不定积分典型例题讲解
关于高等数学不定积分例题思路和答案超全
关于高等数学不定积分例题思路和答案超全This manuscript was revised on November 28, 2020第4章 不定积分习题4-11.求下列不定积分：知识点：直接积分法的练习——求不定积分的基本方法。
思路分析：利用不定积分的运算性质和基本积分公式，直接求出不定积分！★(1)思路: 被积函数52x-=，由积分表中的公式（2）可解。
解：532223x dx x C --==-+⎰★(2)dx -⎰思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。
解：1141113332223()24dx x x dx x dx x dx x x C --=-=-=-+⎰⎰⎰⎰★(3)22xx dx +⎰（）思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。
解：2232122ln 23x xxx dx dx x dx x C +=+=++⎰⎰⎰（）★(4)3)x dx -思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。
解：3153222223)325x dx x dx x dx x x C -=-=-+⎰⎰★★(5)4223311x x dx x +++⎰思路:观察到422223311311x x x x x ++=+++后，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。
解：42232233113arctan 11x x dx x dx dx x x C x x ++=+=++++⎰⎰⎰ ★★(6)221x dx x +⎰思路:注意到222221111111x x x x x +-==-+++，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。
解：2221arctan .11x dx dx dx x x C x x =-=-+++⎰⎰⎰注：容易看出(5)(6)两题的解题思路是一致的。
一般地，如果被积函数为一个有理的假分式，通常先将其分解为一个整式加上或减去一个真分式的形式，再分项积分。
不定积分的经典讲解共23页
x 2 2arcxta 1 2 n 1 xx 22dx
x 2 2arx c t1 2a 1 n 1 1 x 2 dx
x 22arcxta1 2n xarcxt acn
x221arcx t a2 xnc.
8
例 3.
xlnxdx
1 2
ln
x
d(x2)
(uln x,vx2)
12x2lnx12x2dlnx 12x2lnx12x2 1xdx
解: ∴ 原式 exd(cox)s
excoxsexcoxsdx
再令 u ex , vcoxs
excoxs exsix n exsix d n x
故 原式 = 1 2ex(sx i n co x) sC
说明: 也可设
, 但两次所设类型必须一致 .
13
机动 目录 上页 下页 返回 结束
8 . n 为正 ,求 In 整 (x 数 2d a 2 x )n.
u vd xu v u vd x
分部积分公式
或 udvuvvdu
6
例1 求积分 xcoxs d.x
udvuvvdu
解（一） 令 uco x,sxdx1dx2 dv
xcosxdx
cosxd(
x2) 2
x2c2oxs 2
x2sin xdx 2
显然，u, v 选择不当，积分更难进行.
解（二） 令 ux, cx o d d s s x i x d nv
内容小结
分部积分公式 u vd xu vu vd x
1. 使用原则 : v易求出, uvdx易积分
2. 使用经验 : “反对幂指三” , 前 u v 后
3. 题目类型 : 分部化简 ; 循环解出; 递推公式
不定积分例题与答案
求下列不定积分：知识点：直接积分法的练习——求不定积分的荃本方法。
思路分析：利用不定积分的运算性质和荃本积分公式，査接求出不定积分!★(1),旅思路：被积函敌|:,由积分表中的公式(2)可解。
K 77T 八★⑶思路:根裾不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。
解：j<2x +.K 2Wt = j2,rfA + f.rdv = -L.+lx i +C ★⑷J 仮(.丫-3皿 思酪:根拐不定积分的线性性质，将被积函薮分为两项，分别积分。
J7xU-3)rfv = |x-dv-3jA"dv = ^.v* -2.V-+C★★⑸『竺上竺旦厶息」廉:观察到3xJ3.E=w+ 1后，根拐不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。
丿 ~-V+ 1 ~~.C+ 1~"*A x 2+11 ,根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。
