大一下学期高等数学期中考试试卷及答案
大学期中考试高等数学试卷
一、选择题（每题5分，共25分）1. 下列函数中，属于奇函数的是（）A. f(x) = x^2B. f(x) = |x|C. f(x) = x^3D. f(x) = x^42. 函数f(x) = 2x^3 - 3x + 1在x=1处的导数是（）A. 2B. 3C. 4D. 53. 下列极限中，属于无穷小的是（）A. lim x→0 (sinx/x)B. lim x→0 (1/x)C. lim x→0 (x^2)D. lim x→0 (x^3)4. 函数f(x) = x^2 + 3x + 1在区间[-2, 1]上的最大值是（）A. 1B. 2C. 3D. 45. 下列微分方程中，属于可分离变量的微分方程是（）A. dy/dx = y^2B. dy/dx = 2xyC. dy/dx = x^2yD. dy/dx = 2y/x二、填空题（每题5分，共25分）6. 函数f(x) = x^3 - 3x + 2的导数为______。
7. lim x→0 (1 - cosx)/x^2 = ______。
8. 函数f(x) = 2x^3 - 3x + 1的极值点为______。
9. 函数f(x) = x^2 + 3x + 1的导数在x=1处的值是______。
10. 分离变量后，微分方程dy/dx = 2xy的解为______。
三、解答题（共50分）11. （10分）求函数f(x) = 3x^2 - 2x + 1在区间[-1, 2]上的最大值和最小值。
12. （10分）求函数f(x) = x^3 - 3x + 2的极值。
13. （10分）求极限lim x→0 (sinx/x)。
14. （10分）解微分方程dy/dx = 2xy。
15. （10分）证明：若函数f(x)在区间[a, b]上连续，且f(a) < 0，f(b) > 0，则至少存在一点c∈(a, b)，使得f(c) = 0。
注意：本试卷共75分，考试时间为120分钟。
数学系期中考试题及答案
数学系期中考试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 下列哪个选项是素数？A. 4B. 6C. 9D. 11答案：D2. 函数f(x) = 2x + 3在x = 1处的导数是？A. 2B. 3C. 5D. 7答案：A3. 集合{1, 2, 3}与{3, 4, 5}的交集是？A. {1, 2}B. {3}C. {1, 2, 3, 4, 5}D. 空集答案：B4. 以下哪个图形是正弦曲线？A. 直线B. 抛物线C. 正弦波形D. 指数增长曲线答案：C二、填空题（每题5分，共20分）1. 圆的面积公式是______。
答案：πr²2. 如果a = 3，b = 5，那么a² + b² = ______。
答案：343. 函数y = 4x - 6的图像通过点(2, ______)。
答案：24. 一个等差数列的首项是2，公差是3，那么第5项是______。
答案：17三、解答题（每题15分，共30分）1. 解方程：2x - 3 = 7答案：x = 52. 证明：如果a，b，c是正整数，且a² + b² = c²，那么a，b，c构成一个直角三角形。
答案：根据勾股定理，如果a² + b² = c²，则a，b，c构成一个直角三角形。
四、证明题（每题15分，共15分）1. 证明：对于任意实数x，y，有|x + y| ≤ |x| + |y|。
答案：根据三角不等式的性质，对于任意实数x，y，有|x + y| ≤ |x| + |y|。
五、应用题（15分）1. 一个工厂生产两种产品，产品A的利润是每单位10元，产品B的利润是每单位15元。
如果工厂每天生产产品A和产品B的总利润是1000元，且产品A的生产量是产品B的两倍，求产品A和产品B的生产量各是多少？答案：设产品A的生产量为2x，产品B的生产量为x，则有10 * 2x + 15 * x = 1000，解得x = 20，所以产品A的生产量为40，产品B的生产量为20。
大一期中高数复习题
大一期中高数复习题一、选择题（每题3分，共15分）1. 函数f(x)=x^2+3x-2的定义域是：A. RB. [0, +∞)C. (-∞, 0]D. (-∞, 0) ∪ [1, +∞)2. 已知函数f(x)=2x-1，求f(a+h)-f(a)的极限当h趋于0时的值是：A. 0B. 1C. 2D. -13. 函数f(x)=sin(x)在x=0处的导数是：A. 0B. 1C. -1D. 24. 若f(x)=x^3-2x^2+x-5，求f'(x)的值：A. 3x^2-4x+1B. 3x^2-4x+2C. 3x^2-4x+3D. 3x^2-4x+45. 曲线y=x^3-6x^2+9x在x=2处的切线斜率是：A. -3B. 0C. 3D. 6二、填空题（每题2分，共10分）1. 若f(x)=x^2+1，则f'(x)=________。
