常见分类讨论类型
相似三角形分类讨论
相似三角形专题一——分类讨论类型一：AX 分类讨论例1、如图，在中，ABC 8cm,16cm AB AC ==，点P 从A 出发，以2cm/s 的速度向B 运动，同时点Q 从C 出发，以3cm/s 的速度向A 运动，当其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动的时间为t ．（1）用含t 的代数式表示：AQ =_______；（2）当以A ，P ，Q 为顶点的三角形与ABC 相似时，运动时间t =________1、如图，Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝6cm ，BC ＝8cm ，动点P 从点B 出发，在BA 边上以每秒5cm 的速度向点A 匀速运动，同时动点Q 从点C 出发，在CB 边上以每秒4cm 的速度向点B 匀速运动，运动时间为t 秒（0＜t ＜2），连接PQ ．(1)用含t 的代数式表示BP 、BQ ；(2)是否存在某一时刻t 的值，使△BPQ 的面积是△BAC 面积的14；(3)若以B 、P 、Q 为顶点的三角形与△ABC 相似，求t 的值．2、如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝8，BC ＝6，CD ⊥AB 于点D ，点P 从点D 出发，沿线段DC 向点C 运动，点Q 从点C 出发，沿线段CA 向点A 运动，两点同时出发，速度都为每秒1个单位长度，当点P 运动到点C 时，两点都停止运动，设运动时间为t 秒．(1)求线段CD 的长；(2)设△CPQ 的面积为S ，求S 与t 之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；(3)当t 为何值时，△CPQ 与△CAD 相似？请直接写出t 的值．二、直角三角形分类例2、如图所示，已知AB⊥BC于B，CD⊥BC于C，AB＝4，CD＝6，BC＝14，P为BC上一点，试问BP为何值时，△ABP与△PCD相似？1、如图，在平面直角坐标系中，已知OA＝12厘米，OB＝6厘米．点P从点O开始沿OA 边向点A以1厘米/秒的速度移动；点Q从点B开始沿BO边向点O以1厘米/秒的速度移动．如果P、Q同时出发，用t（秒）表示移动的时间（0≤t≤6），那么，当t为何值时，△POQ与△AOB相似？2、如图，在平面直角坐标系中，点，点、分别在轴、轴的正半轴上，且满足．求点、点的坐标；若点从点出发，以每秒个单位的速度沿线段由向运动，连接，是否存在点，使以点，，为顶点的三角形与相似若存在，请求出点的坐标若不存在，请说明理由．三、等腰三角形分类讨论例3、如图所示，Rt△ABC中，已知∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，点D在BC上运动（不能到达点B，C），过点D作∠ADE＝45°，DE交AC于点E．（1）求证：△ABD∽△DCE；（2）当△ADE是等腰三角形时，求AE的长．1、如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝6cm．现在有动点P从点B出发，沿线段BA向终点A运动，动点Q从点A出发，沿折线AC—CB向终点运动．如果点P的速度是1cm/s，点Q的速度是1cm/s．它们同时出发，当有一点到达终点时，另一点也停止运动．设运动的时间为t秒．（1）如图1，Q在AC上，当t为多少秒时，以点A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似？（2）如图2，Q在CB上，是否存着某时刻，使得以点B、P、Q为顶点的三角形与△ABC 相似？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．相似三角形专题二——三角形框四边形问题1、如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，E为BD上一点，过点E作EF⊥BC交AB于点F，过点F作FG⊥EF分别交AD，AC于点N，G，过点G作GH∥EF交BC于点H．（1）求证：△AFG∽△ABC；（2）若AD＝3，BC＝9，设EF的长度为x，四边形EFGH的面积为y，求y与x之间的函数表达式，并求y的最大值．1、如图，正方形MNPQ内接于△ABC，点M、N在BC上，点P、Q分别在AC和AB边上，且BC边上的高AD＝6cm，BC＝12cm，求正方形MNPQ的边长．2、如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝20cm，AC＝15cm，在这个直角三角形内有一个内接正方形，正方形的一边FG 在BC 上，另两个顶点E 、H 分别在边AB 、AC 上．（1）求BC 边上的高；（2）求正方形EFGH 的边长．相似三角形专题三——面积比问题例1.如图，在▱ABCD 中，E 为CD 的中点，连接AE 、BD ，且AE 、BD 交于点F ，则DEF S △：EFBC S 四边形为（）1、如图，在▱ABCD 中，AC 、BD 相交于点O ，点E 是OA 的中点，联结BE 并延长交AD 于点F ，如果△AEF 的面积是4，那么△BCE 的面积是____．2、如图，在平行四边形中，点在边上，，交于点，若：：，则：．。
导数中分类讨论地三种常见类型
