高中数学必修五 全册教学课件 .. PPT (全册 )
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最新高中数学人教B版必修五3.4《不等式的实际应用》ppt课件
2．实际问题中的每一个量都有其实际意义，必须充分注 意定义域的变化．
3．解不等式应用题，一般可按以下四个步骤进行： (1)阅读理解，认真审题，把握问题中的关键量，找准不 等关系； (2)引进数学符号，用不等式表示不等关系； (3)解不等式； (4)回答实际问题．
比较法在实际问题中的应用
甲、乙两人同时同地沿同一路线去同一地点， 甲有一半的时间以速度 m 行走，另一半时间以速度 n 行走； 乙有一半路程以速度 m 行走，另一半路以速度 n 行走．如果 m≠n，问甲、乙两人谁先到达指定地点？
●重点难点 重点：不等式的实际应用． 难点：实际问题的数学建模.
●教学建议 由于本节内容与实际生活联系比较密切，而实际问题的 数学建模是学生的薄弱环节，因此建议教师采用启发、引导、 归纳总结与探究相结合的方法，组织教学活动，按照由特殊 到一般的认识规律，引导学生分析、归纳如何抽象不等式模 型及解不等式应用题的一般步骤．
均值不等式的实际应用
某厂有一面长 14 m 的旧墙，现在准备用这面墙 的一段为一面，建造平面图形为矩形且面积为 126 m2 的厂房 (不考虑墙高)，修 1 m 旧墙的费用是建 1 m 新墙费用的 25%； 用拆去旧墙所得材料建 1 m 新墙的费用是建 1 m 新墙费用的 50%(拆旧墙的材料损失忽略不计)．问：如何利用旧墙才能使 建墙费用最省？(建门窗的费用与建新墙的费用相同，可以不 考虑)
为保证在该时段内车流量至少为 10 千辆/小时，则汽车 的平均速度应控制在什么范围内？
【解】 由题意得v2＋39v2＋0v1 600≥10，即 v2－89v＋1 600≤0，即(v－25)(v－64)≤0，
解得 25≤v≤64. 所以为保证在该时段内车流量至少为 10 千辆/时， 汽车的平均速度应控制在 25～64 km/h 的范围内.
3．解不等式应用题，一般可按以下四个步骤进行： (1)阅读理解，认真审题，把握问题中的关键量，找准不 等关系； (2)引进数学符号，用不等式表示不等关系； (3)解不等式； (4)回答实际问题．
比较法在实际问题中的应用
甲、乙两人同时同地沿同一路线去同一地点， 甲有一半的时间以速度 m 行走，另一半时间以速度 n 行走； 乙有一半路程以速度 m 行走，另一半路以速度 n 行走．如果 m≠n，问甲、乙两人谁先到达指定地点？
●重点难点 重点：不等式的实际应用． 难点：实际问题的数学建模.
●教学建议 由于本节内容与实际生活联系比较密切，而实际问题的 数学建模是学生的薄弱环节，因此建议教师采用启发、引导、 归纳总结与探究相结合的方法，组织教学活动，按照由特殊 到一般的认识规律，引导学生分析、归纳如何抽象不等式模 型及解不等式应用题的一般步骤．
均值不等式的实际应用
某厂有一面长 14 m 的旧墙，现在准备用这面墙 的一段为一面，建造平面图形为矩形且面积为 126 m2 的厂房 (不考虑墙高)，修 1 m 旧墙的费用是建 1 m 新墙费用的 25%； 用拆去旧墙所得材料建 1 m 新墙的费用是建 1 m 新墙费用的 50%(拆旧墙的材料损失忽略不计)．问：如何利用旧墙才能使 建墙费用最省？(建门窗的费用与建新墙的费用相同，可以不 考虑)
为保证在该时段内车流量至少为 10 千辆/小时，则汽车 的平均速度应控制在什么范围内？
【解】 由题意得v2＋39v2＋0v1 600≥10，即 v2－89v＋1 600≤0，即(v－25)(v－64)≤0，
解得 25≤v≤64. 所以为保证在该时段内车流量至少为 10 千辆/时， 汽车的平均速度应控制在 25～64 km/h 的范围内.
