电磁场与电磁波(第四版之第一章矢量分析)
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电磁场与电磁波(第4版之1)
x, y , z
增加的方向，相互垂直且满足右手螺旋法则
v ˆ ˆ ˆ 矢量表示： A = e x Ax + e y Ay + e z Az
v 位置矢量： r = e x x + e y y + e z z ˆ ˆ ˆ
v ˆ ˆ ˆ dr = e x dx + e y dy + e z dz 微分长度元：
说明： 、 说明： a、两个矢量的叉乘为矢量 b、矢量的叉乘不符和交换律，但符合分配律 矢量的叉乘不符和交换律，
v v v v v v v v v v v A× B ≠ B × A A × (B + C) = A × B + A × C r r r r A × B = −B × A
c、 、
v v v v A × B = 平行四边形面积，方向：垂直于 A、B 所在的平面 平行四边形面积，方向：
,θ ,ϕ 0 ≤ r < ∞ , 0 ≤ θ ≤ π , 0 ≤ ϕ ≤ 2π
ˆ 单位矢量： er
ˆ , eθ
ˆ , eϕ
ˆ ˆ ˆ er = eθ × eφ
ˆ ˆ ˆ eθ = eϕ × er
ˆ ˆ ˆ eϕ = er × eθ
矢量表示： A = e A + e A + e A ˆr r ˆθ θ ˆϕ ϕ 位置矢量：
2 体元： dv = r sin θdrdθdϕ
拉梅系数： hr = 1, hθ = r , hϕ = r sin θ 讨论：（1）球面坐标系与直角坐标系的变换关系 讨论
x = r sin θ cos ϕ , y = r sin θ sin ϕ , z = r cos θ ˆ ˆ ˆ ˆ e r = e x sin θ sin ϕ + e y sin θ sin ϕ + e z cos θ ˆ ˆ ˆ ˆ eθ = e x cos θ cos ϕ + e y cos θ sin ϕ − e z sin θ ˆ ˆ ˆ eϕ = − e x sin ϕ + e y cos θ ˆ ˆ ez = ez
电磁场与电磁波第1章绪论与矢量分析
A B ex ( Ay Bz Az By ) ey ( Az Bx Ax Bz ) ez ( Ax By Ay Bx )
A B B A
5．矢量的混合积矢量(标量)
A ( B C ) B (C A) C ( A B)
正交性
坐标变量是r,φ, z
z
ez
Q
er e ez e ez er ez er e
er
r
e
P( r ， ， z ) e
er
z
r
O x
注意 e r ，e为变矢量
y
矢量式：
A er Ar e A ez Az
y r sin
zz zz
x r cos
线元：
dr er dr e rd ez dz
面积元：
dSr er rd dz dS e drdz dS z ez rdrd
z
d
r
dS z
rd
dS
d
dz dr
dS r
O x y
体积元：
dV rdrd dz
例1.1 已知一个矢量在直角坐标系中为 A ex 7 ey 41 ez 5 求它在圆柱坐标中的表达式。
Ar cos A sin A z 0
直A sin A 0 z
sin cos 0
0 Ax 0 Ay 1 A z
圆柱坐标中矢量转换到直角坐标系的转换关系式
电磁场与电磁波》第1章矢量分析
aˆx
Ay | A|
aˆ y
Az |A
|
aˆz
cos aˆx cos aˆy cos aˆz
方向角与方向余弦：
, ,
Az
A
o
Ay
Ax
y
x
cos Ax , cos Ay , cos Az
| A|
| A|
| A|
在直角坐标系中三个矢量加法运算：
A B C (Ax Bx Cx )aˆx (Ay By Cy )aˆy (Az Bz Cz ) aˆz
其结果是一标量。
推论1：满足交换律 推论2：满足分配律