2. 函数g(x)=x^3在x=-1处的导数为________。
3. 若f(x)=ln(x)，则f'(x)=________。
4. 函数h(x)=e^x的导数是________。
5. 若f(x)=sin(x)+cos(x)，则f'(x)=________。
三、计算题（每题10分，共20分）1. 求函数f(x)=x^3-6x^2+11x-6在区间[1,3]上的最大值和最小值。
2. 求曲线y=x^2-4x+7在x=2处的切线方程。
四、证明题（每题15分，共30分）1. 证明：若f(x)在[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]上可积。
2. 证明：若函数f(x)在x=c处可导，则f(x)在x=c处连续。
五、应用题（每题10分，共10分）1. 某公司生产的产品成本函数为C(x)=5x+1000，其中x为生产量。
求该公司生产100件产品时的平均成本。
六、综合题（每题10分，共10分）1. 假设某函数f(x)满足f'(x)=2x+1，且f(0)=0，求f(x)的表达式。
大一高等数学a期中试题及答案
大一高等数学a期中试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 函数f(x)=x^2在x=0处的导数是（）。
A. 0B. 1C. 2D. 0答案：B2. 极限lim(x→0) (sin x)/x的值是（）。
A. 0B. 1C. 2D. 3答案：B3. 以下哪个选项是不定积分∫x^2 dx的解（）。
A. x^3B. x^3 + CC. 3x^2 + CD. 3x^2答案：C4. 以下哪个选项是定积分∫(0 to 1) x dx的值（）。
A. 0C. 1D. 2答案：B5. 函数y=e^x的原函数是（）。
A. e^xB. e^x + CC. ln(x)D. ln(x) + C答案：B6. 以下哪个选项是微分方程dy/dx + y = 0的通解（）。
A. y = e^(-x)B. y = e^xC. y = sin(x)D. y = cos(x)答案：A7. 以下哪个选项是函数y=x^3的二阶导数（）。
A. 3x^2B. 6xC. 18xD. 6答案：B8. 以下哪个选项是函数y=ln(x)的一阶导数（）。
B. xC. ln(x)D. e^x答案：A9. 以下哪个选项是函数y=x^2 - 4x + 4的最小值（）。
A. 0B. 1C. 4D. -4答案：A10. 以下哪个选项是函数y=x^3 - 3x的拐点（）。
A. x = 0B. x = 1C. x = -1D. x = 2答案：B二、填空题（每题4分，共20分）1. 函数f(x)=x^3的一阶导数是____。
答案：3x^22. 函数f(x)=x^2+2x+1的极值点是____。
答案：x = -13. 函数f(x)=sin(x)的不定积分是____。
答案：-cos(x) + C4. 函数y=e^x的二阶导数是____。
答案：e^x5. 函数y=ln(x)的二阶导数是____。
答案：1/x^2三、解答题（每题10分，共50分）1. 求函数f(x)=x^3-6x+8在x=2处的切线方程。
大一下学期高数期中复习题
微积分(二)期中复习题第一部分1. 设2,4a b ==，若向量32a b -垂直于向量a b +，向量2a b +垂直于向量43a b -，求a 与b 之间的夹角，并求以32a b -和2a b +为邻边的平行四边形的面积.2.已知向量(,,2)a x y =-与向量(4,1,3)b =垂直，且a 的模等于b 在z 轴上的投影，求 ,x y .3.证明：两直线1111:112x y z L -+-==-与223:12x y L z -+==-相交，并求此两直线所在平面的方程.4.求过直线110:220x y L x y z ++=⎧⎨++=⎩且与直线211:211x y z L -+==--平行的平面方程.5.求过点(1,1,1)P 且与直线12:113x y z L +==-垂直相交的直线方程.6.求曲线222224:3x y z x y z ⎧++=⎪Γ⎨+=⎪⎩在xOy 面的投影。
7.求曲线2244:0x y y z ⎧++=Γ⎨=⎩绕x 轴旋转一周所得的曲面。
第二部分1、求函数)1ln(4222y x y x z ---=定义域。
2、求()22001lim sin .x y x y xy→→+3、讨论函数⎪⎩⎪⎨⎧++=2)(2sin ),(2222y x y x y x f 002222=+≠+y x y x 在点（0，0）处的连续性。
