2015届高考数学(理)一轮讲义：第29讲 导数及其应用经典回顾 精品讲义

导数及其应用经典回顾
主讲教师：丁益祥 北京陈经纶中学数学特级教师
开心自测
题一：若函数()y f x =的导函数．．．
在区间[,]a b 上是增函数，则函数()y f x =在区间[,]a b 上的图象可能是（ ）．
A ．
B ．
C ．
D ．
题二：若21()ln(2)2
f x x b x =-++∞在(-1,+)上是减函数，则b 的取值范围是（ ）． A ． [1,)-+∞ B ． (1,)-+∞ C ． (,1]-∞- D ． (,1)-∞-
考点梳理
1．导数的概念
（1）函数在某一点处的导数
对于函数()y f x =，如果自变量x 在0x 处有增量x V ，那么函数y 相应地有增量
00()()y f x x f x =+-V V ．如果当0x →V 时，y x
V V 有极限，我们就说()y f x =在点0x 处可导，并把这个极限叫做()f x 在点0x 处的导数，记作0()f x '或0|x x y ='，即
0()f x '0000()()lim lim x x f x x f x y x x
→→+-==V V V V V V ． 对于这一定义，我们应该明确如下四点：
① 函数()f x 在0x 及其附近有定义（否则00()()f x f x x +V 、无意义），x 在0x 处的增量
0x x x =-V ，x V 是自变量，并且0x ≠V ．据此，函数()f x 在0x 处的导数定义的另
一种表达形式是 0000
()()'()l i m x x f x f x f x x x →-=-．
② 函数()f x 在点0x 处可导，是指当0x →V 时，比值
y x V V 有极限．否则，若0lim x y x →V V V 不存在，则称函数()f x 在点0x 处不可导．
③ ()f x 在0x 处的导数0()f x '不是一个变数，而是一个确定的数值．
④ 函数()y f x =在点0x 处的导数0()f x '，其几何意义是曲线()y f x =在点
00(,())P x f x 即00(,)P x y 处切线的斜率，于是，曲线()y f x =在点00(,)P x y 处的切线方程为000'()()y y f x x x -=-．
（2）导函数
若函数()y f x =在开区间(, )a b 内每一点都可导，则称()f x 为开区间(, )a b 内的可导函数．这时对于开区间(, )a b 内每一个确定的值0x ，都有一个确定的导数值0'()f x 与之对应，即在开区间(, )a b 内构成了一个新的函数，我们称这一新函数为()f x 在开区间(,)a b 内的导函数，简称导数，记作'()f x 或'y ，即
00()()'()'lim lim x x y f x x f x f x y x x
→→+-===V V V V V V ．
2．导数公式及求导法则
（1）几种常见函数的导数公式
'0c =（c 为常数）； '1()n n x nx -=(n Q ∈)；
()'sinx cosx =； ()'cosx sinx =-；
()'x x e e =； ()'x x
a a lna =；
1()'lnx x =； 1()'a a log x log e x =． （2）和、差、积、商的求导法则
()'''u v u v ±=±；
()'''uv u v uv =+； 2'''u u v uv v v -⎛⎫= ⎪⎝⎭
(0)v ≠． （3）复合函数的求导法则 设函数()u x ϕ=在点x 处有导数''()x u x ϕ=，函数()y f u =在点x 的对应点u 处有导数''()u y f u =，则复合函数(())y f x ϕ=在点x 处也有导数，且'''x u x y y u =⋅， 或写作
'(())'()'()x f x f u x ϕϕ=．
3．定积分的基本性质
（1）
()() ()b b a a kf x dx k f x dx k =⎰⎰为常数； （2）
1212[()()]() ()b b b a a a f x f x dx f x dx f x dx ±=±⎰⎰⎰； （3）()()() ()b
c b
a a c f x dx f x dx f x dx a c
b =+<<⎰⎰⎰其中． 4．微积分基本定理
如果()f x 是区间[,]a b 上的连续函数，并且()()F x f x '=，
那么
()()()b a f x dx F b F a =-⎰．
金题精讲 题一：2
2
(1cos )x dx π
π-+⎰等于（ ）． A ．π B. 2 C. 2π- D. 2π+
题二：设定函数32() (0)3
a f x x bx cx d a =
+++>，且方程()90f x x '-=的两个根分别为1，4．
（Ⅰ）当3a =且曲线()y f x =过原点时，求()f x 的解析式；
（Ⅱ）若()f x 在(,)-∞+∞内无极值点，求a 的取值范围．
题三：设a 为实数，函数()22,x f x e x a x =-+∈R ． (Ⅰ)求()f x 的单调区间与极值；(Ⅱ)求证：当ln 21a >-且0x >时，2
21x e x ax >-+．
名师寄语
导数是微积分最基本的知识点之一，也是高中数学的重要内容之一，学好这部分知识，应着重处理好以下五类问题：一是正确理解导数的概念，掌握几种常见函数的求导公式，和、差、积、商的求导法则以及复合函数求导法则，并能利用它们求一些简单函数的导数；二是熟练掌握利用导数研究函数的单调性和极值的方法，会求闭区间上连续函数的最大值和最小值；三是理解导数的几何意义，并能解决与曲线的切线有关的问题；四是能利用导数证明不等式；
五是简单函数的定积分及其简单应用．
开心自测
题一：A 题二：C
金题精讲
题一：D
题二：（Ⅰ）
32()312f x x x x =-+；（Ⅱ）a 的取值范围是[]1,9． 题三：(Ⅰ) ()f x 的减区间是(,ln 2)-∞，增区间是(ln 2,)+∞， ln2()(ln2)2ln2222ln22f x f e a a ==-+=-+极小． (Ⅱ) 略。