勾股定理试卷
八年级数学勾股定理试卷及答案
勾股定理检测试题及答案一、选择题：（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．每小题只有一个正确选项，请把正确选项的字母代号填在下面的表格中．）1．分别以下列五组数为一个三角形的边长：①6，8，10；②13，5，12 ③1，2，3；④9，40，41；⑤321，421，521.其中能构成直角三角形的有（ ）组 A.2 B.3 C.4 D.52．已知△ABC 中，∠A ＝12∠B ＝13∠C ，则它的三条边之比为（ ） A.1∶1∶2 B.1∶3∶2 C.1∶2∶3 D.1∶4∶13．已知直角三角形一个锐角60°，斜边长为1，那么此直角三角形的周长是（ ）A.52B.3C.3+2D.332 4．放学以后，萍萍和晓晓从学校分手，分别沿东南方向和西南方向回家，若萍萍和晓晓行走的速度都是40米/分，萍萍用15分钟到家，晓晓用20分钟到家，萍萍家和晓晓家的距离为（ ）A.600米B.800米C.1000米D.不能确定5．如图1所示，要在离地面5•米处引拉线固定电线杆，使拉线和地面成60°角，若要考虑既要符合设计要求，又要节省材料，则在库存的L 1＝5.2米，L 2＝6.2米，L 3＝7.8米，L 4＝10米四种备用拉线材料中，拉线AC 最好选用（ ）A.LB.LC.L 3D.L 46．如图2，分别以直角△ABC 的三边AB ，BC ，CA 为直径向外作半圆.设直线AB 左边阴影部分的面积为S 1，右边阴影部分的面积和为S 2，则（ ）A.S 1＝S 2B.S 1＜S 2C.S 1＞S 2D.无法确定7．如图3所示，AB ＝BC ＝CD ＝DE ＝1，AB ⊥BC ，AC ⊥CD ，AD ⊥DE ，则AE ＝（ ）A.1B.2C.3D.28．直角三角形有一条直角边长为13，另外两条边长都是自然数，则周长为（ ）A.182B.183C.184D.185题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 AB C 图2 5m B C A D 图1 B C A E D图3图4 二、填空题：本大题共有9小题，每小题3分，共24分．请把答案填在题中的横线上．9．根据右图中的数据，确定x ＝_______.10．直角三角形两直角边长分别为5和12，则它斜边上的高为_______.11．直角三角形的三边长为连续偶数，则这三个数分别为__________.12．如图5，一根树在离地面9米处断裂，树的顶部落在离底部12米处.树折断之前有______米.13．如果一个三角形的三个内角之比是1∶2∶3，且最小边的长度是8，最长边的长度是________.14．在△ABC 中，AB ＝8cm ，BC ＝15cm ，要使∠B ＝90°，则AC 的长必为______cm.15．如图6是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．若6AC =，5BC =，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图2所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是 ．16．甲、乙两只轮船同时从港口出发，甲以16海里/时的速度向北偏东75°的方向航行，乙以12海里/时的速度向南偏东15°的方向航行，若他们出发1.5小时后，两船相距＿＿＿海里.三、解答题：（52分）17．古埃及人用下面方法画直角：把一根长绳打上等距离的13个结，然后用桩钉成如图所示的一个三角形，其中一个角便是直角，请说明这种做法的根据.图5ABC图618．从旗杆的顶端系一条绳子，垂到地面还多2米，小敏拉起绳子下端绷紧，刚好接触地面，发现绳子下端距离旗杆底部8米，小敏马上计算出旗杆的高度，你知道她是如何解的吗？19．如图，一个牧童在小河的南4km的A处牧马，而他正位于他的小屋B的西8km北7km处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家.他要完成这件事情所走的最短路程是多少？小河20．印度数学家什迦逻（1141年-1225年）曾提出过“荷花问题”：“平平湖水清可鉴，面上半尺生红莲；出泥不染亭亭立，忽被强风吹一边，渔人观看忙向前，花离原位二尺远；能算诸君请解题，湖水如何知深浅？”请用学过的数学知识解答这个问题.21．阅读下面材料，并解决问题：（1）如下图1，等边△ABC内有一点P若点P到顶点A，B，C的距离分别为3，4，5则∠APB＝______，由于P A，PB不在一个三角形中，为了解决本题我们可以将△ABP绕顶点A旋转到△ACP′处，此时△ACP′≌_______这样，就可以利用全等三角形知识，将三条线段的长度转化到一个三角形中从而求出∠APB的度数.（2）请你利用第（1）题的解答思想方法，解答下面问题：已知：如图2，△ABC中，∠CAB＝90°，AB＝AC，E、F为BC上的点且∠EAF＝45°，求证：EF2＝BE2+FC2.P'PBA图1 图2 FE CBA勾股定理参考答案：一、1，B ；2，B ；3，D ； 4，C .；5，B .；6，A ； 7，D .；8，A .二、9， 40；10，1360；11，6、8、10；12，24；13，16；14，17；14，76； 16，30. ；三、17．设相邻两个结点的距离为m ，则此三角形三边的长分别为3m 、4m 、5m ，有(3m )2+(4m )2＝(5m )2，所以以3m 、4m 、5m 为边长的三角形是直角三角形.18．15m.19．如图，作出A 点关于MN 的对称点A ′，连接A ′B 交MN 于点P ，则A ′B 就是最短路线.在Rt △A ′DB 中，由勾股定理求得A ′B ＝17km.20 23、41521，（1）150°、△ABP .（2）如图，由于AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，所以可以将△ACF 绕点A 旋转90°，到△ABD 的位置，即过点B 作BD ⊥BC ，截取BD ＝FC ，连结DE .则△ADB ≌△AFC ，又易证△ADE ≌△AFE ，所以DE ＝EF ，在Rt △DBE 中，由勾股定理，得DE 2＝DB 2+BE 2，所以EF 2＝BE 2+FC 2.D FE C B A。
人教版八年级数学下册第十七章-勾股定理综合训练试题(含详细解析)
人教版八年级数学下册第十七章-勾股定理综合训练考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。
第I卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、已知一个直角三角形两直角边边长分别为6和8，则斜边边长为（）A．10B．C．15D．10或2、如图，在△ABC中，BC＝C＝45°，若D是AC的三等分点（AD＞CD），且AB＝BD，则AB的长为（）A．2B C D．5 23、小亮想知道学校旗杆的高度，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多2m，当他把绳子的下端拉开8m 后，下端刚好接触到地面，则学校旗杆的高度为（）A．10m B．12m C．15m D．18m4、已知直角三角形的斜边长为5cm ，周长为12cm ，则这个三角形的面积（ ）A ．24cmB ．25cmC ．26cmD ．212cm5、下列各组数中，是勾股数的是（ ）A ．0.3，0.4，0.5B ．52，6，132 C 2 D ．9，12，156、如图，数轴上点A 所表示的数是（ ）A B C D 17、如图，在Rt △ABC 中，AB ＝6，BC ＝8，AD 为∠BAC 的平分线，将△ADC 沿直线AD 翻折得△ADE ，则DE 的长为（ ）A ．4B ．5C ．6D ．78、如图，长方体的底面边长分别为1cm 和3cm ，高为6cm ．如果用一根细线从点A 开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B ，那么所用细线最短需要（ ）A ．8 cmB ．10 cmC ．12 cmD ．15 cm9、下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是（ ）A ．2、3、4 BC ．5、12、13D ．30、50、6010、满足下列条件的△ABC ，不是直角三角形的是（ ）A ．∠A ：∠B ：∠C ＝5：12：13B ．a ：b ：c ＝3：4：5C ．∠C ＝∠A ﹣∠BD ．b 2＝a 2﹣c 2第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、如果直角三角形的两条直角边长分别为a ，b ，斜边长为c ，那么_____．2、△ABC 的三条边长a 、b 、c 满足8c =60b -=，则△ABC ____直角三角形（填“是”或“不是”）3、已知：点A 的坐标为()3,4，点B 坐标为()1,1-，那么点A 和点B 两点间的距离是______．4、如图，已知△ABO 为等腰三角形，且OA ＝AB ＝5，B （﹣6，0），则点A 的坐标为_____．5、如图，△ABC 是边长为12的等边三角形，D 是BC 的中点，E 是直线AD 上的一个动点，连接EC ，将线段EC 绕点C 逆时针旋转60°得到FC ，连接DF ．则在点E 的运动过程中，当DF 的长度最小时，CE 的长度为______．三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、（阅读理解）我国古人运用各种方法证明勾股定理，如图①，用四个直角三角形拼成正方形，通过证明可得中间也是一个正方形．其中四个直角三角形直角边长分别为a 、b ，斜边长为c ．图中大正方形的面积可表示为()2a b +，也可表示为2142c ab +⨯，即()22142a b c ab +=+⨯=，所以222+=a b c ． （尝试探究）美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”如图②所示，用两个全等的直角三角形拼成一个直角梯形BCDE ，其中BCA ADE △△≌，90C D ∠=∠=︒，根据拼图证明勾股定理．（定理应用）在Rt ABC △中，90C ∠=︒，A ∠、B 、C ∠所对的边长分别为a 、b 、c ．求证：222244a c a b c b +=-．2、如图，正方形网格中，每个小正方形的边长为1，求网格上的三角形ABC 的面积和周长．3、如图，在△ABC 中，CA ＝CB ，∠ACB ＝90°，AB ＝5，点D 是边AB 上的一个动点，连接CD ，过C 点在上方作CE ⊥CD ，且CE ＝CD ，点P 是DE 的中点．（1）如图①，连接AP，判断线段AP与线段DE的数量关系并说明理由；（2）如图②，连接CP并延长交AB边所在直线于点Q，若AQ＝2，求BD的长．4、如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫做“格点”，以格点为顶点分别按下列要求画三角形：（1）在图①中画出一个钝角三角形，使它的面积为4，并求出该三角形的三边长；（2）在图②中画出一个面积为10的正方形．5、如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1．（1（2）此三角形的面积是．---------参考答案-----------一、单选题1、A【分析】已知两直角边边长分别为6和8，利用勾股定理求斜边即可．【详解】解： ∵一个直角三角形两直角边边长分别为6和8，斜边边长，∴斜边边长为10．故选A ．【点睛】本题考查了利用勾股定理解直角三角形的能力，当已知条件中明确直角边或斜边，直接应用勾股定理，如果条件不明确时那条边是斜边，要注意讨论．2、B【分析】作BE ⊥AC 于E ，根据等腰三角形三线合一性质可得AE =DE ，根据∠C ＝45°，得出∠EBC =180°-∠C -∠BEC =180°-45°-90°=45°，可得BE =CE ，利用勾股定理求出CE =BE =2，根据D 是AC 的三等分点得出AE =DE =121233AC AC ⨯==CD ，求出CD =1，利用勾股定理AB 【详解】解：作BE ⊥AC 于E ，∵AB ＝BD ，∴AE =DE ，∵∠C ＝45°，∴∠EBC =180°-∠C -∠BEC =180°-45°-90°=45°，∴BE =CE ，在Rt △BEC 中，∴(22222+2BE CE CE BC ===，∴CE =BE =2，∵D 是AC 的三等分点，∴CD =13AC ，AD =AC -CD =1233AC AC AC -=，∴AE =DE =121233AC AC ⨯==CD ，∴CE =CD +DE =2CD =2，∴CD =1，∴AE =1，在Rt △ABE 中，根据勾股定理AB故选B ．【点睛】本题考查等腰三角形的性质，等腰直角三角形判定与性质，勾股定理，三等分线段，掌握等腰三角形的性质，等腰直角三角形判定与性质，勾股定理，三等分线段是解题关键．3、C【分析】根据题意设旗杆的高AB为xm，则绳子AC的长为（x+2）m，再利用勾股定理即可求得AB的长，即旗杆的高．