带电粒子在复合场中运动题型方法

带电粒子在复合场中运动题型方法一、带电粒子在复合场中做直线运动1．带电粒子在复合场中做匀速直线运动【方法攻略】粒子所受合外力为零时，所处状态一定静止或匀速直线运动。

类型一：粒子运动方向与磁场平行时（洛伦兹力为零），电场力与重力平衡，做匀速直线运动。

类型二：粒子运动方向与磁场垂直时，洛伦兹力、电场力与重力平衡，做匀速直线运动。

正确画出受力分析图是解题的关键。

【例1.】设在地面上方的真空中，存在的匀强电场和匀强磁场，已知电场强度和磁感应强度的方向相同，电场强度的大小E=4.0V/m，磁感应强度的大小B=0.15T，今有一个带负电的质点以v=20m/s的速度在此区域内沿垂直于场强方向做匀速直线运动，求此带电质点的电量与质量之比q/m以及磁场所有可能的方向（角度可以用反三角函数表示）。

解析：（1）根据带电粒子做匀速直线运动的条件，可知带电粒子所受的电场力，重力、磁场力一定在同一竖直平面内，合力为零，如图所示，质点的速度方向一定垂直于纸面向外。

由共点力平衡的条件可知：，则（2）设磁场力方向与重力方向的夹角为θ，将电场力和洛仑兹力方向垂直于重力方向分解，则有：，解得，θ=arctan0.75 即磁场方向是沿着与重力方向夹角θ=arctan0.75，且斜向下方的一切方向。

点评：该题没有给出图示，需要学生自己在空间建立电场、磁场的方向以及三个共点力平衡的物理情景，对学生的知识和能力要求比较高。

2．带电粒子在复合场中做变速直线运动类型一：如果粒子在复合场中受轨道、支撑面、轻绳或轻杆等有形的约束时，可做变速直线运动。

解题时只要从受力分析入手，明确变力、恒力及做功等情况，就可用动能定理、牛顿运动定律、运动学相关知识进行求解。

【例2.】质量为m带电量为q的小球套在竖直放置的绝缘杆上，球与杆间的动摩擦因数为μ。

匀强电场和匀强磁场的方向如图所示，电场强度为E，磁感应强度为B。

小球由静止释放后沿杆下滑。

设杆足够长，电场和磁场也足够大，求运动过程中小球的最大加速度和最大速度。

解析：设小球带正电（带负电时电场力和洛伦兹力都将反向，结论相同）受力分析如图。

当洛伦兹力和电场力大小相等时，即qBv=Eq，在竖直方向上只受重力，合力最大，加速度最大，即a m=g。

当摩擦力和重力大小相等时，竖直方向上合力为零，速度达到最大值。

则竖直方向上：；水平方向上：。

联立解得：类型二：在无有形约束条件下，粒子受洛伦兹力、电场力、重力作用下，使与速度平行的方向上合力不等于零，与速度垂直的方向上合力等于零，粒子将做匀变速直线运动。

明确这一条件是解题的突破口。

【例3.】质量为m，电量为+q的小球以初速度v0以与水平方向成θ角射出，如图所示，如果在空间加上一定大小的匀强电场和匀强磁场后，能保证小球沿v0方向做匀减速直线运动，试求所加匀强电场的最小值和匀强磁场的方向，加了这个二个场后，经多长时间速度变为零?解析：由题知小球在重力和电场力作用下沿v0方向做匀减速直线运动，可知垂直v0方向上合外力为零，根据力的分解得，重力与电场力的合力沿v0所在直线.，磁场方向平行于v0所在直线。

建如图所示坐标系，设场强E与v0成φ角，则受力如图：由牛顿第二定律可得①②由①式得：③由③式得：φ=90°时，E最小为：，其方向与v0垂直斜向上，将φ=90°代入②式可得a=-g sinθ。

即在场强最小时，小球沿v0做加速度为a=-g sinθ的匀减速直线运动，设运动时间为t时速度为0，则：0=v0-g sinθt。

可得：点评：本题重在挖掘隐含条件：据“保证小球仍沿v0方向做匀减速直线运动”的条件，推测重力和电场力在垂直于v0方向合力为零，磁场方向平行于v0所在直线，考查学生分析综合能力及思维发散能力。

