椭圆的几何性质
高二数学椭圆的几何性质1
e越接近1，椭圆越扁；e越接近 于0，椭圆越接近于圆。
2 2 例1：椭圆25x +16y =400
的长轴长为____，短轴长 为____，焦点坐标为___， 顶点坐标为____，离心率 为 ______。
x y 练习：若椭圆 1的离心率 a8 9 1 为 ，求a的值。 2
2
2
x y (2)若 2 2 1( a b 0 ) 的左焦 a b
x y 2 1 2 a b ( a b 0)
y B2(0,b) o x A2(a,0) B1(0,-b)
2
2
A1(-a,0)
a、b分别叫做椭圆的 长半轴长和短半轴长。
四、椭圆的离心率
离心率：椭圆的焦距与长轴长的比, 2c c 叫做椭圆的离心率。 e y 2a a
0<e<1
o x
变式： (08江西)已知F1，F2椭圆的两 个焦点，满足 MF1 MF2 0 ，点 M总在椭圆的内部，则椭圆的离心率 的取值范围是___________。
2
2
练习：
2 2
x y 1 ( a b 0 ) 已知 2 2 a b 的长轴两端点为A，B，如果椭圆 上存在一点Q，使∠F1QF2=120°， 求离心率e的取值范围。
一、椭圆的范围 二、椭圆的对称性 三、椭圆的顶点
变量x，y的取 值范围 方程的对称性 x=0或y=0时 方程的解
四、椭圆2 2 2 2 x y x y 由 2 1 2 1和 2 1 2 a b a b
即
x a和 y b
o
y
说明：椭圆位于矩 形之中。
x
二、椭圆的对称性 2 2
椭圆关于x轴对称； 椭圆关于y轴对称； 椭圆关于原点对称；
椭圆的简单几何性质ppt课件
由 e 1 ，得 1 k 1 ，即 k 5 ．
2
94
4
∴满足条件的 k 4 或 k 5 ．
4
例3：酒泉卫星发射中心将一颗人造卫星送入到 距地球表面近地点(离地面 近的点)高度约200km, 远地点(离地面最远的点)高度约350km的椭圆轨 道(将地球看作一个球，其半径约为6371km),求 椭圆轨道的标准方程。(注:地心(地球的中心)位
2.椭圆的标准方程
标准方程 图形
焦点在x轴上
x2 + y2 = 1a > b > 0
a2 b2
y P
F1 O F2
x
焦点在y轴上
x2 + y2 = 1a > b > 0
b2 a2
y
F2
P
O
x
F1
焦点坐标 a、b、c 的关系 焦点位置的判断
F1 -c , 0，F2 c , 0
F1 0,- c，F2 0,c
分别叫做椭圆的长轴和短轴。 A1
o
A2 x
B2(0,-b)
a、b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。
思考：椭圆的焦点与椭圆的长轴、短轴有什么关系？ 焦点落在椭圆的长轴上
椭圆的简单几何性质
长轴：线段A1A2； 长轴长
短轴：线段B1B2； 短轴长
注意
焦距
|A1A2|=2a |B1B2|=2b |F1F2| =2c
y
B2(0,b)
①a和b分别叫做椭圆的 A1 (-a, 0)
b
a
A2 (a, 0)
长半轴长和短半轴长；
F1 a
o c F2 x
② a2=b2+c2，|B2F2|=a；
B1(0,-b)
3.2.2 椭圆的简单几何性质
椭圆的离心率 e= ．
范围： 0<e<1
e越接近1，c越接近a， = 2 − 2 越小，因
此椭圆越扁平；
e越接近0，c越接近0， = 2 − 2 越大，因
此椭圆越接近于圆；
当且仅当a=b时，c=0，这时两个焦点重合，
图形变为圆，方程为 2 + 2 = 2 .
典型例题
典型例题
例2 动点M(x,y)与定点F(4,0)的距离和M到定直线l:x=
4
比是常数 ，求动点M的轨迹．
5
25
的距离的
4
轨迹方程
轨迹上任意的点 M 的坐标(x , y)所满足的条件
点M所满足的条件
点M与定点F(4,0)的距离和M到定
25
4
直线l:x= 的距离的比是常数
4
转化
5
两点间距离和点到直线的距离
6 − 91 = 0内切，求动圆圆心的轨迹方程，并说明它是什么曲线?
