市北资优七年级分册 第12章 12.7 繁分式+杨晨光
市北资优七年级分册 第11章 11.18 a3+b3+c3-3abc的因式分解+张来
11．18 a3＋b3＋c3—3abc的因式分解试一试如何对a3＋b3十c3－3abc进行因式分解？例1分解因式：x3＋y3＋z3—3xyz．分析这是一个三元三次多项式，根据题目结构的特点并由配方的联想，将原多项式的某些项配成完全立方，并使得配成完全立方的式与其余的项能用分组分解法分解因式．解原式＝x3＋y3＋z3－3xyz＝x3＋3xy (x＋y)＋y3—3xy (x＋y)＋z3－3xyz＝(x＋y)3＋z3－3xy(x＋y＋z)＝[(x＋y)＋z][(z＋y)2一(x＋y)2＋z2]－3xy(x＋y＋z)＝(x＋y＋z)(x2＋2xy＋y2－xz－yz＋z2)－3xy (x＋y＋z)＝(x＋y＋z)(x2＋y2＋z2－xy－yz－zx)．例2 分解因式：(x－1)3＋(z－2)3＋(3－2x)3．解设a＝x－1，b＝x－2，c＝3－2x，则a＋b＋c＝0，由公式a3＋b3＋c3—3abc＝(a＋b＋c)(a2＋b2＋c2－ab－bc－ca)知此时a3＋b3 ＋c3＝3abc，所以原式＝3(x－1)(x－2)(3－2x)．例3 分解因式：(2x＋3y)3—8x3—27y3．解(2x＋3y)3—8x3—27y3＝(2z＋3y)3＋(一2x)3＋(一3y)3,因为2x＋3y＋(－2x)＋(－3y)＝0，所以(2x＋3y)3—8x3—27y3＝(2x＋3y)3＋(－2x)3＋(－3y)3＝3(2x＋3y)(一2x)(一3y)＝18xy(2x＋3y)．练习11．181．分解因式：(x2＋y2)3＋(z2－x2)3－(y2＋z2)3．2．求(b＋c－2a)3＋(c＋a－2b)3＋(a＋b－2c)3—3(b＋c－2a) (c＋a－2b)(a＋b－2c)的值．3．分解因式：x6＋64y6＋12x2y2—1．4．设a＋b＋c＝3m，求(m－a)3＋(m－b)3＋(m－c)3—3(m－a)(m－b) (m－c)的值．5．三个整数a、b、c的和是6的倍数，那么它们的立方和被6除，得到的余数是多少？参考答案练习11．181．原式＝3(x2＋y2)( y2＋z2)(x＋z)(x—z)2．由(b＋c－2a)＋(c＋a－2b)＋(a＋b—2c)＝0，得原式＝03．x6＋64y6＋12x2y2—1＝(x2)3＋(4y2)3＋(－1)3－3x2·4y·(－1)＝(x2 ＋4y2－1)(x4＋16 y4＋1－4x2y2＋x2 ＋4y2)4．令p＝m－a，q＝m－b，r＝m—c，则p＋q＋r＝(m－a)＋(m－b)＋(m—c)＝3m－(a＋b＋c)＝0．①又(m－a)3＋(rn－b)3＋(m－c)3－3(m－a)(m－b)(m－c)＝p3＋q3＋r3－3pqr＝(p＋q＋r)(p2＋q2＋c2－pq－qr－rp)．②由①，②可知(m－a)3＋(m－b)3＋(m－c)3—3(m－a)(m－b)(m－c)＝05．因为a3＋b3＋c3—3abc＝(a＋b＋c) (a2＋b2＋c2－ab－ac－bc)，所以a3＋b3＋c3＝(a＋b＋c)(a2＋b2＋c2－ab－ac－bc)＋3abc，又a、b、c为整数且a＋b＋c是6的倍数，所以a、b、c中至少有一个为偶数，否则a＋b＋c为奇数，从而3abc被6整除，因此a3＋b3＋c3被6除昀余数为011．18 a3＋b3＋c3－3abc的因式分解、练习11．181．分解因式：x3＋y3＋3xy－1．2．分解因式：(x—y)3＋(y—x－2)3＋8．3．分解因式：(ax－by)3＋(by－cz)3一(ax－cz)3．4．分解因式：(a－b)3＋(b－c)3＋(c—a)3．5．已知x＋y＋z＝3，x2＋y2 ＋z2＝29，x3＋y3＋z3＝45，求xyz的值．参考答案1．原式＝x3＋y3＋(－1)3－3xy(－1)＝(x＋y－1)(x2＋y2＋1＋x＋y－xy)2．原式＝－6(x－y)(x－y＋2)．提示：由于(x－y)＋(y—z一2)＋2＝0，所以原式＝3(x－y)(y－x－2) ·2＝6(x－y)(y－x－2) ．3．原式＝－3(ax－by)(by－cz)(ax－cz)．提示：由于(ax－by)＋(by－cz)＋[－(ax－cz)]＝0，所以原式＝3(ax－by)(by－cz)[一(ax－cz)]＝一3(ax－by)(by－cz)(ax—cz)4．原式＝3(a一b)(b一c)(c一a)5．由(x＋y＋z)2＝x2＋y2＋z2＋2(xy＋yz十zx)，x3＋y3＋z3—3xyz＝(x＋y＋z)(x2＋y2＋z2－xy－yz－zx),32—29＋2(xy＋yz＋zx)，所以23292(xy yz zx) 4533[29()] xyz xy yz zx所以xy＋yz＋zx＝－10，从而15－xyz＝29＋10，即xyz＝－24。
青岛版七年级数学下册第十二章测试题(附答案)
