北京市海淀区仁才培训中学2017-2018学年高三下学期入学数学试卷(理科) Word版含解析

2017-2018学年北京市海淀区仁才培训中学高三（下）入学数学试卷（理科）一、选择题（共8小题，每题5分，共40分）1．若，则z的虚部为（）A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．22．设集合，则下面关系中正确的是（）A．m⊆A B．m∉A C．{m}⊆A D．{m}∈A3．已知向量，=（2，﹣1），如果向量与垂直，则x的值为（）A．B．C．2 D．4．若0＜m＜n，则下列结论正确的是（）A．2m＞2n B．C．log2m＞log2n D．5．若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A．B．C．1 D．26．已知倾斜角为60°的直线l过圆C：x2+2x+y2=0的圆心，则此直线l的方程是（）A．B．C．D．7．已知θ是第二象限的角，且sin＜cos，那么sin+cos的取值范围是（）A．（﹣1，0）B．（1，）C．（﹣1，1）D．（﹣，﹣1）8．设函数y=f（x）在（﹣∞，+∞）内有定义，对于给定的正数K，定义函数：f K（x）=取函数f（x）=a﹣|x|（a＞1）．当K=时，函数f K（x）在下列区间上单调递减的是（）A．（﹣∞，0）B．（﹣a，+∞）C．（﹣∞，﹣1）D．（1，+∞）二、填空题（共6小题，每题5分，共30分）9．在△ABC中，，则边AB的长为．10．二项式的展开式中x3的系数为．11．已知数列{a n}为等差数列，若a3+a11=24，a4=3，则数列{a n}的通项公式为．12．按程序框图运算：若x=5，则运算进行次才停止；若运算进行3次才停止，则x的取值范围是．13．5名志愿者到3个不同的地方参加义务植树，则每个地方至少有一名志愿者的方案共有种．14．函数f（x）的定义域为（﹣2，+∞），部分对应值如表，f′（x）为f（x）的导函数，函数y=f′（x）的图象如图所示，若正数a，b满足f（2a+b）＜1，则的取值范围是三、解答题（共6小题，共80分）15．已知函数f（x）=sin（π﹣2x）+2cos2x，x∈R．（Ⅰ）求f（）；（Ⅱ）求f（x）的最小正周期及单调递增区间．16．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，且PA=PD=AD，E、F分别为PC、BD的中点．（Ⅰ）求证：EF∥平面PAD；（Ⅱ）求证：面PAB⊥平面PDC；（Ⅲ）在线段AB上是否存在点G，使得二面角C﹣PD﹣G的余弦值为？说明理由．17．某超市在节日期间进行有奖促销，凡在该超市购物满300元的顾客，将获得一次摸奖机会，规则如下：奖盒中放有除颜色外完全相同的1个红球，1个黄球，1个白球和1个黑球．顾客不放回的每次摸出1个球，若摸到黑球则停止摸奖，否则就要将奖盒中的球全部摸出才停止．规定摸到红球奖励10元，摸到白球或黄球奖励5元，摸到黑球不奖励．（Ⅰ）求1名顾客摸球3次停止摸奖的概率；（Ⅱ）记X为1名顾客摸奖获得的奖金数额，求随机变量X的分布列和数学期望．18．已知函数f（x）=lnx+（a＞0）（1）当a=1时，求f（x）的单调区间；（2）如果P（x0，y0）是曲线y=f（x）上的任意一点，若以P（x0，y0）为切点的切线的斜率k≤恒成立，求实数a的最小值；（3）讨论关于x的方程f（x）=的实根的个数情况．19．如图所示，椭圆C：x2+=1（0＜m＜1）的左顶点为A，M是椭圆C上异于点A的任意一点，点P与点A关于点M对称．（Ⅰ）若点P的坐标为（，），求m的值；（Ⅱ）若椭圆C上存在点M，使得OP⊥OM，求m的取值范围．20．已知集合A={a1，a2，…a n}中的元素都是正整数，且a1＜a2＜…＜a n，集合A具有性质M：对于任意的x，y∈A（x≠y），都有（Ⅰ）判断集合{1，2，3，4}是否具有性质M（Ⅱ）求证：（Ⅲ）求集合A中元素个数的最大值，并说明理由．2015-2016学年北京市海淀区仁才培训中学高三（下）入学数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共8小题，每题5分，共40分）1．若，则z的虚部为（）A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．