2017年中考数学复习专题突破《最值问题》测试题(含答案)
2017中考数学圆的最值问题(含答案)名师制作优质教学资料
D ．r=3
5．（ 2010?苏州）如图，已知 A 、B 两点的坐标分别为（ 2，0）、（ 0，2），⊙ C 的圆心坐标 为（﹣ 1，0），半径为 1．若 D 是⊙ C 上的一个动点，线段 DA 与 y 轴交于点 E，则 △ ABE
面积的最小值是（
7．（ 2013?枣庄）如图，已知线段 OA 交⊙ O 于点 B，且 OB=AB ，点 P 是⊙ O 上的一个动
点，那么∠ OAP 的最大值是（
）
A ． 90° B． 60° C． 45° D． 30°
二．填空题（共 12 小题） 8．（ 2013?武汉）如图， E， F 是正方形 ABCD 的边 AD 上两个动点，满足 BE 交 AG 于点 H ．若正方形的边长为 2，则线段 DH 长度的最小值是
直径画⊙ O 分别交 AB ， AC 于 E， F，连接 EF，则线段 EF 长度的最小值为
．
11．（2015 ?峨眉山市一模）如图，已知直线 l 与⊙ O 相离， OA ⊥ l 于点 A ， OA=10 ， OA 与⊙ O 相交于点 P， AB 与 ⊙ O 相切于点 B，BP 的延长线交直线 l 于点 C．若⊙ O 上存在点 Q，使 △ QAC 是以 AC 为底边的等腰三角形，则半
）
A和D
A ． 2 B． 1 C．
D．
6．（ 2013?市中区模拟）如图，已知 A 、B 两点的坐标分别为（ 8， 0）、（0，﹣ 6），⊙ C 的 圆心坐标为（ 0，7），半径为 5．若 P 是⊙ C 上的一个动点，线段 PB 与 x 轴交于点 D ，则
△ ABD 面积的最大值是（
）
A ． 63 B． 31 C． 32 D． 30
．
15．（ 2013?内江）在平面直角坐标系 xOy 中，以原点 O 为圆心的圆过点 A（ 13，0），直线 y=kx ﹣ 3k+4 与⊙ O 交于
2017中考数学题及答案
2017中考数学题及答案2017年中考是许多中学生的重要转折点，其中数学科目是考试中最重要的一门科目。
今天我们将为您整理2017年中考数学题及答案，希望对您的复习有所帮助。
第一部分：选择题1.如果一个数的7倍加4得到33，那这个数是多少？A. 3B. 4C. 5D. 6答案：D. 6。
解析：设这个数为 x，则有 7x + 4 = 33，解方程可得 x = 6。
2.一个长方形的长是宽的1.5倍，若宽为6米，则长为多少米？A. 6B. 8C. 9D. 12答案：C. 9。
解析：设长为 x，则宽为 6 米，由题意可得x = 1.5 × 6 = 9。
3.一公斤苹果售价8元，现有100元，可以买多少公斤苹果？A. 10B. 11C. 12D. 13答案：C. 12。
解析：设可买的苹果数量为 x，则有 8x = 100，解方程可得 x = 12。
第二部分：填空题4.某班级有 50 名学生，其中男生占总数的 40%，那么女生的人数为 ______ 人。
答案：30。
解析：女生人数占 60%，即0.6×50=30 人。
5.一块土地面积为 60 平方米，如果将其等分为正方形，每个正方形的面积为 ______ 平方米。
答案：4。
解析：设每个正方形的边长为 x，则面积为 x^2。
根据题意可得x^2 = 60 ÷ 15 = 4，解方程可得 x = 2。
6.已知两个数的和为 72，差为 8，那么这两个数分别是 ______ 和______。
答案：40 和 32。
解析：设两个数为 x 和 y，则有 x + y = 72，x - y = 8。
解这个方程组可得 x = 40，y = 32。
第三部分：解答题7.现有 2 个水桶，第1个水桶的容量是第2个水桶容量的3倍，若第2个水桶的水满了，倒入第1个水桶后，第1个水桶正好装满。
求两个水桶的容量分别是多少？答案：第2个水桶容量为 x，第1个水桶容量为 3x。
2017年中考初三年级数学经典试题和答案
2017年中考数学经典试题集一、填空题：1、已知01x ≤≤.(1)若62=-y x ，则y 的最小值是 ； (2).若223x y +=，1xy =，则x y -＝ .答案：（1）-3；（2）-1.2、用m 根火柴可以拼成如图1所示的x 个正方形，还可以拼成如图2所示的2y 个正方形，那么用含x 的代数式表示y ，得y ＝_____________．答案：y ＝53x －51.3、已知m 2－5m －1＝0，则2m 2－5m ＋1m 2＝ .答案：28.4、____________________范围内的有理数经过四舍五入得到的近似数3.142.答案：大于或等于3.1415且小于3.1425.5、如图：正方形ABCD 中，过点D 作DP 交AC 于点M 、 交AB 于点N ，交CB 的延长线于点P ，若MN ＝1，PN ＝3，则DM 的长为 .答案：2.6、在平面直角坐标系xOy 中，直线3+-=x y 与两坐标轴围成一个△AOB。
现将背面完全相同，正面分别标有数1、2、3、21、31的5张卡片洗匀后，背面朝上，从中任取一张，将该卡片上的数作为点P 的横坐标，将该数的倒数作为点P 的纵坐标，则点P 落在△AOB 内的概率为 . 答案：53. 7、某公司销售A 、B 、C 三种产品，在去年的销售中，高新产品C 的销售金额占总销售金额的40%。
由于受国际金融危机的影响，今年A 、B 两种产品的销售金额都将比去年减少20%，因而高新产品C 是今年销售的重点。
若要使今年的总销售金额与去年持平，那么今年高新产品C 的销售金额应比去年增加 %. 答案：30.8、小明背对小亮按小列四个步骤操作：（1）分发左、中、右三堆牌，每堆牌不少于两张，且各堆牌现有的张数相同； （2）从左边一堆拿出两张，放入中间一堆；（3）从右边一堆拿出两张，放入中间一堆；（4）左边一堆有几张牌，就从中间一堆拿几张牌放入左边一堆，当小亮知道小明操作的步骤后，便准确地说出中间一堆牌现有的张数，你认为中间一堆牌现有的张数是 . 答案：6.9、某同学在使用计算器求20个数的平均数时，错将88误输入为8，那么由此求出的平均数与实际平均数的差为 .… ……图1 图2第19题图P N M DCB A答案：-4.10、在平面直角坐标系中，圆心O 的坐标为（-3，4），以半径r 在坐标平面内作圆， （1）当r 时，圆O 与坐标轴有1个交点； （2）当r 时，圆O 与坐标轴有2个交点； （3）当r 时，圆O 与坐标轴有3个交点； （4）当r 时，圆O 与坐标轴有4个交点； 答案：（1）r=3； （2）3＜r ＜4； （3）r=4或5； （4）r ＞4且r ≠5.二、选择题：1、图(二)中有四条互相不平行的直线L 1、L2、L3、L 4所截出的七个角。
2017数学中考试题及答案
2017数学中考试题及答案2017年是数学中考的关键一年，各地的中考试卷都备受关注。
在这篇文章中，将为大家详细介绍2017年数学中考试题及答案。
通过对这些试题的解析和讲解，希望能帮助大家更好地理解数学知识和考试技巧。
1. 选择题部分题目一：在直角坐标系中，点A(1, 2)和B(4, 5)所在的直线段AB的长度是多少？A. 3B. 4C. 5D. 6答案：B. 4解析：使用勾股定理计算直线段AB的长度。
设AB的长度为d，则d^2 = (4-1)^2 + (5-2)^2 = 9 + 9 = 18，所以d = √18 ≈ 4。
题目二：已知等差数列的前n项和Sn = 3n^2 + 2n，则这个等差数列的公差是多少？A. 1B. 2C. 3D. 4答案：C. 3解析：等差数列的前n项和公式为Sn = (a1 + an) * n / 2，其中a1为首项，an为末项。
根据已知条件，我们可以列出等式3n^2 + 2n = (a1 + an) * n / 2。
由于这是一个等差数列，公差为d，所以an = a1 + (n-1)d。
代入等式得到3n^2 + 2n = (a1 + a1 + (n-1)d) * n / 2。
化简得3n^2 + 2n = (2a1 + (n-1)d) * n / 2。
比较等式两边的系数得到2a1 + (n-1)d = 3。
因为这是一个等差数列，所以d = 3。
2. 解答题部分题目三：已知等差数列的前n项和Sn = 2n^2 + n，求这个等差数列的首项。
解答：设等差数列的首项为a1，公差为d。
根据等差数列的前n项和公式Sn = (a1 + an) * n / 2，我们有2n^2 + n = (a1 + a1 + (n-1)d) * n / 2。
化简得2n^2 + n = (2a1 + (n-1)d) * n / 2。