4、设(,)z f x y =由ln x z z y =确定，求22,z z x x∂∂∂∂。
5、设222z y x eu ++=，而y x z sin 2=，求xu ∂∂，du y u ,∂∂。
6、设),(22y x y x f z -=，其中),(υu f 具有二阶连续偏导数，求y x z x z ∂∂∂∂∂2, 。
7、求函数223246u x y y x z =-++在原点沿()2,3,1OA =方向的方向导数。
8、设32u x y z =-，求u 在点()2,1,1-处的方向导数的最大值及取得最大值的方向。
大一期中高数答案1
1 1 1 ， ≤ 2 ≤ 2 n +n+n n +n+i n +n+n 1 + 2 + ⋅⋅⋅ + n 1 2 n 1 + 2 + ⋅⋅⋅ + n ≤ 2 + 2 + ⋅⋅⋅ + 2 ≤ 2 2 n +n+n n + n +1 n + n + 2 n +n+n n + n +1 1 + 2 + ⋅⋅⋅ + n 1 1 + 2 + ⋅⋅⋅ + n 1 又 lim = = ， lim 2 n →∞ n 2 + n + n 2 n→∞ n + n + 1 2 1 2 n 1 所以由夹逼准则知： lim( 2 + 2 + ⋅⋅⋅ + 2 )= n →∞ n + n + 1 n +n+2 n +n+n 2
x < ln(1 + x) < x . 1+ x
五. (本题满分 10 分) 证明：当 x > 0 时，Байду номын сангаас
证：令
f ( x) = ln(1 + x)
所以 至少 ∃ξ
则
f ( x ) 在 [0, x] 上满足拉格朗日定理的条件 f ( x) − f (0) x−0
即
∈ (0, x) 使 f ′(ξ ) =
1 ln(1 + x) − ln1 = 1+ ξ x
又0 <ξ
< x, 所以
1 1 < <1 1+ x 1+ ξ
高等数学(下册)期中考试题及答案
高等数学（下册）期中考试20110504一、 填空题（每小题4分，共计40分）1、已知三点 A(1,0,2)，B(2,1,-1)，C(0,2,1)，则三角形ABC 的面积为 。
2、已知曲面224y x z --=在点P 处的切平面平行于平面0122=-++z y x ，则点P 的坐标是 。
3、函数),(y x f z =在),(00y x 处可微的充分条件为 , 必要条件为 。
4、设方程az z y x 2222=++确定函数),(y x z z =，则全微分dz 。
5、设⎰⎰=202),(x xdy y x f dx I ，交换积分次序后，=I 。
6、设∑是曲面22y x z +=介于1,0==z z 之间的部分，则曲面面积为 。
7、⎰=+Lds y x )(22 ，其中222:a y x L =+。
8、设Ω为曲面0,122=--=z y x z 所围成的立体，如果将三重积分⎰⎰⎰Ω=dv z y x f I ),,(化为先对z 再对y 最后对x 三次积分，则I= 。
9、设Ω：,0,1222≥≤++z z y x 若将三重积分⎰⎰⎰Ω=zdV I 在球面坐标系下化为三次积分,则I= 。
10、设Ｌ是椭圆周1422=+y x 的正向，则曲线积分⎰+-L y x ydxxdy 224= 。
二、求解下列问题（共计14分） 1、 （7分）求函数)ln(22z y x u ++=在点A （1, 0，1）沿A 指向点B （3，-2，2）的方向的方向导数。
2、 （7分）已知函数(,)f u v 具有二阶连续偏导数，(1,1)2f =是(,)f u v 的极值，(,(,)).z f x y f x y =+, 求2(1,1).zx y∂∂∂三、求解下列问题（共计16分）1、（8分）计算⎰⎰⎰Ω+++=3)1(z y x dvI ，其中Ω是由0,0,0===z y x 及1=++z y x 所围成的立体域。
2、（8分）设)(x f 为连续函数，定义⎰⎰⎰Ω++=dv y x f z t F )]([)(222，其中{}222,0|),,(t y x h z z y x ≤+≤≤=Ω，求dtdF 。
广工环境工程大一下学期高数期中考试(下)(06提高班)解答
过 L 和 L2 的平面为
x4 2 4
y 1 1
z4 3 3 0 即 3x 9 y z 8 0
所求直线 L 为
2 x 7 y 5z 12 0 3x 9 y z 8 0
四、计算下列各题（每题６分，共 18 分） １．设 f ( x, y) 连续，且 f ( x, y) xy 求 f ( x, y) 。 解：设
s s1 s2 ＝ 1 1 1 ＝ 4i j 3k 2 1 3
设 ( x, y, z ) 为 L 上任意一点，则过 L 和 L1 的平面为
i
j
k
x2 1 4
y 3 z 1 1 1 1 3 0 即 2 x 7 y 5z 12 0
