线性空间的基与维数

2,
a
3,
a
T
4)
线性空间 V的任一元素在不同的基下所对的
坐标一般不同，一个元素在一个基下对应的坐标是
唯一的．
例２ 所有二阶实矩阵组成的集合V，对于矩阵 的加法和数量乘法，构成实数域 R上的一个线性
空间．对于V中的矩阵
E
11
1 0
0 0
,
E
12
0 0
1 , 0
0 0
0 0
E
21
1
0
,
E
22
( x1, x2 , , xn )T
结论
１．数域 P上任意两个n 维线性空间都同
构２．．同构的线性空间之间具有反身性、对称性
与传递性．
３．同维数的线性空间必同构．
同构的意义
在线性空间的抽象讨论中，无论构成线性空间 的元素是什么，其中的运算是如何定义的，我们所 关心的只是这些运算的代数性质．从这个意义上可 以说，同构的线性空间是可以不加区别的，而有限 维线性空间唯一本质的特征就是它的维数．
( 2)
V中任一元素总可由1,2 ,
,
线
n
性
表示,
那末, 1,2 , ,n 就称为线性空间V 的一个
基, n 称为线性空间V 的维数.
维数为n的线性空间称为n 维线性空间,记作Vn . 当一个线性空间 V 中存在任意多个线性无关
的向量时，就称 V 是无限维的．
若1 ,2 , ,n为Vn的一个基,则Vn可表示为
一、线性空间的基与维数
已知：在 Rn中，线性无关的向量组最多由 n 个向量组成，而任意 n 1个向量都是线性相关的．
问题：线性空间的一个重要特征——在线性空 间V 中，最多能有多少线性无关的向量？
定义１ 满足：
在线性空间 V 中，如果存在 n个元素
1,2 , ,n
(1)
1,2 ,
,
线性无
n
关;
f 4 ( x)所生成的子空间的基,该子空间的维数为2,且
有
f 3 ( x) 3 f 1( x) 2 f 2 ( x),
f 4( x) 4 f 1( x) f 2( x).
A a11 a12 V , a21 a22
有 A a11 E11 a12 E12 a21 E 21 a22 E 22
因此 E11 , E12 , E 21 , E 22为V的一组基.
而矩阵A在这组基下的坐标是 (a11, a12, a 21, a 22)T .
例3 在线性空间R[ x]n中,取一组基
1 1, 2 ( x a), 3 ( x a)2 , , n ( x a)n1
则由泰勒公式知 f ( x) f (a) f '(a)(x a) f ''(a) ( x a)2 2!
f (n1)(a) ( x a)n1 (n 1)!
因此 f ( x)在基 1 , 2 , 3 , , n 下的坐标是
由于 Rn中的每个元素都有V n中的向量与之对 应,同时V n中不同的向量的坐标不同,因而对应Rn 中的不同元素.我们称这样的映射是V n与 Rn的一个 1 1对应的映射.这个对应的重要性表现在它与运 算的关系上.
设
a1 1 a2 2 an n
b1 1 b2 2 bn n 即向量 , V在基 1 , 2 , , n下的坐标分别为
1 2 1 2 k1 0
因此
2
4 1
3 9 1
0 6 5
5 7 5
k k k
2 3 4
0 0 0
.
设该齐次线性方程组的系数矩阵为A,则
1 0 3 4
~ A
初等行变换
0 0
1 0
2 0
1 0
0 0 0 0
因此, f 1( x), f 2 ( x)线性无关,是 f 1( x), f 2 ( x), f 3 ( x),
(
f (a),
f '(a),
f
''(a
) ,
,
f
(
n
1)( a
)
T
)
.
2!
(n1)!
三、线性空间的同构
设 1 , 2 , , n 是n维线性空间V n的一组基,在
这组基下,V n中的每个向量都有唯一确定的坐标. 而向量的坐标可以看作Rn中的元素,因此向量与它 的坐标之间的对应就是V n到 Rn的一个映射.
与n维数组向量空间 Rn同构.
因为
(1)Vn中的元素与Rn中的元素( x1, x2 , , xn )T
形成一一对应关系；
V n x11 x2 2 xn n
Rn
x ( x1 , x2 , , xn )T
(2)设
( x1, x2 , , xn )T
则有
( y1, y2 , , yn )T ( x1, x2 , , xn )T ( y1, y2 , , yn )T
(a1,a2, ,an)T 和(b1,b2, ,bn)T ,则
(a1 b1) 1 (a2 b2) 2 (an bn) n
k k a1 1 k a2 2 k an n
于是 与k的坐标分别为
(a1b1,a2b2, ,anbn)T
(a1,a2, ,an)T (b1,b2, ,bn)T (ka1,ka2, ,kan)T k (a1,a2, ,an)T
0
1
有
k1 E11 k 2 E12 k 3 E 21 k 4 E 22 k1 k 2 , k3 k4
因此
0 0
k1
E 11
k2Biblioteka E 12k3E
21
k4
E
22
O
0
, 0
k1 k 2 k 3 k 3 0,
即 E11 , E12 , E 21 , E 22线性无关. 对于任意二阶实矩阵
四、小结
１．线性空间的基与维数；
２．线性空间的元素在给定基下的坐标；
坐标：（１）把抽象的向量与具体的数组向 量联系起来；
（２）把抽象的线性运算与数组向量 的线性运算联系起来．
３．线性空间的同构．
思考题
求由Px3中元素
f1( x) x3 2x2 4x 1, f2( x) 2x3 3x2 9x 1, f3( x) x3 6x 5, f4(x) 2x3 5x2 7x 5 生成的子空间的基与维数.
思考题解答
解令
k1 f 1(x) k2 f 2(x) k3 f 3(x) k4 f 4(x) 0 则得
(k1 2 k 2 k 3 2 k 4) x3 (2 k1 3 k 2 5 k 4) x2
(4 k1 9 k 2 6 k 3 7 k 4)x (k1 k 2 5 k 3 5 k 4) 0.
因此 p 在这个基下的坐标为 (a0, a1, a2, a3, a4)T
若取另一基q1 1, q2 1 x, q3 2 x2 , q4 x3 ,
q5
x4,则 p (a0
a1 )q1
a1 q2
1 2 a2 q3
a3 q4
a4 q5
因此 p 在这个基下的坐标为
注意
(a
0
a1,
a1,
1 2a
上式表明: 在向量用坐标表示后,它们的运算 就归结为坐标的运算,因而线性空间 V n的讨论就 归结为Rn的讨论.
下面更确切地说明这一点.
定义 设U、V是两个线性空间，如果它们的元素 之间有一一对应关系 ，且这个对应关系保持线性 组合的对应，那末就称线性空间U 与 V 同构.
例如 n维线性空间
Vn x11 x22 xnn x1, x2, , xn R
Vn x11 x22 xnn x1, x2 , , xn R
二、元素在给定基下的坐标
定义２ 设1,2 , ,n是线性空间Vn的一个基,对 于任一元素 Vn ,总有且仅有一组有序
数x1, x2 , , xn , 使
x11 x2 2 xn n ,
有序数组x1, x2 , , xn称为元素在1,2 , ,n这个
基下的坐标,并记作 x1, x2 , , xn T .
例1 在线性空间P[ x]4中, p1 1, p2 x, p3 x2 , p4 x3 , p5 x4 就是它的一个基.
任一不超过4次的多项式 p a4 x4 a3 x3 a2 x2 a1 x a0
可表示为 p a0 p1 a1 p2 a2 p3 a3 p4 a4 p5