平面几何的证明方法
平面几何-五大定理及其证明
平面几何定理及其证明梅涅劳斯定理1 .梅涅劳斯定理及其证明 定理：一条直线与 ABC 的三边AB BC CA 所在直线分别交于点 D E 、F ,且D E 、F 均证明：如图，过点C 作AB 的平行线，交EF 于点G. 因为 CG // AB ，所以 CG CF --------------------- （ 1）AD FA因为 CG // AB ，所以 EC （ 2） DB BEC F ，即得 AD C FEC FA DB EC FA2.梅涅劳斯定理的逆定理及其证明定理：在 ABC 的边AB BC 上各有一点 D E ,在边 AC 的延长线上有一点 F ,若二、 塞瓦定理3 .塞瓦定理及其证明定理：在ABC 内一点P,该点与ABC 的三个顶点相连所在的 三条直线分别交 ABCE 边AB BC CA 于点D E 、F ,且D E 、F 三点均不是 ABC不是ABC 的顶点，则有AD BECF 1DB EC由（1）宁（2） DB可得兀AD BE CF DB EC FA1，那么，D E 、F 三点共线.证明：设直线EF 交AB 于点D ，则据梅涅劳斯定理有AD /BE CF 丽EC FA因为AD Bl CF DB EC FA1，所以有誥段AB 上，所以点D 与D 重合.即得D鴿.由于点D D 都在线 E 、F 三点共线.证明：运用面积比可得 ADDB S ADP S BDPS ADC S BDC根据等比定理有S ADP S ADCSADC S ADP S APCSSBDPBDCSBDCSBDPS的顶点，则有AD BE CF “1 DB EC FA .所以AD S A PC .同理可得BE SDB S BPCAPB, CFEC S APC FA SBPCS APB三式相乘得竺吏 DB EC CF i FA 4.塞瓦定理的逆定理及其证明 定理：在 ABC 三边AB BC CA 上各有一点 H 1，那么直线CD AE BF 三线共点. DE 、F ,且 D E 、 F 均不是 ABC 的顶点,AD BE若 DB EC证明：设直线AE 与直线BF 交于点P,直线CP 交AB 于点D ,则 据塞瓦定理有 AD Z DBBE EC CA1 -1,所以有 段AB 上，所以点D 与D 重合.即得 因为竺 DB EC CF FA AD DB D DDB •由于点D D 都在线 E 、F 三点共线.三、西姆松定理 5.西姆松定理及其证明 定理：从 ABC 外接圆上任意一点 F ,则D E 、F 三点共线. 证明：如图示，连接PC ,连接EF P 向BC CA AB 或其延长线引垂线, 垂足分别为DE、交BC 于点D ，连接P D• 因为PE 因为A 、 所以， 共圆. 所以， 即 PD BC 由于过点 F D E 、 四、 6 AE,PF AF,所以A 、F 、P 、E 四点共圆，可得B 、P 、C 四点共圆，所以 FEP = BCP 即 DEP = CDP + CEP = 180°。
平面几何证明题的解题方法
平面几何证明题的解题方法平面几何证明题是数学中的重要内容之一，通过证明题的解答，我们可以深入理解几何学的概念和性质。
然而，解答平面几何证明题并非易事，需要灵活运用多种证明方法和技巧。
本文将介绍几种常用的解题方法，帮助读者更好地应对平面几何证明题。
一、直接证明法直接证明法是解答平面几何证明题的基础方法之一。
它通过逻辑推理和已知条件与结论之间的关系，一步步地证明结论的正确性。
在使用直接证明法时，首先要仔细分析所给条件和待证明结论。
根据已知条件，可以运用各种几何定理和性质，逐步推导出结论，直至得到所要证明的结论。
例如，对于“证明三角形ABC的三条中线交于一点”的证明题，我们可以先通过已知条件得出三角形ABC的三条中线等长，再利用中位线的性质得出这三条中线交于一点的结论。
二、反证法反证法是解答平面几何证明题的另一种常用方法。
它通过假设所要证明的结论不成立，推导出一个与已知条件矛盾的结论，从而证明所要证明的结论成立。
在运用反证法时，我们需要首先假设所要证明的结论不成立，然后通过推理，得出一个矛盾的结论，以此证明原命题的正确性。
