+2x＝x2﹣1【分析】利用一元二次方程的定义判断即可．解：下列方程中，关于x的一元二次方程是（x+1）2＝2（x+1），故选：A．【点评】此题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解本题的关键．2．若关于x的一元二次方程（m﹣2）x2﹣2x+1＝0有实根，则m的取值范围是（）A．m＜3 B．m≤3 C．m＜3且m≠2 D．m≤3且m≠2 【分析】由于x的一元二次方程（m﹣2）x2﹣2x+1＝0有实根，那么二次项系数不等于0，并且其判别式△是非负数，由此可以建立关于m的不等式组，解不等式组即可求出m的取值范围．解：∵关于x的一元二次方程（m﹣2）x2﹣2x+1＝0有实根，∴m﹣2≠0，并且△＝（﹣2）2﹣4（m﹣2）＝12﹣4m≥0，∴m≤3且m≠2．故选：D．【点评】本题考查了根的判别式的知识，总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△＝0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．此题切记不要忽略一元二次方程二次项系数不为零这一隐含条件．3．方程x（x﹣1）＝x的根是（）A．x＝2 B．x＝﹣2 C．x1＝﹣2，x2＝0 D．x1＝2，x2＝0【分析】先将原方程整理为一般形式，然后利用因式分解法解方程．解：由原方程，得x 2﹣2x ＝0，∴x （x ﹣2）＝0，∴x ﹣2＝0或x ＝0，解得，x 1＝2，x 2＝0；故选：D ．【点评】本题考查了一元二次方程的解法﹣﹣因式分解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．4．下列方程中以1，﹣2为根的一元二次方程是（ ）A ．（x +1）（x ﹣2）＝0B ．（x ﹣1）（x +2）＝1C ．（x +2）2＝1D ． 【分析】根据因式分解法解方程对A 进行判断；根据方程解的定义对B 进行判断；根据直接开平方法对C 、D 进行判断．解：A 、x +1＝0或x ﹣2＝0，则x 1＝﹣1，x 2＝2，所以A 选项错误；B 、x ＝1或x ＝﹣2不满足（x ﹣1）（x +2）＝1，所以B 选项错误；C 、x +2＝±1，则x 1＝﹣1，x 2＝﹣3，所以C 选项错误；D 、x +＝±，则x 1＝1，x 2＝﹣2，所以D 选项正确．故选：D ．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．也考查了直接开平方法解一元二次方程，5．把二次函数y ＝3x 2的图象向左平移2个单位，再向上平移1个单位，所得到的图象对应的二次函数表达式是（ ）A ．y ＝3（x ﹣2）2+1B ．y ＝3（x +2）2﹣1C ．y ＝3（x ﹣2）2﹣1D ．y ＝3（x +2）2+1【分析】变化规律：左加右减，上加下减．解：按照“左加右减，上加下减”的规律，y ＝3x 2的图象向左平移2个单位，再向上平移1个单位得到y ＝3（x +2）2+1．故选D ．【点评】考查了抛物线的平移以及抛物线解析式的性质．6．函数y ＝﹣x 2﹣4x +3图象顶点坐标是（ ）A ．（2，﹣7）B ．（2，7）C ．（﹣2，﹣7）D ．（﹣2，7）【分析】先把二次函数化为顶点式的形式，再得出其顶点坐标即可．解：∵原函数解析式可化为：y ＝﹣（x +2）2+7，∴函数图象的顶点坐标是（﹣2，7）．故选：D ．【点评】本题考查的是二次函数的性质，根据题意把二次函数的解析式化为顶点式的形式是解答此题的关键．7．抛物线y ＝（x +2）2+1的顶点坐标是（ ）A ．（2，1）B ．（﹣2，1）C ．（2，﹣1）D ．（﹣2，﹣1）【分析】已知解析式是抛物线的顶点式，根据顶点式的坐标特点，直接写出顶点坐标． 解：因为y ＝（x +2）2+1是抛物线的顶点式，由顶点式的坐标特点知，顶点坐标为（﹣2，1）．故选：B ．【点评】考查顶点式y ＝a （x ﹣h ）2+k ，顶点坐标是（h ，k ），对称轴是x ＝h ．要掌握顶点式的性质．8．y ＝（x ﹣1）2+2的对称轴是直线（ ）A ．x ＝﹣1B ．x ＝1C ．y ＝﹣1D ．y ＝1【分析】二次函数的一般形式中的顶点式是：y ＝a （x ﹣h ）2+k （a ≠0，且a ，h ，k 是常数），它的对称轴是x ＝h ，顶点坐标是（h ，k ）．解：y ＝（x ﹣1）2+2的对称轴是直线x ＝1．故选：B ．【点评】本题主要考查二次函数顶点式中对称轴的求法．9．如果x 1，x 2是方程x 2﹣2x ﹣1＝0的两个根，那么x 1+x 2的值为（ ）A ．﹣1B ．2C ．D ．【分析】可以直接利用两根之和得到所求的代数式的值．解：如果x 1，x 2是方程x 2﹣2x ﹣1＝0的两个根，那么x 1+x 2＝2．故选：B．【点评】本题考查一元二次方程ax2+bx+c＝0的根与系数的关系即韦达定理，两根之和是，两根之积是．10．当a＞0，b＜0，c＞0时，下列图象有可能是抛物线y＝ax2+bx+c的是（）A．B．C．D．【分析】根据二次函数的图象与系数的关系可知．解：∵a＞0，∴抛物线开口向上；∵b＜0，∴对称轴为x＝＞0，∴抛物线的对称轴位于y轴右侧；∵c＞0，∴与y轴的交点为在y轴的正半轴上．故选：A．【点评】本题考查二次函数的图象与系数的关系．11．不论x为何值，函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的值恒大于0的条件是（）A．a＞0，△＞0 B．a＞0，△＜0 C．a＜0，△＜0 D．a＜0，△＞0【分析】根据二次函数的性质可知，只要抛物线开口向上，且与x轴无交点即可．解：欲保证x取一切实数时，函数值y恒为正，则必须保证抛物线开口向上，且与x轴无交点；则a＞0且△＜0．故选：B．【点评】当x取一切实数时，函数值y恒为正的条件：抛物线开口向上，且与x轴无交点；当x取一切实数时，函数值y恒为负的条件：抛物线开口向下，且与x轴无交点．12．某班同学毕业时都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送1035张照片，如果全班有x名同学，根据题意，列出方程为（）A．x（x+1）＝1035 B．x（x﹣1）＝1035×2C．x（x﹣1）＝1035 D．2x（x+1）＝1035【分析】如果全班有x名同学，那么每名同学要送出（x﹣1）张，共有x名学生，那么总共送的张数应该是x（x﹣1）张，即可列出方程．解：∵全班有x名同学，∴每名同学要送出（x﹣1）张；又∵是互送照片，∴总共送的张数应该是x（x﹣1）＝1035．故选：C．【点评】本题考查一元二次方程在实际生活中的应用．计算全班共送多少张，首先确定一个人送出多少张是解题关键．二.填空题（每小题3分，总分18分）13．若关于x的一元二次方程x2﹣3x+m＝0有实数根，则m的取值范围是m≤．【分析】在与一元二次方程有关的求值问题中，必须满足下列条件：在有实数根下必须满足△＝b2﹣4ac≥0．解：一元二次方程x2﹣3x+m＝0有实数根，△＝b2﹣4ac＝9﹣4m≥0，解得m．【点评】总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△＝0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．14．方程x2﹣3x+1＝0的解是x1＝，x2＝．【分析】观察原方程，可用公式法求解；首先确定a、b、c的值，在b2﹣4ac≥0的前提条件下，代入求根公式进行计算．解：a＝1，b＝﹣3，c＝1，b2﹣4ac＝9﹣4＝5＞0，x＝；∴x1＝，x2＝．故答案为：x1＝，x2＝．【点评】在一元二次方程的四种解法中，公式法是主要的，公式法可以说是通法，即能解任何一个一元二次方程．但对某些特殊形式的一元二次方程，用直接开平方法简便．因此，在遇到一道题时，应选择适当的方法去解．15．如图所示，在同一坐标系中，作出①y＝3x2②y＝x2③y＝x2的图象，则图象从里到外的三条抛物线对应的函数依次是（填序号）①③②．【分析】抛物线的形状与|a|有关，根据|a|的大小即可确定抛物线的开口的宽窄．解：①y＝3x2，②y＝x2，③y＝x2中，二次项系数a分别为3、、1，∵3＞1＞，∴抛物线②y＝x2的开口最宽，抛物线①y＝3x2的开口最窄．故依次填：①③②．【点评】抛物线的开口大小由|a|决定，|a|越大，抛物线的开口越窄；|a|越小，抛物线的开口越宽．16．抛物线y＝﹣x2+15有最高点，其坐标是（0，15）．【分析】根据抛物线的开口方向判断该抛物线的最值情况；根据顶点坐标公式求得顶点坐标．解：∵抛物线y＝﹣x2+15的二次项系数a＝﹣1＜0，∴抛物线y＝﹣x2+15的图象的开口方向是向下，∴该抛物线有最大值；当x＝0时，y取最大值，即y最大值＝15；∴顶点坐标是（0，15）．故答案是：高、（0，15）．【点评】本题考查了二次函数的最值．求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法．17．水稻今年一季度增产a 吨，以后每季度比上一季度增产的百分率为x ，则第三季度化肥增产的吨数为 a （1+x ）2 ．