比较等式两边的系数可得2a1 + (n-1)d = 2。
由此可得a1 + (n-1)d = 1。
中考初中数学最值问题典型例题(含答案分析)+初中数学压轴题及答案
中考数学最值问题总结考查知识点：1、“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，“点关于线对称”，“线段的平移”。
（2、代数计算最值问题 3、二次函数中最值问题） 问题原型：饮马问题 造桥选址问题 （完全平方公式 配方求多项式取值 二次函数顶点）出题背景变式：角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等。
解题总思路：找点关于线的对称点实现“折”转“直” 几何基本模型：条件：如下左图，A 、B 是直线l 同旁的两个定点．问题：在直线l 上确定一点P ，使PA PB +的值最小．方法：作点A 关于直线l 的对称点A '，连结A B '交l 于 点P ，则PA PB A B '+=的值最小例1、如图，四边形ABCD 是正方形，△ABE 是等边三角形，M 为对角线BD （不含B 点）上任意一点，将BM 绕点B 逆时针旋转60°得到BN ，连接EN 、AM 、CM ． （1）求证：△AMB ≌△ENB ；（2）①当M 点在何处时，AM+CM 的值最小；AB′Pl②当M点在何处时，AM+BM+CM的值最小，并说明理由；（3）当AM+BM+CM的最小值为时，求正方形的边长。
例2、如图13，抛物线y=ax2＋bx＋c(a≠0)的顶点为（1,4），交x轴于A、B，交y轴于D，其中B点的坐标为（3,0）（1）求抛物线的解析式（2）如图14，过点A的直线与抛物线交于点E，交y轴于点F，其中E点的横坐标为2，若直线PQ为抛物线的对称轴，点G为PQ上一动点，则x轴上是否存在一点H，使D、G、F、H四点围成的四边形周长最小.若存在，求出这个最小值及G、H的坐标；若不存在，请说明理由.（3）如图15，抛物线上是否存在一点T，过点T作x的垂线，垂足为M，过点M作直线M N∥BD，交线段AD于点N，连接MD，使△DNM∽△BMD，若存在，求出点T的坐标；若不存在，说明理由.例3、如图1，四边形AEFG与ABCD都是正方形，它们的边长分别为a,b(b≥2a),且点F在AD上（以下问题的结果可用a,b表示）（1）求S△DBF;(2) 把正方形AEFG绕点A逆时针方向旋转450得图2,求图2中的S△DBF;(3) 把正方形AEFG绕点A旋转任意角度,在旋转过程中,S△DBF是否存在最大值,最小值?如果存在,试求出最大值、最小值；如果不存在，请说明理由。
中考数学复习《最值问题》经典题型含答案
中考数学 最值问题一、选择题1．如图，⊙O 的半径为1，点O 到直线m 的距离为2，点P 是直线m 上的一个动点，PB 切⊙O 于点B ，则PB 的最小值是( B ) A ．1 B.3 C ．2 D. 5 ,第1题图) ,第2题图)2．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，AD ，CE 是△ABC 的两条中线，P 是AD 上一个动点，则下列线段的长度等于BP ＋EP 最小值的是( B )A ．BCB ．CEC ．AD D ．AC【解析】在△ABC 中，AB ＝AC ，AD 是△ABC 的中线，可得点B 和点C 关于直线AD 对称，连结CE ，交AD 于点P ，此时BP ＋EP 最小，为CE 的长，故选B.二、填空题3．如图，将直线y ＝－x 沿y 轴向下平移后的直线恰好经过点A (2，－4)，且与y 轴交于点B ，在x 轴上存在一点P 使得P A ＋PB 的值最小，则点P 的坐标为__(23，0)__．【解析】如图，作点B 关于x 轴对称的点B ′，连结AB ′，交x 轴于P ，则点P 即为所求，设直线y ＝－x 沿y 轴向下平移后的直线解析式为y ＝－x ＋a ，把A (2，－4)代入可得，a ＝－2，∴平移后的直线为y ＝－x －2，令x ＝0，则y ＝－2，即B (0，－2)∴B ′(0，2)，设直线AB ′的解析式为y ＝kx ＋b ，把A (2，－4)，B ′(0，2)代入可得，⎩⎪⎨⎪⎧－4＝2k ＋b ，2＝b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－3，b ＝2，∴直线AB ′的解析式为y ＝－3x ＋2，令y ＝0，则x ＝23，∴P (23，0)． ,第3题图) ,第4题图)4．如图，在直角坐标系中，⊙A 的圆心A 的坐标为(－1，0)，半径为1，点P 为直线y ＝－34x ＋3上的动点，过点P 作⊙A 的切线，切点为Q ，则切线长PQ 的最小值是__22__．【解析】连结AP ，PQ ，当AP 最小时，PQ 最小，∴当AP ⊥直线y ＝－34x ＋3时，PQ 最小，∴PQ ＝32－12＝2 2.三、解答题5．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 过A ，B ，C 三点，点A 的坐标是(3，0)，点C 的坐标是(0，－3)，动点P 在抛物线上．(1)b ＝__－2__，c ＝__－3__；(2)过动点P 作PE 垂直y 轴于点E ，交直线AC 于点D ，过点D 作x 轴的垂线．垂足为F ，连结EF ，当线段EF 的长度最短时，求出点P 的坐标．解：(2)连结OD ，由题意可知，四边形OFDE 是矩形，则OD ＝EF .根据垂线段最短，可得当OD ⊥AC 时，OD 最短，即EF 最短．由(1)可知，在Rt △A OC 中，∵O C ＝OA ＝3，OD⊥AC ，∴ D 是AC 的中点．又∵DF ∥OC ，∴DF ＝12OC ＝32.∴点P 的纵坐标是－32.则x 2－2x －3＝－32， 解得x ＝2±102.∴当EF 最短时，点P 的坐标是：(2＋102，－32)或(2－102，－32) 6．如图1，在矩形纸片ABCD 中，AB ＝3 cm ，AD ＝5 cm ，折叠纸片使B 点落在边AD 上的E 处，折痕为PQ .过点E 作EF ∥AB 交PQ 于F ，连结BF .(1)求证：四边形BFEP 为菱形；(2)当E 在AD 边上移动时，折痕的端点P ，Q 也随着移动．①当点Q 与点C 重合时(如图2)，求菱形BFEP 的边长；②若限定P ，Q 分别在BA ，BC 上移动，求出点E 在边AD 上移动的最大距离．解：(1)∵折叠纸片使B 点落在边AD 上的E 处，折痕为PQ ，∴点B 与点E 关于PQ对称，∴PB ＝PE ，BF ＝EF ，∠BPF ＝∠EPF ，又∵EF ∥AB ，∴∠BPF ＝∠EFP ，∴EP ＝EF ，∴BP ＝BF ＝FE ＝EP ，∴四边形BFEP 为菱形(2)①如图2，∵四边形ABCD 是矩形，∴BC ＝AD ＝5 cm ，CD ＝AB ＝3 cm ，∠A ＝∠D ＝90°.∵点B 与点E 关于PQ 对称，∴CE ＝BC ＝5 cm ，在Rt △CDE 中，DE 2＝CE 2－CD 2，∴DE ＝4 cm ，∴AE ＝AD －DE ＝5 cm －4 cm ＝1 cm ，在Rt △APE 中，AE ＝1，AP ＝3－PB＝3－PE ，∴EP 2＝12＋(3－EP )2，解得：EP ＝53 cm.∴菱形BFEP 的边长为53cm ； ②当点Q 与点C 重合时，如图2，点E 离A 点最近，由①知，此时AE ＝1 cm ；当点P与点A 重合时，如图3，点E 离A 点最远，此时，四边形ABQE 是正方形，AE ＝AB ＝3 cm ，∴点E 在边AD 上移动的最大距离为2 cm。
2017年挑战中考数学压轴题(全套含答案)