导数中分类讨论的三种常见类型高中数学中，分类讨论思想是解决含有参数的复杂数学问题的重要途径，而所谓分类讨论，就是当问题所给的研究对象不能进行统一的研究处理时，对研究对象按照某种标准进行分类，然后对每一类的对象进行分别的研究并得出结论，最后综合各类的研究结果对问题进行整体的解释.几乎所有的高中生都对分类讨论思想有所了解，而能正确运用分类讨论思想解决问题的不到一半，不能运用分类讨论思想解决具体问题的主要原因是对于一个复杂的数学问题不知道该不该去分类以及如何进行合理的分类，下面根据导数中3种比较常见的分类讨论类型谈谈导数中如何把握对参数的分类讨论. 1.导函数根的大小比较实例1：求函数()321132a f x x x ax a -=+--，x R ∈的单调区间.分析：对于三次或三次以上的函数求单调区间，基本上都是用求导法，所以对函数()321132a f x x x ax a -=+--进行求导可以得到导函数()()'21f x x a x a =+--，观察可知导函数可以因式分解为()()()()'211f x x a x a x a x =+--=-+，由此可知方程()'0f x =有两个实根1x a =，21x =-，由于a 的围未知，要讨论函数()321132a f x x x ax a -=+--的单调性，需要讨论两个根的大小，所以这里分1a <-，1a =-，1a >-三种情况进行讨论：当1a <-时，()f x ，()'f x 随x 的变化情况如下：所以，函数()f x 的单调递增区间为(),a -∞和()1,-+∞，单调递减区间为(),1a -. 当1a =-时， ()'0f x ≥在R 上恒成立，所以函数()f x 的单调递增区间为(),-∞+∞，没有单调递减区间.当1a >-时，()f x ，()'f x 随x 的变化情况如下：所以，函数()f x 的单调递增区间为(),1-∞-和(),a +∞，单调递减区间为()1,a -. 综上所述，当1a <-时，函数()f x 的单调递增区间为(),a -∞和()1,-+∞，单调递减区间为(),1a -；当1a =-时，函数()f x 的单调递增区间为(),-∞+∞，没有单调递减区间； 当1a >-时，函数()f x 的单调递增区间为(),1-∞-和(),a +∞，单调递减区间为()1,a -.点评：这道题之所以要分情况讨论，是因为导函数两个根的大小不确定，而两根的大小又会影响到原函数的单调区间，而由于a R ∈，所以要分1a <-，1a =-，1a >-三种情况，这里注意不能漏了1a =-的情况. 2.导函数的根的存在性讨论实例2：求函数()32f x x ax x =++的单调区间分析：这道题跟实例1一样，可以用求导法讨论单调区间，对函数()32f x x ax x =++进行求导可以得到导函数()'2321f x x ax =++，观察可以发现，该导函数无法因式分解，故无法确定方程23210x ax ++=是否有实根，因此首先得考虑一下方程是否有解，所以我们可以求出根判别式2412a ∆=-，若24120a ∆=-<即a <<23210x ax ++=没有实根，即()'0f x > 在R 上恒成立，所以()f x 在R 上单调递增；若24120a ∆=-=即a =，方程23210x ax ++=有两个相等的实根123ax x ==-，即()'0f x ≥在R 上恒成立，所以()f x 在R 上单调递增；若24120a ∆=->即a a <>，则方程23210x ax ++=有两个不同实根，由求根公式可解得1x =，2x =12x x <此时()f x ，()'f x 随x 的变化情况如下：综上所述，当a ≤≤()f x 的单调递增区间为(),-∞+∞，没有单调递减区间；当a a <>时，()f x 的单调递增区间为⎛-∞ ⎝⎭和⎫+∞⎪⎪⎝⎭，单调递减区间为⎝⎭点评：实例2和实例1都是求三次函数的单调区间，但是两道题分类讨论的情况不一样，实例2主要是因为导函数所对应的方程根的情况未知，所以需要讨论根的存在性问题，而实例1是因为导函数所对应的方程可以因式分解，所以可以确定方程的根肯定是存在的，因此不用再讨论，而需要讨论的是求出来两个根的大小关系，实例2则相反，实例2在方程有两个不同实根的情况下求出来的两根大小已知，所以不用再讨论。
需要分类讨论的九种常见情况
需要分类讨论的九种常见情况
1. 紧急情况：例如自然灾害、医疗急救、火灾等需要立即采取行动的情况。
2. 社会问题：例如贫困、失业、犯罪等社会现象引发的问题。
3. 健康问题：例如传染病、慢性病、心理健康等与人体健康相关的问题。
4. 教育问题：例如教育资源不均衡、学生压力过大、教育体制问题等与教育相关的问题。
5. 环境问题：例如空气污染、水资源短缺、垃圾处理等与环境保护相关的问题。
6. 经济问题：例如通货膨胀、就业机会减少、贫富差距扩大等与经济发展相关的问题。
7. 政治问题：例如政府腐败、民主权利受限、政治权力滥用等与政治体制相关的问题。
8. 科技问题：例如人工智能发展带来的伦理问题、信息安全问题等与科技进步相关的问题。
9. 文化问题：例如文化多元化、文化冲突、文化遗产保护等与文化发展相关的问题。
分类讨论数学思想
(3)6位同学在毕业聚会活动中进行纪念品的交换，任意两位同学之间最多交换一次，进行交换的两位同学互赠一份纪念品．已知6位同学之间共进行了13次交换，则收到4份纪念品的同学人数为()
A．1或3B．1或4C．2或3D．2或4
解析设6位同学分别用a，b，c，d，e，f表示．
(6)从3名骨科、4名脑外科和5名内科医生中选派5人组成一个抗震救灾医疗小组，则骨科、脑外科和内科医生都至少有1人的选派方法种数是________．(用数字作答)
解析分三类：①选1名骨科医生，则有C (C C ＋C C ＋C C )＝360(种)．
②选2名骨科医生，则有C (C C ＋C C )＝210(种)；
当a≤－1时，f(x)在(0，＋∞)上单调递减；
当－1<a<0时，f(x)在 上单调递增，
解∵A＝{0，－4}，B⊆A，于是可分为以下几种情况．
(1)当A＝B时，B＝{0，－4}，
∴由根与系数的关系，得 解得a＝1.