2【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】由，得，然后利用复数代数形式的乘除运算化简复数z，则z的虚部可求．【解答】解：由，得=，则z的虚部为：﹣1．故选：A．2．设集合，则下面关系中正确的是（）A．m⊆A B．m∉A C．{m}⊆A D．{m}∈A【考点】元素与集合关系的判断．【分析】解出集合A中元素的取值范围，判断m的值的范围，确定m与A的关系，从而得到答案．【解答】解：∵A={x|x2﹣2x≤0}={x|0≤x≤2}，1＜m=20.3＜2＜2，m∈A，因此，{m}⊆A；故选：C．3．已知向量，=（2，﹣1），如果向量与垂直，则x的值为（）A．B．C．2 D．【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系．【分析】先利用向量的坐标运算求出再利用向量垂直的充要条件列出方程解得．【解答】解：∵∴=（3+2x，4﹣x）∵∴2（3+2x）﹣（4﹣x）=0解得x=﹣故选D4．若0＜m＜n，则下列结论正确的是（）A．2m＞2n B．C．log2m＞log2n D．【考点】指数函数的单调性与特殊点．【分析】根据指数函数与对数函数的底数大于1时单调递增，底数大于0小于1时单调递减的性质进行做题．【解答】解：观察A，C两个选项，由于底数2＞1，故相关的函数是增函数，由0＜m＜n，∴2m＜2n，log2m＜log2n，所以A，C不对．又观察B，D两个选项，两式底数满足，故相关的函数是一个减函数，由0＜m＜n，∴＞，＞n，所以B不对D对．故选D．5．若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A．B．C．1 D．2【考点】由三视图求面积、体积．【分析】几何体的三视图可知几何体是放倒的三棱柱，底面是直角三角形，利用三视图的数据，直接求出棱柱的体积即可．【解答】解：由题意可知几何体的三视图可知几何体是放倒的三棱柱，底面是直角三角形，直角边分别为：1，，棱柱的高为，所以几何体的体积为：=1．故选C．6．已知倾斜角为60°的直线l过圆C：x2+2x+y2=0的圆心，则此直线l的方程是（）A．B．C．D．【考点】直线与圆相交的性质．【分析】把圆的方程化为标准形式，求出圆心坐标，求出直线的斜率，用点斜式求直线方程．【解答】解：圆C：x2+2x+y2=0 即（x+1）2+y2=1，表示圆心C（﹣1，0），半径等于1的圆．直线的斜率为k=tan60°=，用点斜式求得直线l的方程是y﹣0=，即，故选D．7．已知θ是第二象限的角，且sin＜cos，那么sin+cos的取值范围是（）A．（﹣1，0）B．（1，）C．（﹣1，1）D．（﹣，﹣1）【考点】三角函数线．【分析】先确定k=2n+1，2nπ+π＜＜2nπ+π，sin＜0，cos＜0，再确定sin+cos的取值范围．【解答】解：∵θ是第二象限的角，∴2kπ+＜θ＜2kπ+π（k∈Z），∴kπ+＜＜kπ+，k=2n，2nπ+＜＜2nπ+，不满足sin＜cos，∴k=2n+1，2nπ+π＜＜2nπ+π，sin＜0，cos＜0∵（sin+cos）2=1+sinθ，∴1＜1+sinθ＜2，∴﹣＜sin+cos＜﹣1，故选：D．8．设函数y=f（x）在（﹣∞，+∞）内有定义，对于给定的正数K，定义函数：f K（x）=取函数f（x）=a﹣|x|（a＞1）．当K=时，函数f K（x）在下列区间上单调递减的是（）A．（﹣∞，0）B．（﹣a，+∞）C．（﹣∞，﹣1）D．（1，+∞）【考点】函数的单调性及单调区间．【分析】先求出新函数的分界值，在利用定义求出新函数的解析式，最后利用指数函数的单调性求出结论即可．【解答】解：因为⇒x=﹣1，x=1，所以：f K（x）==，因为a＞1，所以当x≤﹣1时，函数递增，当﹣1＜x＜1时，为常数函数，当x≥1时，为减函数．故选D．二、填空题（共6小题，每题5分，共30分）9．在△ABC中，，则边AB的长为．【考点】向量在几何中的应用．【分析】由题意可得，由向量数量积的定义可得，及||cosB=||可求【解答】解：∵∴由向量数量积的定义可得，∵∠A=90°∴||cosB=||∴∴故答案为：10．二项式的展开式中x3的系数为80．【考点】二项式系数的性质．【分析】在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于3，求出r的值，即可求得展开式中x3的系数．