线形空间的维数与基

浅谈线性空间的维数与基摘要本文通过对有限维线性空间中基和维数的讨论，总结出了有限维线性空间的基和维数的求解方法，并且，用不同的方法对线性空间的基和维数的应用进行了探讨.关键词：线性空间；维数；基；同构；子空间THE DISCUSSING TO THE DIMENSIONS ANDBASES OF LINEAR SPACEABSTRACTIn this paper, by discussing dimensions and bases of finite dimensions linear space, we Summarizes the methods to soluting dimensions and bases of finite dimensional linear space. Moreover, the application of the bases and dimensions are discussed in different ways.Keywords: linear space; dimension; base; isomorphism; subspace .目录摘要 (1)关键词： (1)ABSTRACT (2)一、基本概念 (4)二、线性空间的基和维数求解方法 (5)2.1、定义法 (5)2.2、利用相关定理求维数与基 (8)三、线性空间基和维数的应用 (10)3.1、次子空间的应用 (10)3.2、在同构线性空间中的应用 (12)四、有限维线性空间基的扩充 (13)五、参考文献 (15)致谢 (15)一、基本概念定义1.2、U 中向量集H 如果满足下述两个条件，① 向量集H 是线性相关的；② U 中每一个向量可以由H 中有限个向量线性表出；则H 是U 的一个基，只含0向量的基是空集。

定义1.3、U 称为有限维的，如果U 有一个基包含有限多个向量，否则U 称为无限维的，有限维线性空间的一个基所含向量个数称为U 的维数。

定义1.4、域S 上线性空间V 的一个非空子集V ，如果对于U 的加法与纯量乘法也形成S 上的线性空间，则V 是U 的线性子空间，简称子空间。

定义1.5、在U 中取向量1∂，2,∂，s ∂；由它们的所有线性组合构成的集合 {1122S s s i m m m m ∂+∂++∂∈ i=1,2,s }是U 的一个子空间，称为由1∂，2,∂，s ∂生成的子空间，记作<1∂，2,∂，s ∂>。

定义1.6、设U 与U '都是域F 上的线性空间，如果有U 到U '的一个双射τ，使得对,,A B V m S ∀∈∈有()()()A B A B τττ+=+()()mA m A ττ=那么τ是U 与U '的一个同构映射，如果U 与U '有一个同构映射，则称为U 与U '同构，记作 U U '≅二、线性空间的基和维数求解方法在高等代数学科中，线性空间比较抽象，对于有限维的线性空间来说，维数和基的求解也是必须了解和掌握的内容，本文在此将对有限维线性空间的基和维数求解方法作总结和探讨。

2.1、定义法利用线性空间维数和基的定义，可求解一些简单线性空间的维数和基。

例2.1.1、令V={（,i v i αβμ++）α，β，v ，μ∈R}∈则U 对二元向量的加法与数量乘法运算作成C 上的线性空间，分别用dim c U 和dim R U 表示它们的维数，求dim c U 和dim R U 及相应的基。

解：I ：对复数域而言，(,)(,)a b i v i U αβμ∀=++∈，(,)(1,0)(0,1)a b a b =+ ，(0,1),(1,0)是C 上线性空间的一个生成系，线性无关，所以是该空间的一个基∴dim c U=2。

Ⅱ、对实数域而言(,)(;)a b i v i U αβμ∀=++∈，(,)(1,0)(,0)(0,1)(0,)a b i v i αβμ=+++，于是：),0(),1,0(),0,(),0,1(i i 是R 上的一个生成系，也线性无关从而是U 的一个基，于是:dim R U=4。

例2.1.2、求F M 3中的所有与B 可交换的矩阵所构成的子空间ℵ的维数和一个基，其中：100010312B ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦。

解：易证F M 3中的所有与B 可交换的矩阵构成F M 3的一个子空间，任取A ，M ，N ∈F M 3，设：111213212223313233e e e A e e e e e e ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦， 111213212223112131122232132333323232e e e BA e e e e e e e e e e e e ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥++++++⎣⎦， 1113121313212322232331333233332323e e e e e AB e e e e e e e e e e ++⎡⎤⎢⎥=++⎢⎥⎢⎥++⎣⎦， 由AB=BA 得:132333121131221232033e e e e e e e e e ===⎧⎪=--⎨⎪=--⎩，111211311232313203300e e M e e e e e e ⎡⎤⎢⎥=----⎢⎥⎢⎥⎣⎦=11100300000e ⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦+12010030000e ⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦+31000100100e ⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦+32000010010e ⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦， ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-000003001，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-000030010，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-001001000，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-010010000∈ℵ,它们线性无关，是W 的一个生成系，从而是ℵ的一个基，于是dim ℵ=4。