【分析】第二季度的吨数为：a （1+x ），第三季度是在第二季度的基础上增加的，为a （1+x ）（1+x ）＝a （1+x ）2．关键描述语是：以后每季度比上一季度增产的百分率为x ．解：依题意可知：第二季度的吨数为：a （1+x ），第三季度是在第二季度的基础上增加的，为a （1+x ）（1+x ）＝a （1+x ）2．故答案为a （1+x ）2．【点评】本题考查了列代数式．解决问题的关键是读懂题意，找到所求的量的等量关系，需注意第三季度是在第二季度的基础上增加的．18．已知二次函数y ＝+5x ﹣10，设自变量的值分别为x 1，x 2，x 3，且﹣3＜x 1＜x 2＜x 3，则对应的函数值y 1，y 2，y 3的大小关系为 y 1＜y 2＜y 3【分析】先利用抛物线的对称轴方程得到抛物线的对称轴为直线x ＝﹣5，而﹣3＜x 1＜x 2＜x 3，然后根据二次函数的性质得到y 1，y 2，y 3的大小关系．解：抛物线的对称轴为直线x ＝﹣＝﹣5，抛物线开口向上，所以当x ＞﹣5时，y 随x 的增大而增大，而﹣3＜x 1＜x 2＜x 3，所以y 1＜y 2＜y 3．故答案为y 1＜y 2＜y 3．【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了二次函数的性质．三.解答题（本大题共8个小题，）19．（6分）解方程x 2﹣4x +1＝0x （x ﹣2）＝4﹣2x ；【分析】先移项得x 2﹣4x ＝﹣1，再把方程两边加上4得到x 2﹣4x +4＝﹣1+4，即（x ﹣2）2＝3，然后利用直接开平方法求解；先移项，然后分解因式得出两个一元一次方程，解一元一次方程即可．解：x 2﹣4x +1＝0x 2﹣4x ＝﹣1，x 2﹣4x +4＝﹣1+4，即（x ﹣2）2＝3，∴x ﹣2＝±， ∴x 1＝2+，x 2＝2﹣；x （x ﹣2）＝4﹣2xx （x ﹣2）+2（x ﹣2）＝0，（x ﹣2）（x +2）＝0，∴x ﹣2＝0或x +2＝0，∴x 1＝2，x 2＝﹣2．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣配方法：先把方程二次项系数化为1，再把常数项移到方程右边，然后把方程两边加上一次项系数的一半得平方，这样方程左边可写成完全平方式，再利用直接开平方法解方程．也考查了因式分解法解一元二次方程．20．（6分）抛物线y ＝ax 2+bx +c 的顶点为（2，4），且过（1，2）点，求抛物线的解析式．【分析】先设为顶点式，再把顶点坐标和经过的点（1，2）代入即可解决，解：由抛物线y ＝ax 2+bx +c 的顶点为（2，4），且过（1，2）点，可设抛物线为：y ＝a （x ﹣2）2+4，把（1，2）代入得：2＝a +4，解得：a ＝﹣2，所以抛物线为：y ＝﹣2（x ﹣2）2+4，即y ＝﹣2x 2+8x ﹣4，【点评】此题考查了待定系数法求二次函数解析式，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．21．（8分）已知关于x 的一元二次方程x 2﹣3x +m ＝0有两个不相等的实数根x 1、x 2．（1）求m 的取值范围；（2）当x 1＝1时，求另一个根x 2的值．【分析】（1）根据题意可得根的判别式△＞0，再代入可得9﹣4m ＞0，再解即可；（2）根据根与系数的关系可得x 1+x 2＝﹣，再代入可得答案．解：（1）由题意得：△＝（﹣3）2﹣4×1×m ＝9﹣4m ＞0，解得：m ＜；（2）∵x1+x2＝﹣＝3，x1＝1，∴x2＝2．【点评】此题主要考查了根与系数的关系，以及根的判别式，关键是掌握一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根；③当△＜0时，方程无实数根．上面的结论反过来也成立．22．（8分）已知：抛物线y＝﹣x2+x﹣（1）直接写出抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标；（2）求抛物线与坐标轴的交点坐标；（3）当x为何值时，y随x的增大而增大？【分析】（1）把二次函数的一般式配成顶点式，然后根据二次函数的性质解决问题；（2）计算自变量为0对应的函数值得到抛物线与y轴的交点坐标，通过判断方程﹣x2+x ﹣＝0没有实数得到抛物线与x轴没有交点；（3）利用二次函数的性质确定x的范围．解：（1）y＝﹣x2+x﹣＝﹣（x﹣1）2﹣2，所以抛物线的开口向下，对称轴为直线x＝1，顶点坐标为（1，﹣2）；（2）当x＝0时，y＝﹣x2+x﹣＝﹣，则抛物线与y轴的交点坐标为（0，﹣）；当y＝0时，﹣x2+x﹣＝0，△＜0，方程没有实数解，则抛物线与x轴没有交点；即抛物线与坐标轴的交点坐标为（0，﹣）；（3）当x＜1时，y随x的增大而增大．【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a ≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．23．（9分）百货商店服装柜在销售中发现：某品牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了迎接“六一”国际儿童节，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，减少库存．经市场调查发现：如果每件童装降价1元，那么平均每天就可多售出2件．要想平均每天销售这种童装盈利1200元，那么每件童装应降价多少元？【分析】利用童装平均每天售出的件数×每件盈利＝每天销售这种童装利润列出方程解答即可；解：设每件童装应降价x 元，根据题意列方程得， （40﹣x ）（20+2x ）＝1200，解得x 1＝20，x 2＝10（因为尽快减少库存，不合题意，舍去）， 答：每件童装降价20元；【点评】本题是一道运用一元二次方程解答的运用题，考查了一元二次方程的解法和基本数量关系：平均每天售出的件数×每件盈利＝每天销售的利润的运用．24．（9分）某广告公司要为客户设计一幅周长为12m 的矩形广告牌，广告牌的设计费为每平方米1000元．请你设计一个广告牌边长的方案，使得根据这个方案所确定的广告牌的长和宽能使获得的设计费最多，设计费最多为多少元？ 【分析】设矩形一边长为xm ，面积为Sm 2，则另一边长为m ，列出面积与x 的二次函数关系式，求最值．解：设矩形一边长为xm ，面积为Sm 2，则另一边长为m ，则其面积S ＝x •＝x （6﹣x ）＝﹣x 2+6x ．∵0＜2x ＜12， ∴0＜x ＜6．∵S ＝﹣x 2+6x ＝﹣（x ﹣3）2+9， ∴a ＝﹣1＜0，S 有最大值， 当x ＝3时，S 最大值＝9．∴设计费最多为9×1000＝9000（元）．【点评】本题主要考查二次函数的应用，由矩形面积等于长乘以宽列出函数关系式，利用函数关系式求最值，运用二次函数解决实际问题，比较简单．25．（10分）如图，对称轴为直线x ＝2的抛物线y ＝x 2+bx +c 与x 轴交于点A 和点B ，与y 轴交于点C ，且点A 的坐标为（﹣1，0） （1）求抛物线的解析式； （2）直接写出B 、C 两点的坐标；（3）求过O ，B ，C 三点的圆的面积．（结果用含π的代数式表示）【分析】（1）利用待定系数法求抛物线的解析式；（2）由对称性可直接得出B（5，0），当x＝0时，代入抛物线的解析式可得与y轴交点C 的坐标；（3）根据90°所对的弦是直径可知：过O，B，C三点的圆的直径是线段BC，利用勾股定理求BC的长，代入圆的面积公式可以求得面积．解：（1）由题意得：，解得：，∴抛物线的解析式为：y＝x2﹣4x﹣5；（2）∵对称轴为直线x＝2，A（﹣1，0），∴B（5，0），当x＝0时，y＝﹣5，∴C（0，﹣5），（3）∵∠BOC＝90°，∴BC是过O，B，C三点的圆的直径，由题意得：OB＝5，OC＝5，由勾股定理得；BC＝＝5，S＝π•＝π，答：过O，B，C三点的圆的面积为π．【点评】本题考查了利用待定系数法求抛物线的解析式和抛物线与两坐标轴的交点，明确令x＝0时，求抛物线与y轴的交点；令y＝0时，求抛物线与x轴的交点；同时要想求过O，B，C三点的圆的面积就要先求圆的半径可直径，根据圆周角定理可以解决这个问题，从而使问题得以解决．26．（10分）某片果园有果树80棵，现准备多种一些果树提高果园产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每棵树所受光照就会减少，单棵树的产量随之降低．若该果园每棵果树产果y（千克），增种果树x（棵），它们之间的函数关系如图所示．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）在投入成本最低的情况下，增种果树多少棵时，果园可以收获果实6750千克？（3）当增种果树多少棵时，果园的总产量w（千克）最大？最大产量是多少？【分析】（1）函数的表达式为y＝kx+b，把点（12，74），（28，66）代入解方程组即可．（2）列出方程解方程组，再根据实际意义确定x的值．（3）构建二次函数，利用二次函数性质解决问题．解：（1）设函数的表达式为y＝kx+b，该一次函数过点（12，74），（28，66），得，解得，∴该函数的表达式为y＝﹣0.5x+80，（2）根据题意，得，（﹣0.5x+80）（80+x）＝6750，解得，x1＝10，x2＝70∵投入成本最低．