例如，对于“证明等腰三角形的底角相等”的证明题，我们可以先假设等腰三角形的底角不相等，然后推导出一个与已知条件矛盾的结论，例如底边不等长或者顶角不等于90度，从而证明等腰三角形的底角相等的结论成立。
三、合同法合同法是一种常用于证明线段或角相等的证明方法。
通过构造相等的辅助线段或角，以达到证明所要求的结论。
在使用合同法时，我们需要根据已知条件和待证明的结论，合理构造辅助线段或角，并利用几何定理和性质证明这些辅助线段或角相等，从而得出所要证明的结论。
例如，对于“证明两个三角形全等”的证明题，我们可以通过构造辅助线段或角，使得两个三角形的对应边或对应角相等，然后运用全等三角形的性质，推导出两个三角形全等的结论。
四、相似法相似法是一种常用于证明平行线、比例关系和相似三角形等性质的证明方法。
通过证明对象与已知对象之间的相似关系，来推导出所要求的结论。
十大高中平面几何几何定理汇总及证明
高中平面几何定理汇总及证明1.共边比例定理有公共边AB的两个三角形的顶点分别是P、Q,AB与PQ的连线交于点M,则有以下比例式成立：△ PAB的面积：△ QAB的面积＝PM：QM.证明：分如下四种情况,分别作三角形高,由相似三角形可证S△PAB=S△PAM-S△PMB=S△PAM/S△PMB-1×S△PMB=AM/BM-1×S△PMB等高底共线,面积比=底长比同理,S△QAB=AM/BM-1×S△QMB所以,S△PAB/S△QAB=S△PMB/S△QMB=PM/QM等高底共线,面积比=底长比定理得证特殊情况：当PB∥AQ时,易知△PAB与△QAB的高相等,从而S△PAB=S△QAB,反之,S△PAB=S△QAB,则PB∥AQ;2.正弦定理在任意一个平面三角形中,各边和它所对角的正弦值的比相等且等于外接圆半径的2倍”,即a/sinA = b/sinB =c/sinC = 2r=Rr为外接圆半径,R为直径证明：现将△ABC,做其外接圆,设圆心为O;我们考虑∠C及其对边AB;设AB长度为c;若∠C为直角,则AB就是⊙O的直径,即c= 2r;∵特殊角正弦函数值∴若∠C为锐角或钝角,过B作直径BC`交⊙O于C`,连接C'A,显然BC'= 2r=R; 若∠C为锐角,则C'与C落于AB的同侧,此时∠C'=∠C同弧所对的圆周角相等∴在Rt△ABC'中有若∠C为钝角,则C'与C落于AB的异侧,BC的对边为a,此时∠C'=∠A,亦可推出;考虑同一个三角形内的三个角及三条边,同理,分别列式可得;3.分角定理在△ABC中,D是边BC上异于B,C或其延长线上的一点,连结AD,则有BD/CD=sin∠BAD/sin∠CADAB/AC;证明：S△ABD/S△ACD=BD/CD………… 1.1S△ABD/S△ACD=1/2×AB×AD×sin∠BAD/1/2 ×AC×AD×sin∠CAD= sin∠BAD/sin∠CAD ×AB/AC…………1.2由1.1式和1.2式得BD/CD=sin∠BAD/sin∠CAD ×AB/A C4.张角定理在△ABC中,D是BC上的一点,连结AD;那么;证明：设∠1=∠BAD,∠2=∠CAD由分角定理,S△ABD/S△ABC=BD/BC=AD/ACsin∠1/sin∠BAC→ BD/BCsin∠BAC/AD=sin∠1/AC 1.1S△ACD/S△ABC=CD/BC=AD/ABsin∠2/sin∠BAC→ CD/BCsin∠BAC/AD=sin∠2/AB 1.21.1式+1.2式即得 sin∠1/AC+sin∠2/AB=sin∠BAC/AD5.帕普斯定理直线l1上依次有点A,B,C,直线l2上依次有点D,E,F,设AE,BD交于G,AF,DC交于I,BF,EC交于H,则G,I,H共线;6.蝴蝶定理设S为圆内弦AB的中点,过S作弦CF和DE;设CF和DE各相交AB于点M和N,则S 是MN的中点;证明：过O作OL⊥ED,OT⊥CF,垂足为L、T,连接ON,OM,OS,SL,ST,易明△ESD∽△CSF∴ES/CS=ED/FC根据垂径定理得：LD=ED/2,FT=FC/2∴ES/CS=EL/CT又∵∠E=∠C∴△ESL∽△CST∴∠SLN=∠STM∵S是AB的中点所以OS⊥AB∴∠OSN=∠OLN=90°∴O,S,N,L四点共圆,一中同长同理,O,T,M,S四点共圆∴∠STM=∠SOM,∠SLN=∠SON∴∠SON=∠SOM∵OS⊥AB∴MS=NS7.