偏导数与全微分2
偏导数和全微分的关系
偏导数和全微分的关系在微积分学中，偏导数和全微分是两个重要的概念。
它们在物理、工程、经济学等领域中有广泛的应用。
本文将探讨偏导数和全微分的关系，以及它们在实际问题中的应用。
一、偏导数的定义偏导数是指函数在某一点处关于其中一个自变量的变化率。
设函数 $f(x_1,x_2,cdots,x_n)$ 在点$(x_1^0,x_2^0,cdots,x_n^0)$ 处连续，则 $f$ 对 $x_i$ 的偏导数为：$$frac{partial f}{partial x_i}=lim_{Delta x_ito0}frac{f(x_1^0,x_2^0,cdots,x_i^0+Delta x_i,cdots,x_n^0)-f(x_1^0,x_2^0,cdots,x_n^0)}{Delta x_i}$$其中 $Delta x_i$ 是 $x_i$ 的增量。
二、全微分的定义全微分是指函数在某一点处的微小变化量。
设函数$f(x_1,x_2,cdots,x_n)$ 在点 $(x_1^0,x_2^0,cdots,x_n^0)$ 处连续，则 $f$ 在该点的全微分为：$$df=frac{partial f}{partial x_1}dx_1+frac{partialf}{partial x_2}dx_2+cdots+frac{partial f}{partialx_n}dx_n$$其中 $dx_i$ 是 $x_i$ 的微小增量。
三、偏导数和全微分的关系对于一个多元函数 $f(x_1,x_2,cdots,x_n)$，偏导数和全微分之间有以下关系：$$df=frac{partial f}{partial x_1}dx_1+frac{partialf}{partial x_2}dx_2+cdots+frac{partial f}{partialx_n}dx_n$$全微分 $df$ 可以看作是各个偏导数的线性组合。
这个公式可以被看作是对 $f$ 的微小变化的一种描述。
多元函数的偏导数与全微分的关系及计算方法
多元函数的偏导数与全微分的关系及计算方法一、多元函数的偏导数与全微分的定义和关系在多元函数中，每个自变量都可以对应一个偏导数。
偏导数表示在其他自变量保持不变的情况下，函数对某个自变量的变化的敏感程度。
而全微分则是函数在一个点附近的近似变化。
1. 偏导数的定义多元函数$f(x_1, x_2, \cdots, x_n)$关于$x_i$的偏导数，表示在$x_i$方向上的变化率，记作$\frac{\partial f}{\partial x_i}$。
其中，$\frac{\partial}{\partial x_i}$表示对$x_i$求偏导数的运算符。
2. 全微分的定义多元函数$f(x_1, x_2, \cdots, x_n)$在点$(x_1, x_2, \cdots, x_n)$处的全微分，表示函数在此点的一个近似变化，记作$df$。
全微分可以通过各个偏导数的线性组合表示，即$df = \frac{\partial f}{\partial x_1}dx_1 + \frac{\partial f}{\partial x_2}dx_2 + \cdots + \frac{\partial f}{\partial x_n}dx_n$。
3. 偏导数与全微分的关系根据全微分的定义可以得到以下关系：$$df = \frac{\partial f}{\partial x_1}dx_1 + \frac{\partial f}{\partial x_2}dx_2 +\cdots + \frac{\partial f}{\partial x_n}dx_n$$这说明全微分$df$可以看作各个偏导数乘以相应自变量的微小变化量的累加。
二、多元函数的偏导数与全微分的计算方法计算多元函数的偏导数和全微分需要运用一些特定的计算方法，下面将介绍一些常用的方法。
1. 隐函数求导当多元函数以隐函数的形式给出时，可以通过隐函数求导的方法来计算偏导数。
向量微积分的偏导数和全微分
向量微积分的偏导数和全微分向量微积分是数学中的一个重要分支，它涉及到向量、曲线、曲面和多元函数等概念，广泛应用于自然科学、工程学和经济学等领域。
其中偏导数和全微分是向量微积分中最为基础和常见的概念，本文将从它们的定义、性质和应用等方面进行讨论。