∴x2＝70不满足题意，舍去．∴增种果树10棵时，果园可以收获果实6750千克．（3）根据题意，得w＝（﹣0.5x+80）（80+x）＝﹣0.5 x2+40 x+6400＝﹣0.5（x﹣40）2+7200∵a＝﹣0.5＜0，则抛物线开口向下，函数有最大值∴当x＝40时，w最大值为7200千克．∴当增种果树40棵时果园的最大产量是7200千克．【点评】本题考查二次函数的应用、一次函数的应用、一元二次方程等知识，解题的关键是熟练掌握待定系数法，学会构建二次函数解决实际问题中的最值问题，属于中考常考题型．最新九年级（上）数学期中考试试题【含答案】一、选择题（共12小题，共36分）1．﹣2的倒数是（）A．﹣B．C．﹣2 D．22．地球和太阳间的距离为150 000 000km，用科学记数法表示150 000 000为（）A．15×107B．1.5×108C．0.15×109D．1.5×1073．下列计算正确的是（）A．2a+3b＝5ab B．（﹣2a2b）3＝﹣6a6b3C．D．（a+b）2＝a2+b24．一组数据3、4、x、1、4、3有唯一的众数3，则这组数据的中位数是（）A．3 B．3.5 C．4 D．4.55．已知反比例函数y＝，下列结论中不正确的是（）A．其图象经过点（3，1）B．其图象分别位于第一、第三象限C．当x＞0时，y随x的增大而减小D．当x＞1时，y＞36．下列几何体中，其主视图、俯视图和左视图分别是图中三个图形的是（）A．B．C．D．7．不等式组的最小整数解是（）A．﹣3 B．﹣2 C．0 D．18．甲乙两位赛车手同时从起点出发，行驶20千米到达终点．已知甲车手每小时比乙车手多行驶1千米，甲比乙早到达12分钟，若设乙每小时跑x千米，则所列方程式为（）A．B．C．D．9．如图，△ABC中，DE∥BC，若AD：DB＝2：3，则下列结论中正确的（）A．＝B．＝C．＝D．＝10．下列结论错误的是（）A．对角线相等的菱形是正方形B．对角线互相垂直的矩形是正方形C．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形D．对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形11．如图，Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝9，BC＝6，将△ABC折叠，使A点与BC的中点D重合，折痕为MN，则线段AN的长等于（）A．3 B．4 C．5 D．612．如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在边BC、DC上，AE、AF分别交BD于点M、N，连接CN、EN，且CN＝EN．下列结论：①AN＝EN，AN⊥EN；②BE+DF＝EF；③；④图中只有4对相似三角形，其中正确结论的个数是（）A．4 B．3 C．2 D．1二、填空题（共2小题，共6分）13．因式分解：2m3﹣8m＝．14．若直线y＝﹣2x+b经过点（3，5），则关于x的不等式﹣2x+b＜5的解集是．三、解答题（共3小题，共18分）15．（5分）计算：（﹣）﹣1﹣﹣（π﹣3.14）0+|1﹣|16．（6分）先化简，再求值：（﹣m+1）÷，其中m的值从﹣1，0，2中选取．17．（7分）某中学为使高一新生入校后及时穿上合身的校服，现提前对某校九年级三班学生即将所穿校服型号情况进行了摸底调查，并根据调查结果绘制了如图两个不完整的统计图（校服型号以身高作为标准，共分为6个型号）：根据以上信息，解答下列问题：（1）该班共有名学生；（2）补全条形统计图；（3）该班学生所穿校服型号的众数为，中位数为；（4）如果该校预计招收新生1500名，根据样本数据，估计新生穿170型校服的学生大约有多少名？一、填空题（本题共有2小题，每小题3分，共6分）18．若，则＝．19．如图，点A，B在反比例函数y＝（k＞0）的图象上，AC⊥x轴，BD⊥x轴，垂足C，D分别在x轴的正、负半轴上，CD＝k，已知AB＝2AC，E是AB的中点，且△BCE的面积是△ADE的面积的2倍，则k的值是．二、解答题（本题共有4小题，其中第20题7分，第21题8分，第22题9分，第23题10分，共34分）20．（7分）在平面直角坐标系中，把横纵坐标都是整数的点称为“整点”．（1）直接写出函数y＝图象上的所有“整点”A1，A2，A3…的坐标；（2）在（1）的所有整点中任取两点，用树状图或列表法求出这两点关于原点对称的概率．21．（8分）如图所示，AD、BC为两路灯，身高相同的小明、小亮站在两路灯杆之间，两人相距6.5m，小明站在P处，小亮站在Q处，小明在路灯C下的影长为2m，已知小明身高1.8m，路灯BC高9m．①计算小亮在路灯D下的影长；②计算建筑物AD的高．。
上海市民办明珠中学2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试题
上海市民办明珠中学2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试题一、单选题1．如果两个相似三角形的周长之比为12∶，那么它们的对应边之比为（）A ．12∶B ．14∶C ．18∶D ．116∶2．在ABC 中，点D 、E 分别在AB 、AC 上，如果AD ：1BD =：3，那么下列条件中能够判断//DE BC 的是（）A ．14DE BC =B ．14AD AB =C ．14AE AC =D ．14AE EC =3．已知e 为单位向量，向量a 与e 方向相反，且其模为e 的4倍；向量b 与e 方向相同，且其模为e的2倍，则下列等式中成立的是（）A ．2a b= B ．2a b=- C ．12a b=D ．12a b=- 4．如图，在ABC V 中，点D 、E 分别在AB 和AC 上且DE BC ∥，点M 为边BC 上一点（不与点B 、C 重合），连接AM 交DE 于点N ，下列比例式一定成立的是（）A ．AD ANAN AE=B ．DN NEMC BM=C ．DB NMNM EC=D ．DN BM NE MC =5．如图，BD 、CE 是ABC V 的两条高，连接DE ，那么DEBC的值为（）A ．tan AB ．cot AC ．sin AD ．cos A6．下列命题中，假命题是（）A ．如果一个直角三角形的一个锐角等于另一个直角三角形的锐角，那么这两个直角三角形相似；B ．如果一个直角三角形的斜边及一条直角边与另一个直角三角形的斜边及一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似；C ．如果一个等腰三角形的一个内角等于另一个等腰三角形的内角，那么这两个等腰三角形相似；D ．如果一个等腰三角形的底边及一条腰与另一个等腰三角形的底边及一条腰对应成比例，那么这两个等腰三角形相似．二、填空题7．计算：()()4a b a b --+= ．8．已知点P 是线段AB 的黄金分割点（AP BP >），如果2AB =，那么AP 的长为．9．如图，已知直线1l 、2l 、3l 依次截直线4l 于点A 、B 、C ，截直线5l 于点D 、E 、F ，且123l l l ∥∥，如果:2:3DE EF =，15AC =，那么AB 的长为．10．如图，已知△ABC 中，10AB AC ==，16BC =，点P 、D 分别在边BC 、AC 上，12BP =，APD B ∠=∠，那么CD 的长是.11．一个三角形框架的模型的边长分别为20厘米、30厘米、40厘米，木工要以一根长180厘米的木条做一个与模型相似的三角形，木条无剩余，那么所制作的三角形的最短边长为厘米．12．已知在Rt ABC △中，90C ∠=︒，如果A ∠的正弦值为25，那么B ∠的正弦值为．13．如图，在四边形ABCD 中，AD BC ∥，90ABC ∠=︒，2AD =，3BC =，对角线AC 、BD 交于点E ，AC BD ⊥，那么tan ACB ∠的值为．14．在ABC V 中，3AB =，6AC =，45A ∠=︒，那么ABC V 的面积为．15．如图，某幢楼的楼梯每一级台阶的高度为20厘米，宽度为30厘米，那么斜面AB 的坡度为．16．如图，ABC V 与A B C ''' 成中心对称，两条平行于BC 和B C ''的线段将这两个三角形分别分成阴影部分和空白部分，已知两块阴影部分面积相等，两块空白部分的高分别为11和5，那么边BC 边上的高为．17．如图，在矩形ABCD 中，2AB =，4=AD ，点E 是边AB 的中点，连接DE ，在直线DE 下方作矩形DEFG ，如果矩形DEFG 与矩形ABCD 相似，那么点C 到直线FG 的距离为．18．在四边形ABCD 中，75A B C ∠=∠=∠=︒，2BC =，那么边AB 的长的取值范围是．三、解答题19．计算：24sin 45tan 452cot 30cos 602tan 60︒-︒+︒⋅︒-︒．20．如图，在ABC V 中，点F 为ABC V 的重心，联结AF 并延长交BC 于点D ，联结BF 并延长交AC 于点E．(1)求DEFABFS S 的值；(2)如果AB a = ，AC b = ，用a ，b表示BE 和AF ．21．如图所示的方格纸是由9个大小完全一样的小正方形组成的．