微专题27以解析几何为载体的应用题答案

微专题27
例题
答案：(1)150；(2)10.
解析：(1)如图，以O 为坐标原点，OC 所在直线为x 轴，建立平面直
角坐标系xOy.由条件知A(0，60)，C(170，0)，直线BC 的斜率k BC ＝－tan ∠BCO ＝－4
3.又因为AB ⊥BC ，
所以直线AB 的斜率k AB ＝3
4.
设点B 的坐标为(a ，b)，则k BC ＝
b －0a －170＝－4
3，k AB ＝b －60a －0＝34
.解得a ＝80，b ＝120.所以BC ＝
（170－80）2＋（0＋120）2＝150.答：新桥BC 的长为150 m .
(2)设保护区的边界圆M 的半径为r m ，OM ＝d m (0≤d ≤60)．
由条件知，直线BC 的方程为y ＝－4
3(x －170)，即4x ＋3y －680＝0.由于圆M 与直线BC 相切，故点M(0，
d)到直线BC 的距离是r ，即r ＝|3d －680|42＋32＝680－3d
5.因为O 和A 到圆M 上任意一点的距离均不少于80 m ，
所以⎩⎨⎧r －d ≥80，
r －（60－d ）≥80，
即⎩⎨⎧680－3d
5－d ≥80，680－3d 5－（60－d ）≥80，
解得10≤d ≤35.故当d ＝10时，r ＝680－3d
5最大，即圆面积最大．
答：当OM ＝10 m 时，圆形保护区的面积最大．
变式联想
变式1
答案：(1)22＋2百米；(2)点Q 在线段DE 上且距离y 轴1
3
百米．
解析：(1)设直线OM ：y ＝kx(其中k 一定存在)，代入y ＝x ＋1x ，得kx ＝x ＋1
x ，化简为(k －1)x 2＝1.设M(x 1，
y 1)，则x 1＝
1
k －1
，(k ＞1)，所以OM ＝x 12＋y 12＝x 12＋k 2x 12＝1＋k 2·1k －1
＝1＋k 2
k －1
.令t ＝k －1(t ＞0)，则1＋k 2k －1＝t 2＋2t ＋2t ＝t ＋2
t ＋2≥22＋2，当且仅当t ＝2时等号成立，即k ＝2＋1时成立．综上，
OM 的最短长度为22＋2百米．
(2)当直线PQ 与边界曲线相切时，PQ 最短．若直线PQ 斜率不存在，则直线方程为x ＝4
3，不符合题意；
若直线PQ 斜率存在，设PQ 方程为
y ＝k )3
4(-x ，代入y ＝x ＋1x ，化简得(k －1)x 2－43kx －1＝0.当k ＝1时，方程有唯一解x ＝－3
4(舍去)，当k ≠1
时，因为直线与曲线相切，所以Δ＝2)3
4(k -
＋4(k －1)＝0，解得k ＝－3或k ＝3
4(舍去)，此时直线PQ 方程为y ＝－3x ＋4，令y ＝5，得x ＝－13，即点Q 在线段DE 上且距离y 轴1
3百米．
答：当点Q 在线段DE 上且距离y 轴1
3百米，通道PQ 最短．
变式2
答案：(1)y ＝14x 2(0≤x ≤2)；(2)①y ＝12tx －14t 2; ②AF ＝2
3
.
解析：(1)因为边缘线OM 上每一点到点D 的距离都等于它到边AB 的距离，所以边缘线OM 是以点D 为焦点，直线AB 为准线的抛物线的一部分．因为D(0，1)，M(2，1)，所以边缘线OM 的方程为y ＝1
4
x 2(0≤x ≤2)．
(2)①设切点为P )4
,(2t t (0＜t ＜2)，则点P 处的切线斜率为12t.所以直线EF 的方程为y －14t 2＝1
2t(x －t)，
即y ＝12tx －1
4
t 2.
②点E ，F 的坐标分别为E )1,24(2t t +，F )4
,0(2t -.所以S △DEF ＝12⎝⎛⎭⎫1＋14t 2·4＋t 22t ＝（4＋t 2）2
16t ，t ∈(0，2)． 因为S′△DEF ＝1
16
·
（4＋t 2）（3t 2－4）t 2
，令S′△DEF ＝0，得t ＝233⎝⎛⎭⎫t ＝－233舍.当t ∈)332,0(时，S ′△DEF ＜0；当x ∈⎝⎛⎭⎫
233，2时，S ′△DEF ＞0，所以S △DEF 在]332,0(上是减函数，在)23
32[，上是增函数．所以当t ＝23
3时，S △DEF 最小，此时F )3
1
,0(-.