【详解】解：根据题意画出图形如下所示：则BC＝8m，设旗杆的高AB为xm，则绳子AC的长为（x+2）m，在Rt△ABC中，AB2+BC2＝AC2，即x2+82＝（x+2）2，解得x＝15，故AB＝15m，即旗杆的高为15m．故选：C．【点睛】此题考查了学生利用勾股定理解决实际问题的能力，在应用勾股定理解决实际问题时，勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．4、C【分析】设该直角三角形的两条直角边分别为a、b，根据勾股定理和周长公式即可列出方程，然后根据完全平方公式的变形即可求出2ab 的值，根据直角三角形的面积公式计算即可．【详解】解:设该直角三角形的两条直角边分别为a 、b ，根据题意可得：22251257a b a b ⎧+=⎨+=-=⎩①② 将②两边平方－①，得224ab =∴12ab = ∴该直角三角形的面积为2126ab cm = 故选:C【点睛】此题考查的是直角三角形的性质和完全平方公式，根据勾股定理和周长列出方程是解决此题的关键．5、D【分析】三个正整数，其中两个较小的数的平方和等于最大的数的平方，则这三个数就是勾股数，据此判断即可．【详解】解：A 、不是勾股数，因为0.3，0.4，0.5不是正整数，故此选项不符合题意；B 、不是勾股数，因为52，132不是正整数，故此选项不符合题意；CD 、是勾股数，因为222912=15+，故此选项符合题意；故选D ．【点睛】本题考查勾股数的概念，勾股数是指：①三个数均为正整数；②其中两个较小的数的平方和等于最大的数的平方．6、D【分析】先根据勾股定理计算出BC BA＝BC AD的长，接着计算出OA的长，即可得到点A所表示的数．【详解】解：如图，BD＝1﹣（﹣1）＝2，CD＝1，∴BC∴BA＝BC∴AD2，∴OA＝21，∴点A1．故选：D【点睛】本题主要考查了勾股定理，实数与数轴的关系，熟练掌握勾股定理，实数与数轴的关系是解题的关键．7、B【分析】在Rt ABC∆中利用勾股定理求出AC长，利用折叠性质：得到ADE ADC∆∆≌，求出对应相等的边，设DE＝x，在Rt BDE∆中利用勾股定理，列出关于x的方程，求解方程即可得到答案．【详解】解：∵AB＝6，BC＝8，∠ABC＝90°，∴AC2222BC，6810∵AD为∠BAC的平分线，将△ADC沿直线AD翻折得△ADE，≌，∴∆∆ADE ADC∴A、B、E共线，AC＝AE＝10，DC＝DE，∴BE＝AE﹣AB＝10﹣6＝4，在Rt△BDE中，设DE＝x，则BD＝8﹣x，∵BD2+BE2＝DE2，∴（8﹣x）2+42＝x2，解得x＝5，∴DE＝5，故选：B．【点睛】本题主要是考查了直角三角形的勾股定理以及折叠中的三角形全等的性质，熟练利用折叠得到全等三角形，找到直角三角形中的各边的关系，利用勾股定理列方程，并求解方程，这是解决该类问题的关键．8、B【分析】立体图形展开后，利用勾股定理求解．【详解】解：将长方体沿着AB边侧面展开，并连接'AB，如下图所示：由题意及图可知：'13138AB cm=，=+++=，''6AA cm两点之间，线段最短，故'AB的长即是细线最短的长度，''∆中，由勾股定理可知：'10Rt AAB===，AB cm故所用细线最短需要10cm．故选：B．【点睛】本题主要是考查了勾股定理求最短路径、两点之间线段最短以及立体图形的侧面展开图，因此，正确得到立体图形的侧面展开图，熟练运用勾股定理求边长，是解决此类问题的关键．9、C【分析】先求出两小边的平方和，再求出最长边的平方，最后看看是否相等即可．【详解】解：A、22+32≠42，不能构成直角三角形，故此选项不符合题意；B、2+22，不能构成直角三角形，故此选项不符合题意；C、52+122=132，能构成直角三角形，故此选项符合题意；D、302+502≠602，不能构成直角三角形，故此选项不符合题意．故选：C．【点睛】本题主要考查了勾股定理逆定理，关键是掌握如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形．10、A【分析】根据三角形的内角和定理和勾股定理逆定理对各选项分析判断利用排除法求解．【详解】解：A、∵∠A：∠B：∠C＝5：12：13，∴∠C＝180°×1325＝93.6°，不是直角三角形，故此选项正确；B、∵32+42＝52，∴是直角三角形，故此选项不合题意；C、∵∠A﹣∠B＝∠C，∴∠A＝∠B+∠C，∵∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠A＝90°，∴是直角三角形，故此选项不合题意；D、∵b2＝a2﹣c2，∴a2＝b2+c2，是直角三角形，故此选项不合题意；故选：A．【点睛】本题考查了直角三角形的性质，主要利用了三角形的内角和定理，勾股定理逆定理．二、填空题1、222+=a b c【分析】利用勾股定理：两条直角边长的平方和等于斜边长的平方和，即可得到答案．【详解】解：在直角三角形中，由勾股定理可知：222+=a b c ．故答案为：222+=a b c ．【点睛】本题主要是考查了直角三角形的勾股定理，熟练掌握勾股定理的内容，注意区分好直角边和斜边，这是解决该类问题的关键．2、不是【分析】根据二次根式有意义的条件以及绝对值的非负性，得出,a b 的值，运用勾股定理逆定理验证即可．【详解】60b -=，∴40a -=，60b -=，∴4,6a b ==，则22246528+=≠，∴222a b c +≠，∴△ABC 不是直角三角形，故答案为：不是．【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，绝对值的非负性，勾股定理逆定理等知识点，根据题意得出,a b 的值是解本题的关键．3、5【分析】根据两点间距离公式求解即可．【详解】∵点A 的坐标为()3,4，点B 坐标为(1,1)-，∴点A 和点B 5=．故答案为：5．【点睛】本题考查两点间距离，若11(,)A x y ，22(,)B x y ，则两点间的距离是AB 距离公式是解题的关键．4、（﹣3，4）【分析】过点A 作AC x ⊥ 轴于点C ，AD y ⊥轴于点D ，根据AB ＝AO ，AC ⊥BO ，得OC ＝132OB =，在Rt △AOC 中，由勾股定理得：AC ＝4，即可求出点A 的坐标．【详解】解：如图，过点A 作AC x ⊥ 轴于点C ，AD y ⊥轴于点D ，∵B（﹣6，0），∴OB＝6，∵AB＝AO，AC⊥BO，∴OC＝132OB=，在Rt△AOC中，由勾股定理得：AC4=，∴A（﹣3，4）．故答案为：（﹣3，4）【点睛】本题主要考查了坐标与图形，等腰三角形的性质，勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键．5、【分析】取线段AC的中点G，连接EG，根据等边三角形的性质以及角的计算即可得出CD CG=以及FCD ECG，由旋转的性质可得出EC FC=，由此即可利用全等三角形的判定定理SAS证出ΔΔFCD ECG≅，进而即可得出DF GE=，再根据点G为AC的中点，求出AD和DE的长，由勾股定理可得出答案．【详解】取线段AC的中点G，连接EG，如图所示．ABC ∆为等边三角形，且AD 为ABC ∆的对称轴，162CD CG AB ∴===，60ACD ∠=︒， 60ECF =︒∠，FCD ECG ．在ΔFCD 和ECG ∆中，FC EC FCD ECG DC GC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ΔΔ()FCD ECG SAS ∴≅，DF GE ∴=．当//EG BC 时，EG 最小，此时E 为AD 的中点，12AB BC ==，6DC =，AD ∴==12DE AD ∴==CE ∴==故答案为【点睛】本题考查了勾股定理，旋转的性质，等边三角形的性质以及全等三角形的判定与性质，解题的关键是通过全等三角形的性质找出DF GE =．三、解答题1、尝试探究：证明见解析；定理应用：证明见解析【分析】尝试探究：根据全等三角形性质，得BAC AED ∠=∠，结合题意，根据直角三角形两锐角互余的性质，推导得90BAE ∠=︒；结合梯形、三角形面积计算公式，通过计算即可证明222+=a b c ；定理应用：根据提取公因式、平方差公式的性质分析，即可完成222244a c a b c b +=-证明．【详解】尝试探究：∵BCA ADE △△≌，∴BAC AED ∠=∠．∵90D ∠=︒∴90DAE AED ∠+∠=︒．∴90DAE BAC ∠+∠=︒．∵180BAC AED BAE ∠+∠+∠=︒．∴90BAE ∠=︒． ∵直角梯形的面积可以表示为()212a b +，也可以表示为211222ab c ⨯+， ∴()221112222a b ab c +=⨯+， 整理，得222+=a b c ．定理应用：在Rt ABC △中，90C ∠=︒，∴222+=a b c ；∵2222a c a b +()222a c b =+．44c b -()()()2222222c b c b a c b =+-=+∴222244a c a b c b +=-．【点睛】本题考查了勾股定理、直角三角形、全等三角形、平方差公式的知识；解题的关键是熟练掌握全等三角形、直角三角形两锐角互余、平方差公式的性质，从而完成求解．2、面积是7【分析】利用面积和差和勾股定理求解即可．【详解】解：△ABC 的面积=111441432247222⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯=；由勾股定理得：ABBC =AC ==所以△ABC【点睛】本题考查了勾股定理，解题关键是熟练运用勾股定理求线段长．3、（1）AP ＝12DE ，理由见解析；（2）BD ＝56或4514【分析】（1）连接AE ，首先根据∠ACB ＝∠ECD ＝90°，得到∠ECA ＝∠DCB ，然后证明△BCD ≌△ACE （SAS ），根据全等三角形对应角相等得到∠EAC ＝∠B ＝45°，进一步得出∠EAD ＝90°，最后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得出AP ＝12DE ；（2）分两种情况讨论：当Q 在线段AB 上时和当Q 在线段BA 延长线上时，连接AE ，EQ ，根据题意得出CQ 垂直平分DE ，进而根据垂直平分线的性质得到EQ ＝DQ ，设BD ＝AE ＝x ，在Rt △AEQ 中根据勾股定理列方程求解即可；【详解】解：（1）AP ＝12DE ，理由：连接AE ，如图，∵CA ＝CB ，∠ACB ＝90°，∴∠CAB ＝∠CBA ＝45°．∵∠ACB ＝∠ECD ＝90°，∴∠ECA ＝∠DCB ．在△BCD 和△ACE 中，CE CD ECA DCB AC BC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△BCD ≌△ACE （SAS ）．∴∠EAC ＝∠B ＝45°．∴∠EAD＝∠EAC+∠BAC＝90°．又∵P为DE中点，∴AP＝12DE．（2）情况（一），当Q在线段AB上时，连接AE，EQ，如图，∵CE⊥CD，且CE＝CD，点P是DE的中点，∴CP⊥DE．即CQ垂直平分DE，∴EQ＝DQ．设BD＝AE＝x，EQ＝DQ＝AB﹣AQ﹣BD＝3﹣x，由（1）知：∠EAB＝90°，∴EA2+AQ2＝EQ2．∴x2+22＝（3﹣x）2，解得x＝56，即BD＝56；情况（二），当Q在线段BA延长线上时，连接AE，EQ，如图，∵CE⊥CD，且CE＝CD，点P是DE的中点，∴CP⊥DE．即CQ垂直平分DE，∴EQ＝DQ．设BD＝AE＝x，同理可得方程：x2+22＝（7﹣x）2，解得x＝45 14．综上：BD＝56或4514．【点睛】此题考查了全等三角形的性质和判定，勾股定理的运用，垂直平分线的性质，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键是根据题意正确作出辅助线．4、 (1)三角形如图①所示，三边长分别为2、（2）正方形如图②所示．【分析】（1）画一个底边长是2，高为4的钝角三角形即可，然后利用勾股定理可以求出各边长．（2【详解】（1）如图①所示：很明显，12442EMFS=⨯⨯=，且FM=2，又由题意可得：EM=，EF=（2）如图②所示，由题意可得：AB=BC=CD=DA【点睛】本题考查的是勾股定理的综合应用，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．5、（1）画图见解析；（2）5.5【分析】（1）利用勾股定理在网格中确定2222223110,2313,1417,AB AC BC再顺次连接,,A B C即可；（2）利用长方形的面积减去周围三个三角形的面积即可. 【详解】解：（1）如图，ABC即为所求作的三角形，其中：2222223110,2313,1417, AB AC BC（2）11134132314 5.5,222ABCS故答案为：5.5【点睛】本题考查的是网格中作三角形，勾股定理的应用，网格三角形的面积的计算，掌握“利用勾股定理求解网格三角形的边长”是解本题的关键.。
勾股定理(六套试卷)
