高考数学二轮复习专题《数列》

2009年高考数学二轮复习数列数列是高中数学的重要内容，又是学习高等数学的基础，所以在高考中占有重要的地位。

高考对本章的考查比较全面，等差数列、等比数列的考查每年都不会遗漏。

解答题多为中等以上难度的试题，突出考查考生的思维能力，解决问题的能力，试题大多有较好的区分度。

有关数列的试题经常是综合题，经常把数列知识和指数函数、对数函数和不等式的知识综合起来，试题也常把等差数列、等比数列，求极限和数学归纳法综合在一起。

探索性问题也是高考的热点，常在数列解答题中出现。

本章中还蕴含着丰富的数学思想，在主观题中着重考查函数与方程、转化与化归、分类讨论等重要思想，以及配方法、换元法、待定系数法等基本数学方法。

应用问题考查的重点是现实客观事物的数学化，常需构造数列模型，将现实问题转化为数学问题来解决。

一、教学要求本专题的教学要求有以下几点。

1、了解数列的概念和几种简单的表示方法（列表、图象、通项公式），了解数列是一种特殊函数，理解数列的通项公式的意义。

2、理解等差数列的概念；掌握等差数列的通项公式、前n项和公式，能运用公式解决一些简单问题。

能在具体的问题情境中发现数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题。

了解等差数列与一次函数的关系。

3、理解等比数列的概念；掌握等比数列的通项公式、前n项和公式，能运用公式解决一些简单问题。

能在具体的问题情境中发现数列的等比关系，并能用有关知识解决相应的问题。

了解等比数列与指数函数的关系。

探索等差、等比数列的通项公式和前n项和公式。

4、数列教学，要注意的问题：(1) 教学中，应使学生了解数列是一种特殊函数。

(2) 会根据简单数列的前几项写出数列的一个通项公式。

(3) 教学中，要掌握数列中各量之间的基本关系．但训练要控制难度和复杂程度，避免繁琐的计算、人为技巧化的难题。

(4) 等差数列和等比数列有着广泛的应用，教学中应重视在具体的问题情境中，发现数列的等差关系或等比关系。

这样做，既突出了问题意识，也有助于学生理解数列的本质。

二、考纲要求江西省2009年高考仍按教育部考试中心颁布的《大纲》实施，其中有关数列的部分是这样写的：考试内容：数列．等差数列及其通项公式．等差数列前n项和公式．等比数列及其通项公式．等比数列前n项和公式．考试要求：(1) 理解数列的概念，了解数列通项公式的意义，了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项．(2) 理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式与前n项和公式，并能解决简单的实际问题。

(3) 理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前n项和公式，并能解决简单的实际问题。

三、试题特点1、考情统计2005年高考各地的16套试卷中，每套试卷均有1道数列解答题试题，处于压轴位置的有6道。

数列解答题属于中档题或难题。

其中，涉及等差数列和等比数列的试题有11道，有关递推数列的有8道，关于不等式证明的有6道。

另外，等比求和的错位相减法，广东卷的概率和数列的交汇，湖北卷的不等式型的递推数列关系都是高考试题中展现的亮点。

2006年高考各地的18套试卷中,有18道数列解答试题。

其中与函数综合的有6道，涉及数列不等式证明的有8道，北京还命制了新颖的“绝对差数列”。

值得一提的是，其中有8道属于递推数列问题，这在高考中是一个重点。

2007年高考各地的各套试卷中都有数列题，有7套试卷是在压轴题的位置，有9套是在倒数第二道的位置，其它的一般在第二、三的位置，几乎每道题涉及到递推数列，有9道涉及到数列、不等式或函数的综合问题，安徽省还出现了一道数列应用题。

2008年高考各地的各套试卷中都有数列题，也都是几乎每道题涉及到递推数列， 数列、不等式或函数的综合问题。

综上可知，数列解答题是高考命题的一个每年必考且难度较大的题型，其命题热点是与不等式交汇、呈现递推关系的综合性试题。

其中，以函数迭代、解析几何中曲线上的点列为命题载体，有着高等数学背景的数列解答题仍将是未来高考命题的亮点，而以考查学生归纳、猜想、数学试验等能力研究性试题也将成为高考命题的一个新亮点。

2、主要特点数列是高中代数的重要内容之一，也是与大学衔接的内容，由于在测试学生逻辑推理能力和理性思维水平，以及考查学生创新意识和创新能力等方面有不可替代的作用，所以在历年高考中占有重要地位，近几年更是有所加强。

数列解答题大多以数列为考查平台，综合运用函数、方程、不等式等知识，通过运用递推思想、函数与方程、归纳与猜想、等价转化、分类整合等各种数学思想方法，考查学生灵活运用数学知识分析问题和解决问题的能力，其难度属于中、高档难度。

高考对本章的考查比较全面，等差数列、等比数列的考查每年都不会遗漏．一般情况下都是一个客观题和一个综合解答题。

数列的综合题难度都很大，甚至很多都是试卷的压轴题，它不仅考查函数与方程、转化与化归、分类讨论等重要思想，还涉及了配方法、换元法、待定系数法、放缩法等基本数学方法．其中的高考热点——探索性问题也出现在近年高考的数列解答题中。

