5、聚点内点边界点

就可以定义极限.连续.导数.积分等运算,从而把数学分析的 相关概念及研究思路推广到一般的距离空间中来,使得分析 学有了更广泛的应用.
2、度量空间中的几个概念 d(P, Q) | P∈ A, Q∈B} d( A, B)＝ inf{ （1）两点集间的距离：
{d ( P , Q )} (2)点P到点集A的距离: d ( P , A ) = d ({ P}, A ) = inf Q∈ A
(2) 距 离 空 间 ： 定 义 了 距 离 的 集 合 X 称 为 距 离 空 间 或 度 量 空 间, 记 作 ( X , d ), 度 量 空 间 中 的 元 例1:
1) Rn
----n维欧氏空间,
其中集合 X ={(x1, x2,..., xn )| xk ∈R, k =1,2,..., n} 对任意 x =(x1, x2,..., xn)∈X, y =(y1, y2,..., yn)∈X
作业：P29
4
1 A = { ; n = 1, 2 , 3 n
} 是孤立集合，但不是离散集合
例1 求
1.R1中[ 0，内全体有理点 1] E的所有聚点、界点和内点
2.R 2中点集 E = {( x, y ) x 2 + y 2 < 1}的导集、边界、闭包
例2 对R中任意孤立点集A,总有 A ≤ a 证：∵ A是孤立点集， ∴ ∀x ∈ A, ∃δx > 0, 使得(x − δx , x + δx ) ∩ A = {x}
注1 同一集合可以定义不同的距离，对应着不同的度 量空间。
2)
X = {{ x1 , x2 ,..., xn ,...} | ∑ xi 2 < +∞} ⊂ E∞
i =1
2 ( x − y ) ∑ i i i =1 ∞
∞
∀x , y ∈ X , 令 d ( x , y ) =
( X , d )是 距 离 空 间 ， 记 为 l 2
证明 : a) ⇒ b), c) ⇒ a)是显然的，下面证明b) ⇒ c)
令δ =1,则由条件在N ( P0 ,1)中至少有一点P 1 ∈ E, P 1 ≠ P 0,
1 令δ1 = min{d ( P , P ), }, 则在N ( P0 , δ1 )中至少有一点P2 ∈ E , P2 ≠ P0 ≠ P 1 0 1, 2
其体积均为 | I |= ∏(bi − ai )
i=1
n
二 .点集的诸点
1.定义:
设 E ⊂ Rn , P0 ∈ Rn
（1）若存在 δ > 0, 使得 N ( P0 , δ ) ⊂ E , 则称 P0为 E的内点
（2）若存在δ > 0, 使得N ( P0 , δ ) ⊂ E C , 则称P0为E的外点
d (x, y) =
∑
n
i =1
( xi − yi )2
则d ( x, y )是X 上的一个距离，称为欧氏距离， （X ,d )称为欧氏空间，记为R n
若 令 d 1 = m a x | x i − y i |,
1≤ i ≤ n
d2 =
∑
n
i =1
| xi − yi |
则d1,d2也是X 上一个距离，(X , d1 ),(X , d2 )也是距离空间
6)如 果 E ' = Φ , 则 称 E 为 离 散 集
2.性质：
1） 开核、闭包、导集的单调性：
若A ⊂ B, 则A0 ⊂ B0 , A′ ⊂ B′, A ⊂ B 2）并集的导集与闭包：
( A ∪ B)
′
= A′ ∪ B′
A∪ B = A∪ B
(1).doc
3）孤立点和离散集合的关系：
离散集合都是孤立点集合，但孤立点集合不一定是离散集合
（6）开区间I = {( x1, x2 ,..., xn ) | ai < xi < bi , ai , bi ∈ R, i = 1,2,..., n}, 闭区间，半开半闭区间
（7） 点列{ Pn }收敛于 P0 , 记做 lim Pn = P0 ⇔ lim d ( Pn , P0 ) = 0
n→∞ n→∞
n ) < δ , P , P ∈ R } (3)点 P0的 δ 邻域 ： N ( P0 , δ ) = {P | d (P, P 0 0
(4) 点集的直径: δ ( A ) = s u p { d ( p , q ) }
p ,q∈ A
(5) 有界集:
若δ ( A) < +∞ ⇔∃M > 0, 对∀P∈ A, 有d(P, o) ≤ M, o = (0,0,...,0) ∈Rn
思考：点集的诸点与该集的所属关系如何？ 孤立点与界点的关系如何？ 内点与聚点、界点与聚点的关系任何呢？
2、聚点的等价定义
a ) P0 为 E 的 聚 点 ⇔ b ) ∀ δ > 0， N ( P0 , δ )中 至 少 含 有 一 个 属 于 E 而 异 于 P0的 点 ⇔ c ) E中 ∃ 互 异 的 收 敛 于 P0的 点 列 { Pn }
3）X = { f (t ) | f (t )在[a, b]上连续},
∀x (t ), y (t ) ∈ X , 令d ( x, y ) = max | x (t ) − y (t ) |
a ≤t ≤b
则 ( X , d )为距离空间, 记为 C [ a , b ]
为什么要定义距离呢?