勾股定理（一）一、填空题1.._____,13,5)2(._____,3,2190======︒=∠∆b c a c b a C ABC 则若则）若（，中，在,60)5(._____,20,5:3:)4(.______,11,61)3(︒=∠======A b c c a a b c 若则且若则若且AC =7, 则___________,==BC AB .2.如图，2,45,,,//=︒=∠⊥⊥AD BAD AC BA DB AD BC AD , 则AB = , ABC ∆的周长为 .3.如果等边三角形的周长为12.________,2cm cm 则它的面积为4.如图，正方形ABCD 内接于⊙O ,已知正方形的边长为22cm ，则图中阴影部 分的面积为 cm 2.5.已知直角三角形的三边长分别为2、4、x ，则x 的值为 .6.直角三角形一条直角边与斜边分别长为8厘米和10厘米，则斜边上的高等于 厘米.7.一只蚂蚁从长为4cm 、宽为3 cm ，高是12 cm 的长方体纸箱的A 点沿纸箱 爬到B 点，那么它所行的最短路线的长是_____________.二、单选题1.分别有下列几组数据：①6、8、10 ②12、13、5 ③ 17、8 、15 ④4、11、9其中能构成直 角三形的有：（ ）Ａ.４组 Ｂ.３组 Ｃ.２组 Ｄ.１组 2.如图，在直角三角形中，∠C ＝︒90，AC =3，将其绕B 点顺时针旋转一周, 则分别以BA ，BC 为半径的圆形成一环，该圆环的面积为（ ）Ａ.3π Ｂ.３π Ｃ.９π Ｄ.６π3.在△ABC 中，AB =12cm ， BC =16cm ， AC =20cm ， 则△ABC 的面积是( ) A.96cm 2 B.120cm 2 C.160cm 2 D. 200cm 24.如图，以直角三角形的三边为直径作半圆，画出两个月牙形（阴影部 分）.则有（ ）A. ABC S S ∆>阴影B. ABC S S ∆<阴影C.ABC S S ∆=阴影D.不能确定三、解答题1.“中华人民共和国道路交通管理条理”规定：小汽车在城市街路上的行驶速度不得超过 70千米／时．一辆“小汽车”在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面“车 速检测仪”正前方30米处，过了2秒后，测得 “小汽车”与“车速检测仪”间的距离变为 50 米，这辆“小汽车”超速了吗？CABDB2.请用下列图形证明勾股定理.3.某校一块三角形的废地开辟为动物园，如图所示，测得AC =80米，BC=60米，AB =100米. （1）若入口E 在边AB 上，且与A 、B 等距离，求从入口E 到出口C 的最短路线的长； （2）若线段CD 是一条小渠，且点D 在边AB 上，已知水渠的造价为10元/米，则D 点距A 点多远，水渠的造价最低？最低造价是多少？4.设四边形ABCD 是边长为1的正方形，以对角线AC 为边作第二个正方形ACEF ，再以对角线AE 为边作第三个正方形AEGH ，如此下去……如图所示． （1）设正方形ABCD 的边长为11=a ，按上述方法所作的正方形的边 长依次为2a ，3a ，4a ，…，n a ，请求出2a ，3a ，4a 的值； （2）根据以上规律写出n a 的表达式．5.若△ABC 的三边长a , b , c 满足c b a c b a 201612200222++=+++,试判断△ABC 的形状.6.如图所示,在△ABC 中，AB =17，BC =30，BC 边上的中线AD =8， 说明△ABC 是等腰三角形.7.如图是由5个同样大小的正方形组成的图形，将它分成3块，然后 拼成一个大正方形.b bc c c c b b b b a aaaaaabc cbaBCA勾股定理（一） 答案一、1.3714,16,60,12,13、； 2.42,422+； 3.34； 4.）（2-π； 5.52/32； 6.8.4 7.cm 193 二、BCAC三、1.解：m 40,m 30,m 50===BC AC AB )s /m (20240=÷20367003600100070<=÷⨯，故超速了. 2.解：由左图有：ab b a b a 2)(222++=+; 由右图有：421)(22⨯+=+ab c b a 比较两式有：222c b a =+3.解：（1）由︒=∠⇒=+90222C AB BC AC5021==AB EC 米 （2）当AB CD ⊥时，CD 最小，此时CD =48米，AD =64米,最低造价为480元. 4.解：（1）22,2,2432===a a a （2）1)2(-=n n a5.解：0)10()8()6(222=-+-+-c b a︒=∠⇒=+⇒===⇒9010,8,6222C c b a c b aABC ∆为直角三角形6.解：1521,8,17====BC BC AD AB ︒=∠⇒︒=∠⇒+=⇒9090222ADC ADB BD AD ABAC AB CD AD AC =⇒=+=⇒17227.如图，已知Rt △ABC ，以斜边AB 为斜边作等腰直角△ABD ，连接CD . （1）求ACD ∠的度数；（2）若AC =3，BC =5，求△ADB 的面积.解：（1）135°；（2）8.5角平分线定理的逆定理；面积如图，AC =BC ，︒=∠90ACB ，D 在AB 上，CD =CE ，︒=∠90DCE ，F 为AD 的中点，求AEB ∠与AFC ∠的关系. 解：︒=∠+∠180AFC AEB.在△BCD 中，DC =DB ，AD =AB ，连接AC ，∠ACD =30°. 求证：∠BAD =2∠DAC ；已知：OP 为∠MON 的平分线，点A 、B 分别是射线OM 、ON 上的点，BC 平分∠ABN ，交射线OP 于点C ，连接AC .求证：︒=∠+∠90OCB M AC ；证明：OCB OAB ∠=∠2故只要证AC 平分∠MABB图1CC图1BCEBBE CC EBC图1NB勾股定理（二）一、填空题1.如图是一个三级台阶，它的每一级的长宽和高分别为20dm 、3dm 、 2dm ，A 和B 是这个台阶两个相对的端点,A 点有一只蚂蚁，想到B 点 去吃可口的食物,则蚂蚁沿着台阶面爬到B 点最短路程是________dm.2.如图，四边形ABCD ，BD AC ⊥于O , AB =5, AD =7,CD =8, 则BC = .3.如图，学校校园内有一块三角形空地，计划将这块空地建成一个花园，以美化校园环境. 预计花园每平方米造价为30元，学校建这个花园需要投资 元（精确到1元,732.13≈）.4.如图，小亮用一个锐角为30°的直角三角尺测量树高. 当他离树10米时，他的视线刚好沿眼前的三角尺的斜边穿过树顶C 点，若三角尺的一边和地面平行且相距 1.5米，这棵树高大约是 米(73.13,41.12≈≈).5.设一个直角三角形的两条直角边为a 、b ，斜边为c ，斜边上的高为h ， 那么以c ＋h 、a ＋b 、h 为边构成的三角形形状是 .二、单选题1. 等腰三角形的腰长为10,底长为12,则其底边上的高为( ) A.13 B.8 C.25 D.642. 五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将他们摆成两个直角三角形，其中 正确的是（ ）3.在ΔABC 中∠C =90°，两直角边AC =7，BC =24，在三角形内有一点P 到各边的距离相等，则这个距离是（ ）A.1B.3C.6D.非以上答案4.三角形的三条边分别为22b a +、22b a -、2ab ，则这个三角形是（ ） A.钝角三角形 B.锐角三角形 C.直角三角形 D.不能确定5.已知，如图长方形ABCD 中，AB =3cm ，AD =9cm ，将此长方形 折叠，使点B 与点D 重合，折痕为EF ，则△ABE 的面积为（ ） A.3cm 2B.4cm 2C.6cm 2D.12cm 2BFEDCBADBAO120︒30m20m72425207152024257252024257202415(A)(B)(C)(D)三、解答题1.一架梯子的长度为25米，如图斜靠在墙上，梯子底部离墙底端为7米. (1)这个梯子顶端离地面有多高？(2)如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子的底部在水平方向滑动了几米？2.如图，A 、B 两个小集镇在河流的同侧，分别到河的距离为AC =10千米，BD =30千米，且CD =30千米，现在要在河边建一自来水厂，向A 、 B 两镇供水，铺设水管的费用为每千米3万. 请你在河流CD 上选择水 厂的位置M ，使铺设水管的费用最节省，并求出总费用是多少？3.已知:在Rt △ABC 中，、A C ∠︒=∠,90CB ∠∠、的对边分别为a 、b 、c ，设△ABC 的面积为S , 周长为l .（1）填表：（2）如果m c b a =-+，观察上表猜想=lS（用含m 的代数式表示）. (3)证明（2）中的结论.4.如图，公路MN 上有一拖拉机由P 点向N 点行驶，在公路一侧A 点有一所中学，已知 PA =160m ，且︒=∠30NPA ．假设拖拉机在行驶时，100m 范围以内会受到噪音影响，那么拖拉机在公路MN 上沿PN 方向行驶时，学校是否会受到影响？请说明理由；如果受影响，己知拖拉机的速度为18km ／h ，那么学校受影响的时间是多少秒？5.如图，CD 是△ABC 的边AB 上的高，且DB AD CD ⋅=2，求证：︒=∠90ACB .D CDBCAS/l 6428、15、175、12、133、4、5a+b-c三边a 、b 、c勾股定理（二） 答案一、1.25； 2.102； 3.7794（45003）； 4. 7.27（5.13310+）； 5.直角三角形提示：2.2222AD BC CD AB +=+ 5.222222)()(2121,h b a h c ch ab c b a ++=+⇒==+ 二、BCBCC提示：3.设这个距离为x ，连PA 、PB 、PC ，有BC AC x CA x BC x AB S S S S ABC PCA PBC PAB ⋅=⋅+⋅+⋅⇒=++∆∆∆∆21212121 3)(=⇒⋅=++⇒x BC AC x CA BC AB 5.设4)9(3,222=⇒-=+=x x x x AE 则 三、1.解：（1）22725-=24(米) （2）87)424(2522=---(米)2.解：如图，作A 关于CD 的对称点A ',连结B A '交CD 于M 即为所求50)1030(3022=++='=+B A BM AM (千米)150503=⨯(万)3.（1）如右表； （2）m 41； （3）证明：S ab c b a c b a c b a lm 42)())((22=--+=-+++=4m l S =⇒4.解：8021==PA AB m<100m ，受影响；如图，AE =AF =100m,则BE =BF =60m,EF =120m,当拖拉机在线段EF 上行驶时学校受噪音影响，时间为 243600181000120=⨯÷÷(秒)5.证明：222CD AD AC +=222CD BD BC +=222222CD BD AD BC AC ++=+⇒2222)(2AB BD AD BD AD BD AD =+=⋅++=︒=∠⇒90ACB30︒F EP NMB A勾股定理（三）一、填空题1. 如图，在直线l 上依次摆放着七个正方形，已知斜放置的三个正方形的面积分别为1，2， 3，正放置的四个正方形的面积依次为._______,,,,43214321=+++S S S S S S S S 则2. 如图，AM 是△ABC 的中线，︒=∠45AMC . 把△ACM 沿AM 对折，点C 落在点之间的和的位置，则C B BC C ''数量关系是 .3. 如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其 中最大的正方形的边长为7cm, 则正方形A 、B 、C 、D 的面积之和为 ___________cm 2.4. 在一棵树的10米高B 处有两只猴子为抢吃池塘边水果，一只猴子爬下树跑到A 处（离树20米）的池塘边. 另一只爬到树顶D 后直接跃到A 处，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，则这棵树高_____米.5. 如图，将矩形ABCD 沿BD 折叠，使C 落在C '处，C B '交AB 于E , AB =4, AD =8,则=∆BED S .6. 如图，︒=∠=︒=∠15,12,90B AB C ,那么=∆ABC S .二、单选题1. 在ABC ∆中，AB =15, AC =13,高AD =12,则ABC ∆的周长是（ ） A.42 B.32 C.42或32 D.37或332. 已知如图，水厂A 和工厂B 、C 正好构成等边△ABC ，现由水厂A 和B 、C 两厂供水，要 在A 、B 、C 间铺设输水管道，有如下四种设计方案，（图中实线为铺设管道路线），•其中最 合理的方案是（ ）C BAEC 'DCBA3. 直角三角形有一条直角边长是11，另外两边的长也是自然数，那么它的周长是（ ） A.132 B.121 C.120 D.以上都不对4. 如图，在一个房间内，有一个梯子斜靠在墙上，梯子顶端距地面的垂直距离MA 为a 米，此时梯子的倾斜角为︒75，如果梯子的底端不动，顶端靠在对面的墙上，此时梯子顶端距地面的距离NB 为b 米，梯子的倾斜角为︒45. 这间房子的宽AB 是（ ）A.米2b a +B.米2b a - C.b 米 D.a 米三、解答题1. 如图，请在坐标轴上标出 （1）表示20的点； （2）表示7的点.2. 如图，正方形ABCD 的边长为4，M 为AD 的中点，BE ⊥CM 于E, 求BE 的长.3. 