高三第一次月考数学试卷
高三第一次月考(数学)试卷含答案
高三第一次月考（数学）（考试总分：150 分）一、 单选题 （本题共计12小题，总分60分）1.（5分）1．若{}{}2|22,|log (1)M x x N x y x =-≤≤==-，则M N =（ ）A.{}|20x x -≤<B. ﹛x| -1<x<0﹜C.{}2,0-D.{}21|≤<x x 2.（5分）2.复数imi212+-=A+B i (m 、A 、B ∈R)，且A+B=0，则m 的值是 （ ） A. 32- B. 32 C.2 D.23.（5分）3．下列命题中，真命题是 ( )A ．,00≤∈∃x e R x B ．22,x R x x >∈∀C ．0=+b a 的充要条件是1-=baD ．1,1>>b a 是1>ab 的充分条件 4.（5分）4.函数212log 4f xx 的单调递增区间是（ ）A.（0，+∞）B. （-∞，0）C. （2，+∞）D. （-∞，-2）5.（5分）5.函数f(x)=-1x+log 2x 的一个零点落在下列哪个区间( ) A.(0，1)B.(1，2)C.(2，3)D.(3，4)6.（5分）6.如果函数f(x)=x 2+bx+c 对任意实数t 都有f(2+t)=f(2-t),那么( )A.f(2)＜f(1)＜f(4)B.f(1)＜f(2)＜f(4)C.f(2)＜f(4)＜f(1)D.f(4)＜f(2)＜f(1) 7.（5分）7．函数()3cos 2xxf x x⋅=的部分图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．8.（5分）8．曲线y ＝e x ＋1在x ＝1处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为( )A.12e B ．e 2 C ．2e 2D ．94e 2 9.（5分）9.已知函数f(x)是定义在R 上的偶函数，且对任意的x ∈R ，都有f(x ＋2)＝f(x)．当0≤x≤1时，2()f x x =.若直线y ＝x ＋a 与函数y ＝f(x)的图像在[0,2]内恰有两个不同的公共点，则实数a 的值是 （ ） A ．0 B ．0或－14 C ．－14或－12 D.0或－1210.（5分）10.若函数x x f xx2sin 3)(1212++=+-在区间[-k,k](k>0)上的值域为[m,n],则m+n 等于( )A.0B.2C.4D.611.（5分）11.已知函数f(x)在R 上满足f(x)=2f(2-x)-x 2+8x-8，则曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程是 （ ）A.y=-2x+3B.y=xC. y=2x-1D.y=3x-212.（5分）12．设定义域为R 的函数2lg (>0)()-2(0)x x f x x x x ⎧=⎨-≤⎩ 则关于x 的函数1)(3-)(2y 2+=x f x f 的零点的个数为（ ）A ．3B ．7C ．5D ．6二、 填空题 （本题共计4小题，总分20分）13.（5分）13．函数24ln(1)x y x -=+的定义域为_______________14.（5分）14.函数y ＝log a (2x －3)＋8的图象恒过定点A ，且点A 在幂函数f(x)的图象上，则f （3）＝________.15.（5分）15.若函数1,0()1(),03x x xf x x ⎧<⎪⎪=⎨⎪≥⎪⎩ 则不等式1|()|3f x ≥的解集为________16.（5分）16.已知定义域为R 的函数f (x )满足f (4)＝－3，且对任意x ∈R 总有)('x f <3，则不等式 f (x)<3x －15的解集为________．三、 解答题 （本题共计7小题，总分80分） 17.（12分）17．（本大题满分12分）设p ：函数y ＝log a (x ＋1)(a ＞0且a≠1)在(0，＋∞)上单调递减；q ：曲线y ＝x 2＋(2a －3)x ＋1与x 轴交于不同的两点.如果p∧q 为假，p∨q 为真，求实数a 的取值范围.18.（12分）18．（本大题满分12分）已知函数f (x )＝x 2－2x ＋2.(1)求f (x )在区间[12，3]上的最大值和最小值；(2)若g (x )＝f (x )－mx 在[2,4]上是单调函数，求m 的取值范围．19.（12分）19.（本大题满分12分）为了解甲、乙两厂的产品质量，采用分层抽样的方法从甲、乙两厂生产的产品中分别抽取14件和5件，测量产品中微量元素x ，y 的含量(单位：毫克).下表是乙厂的5件产品的测量数据： 编号 1 2 3 4 5 x 169 178 166 175 180 y7580777081(1)已知甲厂生产的产品共98件，求乙厂生产的产品数量；(2)当产品中的微量元素x ，y 满足x≥175且y≥75时，该产品为优等品，用上述样本数据估计乙厂生产的优等品的数量；(3)从乙厂抽出的上述5件产品中，随机抽取2件，求抽取的2件产品中优等品数ξ的分布列.20.（12分）20. （本大题满分12分）设函数3()f x ax bx c =++(0)a ≠为奇函数，其图象在点(1,(1))f 处的切线与直线670x y --=垂直，导函数'()f x 的最小值为12-．（1）求a ，b ，c 的值；（2）求函数()f x 的单调递增区间，并求函数()f x 在[1,3]-上的最大值和最小值．21.（12分）21. （本大题满分12分）已知函数f(x)＝ax －ln x ，a ∈R.(1)求函数f(x)的单调区间； (2)当x ∈(0，e]时，求g (x )＝e 2x －ln x 的最小值； (3)当x ∈(0，e]时，证明：e 2x －ln x －x x ln >52.22.（10分）22.（本大题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知直线l ：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=t y t x 213235 (t 为参数)．以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ． (1)将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)设点M 的直角坐标为(5，3)，直线l 与曲线C 的交点为A ，B ，求|MA|·|MB|的值．23.（10分）23. （本大题满分10分） 选修4-5：不等式选讲已知关于x 的不等式|ax －1|＋|ax －a |≥1(a ＞0)． (1)当a ＝1时，求此不等式的解集；(2)若此不等式的解集为R ，求实数a 的取值范围答案一、单选题（本题共计12小题，总分60分）1.（5分）D2.（5分）A3.（5分）D4.（5分）D5.（5分）B6.（5分）A7.（5分）D8.（5分）A9.（5分）B10.（5分）D11.（5分）C12.（5分）B二、填空题（本题共计4小题，总分20分）13.（5分）13.（-1,0）∪（0,2］14.（5分） 14. 2715.（5分） 15.［-3，1］16.（5分） 16.（4，+∞）三、解答题（本题共计7小题，总分80分）17.（12分）17.1/2≤a＜1或a＞5/218.（12分）18.（1）f(x)最大值为5，最小值为1；（2）m的取值范围为（-∞，2]∪[6，+∞)19.（12分）19.（1）35件；（2）35×2/5=14件；（3）由题意，ξ的取值有0,1,2，P(ξ=0)=3/10,P(ξ=1)=3/5,P(ξ=2)=1/10,分布列为(2)f(x)的最大值为18，最小值为-8221.（12分）21.（1）综上，a≤0时，f（x）的单调递减区间是（0，+∞），无单调增区间；a＞0时，f（x）的单调递减区间是（0,1/a），单调增区间是（1/a，+∞）;(2)g（x）最小值为3;(3)略22.（10分）22.（1）x2+y2=2x;(2)｜MA｜·｜MB｜=1823.（10分）23.(1)(-∞,1/2]∪[5/2.+∞); (2)[4,+∞)。
高三第一次月考试卷数学
考试时间：120分钟满分：150分一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
）1. 已知函数$f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 4$，则$f(1)$的值为（）A. 1B. 2C. 3D. 42. 若$a > 0$，$b > 0$，则下列不等式中恒成立的是（）A. $a^2 + b^2 \geq 2ab$B. $a^3 + b^3 \geq 2ab(a + b)$C. $\frac{a}{b} + \frac{b}{a} \geq 2$D. $a^2 + b^2 + c^2 \geq ab + bc + ca$3. 已知等差数列$\{a_n\}$的前$n$项和为$S_n$，若$S_5 = 50$，$S_8 = 80$，则$a_6 + a_7$的值为（）A. 15B. 20C. 25D. 304. 函数$y = \log_2(x + 1)$的图像与直线$y = x - 1$的交点个数是（）A. 0B. 1C. 2D. 35. 在直角坐标系中，点$A(1, 2)$关于直线$x + y = 1$的对称点$B$的坐标是（）A. $(-2, -1)$B. $(-1, -2)$C. $(2, -1)$D. $(1, -2)$6. 已知复数$z = 3 + 4i$，则$|z|$的值为（）A. 5B. 7C. 9D. 127. 若等比数列$\{a_n\}$的首项为$a_1$，公比为$q$，且$a_1 + a_2 + a_3 = 21$，$a_2 \cdot a_3 = 27$，则$q$的值为（）A. 3B. $\frac{3}{2}$C. $\frac{2}{3}$D. 18. 在$\triangle ABC$中，$a = 3$，$b = 4$，$c = 5$，则$\sin A$的值为（）A. $\frac{3}{5}$B. $\frac{4}{5}$C. $\frac{5}{3}$D.$\frac{5}{4}$9. 已知函数$f(x) = x^2 - 2x + 1$，则$f(x)$的对称轴方程是（）A. $x = 1$B. $x = -1$C. $y = 1$D. $y = -1$10. 若平面直角坐标系中，点$P(2, 3)$在直线$l$上，且直线$l$的方程为$y = kx + b$，则$k$的值为（）A. 2B. 3C. -2D. -3二、填空题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。