青岛版七年级数学下册第十二章测试题（附答案）姓名：__________ 班级：__________考号：__________一、单选题（共12题；共24分）1.下列运算正确的是（）A. a2﹣a4=a8B. （x﹣2）（x﹣3）=x2﹣6C. （x﹣2）2=x2﹣4D. 2a+3a=5a2.下列分解因式正确的是( )A. m3-m=m(m-1)(m+1)B. x2-x-6=x(x-1)-6C. 2a2+ab+a=a(2a+b)D. x2-y2=(x-y)23.下列多项式中，能用公式法分解因式的是（）A. ﹣m2+n2B. a2﹣2ab﹣b2C. m2+n2D. ﹣a2﹣b24.下列多项式能分解因式的是（）A. x2+y2B. ﹣x2﹣y2C. 2xy﹣x2﹣y2D. x2﹣xy+y25.下列各式能用平方差公式计算的是（）A. （﹣3+x）（3﹣x）B. （﹣a﹣b）（﹣b+a）C. （﹣3x+2）（2﹣3x）D. （3x+2）（2x﹣3）6.下列各式，不能用平方差公式分解因式的是（）A. x2－y2B. -x2+y2C. -x2-y2D. -a2b2+17.下列各式能用完全平方公式分解因式的是（）A. 4x2+1B. 4x2-4x-1C. x2+xy+y2D. x2+2x+18.满足m2+n2+2m-6n+10=0的是（）A. m=1，n=3B. m=1，n=-3C. m=-1，n=-3D. m=-1，n=39.下列计算正确的是（）A. （a+b）2=a2+b2B. （﹣2a）2=﹣4a2C. （a5）2=a7D. a•a2=a310.下列多项式中能用提公因式法分解的是（）A. x2+y2B. x2﹣y2C. x2+2x+1D. x2+2x11.2002年8月在北京召开的国际数学家大会会徽取材于我国古代数学家赵爽的弦图，它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的大正方形，如图所示，如果大正方形的面积是100，小正方形的面积为20，那么每个直角三角形的周长为（）A. 10+6B. 10+10C. 10+4D. 2412.已知，则下列三个等式：① ，② ，③ 中，正确的个数有（）A. 个B. 个C. 个D. 个二、填空题（共8题；共16分）13.已知：那么=________.14.分解因式：2a2﹣4a+2=________．15.分解因式：________16.已知m＞0，如果x2+2（m﹣1）x+16是一个完全平方式，那么m的值为________．17.分解因式：=________．18.化简：＝________．19.若x+y= —1，则x4+5x3y+x2y+8x2y2+xy2+5xy3+y4的值等于________。
市北资优七年级分册 第11章 11.2 第1节整式的乘法 幂的乘方+李业法
11.2 幂的乘方思考一个正方体的边长是10²cm ，则它的体积是多少？这个列式非常简单：（10²）³＝100×100×100＝1 000 000.如果让你写下100个410的乘积，有没有简单的写法呢？根据乘方的意义，100个410相乘，可以写成4100(10).你会计算吗？（1）3233336(2)2222+=⨯==； （2）3[(3)]-＝_________＝___________＝____________；（3）343333()a a a a a =＝___________＝____________.问题根据上述的计算，完成下面的填空：()m n a a=（ ），()()n m m n m mm m m m mn n a a a a a a +++===个个，有()m n mn a a =（m 、n 为正整数）.幂的乘方法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘.()m n mn a a =（m 、n 为正整数）.值得注意的是：1.这里的底数、指数可以是数，也可以是字母，也可以是单项式和多项式.2.幂的乘方法则与同底数幂的乘法法则的区别在于，一个是“指数_______”，一个是“指数_______”.例1 计算下列各式，结果用含幂的形式表示：（1）45()x ；（2）76[()]x -；（3）2332()()a a --；（4）8236()()()p p p ---；（5）2332[(2)][(2)]a b b a --分析 运算顺序应遵循先乘方后乘法.解 （1）原式＝45()x ＝20x .（2）原式＝674242()()x x x ⨯-=-=（3）原式＝23326612()()a a a a a -=-=-.（4）原式＝1423142320()()()p p p p p --=-=-.（5）原式＝6612(2)(2)(2)a b b a a b --=-.例2 计算：（1）38462332264()7()2()()()x x x x x ++ ；（2）4224223322)()()()()()x x x x x x x x +-----（.解：（1）原式＝2424661224242424472472x x x x x x x x x -+=-+=-.（2）原式＝58433488880x x x x x x x x x x x x +--=+--=.