台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心，在周围数十千米范围内形成气旋风暴，有极强的破坏力. 如图所示，据气象部门观测，在沿海某城市A 的正南方向220km 的B 处有一台风中心，其中心风力为12级，每远离台风中心20km,风力就会减弱1级，该台风中心现正以15km/h 的速度沿北偏东30°方向往C 移动，且台风中心的风力不变，若城市所受风力达到或超过4级，则称受台风影响. （1）该城市是否受到台风影响？请说明理由.（2）若会受到台风影响，那么台风影响该城市的持续时间有多长？ （3）该城市受到台风影响的最大风力为几级？4. 如图，在ABC ∆中，E CB CA ACB ,,90=︒=∠、F 是AB 上两点且,45︒=∠ECF 求证：222BF AE EF +=.MEDCBANMCBA75︒45︒FECBA勾股定理（三） 答案一、1.4； 2.C B BC '=2; 3.49; 4.15; 5.10; 6.18 提示：1.根据勾股定理，3,124232221=+=+S S S S 6. 如图给出两种做法：二、CDAD提示：3.设另两边为b 、c ，则⎩⎨⎧=+=-⇒=+-⇒=+121111))((112222b c b c b c b c c b 4.如图，MCN ∆为正三角形MDN MAC ∆≅∆⇒三、1.略2.解：558 3.解：（1）220÷2=110 110÷20=5.5 12-5.5=6.5>4 受影响；（2）154小时 （3）6.5级4. 如图给出两种做法：12DCBA x 3x2x2x126A'D12C BA勾股定理（四）1．（西宁）如图，某建筑物直立于水平地面，9BC =米，30B ∠=°，要建造楼梯，使每阶台阶高度不超过20阶（最后一阶不足20 1.732）．2. (北京)如图，正方形纸片ABCD 的边长为1，M 、N 分别是AD 、BC 边上的点，将纸片的一角沿过点B 的直线折叠，使A 落在MN 上，落点记为A ', 折痕交AD 于点E ,若M 、N 分别是AD 、BC 边的中点，则N A '= ; 若 M 、N 分别是AD 、BC 边的上距DC 最近的n 等分点（2n ≥,且n 为整数）， 则N A '= （用含有n 的式子表示）. 3．（哈尔滨）若正方形ABCD 的边长为4，E 为BC 边上一点，BE ＝3，M 为线段AE 上一点，射线BM 交正方形的一边于点F ，且BF ＝AE ，则BM 的长为 ．4．(哈尔滨)如图，在电线杆上的C 处引拉线CE 、CF 固定电线杆，拉线CE 和地面成60°角，在离电线杆6米的B 处安置测角仪，在A 处测得电线杆上C 处的仰角为30°，已知测角仪高AB 为1.5米，求拉线CE 的长（结果保留根号）.5．（哈尔滨） 图（a ）、图（b ）、图（c ）是三张形状、大小完全相同的方格纸，方格纸 中的每个小正方形的边长均为1．请在图（a ）、图（b ）、图（c ）中，分别画出符合要求的 图形，所画图形各顶点必须与方格纸中的小正方形顶点重合．6．（哈尔滨）如图，将边长为8cm 的正方形纸片ABCD 折叠，使点D 落在BC 边中点E 处，点A 落在点F 处，折痕为MN ，则线段CN 的长是（ ）． A. 3cm B. 4cm C. 5cm D. 6cm 7．（哈尔滨）如图，一艘轮船位于灯塔P 的北偏东60°方向，与灯塔P 的距离为80海里的A 处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P 的南偏东45°方向上的B 处．求此时轮船所在的B 处与灯塔P 的距离（结果保留根号）．AC8. 如图，在△ABC 中，AB =5,AC =13,边BC 上的中线AD =6，则BC 的 长为 .9. 如图，在等腰Rt ,7,90=∆︒=∠∆PA ABC P C ABC 内一点，是中， PB =3, PC =1, 则APC ∠的度数为 .10. 设正△ABC 的边长为2，M 为AB 边的中点，P 是BC 边上的任意一点，PA +PM 的最大值和最小值分别记为s 和t , 则22t s -等于（ ）A.32B.33C.34D.以上都不对11. 如图，已知ΔABC 是等边三角形，边长为6，DE ⊥BC 于E ，EF ⊥A C 于F ，FD ⊥AB 于D ，求AD 的长.12. (1)如图（1），在四边形ABCD 中，BC ⊥CD ,∠ACD =∠ADC ,求证：AB +AC >22CD BC +(2)如图（2），在△ABC 中，CD ⊥AB 于D ,试判断2224)(CD AB BC AC ++与的大小.13. 如图，,90︒=∠=∠CAD C BD 交AC 于E , DE =2AB . 求 证:ABC DBC ∠=∠3114.如图，在四边形ABCD 中，∠ABC ＝30°，∠ADC ＝60°，AD ＝CD ， 求证：222BC BA BD +=.PCBA(1)DCBA(2)DCBAE DCBADCBADBCA FEDCBA勾股定理（四）答案1.26；2.n n 12,23-；3.512/25； 4.34+； 5.6.A ；7.640；8.612提示：中线加倍；9.︒135提示：将△ACP 绕C 顺时针旋转90° 至△BCQ ，连PQ ，则由勾股定理的逆定理知，∠PQB =90°；10.C 提示：如图，7)23()25(,3222=+=+=t s ；11.2；12.（1）略；（2）2224)(CD AB BC AC +≥+；证明如下： 如图，AE CE AC ≥+,即224CD AB BC AC +≥+两边平方即得.13.提示：取CD 的中点M ，连AM . 14.证明：向外作正△ABE ，连AC 、CE , 则有正△ACD , ∠EBC =90°，且有 △ABD ≌△AEC ,于是对Rt △EBC 应用勾股定理即得.补充题 如图，在正方形ABCD 中，边长为a 4，F 为DC 的中点，E 为BC上一点，且BC CE 41=.问：AF 与EF 垂直吗？请说明理由.如图，有一张L 型纸片，由5个边长为1的小正方形组成. 通过它的内侧拐角点A 切一刀，将纸片恰好分成面积相等的两部分，那么刀痕MN 的长度是多少？答案：15如图，A B C ∆是等腰直角三角形，AB=AC , D 是斜边BC 的中点，E 、F 分别在AB 、AC 上，且DE ⊥DF , 若BE =12,CF =5,求△DEF 的面积.如图，在ABC ∆中，AB CD B A ⊥∠=∠,2于D ，M 为AB 的中点. 求证：DM =AC 21. FED CBAFEDCBAA勾股定理（例题）例1．（1）直角三角形两条直角边的长为5、12，则斜边上的高是 . （2）等边三角形的面积是23cm ，则它的周长是 . （3）等腰三角形的两条边是，则它的面积是和cm cm 24 . （4）直角三角形的两条边为，则第三条边为和86 .例2.（1）等腰三角形底边上的高为，则三角形的面积为，周长为cm cm 164 . （2）若一个直角三角形三边的长是三个连续的整数，则它的面积为 .例3.（1）已知三角形三边长分别为，、、cm cm cm 321则此三角形最短边上的高为（ ） A.cm 1 B.cm 2 C.cm 3 D.cm 2 （2）是，那么满足，，的三边若ABC c b a c b a c b a ABC ∆++=+++∆108650222（ ） A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.不能确定例4.（1）如图,四边形4390==︒=∠AB AD BAD ABCD ，，中，， ，，1312==CD BC 求ABCD 四边形的面积.（2）在的面积，求，，中，ABC AB B BAC ABC ∆=︒=∠︒=∠∆64575. （3）如图,四边形，，，，中，126090==︒=∠︒=∠=∠CD AB A D B ABCD 求ABCD 四边形的面积.例5.（1）如图，，是角平分线，，中，5.190=︒=∠∆CD AD C ABC的长，求AC BD 5.2=.（2）矩形纸片ABCD 中，AD =4,AB =10,按如图折叠，使点B 与点D 重合，折痕为EF ,则DE = ,EF = .(3) 如图，，于，，，中，D BC AD BC AC AB ABC ⊥===∆675=AD 则 . 三边5、6、7，求面积（(4)如图，的斜边，中线是ABC AB ∆Rt AD 的长为7，中线BE 的长为4，则AB 的长为多少？（5）如图，正方形ABCD 外有一点P ，5,2,17===PC PB PA 若,则PD 的长为（ ）A.52B.19C.23D.1711111111111111例6. （1）如图，正四棱柱的底面边长为5，侧棱长为8，一只蚂蚁欲从 点A 沿棱柱的表面到顶点C '处吃食物，那么它需要爬行的最短路程的长 是多少？（2）如图，一个牧童在小河的南4km 的A 处牧马，而他正位于 他的小屋B 的西8km 北7km 处，他想把他的马牵到小河边去饮水， 然后回家.他要完成这件事情所走的最短路程是多少？ABCDC /EFDCBAABCDA BCDA B CDABCED/PD CBA例7.（1）如图，在，于的中点为，中E AB DE AC D C ABC ⊥︒=∠∆,90, 求证：222BC AE BE +=.（2）如图，上任意一点，求证：为底边中，等腰BC P ABC ∆ CP BP AP AB ⋅+=22.例8. 若一个三角形的三边长分别为3、10、13，请在给出的5×5的方格内画出这个三角形，并求出它的面积.例9. 如图，在，求证：的中点为，中DF DE AB D C ABC ⊥︒=∠∆,90, 222BF AE EF +=.例10. （1）已知直角三角形两直角边长分别为l 、m ,斜边长为n ,且l 、m 、n 均为正整数，l 为质数. 证明：2（l +m +1）是完全平方数.（2）若直角三角形的三边长都为整数，且面积的数值等于周长的数值，那么这样的三角形有几个，分别求出它们的三边长.例11. 如图，已知,17,,111111=∠=∠AA B A BB PP AA B A 均垂直于、、 PB AP B A BB PP +===则,12,20,161111的值是（ ） A.12 B.13 C.14 D.15例12. 如图，CD 是Rt CAB ABC ∠∆斜边上的高，的平分线分别交CD 、BC 于E 、F , EG //AB 交BC 于G , 求证：CF =BG .例13. 如图，P 是等边三角形ABC 内一点，5=PC ，3=PA ，4=PB ，求A P B∠的度数． 例14.,60,45,2,,︒=∠︒=∠=∆APC ABC PB PC BC ABC P 若且上一点边为如图的度数求ACB ∠.新如图，在△ABC 中，︒=∠=90,BCA BC AC ，P 为△ABC 内部一点，且2,135=︒=∠PB BPC ,求△PAB 的面积. 解：2.CADEABCPP 1B 1A 1PBAGFE DCBACABDEFPCBABBQ勾股定理（五）一、单选题1.下列各组线段中的三个长度:①9、12、15；②7、24、25；③32、42、52；④3a 、4a 、5a （a>0）；⑤m 2-n 2、2mn 、m 2+n 2（m>n >0）其中可以构成直角三角形的有（ ） A.5组 B.4组 C.3组 D.2组2.已知在等腰ABC ∆中，，，2030=︒=∠=∠AB C B 则BC 的长为（ ） A.10 B.210 C.310 D.3203.王英同学从A 地沿北偏西60º方向走100m 到B 地，再从B 地向正南方向走200m 到C 地，此时王英同学离A 地 （ ）A.350mB.100 mC.150mD.3100m4.已知c b a 、、是三角形的三边长，如果满足,0108)6(2=-+-+-c b a 则三角形的形状是（ ）A.底与边不相等的等腰三角形B.等边三角形C.钝角三角形D.直角三角形5.在的长为，那么，，中，AC AB C B ABC 84530=︒=∠︒=∠∆（ ） A.64 B.34 C.24 D.4二、填空题1.直角三角形两直角边的长分别为6和8，则斜边上的中线为 .2.已知三角形三内角的度数之比为3:2:1，它的最大边长为6cm, 那么它的最小边长为 cm.3.如图，ABC ∆中，∠BAC ＝90°，将ABP ∆绕着点A 逆时针旋转后， 能与P AC '∆重合，已知AP ＝3，则P P '的长等于 .4.校园内有两棵树，相距12米，一棵树高8米，另一棵树高13米，一 只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，小鸟至少要飞 米.5.如图，空白部分是两个直角三角形，两阴影部分都是正方形，那么，两正方形的面积之和为 .6.如图，OA PC BOP AOP ⊥︒=∠=∠,15于C ，OA PD //交OB 于D . 若PD =6, 则PC = .7.已知a , b , c 为△ABC 的三边，且满足442222b a c b c a -=-，则 △ABC 的形状为 .8.的外角，且平分，平分中，如图，在ACB CF ACB CE ABC ∠∠∆，若于交M AC BC EF //5=CM ，则=+22CF CE .三、解答题1.印度数学家什迦逻（1141年一1225年）曾提出过一个“荷花问题”：“平平湖水清可鉴，面上半尺生红莲；出泥不染亭亭立，忽被强风吹一边；渔人观看忙向前，花离原位二尺远；P /PCBA MF EDC BADC PBA O能算诸君请解题，湖水如何知深浅？”此题意思是：如图所示，OB OA =，5.0=CA 尺，2=CB 尺，求 OC ．