线面积分的计算小结

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高数线面积分

则下面的四个命题等价：
10 沿D内任何一闭路L上的积分为零，即 Pdx Qdy 0 ;
L
20 曲线积分 Pdx Qdy与路径无关，只与起点 A与终点B有关;
L( AB )
30 P Q 在D内恒成立； y x
40 在D内存在二元函数 u( x, y),使du Pdx Qdy .
.
等价的意义是：若其中一个成立，另外三个也成立。
I a 2 x 2 y 2 dxdy a 2 x 2 y 2 (dxdy)
.
.
Dxy
Dxy
.
2
a 2 x 2 y 2 dxdy 2
2π
d
a
a 2 r 2 rdr
4π a3
.
Dxy
0
0
3
二4 ：球面 x 2 y 2 z 2 a 2的外侧表面，Dxy为xOy平面上的圆域：
一型：对面积
二型：对坐标
三重积分
高斯公式
1. 第Ⅰ型、第Ⅱ型曲线积分的比较
曲线积分标准形式物理意义
计算方法
相似处
不同处
第一型 (对弧长)
第二型 (对坐标)
f ( x, y)ds
L
f ( x, y, z)ds
L
L指曲线
⌒
AB
当 f ( x, y) 0,
f ( x, y)ds表示
L
线密度为 f ( x,
y)的曲线型构
件的质量 M .
设曲线
L： x y
φ(t) (t)
t
1.都是化曲线积分为定积分计算。
Pdx Qdy W Pdx Qdy 2.都要把曲线表示式 L
L
Pdx Qdy Rdz
表示力F P,Q

线面积分整章

( )
例1 求I L yds,
y2 4x
其中L : y2 4x,从(1,2)到(1,2)一段.
解
I
2
y
1 ( y)2dy 0.
2
2
例3 求I xyzds, 其中 : x a cos , y a sin ,
z k的一段. (0 2)
( x , y , z ) x 2 y 2 z 2 ,求: 1、它关于Z 轴的转动惯量 I Z ；
2、它的重心 .
练习题答案
一、1、L ( x, y)ds； 2、L 的弧长；
3、弧长；
4、<.
二、1、ea (2 a) 2； 4
3、22a3 (1 22 )；
L P( x, y)dx Q( x, y)dy L P( x, y)dx Q( x, y)dy
即对坐标的曲线积分与曲线的方向有关.
三、对坐标的曲线积分的计算
定理设P( x, y),Q( x, y)在曲线弧L上有定义且连
续,
L的参数方程为
x y

( t ), ( t ),
n
P(i ,i )xi的极限存在, 则称此极限为函
i 1
数 P( x, y)在有向曲线弧L上对坐标 x的曲线
积分(或称第二类曲线积分）, 记作
n
L
P(
x,
y)dx

lim
0
i 1
P ( i
,i
)xi
.
n
类似地定义
Q(
L
x,
y)dy

lim
0
i 1
Q(i

线面积分的计算小结

n 1 (1, 1, 1)
3
y
1 3
z
x

( 3) d S
3 2
二、曲面积分
1、第一类曲面积分
（1）定义（2）性质（可积性、线性性、可加性）（3）计算方法（化为二重积分）（4）物理应用（质量、重心、引力）。
2、第二类曲面积分
（1）定义
（2）性质（可积性、线性性、可加性、方向性）
z
o
1y
x
4. 计算
其中为曲线
z

y
解: 利用轮换对称性 , 有
o

x ds
I 2
2

y ds
2
2

z ds
2
x
(的重心在原点)
( x 3
2
y z )ds 4 3
2

a
3
5. 计算
其中L 是沿逆
时针方向以原点为中心, a 为半径的上半圆周. 解法1 令 P x 2 y, Q y 2 x, 则
（2）性质（可积性、线性性、可加性、方向性）
（3）计算方法（化为定积分）（4）格林公式（平面曲线积分：与路径无关、全微分求积）。(注意加辅助线的技巧) ; （5）斯托克斯公式（空间曲线积分，线面积分间的关系）。
（6）物理应用（力沿曲线做功，场沿曲线的环流量）
曲线积分的计算法
曲线积分第一类 ( 对弧长 ) 定积分第二类 ( 对坐标 ) 转化用参数方程用直角坐标方程用极坐标方程第一类: 下小上大第二类: 下始上终
(2) 积分元素投影