解：JI ' 心=j rfv-j ]:心=A -arctan .v+C.注.容島看出(5)(6)两題的解SI 思绝是一致的• 一般地，如果被积函数为一个有理的假分丈.谨常先将其分解为一个荃或加上或 减去一个真分丈的形丈.再分项积分.★(7) |(三二+W 心思路:分项积分。
4-~-r^ = J 'z£v -|-^<tv + 3|x 'rfv-4j.t u rfv★(8)上3 2 思路:分项积分。
■ J< ] 3 - F k£v = 3j J , dx-2jdr = 3arctan .v-2arcsinx + C.★★⑺j 后眾小思路:皿着看到皿頁=严—“直接积分。
解：J 厶斥曲Y = =加+ U息话:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。
X ，.思路:注意到r_ JI + x* x l+x 2 l+.r 1+x 2 解: ★⑵ =x + arctan .v + C解：严小+认=★★(10) I忌路:裂项分项积分。
不定积分递推公式例题
我们首先考虑一个简单的递推关系式，即等差数列的递推公式。
等差数列的递推公式为：
an+1=an+d
其中，an是第n项，d是公差。
现在，我们要求解这个递推公式的不定积分。
首先，我们写出等差数列的通项公式：
an=a1+(n−1)d
接下来，我们对这个通项公式进行不定积分。
∫andx=∫(a1+(n−1)d)dx
由于a1 和d是常数，我们可以直接积分：
∫andx=21a1x2+(n−1)dx+C
其中C是积分常数。
现在，我们可以使用递推关系式来求解an+1 的不定积分：
∫an+1dx=∫(an+d)dx
利用不定积分的性质，我们可以将这个表达式拆分为两部分：
∫an+1dx=∫andx+∫ddx
由于∫ddx=d⋅x+C′，其中C′是积分常数，我们可以进一步求解：
∫an+1dx=21a1x2+(n−1)dx+d⋅x+C′。
高数—不定积分.讲解和例题-PPT.共68页文档
25、学习是劳动，是充满思想的劳动。——乌申斯基
谢谢！高数—不定积分.讲来自和例题-PPT.56、死去何所道，托体同山阿。 57、春秋多佳日，登高赋新诗。 58、种豆南山下，草盛豆苗稀。晨兴 理荒秽 ，带月 荷锄归 。道狭 草木长 ，夕露 沾我衣 。衣沾 不足惜 ，但使 愿无违 。 59、相见无杂言，但道桑麻长。 60、迢迢新秋夕，亭亭月将圆。
21、要知道对好事的称颂过于夸大，也会招来人们的反感轻蔑和嫉妒。——培根 22、业精于勤，荒于嬉；行成于思，毁于随。——韩愈
不定积分的例题分析及解法
不定积分的例题分析及解法这一章的基本概念是原函数、不定积分、主要的积分法是利用基本积分公式,换元积分法和分部积分法。
对于第一换元积分法,要求熟练掌握凑微分法和设中间变量)(x u ϕ=，而第二换元积分法重点要求掌握三角函数代换，分部积分法是通过“部分地”凑微分将⎰υud 转化成⎰du υ,这种转化应是朝有利于求积分的方向转化。
对于不同的被积函数类型应该有针对性地、灵活地采用有效的积分方法，例如)(x f 为有理函数时，通过多项式除法分解成最简分式来积分,)(x f 为无理函数时,常可用换元积分法。
应该指出的是：积分运算比起微分运算来，不仅技巧性更强,而且业已证明，有许多初等函数是“积不出来"的，就是说这些函数的原函数不能用初等函数来表示，例如dx x x ⎰sin ；dx e x ⎰-2；dx x ⎰ln 1;⎰-x k dx 22sin 1（其中10<<k ）等。
这一方面体现了积分运算的困难，另一方面也推动了微积分本身的发展,在第7章我们将看到这类积分的无限形式的表示。
一、疑难分析（一）关于原函数与不定积分概念的几点说明(1）原函数与不定积分是两个不同的概念，它们之间有着密切的联系.对于定义在某区间上的函数)(x f ，若存在函数)(x F ，使得该区间上每一点x 处都有)()(x f x F ='，则称)(x F 是)(x f 在该区间上的原函数，而表达式C C x F ()(+为任意常数)称为)(x f 的不定积分。
(2）)(x f 的原函数若存在，则原函数有无限多个,但任意两个原函数之间相差某个常数，因此求)(x f 的不定积分⎰dx x f )(时，只需求出)(x f 的一个原函数)(x F ，再加上一个任意常数C 即可，即⎰+=C x F dx x f )()(。
（3）原函数)(x F 与不定积分⎰dx x f )(是个体与全体的关系,)(x F 只是)(x f 的某个原函数，而⎰dx x f )(是)(x f 的全部原函数，因此一个原函数只有加上任意常数C 后，即C x F +)(才能成为)(x f 的不定积分,例如3,21,1222-++x x x 都是x 2的原函数，但都不是x 2的不定积分，只有C x +2才是x 2的不定积分（其中C 是任意常数）。
不定积分典型例题
不定积分典型例题1. 引言在高等数学中，不定积分是一个重要的概念。
它是求解函数原函数的过程，也被称为反导数。