圆 2 + 2 + 6 + 5 = 0
圆心1 (− 3,0),半径r1=2
椭圆的一个焦点F1上，片门位于另一个焦点F2上．由椭圆一个焦点F1发出的光线，
经过旋转椭圆面反射后集中到另一个焦点F2．已知 ⊥ 1 2 ， 1 = 2.8cm，
1 2 = 4.5cm．试建立适当的平面直角坐标系，求截口BAC所在椭圆的方程．
椭圆的方程
求a,b
建立关于a,b的方程
典型例题
2
4.12
+
2
3⋅4 2
= 1．
方
程
思
想
典型例题
例1 如图，一种电影放映灯的反射镜面是旋转椭圆面（椭圆绕其对称轴旋转一周形成的曲
椭圆的简单几何性质
由课本一道例题的推广
[课本 47页例6]点M与定点F ( 4,0)的距离和它到直线l : x 4 的距离的比是常数 ，求点M的轨迹. 5
解后反思：这个定点是什么点？这个常数是什么值？ 这个定直线l与椭圆有什么联系？由此，能否得到一 个更一般的猜想？
25 4
a2 推广：点M与定点F (c ,0)的距离和它到直线l : x 的距离 c c 的比是常数 ，求点M的轨迹. a
(7 )在x轴的一个焦点与短轴的 两端点连线互相垂直， 且这个焦点与较近的长 轴端点的距离是 10 5 .
离心率的理解和运用
2.已知椭圆的焦距是长轴 长和短轴长的等比中项 ，求离心率 . x2 y2 1 3.若椭圆 1的离心率为 ，求k的值. k 8 9 2 3 4.已知椭圆x (m 3) y m(m 0)的离心率e ，求 2 m的值及椭圆的长轴和短 轴的长 .
c
与准线有关问题
x2 y2 11.椭圆 1上有一点P，它到左准线的距离为 10， 100 36 求P到右焦点的距离及 P点坐标 . 12.根据下列条件，求椭圆 的标准方程： (1)长轴长为 12，两焦点恰为两准线间 距离的三等分点 ; 3 50 (2)离心率为 ，一条准线方程为 x ; 5 3 (3) P是椭圆上一点， P与两焦点的连线互相垂 直，且 P到两准线的距离分别为 6和 12.
请写出焦点在y轴上时的范围
6 5
10
8
6
B1
4
4
3
2
2
1
-8
-6
A1
-4
F1
-2
O
-1
2
-15
F2
4
A2
6
8
椭圆的简单几何性质优秀教案
椭圆的简单几何性质优秀教案引言本教案旨在介绍椭圆的简单几何性质，以帮助学生理解椭圆的特点和特性。
通过研究本教案，学生将能够掌握椭圆的定义、主要性质和相关计算方法。
椭圆的定义椭圆是平面上一条固定点F（称焦点）和一条固定线段L（称为准线段）之间的点的轨迹，使得从F到点P的距离与准线段L上的点P到L的距离之和为常数2a。
如下所示：椭圆的性质1. 椭圆的长轴是焦点F之间的线段，短轴是准线段L的垂直平分线段。
长轴和短轴的长度之比为a:b。
2. 椭圆的离心率e的计算公式为e = c/a，其中c是焦点F到椭圆中心的距离。
3. 椭圆的离心率范围为0 < e < 1。
当e=0时，椭圆退化成一个圆；当e=1时，椭圆退化成一条直线段。
4. 椭圆的准线段L和长轴之间的夹角称为偏心角，偏心角的大小取决于离心率e的大小。
5. 椭圆的焦距为2ae，其中e是离心率。
相关计算方法1. 椭圆的周长计算公式为C = 4aE(e)，其中E(e)是第二椭圆积分，需要使用数值积分方法计算。
2. 椭圆的面积计算公式为A = πab，其中a和b分别是长轴和短轴的长度。
教学活动1. 使用白板或黑板绘制椭圆的定义和性质的图示，并解释相关概念。
2. 分组让学生自己计算给定的椭圆的周长和面积，并与同组同学讨论和比较结果。
3. 设计一些练题，让学生运用所学概念计算椭圆的相关信息。
4. 使用多媒体展示椭圆的实际应用场景，如行星轨道、卫星轨道等，以加深学生对椭圆的理解和感受。
总结本教案通过简洁明了的语言和图示介绍了椭圆的几何性质和相关计算方法。
通过对椭圆的定义、性质和计算的学习，学生能够更好地理解椭圆的特点和特性，并能够应用所学知识解决实际问题。