2024-2025学年安徽省芜湖市无为中学高三(上)第一次月考数学试卷(含答案)
2024-2025学年安徽省芜湖市无为中学高三（上）第一次月考数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A ={x|x 2−x−2≤0}，B ={x|2x−3<0}，则A ∩B =( )A. [−2,1]B. [−1,32)C. (−∞,32)D. (−∞,−1]2.下列函数中，既为偶函数，又在(0,+∞)上为增函数的是( )A. y =x 2+1xB. y =2−x 2C. y =x 2+log 2|x|D. y =2|x|−x 23.已知函数f(x)为定义在R 上的奇函数，对于任意的x 1，x 2∈(0,+∞)，且x 1≠x 2，都有f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2>0，f(−1)=0，则xf(x)<0的解集为( )A. (−1,0)∪(1,+∞)B. (−1,0)∪[1，+∞)C. (−1,0)∪(0,1]D. (−1,0)∪(0,1)4.设x ，y 为实数，若4x 2+y 2+xy =1，则2x +y 的最大值是( )A. 62 B. 2 105 C. 1 D. 35.函数f(x)=3|x|⋅cos2x x的部分图象大致是( )A. B.C. D.6.已知随机变量X ～N(1,σ2).若P(1≤X ≤3)=0.3，设事件A =“X <1”，事件B =“|X|>1”，则P(A|B)=( )A. 38B. 35C. 58D. 277.已知函数f(x)={|log 3x|,x >03x ,x ≤0，若函数g(x)=[f(x)]2−(m +2)f(x)+2m 恰好有5个不同的零点，则实数m 的取值范围是( )A. (0,1]B. (0,1)C. [1,+∞)D. (1,+∞)8.已知f(x)是定义在R 上的函数，且满足f(3x−2)为偶函数，f(2x−1)为奇函数，则下列说法正确的( )①函数f(x)的图象关于直线x =1对称；②函数f(x)的图象关于点(−1,0)中心对称；③函数f(x)的周期为4；④f(2023)=0．A. ①②③B. ①②④C. ②③④D. ①③④二、多选题：本题共3小题，共18分。
高三月考数学试卷含解析
一、选择题（每题5分，共50分）1. 已知函数$f(x) = x^3 - 3x^2 + 4$，则$f(x)$的对称中心为（）。
A. $(0, 4)$B. $(1, 2)$C. $(2, 0)$D. $(3, 1)$2. 在等差数列$\{a_n\}$中，$a_1 + a_5 = 10$，$a_3 + a_4 = 12$，则$a_1$的值为（）。
A. 1B. 2C. 3D. 43. 已知圆$x^2 + y^2 - 4x - 6y + 9 = 0$的半径为（）。
A. 1B. 2C. 3D. 44. 函数$y = \log_2(x - 1)$的图象与直线$y = 3x - 1$的交点个数为（）。
A. 1B. 2C. 3D. 45. 若复数$z = a + bi$（$a, b \in \mathbb{R}$）满足$|z - 3i| = |z + 2|$，则$z$在复平面内的轨迹是（）。
B. 圆C. 直线D. 双曲线6. 在三角形ABC中，$AB = 4$，$AC = 6$，$BC = 8$，则$\cos A$的值为（）。
A. $\frac{1}{4}$B. $\frac{1}{2}$C. $\frac{3}{4}$D. $\frac{5}{8}$7. 已知函数$f(x) = ax^2 + bx + c$（$a \neq 0$），若$f(-1) = 0$，$f(1) = 0$，则$f(0)$的值为（）。
A. $-a$B. $-b$C. $-c$D. $a$8. 若$|x - 1| + |x + 2| = 3$，则$x$的取值范围是（）。
A. $-2 \leq x \leq 1$B. $-2 < x < 1$C. $x \leq -2$ 或 $x \geq 1$D. $x > -2$ 且 $x < 1$9. 已知数列$\{a_n\}$的前$n$项和为$S_n$，若$S_n = 3n^2 - 2n$，则$a_5$的值为（）。
湖南师范大学附属中学2025届高三上学期第一次月考数学试题及答案
大联考湖南师大附中2025届高三月考试卷（一）数学命题人：高三数学备课组 审题人：高三数学备课组时量：120分钟 满分：150分一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，1.已知{}()260,{lg 10}Axx x B x x =+−≤=−<∣∣，则A B = （）A.{}32xx −≤≤∣ B.{32}x x −≤<∣C.{12}x x <≤∣ D.{12}x x <<∣2.若复数z 满足()1i 3i z +=−+（i 是虚数单位），则z 等于（）A.B.54C.D.3.已知平面向量()()5,0,2,1a b ==−，则向量a b +在向量b上投影向量为（）A.()6,3− B.()4,2− C.()2,1− D.()5,04.记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若396714,63a a a a +==，则7S =（ ）A.21B.19C.12D.425.某校高二年级下学期期末考试数学试卷满分为150分，90分以上（含90分）为及格．阅卷结果显示，全年级1200名学生的数学成绩近似服从正态分布，试卷的难度系数（难度系数=平均分/满分）为0.49，标准差为22，则该次数学考试及格的人数约为（ ）附：若()2,X Nµσ∼，记()()p k P k X k µσµσ=−≤≤+，则()()0.750.547,10.683p p ≈≈．A 136人B. 272人C. 328人D.820人6.已知()π5,0,,cos ,tan tan 426αβαβαβ∈−=⋅=，则αβ+=（ ）A.π6 B.π4C.π3D.2π37.已知12,F F 是双曲线22221(0)x y a b a b−=>>的左､右焦点，以2F 为圆心，a 为半径的圆与双曲线的一条的.渐近线交于,A B 两点，若123AB F F >，则双曲线的离心率的取值范围是（）A.B.C.(D.(8.已知函数()220log 0x a x f x x x ⋅≤= > ，，，，若关于x 的方程()()0f f x =有且仅有两个实数根，则实数a 的取值范围是（）A.()0,1 B.()(),00,1−∞∪ C.[)1,+∞ D.()()0,11,+∞ 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分9. 如图，在正方体111ABCD A B C D −中，E F M N ，，，分别为棱111AA A D AB DC ，，，的中点，点P 是面1B C 的中心，则下列结论正确的是（ ）A.E F M P ，，，四点共面B.平面PEF 被正方体截得的截面是等腰梯形C.//EF 平面PMND.平面MEF ⊥平面PMN10.已知函数()5π24f x x=+，则（）A.()f x 的一个对称中心为3π,08B.()f x 的图象向右平移3π8个单位长度后得到的是奇函数的图象C.()f x 在区间5π7π,88上单调递增D.若()y f x =在区间()0,m 上与1y =有且只有6个交点，则5π13π,24m∈11.已知定义在R 上的偶函数()f x 和奇函数()g x 满足()()21f x g x ++−=，则（）A.()f x 的图象关于点()2,1对称B.()f x 是以8为周期的周期函数C.()20240g =D.20241(42)2025k f k =−=∑ 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.6(31)x y +−的展开式中2x y 的系数为______．13.已知函数()f x 是定义域为R 的奇函数，当0x >时，()()2f x f x ′−>，且()10f =，则不等式()0f x >的解集为__________.14. 已知点C 为扇形AOB 弧AB 上任意一点，且60AOB ∠=，若(),R OC OA OB λµλµ=+∈，则λµ+的取值范围是__________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知22cos a b c B +=．（1）求角C ；（2）若角C 的平分线CD 交AB于点,D AD DB ，求CD 的长．16.已知1ex =为函数()ln af x x x =的极值点．（1）求a 的值；（2）设函数()ex kxg x =，若对()120,,x x ∀∈+∞∃∈R ，使得()()120f x g x −≥，求k 的取值范围．17.已知四棱锥P ABCD −中，平面PAB ⊥底面,ABCD AD∥,,,2,BC AB BC PA PB AB AB BC AD E ⊥==为AB 的中点，F 为棱PC 上异于,P C 的点．的（1）证明：BD EF ⊥；（2）试确定点F 的位置，使EF 与平面PCD18.在平面直角坐标系xOy 中，抛物线21:2(0)C ypx p =>的焦点到准线的距离等于椭圆222:161C x y +=的短轴长，点P 在抛物线1C 上，圆222:(2)E x y r −+=（其中01r <<）.（1）若1,2r Q =为圆E 上的动点，求线段PQ 长度的最小值； （2）设()1,D t 是抛物线1C 上位于第一象限的一点，过D 作圆E 的两条切线，分别交抛物线1C 于点,M N .