高中数学必修五课件整书全套
双曲线的标准方程和一般方程
掌握双曲线的标准方程和一般方程，能够根据不同的条件选择合适的方程形式解决问题。
抛物线及其性质
抛物线的定义和方程
通过平面内与一个定点和一条定直线距离相 等的点的轨迹定义抛物线，并推导其标准方 程。
抛物线的几何性质
探讨抛物线的对称性、顶点、焦点、准线等几何性 质，并理解其在实际问题中的应用。
回顾三角函数的定义、性质、图像和 变换，以及三角函数在实际问题中的
应用。
不等式与线性规划
总结不等式的性质、解法和应用，以 及线性规划问题的建模和求解方法。
数列与数学归纳法
复习数列的概念、通项公式、求和公 式，以及数学归纳法在证明数列问题 中的应用。
概率与统计
回顾概率的基本概念、事件的概率计 算、随机变量的分布和期望，以及统 计中的数据处理和分析方法。
07
概率统计初步
随机事件与概率
随机事件的定义与性质
了解随机事件的概念，掌握随机事件 的基本性质，如互斥事件、对立事件 等。
概率的定义与性质
古典概型与几何概型
掌握古典概型和几何概型的定义和计 算方法，能够运用古典概型和几何概 型解决简单的实际问题。
理解概率的定义，掌握概率的基本性 质，如非负性、规范性、可加性等。
高中数学必修五课件 整书全套
目录
• 绪论 • 数列与数学归纳法 • 不等式与不等式组 • 圆锥曲线与方程 • 空间向量与立体几何 • 导数与微分初步 • 概率统计初步 • 复习与总结
01
绪论
教材简介
本教材是高中数学必修五课程的配套课件，涵盖 01 了课程的所有知识点和教学要求。
课件内容以章节为单位，包括教学目标、知识点 02 讲解、例题分析、练习题等多个部分。
掌握双曲线的标准方程和一般方程，能够根据不同的条件选择合适的方程形式解决问题。
抛物线及其性质
抛物线的定义和方程
通过平面内与一个定点和一条定直线距离相 等的点的轨迹定义抛物线，并推导其标准方 程。
抛物线的几何性质
探讨抛物线的对称性、顶点、焦点、准线等几何性 质，并理解其在实际问题中的应用。
回顾三角函数的定义、性质、图像和 变换，以及三角函数在实际问题中的
应用。
不等式与线性规划
总结不等式的性质、解法和应用，以 及线性规划问题的建模和求解方法。
数列与数学归纳法
复习数列的概念、通项公式、求和公 式，以及数学归纳法在证明数列问题 中的应用。
概率与统计
回顾概率的基本概念、事件的概率计 算、随机变量的分布和期望，以及统 计中的数据处理和分析方法。
07
概率统计初步
随机事件与概率
随机事件的定义与性质
了解随机事件的概念，掌握随机事件 的基本性质，如互斥事件、对立事件 等。
概率的定义与性质
古典概型与几何概型
掌握古典概型和几何概型的定义和计 算方法，能够运用古典概型和几何概 型解决简单的实际问题。
理解概率的定义，掌握概率的基本性 质，如非负性、规范性、可加性等。
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目录
• 绪论 • 数列与数学归纳法 • 不等式与不等式组 • 圆锥曲线与方程 • 空间向量与立体几何 • 导数与微分初步 • 概率统计初步 • 复习与总结
01
绪论
教材简介
本教材是高中数学必修五课程的配套课件，涵盖 01 了课程的所有知识点和教学要求。
课件内容以章节为单位，包括教学目标、知识点 02 讲解、例题分析、练习题等多个部分。
2024版完整版高中数学必修一全册课件
完整版高中数学必修一全册课件目录•高中数学必修一概述•集合与函数概念•基本初等函数（Ⅰ）•函数的应用•空间几何体•点、直线、平面之间的位置关系01高中数学必修一概述包括集合的基本概念、集合间的关系与运算、函数的概念与性质等。
集合与函数概念包括指数函数、对数函数、幂函数等基本初等函数的图像与性质。
基本初等函数包括函数与方程、函数模型及其应用等，通过实例探究函数的性质与应用。
函数的应用教材内容与结构过程与方法通过观察、思考、探究、归纳等活动，培养学生的数学思维能力、创新能力和解决问题的能力。
知识与技能掌握集合与函数的基本概念，理解基本初等函数的图像与性质，能够运用函数知识解决一些实际问题。
情感态度与价值观激发学生学习数学的兴趣和热情，培养学生的数学素养和审美情趣。
教学目标与要求总结归纳定期对所学知识进行总结归纳，形成知识网络，便于记忆和提取。
通过大量的练习，熟练掌握解题方法和技巧，提高解题速度和准确性。