点A 、B 、C 、D 均在方格纸的格点(即图中小正方形的顶点)上，线段AB 与线段CD 相交于点E ．设图中每个小正方形的边长均为1．（1）求证：AB ⊥CD ；（2）求sin ∠BCD的值．22．已知：如图，在四边形ABCD 中，对角线AC 和BD 相交于点O ，BAC BDC ∠=∠．(1)求证：AOD BOC ∽；(2)过点A 作AE CD ∥，AE 交BD 于点E ．求证：AB AD AE BC ⋅=⋅．23．根据背景素材，探索解决问题：测算发射塔的高度背景素材博雅小组在一幢楼房窗前测算远处小山坡上发射塔的高度MN （如图1），他们通过自制的测倾仪（如图2）在A 、B 、C 三个位置观测，测倾仪上的示数如图3所示．测得A 、B 之间的图上距离为4mm ；测得A 、C 之间的图上距离为12mm ．测得D 、E 之间的图上距离为5mm ．经讨论，只需选择其中两个合适的位置，通过测量、换算就能计算发射塔的高度．问题解决任务1获取数据选择两个观察位置：点______和点______．任务2推理计算直接写出所选位置且需要的观测角的正切值：______________；直接写出已测得且需要的线段的图上距离：_______________．计算发射塔的图上高度MN ．任务3换算高度楼房的实际宽度DE 为12米，请通过测量换算发射塔的实际高度．24．在ABC V 中，AC BC =．点D 是射线AC 上一点（不与A 、C 重合），点F 在线段BC 上，直线DF 交直线AB 于点E ，2CD CF CB =⋅．(1)如图，如果点D 在AC 的延长线上①求证：DE BD =；②联结CE ，如果CE BD ∥，2CE =，求EF 的长．(2)如果:1:2DF DE =，求：:AE EB 的值．25．已知，在梯形ABCD 中，AD BC ∥，90A ∠=︒，3AD =，5BC =，CE 平分BCD ∠交边AB 于点E ．(1)如图1，联结DE ，①如果DE CD ⊥，求边AB 的长．②如果ADE V 与BCE 相似，求边AB 的长．(2)如图2，点F 是线段CE 上一点，过点F 作CE 的垂线交CD 于点M 、交BC 于点N ，如果直线MN 与直线CE 将梯形ABCD 分割成的四部分面积均相等，求MN 的长．。
上海市普陀区2024-2025学年九年级上学期数学期中考试试卷(含答案)
2024学年第一学期九年级数学学科期中考试试卷2024.10（时间：100分钟，满分：150分）一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】1.下列函数中，一定为二次函数的是（）A. B. C. D.2.已知点P是线段AB的黄金分割点，且，那么下列结论正确的是（）A. B.C.D.3.如图，在中，点D、E和F分别在边AB、AC和BC上，，，如果，那么下列结论中正确的是（）A. B. C. D.4.下列关于向量的说法中，正确的是（）A.如果，那么B.如果，，那么C.已知是单位向量，如果，那么D.如果，，其中是非零向量，那么5.在同一平面直角坐标系中，画出直线与抛物线，这个图形可能是（）A. B.21yx=()()11y x x=+-2y ax=()21y x x x=-+BP AP>2BP AP AB=⋅2AP BP AB=⋅APAB=BPAP=ABC△DE BC∥DF AC∥34ADBD=34DEBC=34BFCF=37CFBC=37DFAC=k=0ka=2a=1b=2a b=e4a=4ea=23a b c+=2b c=ca b∥y ax b=+2y ax b=+C. D.6.已知在中，点D 、E 分别在边AB 和AC 上，联结CD 、BE 交于点F ，下列条件中，不一定能得到和相似的是（ ）A. B. C. D.二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）【请将结果直接填入答题纸的相应位置】7.已知，且，那么_______.8.抛物线与y 轴的交点坐标为_______.9.已知二次函数的图像经过点、，那么该二次函数图像的对称轴为直线_______.10.已知二次函数的图像在对称轴的左侧部分是上升的，那么m 的取值范围是_______.11.如图，已知在中，，CD 是边AB 上的高，如果，，那么_______.12.如图，在中，，点D 和点E 在边BC 上，，，那么_______.13.如图，已知，且，那么_______.ABC △ADE △ABC △DF EF BF CF =DF EF CF BF=BDE BFC ∠=∠BDF CEFS S =△△234a b c k ===0k ≠c a c b-=+223y x x =+-()20y x bx c a =++≠()1,1A --()5,1B -()21y m x =+ABC △90ACB ∠=︒3AD =2BD =CD =ABC △3AB AC ==4BE =BAE ADC ∠=∠CD =AD EF BC ∥∥::2:5:7AD EF BC =:AE AB =14.如图，在中，点D 在边BC 上，线段AD 经过重心G ，向量，向量，那么向量______.（用向量、表示）15.如图，一条河的两岸有一段是平行的，在河的南岸边每隔10米种一棵树，在北岸边每隔50米有一根电线杆.小丽站在离南岸边15米的点P 处看北岸，发现北岸有两根相邻的电线杆恰好被南岸的两棵树遮住，并且在这两棵树之间还有一棵树，那么这段河的宽度为_______米.16.如图，在中，点D 在边AB 上，，点E 和F 分别在边BA 和CA 的延长线上，且，如果，那么_______.17.定义：如果将抛物线上的点的横坐标不变，纵坐标变为点A 的横、纵坐ABC △BA a = BC b = AG =a b ABC △ACD B ∠=∠CD EF ∥::3:4:2EA AD DB =AEF ABCS S =△△()20y ax bx c a =++≠(),A x y标之和，就会得到一个新的点，我们把这个点叫做点A 的“简朴点”，已知抛物线上一点B 的简朴点是，那么该抛物线上点的简朴点的坐标为_______.18.如图，在矩形ABCD 中，，在边CD 上取一点E ，将沿直线BE 翻折，使点C 恰好落在边AD 上的F 处，的平分线与边AD 交于点M ，如果，那么_______.三、解答题（本大题共7题，满分78分）19.（本题满分10分）如图，已知两个不平行的向量、，求作，满足.（不要求写作法，但要保留作图痕迹，并指出所作图中表示结论的向量.）20.（本题满分10分，第（1）小题5分，第（2）小题5分）已知点在二次函数的图像上.（1）求二次函数图像的对称轴和顶点坐标；（2）将二次函数的图像先向左平移4个单位，再向上平移t 个单位后图像经过点，求的值.21.（本题满分10分，第（1）小题5分，第（2）小题5分）已知二次函数的图像经过原点，顶点坐标为.（1）求二次函数的解析式；（2）如果二次函数的图像与x 轴交于点A （不与原点重合），联结OP 、AP ，试判断的形状并说明理由.22.（本题满分10分，第1小题5分，第2小题5分）如图，已知在中，点D 在边AC 上，过点A 作，交BD 的延长线于点E ，点F 是BE 延长线上一点，联结CF ，如果.（1）求证：；（2）如果，，求的值.()1,A x x y +1A 241y ax x =-+()12,3B ()1,C m 1C 1AB =BCE △ABF ∠2AD MF =BC =a bx x ()2a x b x -=- ()3,1-2y x bx b =-++()1,5-t ()2,2P -AOP △ABC △AE BC ∥2BD DE DF =⋅AB CF ∥2DE =6EF =AB CF23.（本题满分12分，第（1）小题5分，第（2）小题7分）如图，在中，CD 是AB 边上的高，点E 是边AC 的中点，联结ED 并延长交CB 的延长线于点F ，且.（1）求证：；（2）如果，求证：.24.（本题满分12分，第（1）小题4分，第（2）小题4分，第（3）小题4分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，二次函数的图像与x 轴交于点，与y 轴交于点.（1）求该二次函数的解析式；（2）如果点是二次函数图像对称轴上的一点，联结AD 、BD ，求的面积；（3）如果点P 是该二次函数图像上位于第二象限内的一点，且，求点P 的横坐标.ABC △BD BF =ADE FDB ∽△△2DF AC CF AD=2BC BD AB =⋅22y x bx c =-++()2,0A -()0,4B (),1D m -ABD △PB AB ⊥25.（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题4分）如图，在矩形ABCD 中，，，点E 是射线D A 上的一点，点F 是边AB 延长线上的一点，且.联结CE 、EF ，分别交射线DB 于点O 、点P ，联结CF 、CP .（1）当点E 在边AD 上时，①求证：；②设，，求y 关于x 的函数解析式；（2）过点E 作射线DB 的垂线，垂足为点Q ，当时，请直接写出DE 的长.2AB =1BC =2DE BF =DCE BCF ∽△△DE x =CP y =14OQ PQ =2024学年第一学期九年级数学学科期中考试卷2024.10参考答案及评分说明一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）1.B ；2.A ；3.C ；4.D ；5.D ；6.C.