(2)当B A时，又可分为两种情况．
①当B≠∅时，即B＝{0}或B＝{－4}，
当x＝0时，有a＝±1；
当x＝－4时，有a＝7或a＝1.
又由Δ＝4(a＋1)2－4(a2－1)＝0，
(8)排列、组合、概率中的分类计数问题．
(9)去绝对值时的讨论及分段函数的讨论等．
分类讨论的原则
(1)不重不漏．(2)标准要统一，层次要分明．
(3)能不分类的要尽量避免或尽量推迟，决不无原则地讨论．
热点一 由数学概念、性质、运算引起的分类讨论
例1 (1)(2014·浙江)设函数f(x)＝ 若f(f(a))≤2，则实数a的取值范围是________．
分类讨论思想
分类讨论思想一、含义分类讨论思想就是当问题所给的对象不能进行统一研究时，需要把研究对象按某个标准分类，然后对每一类分别研究得出结论，最后综合各类结果得到整个问题的解答。
实质上，分类讨论是“化整为零，各个击破，再积零为整”的解题策略。
二、常见类型有关分类讨论的数学问题需要运用分类讨论思想来解决，引起分类讨论的原因大致可归纳为如下几种：1.由数学概念引起的分类讨论：有的概念本身是分类的，如绝对值、直线斜率、指数函数、对数函数等。
2.由性质、定理、公式的限制引起的分类讨论：有的数学定理、公式、性质是分类给出的，在不同的条件下结论不一致，如等比数列的前n项和公式、函数的单调性等。
3.由数学运算要求引起的分类讨论：如除法运算中除数不为零，偶次方根被开方数为非负，对数真数与底数的要求，指数运算中底数的要求，不等式两边同乘以一个正数、负数，三角函数的定义域等。
4.由图形的不确定性引起的分类讨论：有的图形类型、位置需要分类，如角的终边所在的象限，点、线、面的位置关系等。
5.由参数的变化引起的分类讨论：某些含有参数的问题，如含参数的方程、不等式，由于参数的取值不同会导致所得结果不同，或对于不同的参数值要运用不同的求解或证明方法。
6.由实际意义引起的讨论：此类问题常常出现在应用题中。
三、高中数学中相关的知识点1.绝对值的定义；1.二次函数对称轴的变化；2.函数问题中区间的变化；3.函数图像形状的变化；4.直线由斜率引起的位置变化；5.圆锥曲线由焦点引起的位置变化或由离心率引起的形状变化；6.立体几何中点、线、面的位置变化等。
七、4步解决由概念、法则、公式引起的分类讨论问题第一步：确定需分类的目标与对象。
即确定需要分类的目标，一般把需要用到公式、定理解决问题的对象作为分类目标。
第二步：根据公式、定理确定分类标准。
运用公式、定理对分类对象进行区分。
第三步：分类解决“分目标”问题。
对分类出来的“分目标”分别进行处理。
第四步：汇总“分目标”。
导数分类讨论解决含参问题(三种常见类型)
导数中分类讨论的三种常见类型高中数学中，分类讨论思想是解决含有参数的复杂数学问题的重要途径，而所谓分类讨论，就是当问题所给的研究对象不能进行统一的研究处理时，对研究对象按照某种标准进行分类，然后对每一类的对象进行分别的研究并得出结论，最后综合各类的研究结果对问题进行整体的解释.几乎所有的高中生都对分类讨论思想有所了解，而能正确运用分类讨论思想解决问题的不到一半，不能运用分类讨论思想解决具体问题的主要原因是对于一个复杂的数学问题不知道该不该去分类以及如何进行合理的分类，下面根据导数中3种比较常见的分类讨论类型谈谈导数中如何把握对参数的分类讨论.类型一：导函数根的大小比较实例1：求函数()321132a f x x x ax a -=+--，x R ∈的单调区间.分析：对于三次或三次以上的函数求单调区间，基本上都是用求导法，所以对函数()321132a f x x x ax a -=+--进行求导可以得到导函数()()'21f x x a x a =+--，观察可知导函数可以因式分解为()()()()'211f x x a x a x a x =+--=-+，由此可知方程()'0f x =有两个实根1x a =，21x =-，由于a 的范围未知，要讨论函数()321132a f x x x ax a -=+--的单调性，需要讨论两个根的大小，所以这里分1a <-，1a =-，1a >-三种情况进行讨论：当1a <-时，()f x ，()'f x 随x 的变化情况如下：x (),a -∞a(),1a --1()1,-+∞()'f x +0_0+()f x 单调递增极大值单调递减极小值单调递增所以，函数()f x 的单调递增区间为(),a -∞和()1,-+∞，单调递减区间为(),1a -.当1a =-时，()'0f x ≥在R 上恒成立，所以函数()f x 的单调递增区间为(),-∞+∞，没有单调递减区间.当1a >-时，()f x ，()'f x 随x 的变化情况如下：x (),1-∞--1()1,a -a(),a +∞()'f x +0_0+()f x 单调递增极大值单调递减极小值单调递增所以，函数()f x 的单调递增区间为(),1-∞-和(),a +∞，单调递减区间为()1,a -.