课后复习及时复习巩固所学知识，独立完成作业和练习题，加深对知识点的理解和记忆。
课前预习提前阅读教材，了解本节课的知识点和重点难点，为听课做好准备。
课中听讲认真听讲，积极思考，及时记录重要知识点和解题方法。
学习方法与建议02集合与函数概念03元素与集合的关系属于、不属于。
01集合的概念集合是由一个或多个确定的元素所构成的整体。
02集合的表示方法列举法、描述法、图像法。
集合及其表示方法集合之间的关系与运算集合之间的关系子集、真子集、相等。
集合的运算并集、交集、补集。
集合运算的性质交换律、结合律、分配律等。
函数是一种特殊的对应关系，它使得每个自变量对应唯一的因变量。
函数的概念函数的表示方法函数的三要素解析法、列表法、图像法。
定义域、值域、对应法则。
030201函数及其表示方法1 2 3单调性、奇偶性、周期性等。
函数的性质解决实际问题，如最优化问题、数学建模等。
函数的应用通过函数可以研究方程和不等式的解的性质和范围。
高中数学必修五1.1.2公开课教案课件课时训练练习教案课件
1.1.2余弦定理（一）教学目标1．知识与技能:掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法，并会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题。
2.过程与方法:利用向量的数量积推出余弦定理及其推论，并通过实践演算掌握运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题，3．情态与价值：培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；通过三角函数、余弦定理、向量的数量积等知识间的关系，来理解事物之间的普遍联系与辩证统一。
（二）教学重、难点重点：余弦定理的发现和证明过程及其基本应用；难点：勾股定理在余弦定理的发现和证明过程中的作用。
（三）学法与教学用具学法：首先研究把已知两边及其夹角判定三角形全等的方法进行量化，也就是研究如何从已知的两边和它们的夹角计算出三角形的另一边和两个角的问题，利用向量的数量积比较容易地证明了余弦定理。
从而利用余弦定理的第二种形式由已知三角形的三边确定三角形的角 教学用具：直尺、投影仪、计算器（四）教学设想[创设情景] C 如图1．1-4，在∆ABC 中，设BC=a,AC=b,AB=c,已知a,b 和∠C ，求边c b a(图1．1-4)[探索研究]联系已经学过的知识和方法，可用什么途径来解决这个问题？用正弦定理试求，发现因A 、B 均未知，所以较难求边c 。
由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究这个问题。
A如图1．1-5，设CB a =，CA b =，AB c =，那么c a b =-，则 b c()()222 2 2c c c a b a ba ab b a b a b a b =⋅=--=⋅+⋅-⋅=+-⋅ C a B从而 2222cos c a b ab C =+- (图1．1-5) 同理可证 2222cos a b c bc A =+-2222cos b a c ac B =+-于是得到以下定理余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍。
人教版高中数学必修五同课异构课件：2.3 等差数列的前n项和 第1课时 等差数列的前n项和
即Sn=a+n an-1+an-+2 …+a3+ a2 +a1,
+得： 2Sn=(a1+an)+(a2+an-1)+(a3+an-2)+…+(an+a1).
由等差数列的性质：当m+n=p+q时，am+an=ap+aq 知： a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…=an+a1，所以式可化为： 2Sn=(a1+an)+(a1+an)+ … +(a1+an) = n(a1+an).
项和的公式吗？
分析：将已知条件代入等差数列前n项和的公式后，可
得到两个关于 a与1 d的二元一次方程，由此可以求得 a1
与d，从而得到所求前n项和的公式.
解：由题意知S10 = 310，S20 = 1 220,
将它们代入公式Sn
=
na1
+
n（n - 1）d， 2
得到1200aa11
+ +
45d = 310， 190d = 1 220.