例3 如果2228162n n =，求n 的值.解：34347128162(2)(2)2222n n n n n n n +===，那么7n ＋1＝22,7n ＝21，n ＝3，即n 的值为3. 例4 已知10a ＝5，10b ＝6，求（1）231010a b +的值；（2）2310a b +的值.解：（1）231010a b +＝23(10)(10)a b +＝5²＋6³＝25＋216＝241.（2）2310a b +＝23231010(10)(10)a b a b =＝5²×6³＝25×216＝5400.例5 比较5553，4444，3335的大小.解 5553＝5111111(3)243=，44441111114(4)256==，33331111115(5)125==，而111111111256243125>>，因此444555333435>>.练习11.21.计算：32[()]y -＝_______；1333()()()x x x ---＝___________.2.若n a ＝3，则3n a ＝_____________.3.计算243332()()a a a a -.4.计算322323[()][()]2()(()[()]a b a b a b a b a b +-+-+--+.5.计算：342324525()()2[()]()p p p p -+--.6.若n 是正整数，a ＝－1时，221()n n a +--为（ ）A.1B.－1C.0D.1或－17.等式()n n a a -=-（a ≠0）成立的条件是（ ）A.n 是奇数B.n 是偶数C.n 是正整数D.n 是整数8.下列计算中，正确的有（ ）（1）x ³·x ³＝2x ³ （2）33336x x x x ++==（3）33336()x x x +== （4）23239[()]()()x x x -=-=-A.0个B.1个C.2个D.4个9.已知2a m =，2b n =，求222a b +的值.10.比较753与1002的大小.练习11.2答案1. 6y ，22x -2. 273. 04. 82()a b +5. 183p -6. A7. A8. A9. m ²n ²10. 7510032>11.2《幂的乘方》练习练习11.21.（1）123(2()32()()(()a a a ==== ) ) . （2）2()393m = .（3）33m y =，9m y ＝__________.（4）21()m a +＝________.（5）32()[()]()a b b a -=- .（6）若948162m m =，则m ＝________.（7）若1216x +=，则x ＝_________.2.计算.（1）522(1)[(3)]--（2）223()()()a a a --.（3）2332[()()]x x -.（4）2332()[()]x x +-.（5）32342224()()4()x x x x x x -+-+.（6）2322(32)(23)[(23)]a b b a b a --+-.3.（1）如果28(9)3n =，则n 的值是（ ）.A.4B.2C.3D.无法确定 （2）若436482n ⨯=，则n 的值是（ ）A.11B.18C.30D.334.若22m m x x =（m 为正整数），求9m x 的值.5.（1）若2228162n n =，求正整数n 的值.（2）若1216(9)3m +=，求正整数m 的值.6.已知33m a =，32n b =（m 、n 为正整数），求233242()()m n m n m n ab a b a b +-的值.7.比较1002与753的大小.8.已知1103m -=，1102n +=（m 、n 为正整数），求23110m n ++的值.答案 练习11.21. （1）4,6,9，4a ，6a （2）2＋2m （3）27 （4）22m a + （5）6 （6）1 （7）x ＝32. （1）43- （2）9a - （3）18x （4）62x （5）84x （6）(23)(231)b a b a --+3. （1）B （2）D4. 98m x =5. （1）n ＝3；（2）m ＝36. －77. 1007523<8. 72。
市北初级中学七年级数学答案
市北初级中学七年级数学答案一、填空题。
（每小题2分，共20分）1.十八亿四千零五十万九千写作( )，改写成以万作单位写作( )。
2.5吨820千克=( )千克，100分钟=( )小时。
3. X-42=-20X，X=()。
4.在3.14，1 ，162.5%和1 这五个数中，最大的数是( )，相等的数是( )。
5.三个大小相等的正方形，拼成一个长方形，这个长方形的周长是24厘米，每个正方形的边长是（）厘米，这个长方形的面积是（）平方厘米。
6.有两堆苹果，如果从第一堆拿9个放到第二堆，两堆苹果的个数相等；如果从第二堆拿12个放到第一堆，则第一堆苹果的个数是第二堆苹果个数的2倍。
原来第一堆有苹果（）个，第二堆有苹果（）个。
7.一根长1米2分米的木料，把它截成两段，表面积增加了24平方厘米，这根木料原来的体积是（）平方厘米。
