高中数学全程学习方略配套课件：2.2.2等差数列的性质(人教A版必修5)
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人教A版高中数学必修5课件：2.2等差数列定义及通项公式(共37张PPT)
∴294<d≤3.又 d 为整数， ∴d＝3. ∴an＝a1＋(n－1)·d＝－24＋3(n－1)＝3n－27. ∴通项公式为 an＝3n－27.
10．如果一个数列的各项都是实数，且从第二项开始， 每一项与它前一项的平方差是相同的常数，则称该数列为等 方差数列，这个常数叫做这个数列的公方差．
(1)设数列{an}是公方差为 p 的等方差数列，求 an 和 an－ 1(n≥2)的关系式；
[答案] B
4．首项是 18，公差为 3 的等差数列的第________项开
始大于 100.
[解析] 由题意 an＝18＋3(n－1)＝3n＋15，
由
3n＋15>100
得
1 n>283.
∵n∈N*，
∴n＝29，即从 29 项开始大于 100.
[答案] 29
5．若b＋1 c，c＋1 a，a＋1 b成等差数列，求证：a2，b2，c2 成等差数列．
又∵d 是整数，∴d＝－4.故选 C. [答案] C
二、填空题
5．若 x≠y，数列 x，a1，a2，y 和 x，b1，b2，b3，y 各
自成等差数列，则ab11－ －ab22＝________. [解析] 由于 a1－a2＝x－3 y，b1－b2＝x－4 y，则ab11－ －ab22＝43.
[答案]
(2)若数列{an}既是等方差数列，又是等差数列，证明该 数列为常数列．
[解] (1)由等方差数列的定义可知：a2n－a2n－1＝p(n≥2)． (2)解法一：∵{an}是等差数列，设公差为 d，则 an－an －1＝an＋1－an＝d(n≥2)．又{an}是等方差数列，∴a2n－a2n－1＝ a2n＋1－a2n(n≥2)，∴(an＋an－1)(an－an－1)＝(an＋1＋an)(an＋1－ an)，即 d(an＋an－1－an＋1－an)＝－2d2＝0，∴d＝0，即{an} 是常数列．
10．如果一个数列的各项都是实数，且从第二项开始， 每一项与它前一项的平方差是相同的常数，则称该数列为等 方差数列，这个常数叫做这个数列的公方差．
(1)设数列{an}是公方差为 p 的等方差数列，求 an 和 an－ 1(n≥2)的关系式；
[答案] B
4．首项是 18，公差为 3 的等差数列的第________项开
始大于 100.
[解析] 由题意 an＝18＋3(n－1)＝3n＋15，
由
3n＋15>100
得
1 n>283.
∵n∈N*，
∴n＝29，即从 29 项开始大于 100.
[答案] 29
5．若b＋1 c，c＋1 a，a＋1 b成等差数列，求证：a2，b2，c2 成等差数列．
又∵d 是整数，∴d＝－4.故选 C. [答案] C
二、填空题
5．若 x≠y，数列 x，a1，a2，y 和 x，b1，b2，b3，y 各
自成等差数列，则ab11－ －ab22＝________. [解析] 由于 a1－a2＝x－3 y，b1－b2＝x－4 y，则ab11－ －ab22＝43.
[答案]
(2)若数列{an}既是等方差数列，又是等差数列，证明该 数列为常数列．
[解] (1)由等方差数列的定义可知：a2n－a2n－1＝p(n≥2)． (2)解法一：∵{an}是等差数列，设公差为 d，则 an－an －1＝an＋1－an＝d(n≥2)．又{an}是等方差数列，∴a2n－a2n－1＝ a2n＋1－a2n(n≥2)，∴(an＋an－1)(an－an－1)＝(an＋1＋an)(an＋1－ an)，即 d(an＋an－1－an＋1－an)＝－2d2＝0，∴d＝0，即{an} 是常数列．
高中数学全程学习方略配套课件：2.3.1等差数列的前n项和(人教A版必修5)
故n=13时，Sn有最大值169.
