4-4向量空间的基和维数
向量空间的基底与维数
向量空间的基底与维数在线性代数中，向量空间是一个具有特定运算规则的集合。
在向量空间中，基底是一组线性无关的向量，它们可以生成该向量空间中的任意向量。
维数则是指向量空间中基底的个数。
本文将介绍向量空间的基底与维数的概念及其相关性质。
一、基底的定义与性质基底是向量空间中的一组线性无关的向量。
具体来说，如果向量空间V中的向量集合B={b1, b2, ..., bn}满足以下两个条件：1. B中的向量相互独立，即对于任意不全为0的标量c1, c2, ..., cn，有c1b1 + c2b2 + ... + cnbn ≠ 0；2. B中的向量可以生成向量空间V中的任意向量，即对于向量v∈V，存在标量c1, c2, ..., cn，使得v = c1b1 + c2b2 + ... + cnbn。
根据基底的定义，我们可以得出一些基本性质：1. 基底中的向量个数是唯一的。
换言之，一个向量空间只有一个维数。
2. 基底中的向量个数与向量空间中的任意一组基底的向量个数相等。
3. 如果一个向量空间有有限维，则其基底中的向量个数也是有限的。
二、维数的定义与性质维数是指向量空间中基底的个数。
记作dim(V)。
如果向量空间V中存在一组基底包含m个向量，那么V的维数就是m。
维数具有以下性质：1. 维数是向量空间的基本属性，不依赖于具体的表示方式。
2. 同一个向量空间中的不同基底具有相同的维数。
3. 对于向量空间R^n，其维数为n。
三、基底和维数的关系与应用基底和维数在线性代数中具有重要的应用价值。
首先，基底的存在性保证了向量空间中的向量可以用基底中的向量线性表示出来，这对于求解线性方程组、解决线性相关与线性无关的问题非常有帮助。
其次，维数在研究向量空间的结构和性质时起到了关键作用。
例如，两个向量空间V和W的维数相等，则它们同构；若维数不相等，则它们不同构。
此外，在计算机科学、信号处理以及物理学等领域中，基底和维数的概念也被广泛应用，如图像压缩、数据降维等。
基与维数的几种求法
线性空间基和维数的求法方法一 根据线性空间基和维数的定义求空间的基和维数,即：在线性空间V 中，如果有n 个向量n αα,,1 满足:(1)n ααα,2,1 线性无关。
(2)V 中任一向量α总可以由n ααα,,21, 线性表示。
那么称V 为n 维（有限维）线性空间，n 为V 的维数，记为dim v n =，并称n ααα,,2,1 为线性空间V 的一组基。
如果在V 中可以找到任意多个线性无关的向量，那么就成V 为无限维的。
例1 设{}0V X AX ==，A 为数域P 上m n ⨯矩阵，X 为数域P 上n 维向量，求V 的维数和一组基。
解 设矩阵A 的秩为r ，则齐次线性方程组0AX =的任一基础解系都是V 的基，且V 的维数为n r -。
例2 数域P 上全体形如0a a b ⎛⎫⎪-⎝⎭的二阶方阵，对矩阵的加法及数与矩阵的乘法所组成的线性空间，求此空间的维数和一组基。
解 易证0100,1001⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭为线性空间0,a V a b p a b ⎧⎫⎛⎫=∈⎨⎬ ⎪-⎝⎭⎩⎭｜的一组线性无关的向量组，且对V 中任一元素0a a b ⎛⎫ ⎪-⎝⎭有00100+1001a a b a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 按定义0100,1001⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭为V 的一组基，V 的维数为2。
方法二 在已知线性空间的维数为n 时，任意n 个向量组成的线性无关向量组均作成线性空间的基。
例3 假定[]n R x 是一切次数小于n 的实系数多项式添上零多项式所形成的线性空间，证明：()()()211,1,1,,1n x x x ----构成[]n R x 的基。
证明 考察()()1121110n n k k x k x -⋅+-++-=由1n x-的系数为0得0n k =，并代入上式可得2n x -的系数10n k -=依此类推便有110n n k k k -====，故()()11,1,,1n x x ---线性无关又[]nR x 的维数为n ,于是()()11,1,,1n x x ---为[]nR x 的基。
空间向量的基
1 , 2 , , r 是向量空间V的一个基，则 V 可表示为 （3）若向量组
V x 1 1 2 2 r r 1 , , r R
例如，在Rn中， (1 , 2 , n ) 是它的一组基 ，称为标准基，因此
Rn 是n维向量空间。
数理学院
设R n中的向量 在这两组基下的坐标分别为( x1 ,
xn )与( x '1 ,
x 'n )
则 (e1 , e2 ,
x1 x en ) 2 (e '1 , e '2 , xn
x '1 x' e 'n ) 2 (e1 , e2 , x 'n
4
2 0 2 1 1 1 1 3 (2)1 , 2 , 3 , 4 . 0 2 1 1 1 2 2 2 求基(1)到基(2)的过渡矩阵, 并求坐标变换公式.