=•（2x）5﹣r•x﹣r=25﹣r••x5﹣【解答】解：二项式的展开式的通项公式为T r+12r，令5﹣2r=3，r=1，故展开式中x3的系数为24•=80，故答案为80．11．已知数列{a n}为等差数列，若a3+a11=24，a4=3，则数列{a n}的通项公式为a n=3n﹣9．【考点】等差数列的通项公式．【分析】由等差数列的通项公式列方程组求出首项和公差，由此能求出数列{a n}的通项公式．【解答】解：∵数列{a n}为等差数列，a3+a11=24，a4=3，∴，解得a1=﹣6，d=3，∴a n=﹣6+（n﹣1）×3=3n﹣9．∴数列{a n}的通项公式为a n=3n﹣9．故答案为：a n=3n﹣9．12．按程序框图运算：若x=5，则运算进行4次才停止；若运算进行3次才停止，则x的取值范围是（10，28] ．【考点】循环结构．【分析】本题的考查点是计算循环的次数，及变量初值的设定，在算法中属于难度较高的题型，处理的办法为：模拟程序的运行过程，用表格将程序运行过程中各变量的值进行管理，并分析变量的变化情况，最终得到答案．【解答】解：（1）程序在运行过程中各变量的值如下表示：x x 是否继续循环循环前5∥第一圈15 13 是第二圈39 37 是第三圈111 109 是第四圈327 325 否故循环共进行了4次；（2）由（1）中数据不难发现第n圈循环结束时，经x=（x0﹣1）×3n+1：x 是否继续循环循环前x0/第一圈（x0﹣1）×3+1 是第二圈（x0﹣1）×32+1 是第三圈（x0﹣1）×33+1 否则可得（x0﹣1）×32+1≤244且（x0﹣1）×33+1＞244解得：10＜x0≤28故答案为：4，（10，28]13．5名志愿者到3个不同的地方参加义务植树，则每个地方至少有一名志愿者的方案共有150种．【考点】排列、组合及简单计数问题．【分析】根据题意，分2步分析：先将5名志愿者分为3组，有2种分组方法，①分为2、2、1的三组，②分为3、1、1的三组，由组合数公式可得其分组方法数目，由分类计数原理将其相加可得分组的情况数目，第二步，将分好的三组对应3个不同的地方，由排列数公式可得其对应方法数目；由分步计数原理计算可得答案．【解答】解：根据题意，先将5名志愿者分为3组，有2种分组方法，①分为2、2、1的三组，有=15种方法，②分为3、1、1的三组，有=10种方法，则共有10+15=25种分组方法，再将分好的三组对应3个不同的地方，有A33=6种情况，则共有25×6=150种不同的分配方案；故答案为：150．14．函数f（x）的定义域为（﹣2，+∞），部分对应值如表，f′（x）为f（x）的导函数，函数y=f′（x）的图象如图所示，若正数a，b满足f（2a+b）＜1，则的取值范围是（，3）【考点】函数的图象．【分析】由导数图象可知当﹣2＜x＜0时，f'（x）＜0，函数f（x）单调递减，当x＞0时，f'（x）＞0，函数单调递增．利用函数的单调性进行求解．对于可行域不要求线性目标函数的最值，而是求可行域内的点与定点（﹣2，﹣2）构成的直线的斜率问题．由图象可得结论【解答】解：由表格可得f（﹣1）=f（4）=1．由导数图象可知当﹣2＜x＜0时，f'（x）＜0，函数f（x）单调递减，当x＞0时，f'（x）＞0，函数单调递增．若正数a，b满足f（2a+b）＜1，则f（2a+b）＜f（4），即，作出不等式组对应的平面区域如图：几何意义表示为动点Q（a，b）到定点P（﹣2，﹣2）点的斜率的取值范围．由题意知A（0，4），B（2，0），所以AP的斜率为=3，BP的斜率为=，所以则k=的取值范围是（，3）故答案为：（，3）三、解答题（共6小题，共80分）15．已知函数f（x）=sin（π﹣2x）+2cos2x，x∈R．（Ⅰ）求f（）；（Ⅱ）求f（x）的最小正周期及单调递增区间．【考点】二倍角的余弦；两角和与差的正弦函数；二倍角的正弦；正弦函数的单调性．【分析】（Ⅰ）利用两角和的正弦公式，二倍角公式化简函数f（x）的解析式为2sin（2x+）+，由此求得f（）的值．（Ⅱ）根据f（x）的解析式求得它的最小正周期，令2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，k∈z，求得x的范围，即可得到函数的单调递增区间．【解答】解：（Ⅰ）∵函数f（x）=sin（π﹣2x）+2cos2x=sin2x+cos2x+=2sin（2x+）+，…∴f（）=2sin+=2×+=2…（Ⅱ）f（x）=2sin（2x+）+，∴它的最小正周期T==π．