西姆松定理过三角形外接圆上异于三角形顶点的任意一点作三边或其延长线上的垂线,则三垂足共线;此线常称为西姆松线;证明：若L、M、N三点共线,连结BP,CP,则因PL⊥BC,PM⊥AC,PN⊥AB,有B、L、P、N和P、M、C、L分别四点共圆,有∠NBP = ∠NLP = ∠MLP= ∠MCP.故A、B、P、C四点共圆;若A、P、B、C四点共圆,则∠NBP= ∠MCP;因PL⊥BC,PM⊥AC,PN⊥AB,有B、L、P、N和P、M、C、L四点共圆,有∠NBP = ∠NLP= ∠MCP= ∠MLP.故L、M、N三点共线;西姆松逆定理：若一点在三角形三边所在直线上的射影共线,则该点在此三角形的外接圆上;证明：PM⊥AC,PN⊥AB ,所以A,M,N,P共圆8.清宫定理设P、Q为△ABC的外接圆上异于A、B、C的两点,P关于三边BC、CA、AB的对称点分别是U、V、W,且QU、QV、QW分别交三边BC、CA、AB或其延长线于D、E、F,则D、E、F在同一直线上.证明：A、B、P、C四点共圆,因此∠PCE=∠ABP点P和V关于CA对称所以∠PCV=2∠PCE又因为P和W关于AB对称,所以∠PBW=2∠ABP从这三个式子,有∠PCV=∠PBW另一方面,因为∠PCQ和∠PBQ都是弦PQ所对的圆周角,所以∠PCQ=∠PBQ两式相加,有∠PCV+∠PCQ=∠PBW+∠PBQ即∠QCV=∠QBW即△QCV和△QBW有一个顶角相等,因此但是,,所以同理,于是根据梅涅劳斯定理的逆定理,D、E、F三点在同一直线上;9.密克定理三圆定理：设三个圆C1, C2, C3交于一点O,而M, N, P分别是C1 和C2, C2和C3, C3和C1的另一交点;设A为C1的点,直线MA交C2于B,直线PA交C3于C;那么B, N, C这三点共线;逆定理：如果是三角形,M, N, P三点分别在边AB, BC, CA上,那么△AMP、△BMN、△CPN 的外接圆交于一点O;完全四线形定理如果ABCDEF是完全四线形,那么三角形的外接圆交于一点O,称为密克点;四圆定理设C1, C2,C3, C4为四个圆,A1和B1是C1和C2的交点,A2和B2是C2 和C3的交点,A3和B3是C3和C4的交点,A4和B4是C1和C4的交点;那么A1, A2, A3, A4四点共圆当且仅当B1, B2, B3, B4四点共圆;证明：在△ABC的BC,AC,AB边上分别取点W,M,N,对AMN,△BWN和△CWM分别作其外接圆,则这三个外接圆共点;该定理的证明很简单,利用“圆内接四边形对角和为180度”及其逆定理;现在已知U是和的公共点;连接UM和UN,∵四边形BNUW和四边形CMUW分别是和的内接四边形,∴∠UWB+∠UNB=∠UNB+∠UNA=180度∴∠UWB=∠UNA;同理∠UWB+∠UWC=∠UWC+∠UMC=180度∴∠UWB=∠UMC;∵∠UMC+∠UMA=180度∴∠UNA+∠UMA=180度,这正说明四边形ANUM是一个圆内接四边形,而该圆必是,U必在上;10.婆罗摩笈多定理圆内接四边形ABCD的对角线AC⊥BD,垂足为M;EF⊥BC,且M在EF上;那么F是A D 的中点;证明：∵AC⊥BD,ME⊥BC∴∠CBD=∠CME∵∠CBD=∠CAD,∠CME=∠AMF∴∠CAD=∠AMF∴AF=MF∵∠AMD=90°,同时∠MAD+∠MDA=90°∴∠FMD=∠FDM∴MF=DF,即F是AD中点逆定理：若圆内接四边形的对角线相互垂直,则一边中点与对角线交点的连线垂直于对边;证明：∵MA⊥MD,F是AD中点∴AF=MF∴∠CAD=∠AMF∵∠CAD=∠CBD,∠AMF=∠CME∴∠CBD=∠CME∵∠CME+∠BME=∠BMC=90°∴∠CBD+∠BME=90°∴EF⊥BC11.托勒密定理圆内接四边形中,两条对角线的乘积两对角线所包矩形的面积等于两组对边乘积之和一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和．圆内接四边形ABCD,求证：AC·BD=AB·CD+AD·BC．证明：过C作CP交BD于P,使∠1=∠2,又∠3=∠4,∴△ACD∽△BCP．