二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7.；8.；9.；10.；；12.；13.；14.；15.；16.；17.；18.三、解答题：（本大题共7题，其中第19—22题每题10分，第23、24题每题12分，第25题14分，满分78分）19.解： ，20.解：（1）∵点在二次函数的图像上，∴把，代入，得.解得.∴二次函数的解析式为.∴对称轴为直线.顶点的坐标为.（2）二次函数的解析式化为.∵将二次函数的图像先向左平移4个单位，再向上平移t 个单位，∴平移后新二次函数的解析式为.∵平移后图像经过点，∴把，代入，得.解得.21.解：（1）∵二次函数图像的顶点坐标为，∴设二次函数的解析式为.∵二次函数的图像经过原点，∴把，代入得..27()0,3-2x =1m <-94352133a b -+ 45238()1,05322a x b x -=- 2x a b =- ()3,1-2y x bx b =-++3x =1y =-2y x bx b =-++193b b -=-++2b =222y x x =-++1x =()1,3()213y x =--+()233y x t =-+++()1,5-1x =5y =-()233y x t =-+++5163t -=-++8t =()2,2P -()222y a x =--0x =0y =()222y a x =--()20022a =--解得.∴这个二次函数的解析式为.（2）∵二次函数的图像与x 轴交于点A ，∴把，代入得，（舍去）.得点A 的坐标为.∴.∵，∴.∵，∴是等腰直角三角形.22.解：（1）∵，∴.∵，∴.∴∴.（2）∵，，∴.∵，∴.∵，∴，∴.23.证明：（1）∵，∴.∵CD 是AB 边上的高，点E 是边AC 的中点，∴在中.又∵，∴.∴.∵，∴.∴.（2）∵，∴.∴.∵，∴∴∴.∵，∴.∴.∴.24.解：（1）∵二次函数的图像与x 轴交于点，与y 轴交于点，12a =()21222y x =--0y =()21222y x =--14x =20x =()4,04OA =OP ==AP ==OP AP =222OP AP OA +=AOP △AE BC ∥AD DE CD BD=2BD DE DF =⋅DE BD BD DF=AD BD CD DF=AB CF ∥2DE =6EF =8DF DE EF =+=216BD DE DF =⋅=4BD =AB CF ∥AB BD CF DF =12AB CF =BD BF =F BD ∠=∠Rt ACD △12DE AC =12AE AC =AE DE =A ADE ∠=∠ADE BDF ∠=∠A F ∠=∠ADE FDB ∽△△2DF AC CF AD =DF AE CF AD =DF CF AE AD=A F ∠=∠ADE FCD ∽△△ADE FCD ∠=∠A FCD ∠=∠ABC CBD ∠=∠ABC CBD ∽△△BD BC BC AB=2BC BD AB =⋅22y x bx c =-++()2,0A -()0,4B得解得.∴二次函数的解析式为.（2）∵点是二次函数图像对称轴上的一点，又∵二次函数图像的对称轴为直线.∴，点D 坐标为.设直线AB 的表达式为.∵直线AB 经过，，得，解得，∴直线AB 的表达式为.设抛物线的对称轴与直线AB 交于点E ，得点E 坐标为.∴.∴.（3）过点P 作轴，垂足为H .设点.∴，.∵，又∵，∴.∵，∴.∴.∴.∴（舍去），.即点P 的横坐标是.25.解：（1）∵四边形ABCD 是矩形，∴，，∵，∴.()202224b c c⎧=-⨯--+⎪⎨=⎪⎩2b =-2224y x x =--+(),1D m -12x =-12m =-1,12⎛⎫-- ⎪⎝⎭()0y px q p =+≠()2,0A -()0,4B 024p q q =-+⎧⎨=⎩24p q =⎧⎨=⎩24y x =+1,32⎛⎫- ⎪⎝⎭4DE =1142422ABD ADE BDE S S S DE AO =+=⋅=⨯⨯=△△△PH y ⊥()2,224P t t t --+PH t =-222BH t t =--ABO ABP P PHB ∠+∠=∠+∠90ABP PHB ∠=∠=︒ABO BPH ∠=∠90AOP PHB ∠=∠=︒ABO BPH ∽△△PH BH BO AO =22242t t t ---=10t =234t =-34-2AB CD ==90CDE ABC ∠=∠=︒90CBF ∠=︒CDE CBF ∠=∠∵，∴.∵，∴.∴.∴.（2）∵，∴.即.∵，∴.∴.∴.∵，∴.∴.又∵且，∴.∴.∵，∴.∴.∴.∵在中，，，∴.同理可得∴∴（3）1BC =12BC CD =2DE BF =12BF DE =BF BC DE CD=DCE BCF ∽△△DCE BCF ∠=∠DCE BCE BCF BCE ∠+∠=∠+∠BCD ECF ∠=∠,CD CE CB CF =CD CB CE CF=DCB ECF ∽△△PEC BDC ∠=∠EOP DOC ∠=∠EOP DOC ∽△△OE OP OD OC=OE OD OP OC=DOE COP ∠=∠DOE COP ∽△△EDO PCO ∠=∠EDO DBC ∠=∠PCE DBC ∠=∠ECP DBC ∽△△PC EC BC BD=Rt CDE △DE x =2CD =CE =BD =1y =y =1DE =2DE =3DE =。
2024-2025学年上海市市北初级中学九年级上学期11月期中考试数学试题
2024-2025学年上海市市北初级中学九年级上学期11月期中考试数学试题1.已知，则下列比例式成立的是（）A．B．C．D．2.如图，在直角坐标系中，点A的坐标是，则的值是（）A．B．C．D．3.大自然是美的设计师，一个盆景也会产生最具美感的黄金分割比．如图，点为的黄金分割点（），则（）A．B．C．D．4.已知一个单位向量，设是非零向量，那么下列等式中正确的是（）A．B．C．D．5.在中，点D、E分别在边、上，下列条件中，能判定的是（）A．B．C．D．6.如图，已知菱形的边长为4，E是的中点，平分交于点F，交于点G，若，则的长是（）A．3B．C．D．7.计算：__________．8.已知，如果，那么_______．9.在比例尺为的地图上量得港珠澳大桥长厘米，则大桥的实际长度为______千米．10.小红沿坡比为的斜坡上走了100米，则她实际上升了______米．11.如图，直线，，，则的长是______．12.两个相似三角形的面积比为4：9，其中较小三角形的周长为4，则较大三角形的周长为___________．13.如图，已知平行四边形中，，E为上一点，，那么用表示_____．14.如图，中，G是重心，，，那么________15.如图，是一块锐角三角形余料，边，高，要把它加工成一个正方形零件，使一边在上，其余两个顶点分别在边、上．则该正方形的边长是___________．16.我国古代数学家赵爽利用影子对物体进行测量的方法，至今仍有借鉴意义．如图所示，现将一高度为米的木杆放在灯杆前，测得其影长为米，再将木杆沿着射线方向移动到点的位置，米，此时测得影长为米，那么灯杆的高度为____________米．17.新定义：将一个凸四边形分成一个等腰三角形和一个等腰直角三角形的对角线叫做这个四边形的“等腰直角线”．已知一个直角梯形的“等腰直角线”等于4，它的面积是__________．18.矩形中，，点E是边上一点，，连接，点F是延长线上一点，连接，且，则___________．19.；20.如图，在梯形中，，E是的中点，且，与交于点F．(1)若，请用m，n来表示；(2)请直接在图中画出在方向上的分向量（不要求写作法，但要保留作图痕迹，并写明结论）．21.已知：如图，在中，，，，，垂足为点D，E是的中点，连结并延长，交边于点F．(1)求的正切值；(2)求的值．22.小华家准备购买一套新房，经过考察小华家发现有的房产开发商，为了获取更大利益，缩短楼间距，以增加住宅楼栋数．某市某小区正在兴建的若干幢20层住宅楼，国家规定普通住宅层高宜为2.80米．如果楼间距过小，将影响其他住户的采光（如图所示，窗户高1.3米）．(1)某市的太阳高度角（即正午太阳光线与水平面的夹角）：夏至日为81.4度，冬至日为34.88度．为了不影响各住户的采光，两栋住宅楼的楼间距至少为多少米？（保留到0.1米）(2)小华一家决定在该小区中、两栋楼中选择一套进行购买，现向售楼中心咨询得到如下信息：1．、两栋楼中各套房子的面积均为．2．、、三栋楼平行排列，楼在楼正南方且间距68米，楼在楼的正南方且间距76米．3．楼一层每平方米4万8，随着楼层增高单价也随之增高；楼一层每平方米5万，随着楼层增加单价也随之增高．若小华家预算有限，但又希望全年光照充足．那你是否能结合计算出的相关数据，给小华家一些选购建议（本题参考值：，，；，，）23.如图，正方形中，E、F分别是、上的点，于点P．(1)如图1，如果点F是的中点，求证：；(2)如图2，如果，连接，求证：．24.如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（﹣4，0），点B在直线l：y＝x上且位于第三象限，过点B作AB的垂线，过原点O作直线l的垂线，两垂线相交于第二象限内的点C．（1）设BC与AO相交于点D，①若BA＝BO，求证：CD＝CO；②求：点A到直线l的距离；（2）是否存在点B，使得以A、B、C为顶点的三角形与以点B、C、O为顶点的三角形相似？若存在，求OB的长；若不存在，请说明理由．25.如图，梯形中，，，，，．点M在射线上，点N在射线上，且，联结，交射线于点G．(1)求线段的长；(2)设线段，，当点N在线段上时，试求出y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；(3)联结，当时，求线段的长．。
