概率与统计课件(一)概率论的基本概念
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概率论与数理统计--第一章 概率论的基本概念(2)
利用软件包进行数值计算
3 超几何概率
设有 N 件产品, 其中有 D 件次品, 今从中任取 n 件,问其中恰有 k ( k D ) 件次品的概率是多少 ?
解
在N件产品中抽取n件的取法数
C
n N
在 N 件产品中抽取n件,其中恰有k 件次品的取法数
C
nk N D
C
k D
于是所求的概率为
p
C
nk N D n N
7 12
周ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 周四 周五 周六 周日
故一周内接待 12 次来访共有 712 种.
2 1
2
2 3
2 4
2 12
周一 周二 周三 周四 周五 周六 周日
12 次接待都是在周二和周四进行的共有 212 种. 故12 次接待都是在周二和周四进行的概率为
212 p 12 0.0000003 . 7
(1) 每一个班级各分配到一名特长生的分法共有
( 3!12! ) (4! 4! 4! ) 种.
因此所求概率为
25 3!12! 15! . p1 4! 4! 4! 5! 5! 5! 91
(2)将3名特长生分配在同一个班级的分法共有3种, 12! 种. 对于每一种分法,其余12名新生的分法有 2! 5! 5! 因此3名特长生分配在同一个班级的分法共有
例4 将 15 名新生随机地平均分配到三个班级中 去,这15名新生中有3名是特长生.问 (1) 每一个班 级各分配到一名特长生的概率是多少? (2) 3 名特长生分配在同一个班级的概率是多少?
解 15名新生平均分配到三个班级中的分法总数:
15 10 5 15! . 5 5 5 5! 5! 5!
概率论课件
例3 盒中有3个红球，2个白球，，每次从袋中任 取一只，观察其颜色后放回，并再放入一只与所 取之球颜色相同的球，若从合中连续取球4次,试 求第1、2次取得白球、第3、4次取得红球的概率 。
解：设Ai为第i次取球时取到白球，则
1.7 全概率公式
例：市场上有甲、乙、丙三家工厂生产的同一品牌产品， 已知三家工厂的市场占有率分别为1/4、1/4、1/2，且三 家工厂的次品率分别为 2％、1％、3％，试求市场上该品 牌产品的次品率。
古典概型中的概率: 设事件A中所含样本点个数为M ，以N记样 本空间S中样本点总数，则有
M P ( A) N
P(A)具有如下性质： (1) 0 P(A) 1；
(2) P()＝1； P( )=0
(3) AB＝，则 P( A B )＝ P(A) ＋P(B)
例1:有三个子女的家庭,设每个孩子是男是女的概
1.6 条件概率和乘法定理
袋中有十只球，其中九只白球，一只红球，十
人依次从袋中各取一球(不放回)，问
第一个人取得红球的概率是多少？
第二个人取得红球的概率是多少？
若已知第一个人取到的是白球，则第二个人取 到红球的概率是多少？ 若已知第一个人取到的是红球，则第二个人取到 红球的概率又是多少？ 已知事件A发生的条件下，事件B发生的概率称为 A条件下B的条件概率，记作P(B|A)
• 随机事件
定义 试验中可能出现或可能不出现的情况叫“随 机事件”, 简称“事件”.记作A、B、C等. 在每次试验的结果中某事件一定发生，则该事件称 为必然事件，记作U。 在每次试验的结果中某事件一定不发生，则该事件 称为不可能事件，记作V。
频率：
设随机事件A在n次试验中发生了m次
m f n ( A) n
《概率论与数理统计》-课件 概率论的基本概念
解 以C记事件“母亲患病”,以N1记事件“第1个 孩子未患病”,以N 2记事件“第2个孩子未患病”.
已知 P(C ) 0.5, P( N1 C ) P( N2 C ) 0.5,
P(N1N2 C) 0.25, P(N1 C) 1, P(N2 C) 1. (1) P(N1) P(N1 C)P(C) P(N1 C)P(C)
6 3 3. 100 100 100
故 注意
p 17 10 3 1 12 . 100 2 25
只有当 B A 时才有 P( A B) P( A) P(B).
例7 设盒 I 有 6 只红球, 4 只白球; 盒 II 有7只红 球, 3只白球. 自盒 I 中随机地取一只球放入盒 II, 接着在盒 II 中随机地取一只球放入盒 I. (1) 然后在盒 I 中随机地取一只球 , 求取到的是红 球的概率. (2) 求盒 I 中仍有 6 只红球 4 只白球的概率.
以 B 记事件“至少有一个配对” , 则 B A1 A2 An .
(1) 由和事件概率公式
P(B) P( A1 A2 An )
n
n
n
P( Ai ) P( Ai Aj )
P( Ai Aj Ak )
i 1
1i jn
1i jkn
(1)n1 P( A1 A2 An ),
n n 1 n(n 2)!, 1 1 2
n n 1 n
(n 2)!