不定积分的概念在微积分学中占据着重要的地位，也是大学数学中必学的重点之一。
2. 不定积分的定义不定积分的定义是，对于一个函数f(x)，如果存在一个函数F(x)，满足F'(x) = f(x)，那么我们称F(x)是f(x)的一个原函数，同时称f(x)是F(x)的导函数。
我们可以将f(x)的不定积分表示为∫f(x)dx，也就是F(x) + C，其中C是任意常数。
3. 不定积分的性质不定积分具有一些重要的性质：- 线性性：对于任意常数a、b和函数f(x)、g(x)，有∫(af(x) + bg(x))dx = a∫f(x)dx + b∫g(x)dx。
- 逆运算性：如果F(x)是f(x)的一个原函数，那么f(x)也是F(x)的一个导函数。
- 加法性：如果f1(x)和f2(x)都有原函数，那么f1(x) + f2(x)也有原函数。
- 常数函数的积分：对于任意常数C，有∫Cdx = Cx + C。
4. 不定积分的求解方法不定积分可以通过一些特定的方法来求解，这里介绍两种常见的方法：- 换元法：换元法是利用导数的链式法则来进行替换的。
当被积函数中存在复合函数时，可以选择一个内函数，将其与外函数的导数一起带入积分式中，从而达到化简的目的。
- 分部积分法：分部积分法是针对乘积形式的积分式进行化简的。
它可以将一个积分式化成两个积分式相减的形式，从而达到简化的目的。
5. 典型例题下面是一道典型的不定积分例题：求解∫(x^3 + 3x^2 + 3x + 1)dx。
解法如下：首先对于每一项进行分解：∫x^3dx + ∫3x^2dx + ∫3xdx + ∫dx。
然后分别进行求解：(1/4)x^4 + x^3 + (3/2)x^2 + x + C。
因此，原式的不定积分为(1/4)x^4 + x^3 + (3/2)x^2 + x + C。
不定积分例题(含过程及解析)
例题1dx e x x ⎰+)12( ce e x dxe e x x d e e x de x x x xx x x x+-+=•-+=+-+=+=⎰⎰⎰2)12(2)12()12()12()12( 根据分部积分法⎰⎰-=vdu uv udv ，（2x+1）为u ，e x 为v 。
（确定u 和v 的口诀：对反幂三指；对——对数函数、反——反函数、幂——幂函数、三——三角函数、指——指数函数）2x+1为幂函数，e x 为指数函数。
例题2dx xe x ⎰-ce xe dxe e xe dx e xe xde x x x x x x x++-=•+-=--=-=-------⎰⎰⎰1)(x e -是一个复合函数，其导数应为1-•-x e例题3⎰xdx arctanc x x x xd xx x dx x x x x xxd x x ++-=++-=+-•=-•=⎰⎰⎰)1ln(21arctan 11121arctan 1arctan tan arctan 2222arctanx ’=1/1+x 2，在这里会用到反三角函数的导数公式。
其它的反三角导数是arcsinx ’=211x -、arccosx ’=211x --、arccotx ’=211x +-例题4dx x x ⎰2cos 2sin|cos |ln 2cos cos 12cos sin 2cos cos sin 22x x d xdx xx dx xx x -=-===⎰⎰⎰这里用到二倍角公式，如下：Sin2x=2sinxcosxCos2x=2cos 2x-1=1-sin 2x-1例题5dx x x ⎰++2cos 1sin 12c x x x xdx dx dx x dx xx +-=-=-=-=⎰⎰⎰⎰21tan 21sec 121cos 1cos 2cos 22222 这里除了用到二倍角公式，还会用到sin 、cos 、sec 、csc 间的相互转化，sinx 和cscx 互为倒数、cosx 和secx 互为倒数。
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tann1 x n 1
In2
注:
或
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例8. 求
解: 设 F(x) x 1 x 1 , x 1
1 x , x 1
则
1 2
x2
x
C1
,
x 1
x
1 2
x2
C2
,
x 1
因 连续 , 利用
得
1 2
C1
1 2
C2
记作
C
得
1 2
1
C1
112121(212x(xx221C)12x2x)21C212C, C,C,,
ln
a
dx
1
ln
2 3
d
(
2 3
)
x
1 (32)2 x
arctan(
2 3
)x
C
ln 2 ln3
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例2. 求
解:
原式
[ln(x
1
x2
1
) 5]2
d
[ ln(x
1 x2 ) 5]
2 ln(x
1
x2
)
5
3 2
C
3
分析:
d [ ln(x
(1 2x ) dx
例10. 求
dx
xx
x.