2024-2025学年上海市闵行区九年级上学期数学期中试卷
2024学年第一学期期中考试九年级数学试卷（考试时间：100分钟 满分150分）1.本试卷含三个大题,共25题,答题时,考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答在草稿纸,本试卷上答题一律无效.2.除第一,二大题外,其余各题如无特别说明,都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤.3.本次考试不可以使用科学计算器.一,选择题（本大题共6题,每小题4分,满分24分）1.如果两个相似三角形对应边之比是1:4,那么它们的对应边上的中线之比是（ ）A.1:2B.1:16C.1:8D.1:42.在ABC △中,已知90C ∠=︒,5AB =,4BC =,那么cos B 的值为（ ） A.34 B.35 C.45 D.433.在ABC △中,D ,E 分别是边AB ,AC 上的点,在下列已知条件中,不能判定//DE BC 的是（ ） A.CE BD EA DA = B.DE AE BC AC = C.AC AE AB AD = D.CE BD CA BA =4.下列命题中,假命题的是（ ）A.如果0k =或0a =,那么0ka =B.如果m ,n 为实数,那么()()m na mn a =C.如果a kb =（k 为实数）,那么//a bD.如果||3a =,那么3a b =或3a b =-5.如图,传送带和地面所成斜坡的坡度为1:3,它把物体从地面点A 处送到离地面3米高的B 处,则物体从A 到B 所经过的路程为（ ）A. B. 米 D.9米6.如图,在正方形ABCD 中,点E ,M 是边AD ,CD 上的点,BE ,BM 与AC 交于点F ,G .如果45EBM ∠=︒,那么下列结论中,错误的是（ ）A.AEF CBF △∽△B.CMG BFG △∽△C.ABG CFB △∽△D.ABF CBG △∽△ 二,填空题（本大题共12题,每题4分,满分48分）7.已知43x y =,那么2x x y=+________. 8.上海与杭州的实际距离约200千米,在比例尺为1:5000000的地图上,上海与杭州的图上距离约________厘米.9.已知e 为单位向量,向量a 与e 的方向相反,且长度为6,那么a =________.（用e 表示）10.已知P 是线段AB 上的一点,且2AP AB BP =⋅,如果2AB =,那么AP 的长是________.11.已知两个相似三角形的周长之比是2:3,面积之差是50,那么这两个三角形中较小三角形的面积是________.12.已知D ,E 分别是ABC △的边AB ,AC 上的点（不与端点重合）,且DE 与BC 不平行,要使得ADE △与ABC △相似,那么添加一个条件可以为________（只填一个）.13.在ABC △中,已知13AB AC ==,12tan 5B =,点G 是ABC △的重心,那么AG 的长是________. 14.如图,已知////AD BE CF ,如果32AB BC =,4AD =,9CF =,那么BE 的长是________.15.如图,某兴趣小组用无人机进行航拍测高,无人机从相距1号楼和2号楼的地面正中间点B 垂直起飞到点A 处,测得1号楼顶部E 的俯角为60︒,测得2号楼顶部F 的俯角为45︒.已知1号楼的高度为20米,那么2号楼的高度为________米（结果保留根号）.16.已知在梯形ABCD 中,//AD BC ,90ABC ∠=︒,对角线AC ,BD 相交于点O ,且AC BD ⊥,如果:2:3AD BC =,那么:DB AC =________.17.如图,在Rt ABC △中,90ACB ∠=︒,9AB =,cot 2A =,点D ,E 在边AB ,AC 上,将ADE △沿着DE 翻折后,点A 的对应点在线段BC 的延长线上的点P 处,如果BPD A ∠=∠,那么DE 的长为________.18.Rt ABC △中,90C ∠=︒,3AC =,2BC =,将此三角形绕点A 旋转,当点B 的对应点D 在直线BC 上,点C 的对应点在点E 处,那么BDE △的面积是________.三,解答题（第19-22题,每题10分,第23-24题,每题12分,第25题14分,共78分）19.（本题满分10分） 2.20.（本题满分10分,第（1）小题6分,第（2）小题4分）如图,点E 在平行四边形ABCD 边BC 上一点,对角线AC ,BD 相交于点O ,AE ,AC 交BD 于点G ,O ,已知:3:1AG GE =.（1）求:EC BC 的值.（2）设BA a =,AO b =,那么EC =_______,GB =_______（用向量a ,b 表示）.21.（本题满分10分,其中每小题各5分）已知：如图,在ABC △中,6AB AC ==,4BC =,AB 的垂直平分线交AB 于点E ,交BC 的延长线于点D .（1）求CD 的长度.（2）过C 作CH DE ⊥于点H ,求CH 的长度.22.（本题满分10分）图1是一款平板电脑支架,由托板,支撑板和底座构成.工作时,可将平板电脑吸附在托板上,底座放置在桌面上.图2是其侧面结构示意图,已知托板AB 长200mm,支撑板CB 长80mm,当130ABC ︒∠=,70BCD ∠=︒时,求托板顶点A 到底座CD 所在平面的距离（结果精确到1mm ）.（参考数据：sin700.94≈︒,cos700.34≈︒,tan70 2.75≈︒, 1.41≈ 1.73≈）图1 图223.（本题满分10分,其中每小题各6分）如图在Rt ABC △中,90ACB ∠=︒,D ,E 分别位于边AB ,BC 上.且CD CA =,DE AB ⊥.（1）求证：2CA CE CB =⋅.（2）联结AE ,取AE 的中点M ,联结CM 并延长交AB 于点H .求证：CH AB ⊥.24.（本题满分12分,第（1）小题2分第（2,3）小题各5分）如图在平面直角坐标系xOy 内,已知点(1,0)A ,(5,0)B ,(3,4)C -,(0,3)D ,点P 在x 轴的负半轴上,且AP AB =.（1）求直线PD 的表达式.（2）点M 是直线PD 在第三象限上的点,联结AM ,且2MP PA PB =⋅,求tan PMA ∠的值.（3）在（2）的条件下,联结AC ,BC ,在直线CM 上是否存在点E ,使得AEC ACB ∠=∠.若存在,求出点E 的坐标,若不存在,请说明理由.25.（本题满分14分,其中第（1）小题4分,第（2）小题4分,第（3）小题6分）已知,在梯形ABCD 中,//AB CD ,90ABC ∠=︒,6AB =,8BC =,tan 2D =,点E 是射线CD 上一动点（不与点C 重合）,将BCE △沿着BE 进行翻折,点C 的对应点记为点F .图1 图2 图3 图4（1）如图1,当点F 位于梯形ABCD 的中位线MN 上时,求CE 的长.（2）如图2,当点E 在线段CD 上时,设CE x =,BFC EFCS y S =△△,求y 与x 之间的函数关系式,并写出定义域. （3）如图3,联结AC ,线段BF 与射线CA 交于点G ,当CBG △是等腰三角形时,求CE 的长.。
上海市宝山中学2024-2025学年九年级上学期期中数学试卷