如何利用规律实现更好记忆呢？
超级记忆法-记忆 规律
TIP1：我们可以选择记忆的黄金时段——睡前和醒后！ TIP2：可以在每天睡觉之前复习今天或之前学过的知识，由于不受后摄抑制的 影 响，更容易储存记忆信息，由短时记忆转变为长时记忆。
如何利用规律实现更好记忆呢？
超级记忆法-记忆 规律
TIP3：另外，还有研究表明，记忆在我们的睡眠过程中也并未停止，我们的大 脑 会归纳、整理、编码、储存我们刚接收的信息。所以，睡前的这段时间可是 非常 宝贵的，不要全部用来玩手机哦~
高中数学必修五全套课件ppt讲义幻灯片
除b记作a|b，表示存在整数k，使得b=ak。
02 03
同余概念
同余是数论中的一个重要概念，表示两个整数除以某个正整数余数相同。 例如，a和b对模m同余记作a≡b(mod m)，表示存在整数k，使得 a=b+km。
素数概念
素数是只有1和本身两个正因数的自然数，是数论研究的基础对象之一。 例如，2、3、5、7等都是素数。
绝对值不等式解法
绝对值不等式的定义
01
含有绝对值符号的不等式。
绝对值不等式的解法
02
根据绝对值的定义，将绝对值不等式转化为分段函数或一元一
次不等式组进行求解。
绝对值不等式的性质
03
包括对称性、非负性等。
04
函数与导数应用
函数概念及性质回顾
函数定义
函数是一种特殊的对应关 系，它表达了自变量与因 变量之间的依赖关系。
数列的性质
包括周期性、有界性、单调性等。
等差数列与等比数列
等差数列定义
01 相邻两项之差为常数的数列。
等差数列的通项公式
02 an=a1+(n-1)d，其中d为公差。
等差数列的性质
包括对称性、可加性等。
03
等比数列定义
04 相邻两项之比为常数的数列。
等比数列的通项公式
05 an=a1*q^(n-1)，其中q为公比。
函数y=Asin(ωx+φ)的图象：振 幅、周期、相位变换对图象的影
响。
函数y=Asin(ωx+φ)的图象
振幅变换
A的变化对函数图象的影响，包括上下平移和伸缩 变换。
周期变换
ω的变化对函数图象的影响，包括左右平移和伸 缩变换。
相位变换
高中数学必修一全册课件(精校版)
函数的表示方法
函数的表示方法主要有三种，即解析法、列表法和图象法。解析法是用数学表达式表示两个变 量之间的对应关系；列表法是通过列表给出部分自变量与函数的对应值；图象法是用图象表示 两个变量之间的对应关系。
函数的基本性质
函数的单调性
函数的奇偶性
函数的周期性
函数的单调性是指函数在某个 区间上的增减情况。如果对于 区间I上的任意两个自变量的值 x1、x2，当x1<x2时，都有 f(x1)<f(x2)，那么就说函数f(x) 在区间I上是增函数；如果对于 区间I上的任意两个自变量的值 x1、x2，当x1<x2时，都有 f(x1)>f(x2)，那么就说函数f(x) 在区间I上是减函数。
，记作A=B。
空集
不含任何元素的集合叫做空集， 记作∅。空集是任何集合的子集 ，是任何非空集合的真子集。
集合的基本运算
01 并集
由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集 合，叫做集合A与集合B的并集，记作A∪B。
02 交集
由所有既属于集合A又属于集合B的元素所组成的 集合，叫做集合A与集合B的交集，记作A∩B。
平面外一条直线与此平面内的一 条直线平行，则该直线与此平面 平行。
平面与平面平行的判定
一个平面内的两条相交直线与另 一个平面平行，则这两个平面平 行。
平行直线的性质
平行于同一直线的两条直线互相 平行；平行线间距离相等；平行 线间同位角、内错角相等。
直线与直线平行的判定
同位角相等，或内错角相等，或 同旁内角互补。
02
基本初等函数（Ⅰ）
指数函数
1 2ห้องสมุดไป่ตู้3
指数函数的概念
形如y=a^x（a>0且a≠1）的函数叫做指数函数 。
函数的表示方法主要有三种，即解析法、列表法和图象法。解析法是用数学表达式表示两个变 量之间的对应关系；列表法是通过列表给出部分自变量与函数的对应值；图象法是用图象表示 两个变量之间的对应关系。