8.某人到十层大楼的第十层办事，他从一层到第五层用64秒，那么以同样的速度往上走到第十层，还需要（）秒才能到达。
9.在一个盛满水的底面半径是20厘米的圆柱形容器里，有一个底面半径是10厘米的钢铸圆锥体浸没在水中。
取出圆锥后，容器内的水面下降5厘米。
这个圆锥高（）厘米。
10.一辆小车从A城到B城需用10小时，一辆货车从B城到A 城需用15小时。
这两辆车分别从A、B两城同时出发，相向开出，在离B城20千米处相遇，则A、B两城相距（）千米。
二、判断。
（对的打√，错的打×）（5分）1.一个等腰三角形的顶角是锐角，则这个三角形一定是锐角三角形。
( )2.三位小数a精确到百分位是8.60，那么a最大为8.599。
( )3.一根铁丝长240厘米，焊成一个长方体框架，长、宽、高的比是3∶2∶1，它的体积是6000立方厘米。
( )4.侧面积相等的两个圆柱，表面积也一定相等。
( )5.两个自然数的公有质因数的积一定是这两个数的最大公因数。
( )三、选择正确答案的序号填入括号内。
（每小题2分，共10分）1.下列叙述正确的是( )。
市北资优六年级分册 第10章 10.3 长方体中棱与棱的位置关系+杨晨光
10.3 长方体中棱与棱的位置关系观察下图，如果我们把铁轨、管道看作直线，你能说出图片中两条直线的位置关系吗？（1）（2）（3）如上图（1）中地面上的一条横线和一条竖线在同一个平面内，且有唯一公共点，我们称这两条直线相交.如上图（2）中铁路轨道表示的两条直线在同一个平面内，且没有公共点，我们称这两条直线平行.如上图（3）中道路上的横梁和地面的竖线表示的两条直线既不平行，也不相交，我们称这两条直线异面.如下图（1）一般地，如果直线AB与直线CD在同一平面内，且有唯一公共点，那么称这两条直线相交，读作：直线AB与直线CD相交.如下图（2）一般地，如果直线AB与直线CD在同一平面内，没有公共点，那么称这两条直线平行，记作：AB∥CD，读作：直线AB与直线CD平行（也可读作直线AB平行于直线CD）.如下图（3）一般地，如果直线AB与直线CD既不平行，也不相交，那么称这两条直线异面，读作：直线AB与直线CD异面.BDACDCBADCBA（1）（2）（3）⎧⎫⎬⎪⎭⎪⎪⎨⎪⎪→⎪⎩相交：一个公共点在同一平面内平行：没有公共点空间两条直线的位置关系既不平行，也不相交异面：没有公共点不在同一平面内例1如图，在长方体ABCD-EFGH中，（1）哪些棱与棱AB平行？（2）哪些棱与棱AB相交？（3）哪些棱与棱AB异面？解：（1）与棱AB平行的棱有棱EF、棱CD、棱HG.（2）与棱AB相交的棱有棱AE、棱AD、棱BF、棱BC.（3）与棱AB异面的棱有棱DH、棱CG、棱EH、棱FG.思考：长方体的十二条棱中，互相平行的棱有几对？相交的棱有几对？异面的棱有几对？例2如图，是一张长方形纸片ABCD对折后翻开所成的图形.（1）与AE所在直线平行的直线是 .（2）与AE所在直线相交的直线是 .（3）与AE所在直线异面的直线是 .（4）图中有哪几对异面直线？解：（1）与AE所在直线平行的直线是直线BF.（2）与AE所在直线相交的直线是直线AB、直线EC、直线EF.（3）与AE所在直线异面的直线是直线CD、直线FD.（4）图中有6对异面直线.它们分别是直线AE与CD、直线AE与FD、直线AB与EC、直线AB与FD、直线BF与EC、直线BF与CD.练习10.31. 没有公共点的两条直线可能是 直线，也有可能是 直线.2. 如图，长方体ABCD -EFGH 中，下列各对棱的位置关系： （1）棱AD 与棱BC ： ； （2）棱AB 与棱BC ： ； （3）棱AB 与棱FG ： ； （4）棱CD 与棱BF ： ； （5）棱AD 与棱CG ： ； （6）棱AB 与棱EF ： .3. 如图中，在长方体ABCD -EFGH 中. （1）与AC 相交的棱有 ； （2）与AC 异面的棱有 ； （3）与AC 平行的棱有 ； （4）与EG 相交的棱有 ； （5）与EG 异面的棱有 ； （6）与棱BF 平行的棱有 .4. 如图中，在长方体ABCD -EFGH 中. （1）棱AD 与棱BH : ； （2）棱DH 与棱FH : ； （3）棱FH 与棱AC : ； （4）棱AB 与棱BH : . 答案：1.不在一个平面的，平行.2.（1）平行；（2）垂直；（3）异面；（4）异面；（5）异面；（6）平行.3.（1）棱AD 、棱AE 、棱AB 、棱CD 、棱CB 、棱CG ； （2）棱EH 、棱HG 、棱GF 、棱FE 、棱DH 、棱BF ； （3）棱EG ；（4）棱EH 、棱AE 、棱EF 、棱GF 、棱GC 、棱GH ； （5）棱AD 、棱DC 、棱CB 、棱AB 、棱DH 、棱BF ； （6）棱CG 、棱AE 、棱DH .4.（1）异面；（2）垂直；（3）异面；（4）相交.GH（第4题）GHDA （第3题）GH（第2题）10.3 《长方体中棱与棱的位置关系》练习练习10.31. 填写空间两条直线的位置关系，并比较其异同点，完成下表：2. 