证明：直线MN 经过定点.19.龙泉游泳馆为给顾客更好的体验，推出了A 和B 两个套餐服务，顾客可选择A 和B 两个套餐之一，并在App 平台上推出了优惠券活动，下表是该游泳馆在App 平台10天销售优惠券情况． 日期t 12345678910销售量千张1.9 1.982.2 2.36 2.43 2.59 2.68 2.76 2.7 04经计算可得：10101021111 2.2,118.73,38510i i i i i i i y y t y t ======∑∑∑（1）因为优惠券购买火爆，App 平台在第10天时系统出现异常，导致当天顾客购买优惠券数量大幅减少，已知销售量y 和日期t 呈线性关系，现剔除第10天数据，求y 关于t 的经验回归方程结果中的数值用分数表示；（2）若购买优惠券的顾客选择A 套餐的概率为14，选择B 套餐的概率为34，并且A 套餐可以用一张优惠券，B 套餐可以用两张优惠券，记App 平台累计销售优惠券为n 张的概率为n P ，求n P ； （3）记（2）中所得概率n P 的值构成数列{}()N n P n ∗∈.①求n P 的最值；②数列收敛的定义：已知数列{}n a ，若对于任意给定的正数ε，总存在正整数0N ，使得当0n N >时，n a a ε−<，（a 是一个确定的实数），则称数列{}n a 收敛于a .根据数列收敛的定义证明数列{}n P 收敛．..参考公式：()()()1122211ˆˆ,n ni ii ii i n n i i i i x x y y x y nx yay bx x xx nx====−−−==−−−∑∑∑∑.大联考湖南师大附中2025届高三月考试卷（一）数学命题人：高三数学备课组 审题人：高三数学备课组时量：120分钟 满分：150分一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，1.已知{}()260,{lg 10}Axx x B x x =+−≤=−<∣∣，则A B = （）A.{}32xx −≤≤∣ B.{32}x x −≤<∣C.{12}x x <≤∣ D.{12}x x <<∣【答案】D 【解析】【分析】通过解一元二次不等式和对数函数的定义域，求出集合,A B ，再求交集． 【详解】集合{}()32,{lg 10}{12}A x x B x x x x =−≤≤=−<=<<∣∣∣，则{12}A B xx ∩=<<∣， 故选：D ．2.若复数z 满足()1i 3i z +=−+（i 是虚数单位），则z 等于（）A.B.54C.D.【答案】C 【解析】【分析】由复数的除法运算计算可得12i z =−+，再由模长公式即可得出结果. 【详解】依题意()1i 3i z +=−+可得()()()()3i 1i 3i 24i12i 1i 1i 1i 2z −+−−+−+====−+++−，所以z =. 故选：C3.已知平面向量()()5,0,2,1a b ==−，则向量a b +在向量b上的投影向量为（ ）A.()6,3− B.()4,2− C.()2,1− D.()5,0【答案】A 【解析】【分析】根据投影向量的计算公式即可求解.【详解】()()7,1,15,a b a b b b +=−+⋅==所以向量a b +在向量b 上的投影向量为()()236,3||a b b b bb +⋅==− .故选：A4. 记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若396714,63a a a a +==，则7S =（ ）A.21 B.19C.12D.42【答案】A 【解析】【分析】根据等差数列的性质，即可求解公差和首项，进而由求和公式求解.【详解】{}n a 是等差数列，396214a a a ∴+==，即67a =，所以67769,a a a a ==故公差76162,53d a a a a d =−=∴=−=−，()767732212S ×∴=×−+×=， 故选：A5.某校高二年级下学期期末考试数学试卷满分为150分，90分以上（含90分）为及格．阅卷结果显示，全年级1200名学生的数学成绩近似服从正态分布，试卷的难度系数（难度系数=平均分/满分）为0.49，标准差为22，则该次数学考试及格的人数约为（ ）附：若()2,X Nµσ∼，记()()p k P k X k µσµσ=−≤≤+，则()()0.750.547,10.683p p ≈≈．A.136人B.272人C.328人D.820人【答案】B 【解析】【分析】首先求出平均数，即可得到学生的数学成绩2~(73.5,22)X N ，再根据所给条件求出(5790)P X ≤≤，即可求出(90)P X ≥，即可估计人数．【详解】由题得0.4915073.5,22µσ=×==，()()(),0.750.547p k P k X k p µσµσ=−≤≤+≈ ，()5790P X ∴≤≤()0.750.547p ≈，()()900.510.5470.2265P X ≥×−，∴该校及格人数为0.22651200272×≈（人），故选：B ． 6.已知()π5,0,,cos ,tan tan 426αβαβαβ∈−=⋅=，则αβ+=（ ）A.π6 B.π4C.π3D.2π3【答案】D 【解析】【分析】利用两角差的余弦定理和同角三角函数的基本关系建立等式求解，再由两角和的余弦公式求解即可．【详解】由已知可得5cos cos sin sin 64αβαβ⋅+⋅=，解得1cos cos 62sin sin 3αβαβ⋅=⋅=，，()1cos cos cos sin sin 2αβαβαβ∴+=⋅−⋅=−，π,0,2αβ∈，()0,παβ∴+∈，2π,3αβ∴+=，故选：D ．7.已知12,F F 是双曲线22221(0)x y a b a b−=>>的左､右焦点，以2F 为圆心，a 为半径的圆与双曲线的一条渐近线交于,A B 两点，若123AB F F >，则双曲线的离心率的取值范围是（）A.B.C.(D.(【答案】B 【解析】【分析】根据双曲线以及圆的方程可求得弦长AB =，再根据不等式123AB F F >整理可得2259c a <，即可求得双曲线的离心率的取值范围.【详解】设以()2,0F c 为圆心，a 为半径的圆与双曲线的一条渐近线0bx ay −=交于,A B 两点， 则2F 到渐近线0bx ay −=的距离d b，所以AB =， 因为123AB F F >，所以32c ×>，可得2222299a b c a b −>=+，即22224555a b c a >=−，可得2259c a <，所以2295c a <，所以e <，又1e >，所以双曲线的离心率的取值范围是 .故选：B8.已知函数()220log 0x a x f x x x ⋅≤= > ，，，，若关于x 的方程()()0f f x =有且仅有两个实数根，则实数a 的取值范围是（）A.()0,1 B.()(),00,1−∞∪ C.[)1,+∞ D.()()0,11,+∞ 【答案】C 【解析】【分析】利用换元法设()u f x =，则方程等价为()0f u =，根据指数函数和对数函数图象和性质求出1u =，利用数形结合进行求解即可．【详解】令()u f x =，则()0f u =．①当0a =时，若()0,0u f u ≤=；若0u >，由()2log 0f u u==，得1u =．所以由()()0ff x =可得()0f x ≤或()1f x =．如图所示，满足()0f x ≤的x 有无数个，方程()1f x =只有一个解，不满足题意；②当0a ≠时，若0≤u ，则()20uf u a =⋅≠；若0u >，由()2log 0f u u==，得1u =． 所以由()()0ff x =可得()1f x =，当0x >时，由()2log 1f x x==，可得2x =， 因为关于x 的方程()()0f f x =有且仅有两个实数根，则方程()1f x =在(,0∞−]上有且仅有一个实数根，若0a >且()(]0,20,xx f x a a ≤=⋅∈，故1a ≥；若0a <且()0,20xx f x a ≤=⋅<，不满足题意．综上所述，实数a 的取值范围是[)1,+∞，故选：C ．二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分9. 如图，在正方体111ABCD A B C D −中，E F M N ，，，分别为棱111AA A D AB DC ，，，的中点，点P 是面1B C 的中心，则下列结论正确的是（ ）A.E F M P ，，，四点共面B.平面PEF 被正方体截得的截面是等腰梯形C.//EF 平面PMND.平面MEF ⊥平面PMN【答案】BD【解析】【分析】可得过,,E F M 三点的平面为一个正六边形，判断A ；分别连接,E F 和1,B C ，截面1C BEF 是等腰梯形，判断B ；分别取11,BB CC 的中点,G Q ，易证EF 显然不平行平面QGMN ，可判断C ；EM ⊥平面PMN ，可判断D.【详解】对于A ：如图经过,,E F M 三点的平面为一个正六边形EFMHQK ，点P 在平面外，,,,E F M P ∴四点不共面，∴选项A 错误；对于B ：分别连接,E F 和1,B C ，则平面PEF 即平面1C BEF ，截面1C BEF 是等腰梯形，∴选项B 正确；对于C ：分别取11,BB CC 的中点,G Q ，则平面PMN 即为平面QGMN ， 由正六边形EFMHQK ，可知HQ EF ，所以MQ 不平行于EF ，又,EF MQ ⊂平面EFMHQK ，所以EF MQ W = ，所以EF 平面QGMN W =， 所以EF 不平行于平面PMN ，故选项C 错误；对于D ：因为,AEM BMG 是等腰三角形，45AME BMG ∴∠=∠=°， 90EMG ∴∠=°，EMMG ∴⊥，,M N 是,AB CD 的中点，易证MN AD ∥，由正方体可得AD ⊥平面11ABB A ，MN ∴⊥平面11ABB A ，又ME ⊂平面11ABB A ，EM MN ∴⊥，,MG MN ⊂ 平面PMN ，EM ∴⊥平面GMN ，EM ⊂ 平面MEF ，∴平面MEF ⊥平面,PMN 故选项D 正确．