…又由2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，k∈z，求得kπ﹣≤x≤kπ+，k∈z，可得函数f（x）的单调递增区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈z．…16．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，且PA=PD=AD，E、F分别为PC、BD的中点．（Ⅰ）求证：EF∥平面PAD；（Ⅱ）求证：面PAB⊥平面PDC；（Ⅲ）在线段AB上是否存在点G，使得二面角C﹣PD﹣G的余弦值为？说明理由．【考点】平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定；二面角的平面角及求法．【分析】（I）证明：连接AC，则F是AC的中点，E为PC 的中点，证明EF∥PA，留言在线与平面平行的判定定理证明EF∥平面PAD；（II）先证明CD⊥PA，然后证明PA⊥PD．利用直线与平面垂直的判定定理证明PA⊥平面PCD，最后根据面面垂直的判定定理即可得到面PAB⊥面PDC．（III）假设在线段AB上，存在点G，使得二面角C﹣PD﹣G的余弦值为，然后以O为原点，直线OA，OF，OP分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设G（1，a，0）（0≤a≤2）．利用空间向量的坐标运算求出a值，即可得出结论．【解答】证明：（Ⅰ）连结AC∩BD=F，ABCD为正方形，F为AC中点，E为PC中点．∴在△CPA中，EF∥PA…且PA⊂平面PAD，EF⊄平面PAD∴EF∥平面PAD…（Ⅱ）因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩面ABCD=ADABCD为正方形，CD⊥AD，CD⊂平面ABCD所以CD⊥平面PAD．∴CD⊥PA…又PA=PD=AD，所以△PAD是等腰直角三角形，且∠APD=90°即PA⊥PDCD∩PD=D，且CD、PD⊂面PDC∴PA⊥面PDC又PA⊂面PAB，∴面PAB⊥面PDC．…..（Ⅲ）如图，取AD的中点O，连结OP，OF．∵PA=PD，∴PO⊥AD．∵侧面PAD⊥底面ABCD，面PAD⊥面ABCD，∴PO⊥面ABCD，而O，F分别为AD，BD的中点，∴OF∥AB，又ABCD是正方形，故OF⊥AD．∵PA=PD=AD，∴PA⊥PD，OP=OA=1．以O为原点，直线OA，OF，OP分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则有A（1，0，0），F（0，1，0），D（﹣1，0，0），P（0，0，1）．若在AB上存在点G，使得二面角C﹣PD﹣G的余弦值为，连结PG，DG设G（1，a，0）（0≤a≤2）．由（Ⅱ）知平面PDC的法向量为=（1，0，﹣1）．设平面PGD的法向量为=（x，y，z）．∵=（1，0，1），=（﹣2，﹣a，0），∴由，=0可得，令x=1，则y=﹣，z=﹣1，故=（1，﹣，﹣1），∴cos==，解得，a=．所以，在线段AB上存在点G（1，，0），使得二面角C﹣PD﹣G的余弦值为．…17．某超市在节日期间进行有奖促销，凡在该超市购物满300元的顾客，将获得一次摸奖机会，规则如下：奖盒中放有除颜色外完全相同的1个红球，1个黄球，1个白球和1个黑球．顾客不放回的每次摸出1个球，若摸到黑球则停止摸奖，否则就要将奖盒中的球全部摸出才停止．规定摸到红球奖励10元，摸到白球或黄球奖励5元，摸到黑球不奖励．（Ⅰ）求1名顾客摸球3次停止摸奖的概率；（Ⅱ）记X为1名顾客摸奖获得的奖金数额，求随机变量X的分布列和数学期望．【考点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差．【分析】（Ⅰ）1名顾客摸球3次停止摸奖的情况有种，基本事件的个数为1+++，然后代入等可能事件的概率公式可求（Ⅱ）随机变量X的所有取值为0，5，10，15，20．，分别求出X取各个值时的概率即可求解随机变量X的分布列及期望【解答】（Ⅰ）解：设“1名顾客摸球3次停止摸奖”为事件A，则共有基本事件：1+++=16个，则A事件包含基本事件的个数为=6个，则P（A）==，故1名顾客摸球3次停止摸奖的概率为，（Ⅱ）解：随机变量X的所有取值为0，5，10，15，20．