6.4基与维数(二)

（1） 1,2,...,n 线性无关； （2）V的每一个向量都可以由 1,2,...,n 线性
表示。
则称 1,2,...,n是V的一个基。
2、1,2,..., n是V的一个基，那么 VL(1,2,..., n)。
即V的一个基V就的是一组线性无关元的。生
3、基的重要意义还：在于
定理6.4.2 设1,2,..., n是向量空V间的一个 基，那么 V的每一个向量 都可以唯一地表为 1,2,..., n的线性组合。
则 L(1,2, ,s)L(1,2, t)
L (1 , 2 , , s,1 ,2 , t)
问题:W1 W2中任一向都 量可以表示成W一 1 个 中向量 1与一个 W2中向量 2的的？唯
2、子空间的直和
(1)直和的定义 设W1、W2是向量空 V的间两个子,如 空果 间 W1W2
W { a 11 a 22 . .a .rra i F ,i 1 ,2 ,.r } ..,
构成V的一个子空间。
2、{a1 1 a2 2 ... ar r ai F , i 1,2,..., r} 叫做由 1, 2 ,..., r所生成的子空间。记为
L( 1,2,...,r) 或L( 1,2,...,r )
中的每个向 都量 能唯一地表示成 12,1W1,2W2
则称 W1W2为这两个子空间 ,记的 为 W1直 W 和 2
例9、在F3中,1 1，0，0，2 0，1，0，取：
W1L(1){a(1,0,0)a1F} W2 L(2){0(,a2,0)a2F}
则 W 1W 2L(1)L(2)L(1,2)
{a(1,a2,0)a1,a2F} 因W 为 1W2中每一向W 量 1与 W 表 2中示 向成 量 和的方式,故 是 W 1 唯 W2是 一直 的 ,即 W 和 1W2
即L( 1,2,...,r)
{ a 11 a 22 . .a .r ra i F ,i 1 ,2 ,.r } ..,
1,2,...,r叫做生成子空L间 ( 1,2,...,r)
的一组生成元。
3、可以由有限个向量生成的子空间叫做有限生 成子空间。
4、几点注意 (1)生成子空间提供了一种构造子空间的方法； (2)有限生成的子空间所含向量个数不一定有限；
只有L(0)={0}所含向量个数是有限的； (3)除零空间外，任意一个向量空间都可以构造出 无数个子空间，当然其中可能有许多是相同的； (4)等价的向量组生成相同的子空间。
5、定理6.4.1 设 1,2,...n, 是向量空间V 的
一组不全为零的向量,而 , i1 i2,..ir .,是它的一
3、定理6.4.4 设 1,2,...,r 是n维向量空间
Ｖ中一组线性无关的向量．那么总可以添加 n – r
个向量 r1,..., n ，使得 1,...r,r1,...n,
作成Ｖ的一个基。特别地，n维向量空间中任意n
个线性无关的向量都可以取作基。
4、定理6.4.5 设Ｗ和Ｗ都是数域Ｆ上向量空 间Ｖ的有限维子空间．那么Ｗ＋Ｗ也是有限维
(1 )2 ()3 ( )即 M n(F )S T
课堂练习
P235-236：1,5
课外作业
P236：2,3,4,7
谢谢欣赏
THANK YOU FOR WATCHING
VWU
(2)定义：设W是向量空间V的一个子空间，
如果V的子空间U满足VWU，则称U为
W的一个余子空间。
例11、在几何空间V3中，W为过原点的平面， 那么W的余子空间是任一过原点且不在此平面 内的直线。
(3) 余子空间不唯一。
例12、 设S {A M n (F ) A A},
T {A M n (F ) A A} 证明 : (1)S,T是M n (F )的子空间; (2)M n (F ) S T ; (3)S T {0}.
的，并且
dim（Ｗ＋Ｗ） ＝dimＷ＋dimＷ－dim（Ｗ∩Ｗ）
维数公式
6.4.4 子空间的和、 直和、余子空间
1、子空间的和
W1、W2是向量V空 的间 两个子 , 空间
(1)定义 :W1W2 {121W1,2W2}； (2)W1W2也是 V的子空 ； 间 (3)设 1,2, ,s与 1,2, t是 V的两个,向
例1、0在F3中,11，0，0，2 0，1，0，取：
W1L(1){a(1,0,0)a1F}
W2 L(1,2){b(1,b2,0)b1,b2F}
则 W 1W 2L(1)L(1,2)L(1,1,2) L(1,2){a(,b,0)a,b F }
因为 W1W2中每一向量 W1与 表 W2中 示向 成量 的和的方式不 ,故是 W1唯 W2不 一是 的直 , 和 不能写 W1 成 W2。
第6章 向量空间
n 6.1 向量空间的定义和例子 n 6.2 子空间 n 6.3 向量的线性相关 n 6.4 基和维数 n 6.5 坐 标 n 6.6 向量空间的同构 n 6.7 矩阵的秩 齐次线性方程组的解空间
6.4 基和维数
一、内容分布 6.4.1 生成子空间 6.4.2 向量空间的基 6.4.3 向量空间的维数 6.4.4 子空间的和、直和、余子空间
个极大无关组。那么
L 1 ,2 ,.n . L ., i 1 ,i 2 ,.i r..,
根据这个定理,如果有限生成子空间 L1,2,. .n .,
不等于零子空间, 那么它总可以由一组线性无关
的生成元生成。
6.4.2 向量空间的基
1、定义 设V是数域F上一个向量空间，如果在
V中存在一组向量 1,2,...,n 满足：
二、教学目的 1．掌握有限维向量空间基与维数的概念 及其求法． 2．理解基在向量空间理论中所起的作用． 3．了解子空间的和、直和、余子空间．
三、重点、难点 基和维数的概念及求法、维数定理． 四、难点
子空间的直和、余子空间．
6.4.1 生成子空间
1、设V是数域F上向量空间，1,2,,r
是V 中r个向量，则
4、有限生成的非零向量空间一定有基，其基就 是生成元组的一个极大无关组。
即V 若 L(1,2,...m ,)，则 1,2,...m ,的一
极大无 i1,关 i2,..组 .ir,就V 是 的一个基
5、一个向量空间如果有基的话，其基一般并不 唯一。但一个向量空间的任意两个基是彼此等价 的，并且所含向量个数相同。
6.4.3 向量空间的维数
1、定义 一个向量空间V的基所含向量个数叫 做V的维数。记作dimV。 零空间的维数定义0。
例如：dimV2 2，dimV3 3； dim F n n； dim M m,n (F ) mn； dim Fn[x] n 1。
2、n维向量空间中任意多于n个向量的向量组一 定线性相关。
(2)直和的等价条件
设W1、W2是向量空间 V的两个子空间, 则下列条件等价 : (1)W1 W2是直和; (2)W1 W2 {0} (3) dim(W1 W2 ) dimW1 dimW2 (4)W 1,W2的基可凑成W1 W2的基
证明：（1）→（2）→（3）→（4） →（1）
3、余子空间 (1)定理：设W是向量空间V的一个子空间， 那么一定存在V的一个子空间U，使得