计数原理专题复习(二)排列与组合练习题

计数原理专题复习（二）排列与组合
——实验中学
课后作业
一、选择题
1．若A2n＝132，则n等于()
A．11 B．12
C．13 D．14
答案 B
解析因为A2n＝132，
所以n(n－1)＝132，n2－n－132＝0，
所以n＝12或n＝－11(舍去)．
2．分配4名水暖工去3户不同的居民家里检查暖气管道．要求4名水暖工都分配出去，且每户居民家都要有人去检查，那么分配的方案共有()
A．A34种B．A33A13种
C．C24A33种D．C14C13A33种
答案 C
解析先将4名水暖工选出2人分成一组，然后将三组水暖工分配到3户不同的居民家，故有C24A33种．
3．某市正在建设最具幸福感城市，原计划修建7个河滩主题公园．为提升城市品位、升级公园功能，打算减少2个河滩主题公园，两端河滩主题公园不在调整计划之列，相邻的两个河滩主题公园不能同时被调整，则调整方案的种数为() A．4 B．8 C．6 D．12
答案 C
解析利用间接法，任选中间5个的2个，再减去相邻的4个，故有C25－4＝6(种)，故选C.
4．2017年的3月25日，中国国家队在2018俄罗斯世界杯亚洲区预选赛12强战小组赛中，在长沙以1比0力克韩国国家队，赛后有六名队员打算排成一排照相，其中队长主动要求排在排头或排尾，甲、乙两人必须相邻，则满足要求的排法有()
答案 C
解析 根据题意，分3步进行分析：
①队长主动要求排在排头或排尾，则队长有2种站法；
②甲、乙两人必须相邻，将2人看成一个整体，考虑2人的左右顺序，有A 2
2＝2(种)
情况；
③将甲、乙整体与其余3人进行全排列，有A 44＝24(种)情况．
则满足要求的排法有2×2×24＝96(种)． 故选C.
5．登山运动员10人，平均分为两组，其中熟悉道路的有4人，每组都需要2人，那么不同的分配方法种数是( ) A ．30 B ．60 C ．120 D ．240 答案 B
解析 先将4个熟悉道路的人平均分成两组，有C 24C 2
2
A 22种，再将余下的6人平均分
成两组，有C 36C 33A 22种，然后这四个组自由搭配还有A 2
2种，故最终分配方法有C 24C 36A 22
＝
60(种)．
6．在某次针对重启“六方会谈”的记者招待会上，主持人要从5名国内记者与4名国外记者中选出3名记者进行提问，要求3人中既有国内记者又有国外记者，且国内记者不能连续提问，不同的提问方式有( ) A ．180种 B ．220种 C ．260种 D ．320种 答案 C
解析 若3人中有2名中国记者和1名国外记者，则不同的提问方式的种数是C 25
C 14A 2
2＝80，
若3人中有1名中国记者和2名国外记者，则不同的提问方式的种数是C 15C 24A 33＝
180，
故所有不同的提问方式的种数是80＋180＝260，故选C.
7．某公园有P ，Q ，R 三只小船，P 船最多可乘3人，Q 船最多可乘2人，R 船只能乘1人，现有3个大人和2个小孩打算同时分乘若干只小船，规定有小孩的船必须有大人，共有不同的乘船方法( )
答案 C
解析①P船乘1个大人和2个小孩共3人，Q船乘1个大人，R船乘1个大人，有A33＝6(种)情况．
②P船乘1个大人和1个小孩共2人，Q船乘1个大人和1个小孩，R船乘1个大人，有A33×A22＝12(种)情况．
③P船乘2个大人和1个小孩共3人，Q船乘1个大人和1个小孩共有C23×2＝6(种)情况．
④P船乘1个大人和2个小孩共3人，Q船乘2个大人，有C13＝3(种)情况，则共有6＋12＋6＋3＝27(种)情况．
8．某班班会准备从甲、乙等7名学生中选派4名学生发言，要求甲、乙两人至少有一人参加，当甲、乙同时参加时，他们两人的发言不能相邻，那么不同发言顺序的排法种数为()
A．360 B．520 C．600 D．720
答案 C
解析根据题意，可分两种情况讨论：①甲、乙两人中只有一人参加，有C12·C35·A44＝480(种)情况；②甲、乙两人都参加，有C22·C25·A44＝240(种)情况，其中甲、乙两人的发言相邻的情况有C22·C25·A33·A22＝120(种)．故不同发言顺序的排法种数为480＋240－120＝600.