教师可以根据学生的实际水平和兴趣选择适当的教学方法和活动，提高学生的学习效果和兴趣。
2.1.2椭圆的简单几何性质
（0，±c）
a>b
半轴长
离心率 a,b,c的关系
长半轴长为a,短半轴长为b. c e a a2=b2+c2
例4 求椭圆16x2+25y2=400的长轴和短轴的长、离心率、焦点 和顶点的坐标。 例5 一种电影放映灯泡的反射镜面是旋转椭圆面（椭圆绕其 对称轴旋转一周形成的曲面）的一部分。过对称轴的截口 BAC是椭圆的一部分，灯丝位于椭圆的一个焦点F1上，片门 位于另一个焦点F2上,由椭圆一个焦点F1出发的光线，经过旋 转椭圆面反射后集中到另一个焦点F2.已知BC⊥F1F2 ， |F1B|=2.8cm， |F1F2|=4.5cm.试建立适当的坐标系，求截口 y BAC所在椭圆的方程。
(1)椭圆的定义:
点M满足的几何条件： MF1 MF2 常数 （常数大于 , F1F2 ） (2)椭圆的标准方程:
y y
M
图 形
F 2
M x
F 1
o
F2 x
o
F 1
方 程
焦 点
x2 y2 2 1 a b 0 2 a b
F(±c，0)
y2 x2 2 1 a b 0 2 a b
B2
y b -a x a -b 的四个顶点。线段 A1A 2，B1B2叫做椭圆的长轴和短 这说明椭圆位于直线 x= ± a2b 和 y=±b所围成的矩形内. 轴。它们的长分别为 2a 和 。。
1 2 1 2
2.对称性： P1（-x，y） P（x，y） 椭圆是轴对称图形，也是中心对 称图形。坐标轴是它的对称轴， O x 坐标原点是它的对称中心。椭圆 P2（-x，-y） 的对称中心叫椭圆的中心。
B
例6
A F1
椭圆的几何性质教案
椭圆的几何性质教案一、椭圆的定义椭圆是平面上到两个定点F1和F2的距离之和等于常数2a的点P的轨迹。
F1和F2称为椭圆的焦点，2a称为椭圆的长轴，2b称为椭圆的短轴，c称为椭圆的焦距，c2=a2−b2。
二、椭圆的几何性质1. 椭圆的对称性椭圆具有中心对称性，即椭圆的中心是对称中心。
2. 椭圆的离心率，0<e<1。
当e=0时，椭圆退化为圆；当e=1时，椭圆的离心率e=ca椭圆退化为抛物线。
3. 椭圆的焦点性质椭圆上任意一点到两个焦点的距离之和等于椭圆的长轴2a，即PF1+PF2= 2a。
4. 椭圆的切线性质椭圆上任意一点P处的切线与椭圆的两个焦点F1和F2的连线的夹角相等。
5. 椭圆的法线性质椭圆上任意一点P处的法线与椭圆的两个焦点F1和F2的连线的夹角相等。
6. 椭圆的直径性质椭圆的长轴2a是椭圆的最长直径，短轴2b是椭圆的最短直径。
7. 椭圆的面积和周长椭圆的面积S=πab，周长C=4aE(e)，其中E(e)是第二类完全椭圆积分。
三、椭圆的应用1. 椭圆的轨道椭圆的轨道在天文学中有广泛的应用，如行星绕太阳的轨道、卫星绕地球的轨道等。
2. 椭圆的几何光学椭圆镜是一种常见的光学元件，它可以将入射光线聚焦成一个点或将一个点的光线反射成一束平行光线。
3. 椭圆的机械应用椭圆齿轮是一种常见的机械元件，它可以将旋转运动转化为直线运动或将直线运动转化为旋转运动。
四、教学设计1. 教学目标1.理解椭圆的定义和基本性质；2.掌握椭圆的离心率、焦点性质、切线性质、法线性质、直径性质、面积和周长公式；3.了解椭圆的应用领域。
2. 教学内容1.椭圆的定义和基本性质；2.椭圆的离心率、焦点性质、切线性质、法线性质、直径性质、面积和周长公式；3.椭圆的应用领域。
3. 教学方法1.讲授法：通过讲解椭圆的定义和基本性质，引导学生理解椭圆的几何特征；2.演示法：通过演示椭圆的焦点性质、切线性质、法线性质等，帮助学生掌握椭圆的基本性质；3.实验法：通过实验椭圆的面积和周长，让学生深入了解椭圆的几何性质；4.讨论法：通过讨论椭圆的应用领域，激发学生的兴趣和创造力。
椭圆定义及几何性质
a ,0
(
）,(0,
c,0)
b)
（
b ,0
）,(0,
(0,
c)
a)
长半轴长为a,短半轴长为b.