综上所述，当1a <-时，函数()f x 的单调递增区间为(),a -∞和()1,-+∞，单调递减区间为(),1a -；当1a =-时，函数()f x 的单调递增区间为(),-∞+∞，没有单调递减区间；当1a >-时，函数()f x 的单调递增区间为(),1-∞-和(),a +∞，单调递减区间为()1,a -.点评：这道题之所以要分情况讨论，是因为导函数两个根的大小不确定，而两根的大小又会影响到原函数的单调区间，而由于a R ∈，所以要分1a <-，1a =-，1a >-三种情况，这里注意不能漏了1a =-的情况.类型二：导函数的根的存在性讨论实例2：求函数()32f x x ax x =++的单调区间分析：这道题跟实例1一样，可以用求导法讨论单调区间，对函数()32f x x ax x =++进行求导可以得到导函数()'2321f x x ax =++，观察可以发现，该导函数无法因式分解，故无法确定方程23210x ax ++=是否有实根，因此首先得考虑一下方程是否有解，所以我们可以求出根判别式2412a ∆=-，若24120a ∆=-<即a <<23210x ax ++=没有实根，即()'0f x >在R 上恒成立，所以()f x 在R 上单调递增；若24120a ∆=-=即a =，方程23210x ax ++=有两个相等的实根123ax x ==-，即()'0f x ≥在R 上恒成立，所以()f x 在R 上单调递增；若24120a ∆=->即a a <>，则方程23210x ax ++=有两个不同实根，由求根公式可解得13a x --=，23a x -+=，显然12x x <此时()f x ，()'f x 随x 的变化情况如下：x ()1,x -∞1x ()12,x x 2x ()2,x +∞()'f x +0_0+()f x 单调递增极大值单调递减极小值单调递增综上所述，当a ≤≤时，()f x 的单调递增区间为(),-∞+∞，没有单调递减区间；当a a <>时，()f x 的单调递增区间为,3a ⎛---∞ ⎪⎝⎭和,3a ⎛⎫-++∞ ⎪ ⎪⎝⎭，单调递减区间为,33a a ⎛---+ ⎝⎭点评：实例2和实例1都是求三次函数的单调区间，但是两道题分类讨论的情况不一样，实例2主要是因为导函数所对应的方程根的情况未知，所以需要讨论根的存在性问题，而实例1是因为导函数所对应的方程可以因式分解，所以可以确定方程的根肯定是存在的，因此不用再讨论，而需要讨论的是求出来两个根的大小关系，实例2则相反，实例2在方程有两个不同实根的情况下求出来的两根大小已知，所以不用再讨论。
分类讨论思想的常见类型
分类讨论思想的常见类型作者：惠国仓来源：《新课程·教师》2010年第08期分类讨论的思想是一种重要的数学思想方法。
其基本思路是将一个较复杂的数学问题分解(或分割)成若干个基础性问题,通过对基础性问题的解答来实现解决原问题的思想策略。
对问题实行分类与整合,分类标准等于增加一个已知条件,实现了有效增设,将大问题(或综合性问题)分解为小问题(或基础性问题),优化解题思路,降低问题难度。
一、由数学概念引起的分类讨论有的概念本身是分类的,如绝对值、直线斜率、指数函数、对数函数等。
例如:设00且a≠1,比较loga(1-x)与loga(1+x)的大小。
解析:先利用0二、由性质、定理、公式的限制引起的分类讨论有的数学定理、公式、性质是分类给出的,在不同的条件下结论不一致,如等比数列的前n 项和公式、函数的单调性等。
例如:设等比数列{an｝的公比为q,前n项和Sn>0(n=1,2,3,…)。
1.求q的取值范围;解析:1.根据条件列出关于q的不等式,注意分类讨论。
2.能否判断{bn｝为特殊数列进而求和作差、作商比较大小。
三、由数学运算要求引起的分类讨论如除法运算中除数不为零,偶次方根为非负,对数运算中底数的要求,指数运算中底数的要求,不等式两边同乘以一个正数、负数,三角函数的定义域等。
例如:若a>0且a≠1,p=loga(a2+a+1),q=loga(a2+a+1),则p、q的大小关系是(A)p=q;(B)pq;(D)当a>1时,p>q;当0四、由图形的不确定性引起的分类讨论有的图形类型、位置需要分类:如角的终边所在的象限;点、线、面的位置关系等。
例如:如图所示,矩形ABCD中,AB=1,BC=a(a>0),PA⊥平面AC,且PA=1,问BC边上是否存在点Q,使得PQ⊥QD并说明理由。
五、由参数的变化引起的分类讨论某些含有参数的问题,如含参数的方程、不等式,由于参数的取值不同会导致所得结果不同,或对于不同的参数值要运用不同的求解或证明方法。
导数中分类讨论的三种常见类型
