人教版八年级数学上因式分解讲座

人教版八年级数学上因式分解讲座

一、学习目标

1．了解因式分解的意义及其与整式乘法的区别与联系，养成逆向思维的能力．

2．理解因式分解的常用方法，能灵活地应用因式分解的常用方法进行因式分解．

3．能用因式分解的知识解决相关的数学及实际问题．

二、基础知识 基本技能

1．因式分解

(1)因式分解的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做因式分解，也叫做把这个多项式分解因式．

(2)因式分解的注意事项

①因式分解的实质是多项式的恒等变形，与整式乘法的过程恰好相反，整式乘法是“积化和差”，而因式分解是“和差化积”，利用这种关系可以检验因式分解结果是否正确．

②分解因式的对象必须是多项式，如把5a 2bc 分解成5a ·abc 就不是分解因

式，因为5a 2bc 不是多项式；再如把1x 2－1分解为⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1⎝ ⎛⎭

⎪⎫1x －1也不是分解因式，因为1x

2－1不是整式． ③分解因式的结果必须是积的形式，如x 2＋x －1＝x (x ＋1)－1就不是分解因式，因为结果x (x ＋1)－1不是积的形式．

④分解因式结果中每个因式都必须是整式，如x 2－x ＝x 2⎝

⎛⎭⎪⎫1－1x 就不是分解因式，因为x 2⎝

⎛⎭⎪⎫1－1x 不是整式的乘积形式． ⑤分解因式的结果中各因式中的各项系数的最大公约数是 1.如4x 2－6x ＝x (4x －6)．结果中的因式4x －6中4和6的公约数不为1，正确的分解结果应是4x 2－6x ＝2x (2x －3)．

【例1－1】在下列四个式子中，从等号左边到右边的变形是因式分解的是

( )．

A ．x 2y ＋x ＝x 2⎝⎛⎭

⎫y ＋1x B ．x 2－4－3x ＝(x ＋2)(x －2)－3x

C ．ab 2－2ab ＝ab (b －2)

D ．(x －3)(x ＋3)＝x 2－9

解析：选项A 右边的其中一个因式不是整式，不符合；选项B 的结果不是整式的乘积，只分解了一部分；选项D 是整式乘法；选项C 符合因式分解的意义，故选C ．

解题技巧：分解因式与整式乘法是两种相反方向的变形过程，即它们互为逆过程，互为逆关系，例如：

n(a＋b＋c)na＋nb＋nc，因式分解是把多项式化为积的形式，注意一要是整式，二要是多项式．

【例1－2】下列从左到右的变形中，哪些是分解因式？哪些不是分解因式？为什么？

(1)12a2b＝3a·4ab；

(2)(x＋3)(x－3)＝x2－9；

(3)4x2－8x－1＝4x(x－2)－1；

(4)2ax－2ay＝2a(x－y)；

(5)a2－4ab＋b2＝(a－2b)2.

解：(1)不是分解因式．因为等号左边必须是一个多项式，而12a2b是单项式．

(2)不是分解因式．因为等号左边(x＋3)(x－3)是积的形式，右边x2－9是一个多项式，不符合分解因式的定义．

(3)不是分解因式．因为等号左边虽然是一个多项式，但是等号右边的4x(x －2)－1不是整式积的形式．

(4)是分解因式．因为等号左边2ax－2ay是一个多项式，且等号右边2a(x －y)是整式积的形式．

(5)不是分解因式．因为分解因式是多项式的恒等变形，左右两边必须相等，而此题左边＝a2－4ab＋b2；右边＝(a－2b)2＝a2－4ab＋4b2.因为左、右两边不相等，即不是恒等变形，当然不是分解因式．

