平移上加下减,左加右减
一次函数图象的平移规律
由此我们得到： 直线 y=kx+b 向左平移 n（n 为正）个单位长度得到直线 y=k( x+n) +b， 直线 y=kx+b 向右平移 n（n 为正）个单位长度得到直线 y=k( x- n) +b， 这是直线 y=kx+b 左右 ( 或沿 x 轴 ) 平移的规律．
这个规律可以简记为： 自变量：左加右减
求直线 l 1 的解析式．
简解：设直线 l 1 的解析式为 y=kx+p，直线 l 交 x 轴于点 ( b ,0) ，向左平移 k
n 个 单 位 长 度 后变 为 ( b n,0) ， 把 ( b n,0) 坐 标 代 入 l 1 的解 析 式 可 得
k
k
0
b k(
n)
p ，p=kn+b．从而直线 l 1 的解析式为 y=kx+km+b，即 y=k( x+m) +b．
，将直线 l 向左平移 5 个单位长度得到直线 l 1，求直线 l 1的解析式．
简解： 根据“两直线平行，对应函数的一次项系数 k 相等”，可设直线 l 1 的解析式为 y=3x+b，直线 l 交 x 轴于点 (4 ，0) ，向左平移 5 个单位长度后变为 (-1 ，0) ．把(-1 ，0) 坐标代入 y=3x+b，得 b=3，从而直线 l 1 的解析式为 y=3x+3．
以上平移比较简单，因为它是对最简单的一次函数即正比例函数进行平 移．对于一个一般形式的一次函数图象又该怎样进行平移呢？
【探究一】函数图像的上下平移
我们先从一些具体的函数关系开始 . 问题 1 已知直线 l ：y=2x-3 ，将直线 l 向上平移 2 个单位长度得到直线 l 1， 求直线 l 1 的解析式． 分析： 根据“两直线平行，对应函数的一次项系数相等”，可设直线 l 1 的解 析式为 y=2x+ b，由于直线 l 1 的解析式中只有一个未知数，因此再需一个条件即 可．怎样得到这个条件呢？注意到直线 l 1 与两条坐标轴分别交于两点，而直线 l 1与 y 轴的交点易求，这样就得到一个条件，于是直线 l 1 的解析式可求． 解： 设直线 l 1 的解析式为 y=2x+b，直线 l 1 交 y 轴于点 (0 ，-3) ，向上平移 2 个单位长度后变为 (0 ，-1) ．把 (0 ， -1) 坐标代入 y=2x+b，得 b=-1 ，从而直线 l 1 的解析式为 y=2x-1 ． 问题 2 已知直线 l ：y=2x-3 ，将直线 l 向下平移 3 个单位长度得到直线 l 2， 求直线 l 2 的解析式． 答案： 直线 l 2 的解析式为 y=2x-6 ． ( 解答过程请同学们自己完成 )
函数图像的作法-含答案
【知识要点】一、函数图像的作法一般有三种：描点法、图像变换法和性质分析法.二、描点法作函数的图像的一般步骤是：列表→描点→连线 ，描点法一般是在知道函数的图像和性质的情况下使用，其使用对象一般是我们熟悉的初等函数，如2()23 1.f x x x =-+三、图像的变换法就是利用图像的平移变换、伸缩变换、对称变换、翻折变换等作出函数的图像，其解题对象一般是复合函数，如12()log ||f x x =.1、平移变换（左加右减，上加下减）①把函数()f x 的图像向左平移(0)a a >个单位，得到函数()f x a +的图像； ②把函数()f x 的图像向右平移(0)a a >个单位，得到函数()f x a -的图像； ③把函数()f x 的图像向上平移(0)a a >个单位，得到函数()f x a +的图像； ④把函数()f x 的图像向下平移(0)a a >个单位，得到函数()f x a -的图像. 2、伸缩变换①把函数()y f x =图象的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的ω倍得1()y f x ω= (1w >) ②把函数()y f x =图象的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的ω倍得1()y f x ω= (0ω<<1)③把函数()y f x =图象的横坐标不变，纵坐标伸长到原来的w 倍得()y f x ω= ( ω>1) ④把函数()y f x =图象的横坐标不变，纵坐标缩短到原来的w 倍得()y f x ω= (0<ω<1) 3、对称变换①函数()y f x =和函数()y f x =-的图像关于x 轴对称； 函数()y f x =和函数()y f x =-的图像关于y 轴对称； 函数()y f x =和函数()y f x =--的图像关于原点对称； 函数()y f x =和函数1()y fx -=的图像关于直线x y =对称；简单地记为：x 轴对称y 要变，y 轴对称x 要变，原点对称都要变,y=x 对称交换变.