导数中分类讨论的三种常见类型在高中数学中，分类讨论思想是解决含有参数的复杂数学问题的重要途径。
分类讨论就是当问题所给的研究对象不能进行统一的研究处理时，对研究对象按照某种标准进行分类，然后对每一类的对象进行分别的研究并得出结论，最后综合各类的研究结果对问题进行整体的解释。
虽然几乎所有的高中生都对分类讨论思想有所了解，但能正确运用分类讨论思想解决问题的不到一半。
主要原因是对于一个复杂的数学问题不知道该不该去分类以及如何进行合理的分类。
下面根据导数中三种比较常见的分类讨论类型谈谈导数中如何把握对参数的分类讨论。
第一种分类讨论类型是导函数根的大小比较。
例如，对于函数$f(x)=x^3+x-ax-a$，$x\in R$，我们需要求其单调区间。
对三次或三次以上的函数求单调区间，基本上都是用求导法。
因此，对函数$f(x)$进行求导可以得到导函数$f'(x)=x^2+(1-a)x-a$。
观察可知导函数可以因式分解为$f'(x)=(x-a)(x+1)$，由此可知方程$f'(x)=0$有两个实根$x_1=a$和$x_2=-1$。
因此，要讨论函数$f(x)$的单调性，需要讨论两个根的大小。
因此，这里分$a-1$三种情况进行讨论。
当$a<-1$时，$f(x)$，$f'(x)$随$x$的变化情况如下：$x\in(-\infty,a)$时，$f(x)$单调递增；$x\in(a,-1)$时，$f(x)$单调递减；$x=-1$时，$f(x)$有极小值；$x\in(-1,+\infty)$时，$f(x)$单调递增。
因此，函数$f(x)$的单调递增区间为$(-\infty,a)$和$(-1,+\infty)$，单调递减区间为$(a,-1)$。
当$a=-1$时，$f'(x)\geq 0$在$R$上恒成立，所以函数$f(x)$的单调递增区间为$(-\infty,+\infty)$，没有单调递减区间。
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常见分类讨论类型一、分类讨论思想在立体几何中的应用1 ．有四根长都为2的直铁条,若再选两根长都为a 的直铁条,使这六根铁条端点处相连能够焊接成一个三棱锥形的铁架,则a 的取值范围是 （ ）A ．B ．(1,)C ．D ．(0,)【答案】【答案】A【命题立意】本题考查了学生的空间想象能力以及灵活运用知识解决数学问题的能力.【解析】根据条件,四根长为2的直铁条与两根长为a 的直铁条要组成三棱镜形的铁架,有以下两种情况:(1)地面是边长为2的正三角形,三条侧棱长为2,a,a,如图,此时a 可以取最大值,可知AD=,SD=,则有<2+,即,即有(2)构成三棱锥的两条对角线长为a,其他各边长为2,如图所示,此时a>0; 综上分析可知a∈【编号】45690 【难度】较难2 ．共点的三条直线可以确定几个平面_______________【答案】1个或3个【编号】41766 【难度】简单二、分类讨论思想在集合中的应用3 ．已知集合22{|40},{|0}A x x x B x x ax a =+==++=，若B A ⊆，求实数a 的取值范围。
【答案】解：{0,4}A =-①B =Φ时，240a a ∆=-<，即04a <<4分 ②B ≠Φ时，即{0}B =或{4}B =-或{4,0}B =- 当{0}B =时，0a =满足题意；当{4}B =-，{4,0}B =-时，不满足题意10分 综上所述：a 的取值范围是04a ≤<12分【编号】36832 【难度】较难+228a <+=4 ．已知集合2{|230,}A x mx x m R =-+=∈，若A 中元素至多只有一个，求m 的取值范围。
【答案】解:①当0m =时，32x =，满足题意。
4分 ②当m ≠0时，方程2230mx x -+=至多只有一个解，则0∆≤，即4120m -≤，13m ∴≥10分综上所述，m 的取值范围是0m =或13m ≥12分【编号】36828 【难度】一般5 ．已知集合2{|(2)10,}A x x a x x R =+++=∈，若{|0}Ax R x ∈>=∅，求实数a的取值范围。
【答案】解：当A ≠∅时，由{|0}Ax R x ∈>=∅知A 的元素为非正数，即方程2(2)10x a x +++=没有正数根。
则由2(2)40(2)0a a ⎧∆=+-≥⎨-+<⎩，解得0a ≥当A =∅时仍满足{|0}A x R x ∈>=∅，此时2(2)40a ∆=+-<，解得40a -<<综上，的(4,)a ∈-+∞【编号】32168 【难度】较难三、分类讨论思想在函数中的应用6 ．求函数2||1y x x a =+-+的值域。