一、偏导数偏导数是多元函数在某一点上沿着某一坐标轴的导数，它可以用来衡量函数在该点上在该自变量方向上的变化率。
偏导数的定义如下：$$\dfrac{\partial f}{\partial x_i} = \lim_{h\rightarrow 0}\dfrac{f(x_1,\dots,x_i+h,\dots,x_n)-f(x_1,\dots,x_i,\dots,x_n)}{h} $$其中$f(x_1,\dots,x_i+h,\dots,x_n)$表示将第$i$个自变量增加$h$后的函数值，$f(x_1,\dots,x_i,\dots,x_n)$表示原始函数值，$h$表示增量，$\frac{\partial f}{\partial x_i}$表示函数$f$在第$i$个自变量上的偏导数。
具有偏导数的函数称为可偏导函数。
偏导数具有以下性质：1. 对于可偏导函数$f(x_1,\dots,x_n)$，其各个偏导数存在时，它们的顺序可以交换，即偏导数的次序不影响结果。
2. 对于可偏导函数$f(x_1,\dots,x_n)$，如果它在某一点上各个偏导数都存在且连续，则它在该点上可微。
3. 对于可偏导函数$f(x_1,\dots,x_n)$，其全微分可以表示为：$$df = \dfrac{\partial f}{\partial x_1}dx_1 + \dfrac{\partial f}{\partial x_2}dx_2 + \dots + \dfrac{\partial f}{\partial x_n}dx_n$$其中$dx_1,dx_2,\dots,dx_n$表示自变量的增量。
全微分与偏导数(2)
dzzxzy
x y
证: 由全增量公式 z A x B y o () ,令y0,
得到对 x 的偏增量
x z f( xx,y ) f( x,y )A xo( x)
z x
lim xz x0 x
A
dzzdxzdy x y
习惯上 dx记 x,dyy， 则全微分可写
dzA xB yAdxBdy
二、 偏导数定义及其计算法
定义3.2 设函数 zf(x,y)在(x0 , y0)的某邻域内有定义
极限
x0x
x0
x
存在, 则称此极限为函数 zf(x ,y)在 (x 0 点 ,y0)对 x
的偏导数，记为
f1(x0,y0).
f x
;
偏导数 , 记为
z , f , y y
zy ,
fy(x,y), f2 (x,y)
偏导数的概念可以推广到二元以上的函数 . 例如, 三元函数 u = f (x , y , z) 在点 (x , y , z) 处对 x 的 偏导数定义为
xx
x
x
fy(x,y,z)? fz(x,y,z)?
(请自己写出)
zf(x,y)的偏fx导 (x0,y0 数 )和 fy(x0,y0)只反映了
所以 uy xyz lnx
类似可得 uz xyzlnx
.
例3.6. 已知理想气体的状态方程
(R 为常数) ,
求证: pVT 1 V T p
证: p RT , V
p V
RT V2
说明: 此例表明,
V RT , V R p T p
偏导数记号是一个 整体记号, 不能看作
D3_2偏导数与全微分2
z dv z dw d z z du v d t w d t d t u d t
z
u v w
f1 u f 2 v f 3 w
t
t
dz . 例1.设 z u v sin t , u e , v cost , 求全导数 dt d z z du z 解: d t u d t t
z 2z z 2z ( ) f x y ( x, y ) ( ) 2 f x x ( x, y ); y x x y x x x
2 z 2z z z ( ) f y x ( x, y ); ( ) 2 f y y ( x, y ) x y y x y y y
偏导数连续可减弱为 可微，但减弱为偏导数存在, 则定理结论不一定成立. u 2v , u 2 v2 0 u 2 v2 例如: z f (u, v) 2 2 0, u v 0 u t , vt
易知:
z z lim , lim 不存在. u 0 u u 0 v
z y
f1 f 2 1 f2 2
v x
y
z f 不同, 注意: 这里 与 x x z f 表示固定 y 对 x 求导, 表示固定 v 对 x 求导 x x