第一类: 始终非负第二类: 有向投影
(3) 确定二重积分域

高等数学的线与面积分

其中
是沿 C 的微线元。如果 Fˆ 表示力矢量，则这个线积分就是力推动物体沿路径做的功。
2
问题 2：（答案写在后面的答题页上！）
我们来计算
沿右图所示的闭合三角形路径的线积分。
还是将路径分为三段 C1 , C2 和 C3 ，分别计算其贡献。
作为示范，我们先来进行沿
由 dsr = dxˆi ，我们有
C1
球面的曲面微元为积分得假定电荷均匀分布在半径为r的球面上则球面上的总电荷为这里是电荷密度
麻省理工学院
物理系
解题 1：线积分和面积分
A. 线积分标量函数 f (x, y, z) 沿路径 C 的线积分定义为
这里C被细分成N段，每一段长度 ∆si。为了计算这个线积分，我们可以用弧长参数s来刻画C。借助
于 x = x(s) ， y = y(s) 和 z = z(s) ，上述线积分可改写为普通定积分：例 1：
作为例子，我们来考虑如下二维积分：这里 C 是从原点到(1, 1)的直线，如右图所示。令 s 是从原点测得的弧长。我们有
端点(1, 1)对应于 s = 2 。因此，线积分变成
1
问题 1：（答案写在后面的答题页上！）
本题中我们打算对例 1 中的同一被积函数 x + y 进行积分，只
是取不同的路径 C′ = C1 + C2 ，如右图。积分可分成两部分：
∫∫ r
(b) 试求 y > 0 的柱侧面上的电通量 E ⋅ nˆ d A S
9
问题 1：
∫ (a)
I1 =
(x + y)ds =
C1
∫ (b)
I2 =
(x + y)ds =
C2
(c) I ′ = I1 + I2 =

第10章线面积分2

Σ
即
∫∫ f ( x, y, z)dS = lim∑ f (ξi ,ηi ,ζ i )∆Si λ→0 i =1
Σ
n
叫被积函数，其中f ( x, y, z)叫被积函数，Σ叫积分曲面.
2.对面积的曲面积分的性质 2.对面积的曲面积分的性质
若Σ可分为分片光滑的曲面Σ1及Σ2 , 则
∫∫ f ( x, y, z)dS =∫∫ f ( x, y, z)dS +∫∫ f ( x, y, z)dS. Σ
思考题
在对面积的曲面积分化为二重积分 2 2 的公式中, 的公式中有因子 1+ zx + zy , 试说明这个因子的几何意义. 这个因子的几何意义
思考题解答
是曲面元的面积, dS是曲面元的面积
2 x 2 y
cos(n, z) =
1
2 1+ zx + z2 y
故 1+ z + z 是曲面法线与z 轴夹角的余弦
( 其中 ∆σ )xy 表示投影区域的面积.
二、概念的引入
实例: 流向曲面一侧的流量. 实例: 流向曲面一侧的流量.
(1) 流速场为常向 v ,有量向平面区域 A,求单位假定密度为1) 1). 时间流过 A 的流体的质量Φ(假定密度为 1).
v
θ
A
n
0
流量 Φ = A v cosθ = Av ⋅ n = v ⋅ A
都在Σ上连续, 都在Σ上连续, 求在单位时间内流向Σ 时间内流向Σ指定侧的流体的质量Φ.
x
z
Σ
o
y
1. 分割把面分 n 小 ∆s (∆s 同也表曲 Σ 成块 i 时代 i 第i 小曲的积块面面 ), vi 在∆si 上取点任一 z ∆Si ni (ξi ,ηi ,ς i ) (ξi ,ηi ,ζ i ), 则该点流速为 vi . 法向量为 ni .

第十一章线面积分（何涛一）

一基本要求1. 理解两类线面积分的概念，掌握两类线面积分的性质。

2. 掌握两类线积分以及两类面积分之间的联系和区别，会计算两类线面积分。

3. 熟练掌握格林（Green）公式,会用平面曲线积分与路径无关的条件。

4. 熟练掌握高斯（Gauss）公式，斯托克斯（Stokes）公式，会计算空间曲线积分5. 会用两类线面积分求一些几何量与物理量（如曲面面积，弧长，质量，重心，转动惯量，功等）。