A B B A A(B C) A B AC
推论3：当两个非零矢量点积为零,则这两个矢量必正交。
•在直角坐标系中，已知三个坐标轴是相互正交的，即
aˆx aˆy 0, aˆx aˆx 1,
有两矢量点积：
aˆx aˆz 0, aˆy aˆy 1,
Ax Ay Az
Cx Cy Cz
A (B C) Bx By Bz
Cx Cy Cz
b.矢量三重积：
A(BC) B(AC) C(A B)
例2： 设
r1 2aˆx aˆy aˆz , r2 aˆx 3aˆy 2aˆz r3 2aˆx aˆy 3aˆz , r4 3aˆx 2aˆy 5aˆz
说明穿入的通量大于穿出的通量，那么必然有一些矢线在曲面内终止 了，意味着闭合面内存在负源或称沟。
c. 如果闭合曲面上的总通量
0
说明穿入的通量等于穿出的通量。
3. 散度： a.定义：矢量场中某点的通量密度称为该点的散度。
b.表达式：
divF lim S F dS
c.散度的计算：
电磁场与电磁波第四版课后答案
答案：① aA =
1 14
(ax
+
2ay
−
3az
)
；②
A−B =
53 ；③ A • B = −11；
④
θ AB = 135.48 ； ⑤
A× C = −(4ax +13ay +10az ) ； ⑥
A •（B × C）=（A • B）× C = −42 ； ⑦
（A× B）× C = 2ax − 40ay + 5az 和
托克斯定理求解此线积分。
∫ ∫ 答案：① A •dl = π a4 ；② (∇ × A) dS = π a4 。
l
4
l
4
1-18 试在直角坐标系下证明： − 1 ∇2 (1 R)=δ(r − r′)。 4π
∫ 1-19 若矢量 A = a（R cos2 ϕ
R3 ），1 ≤ R ≤ 2 ，求
∇• AdV 。
⎡ 2 sinhξ cosη
⎢ ⎢
cosh 2ξ − cos 2η
⎢
答案：[M ] = ⎢−
2 coshξ sinη
⎢ cosh 2ξ − cos 2η
⎢
⎢
0
⎢⎢⎣
2 coshξ sinη cosh 2ξ − cos 2η
2 sinhξ cosη cosh 2ξ − cos 2η
0
⎤ 0⎥
⎥ ⎥ 0⎥ 。 ⎥ ⎥ 1⎥ ⎥⎥⎦
+ ay
y − 2x x2 + y2
。
1-22 已知 A = a a x + b a y + c a z ，写出圆柱坐标系和圆球坐标系下 A 的表达式。
答案： A = (a cosϕ + b sinϕ )ar + (b cosϕ − a sin ϕ )aϕ + caz ；
电磁场与电磁波(第四版之第一章矢量分析)
A B B A (A B) C A (B C)
2、矢量相加和相减可用平行四边形法则求解：
A B
B
B
A
AB
B
A
2021/5/16
电磁场理论
第1章 矢量分析
9
矢量的乘法 ➢ 矢量与标量相乘
kA exkAx eykAy ezkAz eAk A
标量与矢量相乘只改变矢量大小，不改变方向。
方l 向减小率；
l
u l M0
0
，标量场 u在 M处0 沿
方l 向为等值面方向（无改变）
2021/5/16
电磁场理论
第1章 矢量分析
22
方向导数既与点M0有关，也与方向有关。
问题： 在什么方向上变化率最大? 最大的变化率为多少？
2021/5/16
梯度
电磁场理论
第1章 矢量分析
23
1.3.3 标量场的梯度
静态标量场和矢量场可分别表示为： u(x, y, z)、 F(x, y, z)
时变标量场和矢量场可分别表示为： u(x, y, z,t) 、 F(x, y, z,t)
2021/5/16
电磁场理论
第1章 矢量分析
20
1.3.1 标量场的等值面
等值面: 标量场取得同一数值的点在空 间形成的曲面。
意义: 形象直观地描述了物理量在空间 的分布状态。
亥姆霍兹定理
(1.8节)
电磁场理论
第1章 矢量分析
4
复习：矢量代数知识
本
常用三个坐标系
章 要
概念：场（矢量场、标量场）