二、带电粒子在复合场中的曲线运动1．带电粒子在复合场中做圆周运动类型一：匀速圆周运动带电粒子在复合场中做匀速圆周运动时，必定有其它力与恒定的重力相抵消，以确保合力大小不变，方向时刻指向圆心。

一般情况下侧重考查重力恰好与电场力平衡，洛伦兹力充当向心力，粒子在竖直平面内做圆周运动这类题，它的隐含条件就是重力恰好与电场力平衡。

【例4.】场强为E的匀强电场和磁感强度为B的匀强磁场正交，如图所示，一质量为m的带电粒子，在垂直于磁场方向的平面内做半径为R的匀速圆周运动，设重力加速度为g，则下列说法正确的是（）A．粒子带负电，且q=m/E B．粒子顺时针方向转动C．粒子速度大小为V=BRg/E D．粒子的机械能守恒解析：粒子做匀速圆周运动，受力分析如图7所示：所以粒子必需带负电。

由于粒子做匀速圆周运动，则有，解得：。

洛伦兹力提供向心力，则。

联立解得。

除重力做功之外，还有电场力做功，因此粒子的机械能不守恒。

故答案为ABC【变式训练1：】在如图所示的直角坐标系中，坐标原点O处固定有正点电荷，另有平行于y轴的匀强磁场.一个质量为m、带电量+q的微粒，恰能以y轴上点为圆心作匀速圆周运动，其轨迹平面与x O z平面平行，角速度为，旋转方向如图中箭头所示。

试求匀强磁场的磁感应强度大小和方向？类型二：若带电粒子运动的空间存在轨道、支撑面、轻绳、轻杆等有形的约束时，带电粒子在复合场中做匀变速圆周运动，一般应用牛顿运动定律和动能定理求解。

【例5.】如图所示，在水平正交的匀强电场和匀强磁场中，半径为R的光滑绝缘竖直圆环上，套有一个带正电的小球，已知小球所受电场力与重力相等，小球在环顶端A点由静止释放，则小球所能获得最大动能为多少？解析：小球下滑的过程中，要使动能最大，则需要速度最大，设在C点，重力和电场力的切向等大反向，速度最大，即,又因为。

解得：。

当小球从A到C的运动过程由动能定理可得:.联立解得最大动能：。

点评：图中从A到C，洛伦兹力始终不做功，重力和电场力的合力有切向分量，且与速度同向，因此做正功，小球动能增加；在C点时，该合力为径向，没有切向分力，此后切向分力与线速度反向，动能将减小，故在C点时速度最大。

2．带电粒子在复合场中做一般曲线运动【方法攻略】若带电粒子所受的合外力的大小、方向均是不断变化的，则带电粒子在复合场中将做非匀变速曲线运动，这时粒子的运动轨迹既不是圆弧，也不是抛物线。

处理此类问题，一般应用动能定理和能量守恒定律求解。

【例6.】设空间存在竖直向下的匀强电场和垂直纸面向里的匀强磁场,如图所示。

已知一离子在电场力和洛仑兹力的作用下，从静止开始自A点沿曲线ACB运动，到达B点时速度为零。

C点是运动的最低点。

忽略重力,以下说法中正确的是：A．这离子必带正电荷B．A点和B点位于同一高度C．离子在C点时速度最大D．离子到达B点后，将沿原曲线返回A点解析：因平行板间的电场方向向下，依题意离子由A点无初速度释放后向下运动，此时离子不受洛仑兹力，仅受电场力，则电场力方向向下，所以离子必须带正电，故A项正确。

离子到达B点时速度为零，由动能定理知，离子从A到B的运动过程中，外力对离子做功的代数和为零，但由于洛仑兹力不做功，故离子从A到B的运动过程中电场力做功为零，因此离子在A、B两点的电势能相等。