函数的基本性质
函数的单调性
函数的奇偶性
函数的周期性
函数的单调性是指函数在某个 区间上的增减情况。如果对于 区间I上的任意两个自变量的值 x1、x2，当x1<x2时，都有 f(x1)<f(x2)，那么就说函数f(x) 在区间I上是增函数；如果对于 区间I上的任意两个自变量的值 x1、x2，当x1<x2时，都有 f(x1)>f(x2)，那么就说函数f(x) 在区间I上是减函数。
，记作A=B。
空集
不含任何元素的集合叫做空集， 记作∅。空集是任何集合的子集 ，是任何非空集合的真子集。
集合的基本运算
01 并集
由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集 合，叫做集合A与集合B的并集，记作A∪B。
02 交集
由所有既属于集合A又属于集合B的元素所组成的 集合，叫做集合A与集合B的交集，记作A∩B。
平面外一条直线与此平面内的一 条直线平行，则该直线与此平面 平行。
平面与平面平行的判定
一个平面内的两条相交直线与另 一个平面平行，则这两个平面平 行。
平行直线的性质
平行于同一直线的两条直线互相 平行；平行线间距离相等；平行 线间同位角、内错角相等。
直线与直线平行的判定
同位角相等，或内错角相等，或 同旁内角互补。
02
基本初等函数（Ⅰ）
指数函数
1 2ห้องสมุดไป่ตู้3
指数函数的概念
形如y=a^x（a>0且a≠1）的函数叫做指数函数 。
高中数学人教版必修五：基本不等式(共23张PPT)
基本不等式：
ab
a
b 2
（第一课时）
2019/10/5
一、情境创设 导入课题
第24届国际数学家大会（ICM2002）的会标
问题 ：你能在这个图中找出一些相等关系或不 等关系吗？
二、自主探究 推导公式
问题 1：在正方形 ABCD 中有4个全等的直角三角形.设直角三角形的
两条直角边长为a,b，正方形ABCD的面积为 S ，4个直角三角形的面积和
2
又称为基本不等式
4、从数列角度看：
把
ab 2
看做两个正数a，b 的等差中项，
ab 看做正数a，b的等比中项，
那么上面不等式可以叙述为：
两个正数的等差中项不小于它们的等比 中项。
还有没有其它的证明方法证明均值 不等式呢?
二、自主探究 推导公式 探究：如图，AB 是圆的直径，点 C 是 AB上一点，
显然，④是成立的.当且仅当 a b 时，④中的等号成立.
2019/10/5
析 ： a 0,b 0,
a b ab a b 2 ab ( a b)2 0
2
2
2
即 a b ab 2
当且仅当 a b即a b等号成立
上面所证结论通常称为均值不等式
（2）设矩形的长、宽分别为x(m)，y(m)，
依题意有2(x+y)=36，即x+y=18， 因为x>0，y>0，所以， xy ≤ x y
2
因此 xy ≤9
将这个正值不等式的两边平方，得xy≤81, 当且仅当x=y时，式中等号成立，此时x=y=9，
因此，当这个矩形的长与宽都是9m时，它的 面积最大，最大值是81m2。
ab
a
b 2
（第一课时）
2019/10/5
一、情境创设 导入课题
第24届国际数学家大会（ICM2002）的会标
问题 ：你能在这个图中找出一些相等关系或不 等关系吗？
二、自主探究 推导公式
问题 1：在正方形 ABCD 中有4个全等的直角三角形.设直角三角形的
两条直角边长为a,b，正方形ABCD的面积为 S ，4个直角三角形的面积和
2
又称为基本不等式
4、从数列角度看：
把
ab 2
看做两个正数a，b 的等差中项，
ab 看做正数a，b的等比中项，
那么上面不等式可以叙述为：
两个正数的等差中项不小于它们的等比 中项。
还有没有其它的证明方法证明均值 不等式呢?
二、自主探究 推导公式 探究：如图，AB 是圆的直径，点 C 是 AB上一点，
显然，④是成立的.当且仅当 a b 时，④中的等号成立.
