64基和维数(二)
21
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课堂练习
P235-236：1,5
课外作业
P236：2,3,4,7
22
1、设V是数域F上向量空间，1, 2 ,, r
是V 中r个向量，则
W {a11 a22 ... arr ai F,i 1,2,...,r}
构成V的一个子空间。
4
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2、{a11 a22 ... arr ai F , i 1,2,...,r}
叫做由1,2 ,...,r所生成的子空间。记为 L( 1,2 ,..., r ) 或L( 1,2 ,..., r )
即L( 1,2 ,..., r )
{a11 a22 ... arr ai F,i 1,2,...,r}
1
,
2
,...,
叫做生成子空间
中的每个向量都能唯一地表示成 1 2 ,1 W1,2 W2
则称W1 W2为这两个子空间的直和,记为W1 W2
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例9、 在F 3中,1 1，0，0， 2 0，1，0， 取：
W1 L(1) {(a1,0,0) a1 F} W2 L(2 ) {(0, a2,0) a2 F} 则W1 W2 L(1) L(2 ) L(1,2 )
个线性无关的向量都可以取作基。
12
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4、定理6.4.5 设Ｗ和Ｗ都是数域Ｆ上向量空 间Ｖ的有限维子空间．那么Ｗ＋Ｗ也是有限维
的，并且
dim（Ｗ＋Ｗ） ＝dimＷ＋dimＷ－dim（Ｗ∩Ｗ）
维数公式
13
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6.4.4 子空间的和、 直和、余子空间
1、子空间的和
W1、W2是向量空间V的两个子空间,
(1)定义 :W1 W2 {1 2 1 W1,2 W2}； (2)W1 W2也是V的子空间； (3)设1,2,,s与1, 2,t是V的两个向量组, 则L(1,2,,s ) L(1, 2,t ) L(1,2 ,,s , 1, 2 ,t )
不等于零子空间, 那么它总可以由一组线性无关 的生成元生成。
7
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6.4.2 向量空间的基
1、定义 设V是数域F上一个向量空间，如果在
V中存在一组向量 1,2 ,..., n 满足： （1） 1,2,...,n 线性无关； （2）V的每一个向量都可以由 1,2,...,n 线性
r
L(
1,2 ,..., r )
的一组生成元。
3、可以由有限个向量生成的子空间叫做有限生 成子空间。
5
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4、几点注意 (1)生成子空间提供了一种构造子空间的方法； (2)有限生成的子空间所含向量个数不一定有限；
只有L(0)={0}所含向量个数是有限的； (3)除零空间外，任意一个向量空间都可以构造出 无数个子空间，当然其中可能有许多是相同的； (4)等价的向量组生成相同的子空间。来自1,2,
.
.
.
,
的线性组合。
n
9
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4、有限生成的非零向量空间一定有基，其基就 是生成元组的一个极大无关组。
即若V
L(1,
2
,
.
.
.,
m
)，则1,
2
,...,
的一个
m
极大无关组i1 ,i2 ,...,ir 就是V的一个基。
5、一个向量空间如果有基的话，其基一般并不
证明：（1）→（2）→（3）→（4） →（1）
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3、余子空间 (1)定理：设W是向量空间V的一个子空间， 那么一定存在V的一个子空间U，使得
V W U
(2)定义：设W是向量空间V的一个子空间，
如果V的子空间U满足V W U ，则称U为
W的一个余子空间。
例11、在几何空间V3中，W为过原点的平面， 那么W的余子空间是任一过原点且不在此平面 内的直线。
2
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二、教学目的 1．掌握有限维向量空间基与维数的概念 及其求法． 2．理解基在向量空间理论中所起的作用． 3．了解子空间的和、直和、余子空间． 三、重点、难点 基和维数的概念及求法、维数定理． 四、难点 子空间的直和、余子空间．
3
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6.4.1 生成子空间
唯一。但一个向量空间的任意两个基是彼此等价
的，并且所含向量个数相同。
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6.4.3 向量空间的维数
1、定义 一个向量空间V的基所含向量个数叫 做V的维数。记作dimV。 零空间的维数定义0。
