导数大题练习题答案

导数练习题（Ｂ)答案１.（本题满分１2分）已知函数d x b a c bx ax x f +--++=)23()(23的图象如图所示． （I ）求d c ,的值;（II)若函数)(x f 在2=x 处的切线方程为0113=-+y x ,求函数)(x f 的解析式;（III ）在（II)的条件下,函数)(x f y =与m x x f y ++'=5)(31的图象有三个不同的交点，求m 的取值范围． ２．（本小题满分１２分)已知函数)(3ln )(R a ax x a x f ∈--=． （Ｉ）求函数)(x f 的单调区间；（II ）函数)(x f 的图象的在4=x 处切线的斜率为,23若函数]2)('[31)(23m x f x x x g ++=在区间(1，3)上不是单调函数,求m 的取值范围.3．(本小题满分1４分)已知函数c bx ax x x f +++=23)(的图象经过坐标原点,且在1=x 处取得极大值. (I ）求实数a 的取值范围；(I Ｉ)若方程9)32()(2+-=a x f 恰好有两个不同的根，求)(x f 的解析式;（I ＩI)对于(I Ｉ)中的函数)(x f ，对任意R ∈βα、,求证:81|)sin 2()sin 2(|≤-βαf f . ４．（本小题满分12分）已知常数0>a ，e 为自然对数的底数,函数x e x f x -=)(，x a x x g ln )(2-=． （Ｉ）写出)(x f 的单调递增区间，并证明a e a >; （II)讨论函数)(x g y =在区间),1(a e 上零点的个数.５.(本小题满分14分）已知函数()ln(1)(1)1f x x k x =---+. (I)当1k =时,求函数()f x 的最大值;（I Ｉ)若函数()f x 没有零点，求实数k 的取值范围；6．(本小题满分１2分）已知2x =是函数2()(23)x f x x ax a e =+--的一个极值点(⋅⋅⋅=718.2e )． （I)求实数a 的值;(II ）求函数()f x 在]3,23[∈x 的最大值和最小值.7．(本小题满分14分)已知函数)0,(,ln )2(4)(2≠∈-+-=a R a x a x x x f(Ｉ）当a=18时,求函数)(x f 的单调区间； （II)求函数)(x f 在区间],[2e e 上的最小值．８.(本小题满分12分）已知函数()(6)ln f x x x a x =-+在(2,)x ∈+∞上不具有．．．单调性. （I)求实数a 的取值范围; （I Ｉ)若()f x '是()f x 的导函数，设22()()6g x f x x '=+-,试证明：对任意两个不相等正数12x x 、，不等式121238|()()|||27g x g x x x ->-恒成立． 9．（本小题满分12分）已知函数.1,ln )1(21)(2>-+-=a x a ax x x f(Ｉ）讨论函数)(x f 的单调性;（II)证明:若.1)()(,),,0(,,521212121->--≠+∞∈<x x x f x f x x x x a 有则对任意10.（本小题满分14分）已知函数21()ln ,()(1),12f x x a xg x a x a =+=+≠-．(I)若函数(),()f x g x 在区间[1,3]上都是单调函数且它们的单调性相同，求实数a 的取值范围;（ＩI ）若(1,]( 2.71828)a e e ∈=，设()()()F x f x g x =-，求证:当12,[1,]x x a ∈时,不等式12|()()|1F x F x -<成立.１1．(本小题满分12分)设曲线C :()ln f x x ex =-（ 2.71828e =⋅⋅⋅），()f x '表示()f x 导函数． (Ｉ）求函数()f x 的极值；（II ）对于曲线C 上的不同两点11(,)A x y ，22(,)B x y ，12x x <,求证：存在唯一的0x 12(,)x x ∈,使直线AB 的斜率等于0()f x '.１2．(本小题满分14分）定义),0(,,)1(),(+∞∈+=y x x y x F y ,（I ）令函数22()(3,log (24))f x F x x =-+，写出函数()f x 的定义域； （ＩI)令函数322()(1,log (1))g x F x ax bx =+++的图象为曲线C ，若存在实数b 使得曲线C 在)14(00-<<-x x 处有斜率为-8的切线,求实数a 的取值范围;（ＩII ）当,*x y ∈N 且x y <时,求证(,)(,)F x y F y x >.１．解:函数)(x f 的导函数为 b a c bx ax x f 2323)(2'--++= …………（2分) (I)由图可知 函数)(x f 的图象过点（０,３),且0)1('=f 得⎩⎨⎧==⇒⎩⎨⎧=--++=0323233c d b a c b a d …………（4分)（II ）依题意3)2('-=f 且5)2(=f⎩⎨⎧=+--+-=--+534648323412b a b a b a b a解得 6,1-==b a 所以396)(23++-=x x x x f …………(8分）(I ＩI ）9123)(2+-='x x x f .