2019/10/5
析 ： a 0,b 0,
a b ab a b 2 ab ( a b)2 0
2
2
2
即 a b ab 2
当且仅当 a b即a b等号成立
上面所证结论通常称为均值不等式
（2）设矩形的长、宽分别为x(m)，y(m)，
依题意有2(x+y)=36，即x+y=18， 因为x>0，y>0，所以， xy ≤ x y
2
因此 xy ≤9
将这个正值不等式的两边平方，得xy≤81, 当且仅当x=y时，式中等号成立，此时x=y=9，
因此，当这个矩形的长与宽都是9m时，它的 面积最大，最大值是81m2。
人教版高中数学必修5《等比数列》PPT课件
的 公比 ，通常用字母 q 表示。
二、基础知识讲解
1、等比数列的定义：
一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它
的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列就叫
做等比数列。这个常数就叫做等比数列的公比， 公比
通常用字母 q 表示。 (q≠0) 等比数列的每一
思考：用数学符号语言（递推公式）项怎都样不表为示0等，比即
在等比数列{an}中 （1）an=akqn-k； （2）若m+n=k+l，则am·an =ak·al 在等比数列{an}中，若m+n=k+l，则am·an =ak·al
特别地，若m n 2k(m, n, k N * ), 则aman ak2
例1、在等比数列{an}中，an 0，且a1a9 64， a3 a7 20，求a11。
成等差数列的三个正数之和为15，若这三个数分别 加上1，3，9后又成等比数列，求这三个数。
一、复习回顾 1、等比数列的定义： 或
2、等比数列的通项公式： an=a1qn-1 3、等比数列的性质： ①an=a1qn-1=akqn-k；
a1q2 12 ①
a1，公比是
q，那么
设
a1q3 18 ②
把②的两边分别除以①的两边，得
q
3
③
把③代入①，得
a1
6 3
2
方
程列
思 想
因此，a2
a1q
16 3
3 2
8
求
二、基础知识讲解
3、等比数列的通项公式： an=a1qn-1
练习2：在等比数列{an}中，
（1）a1=3，an=192，q=2，求n；n=7
a3 a7 20，求a11。
解：依题意可得
二、基础知识讲解
1、等比数列的定义：
一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它
的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列就叫
做等比数列。这个常数就叫做等比数列的公比， 公比
通常用字母 q 表示。 (q≠0) 等比数列的每一
思考：用数学符号语言（递推公式）项怎都样不表为示0等，比即
在等比数列{an}中 （1）an=akqn-k； （2）若m+n=k+l，则am·an =ak·al 在等比数列{an}中，若m+n=k+l，则am·an =ak·al
特别地，若m n 2k(m, n, k N * ), 则aman ak2
例1、在等比数列{an}中，an 0，且a1a9 64， a3 a7 20，求a11。
成等差数列的三个正数之和为15，若这三个数分别 加上1，3，9后又成等比数列，求这三个数。
一、复习回顾 1、等比数列的定义： 或
2、等比数列的通项公式： an=a1qn-1 3、等比数列的性质： ①an=a1qn-1=akqn-k；
a1q2 12 ①
a1，公比是
q，那么
设
a1q3 18 ②
把②的两边分别除以①的两边，得
q
3
③
把③代入①，得
a1
6 3
2
方
程列
思 想
因此，a2
a1q
16 3
3 2
8
求
二、基础知识讲解
3、等比数列的通项公式： an=a1qn-1
练习2：在等比数列{an}中，
（1）a1=3，an=192，q=2，求n；n=7
a3 a7 20，求a11。
解：依题意可得
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答：此船可以继续一直沿正北方向航行
变式练习：两灯塔A、B与海洋观察站C的距离都 等于a km,灯塔A在观察站C的北偏东30o，灯塔B 在观察站C南偏东60o，则A、B之间的距离为多 少？
练习2．自动卸货汽车的车厢采用液压机构。设计时需要计算
油泵顶杆BC的长度．已知车厢的最大仰角是60°，油泵顶点B 与车厢支点A之间的距离为1.95m，AB与水平线之间的夹角为 6°20’，AC长为1.40m，计算BC的长（精确到0.01m）．
（按角A分类）
A的范围
a,b关系
解的情况
A为钝角或直角
a＞b a≤b
一解 无解
a＜bsinA
无解
A为锐角
a=bsinA bsinA＜a＜b
一解 两解
a≥b
一解
思考 : 在ABC中, a x, b 2, A 450,若这个三角形有
两解,则x的取值范围是 _____2_,_2____
正弦定理的推论： =2R (R为△ABC外接圆半径） （边换角）
（2）方位角：指北方向线顺时针旋转到目标方向线
所成的角叫方位角。
B 30°北
点A在北偏东60°,方位角60°.
