天津大学网络教育学院概率论与数理统计复习资料
(完整版)概率论与数理统计复习提纲
1.基本思想: 用样本矩（原点矩或中心矩）代替相应的总体矩.
2.求总体X的分布中包含的m个未知参数 的矩估计步骤：
① 求出总体矩,即 ；② 用样本矩代替总体矩，列出矩估计方程：
③ 解上述方程（或方程组）得到 的矩估计量为：
④ 的矩估计值为：
3. 矩估计法的优缺点：
优点：直观、简单; 只须知道总体的矩,不须知道总体的分布形式.
（1） 分布的 分位点 （2） 分布的 分位点 其性质：
（3） 分布的 分位点 其性质
（4）N(0,1)分布的 分位点 有
第六章 参数估计
一、点估计:设 为来自总体X的样本， 为X中的未知参数， 为样本值，构造某个统计
量 作为参数 的估计，则称 为 的点估计量， 为 的估计值.
2.常用点估计的方法：矩估计法和最大似然估计法.
合概率函数（或联合密度函数） （或
称为似然函数.
3. 求最大似然估计的步骤：
（1）求似然函数:X离散： X连续：
（2）求 和似然方程：
（3）解似然方程，得到最大似然估计值：
（4）最后得到最大似然估计量：
4. 最大似然估计法是在各种参数估计方法中比较优良的方法，但是它需要知道总体X的分布形式.
四、估计量的评价标准
4.伯努利概型：
1.事件的对立与互不相容是等价的。（X）
2.若 则 。（X）
3. 。(X)
4.A,B,C三个事件恰有一个发生可表示为 。(∨)
5.n个事件若满足 ，则n个事件相互独立。(X)
6.当 时，有P(B-A)=P(B)-P(A)。（∨）
第二章 随机变量及其分布
一、随机变量的定义：设样本空间为 ，变量 为定义在 上的单值实值函数，则称 为随机变量，通常用大写英文字母，用小写英文字母表示其取值。
概率论与数理统计总复习知识点归纳
概率论与数理统计总复习知识点归纳1.概率论的基础概念-随机事件、样本空间和事件的关系。
-频率和概率的关系，概率的基本性质。
-古典概型和几何概型的概念。
-条件概率和乘法定理。
-全概率公式和贝叶斯公式。
-随机变量和概率分布函数的概念。
-离散型随机变量和连续型随机变量的定义、概率质量函数和概率密度函数的性质。
2.随机变量的数字特征-随机变量的数学期望、方差、标准差和切比雪夫不等式。
-协方差、相关系数和线性变换的数学期望和方差公式。
-两个随机变量的和、差、积的数学期望和方差公式。
3.大数定律和中心极限定理-大数定律的概念和三级强大数定律。
-中心极限定理的概念和中心极限定理的两种形式。
4.数理统计的基本概念和方法-总体、样本和抽样方法的概念。
-样本统计量和抽样分布的概念。
-点估计和区间估计的概念。
-假设检验的基本思想和步骤。
-正态总体的参数的假设检验和区间估计。
5.参数估计和假设检验的方法和推广-极大似然估计的原理和方法。
-矩估计的原理和方法。
-最小二乘估计的原理和方法。
-一般参数的假设检验和区间估计。
6.相关分析和回归分析-相关系数和线性相关的概念和性质。
-回归分析的一般原理。
-简单线性回归的估计和检验。
7.非参数统计方法-秩和检验和符号检验的基本思想和应用。
-秩相关系数的计算和检验。
8.分布拟合检验和贝叶斯统计-卡方拟合检验的原理和方法。
-正态总体参数的拟合优度检验。
-贝叶斯估计的基本思想和方法。
9.时间序列分析和质量控制-时间序列的基本性质和分析方法。
-时间序列预测的方法和模型。
-质量控制的基本概念和控制图的应用。
以上是概率论与数理统计总复习知识点的归纳，希望对你的复习有所帮助。
概率论与数理统计 天津大学网考复习题库及答案