：判断一个式子由左到右的变形是不是分解因式，关键看它是不是把多项式变形为几个整式积的形式，也就是说，变形后第一必须是整式；第二必

须是乘积的形式．

2．因式分解的基本方法——提公因式法

(1)公因式的意义

多项式中的每一项都含有一个相同因式，这个相同因式叫做这个多项式各项的公因式．如多项式ab＋ac＋ad中，各项都含有因式a，故a是这个多项式的公因式．

(2)公因式的确定

准确地确定公因式，是运用提公因式法因式分解的关键．确定一个多项式各项的公因式，其方法如下：

①确定公因式系数，即数字因数．当各项系数都是整数时，取各项的最大公约数作为公因式的系数；当各项系数中有分数时，则公因式的系数为分数，分母取各项系数分母的最小公倍数，分子取各项系数分子的最大公约数．

②确定公因式的字母及字母指数．公因式的字母应是多项式各项都含有的字母，其指数取最低的．如：多项式4x4＋6x2＋12x3y中，系数的最大公约数是2，相同字母为x，它的最低指数是2，所以这个多项式的公因式应为2x2.

③注意：公因式可能是单项式，也可能是多项式．当公因式是多项式时，要把这个多项式看作一个整体，这时要注意符号的变化，经常用的变形有：(b＋a)n＝(a＋b)n(n为正整数)，

(b－a)n＝(a－b)n(n为偶数)，

(b－a)n＝－(a－b)n(n为奇数)．

【例2－1】指出下列各多项式中各项的公因式：

(1)4x2y3z＋12x3y4；

(2)4

7

(x＋1)2y3－12(x＋1)3y4；

(3)12x n y2n＋16x n－1y n＋1(n为大于1的整数)．

(3)提公因式法

①如果一个多项式的各项都含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而把多项式化成两个整式乘积的形式，这种分解因式的方法叫提公因式法．我们在学习乘法分配律时知道，m(a＋b＋c)＝ma＋mb＋mc，现在把它反过来就有ma＋mb＋mc＝m(a＋b＋c)，这正是提公因式法，可见提公因式法在实质上是逆用乘法分配律．

②提公因式法的步骤

运用提公因式法分解因式一般分为三步：

第一步，确定公因式；方法：系数取最大公约数，相同因式取最低次幂。

第二步，把多项式的各项写成含公因式的乘积形式；

第三步，把公因式提到括号前面，余下的项（余下的项是用原项除以公因式）写在括号内．余下的项是1或-1不能漏掉。

(1)若首项系数为负数时，一般先要提出“－”，但要注意，此时多项式的各项都要变号，如－x2－2x＝－x(x＋2)；

(2)所提的公因式必须是“最大公因式”，即提取公因式后，另一个因式中不能含有公因式；

(3)提出公因式后，另一个因式必须化简整理，不能带有中括号，如2x(y－z)2－4y(y－z)3＝2(y－z)2[x－2y(y－z)]＝2(y－z)2(x－2y2＋2yz)；

(4)多项式中各项的公因式要一次提尽；

(5)公因式提取后，要用整式乘法来检验是否正确．

【例2－2】把下列各式分解因式：

(1)2(m－n)2－m(n－m)；

(2)5a(x－y)2＋10a(y－x)3.

分析：(1)观察该多项式，可发现其没有公因式，但是(n－m)可以变形为－(m－n)，从而原式变形为2(m－n)2＋m(m－n)，这样每一项都含有多项式(m－n)，且(m－n)的最低次数是1，所以变形后的多项式的公因式是(m－n)．

(2)这个多项式的两项的系数有公约数5，含有字母a，并且含有多项式x－y，因此该多项式的公因式是5a(x－y)2.还要注意(y－x)3＝－(x－y)3的变形．3．因式分解的基本方法——公式法

(1)公式法的意义：利用完全平方公式和平方差公式进行因式分解的方法叫做公式法．

(2)公式的结构特征

运用公式法的关键是熟悉公式的结构特征．

①平方差公式的特征：左边是二项式，两项都能写成平方的形式，即偶次幂，且符号相反（异号），右边分解的结果是两个整式的和与两个整式的差的乘积．凡符合平方差公式特点的二项式，都可运用平方差公式分解因式．分解时，