于是
P(B) 1
1 2 nn
.
例4 将 6 只球随机地放入到3 只盒子中去, 求每 只盒子都有球的概率. 解 以 A 记事件 “每只盒子都有球” . A 发生分为三种情况 : (i) 3 只盒子装球数分别为 4, 1, 1, 所含的样本点数为
已知 P(C ) 0.5, P( N1 C ) P( N2 C ) 0.5,
P(N1N2 C) 0.25, P(N1 C) 1, P(N2 C) 1. (1) P(N1) P(N1 C)P(C) P(N1 C)P(C)
6 3 3. 100 100 100
故 注意
p 17 10 3 1 12 . 100 2 25
只有当 B A 时才有 P( A B) P( A) P(B).
例7 设盒 I 有 6 只红球, 4 只白球; 盒 II 有7只红 球, 3只白球. 自盒 I 中随机地取一只球放入盒 II, 接着在盒 II 中随机地取一只球放入盒 I. (1) 然后在盒 I 中随机地取一只球 , 求取到的是红 球的概率. (2) 求盒 I 中仍有 6 只红球 4 只白球的概率.
以 B 记事件“至少有一个配对” , 则 B A1 A2 An .
(1) 由和事件概率公式
P(B) P( A1 A2 An )
n
n
n
P( Ai ) P( Ai Aj )
P( Ai Aj Ak )
i 1
1i jn
1i jkn
(1)n1 P( A1 A2 An ),
n n 1 n(n 2)!, 1 1 2
n n 1 n
(n 2)!
于是
P(B) 1
1 2 nn
.
例4 将 6 只球随机地放入到3 只盒子中去, 求每 只盒子都有球的概率. 解 以 A 记事件 “每只盒子都有球” . A 发生分为三种情况 : (i) 3 只盒子装球数分别为 4, 1, 1, 所含的样本点数为
概率论与数理统计课件：1-2 概率论的基本概念 频率和概率
17
古典概型问题中，样本空间的构造必须 保证其中的每个样本点发生的可能性都相同。
练习1.4.1 抛一枚均匀硬币三次，计算P { 恰好出现一次正面 }。 提示：这里有两种构造样本空间的形式， ① 以随机试验的全部结果构造 S1 = { HHH，HHT，HTH，HTT，THH， THT，TTH，TTT } 因此 P (A ) = 3/8 ； ② 以正面出现的次数构造 S2 = { 0，1，2，3 } 因此 P (A ) = 1/4 。
概率P (B – A) 的值。பைடு நூலகம்
解。分析：由减法公式， P (B – A ) = P (B ) – P (AB ) 只需要计算出概率 P (AB ) 。
(1) A、B互不相容即 AB = ，得到 P (B – A ) = 0.5；
(2) A B 等价于 AB = A，得到 P (B – A ) = 0.2；
频率的这种稳定性表明了随机现象也具有规律性， 称为是统计规律(大量试验下体现出来的规律)。
4
概率的频率定义
自然地，可以采用一个随机事件的频率的稳定值 去描述它在一次试验中发生的可能性大小，即用频率 的极限来作为概率的定义。
然而实际上，我们不可能对每一个随机事件都去 做大量的试验后得到它的频率，并且有些随机事件也 无法去定义它们的频率。
16
例:有三个子女的家庭,设每个孩子是男是女的概率 相等,则至少有一个男孩的概率是多少?
解:设A表示事件至少有一个男孩,以H表示某个孩子 是男孩
N(S)={HHH,HHT,HTH,THH,HTT,TTH,THT,TTT} N(A)={HHH,HHT,HTH,THH,HTT,TTH,THT}
P( A) N ( A) 7 N(S) 8
i 1
古典概型问题中，样本空间的构造必须 保证其中的每个样本点发生的可能性都相同。
练习1.4.1 抛一枚均匀硬币三次，计算P { 恰好出现一次正面 }。 提示：这里有两种构造样本空间的形式， ① 以随机试验的全部结果构造 S1 = { HHH，HHT，HTH，HTT，THH， THT，TTH，TTT } 因此 P (A ) = 3/8 ； ② 以正面出现的次数构造 S2 = { 0，1，2，3 } 因此 P (A ) = 1/4 。
概率P (B – A) 的值。பைடு நூலகம்
解。分析：由减法公式， P (B – A ) = P (B ) – P (AB ) 只需要计算出概率 P (AB ) 。
(1) A、B互不相容即 AB = ，得到 P (B – A ) = 0.5；
(2) A B 等价于 AB = A，得到 P (B – A ) = 0.2；
频率的这种稳定性表明了随机现象也具有规律性， 称为是统计规律(大量试验下体现出来的规律)。
4
概率的频率定义
自然地，可以采用一个随机事件的频率的稳定值 去描述它在一次试验中发生的可能性大小，即用频率 的极限来作为概率的定义。
然而实际上，我们不可能对每一个随机事件都去 做大量的试验后得到它的频率，并且有些随机事件也 无法去定义它们的频率。
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例:有三个子女的家庭,设每个孩子是男是女的概率 相等,则至少有一个男孩的概率是多少?
