向量空间的基、维数与坐标

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高等代数第三节基

加法封闭
(km lm )αm V
(2)对αV ,k R
数乘封闭
kα (kk1)α1 (kk2)α2 (kkm )αm V
V 是向量空间。
2. 向量组生成的向量空间
定义 V x k1α1 k2α2 kmαm | k j R, j 1,2, , m
称为由α1, α2, , αm生成的向量空间,记为L(α1, α2, , αm ) 或span(α1, α2, , αm ).
证毕
2. 基的性质
4. V 可由基α1, α2, , αr所生成，即
V L(α1, α2, , αr ).
证明
α1, α2, , αr是V的基，
αV , 数l1,l2, ,lr ,使
α l1α1 l2α2 lrαr ,
α L(α1, α2, , αr ) V L(α1, α2,
, αr ).
α1, α2决定的平面.
z
z
L
α
y
y
x x
(3)设αR3且α 0, Lα为过原点O,方向为α的直线.
(4) R3 Lε1, ε2, ε3 .
3. 子空间
定义对两(1)个Vn1维V向2,量集合V1与V2 , 若
(2) V1,V2都是向量空间，
例则称 4 (V11)是设Vm2的n子, α空i 间R（n. i 1,2, , m）,则
秩r1 秩r2, 即dimV1 dimV2.
证毕
2. 基的性质
7. F n中任意n个线性无关的向量1，2 n组成一组基；
8. Fn中的向量组S是基 S=｛1，2 n｝由n个线性无关的向量组成.
9. n维向量空间V中的任意线性无关子集S可以扩充为V的基.

线性代数53向量空间的基和维

例设A a1(2 2 1)T a2(2 1 2)T a3(1 2 2)T B b1(1 0 4)T b2(4 3 2)T 验证a1 a2 a3是R3的一个基并求b1 b2在这个基中的坐标
解要说明a1, a2, a3是R3的一个基，只要证a1, a2, a3线性无关，即A E
设b1 x11a1 x21a2 x31a3, b2 x12a1x22a2 x32a3, 则
r1 r2
由基的定义知两组向量组都线性无关，即
r1 s, r2 t 从而 s t
定义向量空间V 的任一基向量的个数, 称为空间V 的维（dimension）, 记这个数为 dimV
由于Rn有一组明显的自然基，
1 0
0
e1
0,
e2
1,
en
0
0
0
1
故有 dim Rn = n , 即Rn是n维向量空间.
Ax O
的解集 N(A) 是向量空间，现在进一步指出：它的通解中元素的一般式中所含有任意常数的个数 n- r(A) 就是 N(A) 的维数 dimN(A), 即
dim N( A) n r( A)
dim N( A) dim R( A) n
基础解系就是N(A)的一组基，它们线性无关，并生成N(A).
即
A
y1 y2 y3
B
z1 z2 z3
于是
z1 z2 z3
B1A
y1 y2 y3
这就是从旧坐标到新坐标的坐标变换公式
定理设b1、…、bs 及 f1、…、ft 是向量空间的任两组基，则必有 s=t. 证利用等价向量组根据向量空间基的定义可知两组基等价的，从而其秩相等：
注（1）只有零向量的向量空间没有基规定其维数为0 （2）若把向量空间V看作向量组则向量空间V的基就是

线性代数4-7章

零向量与任何向量正交.
第四章向量空间 §2 Rn中的内积标准正交基(续5)
定理2 设α1，α2，…，αs为两两正交的非零向量. 则 α1，α2，…，αs线性无关证明：设k1α1+k2α2+…+ksαs=0. 两边与 αi 作内积,得： ki(αi，αi)=0, ∴ki=0, i=1,2,...,s.
第四章向量空间 §2 Rn中的内积标准正交基(续7) Schmidt正交化方法
设向量组A: α1，α2，…，αr线性无关, 求与A等价的标准正交向量组.
1.正交化：
取
1 1
( 3 , 1 ) ( 3 , 2 ) 3 3 1 2 ( 1 , 1 ) (2 , 2 )
a1 b1 a2 b2 的内积定义：n维向量 , a b n n
( , ) a1b1 a2b2 anbn T T
2.( , ) ( , ) ( , );
(i ,i ) 0
∴ α1， α2，…，αs线性无关.
第四章向量空间 §2 Rn中的内积标准正交基(续6)
定义:设α1，α2，…，αs是向量空间V的一组基,且两两正交,则称 α1，α2，…，αs为V的一组正交基. 若又有||αi||=1(i=1,2,…,s),则称 α1，α2，…，αs为V的一组标准正交基.
1
第四章向量空间 §2 Rn中的内积标准正交基(续4) 定理1 | ( , ) ||| || || || .
当α， β均非零向量时，定义α与 β的夹角：
( , ) , arccos || || || ||
(α, β)=0时，称α与 β正交.