②对于函数)(x f y =(R x ∈),)()(x b f a x f -=+恒成立,则函数)(x f 的对称 轴是2ba x +=. ③()y f x =的图像关于直线x a =对称⇔()()f a x f a x +=-或()(2)f x f a x =- ；()y f x =的图像关于点(,)a b 对称⇔()()2f a x f a x b ++-=或()(2)2f x f a x b +-=； ()y f x =与()y g x =的图像关于直线x a =对称⇔ ()(2)f x g a x =-或 ()()f a x g a x +=-； ()y f x =与()y g x =的图像关于点(,)a b 对称⇔()()2f a x g a x b ++-=或 ()(2)2f x g a x b +-=.4、翻折变换①把函数()y f x =图像上方部分保持不变，下方的图像对称翻折到x 轴上方，得到函数()y f x =的图像；②保留y 轴右边的图像，擦去y 轴左边的图像，再把右边的图像对称翻折到y 轴左边，得到函数()y f x =的图像.四、性质分析法一般指通过对函数的定义域、值域、单调性、奇偶性和周期性的综合研究，再画出函数的图像.性质分析法一般是对那些较复杂的函数使用，如223ln 4y x x =--.学科#网五、作函数的图像，一般是首先化简解析式，然后确定用描点法、图像变换法和性质分析法作函数的图像. 【方法讲评】【例1】用五点法作出函数3sin(2)6y x =+在一个周期的图像.【解析】列表得【点评】对于我们常见的初等函数（一次函数、正比例函数、反比例函数、二次函数、对数函数、指数函数、三角函数等），由于我们知道函数的图像和性质，所以我们常用描点法直接作函数的图像.【反馈检测1】已知函数23[1,2]()3(2,5]x x f x x x ⎧-∈-=⎨-∈⎩(1)在如图给定的直角坐标系内画出()f x 的图象；,(2)写出()f x 的单调递增区间．【例2】 作出下列函数的图象 (1)1||1y x =-； (2)|2|(1)y x x =-+； (3)2|log 1|y x =-； (4)1|2|x y -=【解析】(1)先作函数1y x =的图象，并将图象向右平移1个单位，得到函数11y x =-的图象(如图(a)所示)．再擦掉y 轴左边图像，保留y 轴右边图像，并把y 轴右边图像对称翻折到y 轴左边, 得1||1y x =-的图象(如图(b)所示)．(2)函数式可化为2219()(2)2419()(2)24x x y x x ⎧--≥⎪⎪=⎨⎪--+<⎪⎩其图象如图所示．【点评】（1）要熟练地画出函数的图像，必须熟练掌握函数的图像变换的知识（见前面的基础知识），能灵活地利用平移变换、伸缩变换、对称变换和翻折变换画出函数的图像.（2）作函数的图像，一般是首先化简解析式，然后确定用描点法、图像变换法和性质分析法作函数的图像.【反馈检测2】关于x 的方程2|43|x x a x -+-=恰有三个不相等的实数根，求实数a 的值.【例3】已知函数2()8f x x x =-+,()6ln g x x m =+，是否存在实数m ，使得()y f x =的图象与()y g x =的图象有且只有三个不同的交点？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，说明理由.∵当0x +→时，()x φ→-∞，当x +∞→时，()x φ→+∞ 函数()()()x g x f x φ=-= 286ln x x x m -++的草图如下图所示，∴要使()0x φ=有三个不同的正实数根，函数的草图必须如图1所示，所以必须且只须⎩⎨⎧<-=>-=,0153ln 6)(,07)(＋极小值极大值m x m x ϕϕ ∴7156ln3m <<-.【点评】对于较复杂的函数，一般先求函数的定义域、值域、单调性、奇偶性和周期性等，再根据前面函数的性质画出函数的图像.【反馈检测3 】 设函数)(x f =2ln x ax b x ++，曲线()y f x =过(1,0)P ，且在P 点处的切斜线率为2． （1）求a b 、的值；（2）证明：()22f x x ≤-．高中数学常见题型解法归纳及反馈检测第08讲：函数图像作法参考答案【反馈检测1答案】（1）见详细解析；（2）[1,0].[2,5]-． 【反馈检测1详细解析】（1）函数的图像如下图所示：(2)由图象可知，函数f (x )的单调递增区间为[1,0].[2,5]-． 【反馈检测2答案】34a =-【反馈检测3答案】（1）1,3a b =-=；（2）证明见解析.。