例如：dimV2 2，dimV3 3； dim F n n； dim M m,n (F ) mn； dim Fn[x] n 1。
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问题 :W1 W2中任一向量都可以表示成一个W1 中向量1与一个W2中向量 2的和,即 1 2 ,1 W1,2 W , 那么这种表示是不是唯一的？
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2、子空间的直和 (1)直和的定义 设W1、W2是向量空间V的两个子空间,如果W1 W2
{(a1, a2,0) a1, a2 F} 因为W1 W2中每一向量表示成W1与W2中向量的 和的方式是唯一的,故W1 W2是直和,即W1 W2
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例10、 在F 3中,1 1，0，0， 2 0，1，0， 取：
W1 L(1) {(a1,0,0) a1 F} W2 L(1,2 ) {(b1,b2,0) b1,b2 F} 则W1 W2 L(1) L(1,2 ) L(1,1,2 ) L(1,2 ) {(a,b,0) a,b F}
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第6章 向量空间
6.1 向量空间的定义和例子 6.2 子空间 6.3 向量的线性相关 6.4 基和维数 6.5 坐 标 6.6 向量空间的同构 6.7 矩阵的秩 齐次线性方程组的解空间
1
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6.4 基和维数
一、内容分布 6.4.1 生成子空间 6.4.2 向量空间的基 6.4.3 向量空间的维数 6.4.4 子空间的和、直和、余子空间
6
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5、定理6.4.1 设 1,2,...,n 是向量空间V 的
一组不全为零的向量,而 i1 ,i2 ,...,ir 是它的一
个极大无关组。那么
L1,2,...,n L i1 ,i2 ,...,ir
根据这个定理,如果有限生成子空间 L1,2,...,n
因为W1 W2中每一向量表示成W1与W2中向量 的和的方式不是唯一的,故W1 W2不是直和, 不能写成W1 W2。
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(2)直和的等价条件
设W1、W2是向量空间V的两个子空间, 则下列条件等价: (1)W1 W2是直和; (2)W1 W2 {0} (3) dim(W1 W2 ) dim W1 dim W2 (4)W 1,W2的基可凑成W1 W2的基
(3) 余子空间不唯一。
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例12、 设S {A M n (F ) A A},
T {A M n (F ) A A} 证明: (1)S,T是M n (F )的子空间; (2)M n (F ) S T ; (3)S T {0}.
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2、n维向量空间中任意多于n个向量的向量组一 定线性相关。
3、定理6.4.4 设 1,2,...,r 是n维向量空间
Ｖ中一组线性无关的向量．那么总可以添加 n – r
个向量 r1,...,n ，使得 1,...,r ,r1,...,n
作成Ｖ的一个基。特别地，n维向量空间中任意n
表示。
则称1,2,..., n是V的一个基。
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2、1, 2 ,..., n是V的一个基，那么 V L(1,2,...,n )。
即V的一个基就是V的一组线性无关的生成元。
3、基的重要意义还在于：
定理6.4.2 设1,2,...,n是向量空间V的一个 基，那么V的每一个向量都可以唯一地表为
线性空间的基与维数
2,
a
3,
a
T
4)
线性空间 V的任一元素在不同的基下所对的
坐标一般不同，一个元素在一个基下对应的坐标是
唯一的．
例２ 所有二阶实矩阵组成的集合V，对于矩阵 的加法和数量乘法，构成实数域 R上的一个线性
空间．对于V中的矩阵
E
11
1 0
0 0
,
E
12
0 0
1 , 0
0 0
0 0
E
21
1
0
,
E
22
( x1, x2 , , xn )T
结论
１．数域 P上任意两个n 维线性空间都同
构２．．同构的线性空间之间具有反身性、对称性
与传递性．
３．同维数的线性空间必同构．
同构的意义
在线性空间的抽象讨论中，无论构成线性空间 的元素是什么，其中的运算是如何定义的，我们所 关心的只是这些运算的代数性质．从这个意义上可 以说，同构的线性空间是可以不加区别的，而有限 维线性空间唯一本质的特征就是它的维数．
( 2)
V中任一元素总可由1,2 ,
,
线
n
性
表示,
那末, 1,2 , ,n 就称为线性空间V 的一个
基, n 称为线性空间V 的维数.