焦距为2c;
a,b,c关系 准线及离心率
a2=b2+c2
补充：
焦半径： |PF1|= a+ex |PF2|= a-ex
弦长公式：
P
F1 o Y F2 X
|AB|=√1+k2 |x1-x2|
椭圆方程 【解题回顾】|AF2|与|BF2|为焦半 径，所以考虑使用焦半径公式建 立关系式，同时结合图形，利用
平面几何知识在应用椭圆第二
定义时，必须注意相应的焦点和准线问题
四、课堂回顾：
1、椭圆的定义： 第一定义是什么？ 第二定义又是什么？
2、椭圆几何性质： 长轴、短轴、顶点、焦点、对称轴、 对称中心、准线、离心率、焦半径。
过椭圆的一个焦点，求椭圆方程
【解题回顾】本题因椭圆焦点位置未定，故有两种情况， 不能犯“对而不全”的知识性错误
2.如图，从椭圆x2/a2+y2/b2=1(a＞b＞0)上一点P向x轴作垂线， 垂足恰为左焦点F1，A是椭圆与x轴正半轴的交点，B是椭圆 与y轴正半轴的交点，且AB∥OP，|F1A|=√10+√5，求此椭圆 方程
= √1+(1/k)2 |y1-y2|
二、基础练习
1.椭圆x2/100+y2/64=1上一点P到左焦点F1的距离为 6，Q是 PF1的中点，O是坐标原点，则|OQ|= _____ 7 2.已知椭圆上横坐标等于焦点横坐标的点，其纵坐标等于
5 短半轴长的2/3，则椭圆的离心率为_______ 3
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问题4 这说明椭圆具备什么性质呢
椭圆是轴对称图象，也是中心对称图 形。X轴和Y轴是它的对称轴，坐标原 点是它的对称中心。
结论 通过上面的分析,我们得
到判断曲线是否对称的方法:
?以-x代换x,若方程不变,则曲线关于 y轴对称;若以-y代换y,方程不变,曲 线关于x轴对称;
?同时以-x代换x,以-y代换y,方程不 变,则方程关于坐标原点对称.
1 椭圆的定义:平面内到两定点 距离之和(2a)大于定长(2c)的 点的轨迹.(2a>2c)
2 椭圆的标准方程
x2 (1) a 2
?
y2 b2
?
1( a
?
b
?
0)
x2 (2) b 2
?
y2 a2
? 1(a
?
b?
0)
?
x2 ? y2 ? 1(m ? 0,n ? 0,m ? n) mn
探索新知
通过研究 曲线的方程,可以知道曲线的 性质.下面我们就以椭圆的标准方程
（1）长轴是短轴的3倍，经过点P（3，0）
（2）过点（2，0）、（1， 3 3 ）
2
（3）与椭圆4x2+9y2=36有相同的焦距， 且离心率为 5
5
例3 如图,我国发射的第一颗人造卫星的轨道 ,是
以地心F2为一个焦点的椭圆 .已知它的近地点 A距地 面439km, 远地点 B距地面 2384km, 并且 F2,A,B在同一 条直线上,地球半径为 6371km, 求人造卫星运行的轨
?
y2 b2
?
1
(a ? b ? 0)
x2 b2
?
y2 a2
?
1
(a ? b ? 0)
圆
的
范围
-a ? x ? a
-a ? y ? a
几
-b ? y ? b
-b? x ? b
何 性
对称性 对称轴 x 轴 y轴 对称轴 x 轴 y轴 对称中心 坐标原点 对称中心 坐标原点
质
顶点 (±a,0) (0,±b) (0,±a) (±b,0)
在下列方程所表示的曲线中 ,关于X
D 轴和Y轴都对称的是 (
)
A.x2=4y
B.x2+2xy+y=0
C.x2-4y2=5x
D.9x2+y2=4
三、顶点
如图,设椭圆的方程为
x2 a2
?
y2 b2
?
1(a
?
b
?
0)
同学们计算一下椭圆与坐标轴的交点坐标.