概率论与数理统计复习题（特别提示：该课程有答疑视频，请参照视频与复习资料进行复习）一、单项选择题1、设()0.4,()0.5P A P B ==，且A, B 互不相容，则()P A B ⋃=（ C ） (A) 0.7 (B) 0.2 (C) 0.9 (D) 0.32、3个人独立地破译一个密码，每个人能译出的概率都为14，则他们能将此密码译出的概率为（ D ）(A) 14 (B) 164 (C) 2764 (D) 37643、设连续型随机变量X 的概率密度为3,01,()0,,Ax x f x ⎧<<=⎨⎩其他则A=（ A ）(A) 4 (B) 2 (C)14(D) 3 4、在正态总体~(30,4)X N 中随机抽取一个容量为16的样本，X 为样本均值，则{2931}P X <<=（ B ） （(0.5)0.6915,(2)0.9770Φ=Φ=） (A) 0.383 (B) 0.954 (C) 0 (D) 15、设X 服从参数为λ的Poisson 分布，即~()X P λ，则()()E X D X =（ A ） (A) 1 (B) λ (C)1λ(D) 0 6、设随机变量~(2,4),~(0,1),,X N Y N X Y 且相互独立，2Z X Y =+，则~Z （ B ） (A) N(6,8) (B) N(2,8) (C) N(0,6) (D) N(0,46)7、一批产品中有正品也有次品，从中随机抽取三件，设A ，B ，C 分别表示抽出 的第一件、第二件、第三件是正品，下列事件不能描述“正品不多于两件”的是 （ C ）（A ）ABC（B ）ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC ⋃⋃⋃⋃⋃⋃ （C ）A B C ⋂⋂（D ）A B C ⋃⋃8、设总体~(3,16)X N ，1216,,,X X X L 为来自总体X 的一个样本，X 为样本均值，则( A )(A) 3~(0,1)X N - (B) 4(3)~(0,1)X N - (C)3~(0,1)4X N - (D) 3~(0,1)16X N - 9、在假设检验中，0H 表示原假设，1H 表示对立假设，则犯第一类错误的情况为( C )（A ）0H 真，接受0H （B ）0H 不真，接受0H （C ）0H 真，拒绝0H （D ）0H 不真，拒绝0H10、设1234,,,X X X X 是来自均值为μ的总体的样本，其中μ未知，则下列估计量中不是μ 的无偏估计的是( B )（A ）1123411()()63T X X X X =+++ （B ）123422345X X X X T +++=（C ）123434X X X X T +++= （D ）4123411112488T X X X X =+++11、已知1()4P A =,1()6P B =,1()2P B A =,则()P A B ⋃=（ C ）(A) 16 (B) 14 (C) 13 (D) 1212、有一大批糖果，设袋装糖果的质量近似地服从正态分布()2,N μσ，其中2,μσ均未知。
统计学复习资料概率论与数理统计重点知识点整理
统计学复习资料概率论与数理统计重点知识点整理概率论与数理统计是统计学的基础课程之一，也是应用最为广泛的数学工具之一。
下面将对概率论与数理统计的重点知识点进行整理，以供复习使用。
一、概率论的基本概念1. 样本空间和事件：样本空间是指随机试验的所有可能结果构成的集合，事件是样本空间的子集。
2. 古典概型和几何概型：古典概型是指样本空间中的每个结果具有相同的概率，几何概型是指采用几何方法进行分析的概率模型。
3. 概率公理和条件概率：概率公理是概率论的基本公理，条件概率是指在已知某一事件发生的条件下，另一事件发生的概率。
4. 独立事件和全概率公式：独立事件是指两个事件的发生与否互不影响，全概率公式是用于计算复杂事件的概率的公式。
5. 随机变量和概率分布函数：随机变量是对样本空间中的每个结果赋予一个数值，概率分布函数是随机变量的分布情况。
二、概率分布的基本类型1. 离散型概率分布：包括二项分布、泊松分布和几何分布等。
2. 连续型概率分布：包括正态分布、指数分布和均匀分布等。