可转化为:()m x x x x x x +++-=++-534396223有三个不等实根,即:()m x x x x g -+-=8723与x 轴有三个交点； 42381432--=+-='x x x x x g()m g m g --=-=⎪⎭⎫ ⎝⎛164,273． …………(10分) 当且仅当()01640276832<--=>-=⎪⎭⎫ ⎝⎛m g m g 且时，有三个交点, 故而,276816<<-m 为所求. …………(1２分）２.解：（I ）)0()1()('>-=x xx a x f ﻩ （2分) 当(][)+∞>,1,1,0)(,0减区间为的单调增区间为时x f a当[)(];1,0,,1)(,0减区间为的单调增区间为时+∞<x f a 当a=1时，)(x f 不是单调函数ﻩ（５分) （II)32ln 2)(,22343)4('-+-=-==-=x x x f a a f 得 2)4()(',2)22(31)(223-++=∴-++=∴x m x x g x x mx x g (６分）2)0(',)3,1()(-=g x g 且上不是单调函数在区间⎩⎨⎧><∴.0)3(',0)1('g g ﻩ（8分）⎪⎩⎪⎨⎧>-<∴,319,3m m (10分))3,319(--∈m (12分)3.解:(Ｉ),23)(,00)0(2b ax x x f c f ++='=⇒=320)1(--=⇒='a b f),323)(1()32(23)(2++-=+-+='∴a x x a ax x x f由33210)(+-==⇒='a x x x f 或,因为当1=x 时取得极大值，ﻩ所以31332-<⇒>+-a a ,所以)3,(:--∞的取值范围是a ；…………(４分）（ﻩ依题意得：9)32()32(2762+-=++a a a ,解得：9-=a ﻩ所以函数)(x f 的解析式是:x x x x f 159)(23+-=…………（10分）(III)对任意的实数βα,都有,2sin 22,2sin 22≤≤-≤≤-βα在区间[-2，2]有:230368)2(,7)1(,7430368)2(=+-==-=---=-f f f ﻩ ,7)1()(=f x f 的最大值是7430368)2()(-=---=-f x f 的最小值是 函数]2,2[)(-在区间x f 上的最大值与最小值的差等于81， ﻩ所以81|)sin 2()sin 2(|≤-βαf f ．…………(14分）４．解:（I)01)(≥-='x e x f ，得)(x f 的单调递增区间是),0(+∞, …………（2分） ∵0>a ，∴1)0()(=>f a f ，∴a a e a >+>1，即a e a >. …………(4分) （II)xa x a x x a x x g )22)(22(22)(-+=-='，由0)(='x g ，得22ax =,列表x)22,0(a 22a ),22(+∞a)(x g '-0 + )(x g 单调递减 极小值 单调递增当22ax =时,函数)(x g y =取极小值)2ln 1(2)22(aa a g -=,无极大值. …………（6分)由(I)a e a >,∵⎪⎩⎪⎨⎧>>22a a e e aa ,∴22a e a>,∴22ae a >01)1(>=g ，0))(()(22>-+=-=a e a e a e e g a a a a…………(8分）(i)当122≤a,即20≤<a 时,函数)(x g y =在区间),1(a e 不存在零点 (ｉi)当122>a ，即2>a 时若0)2ln 1(2>-a a ，即e a 22<<时，函数)(x g y =在区间),1(a e 不存在零点若0)2ln 1(2=-a a ，即e a 2=时,函数)(x g y =在区间),1(a e 存在一个零点e x =;若0)2ln 1(2<-a a ，即e a 2>时,函数)(x g y =在区间),1(a e 存在两个零点；综上所述，)(x g y =在(1,)a e 上,我们有结论:当02a e <<时,函数()f x 无零点；当2a e = 时，函数()f x 有一个零点； 当2a e >时,函数()f x 有两个零点.…………（12分）５.解:(I)当1k =时,2()1x f x x -'=-)(x f 定义域为(１,＋∞）,令()0,2f x x '==得， ………………（2分)∵当(1,2),x ∈时()0f x '>，当(2,),x ∈+∞时()0f x '<, ∴()(1,2)f x 在内是增函数,(2,)+∞在上是减函数∴当2x =时，()f x 取最大值(2)0f = ………………（４分） （II ）①当0k ≤时，函数ln(1)y x =-图象与函数(1)1y k x =--图象有公共点,∴函数()f x 有零点，不合要求; ………………（8分）②当0k >时,1()11()111kk x k kx k f x k x x x +-+-'=-==---- ………………(6分)令1()0,k f x x k +'==得，∵1(1,),()0,k x f x k +'∈>时1(1,),()0x f x k'∈++∞<时，∴1()(1,1)f x k +在内是增函数，1[1,)k++∞在上是减函数,∴()f x 的最大值是1(1)ln f k k+=-,∵函数()f x 没有零点，∴ln 0k -<,1k >,因此，若函数()f x 没有零点,则实数k 的取值范围(1,)k ∈+∞.