锐角三角函数及应用
锐角三角函数及应用
锐角三角函数及应用
锐角三角函数是指在直角三角形中，角度小于90度的三角函数，包括正弦函数、余弦函数和正切函数。
这些函数在数学、物理、工程等领域中都有广泛的应用。
正弦函数是指一个角的对边与斜边的比值，即sinθ=对边/斜边。
在三角函数中，正弦函数是最基本的函数之一，它在三角形的计算中有着重要的作用。
例如，在测量高度时，可以利用正弦函数计算出物体的高度。
余弦函数是指一个角的邻边与斜边的比值，即cosθ=邻边/斜边。
余弦函数也是三角函数中的基本函数之一，它在计算角度时有着重要的作用。
例如，在计算机图形学中，可以利用余弦函数计算出两个向量之间的夹角。
正切函数是指一个角的对边与邻边的比值，即tanθ=对边/邻边。
正切函数在三角形的计算中也有着重要的作用。
例如，在测量斜率时，可以利用正切函数计算出斜率的大小。
除了在三角形的计算中，锐角三角函数还有着广泛的应用。
在物理学中，正弦函数和余弦函数可以用来描述波的运动，例如声波和光波。
在工程学中，正弦函数和余弦函数可以用来描述交流电的变化，例如电压和电流的变化。
在计算机科学中，正切函数可以用来计算图像的旋转和缩放。
锐角三角函数是数学中的重要概念，它们在各个领域中都有着广泛的应用。
掌握锐角三角函数的概念和应用，对于学习数学、物理、工程和计算机科学等领域都有着重要的意义。
锐角三角函数及其应用
的角（一般指锐角），通常表达成北（南）偏东（西）多少度，如图,A点位于O点的北偏
东30°方向,B点位于O点的南偏东⑦ 60°方向,C点位于O点的北偏西⑧ 45°
方
向（或西北方向）
【温馨提示】直角三角形的实际应用中，计算结果经常会要求取近似数精确 到哪一位.如:3.1465保留整数是⑨ 3 ，精确到0.1为⑩ 3.1 ，精确到0.01 为⑪3.15 .
1.由
sin A a c
→求∠A;
2. b
c2 a2
1.由
tan
A
a b
→a=b.tanA;
2. cos
A
b c
→
c
b cos
A
1.由
tan A
a →求∠A;
b
2.
sin A a c
→
c a sin A
b,∠A
1.由
sin
A
a c
→a=c.sinA;
2.
cos
A
b c
→
b
c cos A
有斜用弦（条件或求解中有斜边时，用正弦sin或余弦cos） 无斜用切（条件或求解中没有斜边时，用正切tan） 取原避中（尽量用原始数据，避免中间近似，否则会增大最后答案的误差） 宁乘勿除（能用乘法的尽量用乘法，可以提高计算的准确度）
∴∠ABD=30°,∠CBD=75°-30°=45°，在Rt△ABD中，
∴BD=AB·sin∠CAB=20×sin60°=20× 3 = 10 3 ，在Rt△BCD中，
∠CBD=45°，∴BC=2BD= 10
3
2 2 =10
6 (海里).