SCHOOL OF MATHEMATICS AND PHYSICS
由定义可知，向量空间的基不是惟一的，但其维数是确定
的。并且向量空间可以由它的任一组基 (1 , 2 , n ) 生成。因 此，任给 V ，有惟一的表达式 x11
xn n ，称 ( x1 ,
xn )
为 在基 (1 , 2 , n ) 下的坐标。
由于基不是惟一的，所以同一向量在不同的基下的坐标是 不同的。下面我们来讨论同一向量在不同基下坐标之间的关系。
数理学院
SCHOOL OF MATHEMATICS AND PHYSICS
设 (e1 , e2 , en ) 和 (e '1 , e '2 , 即可以相互表示。 e1 e 2 设 en
向量的分量和维数概念
向量的分量和维数概念向量是数学中一个重要的概念，它在各个领域都有广泛的应用，如物理学、几何学、工程学等。
本文将重点介绍向量的分量和维数的概念。
1. 向量的基本概念向量是有大小和方向的量，通常用一个有向线段来表示。
在二维空间中，向量可以表示为一个有序对 (x, y)，其中 x 和 y 分别表示向量在 x 和 y 方向上的分量。
在三维空间中，向量可以表示为一个有序三元组 (x, y, z)，其中 x、y 和 z 分别表示向量在 x、y 和 z 方向上的分量。
一般地，在 n 维空间中，向量可以表示为一个有序 n 元组 (x1, x2, ..., xn)，其中 xi 表示向量在第 i个方向上的分量。
2. 向量的分量向量的分量指的是向量在不同方向上的投影。
在二维空间中，向量 V 的 x 分量表示向量在 x方向上的投影，通常用 Vx 表示；向量 V 的 y 分量表示向量在 y 方向上的投影，通常用 Vy 表示。
在三维空间中，向量 V 的分量类似地可以表示为 Vx、Vy 和 Vz。
一般地，在 n 维空间中，向量 V 的第 i 个分量表示向量 V 在第 i 个方向上的投影，通常用 Vi 表示。
向量的分量可以通过一些公式进行计算。
在二维空间中，对于向量 V(x, y)，它的 x 分量可以通过以下公式计算：Vx = ||V|| * cos(θ)其中 ||V|| 表示向量 V 的长度，θ 表示向量 V 与 x 轴的夹角。
类似地，y 分量可以通过以下公式计算：Vy = ||V|| * sin(θ)在三维空间中，向量 V 的分量的计算公式类似。
3. 向量的维数向量的维数是指向量在有限个维度上的长度或分量的个数。
一般地，向量的维数用 n 表示。
例如，在二维空间中，向量的维数为 2；在三维空间中，向量的维数为 3；在四维空间中，向量的维数为 4，依此类推。
向量的维数决定了向量的性质和运算规则。
例如，在 n 维空间中，向量的加法可以定义为分量相加的运算：对于向量 A(a1, a2, ..., an) 和向量 B(b1, b2, ..., bn)，它们的和向量 C(c1, c2, ..., cn)的每个分量都是对应分量之和，即 ci = ai + bi。
单招涉及的向量知识点总结
单招涉及的向量知识点总结一、基本概念1. 向量的定义向量是一个有方向和大小的量，通常用箭头表示。
在数学中，向量通常用一个由其分量构成的数组来表示。
2. 向量的加法和减法向量之间的加法和减法是按分量进行对应相加或相减的运算。
例如，对于两个向量 a=(a1, a2) 和 b=(b1, b2)，它们的和是 c=(a1+b1, a2+b2)，差是 d=(a1-b1, a2-b2)。
3. 向量的数量积向量的数量积又称点积，是指两个向量相乘后相加的结果。
具体计算方式是将两个向量的对应分量相乘后相加，得到一个标量。
例如，对于向量 a=(a1, a2) 和 b=(b1, b2)，它们的数量积是 a·b=a1b1+a2b2。
4. 向量的数量积的性质向量的数量积具有交换律、分配律和结合律等性质，即 a·b=b·a，a·(b+c)=a·b+a·c，(ka)·b=k(a·b)。
这些性质使得向量的数量积在计算过程中更加方便和灵活。