解：由对称性，只需求 z 0 那部分 面积的两倍。 在 上， dS
2a 2a x y
2 2 2
dxdy ， 在 xoy 面上的投影区域 D ： x 2 y 2 a 2 。
S 2 dS ＝ 2 2a d
D
0
2
a
d
2a
2 2
0
＝ 4 2 ( 2 1)a 2
2z 2 f1 2 x( f11 2 x f12 2 y) 2 y( f 21 2 x f 22 2 y) x 2
广东工业大学试卷用纸，第 4 页， 共 6 页
2 f1 4x 2 f11 2x 8xyf12 4 y 2 f 22
同理
z 2 yf1 2 xf 2 y
2 z 2 f1 4 y 2 f11 8xyf12 4 x 2 f 22 y 2
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,
y x
1 x
x k1F1
z x
,
y x
所以， x u y u z u x y z
x
k
xk
1
F
z x
,
y x
zx
k
2
F1
z x
,
y x
yx k 2
F2
z x
,
y x
y
x k1F2
z x
,
y x
z
x
k
1 F1
z x
,
y x
kxk F z , y x x
/p-497333939417.html
五、综合题（本大题共 21 分）
1、（本题
10
分）已知直线 l1 ：
y b
z c
1， l2
：
x a
z c
1，求过 l1 且平行于 l2
的
x 0
y 0
平面方程．
2 、 （ 本 题 11 分 ） 设 函 数 f (x, y, z) ln x ln y 3ln z 在 球 面 x2 y2 z2 5R2 (x 0, y 0, z 0) 上求一点，使函数 f (x, y, z) 取到最大值．
x( 1 2
x
1)e2 x .
2、解： z uv2 t cosu v2 t sin u ， u u
z uv2 t cosu 2uv ， z cosu
v v
t
依复合函数求导法则，全导数为
dz z du z dv z dt dt u dt v dt t dt
v2 t sin u et 2uv 1 cosu 1 t
P1
且以
n
1
ca
，
1， bc
1 c2
为法向
量的平面 x y z 1 0 ， abc
就是过 l1 且平行于 l2 的平面方程．
2、解：设球面上点为 (x, y, z) ．
令 L(x, y, z, ) ln x ln y 3ln z (x2 y2 z2 5R2 ) ，
Lx
1 x
ln 2 t t sin et et 2 et ln t coset t
3、解：解方程组
f x x, y
f
y
x,
y
e2x 2x 2y2 4y
e2x 2 y 2 0
1
0 ，得驻点 1 ,1 2
。由于
A f xx x, y 4e2x x y 2 2 y 1 ，B f xy xy 4e2x y 1，C f yy x, y 2e2x
1.、 x 32 y 12 z 12 21
2、 1 ． 2
3、 2x 4y z 5 0 ．
4、0
5、 2 y 3x2 ；
二、选择填空题（本题满分 15 分，共有 5 道小题，每道小题 3 分）
1（A） 2（B） 3（C） 4（C） 5（A）
三、计算题（本大题共 29 分）
1、（1）解：将原微分方程进行分离变量，得： dy (1 x)dx 1 y2
六、证明题（本题共 12 分） 1、设函数 u xk F z , y ，其中 k 是常数，函数 F 具有连续的一阶偏导数．试
x x
证明: x u y u z u kxk F z , y
x y z
x x
第二学期高等数学期中考试试卷答案
一、填空题（本题满分 15 分，共有 5 道小题，每道小题 3 分）
大一第二学期高等数学期中考试试卷
一、填空题（本题满分 15 分，共有 5 道小题，每道小题 3 分），请将合适的答案 填在空中。
1、已知球面的一条直径的两个端点为 2， 3， 5和 4， 1， 3 ，则该球面的方
程为______________________ 2、函数 u ln(x y2 z2 ) 在点 A(1,0,1) 处沿点 A 指向点 B(3, 2, 2) 方向的方向导 数为 3、曲面 z x2 y2 与平面 2x 4 y z 0 平行的切平面方程为
(A). x(a1x b1 ) cos x x(a2 x b2 ) sin x d1x2 ; (B). x(a1x b1) cos x x(a2 x b2 ) sin x d1x2 d2 x d3 ;
(C). x(a1x b1)(a2 cos x b2 sin x) d1x2 d2 x d3 ;
充分条件；
(D) 二元函数 z f x , y 的两个偏导数在点 x0 , y0 处连续是函数在该点可微
的必要条件.