得AC：BC=AD：BP,AC·BP=AD·BC ①;又∠ACB=∠DCP,∠5=∠6,∴△ACB∽△DCP．得AC：CD=AB：DP,AC·DP=AB·CD ②;①+②得ACBP+DP=AB·CD+AD·BC．即AC·BD=AB·CD+AD·BC．12.梅涅劳斯定理当直线交三边所在直线于点时,;证明：过点C作CP∥DF交AB于P,则两式相乘得梅涅劳斯逆定理：若有三点F、D、E分别在边三角形的三边AB、BC、CA或其延长线上,且满足AF/FB×BD/DC×CE/EA=1,则F、D、E三点共线;证明：先假设E、F、D三点不共线,直线DE与AB交于P;由梅涅劳斯定理的定理证明如利用平行线分线段成比例的证明方法得：AP/PBBD/DCCE/EA=1;∵ AF/FBBD/DCCE/EA=1;∴ AP/PB=AF/FB ；∴ AP+PB/PB=AF+FB/FB ；∴ AB/PB=AB/FB ；∴ PB=FB；即P与F重合;∴ D、E、F三点共线;13.塞瓦定理在△ABC内任取一点O,延长AO、BO、CO分别交对边于D、E、F,则BD/DC×CE/EA×AF/FB=1;∵△ADC被直线BOE所截,∴CB/BDDO/OAAE/EC=1①∵△ABD被直线COF所截,∴BC/CDDO/OAAF/FB=1②②/①约分得：DB/CD×CE/EA×AF/FB=114.圆幂定理相交弦定理：如图Ⅰ,AB、CD为圆O的两条任意弦;相交于点P,连接AD、BC,由于∠B与∠D同为弧AC所对的圆周角,因此由圆周角定理知：∠B=∠D,同理∠A=∠C,所以;所以有：,即：;割线定理：如图Ⅱ,连接AD、BC;可知∠B=∠D,又因为∠P为公共角,所以有,同上证得;切割线定理：如图Ⅲ,连接AC、AD;∠PAC为切线PA与弦AC组成的弦切角,因此有∠PBC=∠D,又因为∠P为公共角,所以有,易证图Ⅳ,PA、PC均为切线,则∠PAO=∠PCO=90°,在直角三角形中：OC=OA=R,PO为公共边,因此;所以PA=PC,所以;综上可知,是普遍成立的;弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧所对的圆心角度数的一半,等于它所夹的弧所对的圆周角度数;点对圆的幂P点对圆O的幂定义为点P在圆O内→P对圆O的幂为负数；点P在圆O外→P对圆O的幂为正数；点P在圆O上→P对圆O的幂为0;三角形五心：内心：三角形三条内角平分线的交点外心：三角形三条边的垂直平分线中垂线的相交点重心：三角形三边中线的交点垂心：三角形的三条高线的交点旁心：三角形的旁切圆与三角形的一边和其他两边的延长线相切的圆的圆心九点圆心：三角形三边的中点,三高的垂足和三个欧拉点〔连结三角形各顶点与垂心所得三线段的中点〕九点共圆的圆心15.根心定理三个两两不同心的圆,形成三条根轴,则必有下列三种情况之一：1 三根轴两两平行；2 三根轴完全重合；3 三根轴两两相交,此时三根轴必汇于一点,该点称为三圆的根心;平面上任意三个圆,若这三个圆圆心不共线,则三条根轴相交于一点,这个点叫它们的根心；若三圆圆心共线,则三条根轴互相平行;根轴定义：A与B的根轴L1：到A与B的切线相等的点;B与C的根轴L2：到B与C的切线相等的点;证明设A、B、C三个圆,圆心不重合也不共线;考察L1与L2的交点P;因为P在L1上,所以：P到A的切线距离=P到B的切线距离;因为P在L2上,所以：P到B的切线距离=P到C的切线距离;所以：P到A的切线距离=P到B的切线距离=P到C的切线距离;也就是：P到A的切线距离=P到C的切线距离;所以：P在A与C的根轴上; 所以：三个根轴交于一点;16.