重点
求
散度
掌
握
旋度
数学表达式；
的
电磁场与电磁波-第1章
z o x
v v ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ A × B = ( Ax ax + Ay a y + Az az ) × ( Bx ax + By a y + Bz az )
y
ˆ ˆ ˆ = ( Ay Bz − Az By )ax + ( Az Bx − Ax Bz )a y + ( Ax By − Ay Bx )az
第1章 矢量分析
主要内容 矢量代数、常用坐标系、 梯度、散度、旋度、亥姆量
标量：只有大小而没有方向的物理量。如温度、高度、时间等。 标量：只有大小而没有方向的物理量。如温度、高度、时间等。 矢量：不但有大小而且有方向的物理量。如力、速度、电场强度等。 矢量：不但有大小而且有方向的物理量。如力、速度、电场强度等。 矢量的数学符号用黑斜体字母表示，如A、B、E，或斜体字母上 矢量的数学符号用黑斜体字母表示， 黑斜体字母表示
两矢量的叉积又可表示为： 两矢量的叉积又可表示为：
ˆ ax v v A × B = Ax Bx
ˆ ay Ay By
ˆ az Az Bz
2、矢量运算法则
（3）乘法: 乘法: 乘法 ③ 三重积 三个矢量相乘有以下几种形式： 三个矢量相乘有以下几种形式：
v v v ( A ⋅ B)C
矢量，标量与矢量相乘。 矢量，标量与矢量相乘。
v v v v v v v v b.满足结合律 满足结合律： b.满足结合律： ( A + B ) + (C + D) = ( A + C ) + ( B + D)
矢量加法是几个矢量合成问题，反之， 矢量加法是几个矢量合成问题，反之，一个矢量也可分解为几个矢量
2、矢量运算法则
电磁场与电磁波第1章矢量分析
例：已知一矢量场F=axxy-ayzx, 试求：
（1） 该矢量场的旋度;
（2） 该矢量沿半径为3的四分 之一圆盘的线积分， 如图所 示， 验证斯托克斯定理。
y B
r＝ 3
O
Ax
四分之一圆盘
第 7、8 学时 1.4 标量的方向导数和梯度
1.4.1标量的方向导数和梯度
一个标量场u可以用一个标量函数来表示。在直角坐标 系中， 可将u表示为
lim l A dl
SP S
称固定矢量R为矢量A的 旋度，记作
rotA=R
上式为旋度矢量在n方 向的投影，如图所示， 即
A dl
lim l
SP S
rotn A
ro tA
n
旋涡面
P l
旋度及其投影
矢量场的旋度仍为矢量。在直角坐标系中，旋度的表达式为
rotA
ax
Az y
Ay z
a
y
Ax z
Az x
z
l
式 中 ， 当 Δl→0 时 δ→0 。 将 上 式 两 边 同 除 以 Δl 并 取 极限得到方向导数的计算公式：
u u cos u cos u cos
l x
y
z
ห้องสมุดไป่ตู้
其中，cosα, cosβ, cosγ为l方向的方向余弦。
1.4.4 标量场的梯度
1. 梯度的定义
方向导数为我们解决了函数u(P)在给定点处沿某个方向的 变化率问题。然而从场中的给定点P出发，标量场u在不 同方向上的变化率一般说来是不同的，那么，可以设想，
▽ ·(▽ ×A)≡0
即如果有一个矢量场B的散度等于零，则该矢量B就可 以用另一个矢量A的旋度来表示，即当 ▽ ·B=0 则有
电磁场与电磁波-1、2、3章矢量分析与场论基础
R e zez
位置矢量的微分元是
dR
它在
d 、
(
和e ) dBiblioteka (zez ) e d e d ezdz
z 增加方向的微分元分别为d 、d和dz，如
图1.6所示。与单位坐标矢量相垂直的三个面积元分别为
dS ddz
dS d dz
体积元可表示为
dSz d d
dV dddz
r 3.球坐标系
A aA A ,其中是与同方向的单位矢量，为矢量的模值。
其中 aA 是 与 A同方向的单位矢量，A为矢量A模值。 一个矢量在三个相互垂直的坐标轴上的分量已知，则