第一部分函数图象中点的存在性问题§1．1 因动点产生的相似三角形问题例1 2014年衡阳市中考第28题例2 2014年益阳市中考第21题例3 2015年湘西州中考第26题例4 2015年张家界市中考第25题例5 2016年常德市中考第26题例6 2016年岳阳市中考第24题例7 2016年上海市崇明县中考模拟第25题例8 2016年上海市黄浦区中考模拟第26题§1．2 因动点产生的等腰三角形问题例9 2014年长沙市中考第26题例10 2014年张家界市第25题例11 2014年邵阳市中考第26题例12 2014年娄底市中考第27题例13 2015年怀化市中考第22题例14 2015年长沙市中考第26题例15 2016年娄底市中考第26题例16 2016年上海市长宁区金山区中考模拟第25题例17 2016年河南省中考第23题例18 2016年重庆市中考第25题§1．3 因动点产生的直角三角形问题例19 2015年益阳市中考第21题例20 2015年湘潭市中考第26题例21 2016年郴州市中考第26题例22 2016年上海市松江区中考模拟第25题例23 2016年义乌市绍兴市中考第24题§1．4 因动点产生的平行四边形问题例24 2014年岳阳市中考第24题例25 2014年益阳市中考第20题例26 2014年邵阳市中考第25题例27 2015年郴州市中考第25题例28 2015年黄冈市中考第24题例29 2016年衡阳市中考第26题例30 2016年上海市嘉定区宝山区中考模拟中考第24题例31 2016年上海市徐汇区中考模拟第24题§1．5 因动点产生的面积问题例32 2014年常德市中考第25题例33 2014年永州市中考第25题例34 2014年怀化市中考第24题例35 2015年邵阳市中考第26题例36 2015年株洲市中考第23题例37 2015年衡阳市中考第28题例38 2016年益阳市中考第22题例39 2016年永州市中考第26题例40 2016年邵阳市中考第26题例41 2016年陕西省中考第25题§1．6 因动点产生的相切问题例42 2014年衡阳市中考第27题例43 2014年株洲市中考第23题例44 2015年湘潭市中考第25题例45 2015年湘西州中考第25题例46 2016年娄底市中考第25题例47 2016年湘潭市中考第26题例48 2016年上海市闵行区中考模拟第24题例49 2016年上海市普陀区中考模拟中考第25题§1．7 因动点产生的线段和差问题例50 2014年郴州市中考第26题例51 2014年湘西州中考第25题例52 2015年岳阳市中考第24题例53 2015年济南市中考第28题例54 2015年沈阳市中考第25题例55 2016年福州市中考第26题例56 2016年张家界市中考第24题例57 2016年益阳市中考第21题第二部分图形运动中的函数关系问题§2．1 由比例线段产生的函数关系问题例1 2014年常德市中考第26题例2 2014年湘潭市中考第25题例3 2014年郴州市中考第25题例4 2015年常德市中考第25题例5 2015年郴州市中考第26题例6 2015年邵阳市中考第25题例7 2015年娄底市中考第26题例8 2016年郴州市中考第25题例9 2016年湘西州中考第26题例10 2016年上海市静安区青浦区中考模拟第25题例11 2016年哈尔滨市中考第27题第三部分图形运动中的计算说理问题§3．1 代数计算及通过代数计算进行说理问题例1 2014年长沙市中考第25题例2 2014年怀化市中考第23题例3 2014年湘潭市中考第26题例4 2014年株洲市中考第24题例5 2015年衡阳市中考第27题例6 2015年娄底市中考第25题例7 2015年永州市中考第26题例8 2015年长沙市中考第25题例9 2015年株洲市中考第24题例10 2016年怀化市中考第22题例11 2016年邵阳市中考第25题例12 2016年株洲市中考第26题例13 2016年长沙市中考第25题例14 2016年长沙市中考第26题§3．2 几何证明及通过几何计算进行说理问题例15 2014年衡阳市中考第26题例16 2014年娄底市中考第26题例17 2014年岳阳市中考第23题例18 2015年常德市中考第26题例19 2015年益阳市中考第20题例20 2015年永州市中考第27题例21 2015年岳阳市中考第23题例22 2016年常德市中考第25题例23 2016年衡阳市中考第25题例24 2016年永州市中考第27题例25 2016年岳阳市中考第23题例26 2016年株洲市中考第25题例27 2016年湘潭市中考第25题第四部分图形的平移、翻折与旋转§4．1 图形的平移例1 2015年泰安市中考第15题例2 2015年咸宁市中考第14题例3 2015年株洲市中考第14题例4 2016年上海市虹口区中考模拟第18题§4．2 图形的翻折例5 2016年上海市奉贤区中考模拟第18题例6 2016年上海市静安区青浦区中考模拟第18题例7 2016年上海市闵行区中考模拟第18题例8 2016年上海市浦东新区中考模拟第18题例8 2016年上海市普陀区中考模拟第18题例10 2016年常德市中考第15题例11 2016年张家界市中考第14题例12 2016年淮安市中考第18题例13 2016年金华市中考第15题例14 2016年雅安市中考第12题§4．3 图形的旋转例15 2016年上海昂立教育中学生三模联考第18题例16 2016年上海市崇明县中考模拟第18题例17 2016年上海市黄浦区中考模拟第18题例18 2016年上海市嘉定区宝山区中考模拟第18题例19 2016年上海市闸北区中考模拟第18题例20 2016年邵阳市中考第13题例21 2016年株洲市中考第4题§4．4 三角形例22 2016年安徽省中考第10题例23 2016年武汉市中考第10题例24 2016年河北省中考第16题例25 2016年娄底市中考第10题例26 2016年苏州市中考第9题例27 2016年台州市中考第10题例28 2016年陕西省中考第14题例29 2016年内江市中考第11题例30 2016年上海市中考第18题§4．5 四边形例31 2016年湘西州中考第11题例32 2016年益阳市中考第4题例33 2016年益阳市中考第6题例34 2016年常德市中考第16题例35 2016年成都市中考第14题例36 2016年广州市中考第13题例37 2016年福州市中考第18题例38 2016年无锡市中考第17题例39 2016年台州市中考第15题§4．6 圆例40 2016年滨州市中考第16题例41 2016年宁波市中考第17题例42 2016年连云港市中考第16题例43 2016年烟台市中考第17题例44 2016年烟台市中考第18题例45 2016年无锡市中考第18题例46 2016年武汉市中考第9题例47 2016年宿迁市中考第16题例48 2016年衡阳市中考第17题例49 2016年邵阳市中考第18题例50 2016年湘西州中考第18题例51 2016年永州市中考第20题§4．7 函数的图象及性质例52 2015年荆州市中考第9题例53 2015年德州市中考第12题例54 2015年烟台市中考第12题例55 2015年中山市中考第10题例56 2015年武威市中考第10题例57 2015年呼和浩特市中考第10题例58 2016年湘潭市中考第18题例59 2016年衡阳市中考第19题例60 2016年岳阳市中考第15题例61 2016年株洲市中考第9题例62 2016年永州市中考第19题例63 2016年岳阳市中考第8题例64 2016年岳阳市中考第16题例65 2016年益阳市中考第14题例66 2016年株洲市中考第10题例67 2016年株洲市中考第17题例68 2016年东营市中考第15题例69 2016年成都市中考第13题例70 2016年泰州市中考第16题例71 2016年宿迁市中考第15题例72 2016年临沂市中考第14题例73 2016年义乌市绍兴市中考第9题例74 2016年淄博市中考第12题例75 2016年嘉兴市中考第16题§1．1 因动点产生的相似三角形问题课前导学相似三角形的判定定理有3个，其中判定定理1和判定定理2都有对应角相等的条件，因此探求两个三角形相似的动态问题，一般情况下首先寻找一组对应角相等．判定定理2是最常用的解题依据，一般分三步：寻找一组等角，分两种情况列比例方程，解方程并检验．如果已知∠A＝∠D，探求△ABC与△DEF相似，只要把夹∠A和∠D的两边表示出来，按照对应边成比例，分和两种情况列方程．应用判定定理1解题，先寻找一组等角，再分两种情况讨论另外两组对应角相等．应用判定定理3解题不多见，根据三边对应成比例列连比式解方程（组）．还有一种情况，讨论两个直角三角形相似，如果一组锐角相等，其中一个直角三角形的锐角三角比是确定的，那么就转化为讨论另一个三角形是直角三角形的问题．求线段的长，要用到两点间的距离公式，而这个公式容易记错．理解记忆比较好．如图1，如果已知A、B两点的坐标，怎样求A、B两点间的距离呢？我们以AB为斜边构造直角三角形，直角边与坐标轴平行，这样用勾股定理就可以求斜边AB的长了．水平距离BC的长就是A、B两点间的水平距离，等于A、B两点的横坐标相减；竖直距离AC就是A、B两点间的竖直距离，等于A、B两点的纵坐标相减．图1例 1 2014年湖南省衡阳市中考第28题二次函数y＝a x2＋b x＋c（a≠0）的图象与x轴交于A(－3, 0)、B(1, 0)两点，与y轴交于点C(0,－3m)（m ＞0），顶点为D．