----因为有了距离,在距离空间中,就可以定义邻域,有了邻域,
1 令δ 2 = min{d ( P2 , P0 ), }, 则在N ( P0 , δ 2 )中至少有一点P3 ∈ E , P3 ≠ P0 , 3 得到{Pn }, 使 lim Pn = P0
n →∞
3、聚点存在定理(Bolzano-Weierstrass )定理4： R n中任意有界无穷点集必有聚点。 问：任意有限集有聚点吗？－－无
三.点集诸点构成的点集
1.定义：设 E ⊂ Rn
1）称E的所有内点组成之集为E的内部或开核，
E′ 2)称E的所有聚点组成之集为E的导集，记作：
3）称E的所有界点组成之集为 E的边界，记作：∂ E
记作： int E 或 E 0
4)称 E′ ∪ E为E的闭包，记为E
5)如果集合 E的每一个点都是孤立点，则 E为孤立集合
则称P0为E的界点
（4）若存在δ > 0, 使得N ( P0 , δ ) ∩ E = {P0 }, 则称P0为E的孤立点
（5）若对任意δ > 0, 总有N ( P0 , δ ) ∩ E为无穷集， , 则称P0为E的聚点
（3）若对任意的δ > 0, 总有N ( P0 , δ ) ∩ E ≠ Φ, N ( P0 , δ ) ∩ E C ≠ Φ，
实变函数论
第5讲
第二章 n维空间中的点集
§1聚点、内点、边界点、Bolzano-Weierstrass定理
一、度量空间及其特例---n维欧氏空间 1. 度量空间---距离空间
(1) 距 离 定 义 ： 设 X 为 一 集 合 , 若 对 ∀x, y ∈ X , ∃唯 一 的 实 数 d ( x, y ) ∈ R , 使 得 (a )非 负 性 : d ( x , y ) ≥ 0, 且 d ( x , y ) = 0 ⇔ x = y ; (b) 对 称 性 : d ( x , y ) = d ( y , x ); (c)三 角 不 等 式 : d ( x , y ) ≤ d ( x , z ) + d ( z , y ) 对 ∀ z ∈ X 成 立 , 则 称 d ( x , y )是 x与 y间 的 距 离 .
且 当 x 与 y 都 属 于 A , 且 x ≠ y时 , 有(x −
δx
2
,x+
δx
2
)∩ (y −
δy
2 2 则此对应是A到有理数集某一子集的一个一一对应，
对x ∈ A 取有理数rx ∈ ( x −
δx
2
,y+
δy
2
)=Φ
,x+
δx
) 令 ϕ ( x ) = rx
故 A≤a
小结：
1、距离，距离空间 2、点集E的内点、外点、孤立点、界点、聚点 3、点集E的内部、边界、导集、闭包 4、点集E的内部、边界、导集、闭包的性质