2.海中有一个小岛P ，它的周围18海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在点A 测 得小岛P 在北偏东60°方向上，航行12海里到达B 点，这时测得小岛P 在北偏东45°方 向上．如果渔船不改变航线继续向东航行，有没有触礁危险？请说明理由．3.如图所示，折叠长方形的一边AD ，使点D 落在BC 边的点F 处，已知8=AB ，10=BC ，求EC 的长．4.如图，在四边形ABCD 中，AB =AD =8,︒=∠︒=∠150,60D A ,已知四边形的周长为32，求它的面积.EBA勾股定理（五）答案一、1.B; 2.D; 3.D; 4.D; 5.C;二、1.5； 2.3； 3.23； 4.13； 5.36； 6.3； 7.等腰三角形或直角三角形； 8.100. 三、1.解：设OC =x 尺，则CB =2尺，OB =OA =(x +0.5)尺 由415)5.0(422222=⇒+=+⇒=+x x x OB CB OC . 答：湖水深415尺. 2.解：设点P 到直线AC 的距离为xkm ，则18636,312<+==+x x x ，故有触礁的危险.3.解：4,610==⇒==FC BF AD AF 设EC=x ，3)8(4222=⇒-=+x x x4.解：6422=-CD BC ,16=+CD BC64=⇒=-⇒CD CD BC24316+=⇒ABCD SAEB勾股定理测试一、单选题1.下列各组线段中的三个长度:①9、12、15；②7、24、25；③32、42、52；④3a 、4a 、5a （a>0）；⑤m 2-n 2、2mn 、m 2+n 2（m>n >0）其中可以构成直角三角形的有（ ） A.5组 B.4组 C.3组 D.2组2.已知在等腰ABC ∆中，，，2030=︒=∠=∠AB C B 则BC 的长为（ ） A.10 B.210 C.310 D.3203.王英同学从A 地沿北偏西60º方向走100m 到B 地，再从B 地向正南方向走200m 到C 地，此时王英同学离A 地 （ ）A.350mB.100 mC.150mD.3100m4.已知c b a 、、是三角形的三边长，如果满足,0108)6(2=-+-+-c b a 则三角形的形状是（ ）A.底与边不相等的等腰三角形B.等边三角形C.钝角三角形D.直角三角形5.在的长为，那么，，中，AC AB C B ABC 84530=︒=∠︒=∠∆（ ） A.64 B.34 C.24 D.4二、填空题1.直角三角形两直角边的长分别为6和8，则斜边上的中线为 .2.已知三角形三内角的度数之比为3:2:1，它的最大边长为6cm, 那么它的最小边长为 cm.3.如图，ABC ∆中，∠BAC ＝90°，将ABP ∆绕着点A 逆时针旋转后， 能与P AC '∆重合，已知AP ＝3，则P P '的长等于 .4.校园内有两棵树，相距12米，一棵树高8米，另一棵树高13米，一 只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，小鸟至少要飞 米.5.如图，空白部分是两个直角三角形，两阴影部分都是正方形，那么，两正方形的面积之和为 .6.如图，OA PC BOP AOP ⊥︒=∠=∠,15于C ，OA PD //交OB 于D . 若PD =6, 则PC = .7.已知a , b , c 为△ABC 的三边，且满足442222b a c b c a -=-，则 △ABC 的形状为 .8.的外角，且平分，平分中，如图，在ACB CF ACB CE ABC ∠∠∆，若于交M AC BC EF //5=CM ，则=+22CF CE .三、解答题1.印度数学家什迦逻（1141年一1225年）曾提出过一个“荷花问题”：“平平湖水清可鉴，面上半尺生红莲；出泥不染亭亭立，忽被强风吹一边；渔人观看忙向前，花离原位二尺远；P /PCBA MF EDC BADC PBA O能算诸君请解题，湖水如何知深浅？”此题意思是：如图所示，OB OA =，5.0=CA 尺，2=CB 尺，求 OC ．2.如图，一个牧童在小河的南4km 的A 处牧马，而他正位于他的小屋B 的西8km 北7km 处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家.他要完成这件事情所走的最短路程是多少？3.如图所示，折叠长方形的一边AD ，使点D 落在BC 边的点F 处，已知8=AB ，10=BC ，求EC 的长．4.如图，在四边形ABCD 中，AB =AD =8,︒=∠︒=∠150,60D A ,已知四边形的周长为32，求它的面积.EBA答案：一、1.B; 2.D; 3.D; 4.D; 5.C;二、1.5； 2.3； 3.23； 4.13； 5.36； 6.3； 7.等腰三角形或直角三角形； 8.100. 三、1.解：设OC =x 尺，则CB =2尺，OB =OA =(x +0.5)尺 由415)5.0(422222=⇒+=+⇒=+x x x OB CB OC . 答：湖水深415尺.2.解：作,,PA P l B A A l A ，连于交连的对称点关于河这岸''则 B A PB AP '=+根据两点间线段最短知B A '即为最短路线，由题意，18,15=='BC C A)(178152222km BC C A B A =+=+'='答：最短距离为17千米.3.解：4,610==⇒==FC BF AD AF设EC=x ，3)8(4222=⇒-=+x x x4.解：6422=-CD BC ,16=+CD BC 64=⇒=-⇒CD CD BC24316+=⇒ABCD SA EB。
初二数学勾股定理试卷
初二数学勾股定理试卷一．选择题（共2小题）1．下列说法正确的是（）A．a0=1B．夹在两条平行线间的线段相等C．勾股定理是a2+b2=c2D．若有意义，则x≥1且x≠22．如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，BD=，DC=1，AC=，那么AB的长度是（）A． B．27 C．3 D．25二．填空题（共1小题）3．学完勾股定理之后，同学们想利用升旗的绳子、卷尺，测算学校旗杆的高度．小明设计了一个方案：将升旗的绳子拉到旗杆底端，绳子恰好到达旗杆底端．然后将绳子向外拉．当把绳子接上1米时，此时一端到达离旗杆底端5米处，如图所示，小明算出旗杆高度是米．三．解答题（共5小题）4．△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c．若∠C=90°，如图1，根据勾股定理，则a2+b2=c2．若△ABC不是直角三角形，如图2和图3，请你类比勾股定理，试猜想a2+b2与c2的关系，并证明你的结论．5．身高1.6米的小明想利用“勾股定理”测得下图风筝CE的高度，于是他测得BD的长度为25米，并根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC的长为65米．求风筝的高度CE．6．阅读：（1）勾股定理：在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方．（2）若xy=0，根据乘法法则，得x=0或y=0．利用你在阅读材料中所掌握的知识解决问题．问题：如图，在直角△ABC中，三边分别为x，x+1，x﹣1，求三边长．7．如图，四边形ABCD中，∠A=∠B=90°，E是AB的中点，DE平分∠ADC，（1）求证：CE平分∠BCD；（2）若DE=15，CE=20，求四边形ABCD的面积；（3）在（2）的条件下，已知AB=24，求CD的值．（不得利用勾股定理求解）8．如图；已知甲、乙分别从正方形ABCD广场的顶点B、C两点同时出发，甲由C向D运动，乙由B向C运动，甲的速度是1千米/分，乙的速度是2千米/分．若正方形广场的周长为40千米，问：几分钟后甲、乙两之间相距2千米？（友情提示：可以用直角三角形的勾股定理求解）初二数学勾股定理试卷参考答案与试题解析一．选择题（共2小题）1．（2014•佛山）下列说法正确的是（）A．a0=1B．夹在两条平行线间的线段相等C．勾股定理是a2+b2=c2D．若有意义，则x≥1且x≠2【分析】分别利用零指数幂的性质以及二次根式有意义的条件和勾股定理以及平行线的距离等知识，分别判断得出即可．【解答】解：A、a0=1（a≠0），故A选项错误；B、夹在两条平行线间的线段不一定相等，故B选项错误；C、当∠C=90°，则由勾股定理得a2+b2=c2，故C选项错误；D、若有意义，则x≥1且x≠2，此D选项正确．故选：D．【点评】此题主要考查了零指数幂的性质以及二次根式有意义的条件和勾股定理等知识，正确把握相关定义是解题关键．2．（2014春•祁阳县校级期中）如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，BD=，DC=1，AC=，那么AB的长度是（）A． B．27 C．3 D．25【分析】根据AC，DC解直角△ACD，可以求得AD，根据求得的AD和BD解直角△ABD，可以计算AB．【解答】解：∵△ACD为直角三角形，∴AC2=AD2+DC2，∴AD==2，∵△ABD为直角三角形，∴AB2=AD2+BD2，∴AB==3，故选C．【点评】本题考查了直角三角形中勾股定理的灵活运用，根据两直角边求斜边，根据斜边和一条直角边求另一条直角边．二．填空题（共1小题）3．（2013秋•华龙区校级期中）学完勾股定理之后，同学们想利用升旗的绳子、卷尺，测算学校旗杆的高度．小明设计了一个方案：将升旗的绳子拉到旗杆底端，绳子恰好到达旗杆底端．然后将绳子向外拉．当把绳子接上1米时，此时一端到达离旗杆底端5米处，如图所示，小明算出旗杆高度是12米．【分析】根据旗杆、绳子、地面正好构成直角三角形，设出旗杆的高度，再利用勾股定理解答即可．【解答】解：设旗杆的高为x米，则绳子长为x+1米，由勾股定理得，（x+1）2=x2+52，解得，x=12米．答：旗杆的高度是12米．故答案为12．【点评】本题考查正确运用勾股定理，善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键三．解答题（共5小题）4．（2006•临沂）△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c．若∠C=90°，如图1，根据勾股定理，则a2+b2=c2．若△ABC不是直角三角形，如图2和图3，请你类比勾股定理，试猜想a2+b2与c2的关系，并证明你的结论．【分析】当△ABC是锐角三角形时，过点A作AD⊥BC，垂足为D，设CD为x，根据AD 不变由勾股定理得出等式b2﹣x2=AD2=c2﹣（a﹣x）2，化简得出a2+b2＞c2．当△ABC是钝角三角形时过B作BD⊥AC，交AC的延长线于D．设CD为y，根据勾股定理，得（b+x）2+a2﹣x2=c2．化简得出a2+b2＜c2．【解答】解：若△ABC是锐角三角形，则有a2+b2＞c2（1分）若△ABC是钝角三角形，∠C为钝角，则有a2+b2＜c2．（2分）当△ABC是锐角三角形时，证明：过点A作AD⊥BC，垂足为D，设CD为x，则有BD=a﹣x（3分）根据勾股定理，得b2﹣x2=AD2=c2﹣（a﹣x）2即b2﹣x2=c2﹣a2+2ax﹣x2．∴a2+b2=c2+2ax（5分）∵a＞0，x＞0，∴2ax＞0．∴a2+b2＞c2．（6分）当△ABC是钝角三角形时，证明：过B作BD⊥AC，交AC的延长线于D．设CD为y，则有BD2=a2﹣y2（7分）根据勾股定理，得（b+y）2+a2﹣y2=c2．即a2+b2+2by=c2．（9分）∵b＞0，y＞0，∴2by＞0，∴a2+b2＜c2．（10分）【点评】本题考查了勾股定理的运用．通过作辅助线构造直角三角形是解题的关键．5．（2014秋•福安市期末）身高1.6米的小明想利用“勾股定理”测得下图风筝CE的高度，于是他测得BD的长度为25米，并根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC的长为65米．求风筝的高度CE．【分析】利用勾股定理求出CD的长，再加上DE的长度，即可求出CE的高度．【解答】解：在Rt△CBD中，∵BD2+CD2=BC2，∴252+CD2=652，∴CD=60（米），∵CE=CD+DE，∴CE=60+1.6=61.6（米）．∴风筝的高为61.6米．【点评】本题考查了勾股定理的应用，熟悉勾股定理，能从实际问题中抽象出勾股定理是解题的关键．6．（2013秋•巴州区校级期中）阅读：（1）勾股定理：在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方．（2）若xy=0，根据乘法法则，得x=0或y=0．利用你在阅读材料中所掌握的知识解决问题．问题：如图，在直角△ABC中，三边分别为x，x+1，x﹣1，求三边长．【分析】根据勾股定理得到关于x的方程，求出x的值，再求出各边的长即可．【解答】解：∵在直角△ABC中，三边分别为x，x+1，x﹣1，∴x2+（x﹣1）2=（x+1）2解得：x1=0（舍去），x2=4，x﹣1=3，x+1=5，∴三边长分别是3、4、5．【点评】本题考查了勾股定理与一元二次方程，正确列出方程是解决本题的关键，注意把不合题意的解舍去．7．（2013秋•丹江口市校级期中）如图，四边形ABCD中，∠A=∠B=90°，E是AB的中点，DE平分∠ADC，（1）求证：CE平分∠BCD；（2）若DE=15，CE=20，求四边形ABCD的面积；（3）在（2）的条件下，已知AB=24，求CD的值．