答：取AF ＝2
3
时，沿直线EF 画线段切割，可使截去的△DEF 的面积最小．
说明：很多实际问题都与曲线有关(如直线、圆、抛物线以及由函数关系给出的曲线)，通常的处理方法是仔细审题，明确解题方向，根据题意，结合所给图形的结构特征，建立直角坐标系，把要解决的问题放在坐标平面上使之与有关曲线相联系，根据相关等量关系建立数学模型(函数模型、不等式模型等)，运用解析几何的基本知识、思想和方法予以解决，此类问题通常涉及确定最优解的点的位置，如例题和变式题就是这样的问题．
串讲激活
串讲1
答案：(1)2t 2－18t ＋129(0＜t ＜8)；
(2)满足题意的P 点距河岸5 km ，距小区M 到河岸的垂线5 3 km ，此时污水处理站到小区M 和N 的水管长度分别为10 km 和6 km .
解析：(1)如图，以河岸l 所在直线为x 轴，以过M 垂直于l 的直线为y 轴建立直角坐标系，则可得点M(0, 10)，点N(83，8)．
设点P(s ，t)，过P 作平行于x 轴的直线m ，作N 关于m 的对称点N′，则N′(83，2t －8)．则PM ＋PN ＝PM ＋PN′≥MN ′＝（83－0）2＋（12t －8－10）2＝2t 2－18t ＋129(0＜t ＜8)即为所求． (2)设三段水管总长为L ，则由(1)知L ＝PM ＋PN ＋PQ ≥MN′＋PQ ＝t ＋
2t 2－18t ＋129(0＜t ＜8)，所以(L －t)2＝4(t 2－18t ＋129)，即方程3t 2＋(2L －72)t ＋(516－L 2)＝0在t ∈(0，8)上有解．故Δ＝(2L －72)2－12(516－L 2)≥0，即L 2－18L －63≥0，解得L ≥21或L ≤－3，所以L 的最小值为21，此时对应的t ＝5∈(0，8)．故N′(83，2)，MN ′方程为y ＝10－3
3
x ，令y ＝5得x ＝53， 即P(53，5)．从而PM ＝（53）2＋（5－10）2＝10，
PN ＝（53－83）2＋（5－8）2＝6.
答：满足题意的P 点距河岸5 km ，距小区M 到河岸的垂线5 3 km ，此时污水处理站到小区M 和N 的水管长度分别为10 km 和6 km .
串讲2 答案：(1)4
3
m ；(2) 2 m .
解析：建立如图所示的直角坐标系，
设抛物线的方程为x 2＝2py(p>0)，由已知点P(2，2)在抛物线上，得p ＝1，所以抛物线的方程为y ＝1
2x 2.
(1)为了使填入的土最少，内接等腰梯形的面积要最大，如图1，设点A )2
1
,(2
t t (0＜t ＜2)，则此时梯形APQB
的面积S(t)＝12(2t ＋4)·)2
12(2t ＝－12t 3－t 2＋2t ＋4，∴S ′(t)＝－32t 2－2t ＋2，令S′(t)＝－32t 2－2t ＋2＝0，
得t ＝2
3，当t ∈)32,0(时，S ′(t)＞0，S(t)单调递增，当t ∈)2,3
2(时，S ′(t)＜0，S(t)单调递减，所以当t
＝23时，S(t)有最大值12827
. 答：改挖后的水渠的底宽为4
3
m 时，可使填土的土方量最少．
(2)为了使挖掉的土最少，等腰梯形的两腰必须与抛物线相切，如图2，设切点
M )21,(2t t (t ＞0)，则函数在点M 处的切线方程为y －12t 2＝t(x －t)，分别令y ＝0，y ＝2得A )0,2(t ，B )2,22(t t +，
所以此时梯形OABC 的面积S(t)＝12)2(t
t +·2＝t ＋2t ≥22，当且仅当t ＝2时，等号成立，此时OA ＝2
2.
答：设计改挖后的水渠的底宽为2m 时，可使挖土的土方量最少．
新题在线
答案：(1)E 点为过圆O 与直线CD 的垂线与扇形弧的交点．
(2)C ，E ，M 三点共线．
解析：(1)以O 为坐标原点，OB 所在直线为x 轴，OA 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系，则C(0，80)，D(60，0)，CD ：x 60＋y
80＝1即4x ＋3y ＝240，弧AB 所在圆的方程为x 2＋y 2＝1202；设与CD 平行且与弧
AB 相切的直线为l ：4x ＋3y ＝m ，当面积最大时，E 为切点，此时E 点为过圆O 与直线CD 的垂线与扇形弧的交点．
当面积最大时，E 为切点，此时E 点为过圆心O 与直线CD 的垂线与扇形弧的交点．
(2)设总造价为S 元，E(x ，y)，由题意得，S ＝aCE ＋2aDE.在x 轴上取一点M(m ，0)，使得EM
ED ＝2，则EM 2
＝4ED 2，即(x －m)2＋y 2＝4[(x －120)2＋y 2]，整理得3x 2＋(2m －480)x ＋3y 2＝m 2－1202(*)，当2m －480＝0即m ＝240时(*)可化为x 2＋y 2＝1202，此即为弧AB 所在圆的方程，即弧AB 上所有的点都满足，EM ＝2ED.所以M(240，0)，此时CE ＋2DE ＝CE ＋EM ，当且仅当C ，E ，M 三点共线时总造价最小．。