全微分与偏导数
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偏导数与全微分
若二元函数z=f(x,y)在D内每一点都有偏导数 则此偏 内每一点都有偏导数, 在 内每一点都有偏导数 则此偏 注 (1) 若二元函数 的函数--------偏导函数 偏导函数. 导数也是 x, y 的函数 偏导函数
f x , f y , z x , z y , ......
∂z ∂f ∂z ∂f , , , , ...... ∂x ∂x ∂y ∂y
∂ ∂z ∂2z ( )= = z yx = f yx ; ∂ y ∂x ∂x ∂ y
混合偏导数
∂ ∂z ∂2z ( )= = z yy = f yy . 2 ∂y ∂y ∂y
定理 若 z = f (x, y) 的二阶混合偏导数 f x y , f y x 在 (x,y) 连续 连续, 则 f xy = f yx . 适用于三阶以上 2 2 ∂ z ∂ z y , . z = arctan , 例5 求 ∂y∂x ∂x∂y x y −y ∂z 1 = ⋅ (− 2 ) = 2 , 2 y 2 x x +y ∂x 1 + ( ) x 1 1 ∂z x = y 2 ⋅ x = x2 + y2 , ∂y 1+(x)
∂2z = 6 xy 2 ∂x 2
∂2z = 2 x 3 − 18 xy ∂y 2
∂2z ∂2z 2 2 = 6 x y − 9 y − 1= ∂y∂x ∂x∂y
∂3z = 6 y2 ∂x 3
§2
偏导数与全微分
一、 偏导数 1.偏导数的定义 1.偏导数的定义 的某邻域内有定义, 设 z = f (x,y)在点 ( x0 , y0 )的某邻域内有定义, 当 y 固定在 y0 时, , ) 得一元函数 f ( x , y0 ), 称 f ( x 0 + ∆ x , y0 ) − f ( x 0 , y0 ) lim ∆ x→0 ∆x 的偏导数, 为z = f (x,y)在点 ( x0 , y0 )处对 x 的偏导数, 记为 fx ( x0 , y0 ), 或 ∂ f ( x 0 , y 0 ) , , ) ∂x 或 ∂ z ( x 0 , y0 ) , ∂x f ( x0 + ∆x, y0 ) − f ( x0 , y0 ) ∂z 即 f x ( x 0 , y0 ) = x ( x 0 , y0 )= ∂ f ( x 0 , y 0 ) = lim ; ∂ ∂x ∆x→0 ∆x 类似的, 的偏导数为 类似的, z = f (x,y)在点 ( x0 , y0 ) 处对 y 的偏导数为 , ) f ( x0 , y0 + ∆ y) − f ( x0 , y0 ) ∂f ∂z f y ( x 0 , y0 ) = . = lim ( x0 , y0 ) = ( x 0 , y0 ) ∆ y→0 ∂y ∂y ∆y
第3节 偏导数与全微分
处对x的偏导数，记为
z ， 或 x x x0
zx
x x0 y y0
.
y y0
1
类似可定义函数z f ( x, y)在点( x0 , y0 ) 处对 y 的偏
导数，为
lim f ( x0 , y0 y) f ( x0 , y0 )
y0
y
z
记为
，或
y x x0
y y0
lim
A,
x0
x
同理可得 B f y( x0 , y0 ) .
dz z dx z dy x y
可微 可偏导 13
注：可偏导不一定可微,见下面反例.
xy
f
(
x,
y)
x2 y2
0
x2 y2 0 .
x2 y2 0
在点 (0,0) 处有 f x (0,0) f y(0,0) 0 ,
同理, f y (0,0) 0 .
9
偏导数存在与连续的关系
一元函数中在某点可导 连续，
多元函数中在某点偏导数存在
连续，
例如,函数
f
(
x,
y)
x
2
xy
y
2
,
0,
x2 y2 0
,
x2 y2 0
已经求得， f x (0,0) f y(0,0) 0 .
即 dy f ( x)dx .