例2.1.3、在R M 2中，定义线性变换F ：1112()1111F x x ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦，其中x ∈R M 2 Ker （τ）与Im （τ）的维数及一个基。

解：I 、任取= Ker （σ），设11122122a a x a a ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，其中（11a ， 21a ，21a ， 22a ）∈R 则()F x =111201111x ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⇒11011x ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦⇒1121212200a a a a +=⎧⎨+=⎩ ⇒x=21222122212210001001a a a a a a ---⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦。

易证⎥⎦⎤⎢⎣⎡-0101，⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1010∈Ker （F ）线性无关，故是Ker （F ）的一个基， 于是dim Ker （F ）=2。

Ⅱ、任取F （x ）∈Im （F ），x ∈R M 2，设11122122b b x b b ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦则：（x ）=()()112112221211()1211F x a a a a -⎡⎤⎡⎤=+++⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦， F(⎥⎦⎤⎢⎣⎡0001)=⎥⎦⎤⎢⎣⎡2121∈Im(F) ， F(⎥⎦⎤⎢⎣⎡0010)=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--1111∈Im(F)， 且⎥⎦⎤⎢⎣⎡2121，⎥⎦⎤⎢⎣⎡--1111线性无关，故： ⎥⎦⎤⎢⎣⎡2121，⎥⎦⎤⎢⎣⎡--1111是Im(F)的一个基，于是dimIm(F)=2。

从以上几个例题可见，对于具体的线性空间，只要任取其中的一个向量进行分解，便可迅速得到线性空间的一个基，并由此求的其维数，定义法的依据：有限维线性空间中每一个向量可唯一表示成基向量的线性组合；对于一些特殊的线性空间，维数和基还有其他求解方法。

2.2、利用相关定理求维数与基定理2.2.1、设1V ，2V 都是域F 上线性空间V 的有限维子空间，则1V 2V ，1V +2V 是有限维子空间，并且： dim 1V =dim 2V =dim （1V +2V ）+dim （1V 2V ）。

推论2.2.2、设1V ，2V 都是域F 上的n 维线性空间V 的子空间，则：dim （1V +2V ）= dim 1V + dim 2V ⇔1V 2V =0。

例2.2.3、设V=4K ，1V =<1α，2α>，2V =><321,βββ，其中⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=02101α，⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=20112α，⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=32101β，⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=10322β，⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=52113β， 分别求1V +2V ，1V 2V 的一个基和维数。

解： 1V +2V =<1α，2α>+><321,βββ=><32121,,,βββαα，∴向量组32121,,,,βββαα的一个极大无关组就是1V +2V 的一个基，这个向量组的秩就是1V +2V 的维数，为此，令：A=),,,,(32121βββαα,对A 作初等变换，化成阶梯矩阵A=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--51320202021311112010→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----51320120100601013111→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----210000553001201013111, ∴ran （A ）=4，由此2121,,,ββαα是1V +2V 的一个基，dim （1V +2V ）=4，dim （1V 2V ）= dim 1V + dim 2V - dim （1V +2V ），dim 1V =2， dim 2V =3，∴ dim （1V 2V ）=2+3-4=1。

3β可由2121,,,ββαα线性表出，其系数即是线性方程：324132211βββαα=+++x x x x 。

A=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--51320202021311112010→⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-5210003701005900103130001， 此方程的解为52,37,59,313(-)'，因此：3β=2121523759313ββαα+++-，32121523759313βββαα-+=- ∈1V 2V ，⇒ 32121156352765βββαα-+=-，于是[]'-=-54,130,38,27276521αα为1V 2V 的一个基。

性质2.2.4、如果1α， ,2α，n α是V 的一个基，则σ（1α），σ（2α） ,，σ（n α）是V '的一个基。

性质2.2.5、域F 上两个有限维线性空间同构的充分必要条件是它们的维数相同。

性质 2.2.6、如果W 是域F 上有限维空间V 的一个子空间，则W V W V dim dim dim -=。