（1）求该二次函数的解析式（系数用含m的代数式表示）；（2）如图1，当m＝2时，点P为第三象限内抛物线上的一个动点，设△APC的面积为S，试求出S与点P的横坐标x之间的函数关系式及S的最大值；（3）如图2，当m取何值时，以A、D、C三点为顶点的三角形与△OBC相似？图1 图2动感体验请打开几何画板文件名“14衡阳28”，拖动点P运动，可以体验到，当点P运动到AC的中点的正下方时，△APC的面积最大．拖动y轴上表示实数m的点运动，抛物线的形状会改变，可以体验到，∠ACD和∠ADC都可以成为直角．思路点拨1．用交点式求抛物线的解析式比较简便．2．连结OP，△APC可以割补为：△AOP与△COP的和，再减去△AOC．3．讨论△ACD与△OBC相似，先确定△ACD是直角三角形，再验证两个直角三角形是否相似．4．直角三角形ACD存在两种情况．图文解析（1）因为抛物线与x轴交于A(－3, 0)、B(1, 0)两点，设y＝a(x＋3)(x－1)．代入点C(0,－3m)，得－3m＝－3a．解得a＝m．所以该二次函数的解析式为y＝m(x＋3)(x－1)＝mx2＋2mx－3m．（2）如图3，连结OP．当m＝2时，C(0,－6)，y＝2x2＋4x－6，那么P(x, 2x2＋4x－6)．由于S△AOP＝＝(2x2＋4x－6)＝－3x2－6x＋9，S△COP＝＝－3x，S△AOC＝9，所以S＝S△APC＝S△AOP＋S△COP－S△AOC＝－3x2－9x＝．所以当时，S取得最大值，最大值为．图3 图4 图5（3）如图4，过点D作y轴的垂线，垂足为E．过点A作x轴的垂线交DE于F．由y＝m(x＋3)(x－1)＝m(x＋1)2－4m，得D(－1,－4m)．在Rt△OBC中，OB∶OC＝1∶3m．如果△ADC与△OBC相似，那么△ADC是直角三角形，而且两条直角边的比为1∶3m．①如图4，当∠ACD＝90°时，．所以．解得m＝1．此时，．所以．所以△CDA∽△OBC．②如图5，当∠ADC＝90°时，．所以．解得．此时，而．因此△DCA与△OBC不相似．综上所述，当m＝1时，△CDA∽△OBC．考点伸展第（2）题还可以这样割补：如图6，过点P作x轴的垂线与AC交于点H．由直线AC：y＝－2x－6，可得H(x,－2x－6)．又因为P(x, 2x2＋4x－6)，所以HP＝－2x2－6x．因为△P AH与△PCH有公共底边HP，高的和为A、C两点间的水平距离3，所以S＝S△APC＝S△APH＋S△CPH＝(－2x2－6x)＝．图6例 2 2014年湖南省益阳市中考第21题如图1，在直角梯形ABCD中，AB//CD，AD⊥AB，∠B＝60°，AB＝10，BC＝4，点P沿线段AB从点A 向点B运动，设AP＝x．2·1·c·n·j·y（1）求AD的长；（2）点P在运动过程中，是否存在以A、P、D为顶点的三角形与以P、C、B为顶点的三角形相似？若存在，求出x的值；若不存在，请说明理由；（3）设△ADP与△PCB的外接圆的面积分别为S1、S2，若S＝S1＋S2，求S的最小值.动感体验图1请打开几何画板文件名“14益阳21”，拖动点P在AB上运动，可以体验到，圆心O的运动轨迹是线段BC的垂直平分线上的一条线段．观察S随点P运动的图象，可以看到，S有最小值，此时点P看上去象是AB的中点，其实离得很近而已．思路点拨1．第（2）题先确定△PCB是直角三角形，再验证两个三角形是否相似．2．第（3）题理解△PCB的外接圆的圆心O很关键，圆心O在确定的BC的垂直平分线上，同时又在不确定的BP的垂直平分线上．而BP与AP是相关的，这样就可以以AP为自变量，求S的函数关系式．图文解析（1）如图2，作CH⊥AB于H，那么AD＝CH．在Rt△BCH中，∠B＝60°，BC＝4，所以BH＝2，CH＝．所以AD＝．（2）因为△APD是直角三角形，如果△APD与△PCB相似，那么△PCB一定是直角三角形．①如图3，当∠CPB＝90°时，AP＝10－2＝8．所以＝＝，而＝．此时△APD与△PCB不相似．图2 图3 图4②如图4，当∠BCP＝90°时，BP＝2BC＝8．所以AP＝2．所以＝＝．所以∠APD＝60°．此时△APD∽△CBP．综上所述，当x＝2时，△APD∽△CBP．（3）如图5，设△ADP的外接圆的圆心为G，那么点G是斜边DP的中点．设△PCB的外接圆的圆心为O，那么点O在BC边的垂直平分线上，设这条直线与BC交于点E，与AB 交于点F．设AP＝2m．作OM⊥BP于M，那么BM＝PM＝5－m．在Rt△BEF中，BE＝2，∠B＝60°，所以BF＝4．在Rt△OFM中，FM＝BF－BM＝4－(5－m)＝m－1，∠OFM＝30°，所以OM＝．所以OB2＝BM2＋OM2＝．在Rt△ADP中，DP2＝AD2＋AP2＝12＋4m2．所以GP2＝3＋m2．于是S＝S1＋S2＝π(GP2＋OB2)＝＝．所以当时，S取得最小值，最小值为．图5 图6考点伸展关于第（3）题，我们再讨论个问题．问题1，为什么设AP＝2m呢？这是因为线段AB＝AP＋PM＋BM＝AP＋2BM＝10．这样BM＝5－m，后续可以减少一些分数运算．这不影响求S的最小值．问题2，如果圆心O在线段EF的延长线上，S关于m的解析式是什么？如图6，圆心O在线段EF的延长线上时，不同的是FM＝BM－BF＝(5－m)－4＝1－m．此时OB2＝BM2＋OM2＝．这并不影响S关于m的解析式．例3 2015年湖南省湘西市中考第26题如图1，已知直线y＝－x＋3与x轴、y轴分别交于A、B两点，抛物线y＝－x2＋bx＋c经过A、B两点，点P在线段OA上，从点O出发，向点A以每秒1个单位的速度匀速运动；同时，点Q在线段AB上，从点A出发，向点B以每秒个单位的速度匀速运动，连结PQ，设运动时间为t秒．（1）求抛物线的解析式；（2）问：当t为何值时，△APQ为直角三角形；（3）过点P作PE//y轴，交AB于点E，过点Q作QF//y轴，交抛物线于点F，连结EF，当EF//PQ时，求点F的坐标；（4）设抛物线顶点为M，连结BP、BM、MQ，问：是否存在t的值，使以B、Q、M为顶点的三角形与以O、B、P为顶点的三角形相似？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．图1动感体验请打开几何画板文件名“15湘西26”，拖动点P在OA上运动，可以体验到，△APQ有两个时刻可以成为直角三角形，四边形EPQF有一个时刻可以成为平行四边形，△MBQ与△BOP有一次机会相似．思路点拨1．在△APQ中，∠A＝45°，夹∠A的两条边AP、AQ都可以用t表示，分两种情况讨论直角三角形APQ．2．先用含t的式子表示点P、Q的坐标，进而表示点E、F的坐标，根据PE＝QF列方程就好了．3．△MBQ与△BOP都是直角三角形，根据直角边对应成比例分两种情况讨论．图文解析（1）由y＝－x＋3，得A(3, 0)，B(0, 3)．将A(3, 0)、B(0, 3)分别代入y＝－x2＋bx＋c，得解得所以抛物线的解析式为y＝－x2＋2x＋3．（2）在△APQ中，∠P AQ＝45°，AP＝3－t，AQ＝t．分两种情况讨论直角三角形APQ：①当∠PQA＝90°时，AP＝AQ．解方程3－t＝2t，得t＝1（如图2）．②当∠QP A＝90°时，AQ＝AP．解方程t＝(3－t)，得t＝1.5（如图3）．图2 图3（3）如图4，因为PE//QF，当EF//PQ时，四边形EPQF是平行四边形．所以EP＝FQ．所以y E－y P＝y F－y Q．因为x P＝t，x Q＝3－t，所以y E＝3－t，y Q＝t，y F＝－(3－t)2＋2(3－t)＋3＝－t2＋4t．因为y E－y P＝y F－y Q，解方程3－t＝(－t2＋4t)－t，得t＝1，或t＝3（舍去）．所以点F的坐标为(2, 3)．图4 图5（4）由y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4，得M(1, 4)．由A(3, 0)、B(0, 3)，可知A、B两点间的水平距离、竖直距离相等，AB＝3．由B(0, 3)、M(1, 4)，可知B、M两点间的水平距离、竖直距离相等，BM＝．所以∠MBQ＝∠BOP＝90°．因此△MBQ与△BOP相似存在两种可能：①当时，．解得（如图5）．②当时，．整理，得t2－3t＋3＝0．此方程无实根．考点伸展第（3）题也可以用坐标平移的方法：由P(t, 0)，E(t, 3－t)，Q(3－t, t)，按照P→E方向，将点Q向上平移，得F(3－t, 3)．再将F(3－t, 3)代入y＝－x2＋2x＋3，得t＝1，或t＝3．§1．2 因动点产生的等腰三角形问题课前导学我们先回顾两个画图问题：1．