5. 向量的夹角向量的夹角是指两个向量之间的夹角，其大小可以通过向量的数量积来计算。
具体的计算公式是cosθ=a·b/|a||b|，其中 a 和 b 分别是两个向量，θ 是它们的夹角。
6. 向量的叉积向量的叉积又称向量积，是指两个向量相乘得到一个新的向量。
具体计算方式是根据右手法则，逆时针方向相互垂直的两个向量相乘，得到一个新的向量，该新的向量垂直于原来的两个向量。
二、向量的应用1. 向量的平移在空间中，可以通过将一个向量加到另一个向量上，从而实现向量的平移。
这种方法在几何问题中经常会用到，可以方便地求解各种几何关系。
2. 向量的力学应用在物理学中，向量经常被用来描述力和速度等物理量。
力可以用向量来表示，根据牛顿第二定律 F=ma，力和加速度之间的关系可以用向量表示。
3. 向量的几何应用在几何学中，向量经常被用来描述对象的位置、方向和大小等几何特征。
4.4向量空间的基和维数
一、向量空间的基与维数 定义4.1 设V为向量空间，若存在1, 2, …, r V.
且满足： (1) 1, 2, …, r 线性无关；
(2) V 中任一向量都可以由1, 2, …, r 线性表示；
则称1, 2, …, r 为V的一组基底，简称基， r 为V的维数，并称 V 为 r 维向量空间。
1
注1： 若将向量空间V看成无穷个向量组成的向
量组，其基就是其极大线性无关组，其规定其维数为0。
2
例如：对于Rn
(1) 基本单位向量组 1 , 2 ,, n 是一组基，称为标 准基。 (2) 1 = (1, 0, 0,…, 0), 2 = (1, 1, 0,…, 0), …，
n = (1, 1,…, 1) 也是基。
3
二、向量在给定基下的坐标
定义4.2 设1, 2, …, n 是向量空间 V 的一组基，
任取 V, 都有
= x11 + x22 + … + xnn
且组合系数 x1, x2, …, xn 唯一，称为向量 在
基 1, 2, …, n 下的坐标，记为 (x1, x2, …, xn)
4
例如：在 R3 中，
= (2, －3, 1)T = 2ε1－3 ε2 + 1 ε3
注：1、基并不是唯一的 2、向量在不同基坐标也不同
5
例
求向量 ( x1 , x2 ,, xm ) 在基
1 (1,0,..., 0), 2 (1,1,..., 0), , m (1,1,...,1)
下的坐标.
6
向量空间的基本概念
向量空间的基本概念
【例3-19】
证明向量组α1=1,1,2T,α2=3,－1,0T,α3=（2,0,－11）T构成R3的 一组基，并求出向量β=1,－1,7T在此基下的坐标.
证明 要证明α1,α2,α3构成R3的一组基，只需证明α1,α2,α3线性 无关.
构造矩阵A=α1,α2,α3,并对A进行初等行变换：
对于向量空间Rn的一组基α1,α2,…，αn，任取Rn中的 一个向量α，则α可由α1,α2,…，αn线性表示，且表达式是 唯一的.由此，我们引进如下定义：
向量空间的基本概念
定义3-14
设α1,α2,…，αr是向量空间V的一组基，α是V中的向量， 则存在唯一的一组数x1,x2,…,xr，使
α=x1α1+x2α2+…+xrαr 称x1,x2,…,xr为向量α在基α1,α2,…，αr下的坐标. 特别地，在n维向量空间R n中取单位坐标向量组 e1,e2,…,en为基，则以x1,x2,…,xn为分量的向量x=x1,x2,…,xn可 表示为
向量空间的基本概念
二、 向量空间的基与维数
向量空间中的每一个元素都是一个 向量.我们在前面介绍的关于n维向量的 概念（线性组合、相性相关、线性无关 等）及有关结论都可以推广到向量空间 上.为简便起见，在向量空间里，我们直 接利用这些概念和性质.
向量空间的基本概念
定义3-13
设向量组V是Rn的一个子空间，则称向量组V的一个极 大无关组为向量空间V的一组基，并且称向量组V的秩为向量 空间V的维数，记作dimV.