练习2题解图
练习3 如图，一楼房AB后有一假山，其坡度为i=1∶3 ，山坡坡面上E点处有一 休息亭，测得假山坡脚C与楼房水平距离BC=25米，与亭子距离CE=20米，小 丽从楼房顶测得E点的俯角为45°， 求楼房AB的高.(注:坡度i是指坡面的铅直高度与水平宽度的比)
锐角三角形函数及应用
锐角三角形函数及应用锐角三角形是指三个内角都小于90的三角形。
在锐角三角形中，我们可以应用一些函数来求解各种问题。
以下是一些锐角三角形函数及其应用的例子：1. 正弦函数：在锐角三角形ABC中，以角A为锐角，边BC为斜边，则正弦函数可以定义为sin A = BC / AC。
我们可以利用正弦函数来求解各种问题，如求解角度、边长等。
例如，已知角度A和边长BC，可以通过sin A = BC / AC来求解边长AC。
2. 余弦函数：在锐角三角形ABC中，以角A为锐角，边BC为斜边，则余弦函数可以定义为cos A = AC / BC。
我们可以利用余弦函数来求解各种问题，如求解角度、边长等。
例如，已知角度A和边长AC，可以通过cos A = AC / BC来求解边长BC。
3. 正切函数：在锐角三角形ABC中，以角A为锐角，边BC为斜边，则正切函数可以定义为tan A = BC / AC。
我们可以利用正切函数来求解各种问题，如求解角度、边长等。
例如，已知角度A和边长BC，可以通过tan A = BC / AC来求解边长AC。
4. 余切函数：在锐角三角形ABC中，以角A为锐角，边BC为斜边，则余切函数可以定义为cot A = AC / BC。
我们可以利用余切函数来求解各种问题，如求解角度、边长等。
例如，已知角度A和边长AC，可以通过cot A = AC / BC来求解边长BC。
通过这些函数，我们可以在求解锐角三角形问题时进行角度和边长之间的转换。
例如，已知一个锐角三角形的两边和一个角度，我们可以利用正弦、余弦、正切函数来求解其余的角度和边长。
此外，锐角三角形函数还可以应用于实际生活中的一些问题。
例如，在建筑设计中，我们需要计算一座斜塔的高度。
我们可以通过测量角度和斜塔与地面的距离，利用正切函数来求解其高度。
同样，在地理测量中，我们可以利用正弦、余弦、正切函数来计算两地之间的距离和方位角。
总之，锐角三角形函数是求解锐角三角形问题的重要工具，其应用广泛且实用。
第21讲 锐角三角函数及其应用
测量“马踏飞燕“雕塑最高点离地面的高度
测量示意图
如图，雕塑的最高点 到地面的高度为 ，在测点 用仪器测得点 的仰角为 ，前进一段距离到达测点 ，再用该仪器测得点 的仰角为 ，且点 ， ， ， ， ， 均在同一竖直平面内，点 ， ， 在同一条直线上．
命题点
2
锐角三角函数的实际应用（省卷：6年6考；兰州：6年6考）
3.(2023省卷22题)如图1，某人的一器官后面 处长了一个新生物，现需检测其到皮肤的距离（图1）．为避免伤害器官，可利用一种新型检测技术，检测射线可避开器官从侧面测量．某医疗小组制定方案，通过医疗仪器的测量获得相关数据，并利用数据计算出新生物到皮肤的距离.方案如下：
课题
检测新生物到皮肤的距离
工具
医疗仪器等
示图
图1
示意图
图2
续表
说明
如图2，新生物在 处，先在皮肤上选择最大限度地避开器官的 处照射新生物，检测射线与皮肤 的夹角为 ；再在皮肤上选择距离 处 的 处照射新生物，检测射线与皮肤 的夹角为 ．
测量数据
， ，
续表
甘肃6年中考真题与拓展
命题点
1
解直角三角形
1.(2017兰州3题)如图，一个斜坡长 ，坡顶离水平地面的距离为 ，那么这个斜坡与水平地面夹角的正切值等于( )