【答案】解：221()1x x a y f x x x a ⎧+-+⎪==⎨-++⎪⎩2213()()2413()()24x a x a x a x a ⎧++-≥⎪⎪=⎨⎪-++<⎪⎩ （1）当12a ≤-时，如图1知13()24y f a ≥-=-（2）当1122a -<<时，如图知2()1y f a a ≥=+（3）当12a >时，如图3 知，13()24y f a ≥=+综上所述：当12a ≤-时，值域为3[,)4a -+∞（2）当1122a -<<时，值域为2[1,)a ++∞ 当12a >时，值域为3[,)4a ++∞【编号】11218 【难度】较难7 ．已知二次函数.92)1(42)(22++---=a a x a x x f(1)若在[-1,1]上至少存在一个实数m,使得,0)(>m f 求实数a 的取值范围; (2)若对任意]1,1[-∈m ,都有0)(>m f ,求实数a 的取值范围【答案】解:函数)(x f 的图象是口向上的抛物线,其对称轴为x=a-1. 问题(1等价于“对于0)(],1,1[max >-∈x f x 有即可)讨论如下:①当0152)1()(,1012max >+--==≤≤-a a f x f a a 时即解得1535≤<-∴<<-a a②当076)1()(,1012max >++-=-=>>-a a f x f a a 时即解设7171<<∴<<-a a综上所述)7,5(,75-<<-的范围是即实数a a问题(2)等于“对于0)(],1,1[min >-∈x f x 有”讨论如下: ①当076)1()(,0112min >++-=-=<-<-a a f x f a a 时即 得01071<<-∴<∴<<-a a a②当时即20111≤≤≤-≤-a a恒成立时而当0763,20,763)1()(22min >++-≤≤++-=-=a a a a a a f x f20≤≤∴a③当0152)1()(,2112min >+--==>>-a a f x f a a 时即 得32235<<∴><<-a a a 又 综上所述,a 的范围是(-1,3)【编号】43953 【难度】较难 8 ．已知a 是实数,函数()2223f x ax x a =+--.如果函数()y f x =在区间[]1, 1-上有零点,求a 的取值范围.【答案】参考答案:略解:若0a=, ()23f x x =- ,显然在[]1, 1-上没有零点, 所以0a ≠.令 ()248382440a a a a ∆=++=++=, 解得32a -±=. ① 当a =时, ()y f x =在[]1, 1-上恰有一个零点; ② 当()()()()11150f f a a -⋅=--≤,即15a ≤≤时,()y f x =在[]1, 1-上也恰有一个零点.③当()y f x =在[]1, 1-上有两个零点时, 则()()20, 82440,111, 210, 10, a a a a f f >⎧⎪∆=++>⎪⎪-<-<⎨⎪⎪⎪-⎩≥≥ 或()()20, 82440,111, 210, 10.a a a a f f <⎧⎪∆=++>⎪⎪-<-<⎨⎪⎪⎪-⎩≤≤ 解得5a ≥或a <. 综上所求实数a 的取值范围是1a ≥或a ≤. 考查内容:函数的零点与方程根的关系,一元二次方程根的存在性及根的个数 认知层次:b 难易程度:难【编号】42688 【难度】较难四、分类讨论思想在不等式中的应用9 ．解关于x 的不等式：11,(||1)ax a x a+>≠+． 【答案】解：原不等式可化为:10ax x a x a +-->+, (1)(1)0,a x a x a--->+即即(1)(1)()0a x x a --+>(1) 若1,a >则(1)()0x x a -+>,可得原不等式的解集为{|1}x x x a ><-或; (2) 若1,a <则(1)()0x x a -+<.①当11a -<<时,1,a -<得原不等式的解集为{|1}x a x -<<； ②当1a <-时,1a ->,得原不等式的解集为{|1}x x a <<-. 综上, ①当1a <-时, 原不等式的解集为{|1}x x a <<-; ②当11a -<<时,得原不等式的解集为{|1}x a x -<<； ③当1a >时,原不等式的解集为{|1}x x x a ><-或【编号】33684 【难度】较难10．已知集合A ＝{x||x ―a|＜ax ，a ＞0}，若函数()sin cos f x x x ππ=- （x A ∈）是单调函数，求a 的取值范围。
【答案】解：|x ―a|＜ax ⇔01(1)*x a x a ax x a x a ax a x a >⎧⎪⎪->-⇒>⎨+⎪-<⇒-<⎪⎩（）对于（*）当1a ≥时1a x a >-；当01a <<时1ax a-< ∴当1a ≥时原不等式解集为1a a +∞+（，）；当01a <<时解集为11a aa a+-（，）。
()sin cos )4f x x x x ππππ=-=-，当1a ≥时显然不单调。