已知线段AB＝5厘米，以线段AB为腰的等腰三角形ABC有多少个？顶点C的轨迹是什么？2．已知线段AB＝6厘米，以线段AB为底边的等腰三角形ABC有多少个？顶点C的轨迹是什么？已知腰长画等腰三角形用圆规画圆，圆上除了两个点以外，都是顶点C．已知底边画等腰三角形，顶角的顶点在底边的垂直平分线上，垂足要除外．在讨论等腰三角形的存在性问题时，一般都要先分类．如果△ABC是等腰三角形，那么存在①AB＝AC，②BA＝BC，③CA＝CB三种情况．解等腰三角形的存在性问题，有几何法和代数法，把几何法和代数法相结合，可以使得解题又好又快．几何法一般分三步：分类、画图、计算．哪些题目适合用几何法呢？如果△ABC的∠A（的余弦值）是确定的，夹∠A的两边AB和AC可以用含x的式子表示出来，那么就用几何法．①如图1，如果AB＝AC，直接列方程；②如图2，如果BA＝BC，那么；③如图3，如果CA＝CB，那么．代数法一般也分三步：罗列三边长，分类列方程，解方程并检验．如果三角形的三个角都是不确定的，而三个顶点的坐标可以用含x的式子表示出来，那么根据两点间的距离公式，三边长（的平方）就可以罗列出来．图1 图2 图3例 9 2014年长沙市中考第26题如图1，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c （a 、b 、c 是常数，a ≠0）的对称轴为y 轴，且经过(0,0)和两点，点P 在该抛物线上运动，以点P 为圆心的⊙P 总经过定点A (0, 2)．（1）求a 、b 、c 的值；（2）求证：在点P 运动的过程中，⊙P 始终与x 轴相交；（3）设⊙P 与x 轴相交于M (x 1, 0)、N (x 2, 0)两点，当△AMN 为等腰三角形时，求圆心P 的纵坐标．图1动感体验请打开几何画板文件名“14长沙26”，拖动圆心P 在抛物线上运动，可以体验到，圆与x 轴总是相交的，等腰三角形AMN 存在五种情况．思路点拨1．不算不知道，一算真奇妙，原来⊙P 在x 轴上截得的弦长MN ＝4是定值．2．等腰三角形AMN 存在五种情况，点P 的纵坐标有三个值，根据对称性，MA ＝MN 和NA ＝NM 时，点P 的纵坐标是相等的．图文解析（1）已知抛物线的顶点为(0,0)，所以y ＝ax 2．所以b ＝0，c ＝0． 将代入y ＝ax 2，得．解得（舍去了负值）．（2）抛物线的解析式为，设点P 的坐标为． 已知A (0, 2)，所以＞．而圆心P 到x 轴的距离为，所以半径P A ＞圆心P 到x 轴的距离．所以在点P 运动的过程中，⊙P 始终与x 轴相交．（3）如图2，设MN 的中点为H ，那么PH 垂直平分MN ．．4＝2MH ，所以，中，PMH △Rt 在 所以MH ＝2．因此MN ＝4，为定值．等腰△AMN 存在三种情况：①如图3，当AM ＝AN 时，点P 为原点O 重合，此时点P 的纵坐标为0．图2 图3．2＝OM ，所以4＝AM ，2＝OA 中，AOM △Rt 时，在MN ＝MA ，当4②如图 ．的纵坐标为P ．所以点2＝OH ＝x 此时 ．的纵坐标为也为P 时，根据对称性，点NM ＝NA ，当5如图图4 图5③如图6，当NA＝NM＝4时，在Rt△AON中，OA＝2，AN＝4，所以ON＝2．此时x＝OH＝2．所以点P的纵坐标为．如图7，当MN＝MA＝4时，根据对称性，点P的纵坐标也为．图6 图7考点伸展如果点P在抛物线上运动，以点P为圆心的⊙P总经过定点B(0, 1)，那么在点P运动的过程中，⊙P始终与直线y＝－1相切．这是因为：设点P的坐标为．已知B(0, 1)，所以．而圆心P到直线y＝－1的距离也为，所以半径PB＝圆心P到直线y＝－1的距离．所以在点P 运动的过程中，⊙P始终与直线y＝－1相切．例 10 2014年湖南省张家界市中考第25题如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）过O、B、C三点，B、C 坐标分别为(10, 0)和，以OB为直径的⊙A经过C点，直线l垂直x轴于B点．（1）求直线BC的解析式；（2）求抛物线解析式及顶点坐标；（3）点M是⊙A上一动点（不同于O、B），过点M作⊙A的切线，交y轴于点E，交直线l于点F，设线段ME长为m，MF长为n，请猜想mn的值，并证明你的结论；（4）若点P从O出发，以每秒1个单位的速度向点B作直线运动，点Q同时从B出发，以相同速度向点C作直线运动，经过t（0＜t≤8）秒时恰好使△BPQ为等腰三角形，请求出满足条件的t值．图图1动感体验请打开几何画板文件名“14张家界25”，拖动点M在圆上运动，可以体验到，△EAF保持直角三角形的形状，AM是斜边上的高．拖动点Q在BC上运动，可以体验到，△BPQ有三个时刻可以成为等腰三角形．思路点拨1．从直线BC的解析式可以得到∠OBC的三角比，为讨论等腰三角形BPQ作铺垫．2．设交点式求抛物线的解析式比较简便．3．第（3）题连结AE、AF容易看到AM是直角三角形EAF斜边上的高．4．第（4）题的△PBQ中，∠B是确定的，夹∠B的两条边可以用含t的式子表示．分三种情况讨论等腰三角形．图文解析（1）直线BC的解析式为．（2）因为抛物线与x轴交于O、B(10, 0)两点，设y＝ax(x－10)．代入点C，得．解得．所以．抛物线的顶点为．（3）如图2，因为EF切⊙A于M，所以AM⊥EF．由AE＝AE，AO＝AM，可得Rt△AOE≌Rt△AME．所以∠1＝∠2．同理∠3＝∠4．于是可得∠EAF＝90°．所以∠5＝∠1．由tan∠5＝tan∠1，得．所以ME·MF＝MA2，即mn＝25．图2（4）在△BPQ中，cos∠B＝，BP＝10－t，BQ＝t．分三种情况讨论等腰三角形BPQ：①如图3，当BP＝BQ时，10－t＝t．解得t＝5．②如图4，当PB＝PQ时，．解方程，得．③如图5，当QB＝QP时，．解方程，得．图3 图4 图5考点伸展在第（3）题条件下，以EF为直径的⊙G与x轴相切于点A．如图6，这是因为AG既是直角三角形EAF斜边上的中线，也是直角梯形EOBF的中位线，因此圆心G 到x轴的距离等于圆的半径，所以⊙G与x轴相切于点A．图6例 11 2014年湖南省邵阳市中考第26题在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2－(m＋n)x＋mn（m＞n）与x轴相交于A、B两点（点A位于点B的右侧），与y轴相交于点C．（1）若m＝2，n＝1，求A、B两点的坐标；（2）若A、B两点分别位于y轴的两侧，C点坐标是(0,－1)，求∠ACB的大小；（3）若m＝2，△ABC是等腰三角形，求n的值．动感体验请打开几何画板文件名“14邵阳26”，点击屏幕左下方的按钮（2），拖动点A在x轴正半轴上运动，可以体验到，△ABC保持直角三角形的形状．点击屏幕左下方的按钮（3），拖动点B在x轴上运动，观察△ABC 的顶点能否落在对边的垂直平分线上，可以体验到，等腰三角形ABC有4种情况．思路点拨1．抛物线的解析式可以化为交点式，用m，n表示点A、B、C的坐标．2．第（2）题判定直角三角形ABC，可以用勾股定理的逆定理，也可以用锐角的三角比．3．第（3）题讨论等腰三角形ABC，先把三边长（的平方）罗列出来，再分类解方程．图文解析（1）由y＝x2－(m＋n)x＋mn＝(x－m)(x－n)，且m＞n，点A位于点B的右侧，可知A(m, 0)，B(n, 0)．若m＝2，n＝1，那么A(2, 0)，B(1, 0)．．（2）如图1，由于C(0, mn)，当点C的坐标是(0,－1)，mn＝－1，OC＝1．若A、B两点分别位于y轴的两侧，那么OA·OB＝m(－n)＝－mn＝1．所以OC2＝OA·OB．所以．所以tan∠1＝tan∠2．所以∠1＝∠2．又因为∠1与∠3互余，所以∠2与∠3互余．所以∠ACB＝90°．图1 图2 图3（3）在△ABC中，已知A(2, 0)，B(n, 0)，C(0, 2n)．讨论等腰三角形ABC，用代数法解比较方便：由两点间的距离公式，得AB2＝(n－2)2，BC2＝5n2，AC2＝4＋4n2．①当AB＝AC时，解方程(n－2)2＝4＋4n2，得（如图2）．。
中考 最值问题复习题(带答案)