11
二元函数的可微性和全微分
定义 二元函数 z f (x, y) 在点( x0 , y0 ) 处的全增量
z f ( x0 x, y0 y) f ( x0 , y0 ) 如果可以表示为
数学分析第十六章课件偏导数与全微分
解: 已知
则
V 2 rh r r 2h
r 20, h 100, r 0.05, h 1
V 2 20100 0.05 202 (1) 200 (cm3)
即受压后圆柱体体积减少了
作业
• P192:1:(单数题) • P193:7;9 • P208:1:(双数题) • P208:3 • P209:9 • P217:1:(1;3);2:(2;4);6 • P223:2;3;8
定理16.1 ３．全微分与偏导数的关系：
f (x, y) 设 (x0 , y0 ) 可微，在表达式中 分别令 f 0 x 0 和 x 0 y 0
得
定理１６.2
从而：f 在 p0 的全微分可写成
dz |p0 fx (x0 , y0 )dx f y (x0 , y0 )dy
z f (x) 在某区域 G 内（x，y） 点的全微分为
f11,
f12,
f21,
f22
书上记号易混
链式法则的应用
偏微分方程的变换
目的
求解
2）复合函数的全微
设
u
f (x, y),若x, y为自变量，则
du f dx f dy x y
进一步，若x (s,t) y (s,t) 则有
du u ds u dt dx x ds x dt dy y ds y dt
r x 2
2x x2 y2 z2
x r
r z z r
4、计算
的近似值.
解: 设
,则
f x (x, y) y x y1 , f y (x, y) x y ln x
取
则 1.042.02 f (1.04, 2.02 )
1 2 0.04 0 0.02 1.08
7-3全微分与偏导数
偏导数记号是一个 整体记号, 不能看作
分子与分母的商 !
p V V T
T p
RT pV
1
例3.7 求函数在点（0，0）处的偏导数
z
f (x, y)
xy
x2
y
2
,
x2 y2 0
0 , x2 y2 0
解
0
0
在上节已证 f (x , y) 在点(0 , 0) 不连续! 可导不一定连续.
z2
)
0
*四、全微分的应用
由全微分定义
z fx (x, y)x f y (x, y)y o()
可知当 及
dz
较小时, 有近似等式:
z d z fx (x, y)x f y (x, y)y
(可用于近似计算; 误差分析)
f (x x, y y) f (x, y) fx (x, y)x f y (x, y)y
z = f (x , y) 关于 x 的 n –1 阶偏导数 , 再关于 y 的一阶
偏导数为
( y
)
nz x n1
y
例.设 Z x3 y2 2 xy3 x2 y 5
2Z 2Z 2Z 2Z 3Z
求:
x 2
,
,
,
xy yx
y 2
,
x 3
解: Z 3x2 y2 2 y3 2xy,
fx x(x,
y);
y
( z ) x
2z x y
fx
y ( x,
y)
x
z
多元函数微积分学 6.3偏导数与全微分
=1+ 2×0.04 + 0×0.02 =1.08.
24
2. 全微分的运算公式 设二元函数 u(x,y) , v(x,y) 均可微 , 则 ((v(x,y) ≠0)), 也可微 且 也可微,
d( ku)
(k为常数 为常数), 为常数
(k为常数), (k为常数), 为常数
= du ± dv, = vdu + udv,
26
f (x, y),
处连续. 即 z = f (x, y) 在点 (x, y) 处连续
17
定理4 (充分条件) 若函数
∂z ∂z 的偏导数 , ∂x ∂y 在 (x, y) 连 , 则函数在该点可微分 点 续 则函数在该点可微分. 证 ∆z = f (x + ∆x, y + ∆y) − f (x, y)
∂u =− sin( x2 − y2 − ez ) ⋅ (−2 y) = 2 y sin( x2 − y2 − ez ) ∂y
∂z 2 2 z z z 2 2 z u = −sin( x − y − e ) ⋅ (−e ) = e sin( x − y − e ) ∂z
10
2. 二元函数偏导数的几何意义
∂f ; z′ x ∂ x (x0 , y0 )
( x0 , y0 )
;
f1′(x0, y0 ) .
