初中平面几何证明题

初中几何证明练习题
1.如图，在△ABC 中，BF ⊥AC ，CG ⊥AD ，F 、G 是垂足，D 、E 分别是BC 、FG 的中点，求证：DE ⊥FG
证明:连接DG 、DF
∵∠BGC=90°，BD=CD
∴DG=
2
1BC 同理DF=21BC ∴DG=DF
又GE=FE
∴DE ⊥FG
2.如图，AE ∥BC,D 是BC 的中点，ED 交AC 于Q ，ED 的延长线交AB 的延长线于P ，求证：PD·QE=PE·QD
证明：∵AE ∥BC
∴△CDQ ∽△AEQ ∴AE
CD QE QD = ∵BD ∥AE
△PBD ∽△PAE ∴PE
PD AE BD = ∵BD=CD ∴PE PD AE CD = 3.如图，已知点P 是圆O 的直径AB 上任一点，∠APC=∠BPD ，其中C ，D 为圆上的点，求证：△P AC ∽△PDB
证明：过点D 作直径AB 的垂线交AB 于E ，交圆O 于F
连接PF 、BF ∵AB ⊥DF ∴⌒BD =⌒BF ,DE=FE ∴BD=BF
又∠BED=∠BEF=90°
∴△BED ≌△BEF
∴∠DBE=∠FBE
又BD=BF,BP=BP
∴△PBD ≌△PBF
∴∠BPD=∠BPF ，∠PDB=∠PFB
∵∠APC=∠BPD
∴∠APC=∠BPF
∵∠APC+∠CPD+∠BPD=180°
∴∠BPF+∠CPD+∠BPD=180° ∴PE PD QE QD = ∴PD·QE=PE·QD
即∠CPF=180° ∴C 、P 、F 三点共线 ∵C 、A 、F 、B 四点
共圆 ∴∠CAB=∠CFB 又∠CFB=∠PDB ∴∠CAB=∠PDB 又∠APC=∠BPD ∴△PAC ∽△PDB
4.如图，分别以△ABC 的边AB 、AC 为边，向外作正方形ABFG 和ACDE ，连接EG
求证：ABC AEG S S =△△ 证明：BAC sin AC AB 21ABC ∠⨯⨯=△S GAE sin AE AG 2
1AEG ∠⨯⨯=△S ABFG 和ACDE 都是正方形
∴∠BAG+∠CAE=180°，AB=AG ，AC=AE
∴∠BAC+∠GAE=180°
∴∠BAC=180°-∠GAE Sin ∠BAC=sin （180°-∠GAE ）=sin ∠GAE
∴ABC AEG S S =△△
5.已知：如图，在四边形ABCD 中，AD ＝BC ，M 、N 分别是AB 、CD 的中点，AD 、BC 的延长线交MN 于E 、F ．
求证：∠DEN ＝∠F ．
证明：连接BD ，取BD 的中点G ，连接GM 、GN
∵DN=CN ，DG=BG
∴NG ∥BF ，NG=12
BC ∴∠GNM=∠F ，
同理MG ∥AE ，MG=12
AD ∴∠GMN=∠DEN
又BC=AD
∴NG=MG
∴∠GNM=∠GMN
∴∠DEN=∠F
6.设MN 是圆O 外一直线，过O 作OA ⊥MN 于A ，自A 引圆的两条直线，交圆于B 、C 及D 、E ，直线EB 及CD 分别交MN 于P 、Q ．
求证：AP ＝AQ ．
证明：作点E 关于AG 的对称点F ，连接FC 、FA 、FQ
∵AG 是圆O 的对称轴
∴AE=AF ∴∠AFE=∠AEF
∵EF ⊥AG ，PQ ⊥AG
∴EF ∥PQ ∴∠AFE=∠FAP
∵C 、D 、E 、F 四点共圆
∴∠AEF+∠FCD=180°
又∠FAP+∠FAQ=180°
∴∠FCD=∠FAQ
∴A 、C 、F 、Q 四点共圆
∴∠ACQ=∠AFQ
又∠ACQ=∠BED G