口诀 : 分段用乘, 分叉用加, 单路全导, 叉路偏导
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r
2
定理. 若 f x y ( x,y) 和 f y x ( x,y) 都在点( x0 , y0 ) 连续, 则
f x y ( x0 , y0 ) f y x ( x0 , y0 )
本定理对 n 元函数的高阶混合导数也成立. 例如, 对三元函数 u = f (x , y , z) , 当三阶混合偏导数 在点 (x , y , z) 连续时, 有
证明全微分的二阶偏导数先后顺序相同
证明全微分的二阶偏导数先后顺序相同《证明全微分的二阶偏导数先后顺序相同》在数学中，全微分的二阶偏导数先后顺序相同是一个重要的性质。
在证明这一性质时，我们首先要了解全微分的概念。
全微分是对多元函数的微分的一种泛化。
在一元函数中，全微分可以表示为dy=f'(x)dx。
而在多元函数中，全微分的表示会更加复杂一些。
假设有一个函数f(x,y)，在点(x₀,y₀)处的全微分表示为df=∂f/∂x dx+∂f/∂y dy。
其中，∂f/∂x和∂f/∂y分别表示函数f对x和y的偏导数。
现在我们来证明全微分的二阶偏导数先后顺序相同的性质。
假设f(x,y)具有连续的二阶偏导数，我们可以使用泰勒展开来证明这一性质。
首先，我们对f(x+dx,y+dy)在点(x₀,y₀)处进行泰勒展开。
展开后可以得到：f(x+dx,y+dy)=f(x,y)+∂f/∂x dx+∂f/∂y dy+1/2(∂²f/∂x² dx²+2∂²f/∂x∂y dxdy+∂²f/∂y² dy²)+o(dx²,dy²,dxdy)其中，o(dx²,dy²,dxdy)表示当dx和dy趋近于0时，剩余的部分比dx²、dy²和dxdy更高阶的无穷小量。
为了证明全微分的二阶偏导数先后顺序相同，我们需要考察f(x+dx,y+dy)在点(x₀,y₀)处的二阶偏导数。
将上式展开后可以得到：∂²f/∂x² dx²+2∂²f/∂x∂y dxdy+∂²f/∂y² dy²现在我们来将dxdy和dydx比较一下，可以发现它们是相等的。
这就意味着全微分的二阶偏导数先后顺序相同的性质得到了证明。
通过以上步骤，我们成功证明了全微分的二阶偏导数先后顺序相同的性质。
这一性质在数学和物理等领域中都有广泛的应用，对于深入理解函数的性质和微分学的应用都具有重要意义。
偏导数与全导数偏微分与全微分的关系
1。
偏导数代数意义偏导数是对一个变量求导,另一个变量当做数对x求偏导的话y就看作一个数，描述的是x方向上的变化率对y求偏导的话x就看作一个数，描述的是y方向上的变化率几何意义对x求偏导是曲面z=f(x,y)在x方向上的切线对y求偏导是曲面z=f(x,y)在x方向上的切线这里在补充点。
就是因为偏导数只能描述x方向或y方向上的变化情况，但是我们要了解各个方向上的情况，所以后面有方向导数的概念。
2。
微分偏增量：x增加时f(x,y)增量或y增加时f(x,y)偏微分：在detax趋进于0时偏增量的线性主要部分detaz=fx（x,y）detax+o(detax)右边等式第一项就是线性主要部分，就叫做在（x，y）点对x的偏微分这个等式也给出了求偏微分的方法，就是用求x的偏导数求偏微分全增量：x,y都增加时f(x,y)的增量全微分：根号(detax方+detay方）趋于0时，全增量的线性主要部分同样也有求全微分公式，也建立了全微分和偏导数的关系dz=Adx+Bdy 其中A就是对x求偏导，B就是对y求偏导希望楼主注意的是导数和微分是两个概念，他们之间的关系就是上面所说的公式。
概念上先有导数，再有微分，然后有了导数和微分的关系公式，公式同时也指明了求微分的方法。
3.全导数全导数是在复合函数中的概念，和上面的概念不是一个系统，要分开。
u=a(t),v=b(t)z=f[a(t),b(t)]dz/dt 就是全导数，这是复合函数求导中的一种情况，只有这时才有全导数的概念。
dz/dt=(偏z/偏u)(du/dt)+(偏z/偏v)(dv/dt)建议楼主在复合函数求导这里好好看看书，这里分为3种情况。
1.中间变量一元就是上面的情况，才有全导数的概念。
