空间几何证明知识点习题

高三文科数学复习资料 一、空间基本元素：直线与平面之间位置关系的小结．如下图： 条件 结论 线线平行 线面平行 面面平行 垂直关系

线线平行 如果a∥b，b∥c，那么a∥c 如果a∥α，aβ，β∩α=b，那么a∥b 如果α∥β，α∩γ=a，β∩γ=b，那么a∥b 如果a⊥α，b⊥α，那么a∥b

线面平行 如果a∥b，aα，bα，那么a∥α —— 如果α∥β，aα，那么α∥β ——

面面平行 如果aα，bα，cβ，dβ，a∥c，b∥d，a∩b=P，那么α∥β 如果aα，bα,a∩b=P,a∥β,b∥β，那么α∥β 如果α∥β，β∥γ，那么α∥γ 如果a⊥α，a⊥β，那么α∥β

条件 结论 线线垂直 线面垂直 面面垂直 平行关系

线线垂直 二垂线定理及逆定理 如果a⊥α，bα，那么a⊥b 如果三个平面两两垂直，那么它们交线两两垂直

如果a∥b，a⊥

c，那么b⊥c

线面垂直 如果a⊥b，a⊥c，bα，cα，b∩c=P，那么a⊥α —— 如果α⊥β，α∩β=b，aα,a⊥b，那么a⊥β

如果a⊥α，b∥

a，那么b⊥α

面面垂直 定义（二面角等于900） 如果a⊥α，aβ，那么β⊥α —— ——

一．选择题 1.(2010湖北文数)用a、b、c表示三条不同的直线，y表示平面，给出下列命题： ①若a∥b，b∥c，则a∥c；②若a⊥b，b⊥c，则a⊥c； ③若a∥y，b∥y，则a∥b；④若a⊥y，b⊥y，则a∥b.

A. ①② B. ②③ C. ①④ D.③④ 2．（2010山东文数）在空间，下列命题正确的是（ ）. A．平行直线的平行投影重合 B．平行于同一直线的两个平面平行 C．垂直于同一平面的两个平面平行 D．垂直于同一平面的两条直线平行

3、（2010年山东卷）在空间，下列命题正确的是 （A）平行直线的平行投影重合 (B)平行于同一直线的两个平面 （C）垂直于同一平面的两个平面平行 （D）垂直于同一平面的两个平面平行 二、解答题： 1. （2011年高考山东卷文科19)（本小题满分12分） 如图，在四棱台1111ABCDABCD中，1DD平面ABCD，底面ABCD是平行四边形，AB=2AD，11AD=AB，BAD=60°. （Ⅰ）证明：1AABD； （Ⅱ）证明：11CCABD∥平面.

2 （2011年高考全国新课标卷文科18)（本小题满分12分） 如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，60DAB，ABCDPDADAB底面,2，

（1）证明：BDPA; (2) 设，1ADPD求三棱锥D-PBC锥的高.

3. （2011年高考福建卷文科20)（本小题满分12分） 如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，点E在线段AD上，且CE∥AB。 （1） 求证：CE⊥平面PAD；

（11）若PA=AB=1，AD=3，CD=2，∠CDA=45°，求四棱锥P-ABCD的体积

4. （2011年高考湖北卷文科18)如图，已知正三棱柱111ABCABC的底面边长为2，侧棱长为32，点E在侧棱1AA上，点F在侧棱1BB上，且222BF，AE. (Ⅰ)求证：ECCF1 (Ⅱ)求二面角 1CCFE的大小.

E a2aB

DC

A

p 5.(2010重庆文数)如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，PA底面ABCD，2PAAB，点E是棱PB的中点.证明：AE平面PBC；

6．（2010湖南文数）如图所示，在长方体1111ABCDABCD中，AB=AD=1，AA1=2，M是棱CC1的中点． 证明：平面ABM⊥平面A1B1M．

7、（2010年全国卷）如图，已知四棱锥PABCD的底面为等腰梯形，AB∥CD,ACBD,垂足为H，PH是四棱锥的高。 （Ⅰ）证明：平面PAC 平面PBD;

AB

CDH

P（Ⅱ）若6AB,APBADB60°,求四棱锥PABCD的体积。 空间图形位置的几何证明

异面但不垂直相交但不垂直垂直平行的位置关系、上的动点，则直线是的中点，是的中心，是底面正方形中，，正方体如图，，∥，，∥，，∥，∥，的一个充分条件是，、和平面、对于直线无最小值，最大值为，无最大值最小值为，最大值为最小值为，最大值为最小值为所成的角与异面的任意直线，则内与是平面的斜线，是平面角，成与平面直线至少有一个平面垂直与过至少有一个平面平行与过平行、至多有一个平面分别与都垂直、至多有一条直线与题正确的是是异面直线，则以下命、若一、选择题....28.4.....32..2...2.....11111111DCBAAEPOBAPDDEABCDODCBAABCDnmnmDmnnmCnmnmBnmnmAnmDCBAbaaabaaaabaDbaCbaBbaAba