维数为n的线性空间称为n 维线性空间,记作Vn . 当一个线性空间 V 中存在任意多个线性无关
的向量时，就称 V 是无限维的．
若1 ,2 , ,n为Vn的一个基,则Vn可表示为
一、线性空间的基与维数
已知：在 Rn中，线性无关的向量组最多由 n 个向量组成，而任意 n 1个向量都是线性相关的．
问题：线性空间的一个重要特征——在线性空 间V 中，最多能有多少线性无关的向量？
基与维数的几种求法
线性空间基和维数的求法方法一 根据线性空间基和维数的定义求空间的基和维数,即：在线性空间V 中，如果有n 个向量n αα,,1 满足:(1)n ααα,2,1 线性无关。
(2)V 中任一向量α总可以由n ααα,,21, 线性表示。
那么称V 为n 维（有限维）线性空间，n 为V 的维数，记为dim v n =，并称n ααα,,2,1 为线性空间V 的一组基。
如果在V 中可以找到任意多个线性无关的向量，那么就成V 为无限维的。
例1 设{}0V X AX ==，A 为数域P 上m n ⨯矩阵，X 为数域P 上n 维向量，求V 的维数和一组基。
解 设矩阵A 的秩为r ，则齐次线性方程组0AX =的任一基础解系都是V 的基，且V 的维数为n r -。
例2 数域P 上全体形如0a a b ⎛⎫⎪-⎝⎭的二阶方阵，对矩阵的加法及数与矩阵的乘法所组成的线性空间，求此空间的维数和一组基。
解 易证0100,1001⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭为线性空间0,a V a b p a b ⎧⎫⎛⎫=∈⎨⎬ ⎪-⎝⎭⎩⎭｜的一组线性无关的向量组，且对V 中任一元素0a a b ⎛⎫ ⎪-⎝⎭有00100+1001a a b a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 按定义0100,1001⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭为V 的一组基，V 的维数为2。
方法二 在已知线性空间的维数为n 时，任意n 个向量组成的线性无关向量组均作成线性空间的基。
例3 假定[]n R x 是一切次数小于n 的实系数多项式添上零多项式所形成的线性空间，证明：()()()211,1,1,,1n x x x ----构成[]n R x 的基。
证明 考察()()1121110n n k k x k x -⋅+-++-=由1n x-的系数为0得0n k =，并代入上式可得2n x -的系数10n k -=依此类推便有110n n k k k -====，故()()11,1,,1n x x ---线性无关又[]nR x 的维数为n ,于是()()11,1,,1n x x ---为[]nR x 的基。
02 第二节 维数、基与坐标
例6 (E04) 证明维线性空间 与维数组向量空间同构.
证 (1) 中的元素与中的元素形成一一对应关系;
(2) 则有
结论 1. 数域上任意两个维线性空间都同构. 2. 同构的线性空间之间具有反身性、对称性与传递性. 3. 同维数的线性空间必同构.
例4(E02) 所有二阶实矩阵组成的集合对于矩阵的加法和数量乘法, 构成实数域R上的一个线性空间. 试证
,,, 是中的一组基, 并求其中矩阵A在该基下的坐标.
证 先证其线性无关, 由有
即线性无关. 又对于任意二阶实矩阵 有 因此为的一组基. 而矩阵在这组基下的坐标是
例5 (E03) 求子空间的维数，其中 解 易知是由下列向量的全体线性组合所构成的集合：
第二节 基、维数与坐标
分布图示
★ 引言
★ 线性空间的基与维数
★ 生成子空间
★ 例1
★ 坐标
★ 例2
★ 例3 ★ 例4
★ 线性空间的同构
★ 例6
★ 内容小结
★ 课堂练习
★ 习题6-2
★ 例5 ★ 例7
内容要点
一、线性空间的基与维数 我们已知在中，线性无关的向量组最多由个向量组成，而任意个向
量都是线行相关的。现在我们要问：在线性空间中，最多能有多少个线 性无关的向量？
元素有序数组 定义2 设是线性空间的一个基,对于任一元素, 有且仅有一组有序数 使，则称有序数组为元素在基下的坐标, 并记作.