在长方体中每一条棱与 条棱平行，每一条棱与 条棱相交，每一条棱与 条棱异面.在长方体中，互相平行的棱有 对，异面的棱有 对，相交的棱有 对.3. 如图，在长方体ABCD -EFGH 中，（1）与棱EF 平行的棱有 ； （2）与棱EF 相交的棱有 ； （3）与棱EF 异面的棱有 ； （4）与棱AE 异面的棱有 ； （5）与棱AE 相交的棱有 ； （6）与棱AE 平行的棱有 . 4. 如图是长方体纸片ABCD 对折后展开的图形. （1）与直线DF 平行的直线是 ； （2）与直线EF 平行的直线是 ； （3）与直线AB 异面的直线是 ； （4）与直线DF 异面的直线是 ； （5）与直线EF 相交的直线是 ； （6）与直线CD 相交的直线是 . 5. 如图，在长方体ABCD -EFGH 中， （1）与AC 相交的棱有 ；（2）与AC 异面的棱有 ； （3）与AC 平行的线段有 ； （4）与EG 相交的棱有 ；（5）与EG 异面的棱有 ；BA（第5题）BA（第3题）（6）与棱BF平行的棱有 .6. 如图，在长方体ABCD-EFGH中，填写下列各对线段所在直线的位置关系.（1）棱AD与AG：；（2）棱DH与EG：；（3）EG与BD：；（4）棱DC与DB： .答案：1. 垂直，是，1个；平行，是，0个；异面，不是，0个.2. 3,4,4,18,24,24.3.（1）棱HG，棱DC，棱AB；（2）棱HE，棱GF，棱EA，棱FB；（3）棱HD，棱GC，棱AD，棱BC；（4）棱DC，棱HG，棱BC，棱FG；（5）棱AD，棱EH，棱AB，棱EF；（6）棱BF，棱CG，棱DH.4.（1）直线EC；（2）直线BA，直线CD；（3）直线EC，直线FD；（4）直线BE，直线AB；（5）直线BE，直线EC，直线AF，直线FD；（6）直线CE，直线DF.5.（1）棱DC，棱GC，棱BC，棱AE，棱AD，棱AB；（2）棱HD，棱HG，棱HE，棱EF，棱GF，棱BF；（3）线段EG；（4）棱EH，棱HG，棱GF，棱EF，棱AE，棱CG；（5）棱HD，棱AD，棱CD，棱AB，棱BC，棱BF；（6）棱HD，棱AE，棱CG.6.（1）相交；（2）异面；（3）异面；（4）相交.G （第6题）。
市北资优七年级分册 第11章 11.11 分组分解法+黄启胜
11.11分组分解法想一想如何将多项式am＋an＋bm＋bn因式分解？分析：很显然，多项式am＋an＋bm＋bn加中既没有公因式，也不好用公式法．怎么办呢？由于am＋an＝a(m＋n)，bm＋bn＝b(m＋n)，而a(m＋n)＋b(m＋n)＝(m＋n)(a＋b)．这样就有：am＋an＋bm＋bn＝(am＋an)＋(bm＋bn)＝a(m＋n)＋b(m＋n)＝(m＋n)(a＋b)利用分组来分解因式的方法叫做分组分解法．说明：如果把一个多项式的项分组并提出公因式后，它们的另一个因式正好相同，那么这个多项式就可以用分组分解法来分解因式．试一试：把下列各式分解因式：(1)20(x＋y)＋x＋y；(2)p－q＋k(p－q)；(3)5m(a＋b)－a－b；(4)2m－2n－4x(m－n)．例1：分解因式：a2－ab＋ac－bc．分析：把这个多项式的四个项按前两项与后两项分成两组，分别提出公因式a与c后，另一个因式正好都是a－b，这样就可以继续提公因式．a2－ab＋ac－bc解：a2－ab＋ac－bc＝(a2－ab)＋(ac－bc)＝a(a－b)＋c(a－b)＝(a－b)(a＋c)．例2：分解因式：2ax－10ay＋5by－bx．分析：把这个多项式的四个项按前两项与后两项分成两组，并使两组的项按x的降幂排列，然后从两组中分别提出公因式2a与－b，这时另一个因式正好都是x－5y，这样就可以继续提公因式．解：2ax－10ay＋5by－bx＝(2ax－10ay)＋(5by－bx)＝2a(x－5y)－b(x－5y)＝(x－5y)(2a－b)．思考：这两个例题还有没有其他分组解法？请你试一试．如果能，请你看一下结果是否相同？例3：分解因式：(xy－1)2＋(x＋y－2)(x＋y—2xy)．解：原式＝x2y2－2xy＋1＋(x＋y)2－2(x＋y)—2xy(x＋y)＋4xy＝[x2y2－2xy(x＋y)＋(x＋y)2]＋[2xy－2(x＋y]＋1＝(xy－x－y)2＋2(xy－x－y)＋1＝(xy－x－y＋1)2＝(x－1)2(y－1)2．归纳：注意分组时要选择分组方法，要保证分组后各组有公因式．练习11．111．分解因式：x2－y2－x－y．2．分解因式：1－a2＋2ab－b2．3．分解因式：a4－2a3＋a2－9．4．分解因式：x2－x－9y2－3y．5．分解因式：(x＋2)(x－2)－4y(x－y)．6．分解因式：x2(x＋1)－y2(y＋1)．7．分解因式：4a2－4(ab＋4)＋b2．答案：练习11．111．原式＝(x＋y)(x－y)－x－y＝(x＋y)(x－y)－(x＋y)＝(x＋y)(x－y－1) ．2．原式＝1－(a2－2ab＋b2)＝1－(a－b)2＝(1－a－b)(1－a＋b) ．3．原式＝(a2－a－3)(a2－a＋3) ．4．原式＝(x－3y－1)(x＋3y) ．5．