A 60°
点B在北偏西30°,方位角330°. 西
东
点C在南偏西45°,方位角225°. C 点D在南偏东20°,方位角160°.
45°20° 南D
3.水平距离、垂直距离、坡面距离。
垂
坡面距离
C ba
AB a=bsinA 一解
C b aa
C
C
b
a
a
b
A B2 B1 A
B
bsinA<a<b 两解
一解
A
变式练习：两灯塔A、B与海洋观察站C的距离都 等于a km,灯塔A在观察站C的北偏东30o，灯塔B 在观察站C南偏东60o，则A、B之间的距离为多 少？
练习2．自动卸货汽车的车厢采用液压机构。设计时需要计算
油泵顶杆BC的长度．已知车厢的最大仰角是60°，油泵顶点B 与车厢支点A之间的距离为1.95m，AB与水平线之间的夹角为 6°20’，AC长为1.40m，计算BC的长（精确到0.01m）．
（按角A分类）
A的范围
a,b关系
解的情况
A为钝角或直角
a＞b a≤b
一解 无解
a＜bsinA
无解
A为锐角
a=bsinA bsinA＜a＜b
一解 两解
a≥b
一解
思考 : 在ABC中, a x, b 2, A 450,若这个三角形有
两解,则x的取值范围是 _____2_,_2____
正弦定理的推论： =2R (R为△ABC外接圆半径） （边换角）
（2）方位角：指北方向线顺时针旋转到目标方向线
所成的角叫方位角。
B 30°北
点A在北偏东60°,方位角60°.
A 60°
点B在北偏西30°,方位角330°. 西
东
点C在南偏西45°,方位角225°. C 点D在南偏东20°,方位角160°.
45°20° 南D
3.水平距离、垂直距离、坡面距离。
垂
坡面距离
C ba
AB a=bsinA 一解
C b aa
C
C
b
a
a
b
A B2 B1 A
B
bsinA<a<b 两解
一解
A
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其他推导方法
（1）因为涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究 此问题.
提示:
r uur r uur 作单位向量j⊥AC，j与AB夹角为锐角.
r j
uur uur uur 由向量的加法可得AB = AC + CB，
a
r uur r uur uur
则j·AB = j·（AC + CB），
B
r uur r uur r uur 所以j·AB = j·AC +j·CB,
sinA sinB sinC
（2）外接圆法 提示:
B a
如图：C=C'， c sin
C
c sin C'
2R.
c
·O
C
如下图所示同理：
b
b 2R, a 2R. 即得 :
A
sin B
sin A
C′
a b c 2R. R为三角形外接圆的半径
sin A sin B sin C
A
C
c
b aO
B
C
B`
探究点1 正弦定理
在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面首先
来探讨直角三角形中角与边的等式关系.
A
提示：如图，在RtΔABC中，设BC = a，AC = b， C
B
AB = c，根据直角三角形中正弦函数的定义，有 a = sinA， c
b = sinB，sinC =源自1 = c，则 a = b = c = c
（2）已知三角形的任意两边与其中一边 的对角可以求其他角的正弦值， 如 sin A= a sin B.
b
（3）运用 a:b:c=sinA:sinB:sinC 解决边角之间的转换 关系.
直角三角形的一个锐角的对边与斜边的比叫做这个 角的正弦.
【即时练习】
在△ABC 中，AB＝ 3，A＝45°，C＝75°，则 BC
解：根据三角形内角和定理，
C 180 A B 180 32.0 81.8 66.2.
Ｃ
Ｃ
Ｃ
Ｃ
b a ba
ba
b
a
Ａ
Ａ Ｂ Ａ B2 B1 Ａ
Ｂ
a<bsinA 无解
a=bsinA bsinA<a<b
一解
两解
a≥b 一解
(2)Ａ为钝角
Ｃ ba
Ａ
Ｂ
Ｃ ba Ａ
a>b 一解
a≤b 无解
Ａ为直角时，与Ａ为钝角相同， a>b时，一解；
a≤b时，无解.