三、多维随机变量及其分布1. 边缘分布和条件分布：边缘分布是指多维随机变量中的某一个或几个变量的分布，条件分布是指在已知某些变量取值的条件下，其他变量的分布。
2. 二维随机变量的相关系数：相关系数用于刻画两个随机变量之间的线性关系的强度和方向。
3. 多维随机变量的独立性：多维随机变量中的各个分量独立时，称为多维随机变量相互独立。
四、参数估计与假设检验1. 参数估计方法：包括点估计和区间估计，点估计是通过样本数据得到参数的估计值，区间估计是对参数进行一个范围的估计。
2. 假设检验的基本概念：假设检验是用于对统计推断的一种方法，通过与某个假设进行比较来得出结论。
3. 假设检验的步骤：包括建立原假设和备择假设、选择显著性水平、计算检验统计量和做出统计决策等步骤。
五、回归分析与方差分析1. 简单线性回归分析：简单线性回归分析是研究两个变量之间的线性关系的方法，通过建立回归方程来拟合数据。
《概率论与数理统计》综合复习资料全
《概率论与数理统计》综合复习资料一、填空题1、一个盒子中有10 个球，其中有 3 个红球， 2 个黑球， 5 个白球，从中取球两次，每次取一个（无放回），则：第二次取到黑球的概率为；取到的两只球至少有一个黑球的概率为。
2、 X 的概率密度为 f ( x)1 e x2 2 x 1(x) ，则DX。
3、已知随机变量X ~N(1，1)，Y~N(3，1) 且 X 与Y 相互独立，设随机变量Z 2X Y 5，则EX；DX。
4、已知随机变量X 的分布列为X-102P k0.40.2p则： EX=；DX =。
5、设X与Y独立同分布，且X~N(2,22) ，则D( 3X2Y) =。
6、设对于事件A、B、 C有 P(A)P(B)1，P(ABC)1P(C)，412P( AB) P( BC )P(AC)1。
，则 A 、 B、 C 都不发生的概率为87、批产品中一、二、三等品各占60% 、30%、 10%，从中任取一件，结果不是三等品，则取到的是二等品的概率为。
8、相互独立，且概率分布分别为1，1 y 3f (x)e ( x 1)x) ；( y)(，其它则：E(X Y)=；E(2X3 2 )=。
Y9 、已知工厂A、 B 生产产品的次品率分别为2%和1%，现从由A、 B 工厂分别占30%和70%的一批产品中随机抽取一件，发现是次品，则该产品是 B 工厂的概率为。
10、设X、Y的概率分布分别为， 1 x 54e4 y，y01/ 4( x)；( y)，，其它0y0则： E(X 2Y) =；(X 2 4 ) =。
E Y二、选择题1、设X 和 Y 相互独立，且分别服从N(1,22) 和N (1,1)，则。
A ．P{ X Y 1}1/ 2B．P{ X Y0}1/ 2C ．P{ X Y0}1/ 2D．P{ X Y 1}1/ 22、已知P( A)0.4，P(B)0.6，P(B | A)0.5 ，则P( A B)。
A ．1B．0.7C ．0.8D ．0.53、设某人进行射击，每次击中的概率为1/3，今独立重复射击10 次，则恰好击中 3 次的概率为。
《概率论与数理统计》期末复习重点总结
概率论与数理统计第一章：掌握概率的性质、条件概率公式、全概率公式和贝叶斯公式，会用全概率公式和贝叶斯公式计算问题。
第二章：一维随机变量包括离散型和连续型；离散型随机变量分布律的性质；连续性随机变量密度函数的性质；常见的三种离散型分布及连续型分布；会计算一维随机变量函数的分布（可以出大题）；第三章：多维随机变量掌握离散型和连续型变量的边缘分布；条件分布及两个变量独立的定义；重点掌握两个随机变量函数的分布（掌握两个随机变量和、差的密度函数的求法；了解两个随机变量乘、除的分布；掌握多个随机变量最大、最小的分布的密度函数的求法）；第四章：重点掌握期望、方差、协方差的计算公式、性质；了解协方差矩阵的构成；第六章：掌握统计量的定义、三大分布的定义和性质；教材142页的四个定理及式3.19、3.20务必记住；第七章：未知参数的矩估计法和最大似然估计法是考点，还要掌握估计量的无偏性、有效性的定义；教材的例题及习题：19页例5；26页19、23、24、36；43页例1；51页例2；53页例5；58页25、36；63页例2；66页例2；77页例1、例2；87页22；99页例12；114页6；147页4、6；151页例2、例3；153页例4、例5；173页5、11样题一、填空1. 