原式＝(x－2y－2)(x－2y＋2) ．6．原式＝(x－y)(x2＋xy＋x＋y＋y2) ．7．原式＝(2a－b＋4)(2a－b－4) ．11．11分组分解法练习11．11分解因式1．x3－xyz＋x2y－x2z．2．x2－ax－ay－y2．3．4a2－4－4ab＋b2．4．ax－bx－a2＋2ab－b2．5．4x3－8x2y－xy2＋2y3．6．x2－4xy＋4y2－6x＋12y＋9．7．a3＋b3＋(a＋b)3．8．(a＋b＋c)3－a3－b3－c3．9．x2n＋x n－19y2＋14．答案：练习11．111．x(x－z)(x＋y)．2．(x＋y) (x－y－a)．3．(2a－b＋2) (2a－b－2)．4．(a－b) (x－a＋b)．5．(2x＋y) (2x－y) (x－2y)．6．(x－2y－3)2．7．(a＋b)(2ª2＋ab＋2b2)．8．3(a＋b)(b＋c)(c＋a)．9．11113232 n nx y x y⎛⎫⎛⎫++-+⎪⎪⎝⎭⎝⎭．。
市北资优七年级分册 第12章 12.8 部分分式+詹纲键
12．8部分分式对于一个分子、分母都是多项式的分式，当分母的次数高于分子的次数时，我们把这个分式叫做真分式．经过对分式化简，任何一个分式总能化为某个最简分式．如果这个最简分式是只含有一个字母的真分式，还可进一步化为若干个最简真分式之和，这几个分式便称为原来那个最简分式的部分分式．例1 把()()221713110x x x x +-+-分解成部分分式．分析 由于分母为(1＋3x )2(1－ 10x )，因此原式可以写成＝13A x +＋()213B x +＋110C x-的形式． 解 设原式＝13A x +＋()213B x +＋110C x -，则1＋7x －x 2＝A (1＋3x )(1 －10x )＋B (1－ 10x ) ＋C (1＋3x )2．令x ＝110，得C ＝1，令x ＝13-，得B ＝13-， 令x ＝0，得A ＝13， 所以原式＝()1313x +＋()21313x +＋1110x-， 例2 把3235221x x x x +-+-分解成部分分式． 由于原式不是真分式，因此先将原式写成一个整式与一个真分式的和的形式，再用待定系数法求解．解 原式＝1＋235231x x x -+-，设235231x x x -+-＝1A x -＋21Bx C x x +++． 则5x 2－2x ＋3＝A （x 2＋x ＋1）＋（Bx ＋C ）（x －1）＝（A ＋B ）x 2＋（A －B ＋C ）x ＋A －C ， 由523A B A B C A C +=⎧⎪-+=-⎨⎪-=⎩，⇒231A B C =⎧⎪=⎨⎪=-⎩，所以原式＝1＋21x -＋2311x x x -++．从以上两题，我们可以归纳出把一个分式分解为部分分式的一般步骤是：（1）如果一个分式不是真分式，先把这个分式化成一个整式与一个真分式的和；（2）把真分式的分母分解因式；（3）根据真分式的分母分解因式后的形式，引入待定系数来表示成为部分分式的形式；（4）利用多项式恒等的性质和多项式恒等定理列出关于待定系数的方程或方程组；（5）解方程或方程组，求待定系数的值；（6）把待定系数的值代入所设的分式中，写成部分分式．练习12．81．把()()54121x x x ---分解成部分分式．2．把322657321x x x x +---分解成部分分式．3．把232611x x x -+-分解成部分分式．4．把()()()2123x x x x +++分解成部分分式．练习12．8答案1 原式＝()()3321121x x x x -+---＝321x -＋11x -． 2 原式＝2x ＋3＋11x -＋531x +． 3 原式＝11x --＋2321x x x -++．提示：设原式＝1A x -＋21Bx C x x +++，得132A B C =-⎧⎪=⎨⎪=-⎩． 4原式＝－11x +＋22x +－33x +提示：设原式＝1A x +＋2B x +＋3C x +， 即原式＝()()()()()()()()()231312123A x x B x x C x x x x x +++++++++++． 则2x ＝(A ＋B ＋C )x 2＋ (5A ＋4B ＋3C )x ＋ 6A ＋3B ＋2C ， 即054326320A B C A B C A B C ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩，⇒143A B C =-⎧⎪=⎨⎪=-⎩．练习12．81．试分解267825x x x +++为两个分式之和，分母不变，而其中一个分式的分子中有2x ＋ 8．2．已知对任意x 有3423x x x ++-＝1A x -＋23Bx C x x +++，试确定A 、 B 、C ．3．把()()22731x x x ++-分解成部分分式．4．将真分式()()22461121x x x x --+-分解为最简部分分式．5．把3213142137x x x x+--化为部分分式．练习12．