【即时练习】
已知在△ABC 中，a＝ 3，b＝ 2，B＝45°，解这 个三角形．
C
sinA sinB
同理可得 b = c sinB sinC
a
b
从而 a = b = c . B sinA sinB sinC
DA
(2)钝角三角形 如图，类比锐角三角形，请同学 们自己推导.
C
a b
提示:
B
AD
可证得，当ΔABC是钝角三角形时，也有
a = b = c. sinA sinB sinC
c
c sinA sinB sinC
从而在RtΔABC中，有 a = b = c . sinA sinB sinC
思考：对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？
提示：(1)锐角三角形
当ΔABC是锐角三角形时，设边AB上的高是CD，
根据任意角三角函数的定义，有CD = asinB = bsinA，
则a = b
第一章 解三角形 1.1 正弦定理和余弦定理
1.1.1 正弦定理
为了测定河岸A点到对岸C点的距离，在岸边选定1公 里长的基线AB，并测得∠ABC=120o，∠BAC=45o，如何求 A,C两点的距离呢？
.C
.B .A
1.通过对任意三角形边长和角度关系的探索， 掌握正弦定理的内容及其证明方法. 2.会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三 角形的两类基本问题.（重点、难点）
Ob a B A` A c
正弦定理概述：
在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，
即
ab sin A sin B
c. sin C
注意：(1)正弦定理指出了任意三角形中三条边与对应角
的正弦之间的一个关系式.由正弦函数在区间上的
单调性可知，正弦定理非常好地描述了任意三角形
中边与角的一种数量关系.
C b A
r uur
r uur
j AB cos（90°- A）= 0 + j CB cos（90°- C），
所以c·sinA = a·sinC，即 a = c ， sinA sinC
r uur r uur 同理，作j⊥BC，j与AC夹角为锐角.
可得 b = c ，从而 a = b = c .
sinB sinC
求，已知一边可由正弦定理求其他两边．
[解析] 在△ABC 中，A＝180°－(B＋C)＝45°，由正 弦定理sinaA＝sinbB得，b＝assiinnAB＝8s·sinin4650°°＝4 6.故选 C.
探究点2 正弦定理的基本作用
（1）已知三角形的任意两角与一边，求其他的边， 如 a bsin A. sin B
[分析] 在△ABC 中，已知两边和其中一边的对角， 可运用正弦定理求解，但要注意解的个数的判定．
[解析] 由正弦定理及已知条件有sin3A＝sin425°，
得 sinA＝ 23，asinB＝
3sin45°＝
6 2<
2.
∴∠A 有两解，∴A＝60°或 120°.
当 A＝60°时，C＝180°－45°－60°＝75°，
等于( A )
A．3－ 3
B. 2
C．2
D．3＋ 3
[解析] 由sAinBC＝sBinCA得，BC＝3－ 3.
探究点3 解三角形
1.一般地，把三角形的三个角A，B，C和它们的对 边a，b，c叫做三角形的元素. 2.已知三角形的几个元素,求其他元素的过程叫做 解三角形.
3.已知边a,b和角Ａ，求其他边和角的讨论． (1)Ａ为锐角
2 a b c 等价于
sin A sin B sin C a b , b c ，a c . sin A sin B sin B sin C sin A sin C
【即时练习】
在△ABC 中，a＝8，B＝60°，C＝75°，则 b＝( C )
A．4 2
B．4 3
C．4 6
22 D. 3
[分析] 已知两角，由三角形内角和定理第三角可
c＝bssiinnBC＝
s2isni4n57°5°＝
6＋ 2
2 .
当 A＝120°时，C＝180°－45°－120°＝15°，
c＝bssiinnBC＝
s2isni4n51°5°＝
6－ 2
2 .
综上可知：A＝60°，C＝75°，c＝
6＋ 2
2或 A＝120°，
C＝15°，c＝
6－ 2
2 .
例1 在△ABC中，已知A＝32.0°，B＝81.8°，a ＝42.9 cm，解三角形.