设A ，B 相互独立，且2.0)(,8.0)(==A P B A P ，则=)(B P __________.2. 已知),2(~2σN X ，且3.0}42{=<<X P ，则=<}0{X P __________.3．已知B A ,两个事件满足条件()()B A P AB P =，且()p A P =，则()=B P _________.4．设随机变量X 的密度函数为()2,01,0,x x f x <<⎧=⎨⎩其他，用Y 表示对X 的3次独立重复观察中事件⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤21X 出现的次数，则()2P Y == . 5、设连续型随机变量X 的分布函数为 ， ，则A=B= ；X 的密度函数为 。
非常全面的《概率论与数理统计》复习材料
《概率论与数理统计》复习大纲第一章随机事件与概率事件与集合论的对应关系表古典概型古典概型的前提是Ω={ω1, ω2,ω3,…, ωn,}, n为有限正整数，且每个样本点ωi出现的可能性相等。
例1设3个球任意投到四个杯中去，问杯中球的个数最多为1个的事件A1，最多为2个的事件A2的概率。
[解]：每个球有4种放入法，3个球共有43种放入法，所以|Ω|=43=64。
(1)当杯中球的个数最多为1个时，相当于四个杯中取3个杯子，每个杯子恰有一个球，所以|A1|= C433！=24；则P(A1)=24/64 =3/8. (2) 当杯中球的个数最多为2个时，相当于四个杯中有1个杯子恰有2个球(C41C32)，另有一个杯子恰有1个球(C31C11)，所以|A2|= C41C32C31C11=36；则P(A2)=36/64 =9/16例2从1,2,…,9，这九个数中任取三个数，求：(1)三数之和为10的概率p1；(2)三数之积为21的倍数的概率p2。
[解]：p1=4C93=121, p2=C31C51+C32C93=314P(A)=A包含样本总个数样本点总数=|A||Ω|几何概型前提是如果在某一区域Ω任取一点，而所取的点落在Ω中任意两个度量相等的子区域的可能性是一样的。
若A⊂Ω，则P(A)=A的度量Ω的度量例1把长度为a的棒任意折成三段，求它们可以构成一个三角形的概率。
[解]：设折得的三段长度分别为x,y和a-x-y，那么，样本空间，S={(x,y)|0≤x≤a,0≤y≤a,0≤a-x-y≤a}。
而随机事件A：”三段构成三角形”相应的区域G应满足两边之和大于第三边的原则，得到联立方程组，⎩⎪⎨⎪⎧a-x-y<x+yx<a-x-y+yy<a-x-y+x解得0<x<a2, 0<y<a2,a2<x+y<a 。
即G={(x,y)| 0<x<a2, 0<y<a2,a2<x+y<a }由图中计算面积之比，可得到相应的几何概率P(A)=1/4。
《概率论与数理统计》综合复习资料
《概率论与数理统计》综合复习资料《概率论与数理统计》综合复习资料一、填空题1．由长期统计资料得知，某一地区在4月份下雨（记作事件A ）的概率为4/15，刮风（记作事件B ）的概率为7/15，刮风又下雨（记作事件C ）的概率为1/10。
则：=)|(B A P ；=)(B A P 。
2．一批产品共有8个正品2个次品，从中任取两次，每次取一个（不放回）。
则：（1）第一次取到正品，第二次取到次品的概率为；（2）恰有一次取到次品的概率为。
3．设随机变量)2,1(~2N X 、)3(~P Y （泊松分布），且相互独立，则：)2(Y X E += ； )2(Y X D + 。