二、线性空间的同构 设是维线性空间的一组基，在这组基下，中的每个向量都有唯一确
定的坐标，而向量的坐标可以看作中的元素，因此向量与它的坐标之间 的对应就是到的一个映射。对于中不同的向量它们的坐标也不同，即对 应于中的不同元素。反过来，由于中的每个元素都有中的向量与之对 应，我们称这样的映射是与的一个一一对应的映射。这个映射的一个重 要特征表现在它保持线性运算（加法和数乘）的关系不变。
基与维数的几种求法
基与维数的几种求法线性空间基和维数的求法方法一根据线性空间基和维数的定义求空间的基和维数,即：在线性空间v中，如果有n个向量α1,,αn满足用户:(1)α1,α2,αn线性无关。
(2)v中任一向量α总可以由α1,α2,,αn线性则表示。
那么称v为n维（有限维）线性空间，n为v的维数，记为dimv=n，并称α1,α2,,αn为线性空间v的一组基为。
如果在v中可以找到任意多个线性无关的向量，那么就成v为无限维的。
基准1设v=xax=0，a为数域p上m⨯n矩阵，x为数域p上n佩向量，谋v的维数和一组基为。
解设矩阵a的秩为r，则齐次线性方程组ax=0的任一基础解系都是v的基，且v的维数为n-r。
基准2数域p上全体形似对矩阵的乘法及数与矩阵的乘法所共同组成⎪的二阶方阵，-ab⎪⎪的线性空间，谋此空间的维数和一组基为。
⎪⎪0a⎪⎪⎪01⎪⎪00⎪为线性空间,v=｜a,b∈p⎪⎪的一组线性毫无关系的向⎪⎪⎪⎪-10⎪⎪01⎪⎪⎪-ab⎪⎪⎪0a⎪⎪0a⎪⎪01⎪⎪00⎪量组，且对v中任一元素⎪=a⎪+b⎪⎪有ab1001-ab⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪01⎪⎪00⎪⎪,⎪为v的一组基为，v的维数为2。
⎪10⎪⎪01⎪方法二在已知线性空间的维数为n时，任意n个向量组成的线性无关向量组均作成线性空间的基。
基准3假设r[x]n就是一切次数大于n的实系数多项式迎上零多项式所构成的线性空间，证明：1,(x-1),(x-1),,(x-1)构成r[x]n的基。
证明实地考察k1⋅1+k2(x-1)++kn(x-1)的系数为0得kn=0，并代入上式可得xn-2的系数kn-1=0依此类推便存有kn=kn-1==k1=0，故1,(x-1),,(x-1)又r[x]的维数为n,于是1,(x-1),,(x-1)为r[x]的基。
方法三利用定理：数域p上两个非常有限佩线性空间同构的充份必要条件就是它们存有相同的维数。
例4设a=⎪，证明：由实数域上的矩阵a的全体实系数多项式f(a)共同组成的空间v=⎪f(a)｜a=⎪⎪⎪0-1⎪⎪⎪⎪与复数域c作为实数域r上的线性空间10⎪⎪⎪v'={a+bi｜a,b∈r}同构，并非谋它们的维数。
高等代数课程教学大纲
《高等代数》课程教学大纲一．课程教学目的与任务本课程是我院数学系数学教育专业的一门重要基础课程。
其主要任务是使学生获得数学的基本思想方法和多项式理论、行列式、线性方程组、矩阵论、向量空间、线性变换、欧氏空间、二次型等方面的系统知识。
它一方面为后继课程（如近世代数、数论、离散数学、计算方法、微分方程、泛函分析）提供一些所需的基础理论和知识；另一方面还对提高学生的抽象思维、辑推理及运算能力，开发学生智能，加强“三基”（基础知识、基本理论、基本理论）和培养学生创造性能力等起到重要作用。
二．与各课程的联系本课程是数学专业的后继课程：如近世代数、数论、离散数学、计算方法、微分方程、泛函分析等的先导课程和基础课程。
三．教学时数及分配总学时198,其中课堂讲授 151学时,习题课（包括复习课）47学时。
各学期教学时数安排情况：第二学期：108学时，自第一章至第五章，周学时6第三学期：90学时，自第五章至第九章，周学时5四．讲授内容与要求：第一章基本概念（12学时）一．教学目的和要求：1. 正确理解集合的概念，明确集合的相等、子集、空集、交集、卡氏集等概念及他们之间的关系。
2．掌握映射、满射、单射、双射、映射的合成、可逆映射的概念和映射可逆的充要条件。
3．理解和掌握数学归纳法原理，能熟练运用数学归纳法。
4．理解和掌握整数的性质及带余除法、最大公因数与互素、素数的一些简单性质。
5．掌握数环，数域的概念，能够判别一些数集是否为数环、数域，懂得任意数域都包含有理数域。
二．教学内容：1.1 集合（2学时）1.2 映射（3学时）1.3 数学归纳法（2学时）1.4 整数的一些整除性质（3学时）1.5 数环，数域（2学时）第二章多项式（37学时）一．教学目的和要求：1．掌握数域上一元多项式的概念、运算以及多项式的和与积的次数。