二、填空题
9．某大厦一层有A，B，C，D四部电梯，现有3人在一层乘坐电梯上楼，其中恰有2人乘坐同一部电梯，则不同的乘坐方式有________种．(用数字作答)
答案36
解析由题意得，不同的乘坐方式有C23C24A22＝36种．
10．现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加某项服务活动，每人从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作之一，每项工作至少有一人参加．甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是________．
答案126
解析按从事司机工作的人数进行分类：
①有1人从事司机工作：C13C24A33＝108(种)；
②有2人从事司机工作：C23·A33＝18(种)．
∴不同安排方案的种数是108＋18＝126.
11．连接正三棱柱的6个顶点，可以组成________个四面体．
答案12
解析从正三棱柱的6个顶点中任取4个，有C46种方法，其中4个点共面的有3种情况，故可以组成C46－3＝12(个)四面体．
12．用1,2,3,4这四个数字组成无重复数字的四位数，其中恰有一个偶数夹在两个奇数之间的四位数的个数为________．
答案8
解析首先排两个奇数1,3，有A22种排法，再在2,4中取一个数放在1,3之间，有C12种排法，然后把这3个数作为一个整体与剩下的另一个偶数全排列，有A22种排法，即满足条件的四位数的个数为A22C12A22＝8.
13．某企业有4个分厂，新培训了一批6名技术人员，将这6名技术人员分配到各分厂，要求每个分厂至少1人，则不同的分配方案种数为________．
答案 1 560
解析先把6名技术人员分成4组，每组至少一人．若4个组的人数按3,1,1,1分
配，则不同的分配方案有C36C13C12C11
A33＝20(种)．
若4个组的人数为2,2,1,1，则不同的分配方案有C26C24
2！
×
C12
2！
＝45(种)．
故所有分组方法共有20＋45＝65(种)．
再把4个组的人分给4个分厂，不同的方法有65A44＝1 560(种)．
三、解答题
14．有甲、乙、丙、丁、戊5名同学，求：
(1)5名同学站成一排，有多少种不同的方法？
(2)5名同学站成一排，要求甲、乙必须相邻，丙、丁不能相邻，有多少种不同的方法？
(3)将5名同学分配到三个班，每班至少1人，共有多少种不同的分配方法？
解(1)有A55＝120(种)不同的方法．
(2)5名同学站成一排，要求甲、乙必须相邻，丙、丁不能相邻，故有A22A22A23＝24(种)
不同的方法．
(3)按人数分配方式分类：
①3,1,1，有C35C12C11
A22A
3
3
＝60(种)方法；
②2,2,1，有C25C23
A22A
3
3
＝90(种)方法．
故共有60＋90＝150(种)分配方法．
15．4位同学参加辩论赛，比赛规则如下：每位同学必须从甲、乙两道题中任选一题作答，选甲题答对得100分，答错得－100分；选乙题答对得90分，答错得－90分．若4位同学的总分为0分，则这4位同学有多少种不同的得分情况？解本题分两种情况讨论．
(1)如果4位同学中有2人选甲，2人选乙．若这4位同学的总分为0分，则必须是选甲的2人一人答对，另一人答错，选乙的2人一人答对，另一人答错．有C24A22A22＝24(种)不同的情况．
(2)如果4位同学都选甲或者都选乙．若这4位同学的总分为0分，则必须是2人答对，另2人答错，有C12C24C22＝12(种)不同的情况．
综上可知，一共有24＋12＝36(种)不同的情况．
16．(12分)用0,1,2,3,4这五个数字组成无重复数字的自然数．
(1)在组成的三位数中，求所有偶数的个数；
(2)在组成的三位数中，若十位上的数字比百位上的数字和个位上的数字都小，则称这个数为“凹数”，如301,423等都是“凹数”，试求“凹数”的个数；
(3)在组成的五位数中，求恰有一个偶数数字夹在两个奇数数字之间的自然数的个数．
解(1)将组成的三位数中所有偶数分为两类，
①若个位数为0，则共有A24＝12(个)；
②若个位数为2或4，则共有2×3×3＝18(个)．
故共有30个符合题意的三位数．
(2)将这些“凹数”分为三类：
①若十位上的数字为0，则共有A24＝12(个)；
②若十位上的数字为1，则共有A23＝6(个)；
③若十位上的数字为2，则共有A22＝2(个)．
故共有12＋6＋2＝20(个)符合题意的“凹数”．
(3)将符合题意的五位数分为三类：
①若两个奇数数字在万位和百位上，则共有A22A33＝12(个)；
②若两个奇数数字在千位上和十位上，则共有A22A12A22＝8(个)；
③若两个奇数数字在百位和个位上，则共有A22A12A22＝8(个)．故共有12＋8＋8＝28(个)符合题意的五位数．。