2
同样可定义对 y 的偏导数
f (x0, y0 + ∆y ) − f (x0, y0 ) f y′(x0, y0 ) = lim ∆ y→0 ∆y
若函数 z = f ( x , y ) 在域 D 内每一点 ( x , y ) 处对 x 或 y 偏导数存在 , 则该偏导数称为偏导函数 也简称为 则该偏导数称为偏导函数 偏导函数, 偏导数 , 记为
全微分与偏导数
存在，则称此极限为函数 f 在 x0 处对于 x1 的偏导数，记作
u x1 ( x 0 ).
u x1
，或 f x1 ( x0 ) ，
x0
类似地，可以定义
u xi
, i 2,, n.
x0
如果多元函数 u f ( x1 ,, xn ) 在某区域 D 上每一点处均存在偏导数
u ,则 xi
证
P V T 1. V T P P T T T V k 1 由P k ,得 k 2 ；由 V k , 得 ; 由 T PV , 得 V V P T P k V T 1 V. P k
因此，
P V T kT k V kT 2 1. V T P PV V P k x 例 4 设 f ( x, y ) x 3 ( y 2 1) arctan ，求 f x( x,1) ， f y ( x,1) 。 y
z p T2 T1 y0 x0 y
即截线
z f ( x0 , y ), C2 : x x0 在点 P 处切线 PT2 的斜率（图 7.2.1） 。 我们把曲面 S 在点 P 处的切平面定 x 义为切线 PT1 和 PT2 所在的平面。 由于该 平面的法向量与 PT1 , PT2 垂直，故可取为
1 2 (0.04) 0 (0.02) 1.08.
六．空间曲面的切平面，偏导数的几何意义 二元函数的偏导数也可作出类似于一元函数导数的几何解释：函数 z f ( x, y) 的图象是 R 3 中一个曲面 S，该曲面被平面 y y0 所截，得一曲线：
z f ( x, y 0 ), C1 : y y0 . 这条曲线在点 P( x0 , y0 , f ( x0 , y0 )) 处的切 线 PT1 的斜率， 即它与 x 轴正方向夹角的 正切就是 f x( x0 , y0 ) ， 同样地， f y ( x0 , y0 )
u x1 ( x 0 ).
u x1
，或 f x1 ( x0 ) ，
x0
类似地，可以定义
u xi
, i 2,, n.
x0
如果多元函数 u f ( x1 ,, xn ) 在某区域 D 上每一点处均存在偏导数
u ,则 xi
证
P V T 1. V T P P T T T V k 1 由P k ,得 k 2 ；由 V k , 得 ; 由 T PV , 得 V V P T P k V T 1 V. P k
因此，
P V T kT k V kT 2 1. V T P PV V P k x 例 4 设 f ( x, y ) x 3 ( y 2 1) arctan ，求 f x( x,1) ， f y ( x,1) 。 y
z p T2 T1 y0 x0 y
即截线
z f ( x0 , y ), C2 : x x0 在点 P 处切线 PT2 的斜率（图 7.2.1） 。 我们把曲面 S 在点 P 处的切平面定 x 义为切线 PT1 和 PT2 所在的平面。 由于该 平面的法向量与 PT1 , PT2 垂直，故可取为
1 2 (0.04) 0 (0.02) 1.08.
六．空间曲面的切平面，偏导数的几何意义 二元函数的偏导数也可作出类似于一元函数导数的几何解释：函数 z f ( x, y) 的图象是 R 3 中一个曲面 S，该曲面被平面 y y0 所截，得一曲线：
z f ( x, y 0 ), C1 : y y0 . 这条曲线在点 P( x0 , y0 , f ( x0 , y0 )) 处的切 线 PT1 的斜率， 即它与 x 轴正方向夹角的 正切就是 f x( x0 , y0 ) ， 同样地， f y ( x0 , y0 )
高等数学教学： 偏导数与全微分
轮换对称性
f
x
(0,0,0)
3
x cos
x
x
0
1 4
利用轮换对称性 , 可得
f y (0,0,0)
f z (0,0,0)
1 4
d f (0,0,0) f y (0,0,0) d x f y (0,0,0) d y f z (0,0,0) d z
1 (d x d y d z) 4
例 7. 求所有的二阶偏导数： 两个混合偏导数：是否总相等
例8. 设
f(x,y)=
xy
x2 x2
y2 y2
,
0 ,
x2 y2 0 x2 y2 0
证明: fxy (0, 0) f yx (0, 0)
在什么条件下才能保证两者相等呢？
定理16.4 这个定理可以推广到 n阶偏导数的情形： 即若函数 f 具有直到 n 阶的连续偏导数，则求偏导数与变量的顺序