关于三角函数图像的平移变换
三角函数图像的平移、变换一、 引入以简单函数为例，解说“左加右减、上加下减” 。
讲清横移的实质是把全部x 替代为 x+a ；二、三角函数图像的平移之历年高考真题1、为了获得函数y sin(2 x) 的图像，只需把函数 y sin(2 x) 的图像（ A ）向左平移个长度单364位（ B ）向右平移 个长度单位4（ C ）向左平移个长度单位（ D ）向右平移个长度单位22【答案】 B2、将函数 ysin x 的图像上全部的点向右平行挪动个单位长度， 再把所得各点的横坐标伸长到本来的102 倍（纵坐标不变） ，所得图像的函数分析式是（ A ） ysin(2 x ) （B ） ysin(2 x)sin( 1x10sin( 1x 5 （ C ） y) （ D ） y )2102 20分析：将函数 y sin x 的图像上全部的点向右平行挪动个单位长度， 所得函数图象的分析式为 y ＝ sin( x10－)再把所得各点的横坐标伸长到本来的 2 倍（纵坐标不变） ，所得图像的函数分析式是10y sin( 1x) . 【答案】 C 210以本题为例，解说横向变换的实质也是替代。
可发问：上述步骤反演，结果怎样？3、（ 2010 天津文）（ 8）右图是函数 y Asin （ x+ ）（ xR ）在区间 - 5上的图象，为了获得这个函数的图象，只，6 6要将 y sin x （ x R ）的图象上全部的点(A) 向左平移 个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原3来的 1倍，纵坐标不变2(B) 向左平移个单位长度， 再把所得各点的横坐标伸长到原3来的 2 倍，纵坐标不变(C) 向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到本来的1倍，纵坐标不变621【答案】 A【分析】本题主要考察三角函数的图像与图像变换的基础知识，属于中等题。
由图像可知函数的周期为，振幅为1，因此函数的表达式能够是y=sin(2x+ ).代入（ - ， 0）可得的6一个值为，故图像中函数的一个表达式是y=sin(2x+ )，即 y=sin2(x+ )，因此只需将 y=sinx （ x∈ R）3 3 6 1倍，纵坐标不变。
各种函数图象平移口诀练习
各种函数图象平移 口诀练习口诀 ：左加右减自变量；上加下减常数项 (对象：函数解析式)一、点的平移左减右加横坐标；上加下减纵坐标5．（06温州）点A(1,2)向右平移2个单位得刊对应点A ’,则点A ’的坐标是( )．0) C ．(-l ，2) D.(3，2)一、直线平移1、把直线向上平移3个单位得到直线是 ；再向右平移5个单位得到直线是x y 21=。
2、把直线向右平移 个单位得到直线；把直线向左平移12-=x y 52-=x y 12-=x y 个单位，经过点（-2，1）。
3、把直线向上平移3个单位，得到的图象的解析式为 。
132+=x y 4、直线沿着y 轴平移后通过点（-1，3）。
23-=x y ①平移后直线的解析式 ②直线平移了几个单位？5、要从直线y ＝x 通过平移得到y ＝的图象，则直线y ＝x 必须（ ）。
31-35+-x 31-A. 向上平移5个单位 B. 向下平移 个单位 C. 向上平移个单位 D. 向下平移5个单位35356、(04四川嵊州)在平面直角坐标系中，直线可以看成是将直线)0,0,,(>≠+=b k b k b kx y 为常数沿y 轴向上平行移动b 个单位而得到的，那么将直线y =kx 沿x 轴向右平行移动m 个单位kx y =（m>0）得到的直线的方程是 .7、函数的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位，所得的直线与两坐标轴围成的几何图42+=x y 形的面积是（ ）A ．0B ．16C ．8D ．48、已知：一条直线经过点A （0，4）、点B （2，0），如图，将这条直线向左平移与x 轴负半轴、y 轴负半轴分别交于点C 、点D ，使DB =DC ．求：以直线CD 为图象的函数解析式． 9．（05枣庄）如图，把直线ｌ沿x 轴正方向向右平移2个单位得到直线ｌ′，则直线l /的解析式为( )(A)y=2x+4 (B)y=-2x+2(C)y=2x-4 (D)y=-2x-216、平移抛物线，使它经过原点，写出平移后抛物线的一个解析式_________。
cos伸缩变换法则