……………………12分
【误区警示】对解答本题时易犯错误的具体分析如下：
1.在等差数列{an}中，已知a1=4，a6=6，则前6项和S6=（ ）
（A）70 （Ｂ）35 （Ｃ）30 （Ｄ）12
【解析】选Ｃ．S6＝（6 a1 a6）＝6＝（340．6）
2
2
2.等差数列{an}的前ｎ项和为Sn，若a3＋a17＝10，则
1 099 100
11=0 -110190. (
2
11 50
)
故此数列的前110项之和为-110.
方法二:数列S10,S20-S10,S30-S20,…,S100-S90,S110-S100成等差 数列,设其公差为D,前10项和为10S10+102 9·D=S100=10 D=-22,∴S110-S100=S10+(11-1)D =100+10×(-22)=-120.
②若共有2n+1项，则S2n+1=（2n+1）an+1； S偶-S奇=-an+1；S偶∶S奇=n∶（n+1）； ③“片段和”性质： 等差数列{an}中，公差为d，前k项的和为Sk，则Sk，S2k-Sk， S3k-S2k，…，Smk-S（m-1）k,…构成公差为k2d的等差数列.
【例2】Sn是等差数列{an}的前n项和，且S10=100，S100=10， 求S110. 【审题指导】题目给出等差数列{an}中的S10=100， S100=10，欲求S110，可由等差数列前n项和公式列出方程 组，求出a1和d，然后求出S110.或由等差数列“片段和”性 质Sk，S2k-Sk，S3k-S2k，…，Smk-S（m-1）k,…构成公差为 k2d的等差数列求出公差，然后求出S110.
高中数学 2.2.2等差数列的性质课件 新人教A版必修5
ppt精选
10
∴an＝2n－3 或 an＝13－2n，n∈N*.
点评：等差数列的运算常用两条思路：①根据已知条件，寻找、栏
目
列出两个方程，确定
a1、d，然后求其他；②利用性质巧解，其中
m
链 接
＋n＝k＋l＝2s(m、n、k、l、s∈N*)⇔am＋an＝ak＋al＝2as.
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11
2．在等差数列{an}中，a5＋a13＝40，则 a8＋a9＋a10 的值为( )
分析：求等差数列的通项公式只要求 a1、d 两个量即可．
解析：方法一 由题意 aa58＝＝aa11＋＋47dd＝＝151，⇒ad1＝＝－192，⇒
栏 目 链 接
an＝19＋(n－1)×(－2)，
故数列的通项公式为 an＝21－2n(n∈N*)．
方法二 a8－a5＝5－11＝3d⇒d＝－2，
a5＝a1＋4d⇒a1＝19，
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12
即 a1＋8d＝20.
a8＋a9＋a10＝a1＋7d＋a1＋8d＋a1＋9d＝3a1＋24d＝3(a1＋8d)＝
60.故选 B.
栏
目
方法二 可以应用等差数列的性质：
链
接
若 m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则 am＋an＝ap＋aq，所以有
a8＋a10＝a5＋a13＝2a9＝40，故 a8＋a9＋a10＝60.故选 B.
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栏 目 链 接
15
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的通项公式．
解析：方法一 ∵a1＋a7＝2a4，a1＋a4＋a7＝3a4＝15，
栏 目
链
∴a4＝5.
2.2.2《等差数列的性质》课件(人教A版必修5)
(D)-
3
第28页，共46页。
【解析】选D.∵{an}为等差数列，a1+a7+a13=4π, ∴3a7=4π,∴a7= π.4
又∵a2+a12=2a7, 3 ∴a2+a12= 8 π,
∴tan(a2+a312)=- . 3
第29页，共46页。
2.设{an}为公差为-2的等差数列，若a1+a4+a7+…+a97=50,则
m的值为（ ）
（A）8
（B）4
（C）6
（D）12
【解析】选A.在等差数列{an}中，d>0. ∴数列{an}为递增数列.
又a3+a6+a10+a13=4a8=32,∴a8=8,∴m=8.
第31页，共46页。
二、填空题（每题5分，共10分）
4.（2010·济宁高二检测）在等差数列{an}中，已知公差
第44页，共46页。
【解析】(1)由等方差数列的定义可知：a2n-a2n-1=p(n≥2). (2)∵{an}是等差数列，设公差为d,则an-an-1=an+1-an=d(n≥2).又 {an}是等方差数列，∴a2n-a2n-1=a2n+1-a2n (n≥2),∴(an+ an-1)(an-an-1)=(an+1+an)(an+1-an)，即d(an+an-1-an+1-an)=
-2d2=0,∴d=0,故{an}是常数列.