线性代数—3.3 向量空间

§3.3 向量空间
一、向量空间的概念二、向量空间的基和维数三、基变换与过渡矩阵
一、向量空间的概念
例1 设 V 为平面上所有起点在定点 O 的向量的集合.
集合 V 具有如下性质: (1) 若 aV, bV, 则 a + bV;
B
a2 a
(2) 若 aV, kR, 则 kaV, 称 V 为平面向量空间.
a 可唯一地表示为 a k1a1 + L + krar
称 (k1, , kr) 为向量 a 在基 a1, , ar 下的坐标.
例4 验证 a1 (1,-1,0)T, a2 (0,1,3)T, a3 (2,1,8)T 为R3 的一个基, 并求 b1 (5,0,12)T, b2 (9,-7,8)T, b3 (3,1,11)T 在这
O a1 A
uuur uuur a OA + OB k1a1 + k2a2
设 V 中两向量 a1, a2 线性无关, 即 a1, a2 不共线, 则
V {k1a1 + k2a2 | k1,k2 R} 称 V 为由向量组 a1, a2 生成的向量空间.
例2 设 n 元方程组 Ax 0 的解集为 S, 秩 R(A) r < n.
• L(A) 为向量空间V 的子空间的充要条件是 A V . • L(B) 为 L(A) 的子空间的充要条件是向量组 B 可由组 A 线性表示. • L(A) L(B) 的充要条件是向量组 A 与组 B 等价.
例3 由 a1 (1,1,0,0)T, a2 (1,0,1,1)T 所生成的空间记为V1, 而由 b1 (2,-1,3,3)T, b2 (0,1,-1,-1)T 所生成的空间记为V2.
(-1,-4,3), (13,8,-2), (1,1,1)

维数、基与坐标

(k) k ()
对任意αV,kK成立.从而
(0) (0) 0 () 0
() ((1)) (1) () () (k11 k22 krr ) (k11) (k22 ) (krr )
k1 (1) k2 (2 ) kr (r )
(2) 若有不全为零的k1,k2,…,kr使
则有
(k11 k2 2 kr r ) 0
由于σ是单射，又只有零元素0才映射到0，
故
k11 k2 2 kr r 0 即若 (1), (2 ),, (r ) 线性相关也必有 α1,α2,…,αr线性相关；
(3) 由于维数就是线性空间中线性无
关元素的最大个数，设V与W同构，则若V 中最大的线性无关元素组为α1,α2,…,αm,那么 σ(α1), σ(α2),…,σ(αr)也是W中线性无关的，且任何多于m个的元素组必线性相关.这样，W 的维数必等于V的维数；
设 ε1,ε2,…,εn与η1,η2, …,ηn是n维线性空间V中的两组基.由基的定义，它们必可以互相线性表出.设 η1,η2, …,ηn由ε1,ε2,…,εn线性表出的关系式为
1 a111 a12 2 a1n n , 2a211a222 a2n n , n an11 an2 2 ann n .
(1, 2 ,3 , 4 ) (1, x, x 2 , x3 ) A
其中
(1, 2 , 3 , 4 ) (1, x, x 2 , x3 )B
1 1 1 1
A
2 0 2
1 2 0
0 2 0
3 03
1 1 1 1
B
0 0 0
1 0 0
2 1 0
3 13
于是
(1, 2 , 3 , 4 ) (1, 2 ,3 , 4 )A1B

向量空间

例4
2 2 1
1 4
设
A
(a1
，a2
，a3
)
2
1
1 2
2 2
，B
(b1
，b2 )
0 4
3 。验证 2
a1 ，a2 ，a3 是 R3的一组基，并求 b1 ，b2 在这组基中的坐标。
解设 b1 x11a1 x21a2 x31a3 ，b2 x12a1 x22a2 x32a3 ，即
是向量空间，称为由向量 1 ，2 ，，m 生成的向量空间，记为 L(1 ，2 ，，m ) 。
例3 如果向量组 1 ，2 ，，s 与向量组 1 ，2 ，，r 等价，则
L(1 ，2 ，，s ) L(1 ，2 ，，r )
证若 L(1 ，2 ，，s )，则可由 1 ，2 ，，s 线性表示，
特别地，在 n 维向量空间 Rn中，取单位坐标向量组 e1 ，e2 ，，en 为基，则以 x1 ，x2 ，，xn 为分量的向量 x，可表示为
x x1e1 x2e2 xnen 可见，向量在基 e1 ，e2 ，，en 中的坐标就是该向量的分量。因此，e1 ，e2 ，，en 称为Rn 中的自然基。
是一个向量空间。
定义2 设V1 ， V2 是两个向量空间，如果V1 V2 ，则称 V1 ，
是V2 的子空间。单独由一个零向量构成的集合{0} 也是一个向量空间，称
为零空间。设 1 ，2 ，，m 为一组 n 维向量，容易证明它的线性组合 V { k11 k22 kmm | ki R，1 i m}
经济数学
向量空间
1
向量空间的概念
3
2
基变换与坐标变换
基、维数与坐标
1.1 向量空间的概念