故选：BD ．10.已知函数()5π24f x x=+，则（）A.()f x 的一个对称中心为3π,08B.()f x 的图象向右平移3π8个单位长度后得到的是奇函数的图象C.()f x 在区间5π7π,88上单调递增D.若()y f x =在区间()0,m 上与1y =有且只有6个交点，则5π13π,24m∈【答案】BD 【解析】【分析】代入即可验证A ，根据平移可得函数图象，即可由正弦型函数的奇偶性求解B ，利用整体法即可判断C ，由5πcos 24x+求解所以根，即可求解D.【详解】对于A ，由35π3π2π0848f =+×=≠，故A 错误；对于B ，()f x 的图象向右平移3π8个单位长度后得：3π3π5ππ228842y f x x x x=−−++，为奇函数，故B 正确； 对于C ，当5π7π,88x∈时，则5π5π2,3π42x +∈ ，由余弦函数单调性知，()f x 在区间5π7π,88 上单调递减，故C 错误；对于D ，由()1f x =，得5πcos 24x+ππ4x k =+或ππ,2k k +∈Z ，()y f x =在区间()0,m 上与1y =有且只有6个交点，其横坐标从小到大依次为：ππ5π3π9π5π,,,,,424242，而第7个交点的横坐标为13π4，5π13π24m ∴<≤，故D 正确. 故选：BD11.已知定义在R 上的偶函数()f x 和奇函数()g x 满足()()21f x g x ++−=，则（ ）A.()f x 的图象关于点()2,1对称B.()f x 是以8为周期的周期函数C.()20240g =D.20241(42)2025k f k =−=∑ 【答案】ABC 【解析】【分析】根据函数奇偶性以及所满足的表达式构造方程组可得()()222f x f x ++−=，即可判断A 正确；利用对称中心表达式进行化简计算可得B 正确，可判断()g x 也是以8为周期的周期函数，即C 正确；根据周期性以及()()42f x f x ++=计算可得20241(42)2024k f k =−=∑，可得D 错误. 【详解】由题意()()()(),f x f x g x g x −=−=−，且()()()00,21g f x g x =++−=，即()()21f x g x +−=①，用x −替换()()21f x g x ++−=中的x ，得()()21f x g x −+=②，由①+②得()()222f x f x ++−=所以()f x 的图象关于点(2,1)对称，且()21f =，故A 正确；由()()222f x f x ++−=，可得()()()()()42,422f x f x f x f x f x ++−=+=−−=−，所以()()()()82422f x f x f x f x +=−+=−−= ，所以()f x 是以8为周期的周期函数，故B 正确；由①知()()21g x f x =+−，则()()()()882121g x f x f x g x +=++−=+−=，故()()8g x g x +=，因此()g x 也是以8为周期的周期函数，所以()()202400g g ==，C 正确；又因为()()42f x f x ++−=，所以()()42f x f x ++=，令2x =，则有()()262f f +=，令10x =，则有()()10142,f f +=…，令8090x =，则有()()809080942f f +=，所以1012(2)(6)(10)(14)(8090)(8094)2222024f f f f f f ++++++=+++=个所以20241(42)(2)(6)(10)(14)(8090)(8094)2024k f k f f f f f f =−=++++++=∑ ，故D 错误.故选：ABC【点睛】方法点睛：求解函数奇偶性、对称性、周期性等函数性质综合问题时，经常利用其中两个性质推得第三个性质特征，再进行相关计算.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.6(31)x y +−的展开式中2x y 的系数为______．【答案】180− 【解析】【分析】根据题意，由条件可得展开式中2x y 的系数为213643C C (1)⋅−，化简即可得到结果． 【详解】在6(31)x y +−的展开式中， 由()2213264C C 3(1)180x y x y ⋅⋅−=−，得2x y 的系数为180−. 故答案为：180−．13.已知函数()f x 是定义域为R 的奇函数，当0x >时，()()2f x f x ′−>，且()10f =，则不等式()0f x >的解集为__________.【答案】()()1,01,−∪+∞【解析】【分析】根据函数奇偶性并求导可得()()f x f x ′′−=，因此可得()()2f x f x ′>，可构造函数()()2xf x h x =e并求得其单调性即可得()f x 在()1,+∞上大于零，在()0,1上小于零，即可得出结论.【详解】因为()f x 为奇函数，定义域为R ，所以()()f x f x −=−，两边同时求导可得()()f x f x ′′−−=−，即()()f x f x ′′−=且()00f =，又因为当0x >时，()()2f x f x ′−>，所以()()2f x f x ′>.构造函数()()2xf x h x =e，则()()()22x f x f x h x ′−′=e ，所以当0x >时，()()0,h x h x ′>在()0,∞+上单调递增，又因为()10f =，所以()()10,h h x =在()1,+∞上大于零，在()0,1上小于零，又因为2e 0x >，所以()f x 在()1,+∞上大于零，在()0,1上小于零，因为()f x 为奇函数，所以()f x 在(),1∞−−上小于零，在()1,0−上大于零，综上所述，()0f x >的解集为()()1,01,−∪+∞.故答案为：()()1,01,−∪+∞14.已知点C 为扇形AOB 的弧AB 上任意一点，且60AOB ∠=，若(),R OC OA OB λµλµ=+∈，则λµ+的取值范围是__________.【答案】 【解析】【分析】建系设点的坐标，再结合向量关系表示λµ+，最后应用三角恒等变换及三角函数值域求范围即可. 【详解】方法一：设圆O 的半径为1，由已知可设OB 为x 轴的正半轴，O 为坐标原点，过O 点作x 轴垂线为y 轴建立直角坐标系，其中()()1,1,0,cos ,sin 2A B C θθ ，其中π,0,3BOC θθ∠=∈ ，由(),R OC OA OB λµλµ=+∈，即()()1cos ,sin 1,02θθλµ =+，整理得1cos sin 2λµθθ+=，解得cos λµθ=，则ππcos cos ,0,33λµθθθθθ+=++=+∈，ππ2ππ,,sin 3333θθ+∈+∈所以λµ +∈ . 方法二：设k λµ+=，如图，当C 位于点A 或点B 时，,,A B C 三点共线，所以1k λµ=+=； 当点C 运动到AB的中点时，k λµ=+，所以λµ +∈故答案为： 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知22cos a b c B +=．（1）求角C ；（2）若角C 的平分线CD 交AB于点,D AD DB =，求CD 的长．【答案】（1）2π3C =（2）3CD =【解析】【分析】（1）利用正弦定理及两角和的正弦定理整理得到()2cos 1sin 0C B +=，再利用三角形的内角及正弦函数的性质即可求解；（2）利用正弦定理得出3b a =，再由余弦定理求出4a =，12b =，再根据三角形的面积建立等式求解．【小问1详解】 由22cos a b c B +=，根据正弦定理可得2sin sin 2sin cos A B C B +=，则()2sin sin 2sin cos B C B C B ++=，所以2sin cos 2cos sin sin 2sin cos B C B C B C B ++=，整理得()2cos 1sin 0C B +=，因为,B C 均为三角形内角，所以(),0,π,sin 0B C B ∈≠，因此1cos 2C =−，所以2π3C =． 【小问2详解】因为CD 是角C的平分线，AD DB=所以在ACD 和BCD △中，由正弦定理可得，,ππsin sin sin sin 33AD CD BD CDA B ==，因此sin 3sin BADA BD==，即sin 3sin B A =，所以3b a =， 又由余弦定理可得2222cos c a b ab C =+−，即222293a a a =++，解得4a =，所以12b =．又ABCACD BCD S S S =+△△△，即111sin sin sin 222ab ACB b CD ACD a CD BCD ∠∠∠=⋅⋅+⋅⋅， 即4816CD =，所以3CD =． 16.已知1ex =为函数()ln af x x x =的极值点．（1）求a 的值；（2）设函数()ex kxg x =，若对()120,,x x ∀∈+∞∃∈R ，使得()()120f x g x −≥，求k 的取值范围．【答案】（1）1a = （2）(]()10,−∞−+∞ ,【解析】【分析】（1）直接根据极值点求出a 的值； （2）先由（1）求出()f x 的最小值，由题意可得是求()g x 的最小值，小于等于()f x 的最小值，对()g x 求导，判断由最小值时的k 的范围，再求出最小值与()f x 最小值的关系式，进而求出k 的范围． 【小问1详解】()()111ln ln 1a a f x ax x x x a x xα−−==′+⋅+，由1111ln 10e e e a f a −=+=′，得1a =， 当1a =时，()ln 1f x x =′+，函数()f x 在10,e上单调递减，在1,e∞ +上单调递增，所以1ex =为函数()ln af x x x =的极小值点，所以1a =． 【小问2详解】由（1）知min 11()e ef x f ==−．