高一上册数学第一次月考试卷带答案

高一上册数学第一次月考试卷带答案

1.下列关系正确的是（）

A。{0} ∈ {0.1.2}

2.已知集合A = {1.3A}，A = {A。A}，若A∩ A = {3}，则A^2 − A^2 = （）

A。8/9

3.设A。0，A。0，A = (1+A)/(1+A)，A = A/(1+A)，则A，A的大小关系是（）

B。A < A

4.若实数A，A满足A≥ 0，A≥ 0，且AA = 1，则称A 与A互补，记A(A。A) = √(A^2+A^2−A−A)，那么A(A。A) = √2 是A与A互补的（）

C。充要条件

5.已知不等式AA^2 − AA− 1 ≥ 0 的解集是 {A|−2 ≤ A≤ −3}，则不等式A^2 − AA− A < 0 的解集是（）

B。{A|2 < A < 3}

6.若A。0，A。0 且A + A = 7，则 (A+1)/(A+2) 的最小值为（）

C。41/11

7.关于A的不等式A^2 − (A+1)A + A < 0 的解集中恰有两个整数，则实数A的取值范围是（）

B。−2 ≤ A≤ −1 或 3 ≤ A≤ 4

8.下列说法正确的是（）

A。若命题A，￢A都是真命题，则命题“(￢A)∨A”为真命题

2.下列不等式中可以作为$x^2<1$的一个充分不必要条件的有（）

A。$x<1$

B。$|x+\sqrt{xb}| \geq 2$

C。$ab \neq 0$

D。$x^2+\frac{x^2}{1+x^2}。1 (x \in \mathbb{R})$

3.下列命题正确的是（）

A。$\exists a,b \in \mathbb{R}。|a-2|+(b+1)^2 \leq 0$

XXX{R}。\exists x \in \mathbb{R}。ax。2$

C。$ab$是$a^2+b^2 \neq 0$的充要条件

D。选项ABC均不正确

填空题：

1.已知集合$A=\{x \in \mathbb{Z} | x^2-4x+3<0\}。

B=\{0,1,2\}$，则$A \cap B = \{1,2\}$

2.若$x>3$是$x>a$的充分不必要条件，则实数$a$的取值范围是$a \leq 3$

3.若不等式$ax^2+2ax-4<0$的解集为$\mathbb{R}$，则实数$a$的取值范围是$a \in (-\infty,-2) \cup (0,\infty)$

解答题：

1.解不等式：

1）$x<\frac{1}{2}$

2）$x \in (-\infty,-1) \cup (\frac{3}{2},\infty)$

2.已知全集$U=\mathbb{R}$，集合$A=\{x|x^2-4x-5 \leq 0\}。B=\{x|2 \leq x \leq 4\}$。

1）求$A \cap (\complement_U B)$，即$A$与$B$的补集的交集。

A=\{x|x \in (-\infty,-1] \cup [5,\infty)\}$，$\complement_U B=(-\infty,2) \cup (4,\infty)$，因此$A \cap (\complement_U B)=(-\infty,-1]$。

2）若集合$C=\{x|a \leq x \leq 4a。a>0\}$，满足$C \cup A=A$，$C \cap B=B$，求实数$a$的取值范围。

首先根据$C \cup A=A$可得$C \supseteq A$，即$a \leq -

1$或$a \geq 5$。又因为$C \cap B=B$，所以$2 \leq a \leq 4$。综合可得$2 \leq a \leq 4$。

3.已知$p$：对于$\forall x \in \mathbb{R}$，

$x^2+kx+k>0$，$q$：关于$k$的不等式$(k-m)(k-2) \leq 0 (m<2)$成立。

1）若$p$为真命题，求$k$的取值范围。

由于$x^2+kx+k>0$对于任意$x$都成立，所以判别式$\Delta=k^2-4k<0$，解得$0

(m<2)$，所以$k \in [m,2]$。综合可得$k \in [m,2) \cap (0,4)$，即$0

2）若$p$是$q$的必要不充分条件，求$m$的取值范围。

p$是$q$的必要不充分条件，即$q$为真命题时$p$不一定为真命题。因此，$q$的反命题$p'$为假命题，即存在$x_0 \in \mathbb{R}$，使得$x_0^2+kx_0+k \leq 0$且$(k-m)(k-2)>0$。对于$(k-m)(k-2)>0$，分成两种情况：$k2$。当$k2$时，$k^2-4k0$的解集为$k \in (-\infty,m) \cup (2,\infty)$。综合可得

$m<2$且$m \in (-\infty,k) \cup (2,\infty)$，即$m \in (-\infty,0) \cup (2,k)$。

4.已知函数$f(x)=x^2-(m+\frac{1}{m})x+1$。

1）若不等式$f(x)<0$的解集为$\{x|3

由于$f(x)0$，$f(\sqrt{13})>0$，且

$f(\frac{m+\frac{1}{m}}{2})=0$。因此，$9-(m+\frac{1}{m}) \cdot 3+1<0$，$(\sqrt{13})^2-(m+\frac{1}{m}) \cdot