4．设随机变量X 的概率分布为X －1 0 1 2 p k 0.1 0.2 0.3 p 则： =EX ；DX = ；Y X =-21的概率分布为。
5．设一批产品中一、二、三等品各占60%、30%、10%，从中任取一件，结果不是三等品，则取到的是二等品的概率为。
6．设Y X 、相互独立，且概率分布分别为 2)1(1)(--=x ex f π(-∞<<+∞x ) ； ?≤≤=其它，，0312/1)(y y ?则：)(Y X E += ； )32(2Y X E -= 。
7．已知随机变量X 的分布列为 X 0 1 2 P k 0.3 0.5 0.2 则：随机变量X 的期望EX = ；方差DX = 。
8．已知工厂A B 、生产产品的次品率分别为2%和1%，现从由A B 、工厂分别占30%和70%的一批产品中随机抽取一件，发现是次品，则该产品是B 工厂的概率为。
9．设Y X 、的概率分布分别为≤≤=其它，，0514/1)(x x ?；?()y e y y y =>≤-40004，，则：)2(Y X E += ；)4(2Y XE -= 。
10．设随机变量X 的概率密度为≤=其它，，02cos )(πx x A x f ，则：系数A = 。
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概率论与数理统计填空题1. 一箱中有6个球，其中有红色球2个，白色球4个，从中任取出3个球，X 表示取出的3只球中的红球数，求： （1）X 的分布律；（2）X 的分布函数()F x ；（3）期望()E X ；（4）方差()D X 。
答案：（1）X 的分布律为：34361{0}5C P X C ===，1224363{1}5C C P X C ===， 2124361{2}5C C P X C === （2）X 的分布函数为0,01,015()4,1251,2x x F x x x <⎧⎪⎪≤<⎪=⎨⎪≤<⎪⎪≥⎩（3）()=1E X（4）27()=5E X ，2()=5D X2.设随机变量X 的分布律为111{1},{0},{1}442P X P X P X =-=====；Y 的分布律为21{0},{1},P Y P Y ====且X 与Y 独立, 令Z X Y =+，则Z 的分布律为答案：3.设,A B 为随机事件，且()0.5,()0.6,()0.8,P A P B P B A ===则()P A B ⋃= 。
答案：0.74.设随机变量(,)X Y 的联合概率密度为23,02,01(,),20,xy x y f x y ⎧≤≤≤≤⎪=⎨⎪⎩其它则()E XY = 。
答案：15.设X 服从参数为1的指数分布(1)e ，Y 服从二项分布(10,0.5)B ， 则()()D Y D X = 。
答案： 2.56.设总体X 服从均匀分布(,2)U θθ+，其中0θ>为未知参数，1,,n X X 为来自总体X 的样本，X 为样本均值，则θ的矩估计量为 。
答案：1X -7.随机变量X 与Y 独立同分布，且X 的分布律为{1}0.2,P X =={2}0.8P X ==，则{3}P X Y +≤= 。
答案：0.368.设A,B,C 为三个随机事件，则“A,B,C 中只有一个发生”可表示为 。
答案：AB C ABC A BC ⋃⋃9.某袋中有9个红球、3个白球，甲乙二人依次从袋中取一球，每人取后不放回，则乙取到白球的概率为 。
答案：0.2510.设 A ，B ，C 为随机事件，用A,B,C 的关系表示“A,B 都发生，而C 不发生”为 。
答案： ABC11.设 A ，B ，C 为随机事件，用A,B,C 的关系表示“A,B,C 都发生”为 。
答案： ABC12.已知()0.8,()0.4P A B P A ⋃==，且A ，B 相互独立，则()P B = 。
答案：2313.已知()0.9,()0.4P A B P B ⋃==，且A ，B 相互独立，则()P A = 。