（不得利用勾股定理求解）【分析】（1）过点E作EF⊥CD，垂足为F，利用角平分线的性质以及其判定得出即可；（2）首先得出S△DEC的面积，进而得出Rt△ADE≌Rt△FDE，Rt△BCE≌Rt△FCE，S四边=2S△DEC，进而求出即可；形ABCD（3）由（2）得：AD=DF，FC=BC，则AD+BC=CD，利用S梯形ABCD=（AD+BC）×AB=300，进而得出CD的长．【解答】（1）证明：过点E作EF⊥CD，垂足为F，∵DE平分∠ADC，∠A=90°，∴EA=EF（角平分线上的点到角的两边距离相等），∵E是AB的中点，∴AE=BE，∴EF=BE，∵∠B=90°，∴CE平分∠BCD（到角两边距离相等的点在角的平分线上）；（2）解：∵四边形ABCD中∠A=∠B=90°∴∠ADC+∠BCD=180°∵∠EDC=∠ADC，∠ECD=∠BCD∴∠EDC+∠ECD=90°∴∠DEC=90°∴S△DEC=DE×CE=×15×20=150，∵在Rt△ADE和Rt△FDE中，∴Rt△ADE≌Rt△FDE（HL），在Rt△BCE和Rt△FCE中，∴Rt△BCE≌Rt△FCE（HL），∴S四边形ABCD=2S△DEC=300；（3）解：由（2）得：AD=DF，FC=BC，∴AD+BC=CD，∵S梯形ABCD=（AD+BC）×AB，由（2）知S梯形ABCD=300，∴（AD+BC）×AB=300，∴CD=25．【点评】此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及角平分线的性质与定理和梯形的面积求法，熟练利用角平分线的性质与判定是解题关键．8．（2013秋•镇赉县校级月考）如图；已知甲、乙分别从正方形ABCD广场的顶点B、C两点同时出发，甲由C向D运动，乙由B向C运动，甲的速度是1千米/分，乙的速度是2千米/分．若正方形广场的周长为40千米，问：几分钟后甲、乙两之间相距2千米？（友情提示：可以用直角三角形的勾股定理求解）【分析】本题可设时间为x分钟，依题意得CF=x，则BE=2x，周长为40km，边长为10km，CE=10﹣2x，利用勾股定理列方程求解．【解答】解：设x分钟后两车相距2km，此时甲运动到F点，乙运动到E点，可知：FC=x，EC=10﹣2x，在Rt△ECF中，x2+（10﹣2x）2=（2）2，解得：x1=2，x2=6，当x=2时，FC=2，EC=10﹣4=6＜10符合题意，当x=6时，FC=6，EC=10﹣12=﹣2＜0不符合题意，舍去，答：2分钟后，两车相距2千米．【点评】此题考查了勾股定理的应用，根据路程=速度×时间，表示线段的长度，将问题转化到三角形中，利用勾股定理或者面积关系建立等量关系，是解应用题常用的方法．。
勾股定理试卷(含答案)
八年级数学《勾股定理》试卷(考试时间：120分钟，总分：120分）一、选择题（25分）1、△ABC 周长是24，M 是AB 的中点MC=MA=5，则△ABC 的面积是（ ）A ．12;B ．16;C ．24;D ．302、如图，在正方形ABCD 中，N 是CD 的中点，M 是AD 上异于D 的点，且∠NMB=∠MBC ，则AM ：AB=（ ）A ．31; B ．33; C ．21; D ．63第（1）题图 第（2）题图 第（3）题图3、如图，已知O 是矩形ABCD 内一点，且OA=1，OB=3，OC=4，那么OD 的长为（ ） A.2; B.22; C.23; D.34、如图，P 为正方形ABCD 内一点，PA=PB=10，并且P 点到CD 边的距离也等于10，那么，正方形ABCD 的面积是（ ）A ．200;B ．225;C ．256;D ．150+1025、如图，矩形ABCD 中，AB=20，BC=10，若在AB 、AC 上各取一点N 、M ，使得BM+MN 的值最小，这个最小值为（ ）A ．12;B ．102;C ．16;D ．20二、填空题（每小题5分，共25分） 第（5）题图6、如图，△ABC 中，AB=AC=2，BC 边上有10个不同的点1021,,P P P ，记C P B P AP M i i i i ⋅+=2（i = 1，2，……，10），那么， 1021M M M +++ =_________。
第（6）题图7、 如图，设∠MPN=20°，A 为OM 上一点，OA=43，D 为ON 上一点，OD=83，C 为AM 上任一点，B 是OD 上任意一点，那么折线ABCD 的长最小为__________。
第（7）题图 第（8）题图8、如图，四边形ABCD 是直角梯形，且AB=BC=2AB ，PA=1，PB=2，PC=3，那么梯形ABCD 的面积=__________。
9、若x + y = 12，那么9422+++y x 的最小值=___________。
勾股定理单元测试试卷
新人教版八年级下册第17章勾股定理单元测试试卷（B卷）（时间90分钟满分100分）班级学号姓名得分一、填空题（共14小题，每题2分，共28分）1．已知直角三角形的两边分别为3、4，则第三边为___ __．2．如图所示，某风景名胜区为了方便游人参观，计划从主峰A处架设一条缆车线路到另一山峰C 处，若在A处测得∠EAC=30°，两山峰的底部BD相距900米，则缆车线路AC的长为_______米．123．已知，如图所示，Rt △ABC 的周长为4+23，斜边AB 的长为23，则Rt △ABC •的面积为_____．4．如图，一架10米长的梯子斜靠在墙上，刚好梯顶抵达8米高的路灯．•当电工师傅沿梯上去修路灯时，梯子下滑到了B ′处，下滑后，两次梯脚间的距离为2米，则梯顶离路灯______米．5．在△ABC 中，∠C=90°， AB ＝5，则2AB +2AC +2BC =_______．6．已知三角形三边长n n n n n n ,122,22,1222++++为正整数，则此三角形是________三角形． 7．如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为20dm 、3dm 、第2题 第3题第4题3220BA第7题32dm ，•A 和B 是这个台阶两个相对的端点，A 点有一只蚂蚁，想到B 点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到B 点的最短路程是_________．8．如图，是2002年8月北京第24届国际数学家大会会标，由4个全等的直角三角形拼合而成.如果图中大、小正方形的面积分别为52和4，那么一个直角三角形的两直角边的和等于 ．9．直角三角形两直角边长分别为5和12，则它斜边上的高为_______． 10．直角三角形的三边长为连续偶数，则这三个数分别为__________．11．如图，一根树在离地面9米处断裂，树的顶部落在离底部12米处．树折断之前有___米．60 12014060BAC第8题第11题第12题第13题图12．如图所示，是一个外轮廓为矩形的机器零件平面示意图，根据图中标出尺寸（单位：mm）计算两圆孔中心A和B的距离为．13．如图，梯子AB靠在墙上，梯子的底端A到墙根O的距离为2米，梯子的顶端B到地面的距离为7米．现将梯子的底端A向外移动到A’，使梯子的底端A’到墙根O的距离等于3米，同时梯子的顶端B下降至B’，那么BB’的值：①等于1米；②大于1米5；③小于1米.其中正确结论的序号是．14．小刚准备测量河水的深度，他把一根竹竿插到离岸边1.5m远的水底，竹竿高出水面0.5m，把竹竿的顶端拉向岸边，竿顶和岸边的水面刚好相齐，河水的深度为．二、选择题（共4小题，每题3分，共12分）15．已知一个直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边长是（）A．5 B．25 C．7D．5或716．已知Rt△ABC中，∠C=90°，若a+b=14cm，c=10cm，则Rt△ABC的面积是（）A．24cm2B．36cm2 C．48cm2 D．60cm2417．直角三角形中一直角边的长为9，另两边为连续自然数，则直角三角形的周长为（）A．121 B．120 C．90 D．不能确定18．放学以后，小红和小颖从学校分手，分别沿东南方向和西南方向回家，若小红和小颖行走的速度都是40米/分，小红用15分钟到家，小颖20分钟到家，小红和小颖家的直线距离为（）A．600米 B. 800米 C. 1000米 D. 不能确定三、解答题（共60分）19．（5分）如图，在一棵树的10米高B处有两只猴子，其中一只爬下树走向离树20米的池塘C，而另一只爬到树顶D后直扑池塘C，结果两只猴子经过的距离相等，问这棵树有多高？520．（5分）小东拿着一根长竹竿进一个宽为3米的城门，他先横着拿不进去，又竖起来拿，结果竿比城门高1米，当他把竿斜着时，两端刚好顶着城门的对角，问竿长多少米？6721．（5分）已知，如图所示，折叠长方形的一边AD，使点D落在BC边的点F•处，•如果AB=8cm，BC=10cm，求EC的长．822．（6分）如图所示，某人到岛上去探宝，从A处登陆后先往东走4km，又往北走1.5km，遇到障碍后又往西走2km，再折回向北走到4.5km处往东一拐，仅走0.5km就找到宝藏．问登陆点A与宝藏埋藏点B之间的距离是多少？91011 23．（6分）如图，将一根25㎝长的细木棒放入长、宽、高分别为8㎝、6㎝和㎝的长方体无盖盒子中，求细木棒露在盒外面的最短长度是多少？24．（6分）某校把一块形状为直角三角形的废地开辟为生物园，如图所示，∠ACB=90°，AC=80米，BC=60米，若线段CD是一条小渠，且D点在边AB上，已知水渠的造价为10元/米，问D 点在距A点多远处时，水渠的造价最低？最低造价是多少？1225．（6分）如图，一个牧童在小河的南4km的A处牧马，而他正位于他的小屋B的西8km北7km处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家．他要完成这件事情所走的最短路程是多少？小河13141526．（6分）印度数学家什迦逻（1141年-1225年）曾提出过“荷花问题”：“平平湖水清可鉴，面上半尺生红莲；出泥不染亭亭立，忽被强风吹一边，渔人观看忙向前，花离原位二尺远；能算诸君请解题，湖水如何知深浅？”请用学过的数学知识回答这个问题．27．（7分）如图，甲乙两船从港口A同时出发，甲船以16海里/时速度向北偏东40°航行，乙船向南偏东50°航行，3小时后，甲船到达C岛，乙船到达B岛.若C、B两岛相距60海里，问乙船的航速是多少？1617181928．（8分）如图，A市气象站测得台风中心在A市正东方向300千米的B处，以107千米/时的速度向北偏西60°的BF方向移动，距台风中心200•千米范围内是受台风影响的区域．（1）A市是否会受到台风的影响？写出你的结论并给予说明；（2）如果A市受这次台风影响，那么受台风影响的时间有多长？2021参考答案一、填空题1．52．．1 4．2 5．50 6．直角 7．25 8．10 9．1360 10．6，8，10 11．2412．100mm 13．③ 14．2m二、选择题15．D 16．A 17．C 18．C三、解答题19．15米 20．5米 21．3cm 22．AB=6.5km 23．5cm 24．64米处，最低造价为480元 25．17km 26．22. 3.75尺 27．12海里/时 28．（1）会受影响；（2）10小时勾股定理单元测试题1、如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，BC＝15，AC＝17，以AB为直径作半圆，则此半圆的面积为（）．A．16πB．12πC．10πD．8π222、已知直角三角形两边的长为3和4，则此三角形的周长为（）．A．12 B．7＋7C．12或7＋7D．以上都不对3、如图，梯子AB靠在墙上，梯子的底端A到墙根O的距离为2m，梯子的顶端B到地面的距离为7m，现将梯子的底端A向外移动到A′，使梯子的底端A′到墙根O的距离等于3m．同时梯子的顶端B下降至B′，那么BB′（）．A．小于1m B．大于1m C．等于1m D．小于或等于1m4、将一根24cm的筷子，置于底面直径为15cm，高8cm的圆柱形水杯中，如图所示，设筷子露在杯子外面的长度为h cm，则h的取值范围是（）．A．h≤17cm B．h≥8cmC．15cm≤h≤16cm D．7cm≤h≤16cm5、在Rt△ABC中，∠C＝90°，且2a＝3b，c＝213，则a＝_____，b＝_____．23246、如图，矩形零件上两孔中心A 、B 的距离是_____（精确到个位）．7、如图，△ABC 中，AC ＝6，AB ＝BC ＝5，则BC 边上的高AD ＝______．8、某市在“旧城改造”中计划在市内一块如图所示的三角形空地上种植某种草皮以美化环境，已知这种草皮每平方米售价a 元，则购买这种草皮至少需要 元． 9、如图，设四边形ABCD 是边长为1的正方形，以对角线AC 为边作第二个正方形ACEF ，再以对角线AE 为边作第三个正方形AEGH ，如此下去．（1）记正方形ABCD 的边长为a 1=1，按上述方法所作的正方形的边长依次为a 2，a 3，a 4，……，a n ，请求出a 2，a 3，a 4的值；150o20米30米（2）根据以上规律写出a n的表达式．10、如图，某公园内有一棵大树，为测量树高，小明C处用侧角仪测得树顶端A的仰角为30°，已知侧角仪高DC＝1.4m，BC＝30米，请帮助小明计算出树高AB．