cos伸缩变换法则
左加右减：一个点作左右平移时，纵坐标不发生任何改变，而是横坐标在发生变化。
当点向右平移时，横坐标变大，当点向左平移时，横坐标变小，这就是平移的左加右减。
上加下减：一个点作上下平移时，横坐标不发生任何改变，而是纵坐标在发生变化。
当点向上平移时，纵坐标变大，当点向下平移时，纵坐标变小，这就是平移的上加下减。
奇变偶不变，符号看象限：即形如(2k+1)90°±α，则函数名称变为余名函数，正弦（sin）变余弦（cos），余弦（cos）变正弦（sin），正切变余切，余切变正切。
形如2k×90°±α，则函数名称不变。
k×π/2±a(k∈z)的三角函数值：
（1）当k为偶数时，等于α的同名三角函数值，前面加上一个把α看作锐角时原三角函数值的符号；
（2）当k为奇数时，等于α的异名三角函数值，前面加上一个把α看作锐角时原三角函数值的符号。
二次函数顶点式及平移法则
左加右减
1.开口方向
向上
向下
向上
2.对称轴
3.顶点 4.增减性 5.最值
相同
低
小
高 大
左加右减
上加下减，左加右减
下2
右1
左4上3
1.开口方向
向上
向下
2.对称轴 3.顶点
4.增减性
5.最值
向上
向下
二次函数顶点平移
经典分析
二次函数顶点式及平移法则
平移法则：上加下减、左加右减
回顾
1.开口方向 2.对称轴
3.顶点
4.增减性 5.最值
-3
-2 5 3
-1 2 0
0
1 2 0
2 5 3
3 10 8
1.开口方向 2.对称轴 3.顶点
10 8
向上
-1
1
上加下减
4.增减性 5.最值
上加下减
向下平移 7 个单位
向上平移 1 个单位 向下平移 5 个单位 向下平移 3 个单位
上加下减
1.开口方向
2.对称轴 3.性
5.最值
相同
0 向上 向下 上 下 上加下减 低 高 k 小 k k
大
1.开口方向
v
向下
2.对称轴 3.顶点
左加右减
4.增减性 5.最值
左加右减
向左平移 7 个单位
向右平移 1 个单位 向左平移 5 个单位 向右平移 4 个单位
函数图象的几种常见变换
函数图象的几种常见变换⑪ 平移变换：左右平移---“左加右减”（注意是针对x 而言）；上下平移----“上加下减”(注意是针对()f x 而言).⑫翻折变换：()|()|→f x f x ；“下沿X 轴翻折到上面”()(||)→f x f x .“右往左翻折—沿Y 轴”⑬对称变换：①证明函数图像的对称性,即证图像上任意点关于对称中心(轴)的对称点仍在图像上.②证明图像1C 与2C 的对称性,即证1C 上任意点关于对称中心(轴)的对称点仍在2C 上,反之亦然.③函数()y f x =与()y f x =-的图像关于直线0x =(y 轴)对称；函数()y f x =与函数()y f x =-的图像关于直线0y =(x 轴)对称；④若函数()y f x =对x R ∈时，()()f a x f a x +=-或()(2)f x f a x =-恒成立,则()y f x =图像关 于直线x a =对称；⑤若()y f x =对x R ∈时,()()f a x f b x +=-恒成立,则()y f x =图像关于直线2a b x +=对称；⑥函数()y f a x =+,()y f b x =-的图像关于直线2b a x -=对称(由a x b x +=-确定)；⑦函数()y f x a =-与()y f b x =-的图像关于直线2a b x +=对称；⑧函数()y f x =,()y A f x =-的图像关于直线2A y =对称(由()()2f x A f x y +-=确定)；⑨函数()y f x =与()y f x =--的图像关于原点成中心对称；函数()y f x =,()y n f m x =--的图像关于点22(,)m n对称；⑩函数()y f x =与函数1()y f x -=的图像关于直线y x =对称；曲线1C ：(,)0f x y =,关于y x a =+,y x a =-+的对称曲线2C 的方程为(,)0f y a x a -+=(或(,)0f y a x a -+-+=；曲线1C ：(,)0f x y =关于点(,)a b 的对称曲线2C 方程为：(2,2)0f a x b y --=. 9.函数的周期性：⑪若()y f x =对x R ∈时()()f x a f x a +=-恒成立,则 ()f x 的周期为2||a ；⑫若()y f x =是偶函数,其图像又关于直线x a =对称,则()f x 的周期为2||a ；⑬若()y f x =奇函数,其图像又关于直线x a =对称,则()f x 的周期为4||a ；⑭若()y f x =关于点(,0)a ,(,0)b 对称,则()f x 的周期为2||a b -；⑮()y f x =的图象关于直线x a =,()x b a b =≠对称,则函数()y f x =的周期为2||a b -；⑯()y f x =对x R ∈时,()()f x a f x +=-或1()()f x f x a +=-,则()y f x =的周期为2||a ；。