函数()g x 的导函数()()1e xg x k x −=−′①若0k >，对()1210,,x x k ∞∀∈+∃=−，使得()()12111e 1e k g x g f x k=−=−<−<−≤，即()()120f x g x −≥，符合题意． ②若()0,0kg x =，取11ex =，对2x ∀∈R ，有()()120f x g x −<，不符合题意．③若0k <，当1x <时，()()0,g x g x ′<在(),1∞−上单调递减；当1x >时，()()0,g x g x ′>在(+∞)上单调递增，所以()min ()1ekg x g ==，若对()120,,x x ∞∀∈+∃∈R ，使得()()120f x g x −≥，只需min min ()()g x f x ≤， 即1e ek ≤−，解得1k ≤−．综上所述，k 的取值范围为(](),10,∞∞−−∪+．17.已知四棱锥P ABCD −中，平面PAB ⊥底面,ABCD AD ∥,,,2,BC AB BC PA PB AB AB BC AD E ⊥==为AB 的中点，F 为棱PC 上异于,P C 的点．（1）证明：BD EF ⊥；（2）试确定点F 的位置，使EF 与平面PCD【答案】（1）证明见解析（2）F 位于棱PC 靠近P 的三等分点【解析】【分析】（1）连接,,PE EC EC 交BD 于点G ，利用面面垂直的性质定理和三角形全等，即可得证；（2）取DC 的中点H ，以E 为坐标原点，分别以,,EB EH EP 所在直线为,,x y z 轴建立，利用线面角公式代入即可求解．小问1详解】如图，连接,,PE EC EC 交BD 于点G ．因为E 为AB 的中点，PA PB =，所以PE AB ⊥．因为平面PAB ⊥平面ABCD ，平面PAB ∩平面,ABCD AB PE =⊂平面PAB ，所以PE ⊥平面ABCD ，因为BD ⊂平面ABCD ，所以PE BD ⊥．因为ABD BCE ≅ ，所以CEB BDA ∠∠=，所以90CEB ABD ∠∠+= ， 所以BD EC ⊥，因为,,PE EC E PE EC ∩=⊂平面PEC ， 所以BD ⊥平面PEC ．因为EF ⊂平面PEC ，所以BD EF ⊥． 【小问2详解】如图，取DC 的中点H ，以E 为坐标原点，分别以,,EB EH EP 所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，【设2AB =，则2,1,BC AD PA PB ====则()()()()0,0,1,1,2,0,1,1,0,0,0,0P C D E −，设(),,,(01)F x y z PF PC λλ=<<， 所以()(),,11,2,1x y z λ−=−，所以,2,1x y z λλλ===−，即(),2,1F λλλ−．则()()()2,1,0,1,2,1,,2,1DC PC EF λλλ==−=−，设平面PCD 的法向量为(),,m a b c =，则00DC m PC m ⋅=⋅=，，即2020a b a b c += +−= ，，取()1,2,3m =−− ，设EF 与平面PCD 所成的角为θ，由cos θ=sin θ=．所以sin cos ,m EF m EF m EF θ⋅===整理得2620λλ−=，因为01λ<<，所以13λ=，即13PF PC = ，故当F 位于棱PC 靠近P 的三等分点时，EF 与平面PCD18.在平面直角坐标系xOy 中，抛物线21:2(0)C ypx p =>的焦点到准线的距离等于椭圆222:161C x y +=的短轴长，点P 在抛物线1C 上，圆222:(2)E x y r −+=（其中01r <<）.（1）若1,2r Q =为圆E 上的动点，求线段PQ 长度的最小值；（2）设()1,D t 是抛物线1C 上位于第一象限的一点，过D 作圆E 的两条切线，分别交抛物线1C 于点,M N .证明：直线MN 经过定点.【答案】（1（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据椭圆的短轴可得抛物线方程2y x =，进而根据两点斜率公式，结合三角形的三边关系，即可由二次函数的性质求解，（2）根据两点坐标可得直线,MN DM 的直线方程，由直线与圆相切可得,a b 是方程()()()2222124240r x r x r −+−+−=的两个解，即可利用韦达定理代入化简求解定点.【小问1详解】 由题意得椭圆的方程：221116y x +=，所以短半轴14b =所以112242p b ==×=，所以抛物线1C 的方程是2y x =. 设点()2,P t t ，则111222PQ PE ≥−=−=≥，所以当232ι=时，线段PQ .【小问2详解】()1,D t 是抛物线1C 上位于第一象限的点，21t ∴=，且()0,1,1t D >∴设()()22,,,M a a N b b ，则：直线()222:b a MN y a x a b a −−=−−，即()21y a x a a b −=−+，即()0x a b y ab −++=.直线()21:111a DM y x a −−=−−，即()10x a y a −++=.由直线DMr =，即()()()2222124240r a r a r −+−+−=..同理，由直线DN 与圆相切得()()()2222124240r b r b r −+−+−=.所以,a b 是方程()()()2222124240r x r x r −+−+−=的两个解，22224224,11r r a b ab r r −−∴+==−−代入方程()0x a b y ab −++=得()()222440x y r x y +++−−−=，220,440,x y x y ++= ∴ ++= 解得0,1.x y = =− ∴直线MN 恒过定点()0,1−.【点睛】圆锥曲线中定点问题的两种解法（1）引进参数法：先引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点.（2）特殊到一般法：先根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关.技巧：若直线方程为()00y y k x x −=−,则直线过定点()00,x y ;若直线方程为y kx b =+ (b 为定值),则直线过定点()0,.b 19.龙泉游泳馆为给顾客更好的体验，推出了A 和B 两个套餐服务，顾客可选择A 和B 两个套餐之一，并在App 平台上推出了优惠券活动，下表是该游泳馆在App 平台10天销售优惠券情况． 日期t 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10销售量千张 1.9 1.98 2.2 2.36 2.43 259 2.68 2.76 2.7 0.4经计算可得：10101021111 2.2,118.73,38510i i i i i i i y y t y t ======∑∑∑. （1）因为优惠券购买火爆，App 平台在第10天时系统出现异常，导致当天顾客购买优惠券数量大幅减少，已知销售量y 和日期t 呈线性关系，现剔除第10天数据，求y 关于t 的经验回归方程结果中的数值用分数表示；..（2）若购买优惠券的顾客选择A 套餐的概率为14，选择B 套餐的概率为34，并且A 套餐可以用一张优惠券，B 套餐可以用两张优惠券，记App 平台累计销售优惠券为n 张的概率为n P ，求n P ；（3）记（2）中所得概率n P 的值构成数列{}()Nn P n ∗∈. ①求n P 的最值；②数列收敛的定义：已知数列{}n a ，若对于任意给定的正数ε，总存在正整数0N ，使得当0n N >时，n a a ε−<，（a 是一个确定的实数），则称数列{}n a 收敛于a .根据数列收敛的定义证明数列{}n P 收敛． 参考公式：()()()1122211ˆˆ,n ni ii i i i n n ii i i x x y y x y nx y ay bx x x x nx ====−−−==−−−∑∑∑∑. 【答案】（1）673220710001200y t +（2）433774n n P =+⋅− （3）①最大值为1316，最小值为14；②证明见解析【解析】【分析】（1）计算出新数据的相关数值，代入公式求出 ,a b 的值，进而得到y 关于t 的回归方程； （2）由题意可知1213,(3)44n n n P P P n −−=+≥，其中12113,416P P ==，构造等比数列，再利用等比数列的通项公式求解；（3）①分n 为偶数和n 为奇数两种情况讨论，结合指数函数的单调性求解；②利用数列收敛的定义，准确推理、运算，即可得证．【小问1详解】 解：剔除第10天的数据，可得2.2100.4 2.49y ×−==新，12345678959t ++++++++=新，则9922111119.73100.4114,73,38510285i i i i t y t = =−×==−= ∑∑新新，所以912922119114,7395 2.4673ˆ2859560009i i i i t y t y b t t == − −×× ==−× − ∑∑新新新新新，可得6732207ˆ 2.4560001200a =−×=，所以6732207ˆ60001200y t +. 【小问2详解】 解：由题意知1213,(3)44n n n P P P n −−=+≥，其中12111313,444416P P ==×+=， 所以11233,(3)44n n n n P P P P n −−−+=+≥，又由2131331141644P P ++×， 所以134n n P P − +是首项为1的常数列，所以131,(2)4n n P P n −+=≥ 所以1434(),(2)747n n P P n −−=−−≥，又因为1414974728P −=−=−，所以数列47n P − 是首项为928−，公比为34−的等比数列，故1493()7284n n P −−=−−，所以1934433()()2847774n n n P −=−−+=+−.【小问3详解】 解：①当n 为偶数时，19344334()()28477747n n n P −=−−+=+⋅>单调递减，最大值为21316P =； 当n 为奇数时，19344334()()28477747n n n P −=−−+=−⋅<单调递增，最小值为114P =， 综上可得，数列{}n P 的最大值为1316，最小值为14. ②证明：对任意0ε>总存在正整数0347[log ()]13N ε=+，其中 []x 表示取整函数，当 347[log ()]13n ε>+时，347log ()34333333()()()7747474n n n P εε−=⋅−=⋅<⋅=， 所以数列{}n P 收敛.【点睛】知识方法点拨：与新定义有关的问题的求解策略：1、通过给出一个新的定义，或约定一种新的运算，或给出几个新模型来创设新问题的情景，要求在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实心信息的迁移，达到灵活解题的目的；2、遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、运算、验证，使得问题得以解决.方法点拨：与数列有关的问题的求解策略：3、若新定义与数列有关，可得利用数列的递推关系式，结合数列的相关知识进行求解，多通过构造的分法转化为等差、等比数列问题求解，求解过程灵活运用数列的性质，准确应用相关的数列知识.。