鸡爪定理设△ABC的内心为I,∠A内的旁心为J,AI的延长线交三角形外接圆于K,则KI=KJ=KB=KC;证明：由内心和旁心的定义可知∠IBC=∠ABC/2,∠JBC=180°-∠ABC/2∴∠IBC+∠JBC=∠ABC/2+90°-∠ABC/2=90°=∠IBJ同理,∠ICJ=90°∵∠IBJ+∠ICJ=180°∴IBJC四点共圆,且IJ为圆的直径∵AK平分∠BAC∴KB=KC相等的圆周角所对的弦相等又∵∠IBK=∠IBC+∠KBC=∠ABC/2+∠KAC=∠ABI+∠BAK=∠KIB∴KB=KI由直角三角形斜边中线定理逆定理可知K是IJ的中点∴KB=KI=KJ=KC逆定理：设△ABC中∠BAC的平分线交△ABC的外接圆于K;在AK及延长线上截取KI=KB=KJ,其中I在△ABC的内部,J在△ABC的外部;则I是△ABC的内心,J是△ABC 的旁心;证明：利用同一法可轻松证明该定理的逆定理;取△ABC的内心I'和旁心J’,根据定理有KB=KC=KI'=KJ'又∵KB=KI=KJ∴I和I'重合,J和J’重合即I和J分别是内心和旁心17.费尔巴哈定理三角形的九点圆与其内切圆以及三个旁切圆相切设△ABC的内心为I,九点圆的圆心为V;三边中点分别为L,M,N,内切圆与三边的切点分别是P,Q,R,三边上的垂足分别为D,E,F;不妨设AB>AC;假设⊙I与⊙V相切于点T,那么LT与⊙I相交,设另一个交点为S;过点S作⊙I的切线,分别交AB和BC于V,U,连接AU;又作两圆的公切线TX,使其与边AB位于LT的同侧;由假设知∠XTL=∠LDT而TX和SV都是⊙I的切线,且与弦ST所夹的圆弧相同,于是∠XTL=∠VST因此∠LDT=∠VST则∠UDT+∠UST=180°这就是说,S,T,D,U共圆;而这等价于：LU×LD=LS×LT又LP²=LS×LT故有LP²=LU×LD另一方面,T是公共的切点,自然在⊙V上,因此 L,D,T,N共圆,进而有∠LTD=∠LND由已导出的S,T,D,U共圆,得∠LTD=∠STD=180°-∠SUD=∠VUB=∠AVU-∠B而∠LND=∠NLB-∠NDB=∠ACB-∠NBD=∠C-∠B这里用了LN∥AC,以及直角三角形斜边上中线等于斜边的一半所以,就得到∠AVU=∠C注意到AV,AC,CU,UV均与⊙I相切,于是有∠AIR=∠AIQ∠UIS=∠UIP∠RIS=∠QIS三式相加,即知∠AIU=180°也即是说,A,I,U三点共线;另外,AV=AC,这可由△AIV≌△AIC得到;这说明,公切点T可如下得到：连接AI,并延长交BC于点U,过点U作⊙I的切线,切点为S,交AB于V,最后连接LS,其延长线与⊙I的交点即是所谓的公切点T;连接CV,与AU交于点K,则K是VC的中点;前面已得到：LP²=LU×LD而2LP=BL+LP-CL-LP=BP-CP=BR-CQ=BR+AR-CQ+AQ=AB-AC=AB-AV=BV即 LP=BV然而LK是△CBV的中位线于是 LK=BV因之 LP=LK故LK²=LU×LD由于以上推导均可逆转,因此我们只需证明：LK²=LU×LD;往证之这等价于：LK与圆KUD相切于是只需证：∠LKU=∠KDU再注意到 LK∥ABLK是△CBV的中位线,即有∠LKU=∠BAU又AU是角平分线,于是∠LKU=∠CAU=∠CAK于是又只需证：∠CAK=∠KDU即证：∠CAK+∠CDK=180°这即是证：A,C,D,K四点共圆由于 AK⊥KC易得,AD⊥DC所以 A,C,D,K确实共圆;这就证明了⊙I与⊙V内切;旁切圆的情形是类似的;证毕另略证：OI2=R2-2RrIH2=2r2-2Rr'OH2=R2-4Rr'其中r‘是垂心H的垂足三角形的内切圆半径,R、r是三角形ABC外接圆和内切圆半径FI2=1/2OI2+IH2-1/4OH2=1/2R-r2FI=1/2R-r这就证明了九点圆与内切圆内切九点圆半径为外接圆半径一半;F是九点圆圆心,I为内心18.莫利定理将三角形的三个内角三等分,靠近某边的两条三分角线相交得到一个交点,则这样的三个交点可以构成一个正三角形证明：设△ABC中,AQ,AR,BR,BP,CP,CQ为各角的三等分线,三边长为a,b,c,三内角为3α,3β,3γ,则α+β+γ=60°;在△ABC中,由正弦定理,得AF=csinβ/sinα+β;不失一般性,△ABC外接圆直径为1,则由正弦定理,知c=sin3γ,所以AF=sin3γsinβ/sin60°-γ= sinβsinγ3-4sin²γ/1/2√3cosγ-sinγ= 2sinβsinγ√3cosγ+sinγ= 4sinβsinγsin60°+γ.同理,AE=4sinβsinγsin60°+β∴AF:AE=4sinβsinγsin60°+γ：4sinβsinγsin60°+β=sin60°+γ:sin60°+β=sin∠AEF:sin∠AFE∴∠AEF=60°+γ,∠AFE=60°+β.同理得,∠CED=60°+α∠FED=180°-CED-AEF-α-γ=180°-60°-α-60°+α=60°∴△FED为正三角形19.拿破仑定理若以任意三角形的各边为底边向形外作底角为60°的等腰三角形,则它们的中心构成一个等边三角形;在△ABC的各边上向外各作等边△ABF,等边△ACD,等边△BCE;。