二次函数的平移与求解析式
二次函数平移平移是二次函数中的常考点，大多以选择题、填空题出现，在判断平移时，首先我们要判断平移类型，再结合口诀“上加下减，左加右减”来解题，拿不准的题目就画图，虽然花费时间较多，但是准确率较高。
1、 平移步骤：方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，；⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下：2、平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减，上加下减”。
方法二：⑴ 2y ax bx c =++ 沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，2y ax bx c =++ 变成2y ax bx c m =+++（或2y ax bx c m =++- ）⑵2y ax bx c =++沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，2y ax bx c =++变成2()()y a x m b x m c =++++（或2()()y a x m b x m c =-+-+）3、二次函数2()y a x h k =-+与2y ax bx c =++ 的比较从解析式上看，2()y a x h k =-+与2y ax bx c =++ 是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++⎪⎝⎭，其中2424b ac b h k a a -=-=，。
注：我们把2()y a x h k =-+直接就可以看出顶点是：（h ，k ），所以也称为顶点式。
这个函【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位数的关系式还能直接看出此二次函数的对称轴是2bh a=-： 例1：将二次函数y=x 2的图象向下平移一个单位，则平移以后的二次函数的解析式为线关于y 轴作轴对称变换，那么经两次变换后所得的新抛物线的解析式为（ ）A ．y=-x 2-x+2B ．y=-x 2+x-2 C. y=-x 2+x+2 D ．y=x 2+x+2例4. 如图所示，已知抛物线C 0的解析式为x x y22-=，则抛物线C 0的顶点坐标 ；将抛物线C 0每次向右平移2个单位，平移n 次，依次得到抛物线C 1、C 2、C 3、…、C n （n 为正整数），则抛物线C n 的解析式为 ．例5.如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线1C 的顶点为⎪⎭⎫ ⎝⎛--29 3，P ，且过点()0 0，O ．⑴ 写出抛物线1C 与x 轴的另一个交点A 的坐标；⑵ 将抛物线1C 向右平移3个单位、再向上平移54.个单位得抛物线2C ，求抛物线2C 的解析式；⑶ 直接写出阴影部分的面积S ．练习一、选择题1.把抛物线y=-x 2向左平移一个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的表达式为（ ）A. y=-（x-1）2+3B. y=-（x+1）2+3C. y=-（x-1）2-3D. y=-（x+1）2-32.抛物线y=x 2+bx+c 图像向右平移2个单位再向下平移3个单位，所得图像的解析式为y=x 2-2x-3，则b 、c 的值为（ ）A . b=2，c=2 B. b=2，c=0 C . b= -2，c=-1 D. b= -3，c=23.将函数y=x 2+x 的图像向右平移a （a ＞0）个单位，得到函数y=x 2-3x+2的图像，则a 的值为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 44.已知二次函数y=x 2-bx+1（-1≤b ≤1），当b 从-1逐渐变化到1的过程中，它所对应的抛物线位置也随之变动，下列关于抛物线的移动方向的描述中，正确的是（ ） A. 先往左上方移动，再往右下方移动 B.