这个矢量就确定了。如在直角坐标系中，若矢量A的坐标
分量为( Ax,Ay, Az)，则可表示为则 A可表示为
A ex Αx ey Αy ez Αz
矢量A和B矢量的平面，方向满足右手螺旋法则，即
当右手四指从矢量A到B旋转 角时大拇指所指的方 向，其大小为 ABsin ,即
A B en AB sin
是叉积方向的单位矢量。 在直角坐标系中，各单位坐标矢量的叉积满足如下关系
ex ey ez ,ey ez ex ,ez ex ey
ex ex ey ey ez ez 0
y
x
图1.4 直角坐标系 在直角坐标系中，以坐标原点为起点,指向M (x, y, z点) 的矢 量R称为M点的位置矢量，可表示为
R xex yey zez 位置矢量的微分元是
dR exdx e ydy ezdz
它在x、y和z增加方向的微分元分别为 dx、dy和 dz ，
而与单位坐标矢量相垂直的三个面积元分别为
【提示】A B的模就是A与B所形成的平行四边形的面 积，因此C ( A B)是平行六面体的体积。
位置矢量的微分元是
dR
它在
d 、
(
和e ) dBiblioteka (zez ) e d e d ezdz
z 增加方向的微分元分别为d 、d和dz，如
图1.6所示。与单位坐标矢量相垂直的三个面积元分别为
dS ddz
dS d dz
体积元可表示为
dSz d d
dV dddz
r 3.球坐标系
A aA A ,其中是与同方向的单位矢量，为矢量的模值。
其中 aA 是 与 A同方向的单位矢量，A为矢量A模值。 一个矢量在三个相互垂直的坐标轴上的分量已知，则
这个矢量就确定了。如在直角坐标系中，若矢量A的坐标
分量为( Ax,Ay, Az)，则可表示为则 A可表示为
A ex Αx ey Αy ez Αz
矢量A和B矢量的平面，方向满足右手螺旋法则，即
当右手四指从矢量A到B旋转 角时大拇指所指的方 向，其大小为 ABsin ,即
A B en AB sin
是叉积方向的单位矢量。 在直角坐标系中，各单位坐标矢量的叉积满足如下关系
ex ey ez ,ey ez ex ,ez ex ey
ex ex ey ey ez ez 0
y
x
图1.4 直角坐标系 在直角坐标系中，以坐标原点为起点,指向M (x, y, z点) 的矢 量R称为M点的位置矢量，可表示为
R xex yey zez 位置矢量的微分元是
dR exdx e ydy ezdz
它在x、y和z增加方向的微分元分别为 dx、dy和 dz ，
而与单位坐标矢量相垂直的三个面积元分别为
【提示】A B的模就是A与B所形成的平行四边形的面 积，因此C ( A B)是平行六面体的体积。
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电磁场理论
第1章 矢量分析
本课程的目的
电磁场理论是无线通信、移动通信、微波通 信的基础
后续课程有： 微波技术 天线技术 光纤通信等
电磁场理论
第1章 矢量分析
必修课，共32学时，2个学分
成绩考核与评定 本课为考查课，期末总成绩：
• 理论考试： 80% • 平时成绩： 20%
电磁场理论
第1章 矢量分析
y
y y0（平面） x x x0 （平面）
直角坐标系
z
dS z
ezdxdy
dz
dS y
eydxdz
dx
o
dy
dSx
exdydz
y
体积元
dV dxdydz
x
直角坐标系的长度元、面积元、体积元
电磁场理论
1.2.2 圆柱坐标系
第1章 矢量分析
坐标变量
,, z
坐标单位矢量 er , er , erz
v A
ev
A
ev
A
evz
Az
v B
ev B
ev
B
evz Bz
v 加减：A
v B
ev
( A
B
)
ev
( A
B
)
evz
( Az
Bz )
标积：Av •
v B
(ev
A
ev
A
evz
Az
)•
(ev B
ev B
复习：矢量代数知识
本