上海市宝山中学2024-2025学年九年级上学期期中数学试卷一、单选题1．在Rt ABC △中，90C ∠=︒，A ∠、B ∠、C ∠所对的边分别为a b c ､､，下列等式成立的是（）A ．cot b a B=B ．sin a c B=C ．sin a c A=D ．cos a b A=2．已知P 是线段AB 的黄金分割点，且AP BP >，那么下列等式不成立的是（）A ．AB APAP BP=B ．AB BPBP AP=C ．BP AP =D ．12AP AB -=3．在ABC V 中，点D 、E 分别在边BA 、CA 的延长线上（如图），下列四个选项中，能判定//DE BC 的是（）A ．BD CEAB AC=B ．AB AEAD AC=C ．AB BCAD DE=D ．AB AEAC AD=4．下列说法中，错误的是（）A ．长度为1的向量叫做单位向量B ．如果0k >，且0a ≠，那么ka 的方向与a 的方向相同C ．如果e 是一个单位向量，a是非零向量，a e a = D ．如果51,22a cbc ==- ，其中c是非零向量，那么a b∥ 5．已知一次函数()10y kx m k =+≠和二次函数()220y ax bx c a =++≠部分自变量和对应的函数值如下表：当21y y >时，自变量x 的取值范围是（）x...1-0245 (1)y …1356…2y …0－1059…A ．12x -<<B ．45x <<C ．1x <-或>4x D ．1x <-或5x >6．如图，在ABC V 中60,A BM AC ∠=︒⊥于点M CN AB ⊥,于点,N P 为BC 边的中点，联结PM 、PN MN ､、以下是甲、乙两位同学得到的研究结果：（甲）当M 为AC 中点时，ABC V 为等边三角形；（乙）PMN 为等边三角形．对于甲、乙两位同学的结论，下列判断正确的是（）A ．甲正确乙错误B ．甲错误乙正确C ．甲、乙皆正确D ．甲、乙皆错误二、填空题7．已知线段12cm,6cm a b ==，如果b 是a 、c 的比例中项，那么线段c 等于cm ．8．如果两个相似三角形的周长比为1:2，那么它们的对应中线的比为．9．在锐角ABC V 中，锐角A 的正切值是34，如果将这个三角形三边的长都扩大为原来的2倍，那么锐角A 的余弦值是．10．如图，AD BE FC ∥∥，它们依次交直线12l l 、于点、、A B C 和点D E F 、、．如果2,5AB AC ==，那么DEEF的值是．11．已知斜坡的坡比i =α＝．12．如果抛物线()223y a x =+-在对称轴的左侧，y 的值随x 的增大而增大，那么a 的取值范围是．13．如图，点D E F ､､分别在ABC V 边AB AC BC 、、上，且111,,333AD AB AE AC BF BC ===．若ABC V 的面积是218cm ，那么DEF 的面积是2cm ．14．如果抛物线21:1C y x =+向右平移一个单位后，顶点落在抛物线22:24C y x ax =-+上，那么a 的值等于．15．如图，ABC V 中，点D 、点E 分别是AB AC ､的中点，BE 与CD 交于点O ．若ACO EBC ∠∠=，那么:CD BC 的值是．16．如图，在边长为1的正方形网格中，四边形ABCD 的顶点都在小正方形顶点的位置上，我们称这样的四边形叫做“格点四边形”．连接AC BD ､相交于点O ，那么AOB V 的面积等于．17．梯形ABCD 中，AD BC ∥,45,12,ABC BC AC BD ∠=︒=､相交于点,tan 2O DAC ∠=，过点D 作DE AB ∥，交AC 于点E ．若DOE 是直角三角形，那么AD =．18．如图，Rt ABC △中，9086ACB AC BC ∠︒=，=，=．把ABC V 绕点B 逆时针旋转（旋转角小于180︒）点A C ､的对应点分别是''A C 、，射线'CC 与'AA 交于点E ，若''BA CC ∥，则'C E =．三、解答题19．计算：24cos60sin 45tan30tan601︒+︒︒︒-20．如图，在梯形ABCD 中，AB CD ∥,E 是CD 的中点，且1,3EC AB AC =与BE 交于点F ．(1)若,AB m AD n == ，请用,m n来表示DC AF ､；(2)在原图中直接在图中作出AC 在,m n方向上的分向量（不要求写作法，但要写出所作图中表示结论的向量）．21．如图，已知在梯形ABCD 中，AD BC ∥,90,ABC BD CD ∠︒==，对角线AC BD ､相交于点O ，2,3AD AB ==．(1)求:AO CO 的值；(2)求ACD ∠的正切值．22．如图是某路灯在铅垂面内的示意图，灯柱BC 的高为11.2米，灯柱BC 与灯杆AB 的夹角为120︒，路灯采用锥形灯罩，在地面上的照射区域DE 的长为14.7米，从D 、E 两处测得路灯A 的仰角分别为α和45︒，且tan 6α=，求灯杆AB 的长度．23．如图，Rt ABC △中，90ACB D ∠=︒,是斜边AB 上的中点，E 是边BC 上的点，AE 与CD 交于点F ，且2AC CE CB =⋅．(1)求证：AE CD ⊥；(2)连接BF ，如果点E 是BC 中点，求证：2AE BF BE CD ⋅=⋅．24．如图，抛物线()230y x mx m =-++>与x 轴交于A B ､两点（A 在B 左侧），与y 轴交于点C ．连接CB 交对称轴于点E ，点D 为抛物线的顶点．(1)连接AC CD ､，若45CED ∠=︒①求抛物线解析式；②线段BC 上一点,F ACB FAB ∠∠=，连接FD ，求tan FDE ∠．(2)平移抛物线，使新抛物线顶点D ¢在射线CD 上，新抛物线与y 轴交于点C '．若C D '平分CDE ∠，且2CD CC '='，求新抛物线解析．25．ABC V 中，12,BC D E =､分别在AB AC ､上，ACB ADE ∠=∠，连接DC ，作MEN DCB ∠∠=交DC 于M ，交BC 于,N EN 交DC 于O ．(1)如图1，,2,10AB AC BD AD DC ===．①求DCB ∠的正弦值；②若:7:18DM MO =，求DM ；(2)如图2，45,MEN ABC EC ∠∠==︒=，连接MN ，若四边形MNCE 为梯形，请直接写出DM 的长．。
2024—-2025学年上海市闵行区航华中学九年级上学期数学期中考试试卷
2024—-2025学年上海市闵行区航华中学九年级上学期数学期中考试试卷1.下列命题正确的是（）A．等腰三角形都是相似图形B．矩形都是相似图形C．菱形都是相似图形D．圆都是相似图形2.某一时刻，身高的小丽在阳光下地面上的影长是，同一时刻同一地点测得某旗杆地面上的影长是，那么该旗杆的高是（）A．5B．20C．40D．83.四边形的对角线交于点，下列比例式中能判定的是（）A．B．C．D．4.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，下边各组边的比不能表示sinB的（）A．B．C．D．5.如果||＝2，＝-，那么下列说法正确的是（）A．||＝2||B．是与方向相同的单位向量C．2-＝D．∥6.如图，点A（1，7），B（1，1），C（4，1），D（6，1），若△CDE与△ABC相似，那么在下列选项中，点E的坐标不可能．．．是（）．A．（6，2）B．（6，3）C．（6，5）D．（4，2）．7.已知，则＝_____．8.已知点是线段的黄金分割点，如果，那么线段______．9.在比例尺是的地图上测得地铁9号线七宝站到虹桥火车站的直线距离约是2.5厘米，那么9号线七宝站到虹桥火车站的实际直线距离约是______千米．10.如果两个相似三角形周长的比是，那么它们面积的比是______．11.若与的方向相反，且长度为5，用表示，则=__________．12.如图，已知点在射线上，点在射线上，，．则______．（含的式子表示）13.如图，在一条东西方向笔直的沿湖道路l上有A、B两个游船码头，观光岛屿C在码头A的北偏东60°方向、在码头B的北偏西45°方向，AC＝4千米．那么码头A、B之间的距离等于_____千米．（结果保留根号）14.如图，点G是的重心，，，那么的长为____________15.如图，已知在中，边，高，正方形的顶点、在边上，顶点、分别在边和上，那么这个正方形的边长等于___________．16.已知梯形中，，点分别是边上的点，，如果，那么______．17.根据三角形外心的概念，我们可引入下一个新定义：定义：到三角形的两个顶点距离相等的点，叫做此三角形的准外心．根据准外心的定义，探究如下问题：如图，在中，，，，如果准外心P在边上，那么的长为_____．18.已知矩形中，是边上一点，将绕点旋转得到，使得点的对应点落在线段上，如果的延长线恰好经过点，那么的长度等于______．19.计算：．20.\如图，已知两个不平行的向量．先化简，再求作：．21.如图，在中，，，过点作，垂足为点．(1)求的值．(2)点是延长线上一点，连结，当时，求线段的长．22.某体育看台侧面的示意图如图所示，观众区的坡度为，顶端离水平地面的高度为10m，从顶棚的处看处的仰角，竖直的立杆上、两点间的距离为处到观众区底端处的水平距离为3m，求：顶棚的处离地面的高度．（，结果精确到0.1m）23.如图，已知是中的角平分线，是上的一点，且．(1)求证：；(2)求证：；(3)求的长．24.已知在直角坐标系内的位置如图所示，，双曲线与边交于点，与边交于点．(1)求的值；(2)当的正切值为时，连接，求的面积与直线的表达式；(3)在（2）的条件下，设直线与轴交于点，点在射线上，连接，如果与相似，试求点的坐标．25.在中，，点为边上一点，且，点分别为边上的动点（点在点的右边），且．设，．(1)如图1，当时，求的长；(2)如图2，当点在边上时，求关于的函数解析式，并写出函数的定义域；(3)连接，当是以边为腰的等腰三角形时，直接写出的长．。
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上海市九年级上学期期中数学试题
姓名:________ 班级:________ 成绩:________
一、单选题 (共10题；共20分)
1. （2分）在某次国际乒乓球单打比赛中，甲、乙两名中国选手进入最后决赛，那么下列事件为必然事件的是（）
A . 冠军属于中国选手
B . 冠军属于外国选手
C . 冠军属于中国选手甲
D . 冠军属于中国选手乙
2. （2分） (2016九上·仙游期末) 抛物线的顶点坐标为（）
A .