()f x 的单调区间为132,2)44k k -+（和372,2)44k k ++（ ()k Z ∈而1012a a <<+，故11a a a a +-（，）13,)44⊆-（即：01114314a a a a a <<⎧⎪⎪≥-⎨+⎪⎪≤-⎩ ∴3(0,]7a ∈【编号】30901 【难度】较难 11．解关于x 的不等式：).(02R a ax ax ∈<-- 【答案】解：○1当a=0或1时,解集为；○2当a<0或a>1时解集为;○3当0<a<1时解集为.【编号】30775 【难度】较难五、分类讨论思想在排列组合中的应用12．有6个球，其中3个黑球，红、白、蓝球各1个，现取4个排成一排．问有多少种不同排法？【答案】解：把问题分为三类：第一类：取3个黑球，在三个彩球中取一个的取法有13C 种，在三个黑球所产的四个空中，选一个空给彩球有14A 种，因此取三个黑球的方法为1413A C ⋅＝12种．第二类：取2个黑球，在三个彩球中选两个有23C 种，然后在四个位置中给彩球两个位置有14A ，剩下两个位置给两个黑球，只有一种排法．故有2423A C ⋅＝36种．第三类：取一个黑球，把3个彩球全部取出有33C 种取法，四球的全排列为44P ，共有4433A C ⋅＝24种．所以满足条件的排法有1413A C ⋅＋2423A C ⋅＋4433A C ⋅＝72种．【编号】3768 【难度】很难六、分类讨论思想在数列中的应用13．已知二次函数2()()R f x x ax a x =-+∈同时满足:①不等式()0f x ≤的解集有且只有一个元素;②在定义域内存在120x x <<,使得不等式12()()f x f x >成立.设数列}{n a 的前n 项和()n S f n =.(1)求函数()f x 的表达式; (2)求数列{}n a 的通项公式;(3)设各项均不为零的数列{}n c 中,所有满足10i i c c +⋅<的整数i 的个数称为这个数列}{n c 的变号数.令1n nac a =-(n 为正整数),求数列{}n c 的变号数.【答案】(1)0)(≤x f 的解集有且只有一个元素,24004,a a a a ∴∆=-=⇒==或当a =4时,函数2()44(0,2)f x x x =-+在上递减 故存在210x x <<,使得不等式12()()f x f x >成立.当a =0时,函数2()(0,)f x x =+∞在上递增故不存在120x x <<,使得不等式12()()f x f x >成立. 综上,得a =4,2()44f x x x =-+. (2)由(1)可知244n S n n =-+, 当n =1时,111a s ==,当2n ≥时,1--=n n n s s a 22(44)[(1)4(1)4]n n n n =-+----+25n =-,11,1252n n n n a s s n n -=⎧∴=-=⎨-≥⎩(3)由题设3,141,225n n c n n -=⎧⎪=⎨-≥⎪-⎩, 3n ≥时,144,2523n n c c n n +-=---80,(25)(23)n n =>-- 3n ∴≥时数{}n c 列递增,410,3c =-< 410525n n ->⇒≥-,可知450c c ⋅<. 即3n ≥时,有且只有1个变号数;又12312233,5,3,0,0c c c c c c c =-==-⋅<⋅<即, 综上得数列}{n c 的变号数为3.【编号】48693 【难度】很难14．等比数列{}n a 中,123,,a a a 分别是下表第一、二、三行中的某一个数,且123,,a a a 中的任何两个数不在下表的同一列.(1)求数列{}n a 的通项公式;(2)若数列{}n b 满足:(1)ln nn n n b a a =+-,求数列{}n b 的前n 项和n S .【答案】 解:(1)当13a =或110a =时,均不合题意当12a =时,当且仅当236,18a a ==时,因此12a =,236,18a a ==,所以公比3q =,故123.n n a -=⋅ (2)11(1)ln 23(1)ln(23)n n n n n n n b a a --=+-=⋅+-⋅123(1)[ln 2(1)ln 3]n n n -=⋅+-+-123(1)(ln 2ln 3)(1)ln 3n n n n -=⋅+--+-所以12(133)[11(1)](ln 2ln 3)[123(1)]ln 3n n n n S n -=++++-+++--+-+-++-所以,当n 为偶数时,132ln 33ln 311322n n n n nS -=⨯+=+-- 所以,当n 为奇数时,1312(ln 2ln 3)()ln 3132n n n S n --=⨯--+-- 13ln3ln 212n n -=---【编号】48001 【难度】一般七、分类讨论思想在圆锥曲线中的应用15．