向量空间的基本概念
向量空间的基本概念
一、 向量空间与子空间
定义3-11
设V为n维向量的集合，如果集合V非空且对于向 量的线性运算（向量的加法及数乘运算）封闭，即对任 意的α，β∈V和常数k∈R都有
线性代数课件向量空间的基和维
如果只有当$k_1 = k_2 = ldots = k_s = 0$时，才有$k_1alpha_1 + k_2alpha_2 + ldots + k_salpha_s = 0$，则称向量组$V$线性无关。
极大线性无关组
极大线性无关组的定 义：如果向量组$V$ 的一个部分组$V_1$ 满足
2. 向量组$V$中任意 一个向量都可以由 $V_1$线性表示。
特征值与特征向量的性质
不同特征值对应的特征向量线性无关；k重特征 值至多对应k个线性无关的特征向量。
3
特征值与特征向量的应用
在矩阵对角化、矩阵的幂运算、微分方程求解等 问题中，特征值与特征向量具有重要作用。
二次型化标准型及规范型
二次型的标准型
通过可逆线性变换，将二次型化为只含有平方项的二次型，称为二次型的标准型。
正交矩阵的性质
正交矩阵的行列式为±1；正交矩阵 的逆和转置都是正交矩阵；正交矩阵 保持向量的长度和夹角不变。
正交变换与正交矩阵的关系
正交变换在标准正交基下的矩阵表示 是正交矩阵；正交矩阵对应的线性变 换是正交变换。
06
向量空间的应用举例
线性方程组解的结构
线性方程组解的存在性
当系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩时，线性方程组有解。
子空间的交与和
子空间的交
两个子空间的交集仍是一个子空 间，它包含同时属于两个子空间
的所有向量。
子空间的和
由两个子空间中所有向量线性组 合生成的向量空间，称为这两个
子空间的和。
性质
子空间的交与和都是子空间，但 两个子空间的和不一定等于它们
所在的向量空间的全部。
05
向量空间中的正交性
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
二、向量空间的基与维数 定义
设V为向量空间，若存在1, 2, …, r V. 且满足： (1) 1, 2, …, r 线性无关； (2) V 中任一向量都可以由1, 2, …, r 线性表示； 则称1, 2, …, r 为V的一组基底，简称基，
r 为V的维数，并称 V 为 r 维向量空间。
2、所有的n维向量全体构成一个最大的向 量空间 R n
3
例：V
{( x1, x2 , x3 )T | x1 x2 x3 0} 1
对于向量的加法和数乘是否是R上的向量空间？
显然零向量在此集合,下证证明加法和数乘的封闭性
( x1, x2 , x3 )T , ( y1, y2 , y3 )T , V1, V1, k R
10 设V是非空的n维向量的集合，如果 即 , V ， 有 即
（1）V对加法运算具有封闭性，
V
（2） V对数乘运算具有封闭性，
R, V , 有 V
则称V是向量空间
2
特例：
1、 只有一个零向量所构成的向量空间 { } 称为零空间。
5
注1： 若将向量空间V看成无穷个向量组成的向
量组，其基就是其极大线性无关组，其维
数就是其秩。
注2：零空间 { } 没有基，规定其维数为0。
6
例如：对于Rn
(1) 基本单位向量组 1 , 2 ,, n 是一组基，称为标准 基。 (2) 1 = (1, 0, 0,…, 0), 2 = (1, 1, 0,…, 0), …，
( x1 y1, x2 y2 , x3 y3 )T , x1 x2 x3 0, y1 y2 y3 0,
x1 y1 ( x2 y2 ) x3 y3 0, V1
k (kx1, kx2 , kx3 )T , kx1 kx2 kx3 k ( x1 x2 x3 ) 0,k V1
为什么唯一
8
例如：在 R3 中，
= (2, －3, 1)T = 2ε1－3 ε2 + 1 ε3
注：1、基并不是唯一的
2、向量在不同基坐标也不同
9
例
求向量 ( x1 , x2 , xn ) 在如下基下的坐标
1 (1,0,0),2 (1,1,0),n (1,1,1)
n = (1, 1,…, 1) 也是基。
原因是什么？
7
三、向量在给定基下的坐标
定义4.2 设1, 2, …, n 是向量空间 V 的一组基，
任取 V, 都有
= x11 + x22 + … + xnn
且组合系数 x1, x2, …, xn 唯一，称为向量 在
基 1, 2, …, n 下的坐标，记为 (x1, x2, …, xn)