第45页，共46页。
第46页，共46页。
∴lgalg=a-lglbgb,∴ab=1.
答案：1
第42页，共46页。
第43页，共46页。
4.（15分）如果一个数列的各项都是实数，且从第2项开始，每一项与它的 前一项的平方差是相同的常数，则称该数列为等方差数列，这个常数叫做 这个数列的公方差.
2.2等差数列2-高中数学人教A版必修5课件(共13张PPT)
余杭高级中学高一数学组
课堂小结
三.{an}是公差为 d 的等差数列，其具有的其他性质如下 (1)am＋n－an＝am＋k－ak＝md(m，n，k∈N*)． (2)下标成等差数列，则数列 am，am＋k，am＋2k，am＋3k…成等 差数列，公差为 kd(m，k∈N*)． (3)若{bn}为等差数列，则{an±bn}，{kan＋b}(k，b 为非零常数) 也为等差数列．
(1)证明数列 an 等差，（2）求an
练习：已知数列an , 满足anan1
an1
an , a1
1, a2
1 2
（1）证明数列
1 an
等差，（2）求a
n
课堂小结
一．等差数列的重要性质：
1.an＝am＋(n-m)d(m，n∈N*)． 2 若 m＋n＝p＋q(m，n，q，p∈N*)，则 an+am＝ap＋aq. 二.等差数列的其他性质： (1)若{an}是公差为 d 的等差数列，则下列数列： ①{c＋an}(c 为任一常数)是公差为 d 的等差数列； ②{can}(c 为任一常数)是公差为 cd 的等差数列； ③{an＋an＋k}(k 为常数，k∈N*)是公差为 2d 的等差数列． (2)若{an}，{bn}分别是公差为 d1，d2 的等差数列，则数列 {pan＋qbn}(p，q 是常数)是公差为 pd1 +q d2 的等差数列．
(4){an}去掉前几项后余下的项仍组成公差为 d 的等差数列． (5)奇数项数列{a2n－1}是公差为 2d 的等差数列；偶数项数列 {a2n}是公差为 2d 的等差数列． (6)若{kn}是等差数列，则{akn}也是等差数列
余杭高级中学高一数学组
随堂练习
1.已知数列{an }为等差数列，且a8 22, a16 46,则a32
课堂小结
三.{an}是公差为 d 的等差数列，其具有的其他性质如下 (1)am＋n－an＝am＋k－ak＝md(m，n，k∈N*)． (2)下标成等差数列，则数列 am，am＋k，am＋2k，am＋3k…成等 差数列，公差为 kd(m，k∈N*)． (3)若{bn}为等差数列，则{an±bn}，{kan＋b}(k，b 为非零常数) 也为等差数列．
(1)证明数列 an 等差，（2）求an
练习：已知数列an , 满足anan1
an1
an , a1
1, a2
1 2
（1）证明数列
1 an
等差，（2）求a
n
课堂小结
一．等差数列的重要性质：
1.an＝am＋(n-m)d(m，n∈N*)． 2 若 m＋n＝p＋q(m，n，q，p∈N*)，则 an+am＝ap＋aq. 二.等差数列的其他性质： (1)若{an}是公差为 d 的等差数列，则下列数列： ①{c＋an}(c 为任一常数)是公差为 d 的等差数列； ②{can}(c 为任一常数)是公差为 cd 的等差数列； ③{an＋an＋k}(k 为常数，k∈N*)是公差为 2d 的等差数列． (2)若{an}，{bn}分别是公差为 d1，d2 的等差数列，则数列 {pan＋qbn}(p，q 是常数)是公差为 pd1 +q d2 的等差数列．
(4){an}去掉前几项后余下的项仍组成公差为 d 的等差数列． (5)奇数项数列{a2n－1}是公差为 2d 的等差数列；偶数项数列 {a2n}是公差为 2d 的等差数列． (6)若{kn}是等差数列，则{akn}也是等差数列
余杭高级中学高一数学组
随堂练习
1.已知数列{an }为等差数列，且a8 22, a16 46,则a32
人教A版高中数学必修五课件：2.2.2等差数列的性质
).