\sqrt{13}+1<0$，$[\frac{m+\frac{1}{m}}{2}]^2-

(m+\frac{1}{m}) \cdot [\frac{m+\frac{1}{m}}{2}]+1=0$。解得$m=2$。

2）当$m>0$时，解关于$x$的不等式$f(x) \geq 0$。

由于$f(x)=x^2-(m+\frac{1}{m})x+1$，所以$f(x) \geq 0$的

解集为$x \in (-\infty,\frac{m+\frac{1}{m}}{2}] \cup

[\frac{m+\frac{1}{m}}{2},\infty)$。

根据题目中给出的集合定义和元素的取值范围，可以得到集合A中元素的个数为2的A次方，即2的A次方个．对于任

意元素A和A，根据A(A, A)的定义，可以得到A(A, A)的值是

由元素中每个对应位置的差的绝对值之和再加上所有元素对应位置的和．因此，对于任意两个不同的元素A，A，都有

A(A, A)≤A(A, A)+A(A, A)成立．当A＝3时，代入元素的具体值即可求出A(A, A)和A(A, A)的值．当A＝4时，可以构造出

一个满足等式成立的A，A，使得A(A, A)＝A(A, A)+A(A, A)．由于$a>b$且$a+b=7$，可得$a=7-b$，$b<7-a$。将$a=7-

b$代入式子$\frac{41}{b+2}=\frac{47-b}{a+2}+1$中，得到

$\frac{41}{b+2}=\frac{47-b}{9-b}+1=f(b)$，再利用导数研究

$f(b)$的单调性、极值与最值即可得出。

不等式$(x-1)(x-a)1$和$a<1$时，求出解不等式的解集，根据不等式的解集中恰有两个整数，求出$a$的取值范围。

根据逻辑联结词的意义判断$A$，根据互为逆否命题的命题真假性相同判断$B$，利用充分必要条件的定义判断$C$，根据命题的否定格式判断$D$。

对于$A$，$x0$的一个充分不必要条件；对于$D$，$x\leq 0$是$x^2\geq 0$的充要条件。

1）直接利用赋值法的应用判断$A$、$B$的结论；（2）利用充分条件和必要条件及不等式的性质和作差法的应用判定$C$、$D$的结论。

求出$A$中不等式的解集确定出$A$，找出$A$与$B$的交集即可。

根据：“$x>3$”是“$x>a$”的充分不必要条件即可得出。

分三种情况讨论：（1）当$a=4$时，原不等式变为$-

44$时，根据二次函数的图象与性质可知解集为

$\mathbb{R}$不可能；（3）当$a<4$时，二次函数开口向下，且与$x$轴没有交点即$\Delta<0$时，由此可得结论。

由题意可得$x+3y=(x+3y)(y+x)$，然后利用基本不等式求出$x+3y$的最小值，再根据$t^2+t

$t^2+t<(x+3y)_{\min}$.

因此，当A＝4时，任意两个不同的元素A，A的距离为

d(\alpha,\beta)=\sqrt{\sum_{i=1}^4(\alpha_i-\beta_i)^2}$$

代入公式可得

M(\alpha,\beta)=\frac{1}{4}\sum_{i=1}^4\sum_{j=1}^4|\alp ha_i-\alpha_j+\beta_i-\beta_j|$$

化简可得

M(\alpha,\beta)=2\sum_{i=1}^4\sum_{j=i+1}^4|\alpha_i-

\beta_i+\alpha_j-\beta_j|$$

代入题目给出的数据可得

M(\alpha,\beta)=2[(0+0+|1-1|+1+1+|0-0|)+(1+1+|1-

0|+0+0+|1-1|)+(1+1+|0-1|+0+0+|1-1|)] = 8$$

综上所述，当A＝4时，任意两个不同的元素距离的最大值为8.

当 $x_i \geq y_i$ 时，有 $x_i + y_i + |x_i - y_i| = x_i$。当$x_i \leq y_i$ 时，有 $x_i + y_i + |x_i - y_i| = y_i$。即 $2(x_i + y_i + |x_i - y_i|) = \max\{x_i。y_i\}$。因此，有 $M(\alpha。

\beta) = \max\{x_1.y_1\} + \max\{x_2.y_2\} + \max\{x_3.y_3\} + \max\{x_4.y_4\}$。又因为 $x_i。y_i \in \{0.1\}$，所以

$\max\{x_i。y_i\} \leq x_i + y_i$，当且仅当 $x_i = y_i = 0$ 时

等号成立。因此，$\max\{x_i。y_i\} + \max\{x_2.y_2\} +

\max\{x_3.y_3\} + \max\{x_4.y_4\} \leq (x_1 + y_1) + (x_2 + y_2) + (x_3 + y_3) + (x_4 + y_4) = (x_1 + x_2 + x_3 + x_4) + (y_1 +

y_2 + y_3 + y_4)$。即 $M(\alpha。\beta) \leq M(\alpha。\alpha) + M(\beta。\beta)$，当且仅当 $x_i = y_i = 0$ 时等号成立。

解析：

1) 根据 $M(\alpha。\beta)$ 的定义代入即可求解。

2) 当 $n=4$ 时，对于 $A$ 中的任意两个不同的元素

$\alpha。\beta$，设 $\alpha = (x_1.x_2.x_3.x_4)。\beta =

(y_1.y_2.y_3.y_4)$，则 $M(\alpha。\alpha) = x_1 + x_2 + x_3 + x_4$，$M(\beta。\beta) = y_1 + y_2 + y_3 + y_4$。根据 $x_i + y_i + |x_i - y_i| = \max\{x_i。y_i\}$ 得到 $M(\alpha。\beta) =

\max\{x_i。y_i\} + \max\{x_2.y_2\} +

\frac{1}{2}\max\{x_3.y_3\} + \frac{1}{2}\max\{x_4.y_4\} \leq

(x_1 + y_1) + (x_2 + y_2) + (x_3 + y_3) + (x_4 + y_4)$，所以$M(\alpha。\beta) \leq M(\alpha。\alpha) + M(\beta。\beta)$，当且仅当 $x_i = y_i = 0$ 时等号成立。