8答案① 设267825x x x +++＝()228825A x x x +++＋2825B x x ++，则6x ＋7＝2Ax ＋（8A ＋B ），即2687A A B =⎧⎨+=⎩， ⇒317A B =⎧⎨=-⎩．所以原式＝()2328825x x x +++－217825x x ++． ② 原式＝11x -－213x x x +++，所以A ＝1，B ＝－1，C ＝－1． ③ 设()()22731x x x ++-＝3A x +＋1B x - ＋()21C x -， 即x 2＋7＝A (x －1)2＋B (x ＋3)（x －1）＋C (x ＋3)，令x ＝－3，得A ＝1，令x ＝1，得C ＝2，再比较二次项系数得B ＝0,所以原式＝13x + ＋()221x -． ④ 11x + ＋()2221x -． ⑤ －2x ＋17x -＋221x +．。
2021年青岛版七年级数学下册第十二章《用公式法进行因式分解1》导学案 (2).doc
新青岛版七年级数学下册第十二章《用公式法进行因式分解1》导学案【学习目标】1.了解公式法的概念，并能说出两个公式；2.会用两个公式法进行因式分解。
【课前预习】学习任务一：阅读课本121页例1以前的内容，解决下列问题：1.知识回顾（1）什么叫公因式，用提公因式分解因式的一般步骤是什么？举例说明。
（2）用字母表示平方差公式完全平方公式2.探究新知（1）把乘法公式（a + b）（a - b）= a2- b2，的左边和右边交换位置，用字母表示为__________ 用语言叙述为：两数的平方差，等于这两数的______与这两数的______的积。
（2）乘法公式(a+b)2=a2+2ab+b2 和（a - b）2 = a2- 2ab + b2把公式的左右两边颠倒位置等式变为和用语言叙述为像这样将乘法公式反过来用，对多项式进行因式分解，这种因式分解方法称为_______.总结归纳：把进行因式分解，这种因式分解的方法叫做学习任务二：阅读课本121-122页例1、例2尝试解决下列问题。
分解因式：（1）x2－25 （2）4a2－9b2（3）（a＋b）2－64 (4)(4x－3y)2－16y2【课中探究】问题一：用公式法进行因式分解用到的是哪两个公式，分别用字母表示。
问题二：这两个公式的左右两边有什么特点？问题三：例一、例二用到的分别是什么公式，分解时有几个步骤？强调:1.因式分解时，平方差公式的结构特征：（1）左边是二次项，每项都是平方的形式，两项的符号相反。
（2）右边是两个多项式的积，一个因式是两数的和，；另一个因式是这两数的差。
2.完全平方公式的结构特征：（1）左边是三项式，其中两项是完全平方且同号，另一项是积的二倍，可正可负，（2）右边是两平方项底数和或差的平方。
【当堂检测】一、选择题（共12分）1.下列各式中，不能用平方差公式分解因式的是（ ）A.y 2－49x 2B.4491x -C.－m 4－n 2D.9)(412-+q p 2.a 2－（b －c ）2有一个因式是a ＋b －c ，则另一个因式为（ ）A.a －b －cB.a ＋b ＋cC.a ＋b －cD.a －b ＋c3．下列因式分解错误的是（ ）A.1－16a 2＝（1＋4a ）（1－4a ）B.x 3－x ＝x （x 2－1）C.a 2－b 2c 2＝（a ＋bc ）（a －bc ）D.)l .032)(32l .0(l 0.09422n m m n n m -+=- 4.如果多项式4a 4-(b-c)2=M(2a 2-b+c)，则M 表示的多项式是（ ） A.2a 2b+cB.2a 2-b-cC.2a 2+b-cD.2a 2+b+c 二、解答题（8分）1.9a 2－41b 22.（2a －3b ）2－（b ＋a ）23.9a 2+6ab+b 24.m 2–9132+m【课后巩固】 一、选择题（共8分）1.在下列多项式中，是完全平方式的为（ ）A.m 2+2mn-n 2B.a 2-a+14C.x 2+2xy+4y 2D.x 4-2yx+12.下列各式中能用平方差进行因式分解的是( )A.9x 2+4y 2B.9x 2+(-4y)2C.-9x 2-4y 2D.-9x 2+4y 23.m 2+n 2是下列多项式（ ）中的一个因式A.m 2(m-n)+n 2(n-m)B.m 4-n 4C.m 4+n 4D.(m+n)2·(m-n)24.把（3m ＋2n ）2－（3m －2n ）2分解因式，结果是（ ）A .0B .16n 2C .36m 2D .24mn二、分解因式（12分）1. a 2－16a ＋642.2442516a y b -+3. 225x 204x ++4. (p-q)2-4(p-q)+4三、解答题（10分）已知x ＋2y ＝3，x 2－4y 2＝－15，（1）求x －2y 的值；（2）求x 和y 的值．。
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12.7 繁分式
当分式A B 的分子、分母中至少有一个是分式时，A B
就叫繁分式. 繁分式的化简常用以下两种方法：（1）利用除法法则；（2）利用分式的基本性质.