2．正确理解多项式的整除概念和性质。
理解和掌握带余除法。
3．掌握最大公因式的概念、性质、求法以及多项式互素的概念和性质4．理解不可约多项式的概念，掌握多项式唯一因式分解定理。
基和维数的关系
基和维数的关系
基和维数是线性代数中的两个重要概念，它们之间有着密切的关系。
在矩阵论中，基的数量决定了矩阵的列空间的维数，也就是列向量的线性独立的数量。
因此，如果一个矩阵的列向量数量为 n，但其列向量中有重复的向量，那么矩阵的列空间的维数就会小于 n。
这时，我们需要找到一组线性无关的向量作为基，从而得到列空间的基和维数。
另一方面，矩阵的行空间的维数也和其基的数量有关系。
矩阵的行空间是由其行向量张成的向量空间，而行向量的数量和它们的线性独立的数量相同。
因此，矩阵的行空间的维数取决于它的行向量的线性独立的数量，也就是它的基的数量。
除了列空间和行空间，矩阵还有一个重要的概念——零空间。
零空间是由矩阵的所有零空间向量张成的向量空间。
零空间向量是指矩阵乘以该向量得到的结果为零向量的向量。
矩阵的零空间的维数也和其基的数量有关系。
根据线性代数的基本定理，矩阵的列空间和零空间的维数之和等于矩阵的列数。
因此，如果知道了矩阵的列空间的维数，就可以求得它的零空间的维数。
总之，基和维数在线性代数中起着至关重要的作用。
它们的关系非常紧密，互相影响。
通过矩阵的基和维数，我们可以更好地理解矩阵的性质和特征。
61.4基和维数
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4、有限生成的非零向量空间一定有基，其基就 是生成元组的一个极大无关组。
即若V
L(1,
2
,...,
m
)，则1
,
2
,...Βιβλιοθήκη ,的一个m
极大无关组i1 ,i2 ,...,ir 就是V的一个基。
例8、 在R4中， 设1 2,1,11,2， 2 1,0,4,1，
3 1,4,16,15， 4 2,1,5,6， 5 1,6,22,23，
启示：对有限生成的子空间，生成元可以精简。 问题：怎样的一组生成元所含的向量个数最少？
5、定理6.4.1 设 1,2,...,n 是向量空间V 的
一组不全为零的向量,而 i1 ,i2 ,...,ir 是它的一
个极大无关组。那么
L1,2,...,n L i1 ,i2 ,...,ir
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2
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6.4.1 生成子空间
1、设V是数域F上向量空间，1, 2 ,, r
是V 中r个向量，则
W {a11 a22 ... arr ai F,i 1,2,...,r}
构成V的一个子空间。
3
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2、{a11 a22 ... arr ai F,i 1,2,...,r}
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6.4 基和维数
一、内容分布 6.4.1 生成子空间 6.4.2 向量空间的基 6.4.3 向量空间的维数 6.4.4 子空间的和、直和、余子空间
1
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二、教学目的 1．掌握有限维向量空间基与维数的概念 及其求法． 2．理解基在向量空间理论中所起的作用． 3．了解子空间的和、直和、余子空间． 三、重点、难点 基和维数的概念及求法、维数定理． 四、难点 子空间的直和、余子空间．
向量空间的基与维数
例6
向 量
解析几何
线性代数
既有大小又有方向的量
有次序的实数组成的数组
几何形象： 可随意 平行移动的有向线段
代数形象： 向量的 坐 标 表 示 式
坐标系
四、向量与向量空间
空 间
解析几何
线性代数
点空间：点的集合
向量空间：向量的集合
坐标系
代数形象： 向量空 间 中 的 平 面
说明
2． 维向量的集合是一个向量空间,记作 .
1．集合 对于加法及乘数两种运算封闭指
一、向量空间的概念
定义1 设 为 维向量的集合，如果集合 非空， 且集合 对于加法及乘数两种运算封闭，那么就称 集合 为向量空间．
.
,
3
3
是一个向量空间
维向量的全体
R
例1
例2 判别下列集合是否为向量空间.