先往左下方移动，再往左上方移动 B.先往右上方移动，再往右下方移动 D.先往右下方移动，再往右上方移动5.已知抛物线C ：y=x 2+3x-10，将抛物线C 平移得到抛物线C ′.若两条抛物线C 、C ′关于直线x=1对称，则下列平移方法正确的是（ ）A. 将抛物线C 向右平移 2.5个单位B.将抛物线C 向右平移3个单位C.将抛物线C 向右平移5个单位D.将抛物线C 向右平移6个单位 6.把二次函数y=-41x 2-x+3用配方法化成y=a(x-h)2+k 的形式A. y=-41(x-2)2+2B. y=41(x-2)2+4C. y=-41(x+2)2+4 D. y= (21x-21)2+37.在平面直角坐标系中，将二次函数y=2x 2的图象向上平移2个单位，所得图象的解析式为A ．y=2x 2-2B ．y=2x 2+2C ．y=2(x-2)2D ．y=2(x+2)28.将抛物线y=2x 2向下平移1个单位，得到的抛物线是（ ）A ．y=2(x+1)2B ．y=2(x-1)2C ．y=2x 2+1D ．y=2x 2-19.将函数y=x 2+x 的图象向右平移a(a ＞0)个单位，得到函数y=x 2-x+2的图象，则a 的值为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．410.把抛物线y=-2x 2向右平移2个单位，然后向上平移5个单位，则平移后抛物线的解析式为（ ）A. y=-2（x-2）2+5B. y=-2（x+2）2+5C. y=-2（x-2）2-5D. y=-2（x+2）2-511.要得到二次函数y=-x 2+2x-2的图象，需将y=-x 2的图象（ ）．A ．向左平移2个单位，再向下平移2个单位B ．向右平移2个单位，再向上平移2个单位C ．向左平移1个单位，再向上平移1个单位D ．向右平移1个单位，再向下平移1个单位12.若二次函数y=(x-m)2-1，当≤l 时，y 随x 的增大而减小，则m 的取值范围是（ ） A ．m ＝1 B ．m ＞1 C ．m ≥1 D ．m ≤1 二、填空题1.抛物线y=ax 2向左平移5个单位,再向下移动2个单位得到抛物线2.二次函数y=-2（x+3）2-1由y=-2（x-1）2+1向_____平移______个单位，再向_____平移______个单位得到3.抛物线y=3（x+2）2-3可由抛物线y=3（x+2）2+2向 平移 个单位得到 4.将抛物线y=53（x-3）2+5向右平移3个单位，再向上平移2个单位，得到的抛物线是 5.把抛物线y=-（x-1）2-2是由抛物线y=-（x+2）2-3向 平移 个单位，再向_____平移_____个单位得到6.把抛物线y ＝ax 2+bx+c 的图象先向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得的图象的解析式是y ＝x 2-3x+5，则a+b+c=__________7.抛物线y ＝x 2-5x+4的图像向右平移三个单位，在向下平移三个单位的解析式 8.已知二次函数的图像过点（0，3），图像向左平移2个单位后的对称轴是y 轴，向下平移1个单位后与x 轴只有一个交点，则此二次函数的解析式为 三、解答题1.已知a+b+c=0，a ≠0，把抛物线y=ax 2+bx+c 向下平移1个单位，再向左平移5个单位所得到的新抛物线的顶点是（－2，0），求原抛物线的解析式2.已知二次函数y ＝-x 2-4x-5.①指出这个二次函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标；②把这个二次函数的图象上、下平移，使其顶点恰好落在正比例函数y ＝-x 的图象上，求此时二次函数的解析式；③把这个二次函数的图象左、右平移，使其顶点恰好落在正比例函数y ＝-x 的图象上，求此时二次函数的解析式。
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任意抛物线y=a（x-h）2+k（a≠0），可以由抛物线y=ax2经过平移得到:
将y＝ax2向上移动k个单位得：
y＝ax2＋k，
将y＝ax2向左移动h个单位得：
y＝a（x＋h）2，
将y＝ax2先向上移动k（k＞0）个单位，再向右移动h（h＞0）个单位，便得函数y＝a（x－h）2＋k的图象.
【例1】将二次函数y=-2x2+4x+6的图象向左平移1个单位，再向下平移2个单位，求平移后的解析式.
【分析】二次函数图象的平移即每一个点的平移，我们可通过二次函数的特殊点顶点坐标的变化来确定平移后的解析式.