答案：5614.设随机变量X 的密度为2,02()0,Ax x f x ⎧≤≤=⎨⎩其它，则常数A= 。
答案：3815.设随机变量X 的密度为2,12()0,Ax x f x ⎧-≤≤=⎨⎩其它，则常数A= 。
答案：1316.设随机变量X 的分布函数为30,0(),01x F x x x <⎧⎪=≤≤⎨⎪⎩1,其它.则1{1}2P X -<<= 。
答案：1817.随机变量X 的分布函数为20,0(),01x F x x x <⎧⎪=≤≤⎨⎪⎩1,其它，则1{0}3P X <<= 。
答案：1918.设,X Y 为随机变量，()25,()36,D X D Y ==0.4XY ρ=，则()D X Y += 。
答案：8519.设随机变量(,)X Y 的联合密度为3,01,0(,)0,x x y xf x y <<<<⎧=⎨⎩其它，则()E XY = 。
答案：0.320.设随机变量(,)X Y 的联合密度为6,01,0(,)0,x y x yf x y <<<<⎧=⎨⎩其它，则()E XY = 。
答案：0.421.设A,B,C 为三个随机事件，则“A,B,C 中至少有一个发生”可表示为 。
答案：A B C ⋃⋃设A,B,C 为三个随机事件，则“A,B,C 中只有两个发生”可表示为 答案：ABC ABC A BC ⋃⋃某袋中有7个红球、3个白球，甲乙二人依次从袋中取一球，每人取后不放回，则乙取到红球的概率为 。
答案：0.7。
答案：3.76设X 的概率密度函数为23,12()70,x x f x ⎧<<⎪=⎨⎪⎩其他，则当12x <<时，X 的分布函数()F x = 。
答案：、31(1)7x -设随机变量~(2,3)X N ，Y ＝2X ＋1，则~Y 。
答案：N(5,12)一箱中有同类产品8件，其中6件为正品，2件为次品。
从中任取2件，X 表示取出的正品数。
则X 的数学期望()E X = 。
答案：3222.设X 的分布函数为0, 0 0.4, 01()0.6, 121, 2x x F x x x <⎧⎪≤<⎪=⎨≤<⎪⎪≥⎩，则X 的方差()D X = 。
答案：0.823.设随机变量X 与Y 独立同分布，且X 的分布律为1{1},4P X =-=3{1}4P X ==，则Z XY =的数学期望()E Z = 。
答案：1424.在正态总体~(30,4)X N 中随机抽取一个容量为16的样本，X 为样本均值，则{2931}P X <<= 。
（(0.5)0.6915,(2)0.9770Φ=Φ=） 答案：0.95425.设总体X 服从（0-1）分布，即~(1,)X B p ，现取得5个样本观测值分别为1,0,0,1,0，则p 的矩估计值为 。
答案：2526.将一枚骰子掷3次，则只有一次出现“6”点的概率为 （化简出值）。
答案：2572选择题1.在正态总体~(30,4)X N 中随机抽取一个容量为16的样本，X 为样本均值，则{2931}P X <<=（ B ）。
（(0.5)0.6915,(2)0.9770Φ=Φ=）(A) 0.383 (B) 0.954 (C) 0 (D) 1 2.设X 服从参数为λ的Poisson 分布，即~()X P λ，则()()E X D X =（ A ）。
(A) 1 (B) λ (C)1λ(D) 0 3.设随机变量~(2,4),~(0,1),,X N Y N X Y 且相互独立，2Z X Y =+，则~Z （ B ）。
(A) N(6,8) (B) N(2,8) (C) N(0,6) (D) N(0,46)4.已知1()4P A =,1()6P B =,1()2P B A =,则()P A B ⋃=（ C ）(A) 16 (B) 14 (C) 13 (D) 125.有一大批糖果，设袋装糖果的质量近似地服从正态分布()2,N μσ，其中2,μσ均未知。