5、设 z f (2x y, x 2y), 且 f C（2 即函数具有连续的二阶连续偏导数），则 2 z xy
（）
(A) 2 f11 2 f 22 3 f12 ;
(B) 2 f11 f 22 3 f12 ;
u kxk1F z ,
x
x
y x
x
k
F1
z x
,
y x
z x2
x k F2
z x
,
y x
y x2
kxk1F z , x
y x
zx
k
2
F1
z x
,
y x
yx k 2
F2
z x
,
y x
u y
x k F2
z x
,
y x
1 x
x k1F2
z x
,
y x
u z
x k F1
z x
解方程组
Fx 2x y 0 Fy x 4 y 0 F x y 8 0
解得 7, x 5, y 3
这唯一的一组解，即为所求，当这两种型号的机床分别生产 5 台和 3 台时，总
成本最小，最小成本为： c(5, 3) 52 2 32 5 3 28 （万）
4、下列说法正确的是（ ）
(A) 两向量 a 与 b 平行的充要条件是存在唯一的实数 ，使得 b a ；
(B)
二元函数 z
f x
,
y的两个二阶偏导数
2z x 2
,
2z y 2
在区域
D
内连续，则在该区
域内两个二阶混合偏导必相等；
(C) 二元函数 z f x , y的两个偏导数在点 x0 , y0 处连续是函数在该点可微的
五、综合题（本大题共 21 分）
1、解：直线 l1 与 l2 的方向向量分别为
s1
0，
1， b
1 c
1，
0，
0
0，
1， c
1 b
，
s2
1 a
，
0，
1 c
0，
1，
0
1c ，
0，
1 a
，
作
n
s1
s2
1
ca
，
1， bc
1 c2
，
取直线
l1
上的一点
P10，
0，
c ，则过点
(C) 2 f11 f 22 5 f12 ;
(D) 2 f11 2 f 22 f12 .
三、计算题（本大题共 29 分）
1、（本题 13 分）计算下列微分方程的通解。
(1)（6 分） y 1 x y 2 xy 2
(2)（7 分） y 3y 2y xe2x
2、（本题 8 分）设 z uv2 t cosu ， u et ， v ln t ，求全导数 dz 。 dt
3、（本题 8 分）求函数 f x, y e2x x y 2 2 y 的极值。
四、应用题（本题 8 分） 1、某工厂生产两种型号的机床，其产量分别为 x 台和 y 台，成本函数为 c(x, y) x2 2 y 2 xy （万元），若市场调查分析，共需两种机床 8 台，求如何 安排生产使其总成本最少？最小成本为多少？
在点 1 ,1 处，A 2e 0 ，B 0，C 2e，AC B2 4e2 ，所以函数在点 1 ,1
2
2
处取得极小值，极小值为 f 1 ,1 e 。 2 2
四、应用题（本题 8 分）
1、解：即求成本函数 cx, y 在条件 x y 8 下的最小值
构造辅助函数 Fx, y x2 2 y 2 xy (x y 8)
(D). x(a1x b1 )(cos x sin x) d1x 2 d 2 x d3
3、已知直线 L : x 2 y 1 z 与平面 : x 2 y z 4 ,则 （ ） 2 2 2
(A). L 在 内;
(B). L 与 不相交;
(C). L 与 正交;
(D). L 与 斜交.
上式两端积分得
1
dy y
2
arctan y (1 x)dx
x
x2 2
c
即 ： arctan y x x2 c 其中 c 为任意常数． 2
（2）解：题设方程对应的齐次方程的特征方程为 r 2 3r 2 0, 特征根为 r1 1,
r2 2, 于是，该齐次方程的通解为 Y C1x C2e2x , 因 2 是特征方程的单
（A）． xOz 坐标面上的双曲线绕 Ox 轴旋转而成； （B）． xOy 坐标面上的双曲线绕 Oz 轴旋转而成； （C）． xOy 坐标面上的椭圆绕 Oz 轴旋转而成； （D）． xOz 坐标面上的椭圆绕 Ox 轴旋转而成． 2、微分方程 y y 2x cos x 3x2 的一个特解应具有形式（ ） 其中 a1, b1, a2 , b2 , d1, d 2 , d3 都是待定常数.
2 x
0,
Ly
1 y
2 y
0,
Lz
1 3z
2z
0,
L x2 y2 z2 5R2 0
由前三个式子得 x2 y2 z2 ，代入最后式子得 x y R, z 3R ．由题意得 3