6. 了解散度，旋度以及场论的概念及其计算方法.二学习指导【11-1】第一型曲线积分的要点是什么？答第一型曲线积分是关于曲线弧长的积分（22)()(dy dx ds +=），计算时应根据不同的曲线方程变换相应的，转换成定积分. ds 【11-2】关于第一型曲线积分的对称性.1.设L 为光滑曲线，且关于轴对称，为曲线y 1L L 位于轴右侧的弧段，在y (,)f x y L 上的连续，则10(,)2(,)LL f x f x y ds f x y ds f x ⎧⎪=⎨⎪⎩∫∫为的奇函数为的偶函数2. 设L 为光滑曲线，L 的方程关于y x ,具有轮换性，为(,)f x y L 上的连续函数，则(,)(,)LLf x y ds f y x ds =∫∫，3. 设为光滑的空间曲线，ΓΓ的方程关于z y x ,,具有轮换性，为上的连续函数，则（f Γ∫∫∫ΓΓΓ==ds z f ds y f ds x f )()()(222)()()(dz dy dx ds ++=）4.当被积函数1),(=y x f 时，（弧长计算公式）∫=LLds ds y x f ),(∫……………………………………………………………………………… 【11-3】第二型曲线积分的主要计算方法.(1) 将曲线方程（直角坐标，参数方程，极坐标方程）代入后化定积分计算. (2) 用格林（Green）公式化二重积分计算. (3) 用平面曲线积分与路径无关的条件计算.………………………………………………………………………………………… 【11-4】第一型曲面积分的要点是什么？计算应注意什么？答第一型曲面积分是关于曲面面积的积分。

线面积分总结

圆Γ的形心在原点, 故
X =0
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例. 计算
其中Γ 为曲线
z
解: 利用对称性 , 有
Γ
Γ
o
y
∫Γ
x2 ds = ∫ y2 ds = ∫ z2 ds
Γ
x
(Γ的重心在原点)
利用重心公式知
2 2 2 2 ∴ I = ∫ (x + y + z )ds 3 Γ 4 3 = πa 3
2
解: 显然球心为 (1 1 1) , 半径为 3 ,, 利用对称性可知
2 4 2 2 2 ∴ I = ∫∫ (x + y + z ) d S = ∫∫ (x + y + z) d S 3 ∑ 3 ∑ ∫∫∑ xd S = ∫∫∑ yd S = ∫∫∑ zd S 利用形心公式
= 4∫∫ xd S = 4⋅ x ⋅ ∫∫ d S
= 4∫
π
0
4 a2 cosθ dθ
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结束
的圆弧 L 对于它的对例. 计算半径为 R ,中心角为称轴的转动惯量I (设线密度µ = 1). 解:
y
I = ∫ y ds
2 L
x = Rcosθ ( −α ≤θ ≤α ) L: y = Rsinθ
α
−α
L α o R x
∫ P(x, y, z)dx = ∫
(c)
b大
a小 b终
P(x, y(x), z(x)) d x
= ∫ P(x, y(x), z(x)) d x
a起
(S )
∫∫ f (x, y, z) d S = σ f (x, y, z(x, y)) ∫∫

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转化
二重积分
(1) 统一积分变量 — 代入曲面方程
(2)
积分元素投影

第一类: 第二类:
始终非负有向投影
(3) 确定二重积分域
— 把曲面积分域投影到相关坐标面
(3) 两类曲面积分的转化
1.
计算 x d y d z y d z d x z d x d y,其中为半球面
z
（1）定义（2）性质（可积性、线性性、可加性、方向性）
（3）计算方法（化为二重积分）（4）高斯公式(注意加辅助曲面的技巧) ;
（5）斯托克斯公式（空间曲线积分，线面积分间的关系）。（6）物理应用（场穿过曲面指定侧的通量）。
曲面积分的计算法
曲面积分

第一类( 第二类(
对面积对坐标
) )
解: I (x2 y2 z2 ) 2xy 2 yz dS (2x 2z) d S 2 (x z)ydS
斯托克斯( Stokes ) 公式
P d x Q d y R d z
dydz dzdx

x
y
P
Q
dxd y
yz

1 3

(3)
d
S
1
3
z
dS
x
3 2
z
B n
oC
A
y
x
:x y z 1
n 1 (1, 1, 1)
3
二、曲面积分
1、第一类曲面积分
（1）定义（2）性质（可积性、线性性、可加性）（3）计算方法（化为二重积分）（4）物理应用（质量、重心、引力）。
2、第二类曲面积分
其中L为摆线

原式

a
2
2
0
t
sin
td
t
a2 t cos t sin t 02
3、计算提示: 因在上有
其中由平面 y = z 截球面
从 z 轴正向看沿逆时针方向.
故
z
原式 =
o 1y
x