宁夏回族自治区银川一中2024-2025学年高三上学期第一次月考试题-数学(含答案)
银川一中2025届高三年级第一次月考数 学 试 卷命题教师：注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．作答时，务必将答案写在答题卡上。
写在本试卷及草稿纸上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、单项选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）1．命题p ：x ∀∈R ，2210x mx -+>的否定是A ．x ∀∈R ，2210x mx -+≤B ．x ∃∈R ，2210x mx -+<C ．x ∃∈R ，2210x mx -+>D ．x ∃∈R ，2210x mx -+≤2．已知函数21(1),()2(1).x x f x x x x -+<⎧=⎨-≥⎩则((1))f f -的值为A ．﹣2B ．﹣1C ．0D ．33．“3a > ”是“函数2()(2)2f x a x x =-- 在(1,+)∞上单调递增”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知2081.5.12,,log 42a b c -⎛⎫ ⎝⎭=⎪==，则,,a b c 的大小关系为A ．c<a<bB ．c b a<<C ．b a c <<D ．b<c<a 5．在同一个坐标系中，函数()log a f x x =，()x g x a -=，()a h x x =的图象可能是A ．B ．C ．D ．6．函数()f x ax x =的图象经过点(1,1)-，则关于x 的不等式29()(40)f x f x +-<解集为 A ．(,1)(4,)-∞-+∞ B ．(1,4)-C ．(,4)(1,)∞∞--⋃+D ．(4,1)-7．中国宋代数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，即假设在平面内有一个边长分别为a,b,c的三角形，其面积S 可由公式S =1=)2p a b c ++（，这个公式也被称为海伦-秦九韶公式，现有一个三角形的三边长满足14,6a b c +==，则 此三角形面积的最大值为A ．6B ．C ．12D ．8．定义在R 上的偶函数()f x 满足()()1f x f x +=-，当[]0,1x ∈时，()21f x x =-+，设函数()()11132x g x x -⎛⎫=-<< ⎪⎝⎭，则函数()f x 与()g x 的图象所有交点的横坐标之和为A ．2B ．4C ．6D ．8二．多项选择题（共3小题，满分18分，每小题6分）9．下列运算正确的是A=B ．()326a a =C ．42log 32log 3=D ．2lg5lg2log 5÷=10. 已知函数()y f x =是定义域为R 上的奇函数，满足(2)()f x f x +=-，下列说法正确的有A ．函数()y f x =的周期为4B ．(0)0f =C ．(2024)1f =D ．(1)(1)f x f x -=+11．已知函数()24,0,31,0,x x x x f x x -⎧-≥=⎨-<⎩其中()()()f a f b f c λ===，且a b c <<，则A ．()232f f -=-⎡⎤⎣⎦B ．函数()()()g x f x f λ=-有2个零点C ．314log ,45a b c ⎛⎫++∈+ ⎪⎝⎭D ．()34log 5,0abc ∈-三、填空题（共3小题，满分15分，每小题5分）12．已知集合A ＝{}01x x ≤≤，B ＝{}13x a x -≤≤，若A B 中有且只有一个元素，则实数a 的值为 ．13．已知函数()()231m f x m m x +=+-是幂函数，且该函数是偶函数，则f 的值是 ．14．已知函数()34x f x x =--在区间[1,2]上存在一个零点，用二分法求该零点的近似值，其参考数据如下：(1.6000)0.200f ≈，(1.5875)0.133f ≈，(1.5750)0.067f ≈，(1.5625)0.003f ≈，(1.5562)0.029f ≈-，(1.5500)0.060f ≈-，据此可得该零点的近似值为 ．（精确到0.01）四、解答题（共5小题，满分77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15．(13分)已知x ，y ，z 均为正数，且246x y z ==.(1)证明：111x y z+>；(2)若6log 4z =，求x ，y 的值，并比较2x ，3y ，4z 的大小.16．(15分)已知函数()121(0),,R 4x f x m x x m =>∈+，当121x x =+时，()()1212f x f x +=. (1)求m 的值；(2)已知()120n n a f f f f n n n ⎫⎫⎫⎛⎛⎛=++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎝⎝⎭⎭⎭，求n a 的解析式.17．(15分)已知函数2ln(),0,()23,0,a x x f x x x x +-<⎧=⎨-++≥⎩且(e)3f -=．(1)求实数a 的值； (2)若函数()()=-g x f x k 在R 上恰有两个零点，求实数k 的取值范围．18．(17分)已知函数()e x f x =与函数()ln g x x =，函数()()()11x g x g x ϕ=++-的定义域为D ．(1)求()x ϕ的定义域和值域；(2)若存在x D ∈，使得)(1)2(x f x mf -≥成立，求m 的取值范围； (3)已知函数()y h x =的图象关于点(),P a b 中心对称的充要条件是函数()y h x a b =+-为奇函数．利用上述结论，求函数()1ey f x =+的对称中心． 19．(17分)银行按规定每经过一定的时间结算存（贷）款的利息一次，结算后将利息并入本金，这种计算利息的方法叫做复利．现在某企业进行技术改造，有两种方案：甲方案：一次性向银行贷款10万元，技术改造后第一年可获得利润1万元，以后每年比上年增加30%的利润；乙方案：每年向银行贷款1万元，技术改造后第一年可获得利润1万元，以后每年比前一年多获利5000元．(1)设技术改造后，甲方案第n 年的利润为n a （万元），乙方案第n 年的利润为n b （万元），请写出n a 、n b 的表达式；(2)假设两种方案的贷款期限都是10年，到期一次性归还本息．若银行贷款利息均以年息10%的复利计算，试问该企业采用哪种方案获得的扣除本息后的净获利更多？（精确到0.1）（净获利=总利润-本息和）（参考数据101.1 2.594≈，101.313.79)≈2025届高三第一次月考试卷答案一、单选题1． D 2． C 3． A 4． B5． C 6． B 7． B 8． B二、多选题9． BD 10. ABD 11． ACD.三、填空题12．2. 13．4 14．1.56.四、解答题15．已知x ，y ，z 均为正数，且246x y z ==.(1)证明：111x y z+>；(2)若6log 4z =，求x ，y 的值，并比较2x ，3y ，4z 的大小.【详解】（1）令2461x y z k ===>，则2log x k =，4log y k =，6log z k =，11log 2log 4log 8k k k x y ∴+=+=，1log 6k z=.1k > ，log 8log 6k k ∴>，111x y z∴+>.（2）6log 4z = ，64z ∴=，则244x y ==，2x ∴=，1y =，4664log 4log 256z ∴==.3462566<< ，63log 2564∴<<，342y z x ∴<<.16．已知函数()121(0),,R 4x f x m x x m =>∈+，当121x x =+时，()()1212f x f x +=.(1)求m 的值；(2)已知()120n n a f f f f n n n ⎫⎫⎫⎛⎛⎛=++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎝⎝⎭⎭⎭，求n a 的解析式.【详解】（1）()()1212111442x x f x f x m m +=+=++，即()()()()2112242444x x x x m m m m +++=++()()121212242444444x x x x x x m m m +⋅++=+⇒+()()()12122224444442x x x x m m m m ⇒=++=+---，()()()()()121222442024420x x x x m m m m ⇒---+=⇒-++-=，12444x x +≥== ，当且仅当1244x x =，即12x x =取等号，又0m >，124420,2x x m m ∴++->∴=.