∴∠AFQ=∠BED ∵AE=AF ，AG ⊥EF ∴∠EAG=∠FAG 又∠PAG=∠QAG ∴∠PAE=∠QAF 在△PAE 和△QAF 中 ∠PEA=∠QFA AE=AF ∠PAE=∠QAF ∴△PAE ≌△QAF ∴AP=AQ
7、如果上题把直线MN 由圆外平移至圆内，则由此可得以下命题：
设MN 是圆O 的弦,过MN 的中点A 任作两弦BC 、DE,设CD 、EB 分别交MN 于P 、Q ． 求证：AP ＝AQ ．
证明：过点O 作OF ⊥CD 于F ，过点O 作OG ⊥BE 于G
连接OP 、OA 、OQ 、AF 、AG
∵AM=AN ∴OA ⊥MN
又OF ⊥CD ∴A 、O 、F 、P 四点共圆
∴∠AFP=∠AOP
又∠OAQ=∠OGQ=90°
∴A 、O 、G 、Q 四点共圆
∴∠AGQ=∠AOQ 又∠D=∠B ，∠C=∠E
∴△ACD ∽△AEB ∴GB
FD GB 2FD 2EB CD AB AD === 又∠D=∠B
∴△AFD ∽△AGB
∴∠AFD=∠AGB
又∠AFD+∠AFP=180°
∠AGB+∠AGQ=180°
∴∠AFP=∠AGQ
∴∠AOP=∠AOQ
又OA=OA ，
∠OAP=∠OAQ
∴△AOP ≌△AOQ
∴AP=AQ
8如图，⊙O 中弦AC ，BD 交于F ，过F 点作EF ∥AB ，交DC 延 长线于E ，过E 点作⊙O 切线EG ，G 为切点，求证：EF=EG
证明：∵AB ∥EF
∴∠A=∠EFC
又∠A=∠D
∴∠EFC=∠D
又∠CEF=∠FED
∴△CEF ∽△FED ∴EF
EC ED EF = ∴ED EC EF 2⨯=
又EG 是⊙O 的切线
∴ED EC EG 2
⨯=
∴EF=EG
O M 10. 如图，分别以△ABC 的边AB 、AC 为边，向外作正方形ABFG 和ACDE ，连接BE ，CG 求证：
（1）BE =CG
（2）BE ⊥CG
证明：∵ABFG 和ACDE 都是正方形
∴AB=AG ，AE=AC ，
∠BAG=∠CAE
∴∠BAG+∠BAC=∠CAE+∠BAC 即∠EAB=∠CAG
∴△ABE ≌△AGC ∴∠AGC=∠ABE ，BE=CG
∵∠AGC+∠AMG=90°
∴∠ABE+∠AMG=90°
又∠AMG=∠BMC
∴∠ABE+∠BMC=90°
∴∠BOM=90°
∴BE ⊥CG
11. 如图，分别以△ABC 的边AB 、AC 为边，向外作正方形ABFG 和ACDE ，连接CE ，BG 、GE M 、N 、P 、Q 分别是EG 、GB 、BC 、CE 的中点
求证：四边形MNPQ 是正方形
证明：连接BE 、CG 相较于H ，CG 与AB 相交于O
∵ABFG 和ACDE 都是正方形
∴AB=AG ，AE=AC ，∠BAG=∠CAE=90°
∴∠BAG+∠BAC=∠CAE+∠BAC 即∠EAB=∠CAG ∴△ABE ≌△AGC ∴∠AGC=∠ABE ，BE=CG
∵∠AGC+∠AOG=90°
∴∠ABE+∠AOG=90° 又∠AOG=∠BOC ∴∠ABE+∠BMC=90° ∴∠BOM=90°∴BE ⊥CG ∵NG=NB ，PB=PC ∴PN ∥CG ，PN=12 CG 同理MQ ∥CG ，MQ=12
CG MN ∥BE ，MN=12
BE PQ ∥BE ，PQ=12
BE 又∵BE=CG
∴PN=MQ=MN=PQ O
H I J ∴MNPQ 是菱形 ∵MN ∥BE ，BE ⊥CG ∴MN ⊥CG 同理PN ⊥BE ∴NIHJ 是矩形
∴∠MNP=90° ∴MNPQ 是正方形。