平面几何证明方法
平面几何证明方法
平面几何证明的方法主要有以下几种：
1. 充分必要条件证明方法：通过证明一个命题的充分条件和必要条件，来证明该命题的等价性。
通常先假设命题的充分条件成立，再证明必要条件成立；然后再假设命题的必要条件成立，再证明充分条件成立。
2. 反证法：先假设命题的反证成立，然后通过逻辑推理，推导出一个与已知条件或已经证明的命题矛盾的结论，从而推翻原命题的反证。
3. 数学归纳法：通过证明命题对某个起始值成立，并假设命题对于一个任意的自然数成立，推导出命题对于下一个自然数也成立，从而证明命题对于所有自然数都成立。
4. 对偶命题证明法：通过将一个命题中的部分语句取反或者替换为与之对偶的语句，从而将原命题转化为与之等价的命题，然后再根据已知条件和已经证明的命题推导出结论。
5. 直接证明法：通过逻辑推理，根据已知条件和已经证明的命题，推导出结论，从而证明命题的正确性。
6. 分类讨论法：根据问题的性质和已知条件，将问题分为几种情况进行讨论，
然后对每一种情况分别进行证明。
7. 形象化证明法：通过绘制示意图或者构造具体的示例，将命题转化为几何图形上的问题，然后通过观察或者计算，得出结论。
以上是平面几何证明中常用的一些方法，具体的证明方法根据不同的问题和命题可能会有所变化。
平面几何常用证明方法
平面几何常见证明方法1,分析法分析法是从命题的结论入手，先承认它是正确的，执果索因，寻求结论正确的条件，这样一步一步逆而推之，直到与题设会合，于是就得出了由题设通往结论的思维过程。
分析法主要应用与的几何问题特点主要是：从证明推理的时候出现多个方向，不知道哪个方向能够成功推导到结论，也就是说从正向推导比较迷茫的时候，比较适合用分析法来解决这些问题。
例1 如图2.1.1，四边形ABCD 的一条对角线BD 平行于两对边之交点的连线EF ，求证：AC 平分BD 。
[1]证明：设AC 交BD 于M ，交EF 于N 则NFMD EN BM =，欲证MD BM = 作方向猜测，只需证NF EN =或1==NF EN MD BM 即可。
但我们意识到这不容易证明， （图2.1.1）再作方向猜测，欲证MD BM =，只需证明BM MD MD BM =即可。
而NFEN MD BM =，从而只需证NF EN BM MD =即可，又只需证NF BM EN MD =即可。
而NF BM CN MC EN MD ==，故得证。
2 综合法综合法则是由命题的题设条件入手，由因导果，通过一系列的正确推理，逐步靠近目标，最终获得结论。
再从已知条件着手，根据已知的定义、公式、定理，逐步推导出结论。
综合法和分析法有些不同的是分析法的思路从结论开始，综合法的思路从题设开始。
例2如图2.2.1设D 是ABC ∆底边BC 上任一点，则CD BD BC BD AC CD AB BC AD ⋅⋅-⋅+⋅=⋅222。
[1]证明：在ADB ∆和ABC ∆中 BDAD AB BD AD ADB ⋅-+=∠2cos 222 BDAD AC CD AD ADC ⋅-+=∠2cos 222 由ADC ADB ∠-=∠cos cos ，所以 (图2.2.1)BDAD AC CD AD BD AD AB BD AD ⋅-+-=⋅-+22222222有)()(222CD BD CD BD BD AC CD AB CD BD AD +⋅-⋅+⋅=+将BC CD BD =+代入上式则有CD BD BC BD AC CD AB BC AD ⋅⋅-⋅+⋅=⋅222，证毕。
平面几何证明的常用定理与方法
平面几何证明的常用定理与方法平面几何是数学中的一个重要分支，研究平面内的几何关系和形状。
在平面几何的证明过程中，定理是至关重要的。