第1题图
A. B. C. D.
√
第2题图
2.(2020天水15题)如图所示， 是放置在正方形网格中的一个角，则 的值是_ __．
6.(2021省卷22题)如图1是平凉市地标建筑“大明宝塔”，始建于明嘉靖十四年（1535年），是明代平凉韩王府延恩寺的主体建筑．宝塔建造工艺精湛，与崆峒山的凌空塔遥相
呼应，被誉为平凉古塔“双璧”．某数学兴趣小组开展了测量“大明宝塔的高度”的实践活动，具体过程如下：
【中考数学考点复习】第六节 锐角三角函数及其应用 课件(共33张PPT)
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第1题图
第六节 锐角三角函数及其应用
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改编条件：题干改变“测量点的高度”；“两个非特殊角”改为“两个 特殊角” 2．(2020 贺州)如图，小丽站在电子显示屏正前方 5 m 远的 A1 处看“防溺 水六不准”，她看显示屏顶端 B 的仰角为 60°，显示屏底端 C 的仰角为 45°，已知小丽的眼睛与地面距离 AA1＝1.6 m， 3．求电子显示屏高 BC 的值．(结果保留一位小数． 4．参考数据： 2≈1.414， 3≈1.732)．
第 6 题图
第六节 锐角三角函数及其应用
解：如解图，延长 BC 交 MN 于点 F， 由题意得 AD＝BE＝3.5 米，AB＝DE＝FN＝1.6 米，
在 Rt△MFE 中，∠MEF＝45°，∴MF＝EF，
在 Rt△MFB 中，∠MBF＝33°，
∴MF＝BF·tan33°＝(MF＋3.5)·tan33°，
第六节 锐角三角函数及其应用
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3. ．如图，为测量电视塔观景台 A 处的高度，某数学兴趣小组在电视塔 附近一建筑物楼顶 D 处测得塔 A 处的仰角为 45°，塔底部 B 处的俯角为 22°.已知建筑物的高 CD 约为 61 米，请计算观景台的高 AB 的值．(结果 精确到 1 米，参考数据：sin 22°≈0.37，cos 22°≈0.93，tan 22°≈0.40)
形的边角 1. 三边关系：a2＋b2＝c2
关系
2. 两锐角关系：∠A＋∠B＝90° 3. 边角关系：sinA＝cosB＝ a ；cosA＝sinB＝ b；
tanA＝
a
c
；tanB＝
b
c
图②用
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1.仰角、俯角：如图③，当从低处观测高处的目标时，视线与水平线 锐角三角 所成的锐角称为__仰__角____，当从高处观测低处的目标时，视线与水平 函数的实 线所成的锐角称为___俯__角___ 际应用 2．坡度(坡比)、坡角：如图④，坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫坡
初中锐角三角函数及应用
初中锐角三角函数及应用锐角三角函数是指角度小于90度的三角函数，包括正弦、余弦和正切。
这些函数在数学和物理学中有着广泛的应用。
首先，我们来介绍一下锐角三角函数的定义和性质。
在一个直角坐标系中，对于一个锐角ABC（角A小于90度）, 我们可以定义正弦函数sinA 为点B的纵坐标除以斜边AC的长度，余弦函数cosA 为点B的横坐标除以斜边AC的长度，正切函数tanA 为点B的纵坐标除以横坐标。
其中，sinA、cosA和tanA都是角A的函数。
这些函数有许多重要的性质。
首先，它们的定义域都是锐角的正数集合，即(0,90)。
其次，它们的值域都是(-1,1)，即在定义域内，这些函数的值都在-1到1之间变化。
此外，正弦函数和余弦函数还具有周期性，周期为360度或2π弧度。
也就是说，对于一个锐角A，sin(A+360k) = sinA，cos(A+360k) = cosA，其中k 为整数。
在应用方面，锐角三角函数有着广泛的作用。
首先，它们被广泛应用于三角计算。
例如，我们可以利用正弦定理或余弦定理，通过已知边和角来求解三角形的其他未知边和角。
这在测量、建筑、工程等领域都有着重要的应用。
其次，锐角三角函数在物理学中也有着重要的应用。
例如，对于一个斜抛运动的物体，我们可以利用正弦函数和余弦函数来分析其垂直和水平方向上的运动。
它们可以帮助我们计算物体的落点、飞行时间、最大高度等。
另外，锐角三角函数还与周期函数和图像有着密切的关系。