2.中间变量有多元，只能求偏导3.中间变两有一元也有多元，还是求偏导。
二元函数的偏导数和全微分
二元函数的偏导数和全微分二元函数是含有两个变量的函数，如f(x,y)=x^2+y^2。
也可以理解为在二维平面上，每一个点(x,y)对应一个函数值f(x,y)。
在对二元函数进行求导和微分时，会有一些特殊的情况需要注意。
一、偏导数偏导数指在二元函数中，对其中一个变量求导数，而将另一变量视为常数，即在二元函数f(x,y)中，对x求导数，将y视为常数，则得到的导数即为偏导数，表示f对x的变化率。
同理，对y求导，将x视为常数，得到的导数即为偏导数，表示f对y的变化率。
偏导数用符号表示为∂f/∂x和∂f/∂y，其中∂符号表示偏导运算符。
以f(x,y)=x^2+y^2为例，求∂f/∂x和∂f/∂y。
先对x求偏导：∂f/∂x=2x这个结果表示，在点(x,y)处，当x增加一定量时，f的值会增加2x的量。
再对y求偏导：∂f/∂y=2y这个结果表示，在点(x,y)处，当y增加一定量时，f的值会增加2y的量。
二、方向导数在二元函数中，除了可以求在x和y方向上的偏导数外，还可以求在任意方向上的导数，即方向导数。
假设在点(x,y)处沿着方向l的方向导数为Dlf(x,y)，则Dlf(x,y)定义为：Dlf(x,y)=lim(h→0)f(x+cosθh,y+sinθh)-f(x,y)/h其中，θ是方向角，定义为向量l与x轴正半轴的夹角。
需要注意的是，在二元函数中，方向导数只有在函数在该点可微分时才有意义。
三、全微分二元函数在一点(x0,y0)上的全微分，也称为微分，表示在该点变化极小的函数值的线性近似。
假设在点(x0,y0)处，函数f(x,y)在变化时微小的偏移量为Δx和Δy，在这个微小的偏移量下，f(x0+Δx,y0+Δy)的变化量为∆f，则在点(x0,y0)处：df=f_x(x0,y0)Δx+f_y(x0,y0)Δy其中f_x(x0,y0)和f_y(x0,y0)分别表示在点(x0,y0)处的偏导数。
全微分用通常用dy和dx表示，即：df=f_x(x0,y0)dx+f_y(x0,y0)dy这个式子是微积分学中的重要概念，也是很多其他数学学科，如微分几何和微分拓扑学的基本概念。
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y? y0
y ? y0
或 f y ( x0, y0 ).
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(2)【二元函数在区域内的偏导数】
如果函数 z ? f ( x , y)在区域 D 内任一点
( x , y)处对 x 的偏导数都存在，那么这个偏导数
就是 x 、 y的函数，它就称为函数 z ? f ( x , y)对
连续，
【例 7.12 】
? xy
设
f
(x, y)
?
? ?
x
2
?
y2
?? 0
(x, y) ? (0,0) (x, y) ? (0,0)
求 f (x, y)在(0,0)的偏导数与连续性的关系.
【解】当( x , y) ? (0,0)时, 按定义可知：
f x (0,0) ?
lim
?x? 0
f (? x ,0) ? ?x
.
x? x0
y? y0
y? y0
同理可定义 z ? f ( x , y)在点( x 0 , y0 )处对 y的偏导数为
lim f (x0 , y0 ? ? y) ? f ( x0 , y0 )，
?y? 0
?y
记为 ? z ， ? f
z ， y x ? x0
? y x? x0 ? y x ? x0
y? y0
如u = f (x , y , z ) 在(x , y , z ) 处
fx(x, y,z) ?
f (x ? ? x, y,z) ?
lim
?x? 0
?x
f (x, y,z),
f y (x, y, z) ?
lim
?y? 0
f (x, y ?
? y,z) ? ?y
f (x, y,z),
fz(x, y, z) ?
自变量 x 的偏导数，
记作
?z ?x
，
? ?
f x
，
z
x
或
f
x
(
x
,
y).
同理可以定义函数 z ? f ( x , y)对自变量 y的偏
导数，记作
?z ?y
，
?f ?y
，
z
y
或
f
y
(
x
,
y).