2

1 2

2

3 4
1 2

2

z
o 1y
x
4. 计算
其中为曲线
线面积分的计算
一、曲线积分 1、第一类曲线积分（1）定义（2）性质（可积性、线性性、可加性）（3）计算方法（化为定积分）（4）物理应用（质量、重心、引力）。
2、第二类曲线积分（1）定义（2）性质（可积性、线性性、可加性、方向性）
（3）计算方法（化为定积分）（4）格林公式（平面曲线积分：与路径无关、
(3) 利用两类曲线积分的联系公式 .
1. 计算
其中L为圆周
提示: 利用极坐标 ,
ds r2 r2 d a d
原式 = L ax ds
说明: 若用参数方程计算, 则
y
r o
t ax
d s x2 y 2 d t
y
r
t
o
ax
2、计算
上对应 t 从 0 到 2 的一段弧. 提示:
的上侧.
提示: 以半球底面 0 为辅助面,

且取下侧 , 记半球域为 , 利用高斯公式有
o
y
x 0
原式 =
3d x d y d z 0 xdydz ydzdx zdxdy
3 2 R3 0 2 R3
3
2. 计算曲面积分
中是球面 x2 y2 z2 2x 2z .
全微分求积）。(注意加辅助线的技巧) ;
（5）斯托克斯公式（空间曲线积分，线面积分间的关系）。
（6）物理应用（力沿曲线做功，场沿曲线的环流量）
曲线积分的计算法
曲线积分
第一类 ( 对弧长 ) 第二类 ( 对坐标 ) 转化
定积分
用参ห้องสมุดไป่ตู้方程
(1) 统一积分变量用直角坐标方程用极坐标方程
第一类: 下小上大 (2) 确定积分上下限第二类: 下始上终
L
L

2 ydx
L AB AB
L
L
:
xy

a a
(1 cos sin t
t)
t :0
y L
D
oA a B x
D 0d x d y
2a
0d
x

2a2
0
sin2 td t
0
a2
7. 求力
沿有向闭曲线所作的
功, 其中为平面 x + y + z = 1 被三个坐标面所截成三
这说明积分与路径无关, 故
y
C
L
I AB (x2 y) d x ( y2 x)dy B o A x

a
a
x
2
d
x
解法2 添加辅助线段 BA,它与L所围区域为D, 则
I LBA(x2 y) d x ( y2 x) d y
BA(x2 y) d x ( y2 x) d y
(x2 y) d x (y2 x)dy y2 dx
L
L
L : x a cost, y a sin t, t : 0
I a3 sin3 t d t 2 a3
0
3
2a3
6. 计算
其中L为上半圆周提示:
沿逆时针方向.
I ex sin y d x (ex cos y 2)dy 2 ydx
(x2 y y 2 )d x (y2 x)d y
L
思考题解答:
y
(1) I1
(x2 3 y)d x (y2 x)d y
L
L AB AB
C
L
D
B o Ax
2 d x d y 2 a3 a2 (2 a )
D
3
3
(2)I2 L (x2 y y 2 ) d x ( y2 x) d y
角形的整个边界, 从 z 轴正向看去沿顺时针方向.
提示: 方法1
z
B
利用对称性
3 y d x z d y xdz AB
oC
A
y
x
3 x d z AB
1
30 (1 z)dz
方法2 利用斯托克斯公式设三角形区域为 , 方向向上, 则
1
1
3
3

x
y
z R
cos

x
P
cos

y Q
cos
dS z R
n
z

o
y
x
场论初步
方向导数
f l
f cos f cos
x
y
f cos
z
梯度
gradu

u
i

u
j

u
k
x y z
通量散度
Pdydz Qdzdx Rdxdy
z
解: 利用轮换对称性 , 有
x2 ds y2 ds z2 ds

I

2 3
(x2

y2

z2 )ds
4 a3
3

y
o
x
(的重心在原点)
5. 计算
其中L 是沿逆
时针方向以原点为中心, a 为半径的上半圆周.
解法1 令 P x2 y, Q y2 x, 则

P Q R divA
x y z
环流量 Pdx Qdy Rdz
旋度
rotA

(R

Q
)i

(P

R)
j

(Q

P
)k
y z z x x y
D 0 d x d y
a x2 dx 2 a3
a
3
y
C
L
D
B o Ax
(利用格林公式)
思考:
(1) 若L 改为顺时针方向,如何计算下述积分:
I1 L (x2 3 y) d x ( y2 x) d y
(2) 若 L 同例2 , 如何计算下述积分:
I2

线面积分的计算小结

高数线面积分

线面积分整章

线面积分的计算小结

高等数学的线与面积分

第10章线面积分2

最新9线面积分汇总

第十一章线面积分（何涛一）

线面积分总结