已知动直线l 与椭圆C :22132x y +=交于1122(,),(,)P x y Q x y 两不同点,且OPQ ∆的面积2OPQ S ∆=,其中O 为坐标原点.(1)证明:2212x x +和2212y y +均为定值;(2)设线段PQ 的中点为M ,求||||OM PQ ⋅的最大值;(3)椭圆C 上是否存在三点,,D E G ,使得ODE ODG OEG S S S ∆∆∆===若存在,判断DEG ∆的形状;若不存在,请说明理由.【答案】(1)证明:①当直线l 的斜率不存在时,,P Q 两点关于x 轴对称所以1212,x x y y ==-,因为11(,)P x y 在椭圆上,因此2211132x y +=,又因为2OPQ S ∆=,所以11||||2x y =解得:11||||12x y ==,此时22123x x +=,22122y y += ②当直线l 的斜率存在时,设直线l 的方程为y kx m =+由题意知0m ≠,将其代入22132x y +=得:222(23)63(2)0k x kmx m +++-=其中 22223612(23)(2)0k m k m ∆=-+->,即2232k m +>(★)又212122263(2),2323km m x x x x k k -+=-=++所以||PQ ==因为点O 到直线l 的距离为d =所以21|||||223OPQm S PQ d PQ k ∆=⋅==+,又OPQS ∆=所以2232m k =+,整理得:22322k m +=,且符合(★)式 此时222221212122263(2)()2()232323km m x x x x x x k k-+=+-=--⨯=++ 222222*********(3)(3)4()2333y y x x x x +=-+-=-+=综上所述,22123x x +=,22122y y +=,结论成立.(2)解:因为222222121221214||||()()()()OM PQ x x y y x x y y +=++++-+-222212122[()()]10x x y y =+++=所以224||||102||||522OM PQ OM PQ +⋅≤==,即5||||2OM PQ ⋅≤当且仅当2||||OM PQ == 因此||||OM PQ ⋅的最大值为5.2(3)解:椭圆C 上是不存在三点,,D E G ,使得ODE ODG OEG S S S ∆∆∆===证明:假设存在1122(,),(,),(,)D u v E x y G x y 满足2ODE ODG OEG S S S ∆∆∆===由(1)得22222212123,3,3u x u x x x +=+=+=;22222212122,2,2v y v y y y +=+=+=解得:2221232u x x ===;222121v y y ===因此12,,u x x 只能从±中选取,12,,v y y 只能从1±中选取因此,,D E G 只能在(1)±这四点中选取三个不同点而这三点的两两连线中必有一条过原点,与2ODE ODG OEG S S S ∆∆∆=== 所以椭圆C 上不存在满足条件的三点,,.D E G【编号】48003 【难度】一般16．已知点(0,2)A ,过点A 作直线与抛物线22y x =-有且仅有一个公共点,求出直线方程.【答案】解⑴当过点A 的直线没有斜率时,方程为0x =与抛物线22y x =-切于点(0,0)｡⑵当过点A 的直线有斜率时设斜率为k ,方程为2y kx =+,代入22y x =-得:22(21)40kx k x +++=｡①当0k =时,直线为2y =,与抛物线22y x =-只交于一点(-2,2) ②当0k ≠时,△=0⇒14k =-,⇒ 直线:480x y +-= 综上所述:所求直线方程为0x =和2y =及480x y +-=｡【编号】42907 【难度】一般八、分类讨论思想在实际问题中的应用17. 有一批货物，如在本月初出售，可获利10万元，然后将本利都存入银行，每月利率为%4.2，如在下月出售，可获利12万元，但要付5.0万元货物保管费，试问这批货物在本月初出售合算还是下月初出售合算?解 设这批货物的成本a 万元．⑴ 若这批货物在本月初出售，将本利存入银行，到下月初货主有金额()()%4.2110++=a m ；⑵ 若这批货物在下月初出售，货主有金额为5.012-+=a n ；⑶ ()5.52024.026.1024.0-=-=-a a n m ，第11页，共11页 ∴当成本5.52>a 时，应该本月初出售合算；当成本5.52=a 时，在本月初出售或下月初出售都一样； 当成本5.52<a 时，在下月初出售合算．。