A、B两点的电势相等，即 A、B两点应在同一个高度，故B项正确。

由于C点是在运动的最低点，离子由A运动到C点电场力做功最多，由动能定理知，离子在C点的速度应最大，故C项正确。

离子运动到B点时，所处的运动状态与在A点时相同，离子达到B点后将要开始的运动也将向右偏，不可能回到A，故D错误。

点评：本例关键在于粒子的运动过程分析，对于做变加速曲线运动的粒子，受力分析和能量分析，是研究粒子在复合场中运动问题的两种基本方法。

三、带电粒子在组合式复合场中的分阶段运动【方法攻略】这类问题往往是粒子依次通过几个并列的场，如电场与磁场并列；其运动性质随区域场的变化而变化，解题的关键在于分析清楚在各个不同场中的受力及运动时的速度的关系，画出运动的草图。

【例7.】在平面直角坐标系xOy 中，第Ⅰ象限存在沿y 轴负方向的匀强电场，第Ⅳ象限存在垂直于坐标平面向外的匀强磁场，磁感应强度为B 。

一质量为m 、电荷量为q 的带正电的粒子从y 轴正半轴上的M 点以速度v 0垂直于y 轴射入电场，经x 轴上的N 点与x 轴正方向成θ=60°角射入磁场，最后从y 轴负半轴上的P 点垂直于y 轴射出磁场，如图11所示。

不计粒子重力，求（1）M 、N 两点间的电势差U MN ；（2）粒子在磁场中运动的轨道半径r ；（3）粒子从M 点运动到P 点的总时间t 。

解析：根据粒子在不同区域内的运动特点和受力特点画出轨迹，分别利用类平抛和圆周运动的分析方法列方程求解。

(1) 设粒子过N 点时的速度为v ，有：＝cos θ。

解得：v ＝2v 0。

粒子从M 点运动到N 点的过程，有：。

解得：U MN ＝(2) 粒子在磁场中以O ′为圆心做匀速圆周运动，半径为O ′N ，qvB ＝ 解得：r =(3)由几何关系得ON ＝r sin θ。

设粒子在电场中运动的时间为t 1，有：ON ＝v 0t 1。

联立解得：t 1＝。

粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期T ＝，设粒子在磁场中运动的时间为t 2，有t 2＝T ，t 2＝。

t ＝t 1＋t 2。

联立解得t ＝。

点评：组合场中电场和磁场是各自独立的，计算时可以单独使用带电粒子在电场或磁场中的运动公式来列式处理．电场中常有两种运动方式：加速或偏转；而匀强磁场中，带电粒子常做匀速圆周运动。

【变式训练2：】如图所示，X 轴上方有匀强磁场B ，下方有竖直向下匀强电场E 。

电量为q 、质量为m （重力不计），粒子静止在y 轴上。

X 轴上有一点N(L.0)，要使粒子在y 轴上由静止释放而能到达N 点，问：(1)粒子应带何种电荷? 释放点M 应满足什么条件?(2)粒子从M 点运动到N 点经历多长的时间?1．解析：带电微粒受重力、库仑力、洛仑兹力的作用，这三个力的合力为向心力. 如图13所示，设圆轨迹半径为R .，圆周上一点和坐标原点连线与y 轴夹角为θ. 带电微粒动力学方程为：（1） （2）而 （3） （4）由各式消去和得: ，方向沿y 负方向。

2．解析：（1）设释放点M的坐标为（0，-y O），在电场中由静止加速，则：qEy O =mv2①在匀强磁场中粒子以速率V做匀速圆周运动，有：qBV=mV2/R ②设n为粒子做匀速圆周运动的次数(正整数)则：L=n2R，所以R=L/2n ③(2)粒子由M运动到N在电场中的加速运动和减速运动的次数为(2n-1)次，每次加速或减速的时间都相等，设为t1，则y O = at1 2=qEt12/m所以t1=粒子在磁场中做匀速圆周运动的半周期为t2，共n次，t2=πm/qB粒子从M点运动到N点共经历的时间为：t=(2n-1)t1+nt2=(2n-1)BL/2nE+nπm/qB （n=1、2、3……）。