………………(10分） 6.解:(I)由2()(23)x f x x ax a e =+--可得22()(2)(23)[(2)3]x x x f x x a e x ax a e x a x a e '=+++--=++--……（4分） ∵2x =是函数()f x 的一个极值点,∴(2)0f '=∴2(5)0a e +=,解得5a =- ……………(６分)（ＩI ）由0)1)(2()(>--='x e x x x f ，得)(x f 在)1,(-∞递增,在),2(+∞递增，由0)(<'x f ，得)(x f 在在)2,1(递减∴2)2(e f =是()f x 在]3,23[∈x 的最小值; ……………(8分)2347)23(e f =,3)3(e f = ∵)23()3(,0)74(4147)23()3(23233f f e e e e e f f >>-=-=-∴()f x 在]3,23[∈x 的最大值是3)3(e f =． ……………（12分）7.解:(Ⅰ)x x x x f ln 164)(2--=,xx x x x x f )4)(2(21642)('-+=--= ﻩ２分由0)('>x f 得0)4)(2(>-+x x ，解得4>x 或2-<x ﻩ注意到0>x ，所以函数)(x f 的单调递增区间是(4，+∞) 由0)('<x f 得0)4)(2(<-+x x ,解得-２<x <4，注意到0>x ，所以函数)(x f 的单调递减区间是]4,0(. 综上所述,函数)(x f 的单调增区间是（４，+∞），单调减区间是]4,0( ６分 (Ⅱ)在],[2e e x ∈时，x a x x x f ln )2(4)(2-+-=所以xax x x a x x f -+-=-+-=242242)('2，设a x x x g -+-=242)(2ﻩ当0<a 时,有△＝１６+4×208)2(<=-a a ，此时0)(>x g ,所以0)('>x f ，)(x f 在],[2e e 上单调递增， 所以a e e e f x f -+-==24)()(2min ﻩﻩ ８分 当0>a 时，△=08)2(2416>=-⨯-a a ， 令0)('>x f ,即02422>-+-a x x ,解得221a x +>或221a x -<;令0)('<x f ,即02422<-+-a x x ，解得221a -221ax +<<. ﻩ①若221a+≥2e ,即a ≥22)1(2-e 时， ﻩ)(x f 在区间],[2e e 单调递减,所以a e e e f x f 244)()(242min -+-==．②若2221e ae <+<，即222)1(2)1(2-<<-e a e 时间， )(x f 在区间]221,[a e +上单调递减，在区间],221[2e a +上单调递增， ﻩ所以min )(xf )221(a f +=)221ln()2(322a a a a +-+--=． ③若221a+≤e ，即a <0≤22)1(-e 时,)(x f 在区间],[2e e 单调递增，ﻩ所以a e e e f x f -+-==24)()(2min综上所述，当a ≥222)1(-e 时，a e a x f 244)(24min -+-=；ﻩ当222)1(2)1(2-<<-e a e 时,)221ln()2(322)(min aa a a x f +-+--=；当a ≤2)1(2-e 时,a e e x f -+-=24)(2min1４分8.解:（Ｉ）226()26a x x af x x x x-+'=-+=, ………………(２分）∵()f x 在(2,)x ∈+∞上不具有．．．单调性,∴在(2,)x ∈+∞上()f x '有正也有负也有0, 即二次函数226y x x a =-+在(2,)x ∈+∞上有零点 ………………(４分） ∵226y x x a =-+是对称轴是32x =,开口向上的抛物线，∴222620y a =⋅-⋅+<的实数a 的取值范围(,4)-∞ ………………（６分） (ＩI ）由（I ）22()2a g x x xx =+-，方法１：2222()()62(0)a g x f x x x x x x '=-+=+->, ∵4a <，∴323233444244()22a x x g x x x x x x -+'=-+>-+=，…………(8分）设2344()2h x x x =-+,3448124(23)()x h x x x x -'=-=()h x 在3(0,)2是减函数，在3(,)2+∞增函数,当32x =时,()h x 取最小值3827∴从而()g x '3827>，∴38(())027g x x '->,函数38()27y g x x =-是增函数,12x x 、是两个不相等正数,不妨设12x x <，则22113838()()2727g x x g x x ->-∴212138()()()27g x g x x x ->-，∵210x x ->，∴1212()()3827g x g x x x ->-∴1212()()g x g x x x --3827>,即121238|()()|||27g x g x x x ->- ………………（12分)方法2：11(,())M x g x 、22(,())N x g x 是曲线()y g x =上任意两相异点,121222121212()()2()2g x g x x x ax x x x x x -+=+--,12x x +>4a <12221212122()22x x a a x x x x x x +∴+->-1242x x >- ………（8分）设0t t =>，令32()244MN k u t t t ==+-,()4(32)u t t t '=-, 由()0u t '>，得2,3t >由()0u t '<得20,3t <<()u t ∴在)32,0(上是减函数，在),32(+∞上是增函数，)(t u ∴在32=t 处取极小值2738，38()27u t ∴≥，∴所以1212()()g x g x x x --3827>即121238|()()|||27g x g x x x ->- ………………（１2分)9.解（1）)(x f 的定义域为),0(+∞,xa x x x a ax x x a a x x f )1)(1(11)('2-+-=-+-=-+-= 2分（i ）若2,11==-a a 即,则 .)1()('2xx x f -=故)(x f 在),0(+∞单调增加． （ｉｉ)若.0)(',)1,1(,21,1,11<-∈<<><-x f a x a a a 时则当故而)1,1()(,0)(',),1()1,0(->+∞∈-∈a x f x f x a x 在故时及当单调减少,在（０,a-１), ),1(+∞单调增加.（ｉi ｉ)若),1(),1,0(,)1,1()(,2,11+∞-->>-a a x f a a 在单调减少在同理可得即 单调增加．（I Ｉ)考虑函数x x f x g +=)()( .ln )1(212x x a ax x +-+-= 由 .)11(1)1(121)1()('2---=---⋅≥-+--=a a xa x x a a x x g 由于单调增加在即故),0()(,0)(',5+∞><x g x g a a ，从而当021>>x x 时有 ,0)()(,0)()(212121>-+->-x x x f x f x g x g 即故1)()(2121->--x x x f x f ，当210x x <<时，有1)()()()(12122121->--=--x x x f x f x x x f x f ﻩ10．解：（I ）(),()1af x xg x a x''=+=+， ……………（2分)∵函数(),()f x g x 在区间[1,3]上都是单调函数且它们的单调性相同,∴当[1,3]x ∈时,2(1)()()()0a x a f x g x x++''⋅=≥恒成立， ……………（4分) 即2(1)()0a x a ++≥恒成立, ∴21a a x >-⎧⎨≥-⎩在[1,3]x ∈时恒成立,或21a a x <-⎧⎨≤-⎩在[1,3]x ∈时恒成立, ∵91x -≤≤-，∴1a >-或9a ≤- ………………（6分）(II)21()ln ,(1)2F x x a x a x =+-+,()(1)()(1)a x a x F x x a xx--'=+-+=∵()F x 定义域是(0,)+∞,(1,]a e ∈，即1a >∴()F x 在(0,1)是增函数,在(1,)a 实际减函数，在(,)a +∞是增函数 ∴当1x =时,()F x 取极大值1(1)2M F a ==--，当x a =时，()F x 取极小值21()ln 2m F a a a a a ==--, ………………（8分)∵12,[1,]x x a ∈,∴12|()()|||F x F x M m M m -≤-=- ………………（10分） 设211()ln 22G a M m a a a =-=--，则()ln 1G a a a '=--,∴1[()]1G a a''=-,∵(1,]a e ∈，∴[()]0G a ''>∴()ln 1G a a a '=--在(1,]a e ∈是增函数，∴()(1)0G a G ''>=∴211()ln 22G a a a a =--在(1,]a e ∈也是增函数 ………………(１２分)∴()()G a G e ≤，即2211(1)()1222e G a e e -≤--=-, 而22211(1)(31)1112222e e e ----=-<-=，∴()1G a M m =-< ∴当12,[1,]x x a ∈时，不等式12|()()|1F x F x -<成立． ………………（1４分)11.