定理是数学命题的重要结论，通过证明定理可以得到一些几何问题的解答。
本文将介绍平面几何证明中常用的定理和方法，帮助读者更好地理解与应用。
一、等边三角形的性质：等边三角形是指三条边长度相等的三角形。
关于等边三角形，存在以下常见定理：1. 定理1：等边三角形的三个内角均为60度。
证明：考虑一个等边三角形ABC，连接AB、AC两边的垂直平分线AD和AE，并延长至交于点F。
由于AD和AE都是边BC的垂直平分线，所以AD=AE，又AD=AE，所以△DAE和△DAF是等腰三角形，故∠DAE=∠DAF=30度，由此可知∠BAF=∠CAF=60度。
同理可证得∠ACB=∠ABC=60度，即得证。
2. 定理2：等边三角形的三条高线相等且相交于一个点，这个点称为重心。
证明：考虑一个等边三角形ABC，连接顶点A到底边BC的垂直线段AD，连接顶点B到底边AC的垂直线段BE。
由于∠BAC = ∠ABC = 60度，所以∠BAD = ∠BEA = 90度，即AD和BE是底边BC和AC的高线。
连接底边BC的中点M到顶点A，连接底边AC的中点N到顶点B。
由于等边三角形的三条边相等，所以AM=AN=MB=NB，即四边形AMBN是一个平行四边形。
根据平行四边形的性质，重点O可以通过连接对角线MN来构造，且MN的一半等于AO或BO。
因此，AD、BE和MN相互等长且交于同一点O，即O是等边三角形ABC的重心。
二、全等三角形的性质：全等三角形是指对应边和对应角均相等的三角形。
关于全等三角形，存在以下常见定理：1. 定理3：若两个三角形的对应角相等，则两个三角形全等。
证明：考虑两个三角形ABC和DEF，假设∠A = ∠D，∠B = ∠E，且AB = DE，我们需要证明BC = EF和∠C = ∠F。
连接AD、BE以及CF。
平面几何五大定理及其证明
平面几何定理及其证明一、梅涅劳斯定理1．梅涅劳斯定理及其证明G定理：一条直线与ABC的三边AB、BC、CA所在直线分别交于点D、E、F，且D、E、F均不是ABC的顶点，则有．证明：如图，过点C作AB的平行线，交EF于点G．因为CG // AB，所以————（1）因为CG // AB，所以————（2）由（1）÷（2）可得，即得．2．梅涅劳斯定理的逆定理及其证明定理：在ABC的边AB、BC上各有一点D、E，在边AC的延长线上有一点F，若，那么，D、E、F三点共线．证明：设直线EF交AB于点D/，则据梅涅劳斯定理有．因为，所以有．由于点D、D/都在线段AB上，所以点D与D/重合．即得D、E、F三点共线．二、塞瓦定理3．塞瓦定理及其证明定理：在ABC内一点P，该点与ABC的三个顶点相连所在的三条直线分别交ABC三边AB、BC、CA于点D、E、F，且D、E、F三点均不是ABC的顶点，则有．证明：运用面积比可得．根据等比定理有，所以．同理可得，．三式相乘得．4．塞瓦定理的逆定理及其证明定理：在ABC三边AB、BC、CA上各有一点D、E、F，且D、E、F均不是ABC的顶点，若，那么直线CD、AE、BF三线共点．证明：设直线AE与直线BF交于点P，直线CP交AB于点D/，则据塞瓦定理有．因为，所以有．由于点D、D/都在线段AB上，所以点D与D/重合．即得D、E、F三点共线．三、西姆松定理5．西姆松定理及其证明定理：从ABC外接圆上任意一点P向BC、CA、AB或其延长线引垂线，垂足分别为D、E、F，则D、E、F三点共线．证明：如图示，连接PC，连接 EF 交BC于点D/，连接PD/．因为PE AE，PF AF，所以A、F、P、E四点共圆，可得FAE =FEP．因为A、B、P、C四点共圆，所以BAC =BCP，即FAE =BCP．所以，FEP =BCP，即D/EP =D/CP，可得C、D/、P、E四点共圆．所以，CD/P +CEP = 1800。
平面几何的证明方法
平面几何的证明方法平面几何的证明方法是数学中的重要内容，旨在通过推理和逻辑推断来证明几何命题的正确性。
在平面几何中，有多种不同的证明方法，包括直接证明、间接证明、反证法、递归证明和数学归纳法等。
本文将介绍这些证明方法的基本原理和应用。
一、直接证明直接证明是证明几何命题最常用的方法之一。
它是通过一系列的逻辑推论和公理来证明命题的正确性。