向量空间的结构

T T T T T
杨建新
第三节向量空间的结构
二、向量空间的基与维数
定义3 设 V 是向量空间，如果 r 个向量 1 , 2 , ，且满足 , r V
第三章维向量空间 n
(1) 1 , 2 ,, r 线性无关; ( 2) V中任一向量都可由 1 , 2 ,, r 线性表示 .
杨建新
第三节向量空间的结构
，结论若Dr 是矩阵A的一个最高阶非零子式则Dr 所在的r列即是列向量组的一个极大无关组，
第三章维向量空间 n
Dr 所在的r行即是行向量组的一个极大无关组 .
如阶梯形矩阵说明
1 0 0 0 0 1 0 4 1 1 0 3 0 0 1 3 0 0 0 0
1, 2 , , n 为线性空间 V 的一组基， V , 若 a1 1 a2 2 an n , a1 , a2 , , an R n 则数组 a1 , a2 , , an ，就称为在基 1 , 2 , , n
设下的坐标，记为 (a1 , a2 ,
选出r个向量 i1 , i2 ,, ir ，满足（1）向量组 A0 : i1 , i2 ,, ir 线性无关；（2）向量组 A中任意 r 1个向量线性相关
（如果 A中有r 1个向量的话） ;
那么向量组A0称为向量组A的一个极大无关向量组 (简称极大无关组)；极大无关组所含向量个数r称为向量组的秩; 向量组A : 1 , 2 ,, s的秩也记作
(a1 ,, a s ) Kx 0 有非零解，即(b,, br ) x 0有非零解，这与B0组
线性无关矛盾，因此 r s不能成立，所以 r s.

02 第二节维数、基与坐标

. 显然，是的倍数. 向量组与向量组等价，并且线性无关，进而是的一组基，所以.
例6 (E04) 证明维线性空间与维数组向量空间同构.
证 (1) 中的元素与中的元素形成一一对应关系;
(2) 则有
结论 1. 数域上任意两个维线性空间都同构. 2. 同构的线性空间之间具有反身性、对称性与传递性. 3. 同维数的线性空间必同构.
例4(E02) 所有二阶实矩阵组成的集合对于矩阵的加法和数量乘法, 构成实数域R上的一个线性空间. 试证
,,, 是中的一组基, 并求其中矩阵A在该基下的坐标.
证先证其线性无关, 由有
即线性无关. 又对于任意二阶实矩阵有因此为的一组基. 而矩阵在这组基下的坐标是
例5 (E03) 求子空间的维数，其中解易知是由下列向量的全体线性组合所构成的集合：
第二节基、维数与坐标
分布图示
★ 引言
★ 线性空间的基与维数
★ 生成子空间
★ 例1
★ 坐标
★ 例2
★ 例3 ★ 例4
★ 线性空间的同构
★ 例6
★ 内容小结
★ 课堂练习
★ 习题6-2
★ 例5 ★ 例7
内容要点
一、线性空间的基与维数我们已知在中，线性无关的向量组最多由个向量组成，而任意个向
量都是线行相关的。现在我们要问：在线性空间中，最多能有多少个线性无关的向量？
元素有序数组定义2 设是线性空间的一个基,对于任一元素, 有且仅有一组有序数使，则称有序数组为元素在基下的坐标, 并记作.
二、线性空间的同构设是维线性空间的一组基，在这组基下，中的每个向量都有唯一确
定的坐标，而向量的坐标可以看作中的元素，因此向量与它的坐标之间的对应就是到的一个映射。对于中不同的向量它们的坐标也不同，即对应于中的不同元素。反过来，由于中的每个元素都有中的向量与之对应，我们称这样的映射是与的一个一一对应的映射。这个映射的一个重要特征表现在它保持线性运算（加法和数乘）的关系不变。