z
2
2ze
x2
y2
z
2
2
x
sin
y
u
2 x (1 2 x2 sin2 y) ex2 y2 x4 sin 2 y
xyz
u y
f y
f z
z y
2ye x2 y2 z2 2ze x2 y2 z2 x2 cos y
2 ( y x4 sin y cos y ) ex2 y2 x4 sin 2 y
x y
x f x
y
s f
同理 y
t
例4. 设 u f (xy, y ) 求 u 2u 2u
f
x
(0,0,0)
3
x cos
x
x
0
1 4
利用轮换对称性 , 可得
f y (0,0,0)
f z (0,0,0)
1 4
d f (0,0,0) f y (0,0,0) d x f y (0,0,0) d y f z (0,0,0) d z
1 (d x d y d z) 4
例 7. 求所有的二阶偏导数： 两个混合偏导数：是否总相等
例8. 设
f(x,y)=
xy
x2 x2
y2 y2
,
0 ,
x2 y2 0 x2 y2 0
证明: fxy (0, 0) f yx (0, 0)
在什么条件下才能保证两者相等呢？
定理16.4 这个定理可以推广到 n阶偏导数的情形： 即若函数 f 具有直到 n 阶的连续偏导数，则求偏导数与变量的顺序
z
2
2ze
x2
y2
z
2
2
x
sin
y
u
2 x (1 2 x2 sin2 y) ex2 y2 x4 sin 2 y
xyz
u y
f y
f z
z y
2ye x2 y2 z2 2ze x2 y2 z2 x2 cos y
2 ( y x4 sin y cos y ) ex2 y2 x4 sin 2 y
x y
x f x
y
s f
同理 y
t
例4. 设 u f (xy, y ) 求 u 2u 2u
偏导数和全微分
偏导数和全微分偏导数和全微分是微积分中一些重要的概念，用于描述多变量函数的变化情况和进行近似计算。
我们来看偏导数。
在一元函数中，导数描述了函数在某一点上的变化速率，而在多元函数中，一个变量的变化并不仅仅受到其他变量的影响，而是受到多个变量的共同影响。
我们需要引入偏导数，用于表示多元函数中一个变量的变化情况。
对于一个多元函数f(x1, x2, ..., xn)，其中各个变量都是相互独立的，我们可以对其偏导数进行求解。
对于变量xi，其偏导数表示为∂f/∂xi，表示在其他变量保持不变的情况下，函数关于xi的变化速率。
偏导数与导数类似，可以用极限的定义来解释。
对于变量xi，其偏导数可以通过限制其他变量，并将函数看作一元函数进行求解，然后取极限得到。
例如，对于函数f(x, y)，其关于变量x的偏导数可以表示为∂f/∂x = lim(Δx→0)(f(x+Δx, y) - f(x, y))/Δx。
我们来看全微分。
全微分是对多元函数进行近似计算的一种方法。
对于一个多元函数f(x1, x2, ..., xn)，其全微分表示为df = ∂f/∂x1 dx1 + ∂f/∂x2 dx2 + ... + ∂f/∂xn dxn，其中dx1, dx2, ..., dxn为变量的微小增量。
全微分的含义是，当各个变量的微小增量dx1, dx2, ..., dxn趋于0时，函数f的微小增量df与各个偏导数的乘积之和趋于一致。
全微分可以看作是函数在某一点上的线性近似，用于描述函数在该点附近的变化情况。
全微分也可以通过偏导数的极限定义来求解，表示为df = ∂f/∂x1 dx1 + ∂f/∂x2 dx2 + ... + ∂f/∂xn dxn = lim(Δx1→0, Δx2→0, ..., Δxn→0) (f(x1+Δx1, x2+Δx2, ..., xn+Δxn) - f(x1, x2, ..., xn))。
总结起来，偏导数用于描述多元函数中一个变量的变化速率，而全微分用于对多元函数进行近似计算。
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全增量的概念
如果函数 z = f ( x , y ) 在点( x , y ) 的某邻域内 有定义，并设 P ( x x , y y )为这邻域内的 则称这两点的函数值之差 任意一点， f ( x x, y y ) f ( x, y ) 为函数在点 P 对应于自变量增量x , y 的全增 量，记为z ， 即 z = f ( x x, y y) f ( x, y).
0
x 0 y 0
lim f ( x x , y y ) = lim[ f ( x , y ) z ]
0
= f ( x, y)
故函数 z = f ( x , y ) 在点( x , y ) 处连续.