解：配方法得：
y=-2（x2-2x）+6
=-2（x2-2x+1-1）+6
=-2（x-1）2+8.
顶点为（1，8），将顶点按要求平移得新抛物线顶点为（0，6）.
∴平移后抛物线解析式为y=-2x2+6.
【小结】平移抛物线只改变了抛物线的位置，而不改变它的形状、大小及开口方向，即a值不变.左右平移时横坐标变化，上下平移时纵坐标变化.
【例2】（2006·泸州）二次函数y＝x2的图象向右平移3个单位，得到新图象的函数表达式是（）.
Ａ. y=x2+3 Ｂ. y=x2+3
Ｃ. y=（x＋3）2 Ｄ. y=（x－3）2
【分析】二次函数y＝x2的顶点坐标为（0，0），顶点按要求平移后变为（3，0），选项中只有y=（x－3）2的顶点是（3，0）.
解：D.
【例3】（2006·兰州）已知y=2x2的图象是抛物线，若抛物线不动，把x轴、y轴分别向上，向右平移2个单位，那么在新的坐标系下抛物线的解析式为（）.
Ａ. y=2（x-2）2+2
Ｂ. y=2（x+2）2-2
Ｃ. y=2（x-2）2-2
Ｄ. y=2（x+2）2+2
【分析】若抛物线不动，把x、y轴分别向上、向右平移2个单位相当于将该抛物线在原坐标系内向下再向左平移两个单位，由此可得该抛物线在x、y平移后得解析式为y=2（x+2）2-2 .
解：B
【小结】将坐标系平移，实质是将抛物线向相反方向各移动了2个单位，即向下，向左平移2个单位，注意换位思考，逆向思维.
【例4】（2006·杭州）有三个二次函数，甲：y＝x2－1；乙：y＝－x2＋1；丙：y＝x2＋2x－1.则下列叙述正确的是（）.
A.甲的图形经过适当的平行移动后，可以与乙的图形重合
B.甲的图形经过适当的平行移动后，可以与丙的图形重合
C.丙的图形经过适当的平行移动后，可以与乙的图形重合
D.甲、乙、丙3个图形经过适当的平行移动后，都可以重合
【分析】根据函数解析式画出3个函数的草图发现，甲、乙与乙、丙开口方向均相反，不能够经过平行移动使得图象重合；所以排除A、C、D.函数丙y＝x2＋2x－1可以化成y＝（x＋1）2－2，这样就可以看出甲的图形经过向左移动1个单位，向下移动1个单位与丙重合.
解：B.
二次函数：
一般式：y=ax2+bx+c (a≠0)
顶点式：y=a(x+b/2a)2+(4ac-b2)/4a (a≠0) 顶点:[(-b)/2a,(4ac-b2)/4a]
交点式：y=a(x-x1)(x-x2) (a≠0) x1 x2为图像与x轴的交点， x1 可以等于x2.
将抛物线向左平移m个单位：y=a(x+b/2a+m)2+(4ac-b2)/4a (a≠0)
将抛物线向右平移m个单位：y=a(x+b/2a-m)2+(4ac-b2)/4a (a≠0)
将抛物线向上平移n个单位：y=a(x+b/2a)2+(4ac-b2)/4a+n (a≠0)
将抛物线向下平移n个单位：y=a(x+b/2a)2+(4ac-b2)/4a-n (a≠0)
将抛物线向左平移m个单位，向上平移n个单位：y=a(x+b/2a+m)2+(4ac-b2)/4a+n (a≠0)
将抛物线向右平移m个单位，向下平移n个单位：y=a(x+b/2a-m)2+(4ac-b2)/4a-n (a≠0)
将抛物线向左平移m个单位，向下平移n个单位：y=a(x+b/2a+m)2+(4ac-b2)/4a-n (a≠0)
将抛物线向右平移m个单位，向上平移n个单位：y=a(x+b/2a-m)2+(4ac-b2)/4a+n (a≠0)
｜a｜的大小决定抛物线开口的大小，｜a｜越大，抛物线的开口越大。
a>0时抛物线开口向上， a<0时抛物线的开口向下。
c=0时抛物线交y轴于原点c>0时抛物线交y轴于正半轴c<0时抛物线交y轴于负半轴b=0时对称轴为y轴
ab>0时对称轴在y轴左侧
ab<0时对称轴在y轴右侧。