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x1, x2, , xr 称为向量在基1,2, ,r 下的
坐标
记为 ( x1, x2 , , xr ).
8
特别，若 1,2, ,r 是向量空间 V 的一组基，且 1,2 , ,r 两两正交，则称 1,2, ,r 为V 的一组正交基；若 1,2, ,r 两两正交且为单位向量，称 1,2, ,r 为V 的一组
由基的变化，相应的引起同一向量坐标的变化.
设 e1, e2 , , en 与 e1, e2, , en 是 n 维向量空间
的两组基，则后一组基可由前一组基唯一线性
表示
e1 p11e1 p21e2 e2 p12e1 p22e2 en p1ne1 p2ne2
kx1 (k1 )a (k1 )b V .
这个向量空间称为由向量 a, b 所生成的向量空间.
13
一般有设有n维向量a1,a2, ,am，则它们的一切线性组合所成的集合
V x 1a1 2a2 mam 1,2, ,m R
称为由向量a1,a2, ,am所生成的向量空间，记为
pn1en , pn2en ,
La1,a2, ,am ,即
La1,a2, ,am x | x 1a1 2a2
mam 1,2, ,m R
向量组a1,a2, ,am的极大无关组即为 L的基； a1,a2, ,am的秩即为 L的维数.
14
三、基变换与坐标变换
由基的定义可知向量空间中的基不唯一，
第三节向量空间的基、维数与坐标
一向量空间二向量空间的基、维数与坐标三基变换与坐标变换四小结
1
一、向量空间
定义3.18 设 V 是非空 n 维向量的集合，若 V对于
向量的加法及向量乘数两种运算封闭，则称 V 为一个向量空间．说明
集合V 对于加法及乘数两种运算封闭是指
若 V , V , 则 V ; 若 V , R, 则 V .
（1） 1,2, ,r 线性无关；（2）V 中任一向量都可由1,2, ,r 线性表示.
那末，向量组 1 ,2 ,,r 就称为向量空间V 的
一组基，r 称为向量空间 V 的维数，并称 V 为 r 维
向量空间．
6
说明（1）只含有零向量的向量空间称为0维向量
空间，因此它没有基．
（2）若把向量空间V 看作向量组，那末V 的基就是向量组的极大无关组, V 的维数就是向量组的秩.
解 V1是向量空间 .
因为对于V1的任意两个元素
0,a2, ,an T , 0,b2, ,bn T V1 , 有 0,a2 b2, ,an bn T V1
0,a2, Biblioteka an T V1.4例3 判别下列集合是否为向量空间.
V2 x 1, x2, , xn T x2, , xn R
解 V2不是向量空间.
因为若 1,a2, ,an T V2, 则2 2,2a2, ,2an T V2.
对数乘不封闭，同样可证对加法也不封闭.
5
二、向量空间的基、维数与坐标
定义3.19 设 V是向量空间，如果 r 个向量 1,2, ,r V , 且满足
解
1 1 1 2
A

(1T
,

T 2
,

T 3
,

T 4
)

1
2
0
3
1 0 3 7
1 ~ 0
0
1 3 1
1 1 2
2 1 5
~
1 0 0
1 1 0
1 2 7
2 5 14
11
由行阶梯矩阵知 r( A) 3, 且1,2,3 线性无关,
规范基 .
9
Rn 空间的一组规范基为
ε1 (1,0, ,0),ε2 (0,1, ,0), ,εn (0,0, ,1)
向量 (a1,a2,...,an ) 在此规范基下的坐标为
因为
(a1 ,a2 ,...,an ). α a1ε1 a2ε2 ... anεn.
10
例 4 设 1 (1, 1,1),2 (1, 2, 0),3 (1, 0, 3), 4 (2, 3, 7), 证明 1,2,3 是 R3 的一组基并求4关于基 B : 1,2,3 的坐标.
2
例1 3 维向量的全体R3,是一个向量空间. 因为任意两个3维向量之和仍然是3维向量,数
乘3维向量仍然是3维向量，它们都属于R3.
类似地，n维向量的全体Rn，也是一个向量空间.
3
例2 判别下列集合是否为向量空间.
V1 x 0, x2, , xn T x2, , xn R
(4 )B (1, 1, 2).
12
例5 设a,b为两个已知的n维向量，集合
V x a b , R
试判断集合V是否为向量空间.
解 V是一个向量空间. 因为若 x1 1a 1b, x2 2a 2b，则有 x1 x2 (1 2 )a (1 2 )b V ,
知其为 R3 的一组基, 进一步将A变成行最简形：
1 1 1 2 1 0 0 1 A ~ 0 1 2 5 ~ 0 1 0 1
0 0 1 2 0 0 1 2
所以 4 1 1 (1)2 23 因此 4 在基 B : 1,2,3 下的坐标为
个基（，3则）V若可向表量示组为1 ,2 ,,r 是向量空间V 的一
V x 11 22 rr 1, ,r R
7
若1,2, ,r 是向量空间V 的一组基，
则对 V ,存在唯一一组有序数 x1, x2, , xr
使得
x11 x22 xrr ，