【最值问题复习】一、 将军饮马1. 如图，在矩形ABCD 中，AD=3，点E 为边AB 上一点，AE=1，平面内动点P 满足1=3PAB ABCD S S △矩形，则DP EP -的最大值为_____________.2. 如图，在矩形ABCD 中，AB ＝5，AD ＝3，动点P 满足S △P AB ＝S 矩形ABCD ，则点P 到A 、B 两点距离之和P A +PB 的最小值为 ．类型二：点到直线距离垂线段最短3.在平面直角坐标系中，原点O 到直线24y kx k =-+的最大距离为____________.4. 如图，在Rt △ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝3，AC ＝4，P 为边BC 上一动点，PE ⊥AB 于E ，PF ⊥AC 于F ，则EF 的最小值为（ ）A ．2B ．2.2C ．2.4D ．2.55. 如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝6，BC ＝8，点F 在边AC 上，并且CF ＝2，点E 为边BC 上的动点，将△CEF 沿直线EF 翻折，点C 落在点P 处，则点P 到边AB 的距离的最小值是（ ）A ．B ．1C ．D ．6. 如图，直线y＝x+4与x轴、y轴分别交于点A和点B，点D为线段OB的中点，点C、P分别为线段AB、OA上的动点，当PC+PD值最小时点P的坐标为．7. 如图，菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝4，对角线AC、BD交于点O，E是线段BO上一动点，F是射线DC上一动点，若∠AEF＝120°，则线段EF的长度的整数值的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个8. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝10，BC＝5，将直角三角板的直角顶点与AC边的中点P重合，直角三角板绕着点P旋转，两条直角边分别交AB边于M，N，则MN 的最小值是．9.如图，P是线段AB上异于端点的动点，且AB＝6，分别以AP、BP为边，在AB的同侧作等边△APM和等边△BPN，则△MNP外接圆半径的最小值为．类型三、平行线间的距离为最值10.如图，菱形ABCD中，AB＝4，∠A＝120°，点M、N、P分别为线段AB、AD、BD上的任意一点，则PM+PN的最小值为．11. 如图，在等边△ABC中，AB＝4，P、M、N分别是BC、CA、AB边上动点，则PM+MN的最小值是．类型四、利用三角形三边关系、三点共线取最值12. 如图，在平面直角坐标系中，以坐标原点O为圆心，2为半径画⊙O，P是⊙O上一动点，且P在第一象限内，过点P作⊙O的切线与x轴相交于点A，与y轴相交于点B．点P在运动时，线段AB的长度也在发生变化，则线段AB长度的最小值为___________.13.在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，点D是以点A为圆心4为半径的圆上一点，连接BD，点M为BD中点，线段CM长度的最大值为．14.如图，在等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，BC＝，点D是AC边上一动点，连接BD，以AD为直径的圆交BD于点E，则线段CE长度的最小值为．类型五、构造圆球最值（圆外一点与圆上点的连线的距离最值问题）15.如图，Rt△ABC中，AB⊥BC，AB＝6，BC＝4，P是△ABC内部的一个动点，且满足∠P AB＝∠PBC，则线段CP长的最小值为．16.在平面直角坐标系xOy中，A（3，0）、B（a，2）、C（0，m）、D（n，0），且m2+n2＝4，若E为CD中点．则AB+BE的最小值为．17.如图，半径为2的⊙O分别与x轴，y轴交于A，D两点，⊙O上两个动点B，C，使∠BAC＝60°恒成立，设△ABC的重心为G，则DG的最小值是．18.如图，在△ABC中，∠A=60°（∠B＜∠C），E、F分别是AB、AC上的动点，以EF为边向下作等边三角形DEF，△DEF的中心为点O，连接CO.已知AC=4，则CO的最小值为___________.类型六、面积、周长最值问题19. 如图，⊙O 的半径是2，直线l 与⊙O 相交于A 、B 两点，M 、N 是⊙O 上的两个动点，且在直线l 的异侧，若∠AMB ＝45°，则四边形MANB 面积的最大值是（ ）A ．2B ．4C ．4D ．820. 如图，在菱形ABCD 中，∠BAD ＝135°，AB ＝4，点P 是菱形ABCD 内或边上的一点，且∠DAP +∠CBP ＝90°，连接DP ，CP ，则△DCP 面积的最小值为 ．21. 如图，sin ∠C ＝，长度为2的线段ED 在射线CF 上滑动，点B 在射线CA 上，且BC ＝5，则△BDE 周长的最小值为 ．类型七、函数最值问题22.已知22(3)9(1)4y x x =-+--+，则y 的最大值为_____________.23.已知6213309,3b ___________.a b c b c a c =+=-+，且≥，≤则的最大值为24.如图，AB 为半圆的直径，点O 为圆心，AB=8，若P 为AB 反向延长线上的一个动点（不与点A 重合），过点P 作半圆的切线，切点为C ，过点B 作BD ⊥PC 交PC 的延长线于点D ，则AC+BD 的最大值为_______________.25. 如图，直线l与半径为4的⊙O相切于点A，P是⊙O上的一个动点（不与点A重合），过点P作PB⊥l，垂足为B，连接P A．设P A＝x，PB＝y，则（x﹣y）的最大值是．26.如图，在正方形ABCD中，AB=4，以B为圆心，BA长为半径画弧，点M为弧上一点，MN ⊥CD于N，连接CM，则CM－MN的最大值为．27. 如图，已知AB＝8，P为线段AB上的一个动点，分别以AP，PB为边在AB的同侧作菱形APCD和菱形PBFE，点P，C，E在一条直线上，∠DAP＝60°．M，N分别是对角线AC，BE的中点．当点P在线段AB上移动时，点M，N之间的距离最短为（结果留根号）．类型八、胡不归与阿氏圆问题28. 如图，在平面直角坐标系中，A（﹣3，0），点B是y轴正半轴上一动点，点C、D在x 正半轴上．以AB为边在AB的下方作等边△ABP，点B在y轴上运动时，则OP的最小值_________.29.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝12，AC＝9，以点C为圆心，6为半径的圆上有一个动点D．连接AD、BD、CD，则AD+BD的最小值是．30.如图，点C的坐标为（2,5），点A的坐标为（7,0），圆C的半径为10，点B在圆C上运动，则55OB AB+的最小值为_______________.31.如图，在平面直角坐标系中，点A（-1,0），B（0，22），点C是线段OB上的动点，则3AC BC+的最小值为_________,此时点C的坐标为_______________.【参考答案】1.【解答】 DP EP -≤1DE =22. 【解答】解：设△ABP 中AB 边上的高是h ．∵S △P AB ＝S 矩形ABCD ，∴AB •h ＝AB •AD ，∴h ＝AD ＝2，∴动点P 在与AB 平行且与AB 的距离是2的直线l 上，如图，作A 关于直线l 的对称点E ，连接AE ，连接BE ，则BE 的长就是所求的最短距离． 在Rt △ABE 中，∵AB ＝5，AE ＝2+2＝4，∴BE ＝＝＝， 即P A +PB 的最小值为． 故答案为：．3.【解答】直线24y kx k =-+=24y k x =-+（）过定点（2,4）,OH ≤OA ，当OA 垂直于该直线时，距离最大，为254.【解答】解：连接AP，∵∠A＝90°，PE⊥AB，PF⊥AC，∴∠A＝∠AEP＝∠AFP＝90°，∴四边形AFPE是矩形，∴EF＝AP，要使EF最小，只要AP最小即可，过A作AP⊥BC于P，此时AP最小，在Rt△BAC中，∠A＝90°，AC＝4，AB＝3，由勾股定理得：BC＝5，由三角形面积公式得：×4×3＝×5×AP，∴AP＝2.4，即EF＝2.4，故选：C．5.【解答】解：如图所示：当PE∥AB．由翻折的性质可知：PF＝FC＝2，∠FPE＝∠C＝90°．∵PE∥AB，∴∠PDB＝90°．由垂线段最短可知此时FD有最小值．又∵FP为定值，∴PD有最小值．又∵∠A＝∠A，∠ACB＝∠ADF，∴△AFD∽△ABC．∴，即＝，解得：DF＝3.2．∴PD＝DF﹣FP＝3.2﹣2＝1.2．故选：D．6.【解答】解：作点D关于x轴对称点D′，过点D′作DC⊥AB于点C，与OA交于点P，则此时PC+PD值最小．当x＝0时，y＝x+4＝4，∴OB＝4；当y＝0时，x+4＝0，解得：x＝﹣4，∴OA＝4．∵OA＝OB，∠AOB＝90°，∴△AOB为等腰直角三角形，∴∠OBA＝45°．∵D′C⊥AB，∴△BCD′为等腰直角三角形，∴∠BD′C＝45°．