6
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UBIAODAOHANG
Z 知识梳理
HISHI SHULI
Z 重难聚焦
HONGNAN JVJIAO
D典例透析
IANLI TOUXI
等差数列的性质 剖析:若数列{an}是公差为d的等差数列,则 (1)当d=0时,数列为常数列;当d>0时,数列为递增数列;当d<0时, 数列为递减数列.
15
Hale Waihona Puke M 目标导航题型一 题型二 题型三
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HISHI SHULI
Z 重难聚焦
HONGNAN JVJIAO
D典例透析
IANLI TOUXI
(2)已知四个数成递增等差数列,中间两数的和为2,首末两项的积 为-8,求这四个数. 解:设这四个数分别为a-3d,a-d,a+d,a+3d(公差为2d). 依题意,2a=2,且(a-3d)(a+3d)=-8, 即a=1,a2-9d2=-8, ∴d2=1,∴d=1或d=-1. 又四个数成递增等差数列,∴d>0, ∴d=1,故所求的四个数为-2,0,2,4.
2������ = ������ + ������, 则由题意,得 ������ + ������ + ������ = 18, ������2 + ������2 + ������ 2 = 116,
解得a=4,b=6,c=8. 故这三个数是4,6,8.
13
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2019-2020学年数学人教A版必修5课件：2.2 第2课时等差数列的性质
4．在等差数列{an}中，已知a2＋2a8＋a14＝120，则2a9－ a10的值为________．
【答案】30
【解析】∵a2 ＋a14＝2a8，∴a2 ＋2a8＋a14＝4a8＝120， ∴a8＝30.∴2a9－a10＝(a8＋a10)－a10＝a8＝30.
利用等差数列的通项公式或性质解题
【例1】 在等差数列{an}中，若a2＝4，a4＝2，则a6＝ ()
在等差数列{an}中，若a1＋a2＋a3＝32，a11＋a12＋
a13＝118，则a4＋a10＝( )
A．45
B．50
C．75
D．60
【答案】B
【解析】∵a1＋a2＋a3＝3a2＝32，a11＋a12＋a13＝3a12＝ 118，∴3(a2＋a12)＝150，即a2＋a12＝50.∴a4＋a10＝a2＋a12＝ 50.故选B．
(2019 年陕西西安模拟)《莱因德纸草书》是世
界上最古老的数学著作之一，书中有一道这样的题目：把 100
个面包分给五个人，使每人所得面包数成等差数列，且使较大
的三份之和的17等于较小的两份之和，问最小的 1 份为多少？这
个问题的答案为( )
A．53
B．130
C．56 【答案】A
D．161
【解析】设五个人分得的面包为 a－2d，a－d，a，a＋d， a＋2d(d>0)，则(a－2d)＋(a－d)＋a＋a＋d＋a＋2d＝5a＝100， ∴a＝20.由17(a＋a＋d＋a＋2d)＝a－2d＋a－d，得 3a＋3d＝7(2a －3d)，∴24d＝11a.∴d＝565.∴最小的一份为 a－2d＝20－2×565 ＝53.故选 A．
【方法规律】常见设元技巧： (1)某两个数是等差数列中的连续两个数且知其和，可设这 两个数为a－d，a＋d，公差为2d； (2)三个数成等差数列且知其和，常设此三数为a－d，a，a ＋d，公差为d； (3)四个数成等差数列且知其和，常设成a－3d，a－d，a＋ d，a＋3d，公差为2d.
高中数学全程学习方略配套课件：2.2.1等差数列(人教A版必修5)
【例1】已知数列{an}满足a1=4，an=4- 4 （n＞1, n∈N*），
a n1
记bn= 1 . 试判断数列{bn}是否为等差数列？说明理由.
an 2
【审题指导】题目中给出了数列{an}的递推关系式以及bn和an的
关系，欲判断数列{bn}是否为等差数列，只需说明bn+1-bn为常数
是否成立.
6.已知等差数列{an}中，a1=-a9=24,求a10. 【解析】设等差数列的公差为d. 由a9=a1+（9-1）d=24+8d=-24,得d=-6, a10=a1+9d=24+9 ×(-6)=-30.