1 e2 e3 e6
x
解:
令 t e6 ,
则
x 6lnt ,
dx
6 t
dt
原式 6
(1
t3
d
t t
2
t)
t
6
dt (t 1)(t 2 1) t
dt
6ln t 3ln t 1 3 ln(t2 1) 3arctan t C 2
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dx
ex arctan ex
(1
e2x ) 1 e2x
e2x
dx
e
x
arctan
e
x
x
1 2
ln
(1
e2
x
)
C
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例6. 求
解: 取
x3 x 2 3x2 1
e 2x
1 2
e
2x
6x
1 4
e
2x
60
1 8
e2x
1 16
e2x
原式
e2x
1 2
(
x3
x 2)
1 4
x
t
t
2
3
, 1
y
t
2
t, 1
而
dx
t 2 (t (t 2
2
3) 1)2
d
t
原式
t
t
2
3
1 1
t
3t 2
1
t 2 (t (t 2
2
3) 1)2
dt
1 2
ln
(x
y)2
1
C
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例5. 求
解: 原式 arctan exd ex
ex arctan ex
e
x
ex 1 e2x
2
d(cos x sin x) cos x sin x
x 2ln cos x sin x C
说明: 此技巧适用于形为 a cos x b sin x dx 的积分. c cos x d sin x
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例12. 求 I1 解：因为
sin x dx 及
a cos x b sin x I2
例14. 求 I
dx
(a b k π)
sin(x a) sin(x b)
解: I
=
1 sin(a b)
sin[(x a) (x b)] d sin(x a) sin(x b)
x
1 sin(a
b)
sin(x
a)cos(x b) cos(x a)sin(x sin(x a) sin(x b)
习题课
第四章
不定积分的计算方法
一、 求不定积分的基本方法 二、几种特殊类型的积分
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一、 求不定积分的基本方法
1. 直接积分法 通过简单变形, 利用基本积分公式和运算法则 求不定积分的方法 .
2. 换元积分法
第一类换元法
第二类换元法 (代换: x (t))
注意常见的换元积分类型, 如掌握 P205～P206 公式(16) ~(24)的推导方法
例11. 求
解: 令 3cos x sin x A(cos x sin x) B(cos x sin x)
令 a cos x( AbsinBx)cos x ( A B)sin x 比较同类项A系(c数cos xAAdBsBinx3)1,B故(cAcos1x,Bdsi2n x)
∴
原式
dx
(3x2
1)
1 8
6x
1 16
6
C
1 8
e2
x
(4x3
6x2
2x
7)
C
说明: 此法特别适用于 如下类型的积分:
Pn
(
x)
ekx sin ax
dx
cos ax
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例7. 证明递推公式
证: In tann2 x (sec2 x 1) dx
tann2 x d(tan x) In2
简单无理函数
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2. 需要注意的问题 (1) 一般方法不一定是最简便的方法, 要注意综合
使用各种基本积分法, 简便计算 . (2) 初等函数的原函数不一定是初等函数 , 因此不一
定都能积出. 例如 ,
1 k 2 sin2 x dx (0 k 1),
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u v(n1) dx u v(n) uv(n) dx
u v(n) uv(n1) uv(n1) dx
u v(n) uv(n1) uv(n2) uv(n2) dx
u v(n) uv(n1) uv(n2) (1)n1 u(n1)v dx
快速计算表格:
u(k) v(n1k )
例15. 求
解: I
dx
(x a)
(x
b)
n
xa xb
令
( n 为自然数)
则
nt
n1
d
t
ab (x b)2
dx
n ab
dt n 1C t2 bat
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知识回顾 Knowledge Review
祝您成功！
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3. 分部积分法
u vdx u v uv dx
使用原则:
1) 由 v 易求出 v ;
2) uv dx 比
好求 .
一般经验: 按“反, 对, 幂, 指 , 三” 的顺
序,
排前者取为 u , 排后者取为 v .
计算格式: 列表计算
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多次分部积分的 规 律
1 x2 ) 5]
2 1 x2
x 1 x2
dx 1 x2
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例3. 求
解:
x 2sin x cos x
原式
2 2 cos2 x
2 dx
2
x
d
tan
x 2
tan
x 2
dx
x tan x C 2
分部积分
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例4. 设
求积分
解:
令 x y t, 即 y xt
x 1 x 1
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例9. 设 为 的原函数, 且
求
解: 由题设 F (x) f (x), 则
故
即 又
, 因此
故
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二、几种特殊类型的积分
1. 一般积分方法
有理函数
分解
指数代换 万能代换 根式代换
多项式及 部分分式之和
指数函数有理式
三角函数有理式
三角代换
u u
v(n1) v(n)
u
v(n1)
u(n) u(n1)
(1)n (1)n1
v v
特别: 当 u 为 n 次多项式时, u(n1) 0,计算大为简便 .
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例1. 求
解: 原式
2x3x 32 x 22
x
dx
1
( 32 ) (32
xd )2 x
ax dx
a
x
b)d
x
1 sin(a
b)
cos(x b) sin(x b)
d
x
cos(x a) sin(x a)
dx
1 ln sin(x b) ln sin(x a) C
sin(a b)
1 ln sin(x b) C sin(a b) sin(x a)
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cos x dx . a cos x b sin x
a a
cos cos
x x
b b
sin sin
x x
dx
b a
cos cos
x x
a b
sin sin
x x
dx
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例13. 求不定积分 解: 原式
1 (2u)(u2 1)
A 2u
B C