在直接证明中，我们根据给定的几何条件和已知事实，一步步推导出结论。
通过逻辑的推理过程，直接证明方法可以直接揭示命题的真实性。
例如，证明“平行线之间的夹角相等”。
我们可以假设线段AB与线段CD是平行线，在这个前提下，通过一系列的角度相等、垂直角等几何条件的运用，可以推导出∠1 = ∠2，从而得出夹角相等的结论。
二、间接证明间接证明是一种常用的证明方法，它假设要证明的结论不成立，然后通过推理推导出自相矛盾的结论，从而推翻了初始的假设，证明了结论的正确性。
例如，证明“等腰三角形的底边的中线也是高线”。
我们可以假设等腰三角形ABC的底边的中线DE与高线FG不重合，然后通过一系列角度相等、辅助线相交等几何条件推导出自相矛盾的结论，如∠DEF = ∠DFG，从而推翻了初始的假设，证明了结论的正确性。
三、反证法反证法是一种常用的证明方法，它通过假设要证明的结论不成立，然后推导出与已知条件矛盾的结论，从而证明了结论的正确性。
例如，证明“平面内任意两点可以连成一条直线”。
我们可以假设平面内某两点A和B无法连成一条直线，然后通过一系列的推理和几何条件，可以推导出与已知条件矛盾的结论，如∠1 + ∠2 = 180°，从而证明了结论的正确性。
四、递归证明递归证明是一种证明方法，它通过把待证命题分解成多个小的命题，然后逐个证明这些小命题的正确性，最后再根据小命题的正确性推导出原命题的正确性。
例如，证明“等边三角形的内角都是60°”。
我们可以通过递归的方式，先证明等边三角形的两个角相等，然后再证明这两个角分别等于60°，从而得出等边三角形的内角都是60°的结论。
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平面几何的证明方法
平面几何是数学中的一个重要分支，主要研究平面内的点、线、面及其相互关系。
在解决平面几何问题时，证明是一个关键步骤。
本文将介绍一些常用的平面几何证明方法，并说明它们的应用场景。
一、直接证明法
直接证明法是一种常用的证明方法，即通过逐步推导和陈述使命题成立。
这种方法依赖于已知条件和平面几何定理，逻辑严谨、思路清晰。
例如，当要证明某两条线段相等时，可以通过给出这两条线段的定义，然后根据它们的属性，逐步推导得出结论。
二、间接证明法
间接证明法是通过否定反证法来证明结论。
假设原命题不成立，然后逐步推导，得出矛盾，从而推出原命题成立。
这种方法常用于证明无理数、无法被二分等问题。
例如，当要证明某条直线平分了一个角时，可以假设这条直线没有平分该角，然后通过逻辑推导得出矛盾，证明了该直线实际上是平分了这个角。
三、反证法
反证法是通过假设结论不成立，然后推出矛盾，证明原结论的一个方法。
这种方法常用于证明唯一性问题。
例如，当要证明两个圆只有一个公共切点时，可以先假设它们有两个或更多个公共切点，然后通过推导得出矛盾，从而证明了原结论。
四、归纳法
归纳法适用于一系列问题的证明。
首先证明基本情况成立，然后假
设某个特定的情况成立，通过归纳法推导得出所有情况都成立。
这种
方法常用于证明几何图形的性质。
例如，当要证明一个多边形的内角
和公式时，可以通过归纳法证明三角形和四边形的情况，然后推广到
所有多边形。
五、共线法
共线法是通过证明多个点共线来证明结论的方法。
在平面几何中，
当需要证明某些点共线时，可以利用已知条件中的共线关系，或者通
过构造辅助线，从而达到共线的目的。
例如，当要证明一个四边形的
对角线交于一点时，可以通过构造这两条对角线，然后利用平行线的
性质证明它们的交点存在。
六、相似性法
相似性法是通过画出几何图形的相似部分来证明结论的方法。
当需
要证明两个三角形相似时，可以通过观察它们的角度和边长关系，利
用相似三角形的性质得出结论。
例如，当要证明两个三角形相似时，
可以通过观察它们的对应角是否相等，以及对应边长是否成比例，从
而推理出它们是相似三角形。
综上所述，平面几何的证明方法有直接证明法、间接证明法、反证法、归纳法、共线法和相似性法等。
每种方法都有其特定的应用场景，根据具体问题的要求和已知条件选择适当的证明方法可以有效地解决
平面几何问题。
掌握这些证明方法，并善于灵活运用，将有助于提高解题的能力和水平。