常用三个坐标系
章 要
概念：场（矢量场、标量场）
重点
求 掌
散度
握
旋度
数学表达式；
的
主
梯度
重
要
点
内 容
定律：散度定律
斯托克斯定律
数学表达式；
亥姆霍兹定律 物理意义
电磁场理论
第1章 矢量分析
复习：高等数学相关内容
积分符号差异
高等数学 普通物理 本教材
曲面积分 闭合曲面积分
S
矢量的代数表示
vv v v
F E Hv 矢v量可表示为：A
B evA
v vD A 其中
eA
A A
A 为模值，表征矢量的大小；
evA为单位矢量，表征矢量的方向；
矢量的几何表示：用一条有方向的线段来表示
A
矢量的几何表示
说明：矢量书写时，印刷体为场量符号加粗，如 D。教材
上的矢量符号即采用印刷体。
电磁场理论
第1章 矢量分析
矢量用坐标分量表示
r A
r ex
Ax
r ey
Ay
r ez
Az
Ax A cos Ay A cos Az A cos
z
Az
A
Ay
Ax O
y
x
r A
A(erx
cos
ery
cos
erz
cos
)
r eA
r ex
cos
r ey
cos
r ez
cos
电磁场理论
第1章 矢量分析
1.1.2 矢量代数运算
乙
S
S
? S
体积分
V
V
矢量表示差异
v A
v Pi
v Qj
v Rk
v A
Axevx
Ayevy
Azevz
电磁场理论
第1章 矢量分析
1.1 矢量代数
1.1.1 标量（Scalar）和矢量（Vector）
标量与矢量
标量：只有大小，没有方向的物理量(电压U、电荷量Q、能量W等）
矢量：既有大小，又有方向的物理量（作用力，电、磁场强度）
v A
v B
evn
AB
sin
AB
evx Ax
evy Ay
evz Az
A B
B
AB sin
evx
( Ay Bz
Az By
Bx )
By Bz evy ( Az Bx
Ax Bz )
evz
A
( AxBy
Ay Bx )
说明：
1、矢量的叉积不符合交换律，但符合分配律：
vv vv v v v vv vv A B B A A(B C) A B AC
v A
evx
Ax
evy
Ay
evz
Az
v B
evx
Bx
evy
By
evz
Bz
矢量的加法和减法
v A
v B
evx
( Ax
Bx
)
evy
( Ay
By
)
evz
( Az
Bz
)
说明：
1、矢量的加法符合交换律和结合律：
vv vv vv v v vv A B B A (A B) C A (B C)
2、矢量相加和相减可用平行四边形法则求解：
A B
B
A
B
A
AB
B
电磁场理论
第1章 矢量分析
矢量的乘法
➢ 矢量与标量相乘
v kA
evx
kAx
evykAy
evzkAz
evAvk
v A
标量与矢量相乘只改变矢量大小，不改变方向。
➢ 矢量的标积（点积dot product）
v v vv
A • B ALeabharlann B cosABv Bv
Ax Bx Ay By Az Bz
第 1 章 矢量分析
矢量代数、常用坐标系 (1.1~1.2节)
主
标量场的
梯度 (1.3节)
确定
标量场
要
矢量场的通量 散度 (1.4节)
确定
内
矢量场的环流 旋度 (1.5节)
矢量场
容
无旋场与无散场
(1.6节)
拉普拉斯运算与格林函数 (1.7节)
亥姆霍兹定理
(1.8节)
电磁场理论
第1章 矢量分析
位置矢量
rr
r e
r ez z
线元矢量
drv
er
d
er
d
r ez
dz
面元矢量
r dS
r e dl dlz
er ddz
r dS
r e
dl
dlz
r e
d
dz
r dSz
erz dl dl
erz dd
体积元
dV dddz
圆柱坐标系 圆柱坐标系中的线元、面元和体积元
电磁场理论
第1章 矢量分析
说明：圆柱坐标系下矢量运算方法：
AB
A
说明：
1、矢量的点积符合交换律和分配律：
vv vv v v v vv vv A• B B• A A•(B C) A• B A•C