答案:A1(-a,0) A2(a,0) B1(0,-by)B2(0,b)
离心率
e ? c ( 0<e<1) a
小结：基本元素
{1}基本量：a、b、c、共七个点）
{3}基本线：对称轴（共两条线）
请考虑：基本量之间、
基本点之间、基本线
之间以及它们相互之 间的关系（位置、数
A1
量之间的关系）
y B1(0,b)
o
A2 x
B2(0,-b)
道方程(精确到1km).
解:如图,建立直角
坐标系,使A,B,F2在
x轴上,F2为椭圆的 右焦点(F1为左焦
BF1
. .F2
A
点).
归纳小结
椭 圆 的
一、几
何 性 质
1 范围 2 对称性 3 顶点 4 离心率
二、 性质的简单应用
三、曲线对称性的判定方法
祖冲之
华罗庚
苏步青
又因为长轴在x轴上,所以椭圆的标 准方程为
x2 ? y2 ? 1 94
(2)由已知,2a=20,e=0.6
∴a=10,c=6∴b=8
因为椭圆的焦点可能在x轴上,也可
能在y轴上,所以所求椭圆的标准方
程为: x2 ? y2 ? 1 或 x2 ? y2 ? 1
100 64
64 100
练:求适合下列条件的椭圆的标准方程
x2 a2
?
y2 b2
? 1(a
?
b?
0)
为例研究椭圆的几何性质.
问题1: 你能找出上述方程中x、y的取值
范围吗?
由上式知
x2 a2
?1
y2 b2
?1
所以 x2 ? a 2 y2 ? b2
一、椭圆的范围
由 x 2 ? y 2 ? 1?
a2
b2
x2 a2
?
1和
y2 b2 ? 1
即 x ? a和 y ? b
3）特例：e =0，则 a = b，则 c=0，两个焦点重合，椭圆
方程变为圆
e ? c 叫做椭圆的离心率. a
因为 a > c > 0，所以：e的取值范围: 0<e<1
? c ? １
椭圆更扁
a
? c ? ０ 椭圆更圆
a
通过上面的研究,我们得到了椭圆的一些 几何性质, 列一个表:
椭
椭圆方程
x2 a2
2a=10,2b=8
Y
注意:强调长轴=2a 短轴=2b
O
X
例2 求符合下列条件的椭圆的标准方程:
(1)经过点(-3,0)、(0,-2); (2)长轴的长等于20,离心率等于0.6
解: (1)由椭圆的几何性质可知,以
坐标轴为对称轴的椭圆与坐标轴的 交点就是椭圆的顶点,所以这两点是 椭圆的顶点,
∴a=3,b=2
在椭圆的标准方程中,椭
B2
圆与坐标轴的交点
叫椭圆的顶点
A1
O
线段A1A2叫做椭圆的长轴
B1
线段B1B2叫做椭圆的短轴
A2 X
B2F2 =a OF2 =C
y B2
A1 F1 O F2 A2 X B1
OB2 =b
直角三角形OB2F2,它反应了 椭圆三个基本量之间的关系,
所以叫做椭圆的特征三角形.
问题 同学们看下面这些椭圆,它们的
例题1
求椭圆 16x 2+25y 2=400 的长轴和短轴的 长、离心率、焦点和顶点的坐标 ,并画 出它的图形 .
解: 把方程化为标准方程
x2 ? y2 ? 1 25 16
所以a=5 ,b=4
c= 25 ? 16 ? 3
所以,焦点坐标为(-3,0),(3,0)
顶点坐标为(-5,0)(5,0)(0,4)(0,-4)
扁圆程度不同,我们能否找一个量来描 述它们呢?
四、椭圆的离心率
离心率：椭圆的焦距与长轴长的比：e ? c
叫做椭圆的离心率。
a
[1] 离心率的取值范围：
y
因为 a > c > 0，所以1 >e >0
[2]离心率对椭圆形状的影响：
o
x
1）e 越接近 1，c 就越接近 a，从而 b就越小，椭圆就越扁
2）e 越接近 0，c 就越接近 0，从而 b就越大，椭圆就越圆
y
说明：椭圆位于直线
X=±a和y=±b所围成 的矩形之中。
o
x
二、对称性
想一想?
? 问题2 以-x代换x,以-y代换y,方程改变吗? ? 同时以-x代换x,以-y代换y,方程改变吗?
问题3 若点P(x,y)在椭圆上,点(-x,y)与椭圆 有什么关系? 点(x,-y)与椭圆有什么关系?
点(-x,-y)与椭圆又有什么关系?