B .
C .
D .
3. （2分） (2019九上·海南期末) 设P为⊙O外一点，若点P到⊙O的最短距离为3，最长距离为7，则⊙O 的半径为（）
A . 3
B . 2
C . 4或10
D . 2或5
4. （2分） (2019九上·萧山月考) 已知A，B，C在⊙O上，△ABO为正三角形，则（）
A . 150°
B . 120°
C . 150°或30°
D . 120°或60°
5. （2分）(2018·宁波模拟) 抛物线y=x2+4x+5是由抛物线y=x2+1经过某种平移得到，则这个平移可以表述为（）
A . 向左平移1个单位
B . 向左平移2个单位
C . 向右平移1个单位
D . 向右平移2个单位
6. （2分）如图，⊙O的半径为1，A,B,C是圆周上的三点，∠BAC=36°，则劣弧BC的长是（）
A .
B .
C .
D .
7. （2分）在四边形的四个内角中，钝角的个数最多为
A . 1个
B . 2个
C . 3个
D . 4个
8. （2分） (2017九上·宣化期末) 一小球被抛出后，距离地面的高度h（米）和飞行时间t（秒）满足下列函数解析式：h=﹣3（t﹣2）2+5，则小球距离地面的最大高度是（）
A . 2米
B . 3米
C . 5米
D . 6米
9. （2分） (2017九上·临沭期末) 如图所示，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（-2，0）、B（1，0），直线x= 与此抛物线交于点C，与x轴交于点M，在直线上取点D，使MD=MC，连接AC，BC，AD，BD，某同学根据图象写出下列结论：①a-b=0；②当x＜时，y随x增大而增大；③四边形ACBD是菱形；④9a-3b+c ＞0．你认为其中正确的是（）
A . ②③④
B . ①②③
C . ①③④
D . ①②③④
10. （2分） (2018九上·丽水期中) 如图，A，B，C是⊙O上三个点，∠AOB=2∠BOC，则下列说法中正确的是（）
A . ∠OBA=∠OCA
B . 四边形OABC内接于⊙O
C . AB=2BC
D . ∠OBA+∠BOC=90°
二、填空题 (共6题；共7分)
11. （1分）(2019·贵港) 若随机掷一枚均匀的骰子，骰子的6个面上分别刻有1，2，3，4，5，6点，则点数不小于3的概率是________.
12. （2分） (2018九上·潮南期末) 如图，在⊙O的内接五边形ABCDE中，∠CAD=30°，则∠B+∠E=________．
13. （1分） (2017九上·河口期末) 在﹣2，﹣1，0，1，2这五个数中任取两数m，n，则二次函数y=（x﹣m）2+n的顶点在坐标轴上的概率为________
14. （1分） (2017九下·杭州开学考) 已知圆的两条平行的弦长分别为6cm和8cm，圆的半径为5cm，则两
条平行弦的距离为________．
15. （1分）已知△ABC的边BC=4cm，⊙O是其外接圆，且半径也为4cm，则∠A的度数是________．
16. （1分） (2020九上·嘉陵期末) 将抛物线y=-x2-4x(-4≤x≤0)沿y轴折叠后得另一条抛物线，若直线y=x+b与这两条抛物线共有3个公共点，则b的取值范围为________。
三、解答题 (共8题；共58分)
17. （6分）如图所示，的顶点在的网格中的格点上，
①画出绕点A逆时针旋转得到的；
②画出绕点A顺时针旋转得到的
18. （10分）(2018·灌南模拟) 一个不透明的布袋里装有3个球，其中2个红球，1个白球，它们除颜色外其余都相同．
（1）求摸出1个球是白球的概率；
（2）摸出1个球，记下颜色后放回，并搅匀，再摸出1个球，求两次摸出的球恰好颜色不同的概率（要求画树状图或列表）.
19. （10分） (2018九上·肇庆期中) 如图，直线l：y＝﹣ x+1与x轴、y轴分别交于点B、C，经过B、C两点的抛物线y＝x2+bx+c与x轴的另一个交点为A．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）若点P在直线l下方的抛物线上，过点P作PD∥x轴交l于点D，PE∥y轴交l于点E，求PD+PE的最大值；
（3）设F为直线l上的点，以A、B、P、F为顶点的四边形能否构成平行四边形？若能，求出点F的坐标；
若不能，请说明理由．
20. （2分）如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足P是OB的中点，CD=6cm，求直径AB的长．
21. （10分）(2017·和平模拟) 在平面直角坐标系中，一次函数y=x+3的图象与x轴交于点A，二次函数y=x2+mx+n的图象经过点A．
（1）
当m=4时，求n的值；
（2）
设m=﹣2，当﹣3≤x≤0时，求二次函数y=x2+mx+n的最小值；
（3）
当﹣3≤x≤0时，若二次函数﹣3≤x≤0时的最小值为﹣4，求m、n的值．
22. （2分） (2016八上·永城期中) 如图．AB=AD，∠ABC=∠ADC，求证：BC=DC．
23. （7分） (2016九上·泉州开学考) 快、慢两车分别从相距180千米的甲、乙两地同时出发，沿同一路线匀速行驶，相向而行，快车到达乙地停留一段时间后，按原路原速返回甲地．慢车到达甲地比快车到达甲地早小时，慢车速度是快车速度的一半，快、慢两车到达甲地后停止行驶，两车距各自出发地的路程y（千米）与所用时间x（小时）的函数图象如图所示，请结合图象信息解答下列问题：
（1）请直接写出快、慢两车的速度；
（2）求快车返回过程中y（千米）与x（小时）的函数关系式；
（3）两车出发后经过多长时间相距90千米的路程？直接写出答案．
24. （11分）(2014·茂名) 如图，在△ABC中，AB=AC，且点A的坐标为（﹣3，0），点C坐标为（0，），点B在y轴的负半轴上，抛物线y=﹣ x2+bx+c经过点A和点C
（1）
求b，c的值；
（2）
在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△ACQ为等腰三角形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由
（3）
点P是线段AO上的一个动点，过点P作y轴的平行线交抛物线于点M，交AB于点E，探究：当点P在什么位置时，四边形MEBC是平行四边形，此时，请判断四边形AECM的形状，并说明理由．
参考答案一、单选题 (共10题；共20分)
1-1、
2-1、
3-1、
4-1、
5-1、
6-1、
7-1、
8-1、
9-1、
10-1、
二、填空题 (共6题；共7分)
11-1、
12-1、
13-1、
14-1、
15-1、
16-1、
三、解答题 (共8题；共58分)
17-1、
18-1、
18-2、
19-1、
19-2、
20-1、21-1、21-2、
21-3、22-1、
23-1、
23-2、
23-3、
24-1、
24-2、。