解：(I)11()0ex f x e x x -'=-==,得1x e=当x 变化时,()f x '与()f x 变化情况如下表:∴当1x e=时，()f x 取得极大值()2f e=-,没有极小值; …………(4分）(I Ｉ）(方法1）∵0()AB f x k '=，∴2121021ln ln ()1x x e x x e x x x ----=-,∴21201ln 0x x xx x --= 即20211ln ()0x x x x x --=,设2211()ln ()xg x x x x x =--211211()ln ()x g x x x x x =--，1/211()ln 10x x g x x =->,1()g x 是1x 的增函数， ∵12x x <，∴2122222()()ln ()0xg x g x x x x x <=--=；222211()ln ()x g x x x x x =--,2/221()ln 10x x g x x =->,2()g x 是2x 的增函数, ∵12x x <，∴1211111()()ln ()0xg x g x x x x x >=--=,∴函数2211()ln ()xg x x x x x =--在12(,)x x 内有零点0x , …………（10分）又∵22111,ln 0x x x x >∴>，函数2211()ln ()xg x x x x x =--在12(,)x x 是增函数，∴函数2121()ln x x xg x x x -=-在12(,)x x 内有唯一零点0x ，命题成立…………（1２分)（方法2）∵0()AB f x k '=,∴2121021ln ln ()1x x e x x e x x x ----=-，即020112ln ln 0x x x x x x -+-=,012(,)x x x ∈,且0x 唯一设2112()ln ln g x x x x x x x =-+-,则1121112()ln ln g x x x x x x x =-+-， 再设22()ln ln h x x x x x x x =-+-，20x x <<,∴2()ln ln 0h x x x '=->∴22()ln ln h x x x x x x x =-+-在20x x <<是增函数 ∴112()()()0g x h x h x =<=,同理2()0g x >∴方程2112ln ln 0x x x x x x -+-=在012(,)x x x ∈有解 …………(10分） ∵一次函数在12(,)x x 2112()(ln ln )g x x x x x x =-+-是增函数∴方程2112ln ln 0x x x x x x -+-=在012(,)x x x ∈有唯一解，命题成立………(12分) 注:仅用函数单调性说明,没有去证明曲线C 不存在拐点,不给分.12.解：(I ）22log (24)0x x -+>,即2241x x -+> ……………………（2分） 得函数()f x 的定义域是(1,3)-， ……………………(４分) （I Ｉ）22322()(1,log (1))1,g x F x ax bx x ax bx =+++=+++ 设曲线00(41)C x x -<<-在处有斜率为-8的切线， 又由题设,23)(,0)1(log 2232b ax x x g bx ax x ++='>+++∴存在实数b 使得⎪⎩⎪⎨⎧>+++-<<--=++1114823020300020bx ax x x b ax x 有解， ……………………（6分）由①得,238020ax x b ---=代入③得082020<---ax x ，200028041x ax x ⎧++>⎪∴⎨-<<-⎪⎩由有解, ……………………（8分）方法1:0082()()a x x <-+-,因为041x -<<-，所以0082()[8,10)()x x -+∈-， 当10a <时，存在实数b ,使得曲线Ｃ在)14(00-<<-x x 处有斜率为-8的切线………………（10分）方法２:得08)1()1(208)4()4(222>+-⨯+-⨯>+-⨯+-⨯a a 或，1010,10.a a a ∴<<∴<或 ………………(10分） 方法3:是222(4)(4)802(1)(1)80a a ⎧⨯-+⨯-+≤⎪⎨⨯-+⨯-+≤⎪⎩的补集,即10a < ………………（１0分）（III)令2)1ln(1)(,1,)1ln()(xx x xx h x x x x h +-+='≥+=由 又令,0),1ln(1)(>+-+=x x xxx p 0)1(11)1(1)(22<+-=+-+='∴x x x x x p ， ),0[)(+∞∴在x p 单调递减． ……………………（12）分0()(0)0,1()0,x p x p x h x '∴><=∴≥<当时有当时有),1[)(+∞∴在x h 单调递减，①②③-- -- x y y x y x x y yy x x y x )1()1(),1ln()1ln(,)1ln()1ln(,1+>+∴+>+∴+>+<≤∴有时， ).,(),(,x y F y x F y x N y x ><∈∴*时且当 ………………（１4分）。