3、考查知识(1) 考查数列、等差数列、等比数列等基本知识、基本技能。

(2)与函数、方程、不等式、解析几何等知识相结合，考查学生在数学学习和研究过程中知识的迁移、组合、融会，进而考查学生的学习潜能和数学素养。

(3)以应用题或探索题的形式出现，为考生展现其创新意识和发挥创造能力提供广阔的空间。

四、试题类型下面我以2008年高考试题为例，大致概括一下高考数列试题的常见类型。

只谈数列本身，不涉及数列与向量、三角或解析几何等知识的交汇。

类型一：考查等差、等比数列的基本问题等差、等比数列是两类最基本的数列，它们是数列部分的重点，也是高考考查的热点。

等差、等比数列的定义、通项公式、前n 项的和等基本知识一直是高考考查的重点，这方面考题的解法灵活多样，技巧性强，考查的目的在于测试考生灵活运用知识的能力，这个“灵活”就集中在“转化”的水平上。

在数列{}n a 中，12a =， 11ln(1)n n a a n+=++，则n a =( )A ．2ln n +B ．2(1)ln n n +-C ．2ln n n +D ．1ln n n ++解：选A 。

211ln(1)1a a =++，321ln(1)2a a =++，…，11ln(1)1n n a a n -=++-1234ln()()()()2ln 1231n na a n n ⇒=+=+-{}n a 为等差数列，n a 为正整数，其前n 项和为n S ，数列{}n b 为等比数列，且113,1a b ==，数列{}n a b 是公比为64的等比数列，2264b S =。

(1) 求,n n a b ；(2) 求证1211134n S S S +++<。

解：（1）设{}n a 的公差为d ，{}n b 的公比为q ，则d 为正整数，3(1)n a n d =+-，1n n b q -=，依题意有1363(1)22642(6)64n n nda d n d ab q q b q S b d q +++-⎧====⎪⎨⎪=+=⎩①由(6)64d q +=知q 为正有理数，故d 为6的因子1,2,3,6之一，解①得2,8d q ==，故132(1)21,8n n n a n n b -=+-=+=。

(2)35(21)(2)n S n n n =++++=+,∴121111111132435(2)n S S S n n +++=++++⨯⨯⨯+11111111(1)2324352n n =-+-+-++-+11113(1)22124n n =+--<++。

{}n a 中，11a =，122nn n a a +=+。

(1) 设12nn n a b -=，证明：数列{}n b 是等差数列；(2) 求数列{}n a 的前n 项和n S 。

解：（1）122n n n a a +=+，11122n n n n a a+-=+，11n n b b +=+，则n b 为等差数列，11b =，n b n =，12n n a n -=。

(2) 01211222(1)22n n n S n n --=⨯+⨯++-⨯+⨯,12121222(1)22n nn S n n -=⨯+⨯++-⨯+⨯两式相减，得01121222221n n n n n S n n -=⨯-⨯--=⨯-+。

{}n a 中，410a =且3610a a a ，，成等比数列，求数列{}n a 前20项的和20S 。

解：设数列{}n a 的公差为d ，则3410a a d d =-=-，642102a a d d =+=+，1046106a a d d =+=+。

由3610a a a ，，成等比数列得23106a a a =，即2(10)(106)(102)d d d -+=+，整理得210100d d -=，解得0d =或1d =。

当0d =时，20420200S a ==；当1d =时，14310317a a d =-=-⨯=，于是2012019202S a d ⨯=+207190330=⨯+=。

类型二：考查递推数列的通项公式问题对于由递推式所确定的数列的通项公式问题，通常可对递推式进行变形，从而转化为等差、等比数列问题来解决，这类问题一直是高考久考不衰的题型。

{}n a 中，11a =，22a =，且11(1)n n n a q a qa +-=+-（2,0n q ≥≠）．第(2)问：求数列{}n a 的通项公式。

解：由（Ⅰ）得11()n n n n a a q a a +--=-，是首项为1，公比为q 的等比数列。

211a a -=，32a a q -=，…… 21(2)n n n a a q n ---=≥。

将以上各式相加，得211(2)n n a a q q n --=+++…≥．所以当2n ≥时，11111 1.n n q q a qn q -⎧-+≠⎪=-⎨⎪=⎩，，，上式对1n =显然成立．{}n a 的前n 项和为n S ，已知()21nn n ba b S -=-。

第(2)问：求{}n a 的通项公式。

解：当2b =时，由（Ⅰ）知，1122n n n a n ---⋅=，即1(1)2n n a n -=+⋅；当2b ≠时，由①：112n n n a ba --=+，两边同时除以2n得1112222n n n n a a b --=⋅+。

可设11()222n n n n a a b λλ--+=⋅+⇒1111()22222n n n n a a b b b --+=⋅+--，∴1{}22n na b +-是等比数列，公比为2b ，首项为11122b b b -+=--。

∴111()2222n n n a b b b b --+=⋅⇒--111()2222n n n a b b b b --=⋅---， ∴11112(1)22()2222n n n n n b b b b a b b b -----⎡⎤=⋅-=⎢⎥---⎣⎦。