（2）由()120n n a f f f f n n n ⎫⎫⎫⎛⎛⎛=++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎝⎝⎭⎭⎭，得 ()10n n n a f f f n n -⎫⎫⎛⎛=+++ ⎪ ⎪⎝⎝⎭⎭，又当121x x =+时，()()1212f x f x +=所以两式相加可得 ()()1112002n n n n n a f f f f f f n n n n ⎡⎤⎡-⎤⎡⎤+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦⎣⎦，所以 14n n a +=17．已知函数2ln(),0,()23,0,a x x f x x x x +-<⎧=⎨-++≥⎩且(e)3f -=．(1)求实数a 的值；(2)若函数()()=-g x f x k 在R 上恰有两个零点，求实数k 的取值范围．【详解】（1）因为2ln(),0,()23,0,a x x f x x x x +-<⎧=⎨-++≥⎩且(e)3f -=，所以()(e)ln e 3f a -=+=，解得2a =；（2）由（1）可得22ln(),0()23,0x x f x x x x +-<⎧=⎨-++≥⎩，当0x <时()2ln()f x x =+-，函数()f x 在(),0∞-上单调递减，且()R f x ∈；当0x ≥时()22()2314f x x x x =-++=--+，则()f x 在[]0,1上单调递增，在()1,∞+上单调递减，且()14f =，()03f =，即()(],4f x ∞∈-；所以()f x 的图象如下所示：因为函数()()=-g x f x k 在R 上恰有两个零点，即函数()y f x =与y k =在R 上恰有两个交点，由图可知3k <或4k =，即实数k 的取值范围为(){},34∞-⋃.18．已知函数()e x f x =与函数()ln g x x =，函数()()()11x g x g x ϕ=++-的定义域为D ．(1)求()x ϕ的定义域和值域；(2)若存在x D ∈，使得()()21mf x f x -…成立，求m 的取值范围；(3)已知函数()y h x =的图象关于点(),P a b 中心对称的充要条件是函数()y h x a b =+-为奇函数．利用上述结论，求函数()1ey f x =+的对称中心． 【详解】（1）由题意可得()()()()()11ln 1ln 1x g x g x x x ϕ=++-=++-．由1010x x +>⎧⎨->⎩，得11x -<<，故()1,1D =-．又()()2ln 1x x ϕ=-，且(]210,1x -∈，()x ϕ∴的值域为(],0-∞；（2）()()21mf x f x -…，即2e 1e x x m -…，则211e e x xm -…． 存在x D ∈，使得()()21mf x f x -…成立，2min 11ee x x m ⎛⎫∴- ⎪⎝⎭…．而2211111e e e24x x x ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，∴当11e 2x =，即ln2x D =∈时，211e ex x -取得最小值14-，故14m -…；（3）设()()1ey h x f x ==+的对称中心为(),a b ，则函数()()t x h x a b =+-是奇函数，即()1e e x a t x b +=-+是奇函数，则()()110e e e e x a x a t x t x b b -++-+=-+-=++恒成立，()()()()1122e e 2e 2e e e e 0e e e e x a x a x a x a a x a x ab +-+-+++-++++-+++∴=++恒成立，所以()()1122e e 2e 2e e e e 0x a x a x a x a a b +-+-+++++-+++=恒成立，所以22(12e)(e e )2(e e e )0x a x a a b b b +-+-++--=，因为上式对任意实数x 恒成立，所以2212e 0e e e 0a b b b -=⎧⎨--=⎩，得12e 1b a ⎧=⎪⎨⎪=⎩，所以函数()1e y f x =+图象的对称中心为11,2e ⎛⎫ ⎪⎝⎭．19．银行按规定每经过一定的时间结算存（贷）款的利息一次，结算后将利息并入本金，这种计算利息的方法叫做复利．现在某企业进行技术改造，有两种方案：甲方案：一次性向银行贷款10万元，技术改造后第一年可获得利润1万元，以后每年比上年增加30%的利润；乙方案：每年向银行贷款1万元，技术改造后第一年可获得利润1万元，以后每年比前一年多获利5000元．(1)设技术改造后，甲方案第n 年的利润为n a （万元），乙方案第n 年的利润为n b （万元），请写出n a 、n b 的表达式；(2)假设两种方案的贷款期限都是10年，到期一次性归还本息．若银行贷款利息均以年息10%的复利计算，试问该企业采用哪种方案获得的扣除本息后的净获利更多？（精确到0.1）（净获利=总利润-本息和）（参考数据101.1 2.594≈，101.313.79)≈【答案】(1)11.3n n a -=，0.50.5n b n =+,N n *∈(2)采用甲方案获得的扣除本息后的净获利更多【详解】（1）对于甲方案，1年后，利润为1（万元）．2年后，利润为111(10.3) 1.3+=⨯，3年后，利润为211.3(10.3) 1.3+=⨯（万元），……故n 年后，利润为11.3n -（万元），因此11.3n n a -=，N n *∈对于乙方案，1年后，利润为1（万元）．2年后，利润为10.5+，3年后，利润为0.50.510.521++=+⨯（万元），……故n 年后，利润为()10.51n +⨯-（万元），因此()10.510.50.5n b n n =+⨯-=+，N n *∈（2）甲方案十年共获利109(1.3)11(130%)(130%)42.631.31-+++⋯++==-（万元），10年后，到期时银行贷款本息为1010(10.1)25.94+=（万元），故甲方案的净收益为42.6325.9416.7-≈（万元），乙方案十年共获利1 1.5(190.5)32.5++⋯++⨯=（万元），贷款本息为119101111(110%)(110%)(110%)17.530.1⋅-+++⋯++++=≈（万元），故乙方案的净收益为32.517.5315-=（万元），由16.715>，故采用甲方案获得的扣除本息后的净获利更多。
2024-2025学年海南省北京师大万宁附中高三(上)第一次月考数学试卷(含答案)
2024-2025学年海南省北京师大万宁附中高三（上）第一次月考数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合M ={x|x 2+x−2≤0}，Q ={x ∈N||x|≤2}，则M ∩Q =( )A. {0,1}B. {−2,−1,0,1}C. [−2,1]D. [0,1]2.设{a n }是首项大于零的等比数列，则“a 1<a 2”是“数列{a n }是递增数列”的( )A. 充要条件B. 充分而不必要条件C. 必要而不充分条件D. 既不充分也不必要条件3.设a ，b ，c 为实数，且a <b <0，则下列不等式正确的是( )A. 1a <1bB. ac 2<bc 2C. b a >a bD. a 2>ab >b 24.已知函数f(x)=e x (2x−1)x−1，则f(x)的大致图象为( )A. B.C. D.5.若正实数x ，y 满足xy +3x =3，则12x +y 的最小值为( )A. 7B. 8C. 9D. 106.设函数f(x)=log 2|x|−x −2，则不等式f(x−2)≥f(2x +2)的解集为( )A. [−4,0]B. [−4,0)C. [−4,−1)∪(−1,0]D. [−4,−1)∪(−1,0)7.已知函数f(x)={x 2−ax +5,(x ≤1)a x ,(x >1)满足对任意实数x 1≠x 2，都有f(x 2)−f(x 1)x 2−x 1<0成立，则a 的取值范围是( )A. 0<a ≤3B. a ≥2C. a >0D. 2≤a ≤38.如图，圆锥的高SO = 3，底面直径AB =2，C 是圆O 上一点，且AC =1，若SA 与BC 所成角为θ，则sin 2θ2−cos 2θ2=( )A. 134B. −34C. 58D. − 134二、多选题：本题共3小题，共18分。
2024-2025学年福建省福州市高新一中高三(上)第一次月考数学试卷(含答案)
2024-2025学年福建省福州市高新一中高三（上）第一次月考数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A ={x ∈Z|x(x−3)<0}，B ={−1,2,3}，则A ∩B =( )A. {2}B. {2,3}C. {−1,1,2,3}D. ⌀2.已知α∈(π2,π)，sinα=35，则tan (α+π4)=( )A. −17B. 7C. 17D. −73.“lna >lnb ”是“ a >b ”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4.函数f(x)=xcosxe |x|−1的图象大致为( )A. B.C. D.5.实数x ，y 满足2x +y =−1，x >0，则x−yx 的最小值为( )A. 1B. 2C. 3D. 46.已知函数f(x)=log 0.5(x 2−ax +3a)在(2,+∞)上单调递减，则实数a 的取值范围( )A. (−∞,4]B. [4,+∞)C. [−4,4]D. (−4,4]7.已知定义域为R 的函数f(x)，其导函数为f′(x)，且满足f′(x)−f(x)<0，f(0)=1，则( )A. ef(−1)<1B. f(1)>eC. f(12)<eD. f(1)>e f(12)8.已知f(x)={|ln (−x)|,x <0x 2−4x +5,x ≥1，若方程f(x)=m(m ∈R)有四个不同的实数根x 1，x 2，x 3，x 4，则x 1⋅x 2⋅x 3⋅x 4的取值范围是( )A. (3,4)B. (2,4)C. [0,4)D. [3,4)二、多选题：本题共3小题，共18分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列选项中，与sin5π6的值相等的是( )A. cos2π3B. cos18°cos42°−sin18°sin42°C. 2sin15°sin75°D. tan30°+tan15°1−tan30∘tan15∘10.已知a>0，b>0，a+2b=1，下列结论正确的是( )A. 1a +2b的最小值为9 B. a2+b2的最小值为15C. log2a+log2b的最小值为−3D. 2a+4b的最小值为2211.设函数f(x)与其导函数f′(x)的定义域均为R，且f′(x+2)为偶函数，f(1+x)−f(1−x)=0，则( )A. f′(1+x)=f′(1−x)B. f′(3)=0C. f′(2025)=0D. f(2+x)+f(2−x)=2f(2)三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