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

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•••baDbaCbaBbaAbaballPDPClPBPAlPPlDmlmCmBmlAmmllml且∥且且∥∥　且∥的一个条件是所成的角为定值、是是空间两条直线，则能，角，若是大小确定的一个二面已知的平面垂直与且垂直与过点内的直线在且垂直于过点内的直线在且垂直于过点的直线平行于且垂直于过点是题命假，则下列命题中的，，且点，若平面且∥且∥∥且且，那么必有和，∥，满足：、、与平面、如图直线.....7.....6.....5

 可）（只需写出一个截面即一个截面试写出满足这样条件的成角相等，条棱所在直线与截面所使正方体的做截面，中过点正方体如图平面⑤平面平面④平面平面③平面平面②平面平面①平面下列五个结论正确的是，平面，中，所示，已知三棱锥如图的最小值为上一动点，则是，，面，，，中，在二、填空题不可能是相交直线不可能是平行直线一定是相交直线一定是异面直线与，那么平行于直线是异面直线，直线，已知相交与平行，则与平面是异面直线，若，设，则是直二面角，若直线设二面角平行内或与平面在，则和一条直线，且内的射影依次是一个点在平面，若直线∥，则都平行于平面，若直线是在下列命题中，真命题个个个个其中正确的命题个数是，则，，④若∥，则，③，则，∥②若∥，则，①若下列四个命题是两个不同的平面，则、是两条不同的直线，、设12.31.1330.12''430890.11.....10.....93.2.1.0..81111ADCBAABCDABCPBCPABPACABCPACABCPABPBCPABPACBCPCPAABCPPPABPPCABCPCABCABCABCDCBAbcacbanmnmDmlmlCnnmnmBnmnmADCBAbabaaaabababa



的大小，求这时二面角，使得边上有且只有一个点）若（，并说明理由，使得边上是否存在一点）问（，且平面，中，已知矩形三、解答题APDQQDPQQBCQDPQQBCPAABCDPAaaBCABABCD211),0(1.14 若不存在，说明理由，若存在，求出平面，使上是否存在点的中点，在线段为的中点，为，，形，为直角的等腰直角三角中，底面是以直三棱柱||32.15111111111AFDFBCFFAACBECADaBBaACABCCBAABC

，请说明理由若有，请求出；若没有和最小值，所成的角是否有最大值与平面上任意一点，问为正方体对角线）设（）求证：（中点，如图为中，的正方体已知棱长为1111111121341.16PEBCACAPBDCAABEDCBAABCD

专题八 空间图形位置的几何证明（答案） 一、 二、CABDABCAD1111.13.1272.11或平面或平面平面①③ 三、

BDCABDBDCABDCAEBCBAzyxDDDCDADDFBCFaaAFabababbaCFFBDBCFaaDBCFaaDBabaFBbaaCFbaFbAFDBCFFBCFDFBCFFaBaaCaaAaAaCBaBCABABCaACzyxBBBCBABnABnABAPADABnAPADAPADABPDnCDQCAPADABQDnAPADABnPQDABPADBCQxxxaQaaQaaaxxxaxCDBCQCQBCDQCAPBAQBQDQPCDQCQDAPBAQBQPxaQCxBQ11111111211221111111111222)0,1,1(),1,1,1()0,1,1(),1,1,1()0,21,1()1,1,1(),0,1,0(),0,1,1(),0,0,1()1(.162||20)3(2,0)0,22,22(),3,0,2(),,2,2(),,0,2(||)3,0,0(),3,2,0(),3,0,2(),0,0,2(),0,2,0(),0,0,0(2,90,2.1566arccos664111||||cos,221,2,2104)()(021)()(1012.2)2(202204011)(,,.)1(.14系，则：轴，建立空间直角坐标轴，轴，分别为、、为坐标原点，以证明：以解：平面时，或故当或恒成立，则，不妨设，且，只要平面，要使假设存在点系轴，建立空间直角坐标轴，轴，分别为、、为坐标原点，以解析：以则记二面角为解得及，则由的法向量为，设平面法向量是之中点，由于平面点恰为，即得此时，由时，当存在唯一点时，这样的点不存在当时，只存在一个点存在；当时，点因此，当须欲使这个方程有解，必）（）（由则设解：