它们的图像可以通过函数的周期性来得到。
例如，正弦函数的图像是一个周期为2π的曲线，具有对称性和单调性，而余弦函数的图像是一个周期为2π的曲线，也具有对称性和反单调性。
此外，锐角三角函数还与三角恒等式有着重要的联系。
三角恒等式是指对于锐角A和B，成立的恒等关系。
利用三角恒等式，我们可以化简复杂的三角函数表达式，简化计算过程。
总的来说，锐角三角函数是数学中一类重要的函数，具有广泛的应用。
它们不仅在三角计算和几何题目中有着重要作用，还与物理学、周期函数和三角恒等式等有着紧密的联系。
锐角三角函数(余弦、正切)
振动与波动
余弦函数在振动和波动的研究中有广泛 应用。例如，简谐振动的位移、速度和 加速度都可以表示为余弦函数的形式。
03
正切函数
正切函数的定义与性质
正切函数的定义
正切函数是锐角三角函数的一种，定义为直角三角形中锐角的对边与邻边的比 值，记作tan(α)，其中α为锐角。
正切函数的性质
正切函数具有连续性、周期性、奇偶性等性质。在区间(0,π/2)和(π/2,π)内，正 切函数是单调递增的，而在区间(-π/2,0)和(π/2,3π/2)内，正切函数是单调递减 的。
01
余弦函数和正切函数的定义
余弦函数和正切函数是锐角三角函数的重要组成部分，它们分别描述了
直角三角形中锐角对应的邻边和斜边的比值，以及锐角对应的对边和邻
边的比值。
02
基本性质和应用
余弦函数和正切函数具有周期性、奇偶性等基本性质，这些性质在解决
几何、物理和工程问题中有着广泛的应用。例如，在计算角度、长度、
工程学中的应用
结构设计
在建筑和机械工程中，锐 角三角函数用于设计各种 结构，如桥梁、建筑和机 器部件。
控制系统
在控制工程中，锐角三角 函数用于设计和分析控制 系统，以确保系统的稳定 性和性能。
信号处理
在电子和通信工程中，锐 角三角函数用于信号处理， 如滤波、调制和解调等。
06
总结与展望
锐角三角函数的总结
正切函数的图像与周期性
正切函数的图像
正切函数的图像是一条周期函数，其周期为π，且在每一个周期 内，图像呈现出先增后减的趋势。
正切函数的周期性
由于正切函数的周期为π，因此对于任意整数k，tan(x+kπ) = tan(x)，即正切函数在每个周期内具有相同的形状，但位置会随 着k的变化而变化。
锐角三角函数及应用经典例题
锐角三角函数及应用经典例题锐角三角函数是指在单位圆上，从原点出发，与 x 轴正半轴之间的夹角小于90° 的角的三角函数。
其中包括正弦函数sinα、余弦函数cosα、正切函数tanα，以及它们的倒数函数cscα、secα、cotα。
锐角三角函数在数学中有广泛的应用，尤其在几何、物理以及工程学中涉及到角度测量、距离计算等方面经常用到。
下面我们来看一些经典的例题，以加深对锐角三角函数的理解：例题1：已知在锐角 ABC 中，边长 BC = 5, AC = 13、求角 A 的正弦值 sinA、余弦值 cosA 和正切值 tanA。
解答：由于边长BC=5,AC=13，我们可以根据勾股定理求得边长AB=√(AC^2-BC^2)=12角 A 的正弦值 sinA = BC / AC = 5 / 13，余弦值 cosA = AB / AC = 12 / 13，正切值 tanA = BC / AB = 5 / 12例题2：已知在锐角 ABC 中，角B = 35°，边长 BC = 8、求角 A 的正弦值 sinA、余弦值 cosA 和正切值 tanA。
解答：由于已知角B = 35°，边长 BC = 8，我们可以根据正弦函数的定义求得角 A 的正弦值为 sinA = BC / AC。
由于 sinA = BC / AC，我们可以得到 AC = BC / sinA = 8 /sin(180° - A - B)。
根据余弦定理，可以计算出边长AC = √(AB^2 + BC^2 - 2 * AB * BC * cosB)。
代入已知的B = 55° 和 BC = 8，我们可以求得AC = √(AB^2 +8^2 - 2 * AB * 8 * cos35°)。
我们可以进一步根据余弦函数的定义计算 AB 的值，即 cosA = AB / AC，所以 AB = AC * cosA。
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锐角三角函数【知识梳理】
【思想方法】
1. 常用解题方法——设k法
2. 常用基本图形——双直角
【例题精讲】
例题1.在△ABC中，∠C=90°．
（1）若cosA=1
2
，则tanB=______;（•2）•若cosA=