在△OPD′中，∠POD′＝90°，∠OD′P＝45°，∴∠OPD′＝45°，∴OP＝OD′＝OD．又∵点D为线段OB的中点，∴OD＝2，∴OP＝2，∴点P的坐标为（﹣2，0）．故答案为：（﹣2，0）．7.【解答】解：如图，连结CE，∵在菱形ABCD中，AB＝BC，∠ABE＝∠CBE＝30°，BE＝BE，∴△ABE≌△CBE，∴AE＝CE，设∠OCE＝a，∠OAE＝a，∠AEO＝90°﹣a，∴∠DEF＝120°﹣（90°﹣a）＝30°+a，∴∠EFC＝∠CDE+∠DEF＝30°+30°+a＝60°+a，∵∠ECF＝∠DCO+∠OCE＝60°+a，∴∠ECF＝∠EFC，∴CE＝EF，∴AE＝EF，∵AB＝4，∠ABE＝30°，∴在Rt△ABO中，AO＝2，∵OA≤AE≤AB，∴2≤AE≤4，∴AE的长的整数值可能是2，3，4，即EF的长的整数值可能是2，3，4．故选：C．8.【解答】解：取MN的中点D连接PD，∵∠MPN＝90°，∴MN＝2PD，∴当PD⊥MN时，PD值最小，此时MN的值最小，如图所示，∵∠A＝∠A，∠ADP＝∠ACB＝90°，∴△APD∽△ABC，∴，即，∴PD＝，∴MN＝2PD＝2．故答案为：2．9.【解答】解：分别作∠A与∠B角平分线，交点为O，连接OP，∵△AMP和△NPB都是等边三角形，∴AO与BO为PM、PN垂直平分线．∵圆心O在PM、PN垂直平分线上，即圆心O是一个定点，若半径OP最短，则OP⊥AB．又∵∠OAP＝∠OBP＝30°，AB＝6，∴OA＝OB，∴AP＝BP＝3，∴在直角△AOP中，OP＝AP•tan∠OAP＝3×tan30°＝，故答案为：．10.【解答】解：连接AC，过点A作AE⊥BC于点E，∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD，当PM⊥AB，PN⊥AD时，PM+PN的值最小，最小值＝AD边上的高，设这个高为AE，•AB•PM+•AD•PN＝AD•AE，PM+PN＝AE，∵菱形ABCD中，AB＝4，∠A＝120°，∴∠ABC＝60°，AB＝BC＝4，∴△ABC是等边三角形，∴BE＝EC＝2，∴AE＝＝2．故答案为：2．11.【解答】解：作点B关于直线AC的对称点K，连接AK、CK，作点N关于直线AC 的对称点N′，作N′P′⊥BC于P′，交AC于M′，则线段N′P′的长即为PM+MN 的最小值（垂线段最短）．∵△ABC是等边三角形，易知，四边形ABCK是菱形，N′P′是菱形的高＝×4＝2，∴PM+MN的最小值为2，故答案为2．12.【解答】线段AB长度的最小值为4，理由如下：连接OP，∵AB切⊙O于P，∴OP⊥AB，取AB的中点C，则AB＝2OC；当OC＝OP时，OC最短，即AB最短，此时AB＝4；13.【解答】解：作AB的中点E，连接EM、CE．在直角△ABC中，AB＝＝＝10，∵E是直角△ABC斜边AB上的中点，∴CE＝AB＝5．∵M是BD的中点，E是AB的中点，∴ME＝AD＝2．∵5﹣2≤CM≤5+2，即3≤CM≤7．∴最大值为7，故答案为：7．14.【解答】解：连结AE，如图1，∵∠BAC＝90°，AB＝AC，BC＝，∴AB＝AC＝4，∵AD为直径，∴∠AED＝90°，∴∠AEB＝90°，∴点E在以AB为直径的⊙O上，∵⊙O的半径为2，∴当点O、E、C共线时，CE最小，如图2，在Rt△AOC中，∵OA＝2，AC＝4，∴OC＝＝2，∴CE＝OC﹣OE＝2﹣2，即线段CE长度的最小值为2﹣2．故答案为2﹣2．15.【解答】解：∵∠ABC＝90°，∴∠ABP+∠PBC＝90°，∵∠P AB＝∠PBC∴∠BAP+∠ABP＝90°，∴∠APB＝90°，∴点P在以AB为直径的⊙O上，连接OC交⊙O于点P，此时PC最小，在RT△BCO中，∵∠OBC＝90°，BC＝4，OB＝3，∴OC＝＝5，∴PC＝OC﹣OP＝5﹣3＝2．∴PC最小值为2．故答案为2．16.【解答】解：由题意CD＝＝2，∵E为CD中点，∴OE＝CD＝1，∴点E在O为圆心，1为半径的圆上，作点A关于直线y＝2的对称点A′，连接OA′交直线y＝2于B，交⊙O于E．此时BA+BE＝BA′+BE的值最小．在Rt△OAA′中，OA′＝＝5，∴EA′＝5﹣1＝4，∴BA+BE的最小值为4，故答案为：4．17.【解答】解：连接AG并延长，交BC于点F，∵△ABC的重心为G，∴F为BC的中点，∴OF⊥BC，∵∠BAC＝60°，∴∠BOF＝60°，∴∠OBF＝30°，∴OF＝OB＝1，∵△ABC的重心为G，∴AG＝AF，在AO上取点E，使AE＝AO，连接GE，∵＝＝，∠F AO＝∠GAE，∴△AGE∽△AFO，∴＝，∴GE＝．∴G在以E为圆心，为半径的圆上运动，∴E（，0），∴DE＝＝，∴DG的最小值是﹣，故答案为：﹣．18.【解答】连接OE、OD、OA，∠DAE+∠DOE=180°，所以A、E、O、D四点共圆，所以∠EAO=∠ODE=30°，所以点O在一条直线上运动，过点C向这条直线作垂线CH,所以CO的最小值为CH，最小值为2.19.【解答】【解答】解：过点O作OC⊥AB于C，交⊙O于D、E两点，连结OA、OB、DA、DB、EA、EB，如图，∵∠AMB＝45°，∴∠AOB＝2∠AMB＝90°，∴△OAB为等腰直角三角形，∴AB＝OA＝2，∵S四边形MANB＝S△MAB+S△NAB，∴当M点到AB的距离最大，△MAB的面积最大；当N点到AB的距离最大时，△NAB 的面积最大，即M点运动到D点，N点运动到E点，此时四边形MANB面积的最大值＝S四边形DAEB＝S△DAB+S△EAB＝AB•CD+AB•CE＝AB（CD+CE）＝AB•DE＝×2×4＝4．故选：C．20.【解答】解：在菱形ABCD中，∵AD∥BC，∴∠DAB+∠ABC＝180°，∵∠DAP+∠CBP＝90°，∴∠P AB+∠PBA＝90°，∴AP⊥PB，∴当△DCP面积的最小时，P到CD的距离最小，即P到AB的距离最大，∴当Rt△ABP是等腰直角三角形时，即P到AB的距离最大，∵∠CBA＝45°，∴点P在BC边上，且AP⊥BC，过C作CF⊥AB于F，PE⊥AB于E，∴CF＝BC＝4，PE＝AB＝2，∴P到CD的距离＝4﹣2，∴△DCP面积的最小值为：4×（4﹣2）＝8﹣8，故答案为：8﹣8．21.【解答】解：如图作BK∥CF，使得BK＝DE＝2，作K关于直线CF的对称点G，连接BG交CF于D′，此时△BD′E′的周长最小．在Rt△BGK中，易知BK＝2，GK＝6，∴BG＝＝2，∴△BDE周长的最小值为BE′+D′E′+BD′＝KD′+D′E′+BD′＝D′E′+BD′+GD′＝D′E′+BG＝2+2．故答案为：2+2．22.【解答】设点C（x,0），A（3,3），B（1,2）222222(3)9(1)4(3)(03)(1)(02)y x x x x=-+--+=-+---+-表示AC-BC的值，且AC-BC≤AB，当A,BC三点共线时，AC-BC取最大值AB，即5.23.【解答】13 6213309,c29,302a b c b c a b a=+===-，且≥，≤得≤≥，解得13962a ≤≤，所以393b 62a c a -+=-+的 取值范围是15133b 22a c -+-≤≤. 24. 【解答】连接BC ，易证△ABC ∽△CBD ，可得2BC AB BD =⋅，设AC=x ，在△ABC 中，22=64BC x -，所以2648x BD -=，所以288x AC BD x +=-++，所以当4x =时，取最大值4.25【解答】解：如图，作直径AC ，连接CP ，∴∠CP A ＝90°，∵AB 是切线，∴CA ⊥AB ，∵PB ⊥l ，∴AC ∥PB ，∴∠CAP ＝∠APB ，∴△APC ∽△PBA ，∴，∵P A ＝x ，PB ＝y ，半径为4，∴＝，∴y ＝x 2，∴x﹣y＝x﹣x2＝﹣x2+x＝﹣（x﹣4）2+2，当x＝4时，x﹣y有最大值是2，故答案为：2．26.【解答】过点H作BH⊥MC，易证△BHC∽△CNM，设CM=x，MN=y，由△BHC∽△CNM可得BC CHMC MN,代入可得y＝x2，所以CM-MN= x﹣y＝x﹣x2＝﹣x2+x＝﹣（x﹣4）2+2，当x＝4时，x﹣y有最大值是2.27.【解答】解：连接PM、PN．∵四边形APCD，四边形PBFE是菱形，∠DAP＝60°，∴∠APC＝120°，∠EPB＝60°，∵M，N分别是对角线AC，BE的中点，∴∠CPM＝∠APC＝60°，∠EPN＝∠EPB＝30°，∴∠MPN＝60°+30°＝90°，设P A＝2a，则PB＝8﹣2a，PM＝a，PN＝（4﹣a），∴MN＝＝＝，∴a＝3时，MN有最小值，最小值为2，故答案为2．28. 