（3取1.732，结果保留三个有效数字）2511、如图，甲船以16海里/时的速度离开港口，向东南航行，乙船在同时同地向西南方向航行，已知他们离开港口一个半小时后分别到达B、A两点，且知AB＝30海里，问乙船每小时航行多少海里？2612、去年某省将地处A、B两地的两所大学合并成了一所综合性大学，为了方便A、B两地师生的交往，学校准备在相距2.732km的A、B两地之间修筑一条笔直公路（即图中的线段AB），经测量，在A地的北偏东60°方向、B地的西偏北45°方向C处有一个半径为0.7km的公园，问计划修筑的这条公路会不会穿过公园？为什么？（3≈1.732）参考答案与提示27281、D （提示：在Rt △ABC 中，AB 2＝AC 2－BC 2＝172－152＝82，∴AB ＝8．∴S 半圆＝21πR 2＝21π×（28）2＝8π．故选D ）；2、C （提示：因直角三角形的斜边不明确，结合勾股定理可求得第三边的长为5或7，所以直角三角形的周长为3＋4＋5＝12或3＋4＋7＝7＋7，故选C ）；3、A （提示：移动前后梯子的长度不变，即Rt △AOB 和Rt △A ′OB ′的斜边相等．由勾股定理，得32＋B ′O 2＝22＋72，B ′O ＝44，6＜B ′O ＜7，则O ＜BB ′＜1．故应选A ）；4、D （提示：筷子在杯中的最大长度为22815+＝17cm ，最短长度为8cm ，则筷子露在杯子外面的长度为24－17≤h ≤24－8，即7cm ≤h ≤16cm ，故选D ）． 5．a ＝b ，b ＝4（提示：设a ＝3k ，b ＝2k ，由勾股定理，有（3k ）2＋（2k ）2＝（213）2，解得a ＝b ，b ＝4．）；6．43（提示：做矩形两边的垂线，构造Rt △ABC ，利用勾股定理，AB 2＝AC 2＋BC 2＝192＋392＝1882，AB ≈43）；7．3.6（提示：设DC ＝x ，则BD ＝5－x ．在Rt △ABD 中，AD 2＝52－（5－x ）2，在Rt △ADC 中，AD 2＝62－x 2，∴52－（5－x ）2＝62－x 2，x ＝3.6．故AD ＝226.36-＝4.8）； 8、150a ．9、解析：利用勾股定理求斜边长．（1）∵四边形ABCD 是正方形，∴AB ＝BC ＝1，∠B ＝90°．∴在Rt △ABC 中，AC ＝22BC AB +＝2211+＝2．同理：AE ＝2，EH ＝22，…，即a 2＝2，a 3＝2，a 4＝22． （2）a n ＝12-n （n 为正整数）．10、解析：构造直角三角形，利用勾股定理建立方程可求得．过点D 作DE ⊥AB 于点E ，则ED ＝BC29＝30米，EB ＝DC ＝1.4米．设AE ＝x 米，在Rt △ADE 中，∠ADE ＝30°，则AD ＝2x ．由勾股定理得：AE 2＋ED 2＝AD 2，即x 2＋302＝（2x ）2，解得x ＝103≈17.32．∴AB ＝AE ＋EB ≈17.32＋1.4≈18.7（米）．答：树高AB 约为18.7米．11、解析：本题要注意判断角的大小，根据题意知：∠1＝∠2＝45°，从而证明△ABC 为直角三角形，这是解题的前提，然后可运用勾股定理求解．B 在O 的东南方向，A 在O 的西南方向，所以∠1＝∠2＝45°，所以∠AOB ＝90°，即△AOB 为Rt △．BO ＝16×23＝24（海里），AB ＝30海里，根据勾股定理，得AO 2＝AB 2－BO 2＝302－242＝182，所以AO ＝18．所以乙船的速度＝18÷23＝18×32＝12（海里/时）．答：乙船每小时航行12海里．12、解 如图所示，过点C 作CD ⊥AB ，垂足为点D ，由题意可得∠CAB ＝30°，∠CBA ＝45°，在Rt △CDB 中，∠BCD ＝45°，∴∠CBA ＝∠BCD ，∴BD ＝CD ．在Rt △ACD 中，∠CAB ＝30°，∴AC ＝2CD ．设CD ＝DB ＝x ，∴AC ＝2x ．由勾股定理得AD ＝22CD AC -＝224x x -＝3x ．∵AD ＋DB ＝2.732， ∴3x ＋x ＝2.732，∴x ≈1．即CD ≈1＞0.7， ∴计划修筑的这条公路不会穿过公园．有效处理学生的不当行为当学生在课堂上故意做出某些出格的行为时,他往往心里清楚教师将会对此做出什么反应。
数学数学勾股定理试题含答案
一、选择题1．如图：在△ABC 中，∠B=45°，D 是AB 边上一点，连接CD ，过A 作AF ⊥CD 交CD 于G ，交BC 于点F ．已知AC=CD ，CG=3，DG=1，则下列结论正确的是（ ）①∠ACD=2∠FAB ②27ACD S ∆= ③272CF=- ④ AC=AF A ．①②③ B ．①②③④ C ．②③④ D ．①③④2．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由三角形较长直角边长为a ，较短直角边长为b ，若（a ＋b ）2＝21，大正方形的面积为13，则小正方形的面积为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．63．如果正整数a 、b 、c 满足等式222+=a b c ，那么正整数a 、b 、c 叫做勾股数.某同学将自己探究勾股数的过程列成下表，观察表中每列数的规律，可知x y +的值为（ ）A ．47B ．62C ．79D ．984．如图，正方形ABCD 的边长为2，其面积标记为S 1，以CD 为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为S 2，…按照此规律继续下去，则S 2016的值为（ ）A．（22）2013B．（22）2014C．（12）2013D．（12）20145．如图，有一张直角三角形纸片，两直角边AC=6cm，BC=8cm，D为BC边上的一点，现将直角边AC沿直线AD折叠，使AC落在斜边AB上，且与AE重合，则CD的长为（）A．2cm B．2.5cm C．3cm D．4cm6．下列各组线段能构成直角三角形的一组是（）A．30,40,60B．7,12,13C．6,8,10D．3,4,67．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，AD是∠BAC的平分线．若P，Q分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是（）A．245B．5 C．6 D．88．已知三组数据：①2，3，4；②3，4，5；③1，2，5，分别以每组数据中的三个数为三角形的三边长，能构成直角三角形的是（）A．②B．①②C．①③D．②③9．如图，点A和点B在数轴上对应的数分别是4和2，分别以点A和点B为圆心，线段AB的长度为半径画弧，在数轴的上方交于点C．再以原点O为圆心，OC为半径画弧，与数轴的正半轴交于点M，则点M对应的数为（）A ．3．5B ．23C ．13D ．36210．已知三角形的两边分别为3、4，要使该三角形为直角三角形，则第三边的长为（ ）A ．5B ．7C ．5或7D ．3或4二、填空题11．如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形OA 1A 2的直角边OA 1在y 轴的正半轴上，且OA 1=A 1A 2=1，以OA 2为直角边作第二个等腰直角三角形OA 2A 3，以OA 3为直角边作第三个等腰直角三角形OA 3A 4，…，依此规律，得到等腰直角三角形OA 2018A 2019，则点A 2019的坐标为________．12．如图，RT ABC ，90ACB ∠=︒，6AC =，8BC =，将边AC 沿CE 翻折，使点A 落在AB 上的点D 处；再将边BC 沿CF 翻折，使点B 落在CD 的延长线上的点B '处，两条折痕与斜边AB 分别交于点E 、F ，则B FC '△的面积为______．13．如图，在四边形ABCD 中，22AD =，3CD =，45ABC ACB ADC ∠=∠=∠=︒，则BD 的长为__________．14．如图，在Rt ABC ∆中，90ABC ∠=，DE 垂直平分AC ，垂足为F ，//AD BC ，且3AB =，4BC =，则AD 的长为______．15．如图，长方形ABCD 中，∠A =∠ABC =∠BCD =∠D =90°，AB =CD =6，AD =BC =10，点E 为射线AD 上的一个动点，若△ABE 与△A ′BE 关于直线BE 对称，当△A ′BC 为直角三角形时，AE 的长为______．16．如图，长方体纸箱的长、宽、高分别为50cm 、30cm 、60cm ，一只蚂蚁从点A 处沿着纸箱的表面爬到点B 处.蚂蚁爬行的最短路程为_______cm.17．一块直角三角形绿地，两直角边长分别为3m ，4m ，现在要将绿地扩充成等腰三角形，且扩充时只能延长长为3m 的直角边，则扩充后等腰三角形绿地的面积为____m 2．18．已知a 、b 、c 是△ABC 三边的长，且满足关系式2222()0c a b a b --+-=，则△ABC 的形状为___________19．如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=，2AC BC ==，D 为BC 边上一动点，作如图所示的AED ∆使得AE AD =，且45EAD ∠=，连接EC ，则EC 的最小值为__________．20．如图的实线部分是由Rt ABC ∆经过两次折叠得到的.首先将Rt ABC ∆沿高CH 折叠，使点B 落在斜边上的点B '处，再沿CM 折叠，使点A 落在CB '的延长线上的点A '处.若图中90ACB ∠=︒，15cm BC =，20cm AC =，则MB '的长为______.三、解答题△中，∠ACB = ∠DCE=90°．21．如图，在两个等腰直角ABC和CDE（1）观察猜想：如图1，点E在BC上，线段AE与BD的数量关系是，位置关系是；△绕直角顶点C旋转到图2的位置，（1）中的结论还成立吗？（2）探究证明：把CDE说明理由；△绕点C在平面内自由旋转，若AC = BC=10，DE=12，当A、E、（3）拓展延伸：把CDED三点在直线上时，请直接写出 AD的长．22．如图1，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D为AC边上一动点，且不与点A点C重合，连接BD并延长，在BD延长线上取一点E，使AE＝AB，连接CE．（1）若∠AED＝20°，则∠DEC＝度；（2）若∠AED＝a，试探索∠AED与∠AEC有怎样的数量关系？并证明你的猜想；（3）如图2，过点A作AF⊥BE于点F，AF的延长线与EC的延长线交于点H，求证：EH2+CH2＝2AE2．23．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5cm，BC＝3cm，若点P从点A出发，以每秒2cm 的速度沿折线A﹣C﹣B﹣A运动，设运动时间为t秒（t＞0）．（1）若点P在AC上，且满足PA＝PB时，求出此时t的值；（2）若点P恰好在∠BAC的角平分线上，求t的值；（3）在运动过程中，直接写出当t为何值时，△BCP为等腰三角形．24．如果一个三角形的两条边的和是第三边的两倍，则称这个三角形是“优三角形”，这两条边的比称为“优比”（若这两边不等，则优比为较大边与较小边的比），记为k . （1）命题：“等边三角形为优三角形，其优比为1”，是真命题还是假命题？（2）已知ABC 为优三角形，AB c =，AC b =，BC a =，①如图1，若90ACB ∠=︒，b a ≥，6b =，求a 的值.②如图2，若c b a ≥≥，求优比k 的取值范围.（3）已知ABC 是优三角形，且120ABC ∠=︒，4BC =，求ABC 的面积.25．（1）如图1，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，60A ∠=︒，CD 平分ACB ∠. 求证：CA AD BC +=.小明为解决上面的问题作了如下思考：作ADC ∆关于直线CD 的对称图形A DC '∆，∵CD 平分ACB ∠，∴A '点落在CB 上，且CA CA '=，A D AD '=.因此，要证的问题转化为只要证出A D A B ''=即可. 请根据小明的思考，写出该问题完整的证明过程.（2）参照（1）中小明的思考方法，解答下列问题：如图3，在四边形ABCD 中，AC 平分BAD ∠，10BC CD ==，17AC =，9AD =，求AB 的长.26．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，把△ABC 沿直线DE 折叠，使△ADE 与△BDE 重合．(1)若∠A ＝35°，则∠CBD 的度数为________；(2)若AC ＝8，BC ＝6，求AD 的长；(3)当AB ＝m(m>0)，△ABC 的面积为m ＋1时，求△BCD 的周长．(用含m 的代数式表示)27．已知ABC ∆中，90ACB ∠=︒，AC BC =，过顶点A 作射线AP .（1）当射线AP 在BAC ∠外部时，如图①，点D 在射线AP 上，连结CD 、BD ，已知21AD n =-，21AB n =+，2BD n =（1n >）.①试证明ABD ∆是直角三角形；②求线段CD 的长.（用含n 的代数式表示）（2）当射线AP 在BAC ∠内部时，如图②，过点B 作BD AP ⊥于点D ，连结CD ，请写出线段AD 、BD 、CD 的数量关系，并说明理由.28．