注意求偏导的方法！
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(3)【多元函数的偏导数】
偏导数的概念可以推广到二元以上函数
?x
(2) 求 ?z 的方法：
?x ( x0 , y0 )
① 先求出偏导函数
? z ，再代值； ?x
② 求分界点、不连续点处的偏导数要用定义求；
［例如］ 设z ? f ( x , y) ? xy , 求f x (0, 0), f y (0, 0).
［解］
f x (0,0)
?
lim
x? 0
| x ?0 | ? 0 ? 0? x
lim
? z? 0
f (x, y,z ? ? z) ? ?z
f (x, y,z).
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例1 . 求 z ? x2 ? 3xy ? y 2在点(1 , 2) 处的偏导数 .
解法 1
?z ?x
?
2x
?
3y
,
?
?z ? x (1, 2)
?z ?y
?
3x ?
2y
?z
? y (1, 2)
f y (0,0).
③ 先求z ? f ( x , y0)对x的导数，再代入 x ? x0.
如：设 f ( x , y) ? x ? ( y ? 1)arcsin
x y
,
求f
x
(
x
,1).
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(3). 【偏导数存在与连续的关系 】
一元函数中在某点可导
连续，
多元函数中在某点偏导数存在
f (x0 ? ? x, y0)?
f
(
x0
,
y0
)，若
lim
?x? 0
f (x0 ?
? x, y0) ? ?x
f (x0 , y0 ) 存在，则称
之为 z ? f ( x , y)在点( x0 , y0 )处对 x 的偏导数，记为
zx
x? x0 ，
y? y0
f x (x0,
y0
)，
?z ?x
或?f x? x0 ?x
【几何意义】
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偏导数 f x ( x 0 , y0 )就是曲面被平面 y ? y0所截的曲线
在点 M 0处的切线 M 0Tx 对 x 轴的斜率 tan ? .
偏导数 f y ( x 0 , y0 )就是曲面被平面 x ? x 0 所截得的
【思考题】 连续
偏导数存在 .
【结论】 可偏导
连续
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(4). 【偏导数的几何意义】 (复习:反函数求导法则的几何意义 ) 设 M 0 ( x0 , y0 , f ( x0 , y0 )) 为曲面 z ? f ( x , y) 上一点, 如图
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?
| y|
( x 2 ? y2 )3
( y ? 0) x
1
?????
?
x2 ?
y2 sgn
. y
?z 不存在．
?y x?0 y? 0
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? 例7.9 例7.10 例7.11
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2.【有关偏导数的几点说明】
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(1) 偏导数 ?u 是一个整体记号，不能拆分 ;
先求后代
解法 2
z y?2 ? x2 ? 6x ? 4
?z ? x (1, 2)
Hale Waihona Puke 先代后求再代z x?1 ? 1? 3y ? y2
?z ? y (1, 2)
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【例 2】 设z ? arcsin x ，求 ?z ，?z .
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x2 ? y2
?x ?y
【解】
?z ?
?x
1?
1 x2
x2 ? y2
?????
x x2 ?
y2
??? ? ?x
?
x2 ? y2 ?
| y|
y2 ( x 2 ? y2 )3
( y2 ? | y |) | y | ??????? x 2 ? y2 .
?z ? ?y
1?
1 x2
x2 ? y2
?????
x x2 ?
y
2
????
??
y
x 2 ? y2 (? xy )
f (0,0) ?
0 lim ?x? 0 ? x
?
0,
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f y (0,0) ?
lim
? y? 0
f (0,? y) ? ?y
f (0,0)
?
0 lim ? y? 0 ? y
?
0,
但函数在原点处并不连续 (令y=kx ,知极限不存在,故不连续).
偏导数存在 连续.
一、偏导数 二、全微分 三、高阶偏导数 四、小结 思考题
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一、偏导数
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1.【偏导数的定义】 (1)【二元函数在一点处的偏导数】
【定义】 设 z ? f ( x , y)在点 ( x0 , y0 ) 的某一邻域内有定义，当
y 固 定 在 y0 而 x 在 x0 处 有 增 量 ? x 时 ， 相 应 地 函 数 有 增量