现从中随机地取16袋，测得样本均值x =503(g)，样本标准差s=5(g), 则μ的置信度为0.99的置信区间是 （ B ）(A) 0.0050.00555(503(16),503(16))44t t -+ (B) 0.0050.00555(503(15),503(15))44t t -+(C) 0.010.0155(503(16),503(16))44t t -+ (D) 0.010.0155(503(15),503(15))44t t -+6.每次试验成功率为p ，独立重复进行试验直至第七次试验才取得四次成功的概率为（ B ）(A) 4437(1)C p p - (B) 3436(1)C p p - (C) 4426(1)C p p - (D) 3336(1)C p p -设连续型随机变量X 的概率密度函数为212(1),12().0,x f x x⎧-≤≤⎪=⎨⎪⎩其它求：（1）概率3{}2P X >；（2）数学期望()E X ；（3）方差()D X 。
解：（1）2212(13232{}).23x P X dx ->==⎰ (2) 2212(11())32ln 2x x E X dx -==-⎰(3) 222212(118())3x x E X dx -==⎰设甲盒中有3个红球2个白球，乙盒中有个2个红球4个白球，先从甲盒中任取2球放入乙盒，再从乙盒中任取一个球。
求：（1）从乙中取到的是一个白球的概率； （2）若已知从乙中取到的是一个白球，求从甲中取出的是两个白球的条件概率。
解：（1）A: 从乙中取到的是一个白球 :k B k k 从甲中恰取出个白球，=0,1,221122332222205554563()()(|)8885k k k C C C C P A P B P A B C C C ===⋅+⋅+⋅=∑，（2） 222522268()(|)1(|)3()85C C P B P A B P B A P A ⋅===设某种元件的寿命X (单位：小时)服从指数分布，其概率密度为13001,0()3000,0x e x f x x -⎧>⎪=⎨⎪≤⎩。
（1）求元件寿命超过600小时的概率；（2）若有3个这种元件在独立的工作，求其中至少有2个元件的寿命超过600小时的概率。
解：（1）23006001{600}300xP X e dx e -+∞->==⎰（2）至少有2个元件的寿命超过600小时的概率为 222223463()(1)()32C e e e e e ------+=-设在10只同类型零件中有2只是次品，在其中不放回地取3次，每次任取一只，设X 表示取出次品的只数。
求X 的分布函数()F x 。
解：X 的分布律为：383107(0)15C P X C ===，12283107(1)15C C P X C ===，21283101(2)15C C P X C ===X 的分布函数为0,07,0115()14,12151,2x x F x x x <⎧⎪⎪≤<⎪=⎨⎪≤<⎪⎪≥⎩设总体X 具有密度函数(1), 01(;)0, x x f x θθθ⎧+<<=⎨⎩其它，其中θ是未知参数，1(,,)n X X ⋯ 是来自总体X 的样本。
求：（1）θ的矩估计量； （2）θ的极大似然估计量。
解：（1）11()(1)d 2E X x x x θθθθ+=+=+⎰ 令12X θθ+=+, 解得21ˆ.1X X θ-=- （2）11()(,)(1)(,,),nn i n i L f x x x θθθθ===+∏1ln ()ln(1)ln ni i L n x θθθ==++∑1d ln ()ln 0d 1n ii L nx θθθ==++∑令，解得11.ln nii nxθ==--∑ 所以1ˆ1.ln nii nXθ==--∑设总体X 具有概率密度1,01()0,x f x <<=⎪⎩其他 其中0θ>为未知参数，1,,n X X 为取自总体X 的一个简单随机样本，求: (1)θ的矩估计量；（2）θ的最大似然估计量。