如图，己知Rt ABC ∆，90ACB ∠=︒，30BAC ∠=︒，斜边4AB =，ED 为AB 垂直平分线，且23DE =，连接DB ，DA .（1）直接写出BC =__________，AC =__________；（2）求证：ABD ∆是等边三角形；（3）如图，连接CD ，作BF CD ⊥，垂足为点F ，直接写出BF 的长；（4）P 是直线AC 上的一点，且13CP AC =，连接PE ，直接写出PE 的长. 29．如图1，在正方形ABCD 中，点E ，F 分别是AC ，BC 上的点，且满足DE ⊥EF ，垂足为点E ，连接DF ．（1）求∠EDF= （填度数）；（2）延长DE 交AB 于点G ，连接FG ，如图2，猜想AG ，GF ，FC 三者的数量关系，并给出证明；（3）①若AB=6，G 是AB 的中点，求△BFG 的面积；②设AG=a ，CF=b ，△BFG 的面积记为S ，试确定S 与a ，b 的关系，并说明理由．30．已知，矩形ABCD 中，AB ＝4cm ，BC ＝8cm ，AC 的垂直平分线EF 分别交AD 、BC 于点E 、F ，垂足为O ．（1）如图1，连接AF 、CE ．求证：四边形AFCE 为菱形．（2）如图1，求AF 的长．（3）如图2，动点P 、Q 分别从A 、C 两点同时出发，沿△AFB 和△CDE 各边匀速运动一周．即点P 自A →F →B →A 停止，点Q 自C →D →E →C 停止．在运动过程中，点P 的速度为每秒1cm ，设运动时间为t 秒．①问在运动的过程中，以A 、P 、C 、Q 四点为顶点的四边形有可能是矩形吗？若有可能，请求出运动时间t 和点Q 的速度；若不可能，请说明理由．②若点Q 的速度为每秒0.8cm ，当A 、P 、C 、Q 四点为顶点的四边形是平行四边形时，求t 的值．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．B解析：B【分析】过点C 作CH AB ⊥于点H ，根据等腰三角形的性质得到1802ACD CDA ∠=︒-∠，根据AF CD ⊥得到90FAB CDA ∠=︒-∠，可以证得①是正确的，利用勾股定理求出AG 的长，算出三角形ACD 的面积证明②是正确的，再根据角度之间的关系证明AFC ACF ∠=∠，得到④是正确的，最后利用勾股定理求出CF 的长，得到③是正确的．【详解】解：如图，过点C 作CH AB ⊥于点H ，∵AC CD =，∴CAD CDA ∠=∠，1802ACD CDA ∠=︒-∠，∵AF CD ⊥，∴90AGD ∠=︒，∴90FAB CDA ∠=︒-∠，∴2ACD FAB ∠=∠，故①正确；∵3CG =，1DG =，∴314CD CG DG =+=+=，∴4AC CD ==，在Rt ACG 中，221697AG AC CG =--=， ∴1272ACD S AG CD =⋅= ∵90CHB ∠=︒，45B ∠=︒，∴45HCB ∠=︒，∵AC CD =，CH AD ⊥， ∴12ACH HCD ACD ∠=∠=∠， ∵45AFC B FAB FAB ∠=∠+∠=︒+∠，45ACF ACH HCB ACH ∠=∠+∠=∠+︒，12ACH ACD FAB ∠=∠=∠， ∴AFC ACF ∠=∠，∴4AC AF ==，故④正确； ∴47GF AF AG =-=-在Rt CGF 中，()2222347272CF CG GF =+=+-=，故③正确．故选：B ．【点睛】本题考查几何的综合证明，解题的关键是掌握等腰三角形的性质和判定，勾股定理和三角形的外角和定理．2．C解析：C【分析】观察图形可知，小正方形的面积=大正方形的面积-4个直角三角形的面积，利用已知2()a b + =21，大正方形的面积为13，可以得以直角三角形的面积，进而求出答案。
勾股定理测试卷-初中二年级数学试题练习、期中期末试卷-初中数学试卷
勾股定理测试卷-初中二年级数学试题练习、期中期末试卷、测验题、复习资料-初中数学试卷-试卷下载勾股定理测试卷总分：120；时间：120分钟一、选择题(每题3分,共24分)1.如果梯子的底端距离建筑物9米,那么15米长的梯子可以到达建筑物的高度是(). (Ａ)10米(Ｂ)11米(Ｃ)12米(Ｄ)13米2.三角形的三边长ａ,ｂ,ｃ满足2ａｂ=(ａ+ｂ)2－ｃ2,则此三角形是().(Ａ)钝角三角形(Ｂ)锐角三角形(Ｃ)直角三角形(Ｄ)等边三角形3.要为一段高5米,长13米的楼梯铺上红地毯,红地毯的长至少为().(Ａ)12米(Ｂ)17米(Ｃ)18米(Ｄ)19米4.一架2.5米长的梯子底部距离墙脚0.7米,若梯子的顶端下滑0.4米,那么梯子的底部在水平方向滑动了().(Ａ)1.5米(Ｂ)0.9米(Ｃ)0.8米(Ｄ)0.5米5.能够组成直角三角形的三个连续偶数是().(Ａ)4,6,8(Ｂ)6,8,10(Ｃ)8,10,12(Ｄ)10,12,146.四个三角形边长分别为:(1)ａ=ｂ=3 ｃ=6;(2)ａ=2,ｂ=3,ｃ=7;(3)ａ=2.5,ｂ=6,ｃ=6.5;(4)ａ=10.5,ｂ=10,ｃ=14.5.其中直角三角形的个数是:().Ａ.4Ｂ.3Ｃ.2Ｄ.17.在△ＡＢＣ中,若ａ=ｎ2-1,ｂ=2ｎ,ｃ=ｎ2+1,则△ＡＢＣ是().Ａ.直角三角形Ｂ.钝角三角形Ｃ.等腰三角形Ｄ.锐角三角形8.小明用一张长80,宽50的纸张刚好剪出了ｎ个正方形(大小可以不同),ｎ的最小值是(). (Ａ)3(Ｂ)5(Ｃ)10(Ｄ)40二、判断题(每题2分,共6分)9.直角三角形的三边ａ,ｂ,ｃ一定满足ａ2+ｂ2=ｃ2.()10.直角三角形的两边长是3,4,那么第三边一定是5.()11.若一个三角形的一个外角与和它相邻的内角相等,那么这三角形是直角三角形.()三、填空题(每空2分,共24分)12.已知两条线段长分别为5ｃｍ,12ｃｍ,则当第三边平方为________时这三条线段构成直角三角形.13.如图1,一个直角三角形与一个半圆拼接在一起,其中,半圆的直径等于直角三角形斜边长,直角三角形两条直角边都等于4,那么半圆的面积=_________.(结果保留π)14.图2是2002年8月在北京召开的国际数学家大会的会标,它是由四个相同的直角三角形与中间一个小正方形拼成的一个大正方形.若大正方形边长是13ｃｍ,小正方形边长为7ｃｍ,则每个直角三角形较短的一条直角边的长是______ｃｍ.15.某人骑自行车从Ａ地出发,向南行20ｋｍ到达Ｂ地,再向西行21ｋｍ到达Ｃ地,此时Ｃ,Ａ两地间的距离的平方是________.16.在△ＡＢＣ中,ａ=9,ｂ=12,(1)当ｃ=______时,△Ｃ是直角;(2)当ｃ=______时,△Ｂ是直角.17.在长、宽、高分别是12,3,4的长方体中_____(填“能”或“不能”)放入长为14的木杆.18.图3中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，且大正方形的边长为10，则图中所有正方形的面积之和为________.19.利用三个正方形可以拼围成一个三角形.(1)如果有三个面积分别为ｘ,ｙ,ｚ的正方形,能拼围成一个直角三角形,那么ｘ,ｙ,ｚ之间的关系为:___________.(2)如果有三个面积分别为5,7,ｘ的正方形,能拼围成一个直角三角形,那么ｘ=__________.(3)如果有三个面积分别为5,ｘ,ｙ的正方形,能拼围成一个直角三角形,那么ｘ,ｙ之间关系为:_____________.20如图：在正方形网格状地面上，小王和小李同时从A点出发，同时到达D点，小王经B、C至D点，小李经E、F至D点，两人的速度相比_________,(填“小王快”、“小李快”或“一样快”)。
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八年数学勾股定理练习卷
班级 姓名 座号 成绩
一、精心选一选：(本大题共8小题，每小题4分，共32分) 1.下列各组数中，能构成直角三角形的是（ ）
A 、4，5，6
B 、1，1，2
C 、6，8，11
D 、 5，12，23
2.在平面直角坐标系中，已知点P 的坐标是(-3,4)，则OP 的长为（ ） A 、3 B 、4 C 、5 D 、7
3.放学以后，小红和小颖从学校分手，分别沿东南方向和西南方向回家，若小红和小颖行走的速度都是40米/分，小红用15分钟到家，小颖20分钟到家，小红和小颖家的直线距离为（ ）
A 、600米
B 、 800米
C 、1000米
D 、 不能确定
4.在ABC ∆中，︒=∠90A ，A ∠、B ∠、C ∠的对边长分别为a 、b 、c ，则下列结论错误的是（ ）
A 、222c b a =+
B 、222a c b =+
C 、222c b a =-
D 、222b c a =- 5.现有两根木棒的长度分别为40厘米和50厘米，若要钉成一个直角三角形框架， 那么所需木棒的长一定为（ ） A 、30厘米
B 、40厘米
C 、50厘米
D 、以上都不对
6.如图所示，1====DE CD BC AB ，BC AB ⊥，CD AC ⊥，DE AD ⊥， 则AE ＝（ ）
A 、1
B
C 、
D 、2
7.如图，正方体盒子的棱长为2，AB 中点为M ，一只蚂蚁从点M 沿正方体的表面爬到点C '，蚂蚁爬行的最短距离是（ ）
A 、13
B 、17
C 、5
D 、52+
8.将一根24cm 的筷子，置于底面直径为15cm ，高8cm 的圆柱 形水杯中，如图所示，设筷子露在杯子外面的长度为cm h ，则h 的取 值范围是（ ）
A 、cm h 17≤
B 、cm h 8≥
C 、cm h cm 1615≤≤
D 、cm h cm 167≤≤ 二、细心填一填：(本大题共8小题，每小题4分，共32分)
9.若一个三角形的三边满足222c a b -=，则这个三角形是 . 10.木工周师傅做一个长方形桌面，测量得到桌面的长为60cm ，宽为32cm ，对角线为68cm ，这个桌面 . (填”合格”或”不合格”)
11.在ABC ∆中，︒=∠90C ， 5=AB ，则2AB +2AC +2BC = ．
12.命题“同旁内角互补，两直线平行”的逆命题是 .
13.如图所示的图形中，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm ，则正方形A ，B ，C ，D 的面积的和是
2cm ．
14.已知ABC Rt ∆中，︒=∠90C ，若14=+b a ，10=c ，则ABC Rt ∆的面积是 .
B
C
A
E
D 第
第
15.如图，已知一根长8m 的竹杆在离地3m 处断裂，竹杆顶部抵着地面，此时，顶部距底部有 m .
16.如图，已知Rt ABC △中，90C ∠=，4AC =cm ，3BC =cm ．现将ABC △进行折叠，使顶点A B ，重合，则折痕DE = cm ．
三、解答题：（共9小题，，共86分） 17.(本小题8分)在ABC ∆中，90C ∠=︒． (1)已知6AC =，8BC =．求AB 的长； (2)已知17AB =，15AC =，求BC 的长.
18.(本小题8分)小东拿着一根长竹竿进一个宽为3米的城门，他先横着拿不进去，又竖起来拿，结果竹竿比城门高1米，当他把竹竿斜着时，两端刚好顶着城门的对角，问竹竿长多少米？
第16
第
C
A
B
E
D
19.(本小题8分)已知如图.在四边形ABCD 中,4=AB ,3=BC ,13=AD ,12=CD ,
︒=∠90B , 求四边形ABCD 的面积.
20.(本小题8分)已知正方形ABCD 的边长为4，E 为AB 中点，F 为AD 上的一点，且AD AF 4
1
=，试判断EFC ∆的形状.
A B
C
D
21.(本小题8分)在ABC ∆中，CD 是AB 边上的高，且BD AD CD ⋅=2. 求证：ABC ∆是直角三角形.
22.(本小题10分)如图，已知：︒=∠90C ，CM AM =，AB MP ⊥于P . 求证：222BC AP BP +=.
23.(本小题10分)如图，甲乙两船从港口A 同时出发，甲船以每小时16海里的速度向北偏东40°航行，乙船向南偏东50°航行，3小时后，甲船到达C 岛，乙船
B
到达B 岛.若C 、B 两岛相距60海里，问乙船的航速是多少？
24.(本小题12分)如图，一个牧童在小河的南4km 的A 处牧马，而他正位于他的小屋B 的西8km 北7km 处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家.他要完成这件事情所走的最短路程是多少？
小
东
25.(本小题14分)在教材中，我们通过数格子的方法发现了直角三角形的三边关系，•利用完全相同的四个直角三角形采用拼图的方式验证了勾股定理的正确性．下面我们应用勾股定理的内容来探究三个不同图形中的面积
1
S、
2
S、
3
S之间的数量关系.
问题1：如图1，以直角三角形的三边为边向形外作等边三角形，探究
1
S、
2
S、
3
S 的数量关系是______________________.
图
图图
问题2：如图2,以直角三角形的三边为斜边向形外作等腰直角三角形，探究1S 、
2S 、3S 的数量关系是______________________.
问题3：如图3,以直角三角形的三边为直径向形外作半圆，探究1S 、2S 、3S 的数量关系是______________________.
问题4：从上述三种图形中任选一种，证明你所探究得到的1S 、2S 、3S 的数量关系.。