【学习力-学习方法】
优秀同龄人的陪伴 让你的青春少走弯路
小案例—哪个是你
忙忙叨叨，起早贪黑， 上课认真，笔记认真， 小A 就是成绩不咋地……
整过程
方向
资料
筛选
认知
高效学习模型-学习的完
整过程
消化
固化
模式
拓展
小思 考
TIP1：听懂看到≈认知获取；
TIP2：什么叫认知获取：知道一些概念、过程、信息、现象、方法，知道它们 大 概可以用来解决什么问题，而这些东西过去你都不知道；
TIP3：认知获取是学习的开始，而不是结束。
为啥总是听懂了， 但不会做，做不好？
如何利用规律实现更好记忆呢？
超级记忆法-记忆 规律 第四个记忆周期是 1天 第五个记忆周期是 2天 第六个记忆周期是 4
天 第七个记忆周期是 7天 第八个记忆周期是15天 这五个记忆周期属于长期记忆的范畴。 所以我们可以选择这样的时间进行记忆的巩固，可以记得更扎实。
如何利用规律实现更好记忆呢？
超级记忆法--场 景法
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2
∴- 1［cos 2 -cos（A-C）］= 3 ,
2
3
4
∴ 1 1 cos（A-C）= 3 , ∴cos（A-C）=1.
42
4
∵（A-C）∈（ 2 , 2 ）,∴A-C=0,即A=C= , ∴A=B=C.
33
3
故△ABC为等边三角形.
【典例】（12分）已知等差数列{an}的首项为a1，公差为d， 且a11=-26，a51=54，求a14的值.你能判断该数列从第几项开始 为正数吗？ 【审题指导】题目中给出了等差数列中的两项，列出方程组可 先求出a1和d，再求a14.也可利用等差数列的性质求d，再求a14 的值.要判断从第几项为正数，可令an＞0解不等式求解.
………………………10分
令an≥0，即2n-48≥0 n≥24.
∴从第25项开始，各项为正数 ………………………12分
【误区警示】对解答本题时易犯的错误具体分析如下：
1.等差数列{an}的公差d=2,a1=2,则an等于（ ）
(A)2
(B)2n-2
(C)2n
(D)2n+2
【解析】选C.an=a1+(n-1)d=2+(n-1)×2=2n.
方法二：若设数列的首项为a，公差为d，则这四个数为a，
பைடு நூலகம்
a+d，a+2d，a+3d,依题意，2a+3d=2，且a（a+3d）=-8，把
a=1- 3 d代入a（a+3d）=-8，得（1- 3 d）（1+ 3 d）=-8，
2
2
2
即1- 9 d2 =-8，化简得d2=4，所以d=2或-2.又四个数成递增
4
陕沪携手，有你、有我、有希沃共创教育美好未来，其中一个核心的原因就是日本企业高度重视依赖企业特有的隐性知识(- ),而这样的知识必须要依赖长期稳定和忠诚度高的员工,所以日本企业普遍 比较重视HR职能部门的作用，滴水之恩，涌泉相报，西安电大 https://，这两点在业内非常难能可贵，是睿泰集团深耕行业多年的积淀，来自江苏南京金陵中学的高三学生吴何乐， 他在完成三年高中学业的同时，在《我的世界》中成功搭建了自己的高中校园，完美&;还原&;了母校的风景，在习惯百日行即将结束之际,不少家长和孩子表示出对活动的不舍之情
等差数列的有关运算 【名师指津】等差数列有关运算的技巧 （1）当等差数列{an}的项数n为奇数时，可设中间一项为a，再 用公差为d向两边分别设项：…，a-2d，a-d，a，a+d， a+2d，…; （2）当等差数列{an}的项数为偶数项时，可设中间两项为a-d， a+d，再以公差为2d向两边分别设项：…，a-3d,a-d,a+d, a+3d,…,这样可减少运算量.
等差数列，所以d＞0，所以d=2，所以a=-2,故所求的四个
数为-2，0，2，4.
等差数列的综合应用 【名师指津】 1.等差数列综合问题的类型： 等差数列是关于n的一次函数（d=0时为常数函数），常与 单调性、参数的取值范围以及解三角形等问题相结合考查.