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湖南省长沙市宁乡二中届高三第一次月考数学试卷时量：120分钟 总分150分一 选择题（每小题只有一个正确答案，选对计5分）1．设全集U={－2，－1，0，1，2}，A={－2，－1，0}，B={0，1，2}，则（U A ）∩B= （ ） A ．{0}B ．{－2，－1}C ．{1，2}D ．{0，1，2}2. 一个物体的运动方程为21t t s +-=其中s 的单位是米，t 的单位是秒，那么物体在3秒末的瞬时速度是 （ ） A ．7米/秒 B ．6米/秒 C ．5米/秒 D ．8米/秒3．下列函数中，在定义域内既是奇函数又是减函数的是 （ ） A ．3x y -= B ．x y sin = C ．x y = D ．x y )21(= 4．条件甲：“1>a ”是条件乙：“aa >”的（ ）A ．既不充分也不必要条件B ．充要条件C ．充分不必要条件D ．必要不充分条件 5. 不等式21≥-xx 的解集为( )A.)0,1[-B.),1[∞+-C.]1,(--∞D.),0(]1,(∞+--∞ 6.图中的图象所表示的函数的解析式为( )(A)|1|23-=x y (0≤x ≤2) (B) |1|2323--=x y (0≤x ≤2)(C) |1|23--=x y (0≤x ≤2)(D) |1|1--=x y (0≤x ≤2)7.如果()f x 为偶函数，且导数()f x 存在，则()0f '的值为 （ ） A ．2 B ．1 C ．0 D ．-1 8. 设,a b R ∈，集合{1,,}{0,,}ba b a b a+=，则 b a -= （ ）A ．1B ．1-C ．2D ．2-9. 已知32()(6)1f x x ax a x =++++有极大值和极小值，则a 的取值范围为 ( ) A ．12a -<< B ．36a -<< C ．1a <-或2a > D ．3a <-或6a >10. 已知322()3(1)1f x kx k x k =+--+在区间(0,4)上是减函数,则k 的范围是（ ） A ．13k <B ．103k <≤C ．103k ≤< D ．13k ≤二 填空题（每小题5分）11. 曲线x y ln =在点(,1)M e 处的切线的方程为______________． 12. 函数5523--+=x x x y 的单调递增区间是__________________．13．若函数)1(+x f 的定义域为[0，1]，则函数)13(-x f 的定义域为____________． 14. 已知2(2)443f x x x +=++（x ∈R ），则函数)(x f 的最小值为____________． 15. 给出下列四个命题：①函数xy a =（0a >且1a ≠）与函数log xa y a =（0a >且1a ≠）的定义域相同；②函数3y x =与3xy =的值域相同；③函数11221x y =+-与2(12)2x x y x +=⋅都是奇函数；④函数2(1)y x =-与12x y -=在区间[0,)+∞上都是增函数，其中正确命题的序号是_____________。
（把你认为正确的命题序号都填上）三 解答题（本大题共6小题，共75分）16 （本小题满分12分 ）设全集U=R, 集合A=｛x | x 2- x -6<0｝, B=｛x || x |= y +2, y ∈A ｝,求C U B ； (C U A)∩(C U B)17 已知2210(0),x m m ≤-+-≤>2x-1p :1-2,q:x 3若﹁p 是﹁q 的充分而不必要条件，求实数m 的取值范围。
18 （本小题满分12分） 某工厂生产某种产品，已知该产品的月生产量x （吨）与每吨产品的价格p （元/吨）之间的关系式为：21242005p x =-,且生产x 吨的成本为50000200R x =+（元）．问该厂每月生产多少吨产品才能使利润达到最大？最大利润是多少？19 （本小题满分12分） 设)(x f 是定义在R 上的奇函数且对一切实数x 有)()2(x f x f -=+，又当x ]1,0(∈时，xx f 1)(=，请研究后回答下列问题，并说明理由： （1）证明：)(x f 是周期函数；（2）当∈x )01[，-时，求)(x f 的解析式。
20 （本小题满分13分）。
已知32()f x x ax bx c =+++在1x =与23x =-时，都取得极值．(1) 求,a b 的值； (2)若3(1)2f -=，求()f x 的单调区间和极值；(3)若对[1,2]x ∈-都有3()f x c< 恒成立，求c 的取值范围．21 （本题满分14分） 已知函数1)3ln()(++-=ax x x f（I ）若函数)(x f 在[0，2]上是单调递增函数，求a 的取值范围； （II ）求函数)(x f 在[0，2]上的最大值。
高三第一次月考理科数学试卷答案一 选择 （每小题只有一个正确答案，选对计5分）题号1 2 3 4 5 6 7 8 91答案C C A B A B C CD D二 填空（每小题5分）11: 0x ey -= 12 : 5(,),(1,)3-∞-+∞ 13: ]1,32[ 14 2 ; 15； ⑴ ⑶三 解答题16 解:A=(-2,3), ∵-2<x <3, ∴0<|x |<5. ∴B=(-5,0)∪(0,5). ∴C U B=(]{}[)+∞-∞-,505, ,, C U (A ∪B)=( C U A)∩(C U B)=(]5,∞-∪[)+∞,5.17．由≤x-1p :1- 2,3得-2≤x ≤10∴“﹁p ”：A={x |x>10或x <-2}∵ x 2－2x +1－m 2≦0 ∴1－ m ≦x ≦1+m (m>0) ∴“﹁q ”:B={x |x>1+m 或x <1－ m} (m>0) ∵﹁p 是﹁q 的充分而不必要条件 ∴A B m > 0故 1+m ≤10 ,解得 0<m ≤3 1－ m ≥－218. 解：每月生产x 吨时的利润为)20050000()5124200()(2x x x x f +--=).(200,20002400053)()0(5000024000512123舍去解得由-===+-='≥-+-=x x x x f x x x0)(200),0[)(='=+∞x f x x f 使内只有一个点在因，故它就是最大值点，且最大值为：)(31500005000020024000)200(51)200(3元=-⨯+-=f答：每月生产200吨产品时利润达到最大，最大利润为315万元.19．解：（1） f (x +4)= －f (x +2)=f (x )， ∴f (x )是周期为4的周期函数． （2）当)0,1[-∈x 时，]1,0(∈-x ， 由题知xx f -=-1)( ， f (x )是奇函数， ∴xx f x f 1)()(=--=．29. 解： （1）f ′(x )＝3x 2＋2a x ＋b ＝0．由题设，x ＝1，x ＝－23为f ′(x )＝0的解．－23a ＝1－23，b 3＝1×(－23)．∴a ＝－12，b ＝－2． (4分) （2）f (x )＝x 3－12x 2－2 x ＋c ，由f (－1)＝－1－12＋2＋c ＝32，c ＝1．∴f (x )＝x 3－12x 2－2 x ＋1．∴f (x )的递增区间为（－∞，－23），及（1，＋∞），递减区间为（－23，1）．当x ＝－23时，f (x )有极大值，f (－23)＝4927；当x ＝1时，f (x )有极小值，f (1)＝－12． (8分)（3）由上，f ′(x )＝(x －1)(3x ＋2)，f (x )＝x 3－12x 2－2 x ＋c ，f (x )在[－1，－23)及（1，2］上递增，在（－23，1）递减． f (－23)＝－827－29＋45＋c ＝c ＋2227．f (2)＝8－2－4＋c ＝c ＋2．由题设，c ＋2＜3c 恒成立，c 2＋2c －3c＜0，∴c ＜－3，或0＜c ＜1 ．22．解：（1）20031)(≤≤≥+--='x a xx f 对 恒成立. 2031≤≤-≥∴x xa 对恒成立 1≥∴a（2）①若1)3ln()(,0++-=≤ax x x f a 则在[0，2]上是减函数，13ln )0()(max +==f x f②若0>a ，则由（1）得：当0)(,13,0)(,13≤'-≥≥'-≤x f ax x f a x 时当时 013,310≤-≤<∴aa 时当，此时)(x f 在[0，2]上是减函数，13ln )0()(max +==f x f 当1≥a 时，)(x f 在[0，2]上是单调增函数，12)2()(max +==a f x f12)2()(,1;ln 3)(,131;13ln )0()(,31ln 31)13(ln )13()(,131max max max max +==≥-=<<+==≤-=+-+-=-=<<a f x f a a a x f a f x f a a a aa a a f x f a 时时当时综上时当。