例1 当x 为何值时，下列分式有意义？
（1）3912x x +-； （2）1111x x x x x x x x
+----+. 解 （1）要使原式有意义，则0,120,x x ≠⎧⎪⎨-≠⎪⎩
解得x ≠0且x ≠12.所以，当x ≠0且x ≠12时，原式有意义.
（2）要使原式有意义，则10,0,10,10,1
x x x x x x x +≠⎧⎪≠⎪⎪-≠⎨⎪-⎪-≠⎪+⎩ 解得1,0,1.x x x ≠-⎧⎪≠⎨⎪≠⎩ 所以，当x ≠0且x ≠1±时，原式有意义.
例2 当x 为何值时，分式2111x x
-+的值为零. 解 由题意得，210,0,110,x x x
⎧⎪-=⎪≠⎨⎪⎪+≠⎩ 解得1,0,1.x x x =±⎧⎪≠⎨⎪≠-⎩ 所以，当x =1时，分式2111x x -+的值为零. 例3 化简：11111111
x x x x x x x x +--
-++-+-+. 解法一：原式=()()()()111111111111x x x x x x x x x x x x +-⎛⎫-⋅-+ ⎪-+⎝⎭+-⎛⎫+⋅-+ ⎪-+⎝⎭
=()()()()
22221111x x x x +--++- =221
x x +. 解法二：原式=()()
()()()()
()()
222211111111x x x x x x x x +---+++--+ =()()()()
()()()()222211111111x x x x x x x x +--++-÷-+-+ =()()()()
()()()()222211111111x x x x x x x x +---+⨯-+++- =()()()()
22221111x x x x +--++- =
221
x x +. 例4 化简：11x x x x x -+-. 解 原式=()11x x x x x x x -⋅+⎛⎫-⋅ ⎪⎝
⎭ =()211
x x x x x -+- =1
x
x x x -+ =1
x x x x -+ =()21x x x x x
++-
=1
x x +.
练习12.7
1. 若分式413x
x
-+没有意义，则x 的值为 .
2. 若分式241312a a a
-++没有意义，则a 的值为 .
3. 化简下列各繁分式：
（1）211
1
211x
x x x x +-+--+； （2）1
111
x x
++；
（3）21111
a a a a --+-； （4）a b
a b
a b a b
b b a b a b
-+-+-++-.
答案：
1. 0或1
3-.
2. 0或1
5-.
3.（1）原式=2x
； （2）原式=2211x x x +++； （3）原式=21
21a a a -+-；
（
4）原式=2-.
12.7 繁分式
练习12.7
1. x 时，分式1
111x
++有意义.
2. x 时，分式211x x
++的值为零. 3. 计算：2112111
x x x x x +--++-.
4. 计算：1x y
x x y -+.
5. 计算：x y x y x y x y x y x y
--+++-.
6. 若13x x +=，求33441713x x x x +
+++的值.
答案：
1. 由题意得1101x
+≠+且10x +≠，即1x ≠-且2x ≠-. 所以当1x ≠-且2x ≠-时该分式有意义.
2. 由已知得20,110,0.
x x
x +=⎧⎪⎪+≠⎨⎪≠⎪⎩ 解得 2.x =-
所以当 2.x =-时，代数式211x x
++的值为零. 3. 原式=2x
. 4. 原式=22x xy y
+. 5. 原式=()()()()()()()()
x x y y x y x x y y x y x y x y x y x y +---++÷-++- =2222
2222
x y x y x y x y +-⨯-+=1. 另解：原式得分子、分母乘以()()x y x y +-，
原式=()()()()x x y y x y x x y y x y +---++=22
22x y x y
++=1. 6. 因为221x x
+=212x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭=7，可得441x x +=22212x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭=272-=47， 331x x +=31113x x x x x x ⎛⎫⎛⎫+-⋅+ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭=3333-⨯=18，所以原式=187473++=12.。