2.解决数列综合问题的方法策略 （1）结合等差数列的性质或利用等差中项. （2）利用通项公式，得到一个以首项a1和公差d为未知数 的方程或不等式. （3）利用函数或不等式的有关方法解决.
【思考】
【点拨】
等差数列性质的应用 【名师指津】等差数列的“子数列”性质.若数列{an}是公差 为d的等差数列，则 （1）{an}去掉前几项后余下的项仍组成公差为d的等差数列； （2）奇数项数列{a2n-1}是公差为2d的等差数列；偶数项数列 {a2n}是公差为2d的等差数列； （3）若{kn}成等差数列，则{ akn }也是等差数列.
3
∵lgsinA,lgsinB,lgsinC成等差数列，
∴2lgsinB=lgsinA+lgsinC， 即sin2B=sinAsinC,∴sinAsinC= 3 .
4
又∵cos（A+C）=cosAcosC-sinAsinC，
cos（A-C）=cosAcosC+sinAsinC,
∴sinAsinC=- 1［cos（A+C）-cos（A-C）］,
方法二：设数列的首项为a,公差为d,则这三个数分别为 a,a+d,a+2d,由已知得：a+（a+d）+（a+2d）=9, a（a+d）=6（a+2d）解得：a=4,d=-1,故这三个数分别为 4,3,2.
(2)方法一:设这四个数为a-3d,a-d,a+d,a+3d（公差为2d）， 依题意，2a=2，且（a-3d）（a+3d）=-8，即a=1，a2-9d2= -8，∴d2=1，∴d=1或d=-1.又四个数成递增等差数列，所以d ＞0，∴ d=1，故所求的四个数为-2，0，2，4.
【特别提醒】数列{an}的子数列所具有以上性质的前提是： 数列{an}是等差数列.
【例1】在等差数列{an}中，若a3+a4+a5+a6+a7=450，求a2+a8. 【审题指导】由题目可知3+7=4+6=2×5=2+8，结合等差数列 的性质:m+n=p+q am+an=ap+aq.可得a3+a7=a4+a6=2a5=a2+a8. 【规范解答】因为a3+a7=a4+a6=2a5，所以a3+a7+a4+a6+a5=5a5， 所以5a5=450，即a5=90. 又因为a2+a8=2a5，所以a2+a8=180.
【规范解答】方法一：由等差数列an=a1+（n-1）d列方程
组：aa11
10d 50d
26， 54
…………………………………………3分
解得 ad1246
…………………………………………6分
∴a14=-46+13×2=-20
…………………………………8分
∴an=-46+(n-1)×2=2n-48
2.x+1与y-1的等差中项为10，则x+y等于（ ） (A)0 (B)10 (C)20 (D)不确定 【解析】选C.(x+1)+(y-1)=2×10=20,所以x+y=20.
5.已知等差数列{an}中，a5+a8=18，求a2+a3+a10+a11. 【解析】∵{an}是等差数列， ∴a2+a3+a10+a11=(a2+a11)+(a3+a10)=2(a5+a8)=2×18=36.
【例】在△ABC中，若lgsinA,lgsinB,lgsinC成等差数列， 且三个内角A,B,C也成等差数列，试判断三角形的形状. 【审题指导】题目中的两个数列都是等差数列，并且都有 三项，可充分利用等差中项构造出角的关系式，根据角的 关系判断三角形的形状.
【规范解答】由A,B,C成等差数列，得2B=A+C， 又A+B+C=π，∴3B=π，B= .
【例2】(1)三个数成等差数列，其和为9，前两项之积为后一 项的6倍，求这三个数. （2）四个数成递增等差数列，中间两数的和为2，首末两项 的积为-8，求这四个数. 【审题指导】由题目可知 （1）根据三个数的和为9，成等差数列，可设这三个数为a-d， a，a+d（d为公差）；
（2）四个数成递增等差数列，且中间两数的和已知，可设为a3d,a-d,a+d,a+3d（公差为2d）; 也可以设出等差数列的首项和公差，建立基本量的方程组求解. 【规范解答】（1）方法一：设这三个数分别为a-d,a,a+d（d为 公差）,则（a-d）+a+（a+d）=9，（a-d）·a=6（a+d）， 解得：a=3,d=-1,故所求三个数为4，3，2.