几何形象： 空间 直线、曲线、空间 平面或曲面
一 一 对 应
叫做 维向量空间．
时， 维向量没有直观的几何形象．
叫做 维向量空间 中的 维超平面．
确定飞机的状态，需 要以下6个参数：
飞机重心在空间的位置参数P(x,y,z)
机身的水平转角
机身的仰角
机翼的转角
所以，确定飞机的状态，需用6维向量
m
m
m
m
m
m
l
l
l
l
l
l
L
L
L
L
L
L
例5
定义2 设有向量空间 及 ，若向量空间 ， 就说 是 的子空间．
实例
设 是由 维向量所组成的向量空间，
二、子空间
那末，向量组 就称为向量 的一个
线性代数基和维数
对于矩阵A，A的列之间的线性关系可以表 成Ax=0，其中x为相应的组合系数构成的列 向量.（如果A的某列在某个关系式中不出现， 则相应的系数为零.）
A经初等行变换化为B后，B的列一般与A的 列完全不同，但Ax=0和Bx=0两个方程组同 解，这意味着，A的列与B的相应列之间有 完全相同的线性关系. 因而有以下结果：
一向量 必可表为 1,2,..., p 的线性组合.
如果 能用两种方式表成1,2,..., p 的线性 组合，即
k11 k22 ... k p p , l11 l22 ... lp p.
两式相减，有
0 (k1 l1)1 (k2 l2 )2 ... (k p lp ) p.
(2) 如果 H 0, 则必有S的某个子集是H的基.
证明：(1)不妨设 p 是1, , p1 的线性组合：
p c11 c p1 p1.
H中的任意向量 可以表为
k11 k p1 p1 k p p ,
代入上式，容易验证 是1, , p1的线性组合.
可以看出，线性相关的生成集包含了冗余信息，
即如果 S 1,2, ,p是子空间H的线性相关生成
集，则至少有一个向量可以写成其余p-1个向量的 线性组合，从而可以从S中去除，得到一个较小的 生成集.
另一方面，如果B 1, 2, , r是H的线性无关生成
集，则B中任一向量都不能由其余r-1个向量线性表 出，因此从B中去除一个向量后得到的B的子集一 定不是H的生成集（去除的向量不能由剩余向量线 性表出）.
解： 设 在基 1, 2 , 3下的坐标为 x1, x2, x3 T，则
x1
1
2
基与维数的基本概念与应用
基与维数的基本概念与应用线性代数是现代数学中非常重要的一部分，而作为线性代数的基本概念之一，基与维数在很多领域中都有着重要的应用和作用。
在本文中，我们将着眼于基与维数的基本概念和应用，希望能够给读者带来全面且深入的了解。
基的概念基是线性空间的一个基本概念。
在线性代数中，所谓线性空间就是一个向量空间的特殊情形，向量空间由向量组成，这些向量可以用数字来表示。
而基就是指这些向量的数量最少的子集，这个子集中的向量可以表示出这个向量空间中的其他所有向量。
具体来说，基的定义是：如果一个向量空间V中的向量集S有以下两个性质：1. 向量集S中的向量是线性无关的；2. 向量集S中的任意向量都可以用向量集S中的有限个向量线性组合表示（即，对于任意一个向量v∈V，都存在一组系数a1,a2,……,an使得v=a1s1+a2s2+……+ansn，其中si∈S，ai∈K，K是所在域）那么，S就是V的一个基。
基的一些性质包括:1. 基是线性无关的。
2. 基中的任意向量都不可由其他向量线性组合得到。
3. 维数相同的向量空间会有同样数量的基。
4. 所有向量空间都有基，包括零向量空间。
维数的概念维数是向量空间的另一个重要概念。
在数学中，向量空间的维数是指基中向量的数量的大小。
具体来说，如果一个向量空间V有一个n个线性无关向量的基，那么V就称为一个n维向量空间。
维数可以理解为空间中向量的独立自由度，向量空间的维数可以用来区分不同的向量空间，也用来确定矩阵的秩等重要性质。
基的应用基作为线性代数中的基本概念，应用十分广泛。
以下列举了一些基的应用：1. 矩阵乘法：矩阵乘法的前提是两个矩阵的行列数满足要求。
具体来说，矩阵A的列数必须等于矩阵B的行数。
而每一个矩阵可以看做是向量空间中向量的组合，因而矩阵的乘法实际上就是向量之间的线性组合，而基恰好是向量的组合表示。
2. 解方程组：在线性代数中，矩阵可以看做是线性方程组的系数，而矩阵的秩和向量空间的维数有密切关系。