二、偏导数
在研究一元函数时，从研究函数的变化率 引入了导数的概念，对于多元函数同样需要讨论
解
记作
z f , , zx , fx . x x 同理可以定义函数z = f ( x , y )对自变量 y 的偏导
数， 记作
z f , , zy , f y. y y
从偏导数的可以看出，计算多元函数的偏导数
并不需要新的方法，如计算 f ( x, y ) 对 x 的偏导
数时， 因为已将 y 视为常数， 故若令
它的变化率。由于多元函数不止一个自变量，因此 首先考虑多元函数关于其中一个自变量的变化率，
就是我们下面的偏导数概念。
1. 偏导数的定义
定义 设函数 z = f ( x, y )在点( x0 , y0 ) 的某一邻 域内有定义，当 y 固定在 y0 而 x在 x0处有增量 相应地函数有增量 x 时，
( x ) = f ( x, y )
则
f x ( x, y) = ( x )
所以，f ( x, y ) 对 x 的偏导就是 ( x ) 的导数。
于是，一元函数的求导公式和求导法则都可以 移植到多元函数的偏导数的计算上来。
有关偏导数的几点说明：
f （１） 偏导数 是一个整体记号，不能拆分; x
全微分。
定义 如果函数z = f ( x , y )在点( x , y ) 的全增量 z = f ( x x , y y ) f ( x , y )可以表示为 z = A x B y o( ) ,
其中 A, B不依赖于x , y 而仅与 x , y 有关， 在点( x , y ) 可微分，Ax By 称为函数 z = f ( x , y ) 在点( x , y ) 的全微分，记为 dz， 即
引例：设矩形的长、宽分别用 x, y 表示，则矩形的 面积 S 为
S = xy
则该矩形面积
若测量 x, y 时产生的误差为 x , y, 产生的误差为
S = ( x x )( y y) xy = yx xy xy 上式右端包含两部分， 一部分是 yx x y,它是
f ( x0 x, y0 ) f ( x0 , y0 ),
f ( x0 x, y0 ) f ( x0 , y0 ) lim (1) x 0 x 存在，则称此极限为函数 z = f ( x, y ) 在点 ( x0 , y0 ) 处对 x x0 x, y0 ) f ( x0 , y0 ) f x ( x0 , y0 ) = lim . x 0 x
关于 x, y 的线性函数; 另一部分是 x y, 当
( x, y) (0,0), 即 = ( x ) ( y) 0 时,
2 2
x y 是比 高阶的无穷小， 因此略去高阶无穷小，
而用 yx xy 近似表示 S , 则其差
S ( yx xy) = xy 是一个比 高阶的无穷 小，称 yx xy 为函数 S = xy 在 ( x , y) 处的
= ( x )2 ( y )2 ， 则称函数 z = f ( x , y )
dz = Ax By .
若函数在某区域 D 内各点处处可微分， 则称这函数在 D 内可微分.
如果函数z = f ( x , y )在点( x , y ) 可微分, 则 函数在该点连续。
事实上 z = Ax By o( ), lim z = 0,
f , x = x0 x y= y
0
x = x0 y = y0
, zx
x = x0 y = y0
或 f x ( x0 , y0 ).
同理可定义:函数 z = f ( x, y ) 在点 ( x0 , y0 ) 处对 y 的偏导数为
f ( x0 , y0 y ) f ( x0 , y0 ) lim (2) y 0 y z f 记为 , , z y x = x0 或 f y ( x0 , y0 ). y = y0 y x = x0 y x = x0
一、全微分的定义
由一元函数微分学中增量与微分的关系得
f ( x x , y ) f ( x , y ) f x ( x, y )x
f ( x , y y ) f ( x , y ) f y ( x , y ) y
二元函数 对 x 和对 y 的偏增量
二元函数 对 x 和对 y 的偏微分
y = y0 y = y0
如，设 z = f ( x, y ) = | xy |, 求 f x (0,0), f y (0,0).
（ 0＋ x ,0) f (0,0) f x (0,0) = lim x 0 x | x 0| 0 = lim =0 x 0 x f y (0,0) = 0. 如果函数 z = f ( x, y ) 在区域D 内任一点 ( x , y ) 处对 x 的偏导数都存在， 那么这个偏导数 就是 x 、 y 的函数， 它就称为函数 z = f ( x , y )对 自变量 x 的偏导数，