2、r两个r矢量的点r 积r为标量 r r
3、A B
A B 0 A// B
rr A B AB
电磁场理论
第1章 矢量分析
➢ 矢量的矢积（叉积cross product）
2、两个矢量的叉积为矢量 3、矢量运算恒等式（见P341附录）
v vv v vv v vv A• (B C) B • (C A) C • (A B) v v v vv v vv v A(BC) B(A•C) C(A• B)
电磁场理论
第1章 矢量分析
1.2 三种常用的正交坐标系
三维空间任意一点的位置可通过三条相互正交线的交点 来确定。
三条正交线组成的确定三维空间任意点位置的体系，称为 正交坐标系；三条正交线称为坐标轴；描述坐标轴的量称为坐 标变量。
在电磁场与波理论中，三种常用的正交坐标系为：直角坐 标系、圆柱坐标系和球坐标系。
电磁场理论
第1章 矢量分析
1.2.1 直角坐标系
坐标变量
x, y, z
坐标单位矢量 erx , ery , erz
位置矢量
rr erx x ery y erz z
线元矢量
r dl
erxdx
erydy
erzdz
面元矢量
r
dSrx dS y
erxdlydlz
r eydlx
dlz
erxdydz
r ey
dxdz
r dSz
erzdlxdly
erzdxdy
z
z z0 （ez平面）
P
ey
ex
o
点P(x0,y0,z0)
第1章 矢量分析
本课程的目的
电磁场理论是无线通信、移动通信、微波通 信的基础
后续课程有： 微波技术 天线技术 光纤通信等
电磁场理论
第1章 矢量分析
必修课，共32学时，2个学分
成绩考核与评定 本课为考查课，期末总成绩：
• 理论考试： 80% • 平时成绩： 20%
电磁场理论
第1章 矢量分析
y
y y0（平面） x x x0 （平面）
直角坐标系
z
dS z
ezdxdy
dz
dS y
eydxdz
dx
o
dy
dSx
exdydz
y
体积元
dV dxdydz
x
直角坐标系的长度元、面积元、体积元
电磁场理论
1.2.2 圆柱坐标系
第1章 矢量分析
坐标变量
,, z
坐标单位矢量 er , er , erz
v A
ev
A
ev
A
evz
Az
v B
ev B
ev
B
evz Bz
v 加减：A
v B
ev
( A
B
)
ev
( A
B
)
evz
( Az
Bz )
标积：Av •
v B
(ev
A
ev
A
evz
Az
)•
(ev B
ev B
复习：矢量代数知识
本
常用三个坐标系
章 要
概念：场（矢量场、标量场）
重点
求 掌
散度
握
旋度
数学表达式；
的
主
梯度
重
要
点
内 容
定律：散度定律
斯托克斯定律
数学表达式；
亥姆霍兹定律 物理意义
电磁场理论
第1章 矢量分析
复习：高等数学相关内容
积分符号差异
高等数学 普通物理 本教材
曲面积分 闭合曲面积分
S
矢量的代数表示
vv v v
F E Hv 矢v量可表示为：A
B evA
v vD A 其中
eA
A A
A 为模值，表征矢量的大小；
evA为单位矢量，表征矢量的方向；
矢量的几何表示：用一条有方向的线段来表示
A
矢量的几何表示
说明：矢量书写时，印刷体为场量符号加粗，如 D。教材
上的矢量符号即采用印刷体。
电磁场理论
第1章 矢量分析
矢量用坐标分量表示
r A
r ex
Ax
r ey
Ay
r ez
Az
Ax A cos Ay A cos Az A cos
z
Az
A
Ay
Ax O
y
x
r A
A(erx
cos
ery
cos
erz
cos
)
r eA
r ex
cos
r ey
cos
r ez
cos
电磁场理论
第1章 矢量分析
1.1.2 矢量代数运算
乙
S
S
? S
体积分
V
V
矢量表示差异
v A
v Pi
v Qj
v Rk
v A
Axevx
Ayevy
Azevz
电磁场理论
第1章 矢量分析
1.1 矢量代数