，，，，．X．18．已知函数f（x）=lnx+（a＞0）（1）当a=1时，求f（x）的单调区间；（2）如果P（x0，y0）是曲线y=f（x）上的任意一点，若以P（x0，y0）为切点的切线的斜率k≤恒成立，求实数a的最小值；（3）讨论关于x的方程f（x）=的实根的个数情况．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）将a=1代入，求出函数的导数，从而求出函数的单调区间；（2）先求出函数的导数，问题转化为a≥﹣+x0对x0＞0恒成立，从而求出a的最小值；（3）问题转化为b=lnx﹣x2+，x＞0，构造函数h（x）=lnx﹣x2﹣b+，通过讨论h（x）的单调性，从而判断出方程f（x）=0的根的情况．【解答】解：（1）当a=1时，，定义域为（0，+∞），…则…令f′（x）＞0，得x＞1，由f′（x）＜0，得0＜x＜1，所以f（x）的单调递增区间为（1，+∞），单调递减区间为（0，1）．…（2）由题意，f′（x）=﹣=，以P（x0，y0）为切点的切线的斜率k满足k=f′（x0）=≤（x0＞0），所以a≥﹣+x0对x0＞0恒成立．…又当x0＞0时，﹣+x0≤，所以a的最小值为…（3）由题意，方程化简得b=lnx﹣x2+，x＞0，令h（x）=lnx﹣x2﹣b+，则h′（x）=﹣x=．当0＜x＜1时，h′（x）＞0，当x＞1时，h′（x）＜0，所以h（x）在区间（0，1）上单调递增，在区间（1，+∞）上单调递减．…所以h（x）在x=1处取得极大值，即最大值，最大值为h（1）=ln1﹣×12﹣b+=﹣b…所以当﹣b＞0时，即b＜0时，y=h（x）的图象与x轴恰有两个交点，方程有两个实根；…当b=0时，y=h（x）的图象与x轴恰有一个交点，方程有一个实根；…当b＞0时，y=h（x）的图象与x轴无交点，方程无实根．…19．如图所示，椭圆C：x2+=1（0＜m＜1）的左顶点为A，M是椭圆C上异于点A的任意一点，点P与点A关于点M对称．（Ⅰ）若点P的坐标为（，），求m的值；（Ⅱ）若椭圆C上存在点M，使得OP⊥OM，求m的取值范围．【考点】直线与圆锥曲线的关系；椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）由题意知M是线段AP的中点，由中点坐标公式可得M坐标，代入椭圆方程即可得到m值；（Ⅱ）设M（x0，y0）（﹣1＜x0＜1），则，①由中点坐标公式可用M坐标表示P点坐标，由OP⊥OM得②，联立①②消去y0，分离出m用基本不等式即可求得m的范围；【解答】解：（Ⅰ）依题意，M是线段AP的中点，因为A（﹣1，0），，所以点M的坐标为．由于点M在椭圆C上，所以，解得．（Ⅱ）设M（x0，y0）（﹣1＜x0＜1），则，①因为M是线段AP的中点，所以P（2x0+1，2y0）．因为OP⊥OM，所以，所以，即．②由①，②消去y0，整理得．所以，当且仅当时，上式等号成立．所以m的取值范围是．20．已知集合A={a1，a2，…a n}中的元素都是正整数，且a1＜a2＜…＜a n，集合A具有性质M：对于任意的x，y∈A（x≠y），都有（Ⅰ）判断集合{1，2，3，4}是否具有性质M（Ⅱ）求证：（Ⅲ）求集合A中元素个数的最大值，并说明理由．【考点】元素与集合关系的判断．【分析】（Ⅰ）利用性质对任意的x，y∈A，x，y∈A（x≠y），都有，代入可判断（Ⅱ）依题意有：（i=1，2，3…n﹣1），又a1＜a2＜…＜a n，因此：（i=1，2，3…n﹣1），由此能够证明：．（Ⅲ）由，a≥1可得由，因此n＜26，同理，可得，．由此能够推导出集合A中元素个数的最大值．【解答】解：（I）由于|1﹣2|≥，|1﹣3|≥，|1﹣4|，|2﹣3|≥，|2﹣4|，|3﹣4|∴集合{1，2，3，4}具有性质P；（Ⅱ）依题意有：（i=1，2，3…n﹣1），又a1＜a2＜…＜a n，因此：（i=1，2，3…n﹣1）可得：，（i=1，2，3…n﹣1）所以有：，即．得证；（Ⅲ）由，a≥1，可得，因此n＜26，同理，可得，．又∵a i≥i，可得，那么：25＞i（n﹣i），（i=1，2，3…n﹣1）也均成立．当n≥10时，取i=5，则i（n﹣i）=5（n﹣5）≥25，可知n＜10．又当n≤9时，，所以n≤9因此集合A中元素个数的最大值为9．2016年10月27日。