【解答】如图3，以OA为对称轴作等边△ADE，连接EP，并延长EP交x轴于点F．可证得，△AEP≌△ADB，∴∠AEP ＝∠ADB ＝120°，∴∠OEF ＝60°，∴OF ＝OA ＝3，∴点P 在直线EF 上运动，当OP ⊥EF 时，OP 最小，∴OP ＝OF ＝则OP 的最小值为．29. 【解答】考虑到D 点轨迹是圆，A 是定点，且要求构造23AD ，条件已经足够明显． 当D 点运动到AC 边时，DA=3，此时在线段CD 上取点M 使得DM=2，则在点D 运动过程中，始终存在23DM DA =． M A BCD D C B A M问题转化为DM+DB 的最小值，直接连接BM ，则AD +BD=DM+BD ≥BM=1030. 【解答】连接AC ，在AC 取一点M 使得2(2÷CM r BC =)，易证得 △CBM ∽CAB 5=AB BM ，所以5=OB AB BM OB OM +≥，当O 、B 、M 三点共线时取最小值，由于点M 坐标为（3,4），OM=5，所以最小值为5.31. 【解答】13=3)3AC BC AC BC ++（,构造1sin =3α，故1tan =22α，取点D （1,0），连接BD ，作CH ⊥BD ，故1=3BC CH ，所以13=3)AC CH 3AC BC AC BC ++=+（≥AH ，当AH 垂直于BD 时，取最小值，由等积法可求得垂直时，AH 的最小值为423，所以3AC BC +的最小值为42，由相似可得此时点C 的坐标为2(0,)4.。
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2017年中考数学复习专题突破《最值问题》测试题(含答案)
最值问题八(针对陕西中考最值问题)
一、填空题 1．(导学号30042252)在半⊙O中，点C是半圆弧AB
的中点，点D是弧BC上距离点B较近的一个三等分点，点P是直径AB上的动点，若AB＝10，则PC＋PD的最小值是__53__. ,第1题图) ,第2题图) 2．(导学号30042253)如图，AB 是⊙O的一条弦，点C是⊙O上一动点，且∠ACB＝30°，点E，F分别是AC，BC的中点，直线EF与⊙O交于G，H两点，若⊙O的半径为7，则GE ＋FH的最大值为__212__． 3．(导学号30042254)如图，在反比例函数y＝6x上有两点A(3，2)，B(6，1)，在直线y＝－x上有一动点P，当P点的坐标为__(43，－43)__时，PA＋PB有最小值．点拨：设A点关于直线y＝－x的对称点为A′，连接A′B，交直线y＝－x 为P点，此时PA＋PB有最小值，∵A(3，2)，∴A′(－2，－3)，设直线A′B的直线解析式为y＝kx＋b，－3＝－2k＋b，1＝6k＋b，解得k＝12，b＝－2，∴直线A′B的直线解析式为y＝12x－2，联立y ＝12x－2，y＝－x，解得x＝43，y＝－43，即P点坐标(43，－43)，故答案为(43，－43) 二、解答题 4．(导学号30042255)已知点M(3，2)，N(1，－1)，点P在y轴上，求使得△PMN的周长最小的点P的坐标．解：作出M关于y轴的对称点M′，连接NM′，与y轴相交于点P，则P点即为所求，设过NM′两点的直线解析式为y＝k x＋b(k≠0)，则2＝－3k＋b，－1＝k＋b，解得k＝－34，b＝－14，故此一次函数的解析式为y＝－34x－14，因为b＝－14，所以P点坐标为(0，－14) 5． (导学号30042256)(2015•宁德)如图，AB是⊙O 的直径，AB＝8，点M在⊙O上，∠MAB＝20°，N是弧MB的中点，P 是直径AB 上的一动点．若MN＝1，则△PMN周长的最小值为多少．解：作N关于AB的对称点N′，连接MN′，NN′，ON′，OM，ON，∵N 关于AB的对称点为N′，∴MN′与AB的交点P′即为△PMN 周长最小时的点，∵N是弧MB的中点，∴∠A＝∠NOB＝∠MON＝20°，
∴∠MON′＝60°，∴△MON′为等边三角形，∴MN′＝OM＝4,
∴△PMN周长的最小值为4＋1＝5
6．(导学号30042257)如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A(－
3，0)，B(1，0)，C(0 ，3)三点，其顶点为D，对称轴与x轴交于点H. (1)求抛物线的解析式； (2)若点P是该抛物线的对称轴上的一个动点，求△PBC周长的最小值．解：(1)把A(－3，0)，B(1，0)，C(0，3)三点坐标代入y＝ax2＋bx＋c中，a＋b＋c＝0，9a－3b＋c＝0，c ＝3，解得a＝－1，b＝－2，c＝3，即抛物线的解析式是y＝－x2－2x＋3 (2)如图，△PBC的周长＝PB＋PC＋BC，∵BC是定值，∴当PB＋PC最小时，△PBC的周长最小．A，B两点关于对称轴对称，连接AC，交对称轴于点P，点P即为所求，∵AP＝BP，△PBC的最小周长＝PB＋PC＋BC＝AC＋BC，∵A(－3，0)，B(1，0)，C(0，3)，∴AC ＝32，BC＝10，∴△PBC的最小周长＝32＋10
7．(导学号30042258)小明在学习轴对称的时候，老师留了一道思考题：如图1，若点A，B在直线m的同侧，在直线m上找一点P，使得AP＋BP的值最小，小明通过独立思考，很快得出了解决这个问题的正确方法，他的做法是这样的：(a)作点B关于直线m的对称点B′，(b)连接AB′与直线m交于点P，则点P即为所求．请你参考小明的做法解决下列问题： (1)如图2，在等边△ABC中，AB＝2，点E是AB的中点，AD是高，在AD上找一点P(尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)，使得B P＋PE的值最小，并求出最小值； (2)如图3，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，G为边AD上的中点，若E，F为AB 边上的两个动点，点E在点F的左侧，且EF＝1，当四边形CGEF的周长最小时，请你在图3中确定点E，F的位置(尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)，并求出四边形CGEF的周长的最小值．解：(1)
如答图2，作点E 关于 AD的对称点F，交AC于点 F，连接BF，交AD 于点P，连接PE, 点P即为所求. 在等边△ABC中， AB＝2，点E 是AB 的中点，AD是高，∴F是AC的中点，∴BF⊥AC于点F, ∴BP ＋PE的最小值＝BF＝22－12＝3 (2)如答图3，作点G关于AB的对称点M，在CD上截取CH＝1，连接MH，交AB于点E，在BE上截取EF＝1，连接CF，则E，F为所求，∵AB＝4，BC＝6, G为边AD上的中点，∴DG＝GA＝AM＝3，∵AE∥DH，∴△MAE∽△MDH，∴AEDH＝AMDM，∴AE3＝39，∴AE＝1，∴在Rt△GAE，Rt△CBF，Rt△CDG中，分别由勾股定理得，GE＝AE2＋AG2＝12＋32＝10，CF＝BF2＋BC2＝22＋62
＝210，CG＝DG2＋DC2＝5, ∴四边形GEFC的周长的最小值＝GE＋EF ＋FC＋CG＝10＋1＋210＋5 ＝6＋310 8．(导学号30042259)如图，抛物线y＝－x2＋4x＋5与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C.已知M(0，1)，E(a，0)，F(a＋1，0)，点P是第一象限内的抛物线上的动点．△PCM是以CM为底的等腰三角形． (1)求点P的坐标； (2)当a为多少时，四边形PMEF周长最小. 解：(1)∵y＝－x2＋4x＋5
与y轴交于点C，∴点C的坐标为(0，5)，又∵M(0，1)，△PCM是以点P为顶点的等腰三角形，∴点P的纵坐标为3，令y＝－x2＋4x＋5＝3，解得x＝2±6，∵点P在第一象限，∴P(2＋6，3) (2)四边形PMEF的四条边中，PM，EF长度固定，因此只要ME＋PF最小，则PMEF 的周长将取得最小值，将点M向右平移1个单位长度(EF的长度)，得M1(1，1)，作点M1关于x轴的对称点M2，则M2(1，－1)，连接PM2与x轴交于F点，此时ME＋PF＝PM2最小，设直线PM2的解析式为y＝mx＋n，将P( 2＋6，3)，M2(1，－1)代入得：（2＋6）m＋n＝3，m＋n＝－1，解得：m＝46－45，n＝－46－15，∴y＝46－45x－46＋15，当y＝0时，解得x＝6＋54.∴F(6＋54，0)，∵F(a ＋1，0)，∴a＝6＋14，∴a＝6＋14时，四边形PMEF周长最小。