1.1.1 标量（Scalar）和矢量（Vector）
标量与矢量
标量：只有大小，没有方向的物理量(电压U、电荷量Q、能量W等）
矢量：既有大小，又有方向的物理量（作用力，电、磁场强度）
v A
v B
evn
AB
sin
AB
evx Ax
evy Ay
evz Az
A B
B
AB sin
evx
( Ay Bz
Az By
Bx )
By Bz evy ( Az Bx
Ax Bz )
evz
A
( AxBy
Ay Bx )
说明：
1、矢量的叉积不符合交换律，但符合分配律：
vv vv v v v vv vv A B B A A(B C) A B AC
v A
evx
Ax
evy
Ay
evz
Az
v B
evx
Bx
evy
By
evz
Bz
矢量的加法和减法
v A
v B
evx
( Ax
Bx
)
evy
( Ay
By
)
evz
( Az
Bz
)
说明：
1、矢量的加法符合交换律和结合律：
vv vv vv v v vv A B B A (A B) C A (B C)
2、矢量相加和相减可用平行四边形法则求解：
A B
B
A
B
A
AB
B
电磁场理论
第1章 矢量分析
矢量的乘法
➢ 矢量与标量相乘
v kA
evx
kAx
evykAy
evzkAz
evAvk
v A
标量与矢量相乘只改变矢量大小，不改变方向。
➢ 矢量的标积（点积dot product）
v v vv
A • B ALeabharlann B cosABv Bv
Ax Bx Ay By Az Bz
第 1 章 矢量分析
矢量代数、常用坐标系 (1.1~1.2节)
主
标量场的
梯度 (1.3节)
确定
标量场
要
矢量场的通量 散度 (1.4节)
确定
内
矢量场的环流 旋度 (1.5节)
矢量场
容
无旋场与无散场
(1.6节)
拉普拉斯运算与格林函数 (1.7节)
亥姆霍兹定理
(1.8节)
电磁场理论
第1章 矢量分析
位置矢量
rr
r e
r ez z
线元矢量
drv
er
d
er
d
r ez
dz
面元矢量
r dS
r e dl dlz
er ddz
r dS
r e
dl
dlz
r e
d
dz
r dSz
erz dl dl
erz dd
体积元
dV dddz
圆柱坐标系 圆柱坐标系中的线元、面元和体积元
电磁场理论
第1章 矢量分析
说明：圆柱坐标系下矢量运算方法：
AB
A
说明：
1、矢量的点积符合交换律和分配律：
vv vv v v v vv vv A• B B• A A•(B C) A• B A•C
2、r两个r矢量的点r 积r为标量 r r
3、A B
A B 0 A// B
rr A B AB
电磁场理论
第1章 矢量分析
➢ 矢量的矢积（叉积cross product）
2、两个矢量的叉积为矢量 3、矢量运算恒等式（见P341附录）
v vv v vv v vv A• (B C) B • (C A) C • (A B) v v v vv v vv v A(BC) B(A•C) C(A• B)
电磁场理论
第1章 矢量分析
1.2 三种常用的正交坐标系
三维空间任意一点的位置可通过三条相互正交线的交点 来确定。
三条正交线组成的确定三维空间任意点位置的体系，称为 正交坐标系；三条正交线称为坐标轴；描述坐标轴的量称为坐 标变量。
在电磁场与波理论中，三种常用的正交坐标系为：直角坐 标系、圆柱坐标系和球坐标系。
电磁场理论
第1章 矢量分析
1.2.1 直角坐标系
坐标变量
x, y, z
坐标单位矢量 erx , ery , erz
位置矢量
rr erx x ery y erz z
线元矢量
r dl
erxdx
erydy
erzdz
面元矢量
r
dSrx dS y
erxdlydlz
r eydlx
dlz
erxdydz
r ey
dxdz
r dSz
erzdlxdly
erzdxdy
z
z z0 （ez平面）
P
ey
ex
o
点P(x0,y0,z0)