4
5
，则tanB=______．
例题2.（1）已知：cosα=2
3
，则锐角α的取值范围是（）
A．0°<α<30° B．45°<α<60°
C．30°<α<45° D．60°<α<90°
（2）当45°<θ<90°时，下列各式中正确的是（）
A．tanθ>cosθ>sinθ B．sinθ>cosθ>tanθ
C．tanθ>sinθ>cosθ D．sinθ>tanθ>cosθ
例题3.（1）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平分线，∠CAB=60°，•CD=3，BD=23，求AC，AB的长．
例题4.“曙光中学”有一块三角形状的花园ABC，有人已经测出∠A=30°，AC=40米，BC=25米，你能求出这块花园的面积吗？
例题5.某片绿地形状如图所示，其中AB⊥BC，CD⊥AD，∠A=60°，AB=200m，CD=100m，•求AD、BC的长．
【当堂检测】
1.若∠A 是锐角，且cosA=sinA ，则∠A 的度数是（ ）
A.300
B.450
C.600
D.不能确定
2.如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B=450，∠C=1200，AB=8，则CD 的长为（ ）
A.638
B.64
C.328
D.24 3.在Rt △ABC 中，∠C=900，AB=2AC ，在BC 上取一点D ，使AC=CD ，则CD ：BD=（ ）
A.213+
B.13-
C.2
3 D.不能确定 4.在Rt △ABC 中，∠C=900，∠A=300，b=310，则a= ，c= ；
5.已知在直角梯形ABCD 中，上底CD=4，下底AB=10，非直角腰BC=34， 则底角∠B= ；
6.若∠A 是锐角，且cosA=5
3，则cos （900-A ）= ； 7.在Rt △ABC 中，∠C=900，AC=1，sinA=
23，求tanA ，BC ．
8.在△ABC 中，AD ⊥BC ，垂足为D ，AB=22，AC=BC=52，求AD 的长．
9. 去年某省将地处A 、B 两地的两所大学合并成一所综合性大学，为了方便两地师生交往，学校准备在相距2km 的A 、B 两地之间修一条笔直的公路，经测量在A 地北偏东600方向，B 地北偏西450方向的C 处有一个半径为0.7km 的公园，问计划修筑的这条公路会不会穿过公园？为什么？
B A D
C A
B C D C A B 第2题图 第8题图 第9题图
锐角三角函数的简单应用
【知识梳理】
1. 坡面与水平面的夹角(α)称为坡角,坡面的铅直高度与水平宽度的比称为坡度i(或坡比),即坡度等于坡角的正切值．
2. 仰角：仰视时，视线与水平线的夹角．
俯角：俯视时，视线与水平线的夹角．
【思想方法】
1. 常用解题方法——设k 法
2. 常用基本图形——双直角
【例题精讲】 例题1.如图，梯子（长度不变）跟地面所成的锐角为A ，关于A ∠的三角函数值与梯子的倾斜程度之间，叙述正确的是（ ）
A ．sin A 的值越大，梯子越陡
B ．cos A 的值越大，梯子越陡
C ．tan A 的值越小，梯子越陡
D ．陡缓程度与A ∠的函数值无关
例题1图
例题2.
如图，一束光线照在坡度为1与地面平行的光线，则这束与坡面的夹角α是 度．
例题2图 例题3图
例题3.如图，张聪同学在学校某建筑物的C 点处测得旗杆顶部A 点的仰角为30°，旗杆底部B 点的俯角为45°．若旗杆底部B 点到该建筑的水平距离BE ＝6米，旗杆台阶高1米，求旗杆顶部A 离地面的高度（结果保留根号）
【当堂检测】
1.一个钢球沿坡角31o 的斜坡向上滚动了5米，则钢球距地面的高度是(单位：米)（ ）
A ．5cos31o
B ．5sin 31o
C ．5cot 31o
D ．5tan 31o 第1题图
2.某渔船上的渔民在A 处观测到灯塔M 在北偏东60o 方向处，这艘渔船以每小时28海里的速度向正东方向航行，半小时后到达B 处，在B 处观测到灯塔M 在北偏东30o 方向处．问B 处与灯塔M 的距离是多少海里？
第2题图
3.如图所示，小明家住在32米高的A 楼里，小丽家住在B 楼里，B 楼坐落在A 楼的正北面，已知当地冬至中午12时太阳光线与水平面的夹角为30o ．
（1）如果A B ，
两楼相距A 楼落在B 楼上的影子有多长？
（2）如果A 楼的影子刚好不落．
在B 楼上，那么两楼的距离应是多少米？ （结果保留根号）
第3题图
A
B M 东 北 60o
30o。