解:设A表示事件至少有一个男孩,以H表示某个孩子 是男孩
N(S)={HHH,HHT,HTH,THH,HTT,TTH,THT,TTT} N(A)={HHH,HHT,HTH,THH,HTT,TTH,THT}
P( A) N ( A) 7 N(S) 8
i 1
高等数学 概率论与数理统计课件(一)
高等数学概率论与数理统计课件(一)高等数学概率论与数理统计课件1. 课程简介•高等数学概率论与数理统计是大学数学专业的一门重要课程。
•它是数学学科的基础，也是应用数学的重要工具。
•本课程旨在帮助学生掌握概率论与数理统计的基本概念、理论和方法。
2. 概率论部分2.1 概率的基本概念•概率的定义和性质•随机事件的概率计算方法•条件概率与独立事件2.2 随机变量和概率分布•随机变量的定义和性质•离散型随机变量和连续型随机变量•常见概率分布：离散型和连续型2.3 随机变量的数字特征•期望、方差、标准差的定义和计算•切比雪夫不等式•大数定律和中心极限定理3. 数理统计部分3.1 统计基础•总体和样本的统计特征•参数估计和区间估计•假设检验的基本思想3.2 参数估计•点估计和区间估计的概念•常见的参数估计方法：极大似然估计、矩估计等•置信区间的计算和解释3.3 假设检验•假设检验的基本原理•假设检验的步骤和流程•常见的假设检验方法：单样本、两样本和多样本检验4. 课程学习方法•注重理论和实践相结合，理论指导实践、实践检验理论。
•多做习题，通过刷题巩固知识点。
•参考相关教材和参考书，拓宽知识广度和深度。
•加强课后讨论和交流，与同学共同解决问题。
•关注概率论与数理统计的应用领域，扩展应用实践。
5. 课程考核方式•平时成绩：课堂参与、作业完成情况等。
•期中考试：对课程前半部分的知识进行考核。
•期末考试：对整个课程的知识进行考核。
•课程项目：根据实际情况进行论文、实验等形式进行综合评估。
6. 学习资源推荐•《高等数学》教材，北京大学出版社。
•《概率论与数理统计教程》教材，清华大学出版社。
•《概率论与数理统计习题集》辅导书，高等教育出版社。
•在线学习资源：Coursera、edX、网易云课堂等平台提供的相关课程。
7. 小结•高等数学概率论与数理统计课程是数学专业学生不可或缺的重要课程。
•本课程旨在帮助学生掌握概率论与数理统计的基本概念、理论和方法。
《概率论》课件
物理学
描述粒子在气体或液体中的运动状态。
金融学
用于股票价格和收益率的分析。
隐马尔科夫模型
定义
隐马尔科夫模型是一种特殊的马尔科夫模型 ，其中观测状态与隐藏状态有关，而隐藏状 态之间相互独立。
应用
语音识别、手写识别、生物信息学等领域。
05
大数定律与中心极限定理
大数定律及其应用
大数定律
在独立重复试验中，当试验次数趋于无穷时，事件发 生的频率趋于该事件发生的概率。
《概率论》ppt课 件
目录
• 概率论简介 • 概率的基本性质 • 随机变量及其分布 • 随机过程与马尔科夫链 • 大数定律与中心极限定理 • 贝叶斯统计推断
01
概率论简介
概率论的定义
概率论
研究随机现象的数学学科，通过数学模型和公式 来描述随机事件、随机变量和随机过程。
随机变量
表示随机现象的数值变量，其取值具有随机性。
THANKS
感谢观看
计算机科学
概率论在计算机科学中用于算法设计和数据 挖掘等领域。
02
概率的基本性质
概率的公理化定义
概率的公理化定义是概率论的基础，它规定了概率的几个基本性质，包括非负性 、规范性、可加性和有限可加性。
非负性指的是任何事件的概率都不小于0；规范性指的是必然事件的概率为1；可 加性指的是两个独立事件的概率等于它们各自概率的和；有限可加性指的是任意 有限个两两独立的事件的概率等于这些事件概率的和。
应用
在统计学中，大数定律用于估计样本的统计量和参数 ，如平均值、方差等。
中心极限定理及其应用
中心极限定理
无论随机变量的分布是什么，当样本量足够大时，样 本均值的分布近似正态分布。
概率论第一章ppt课件
A 1 “: 至少有一人命中目标 A 2 “: 恰有一人命中目标” A 3 “: 恰有两人命中目标” A 4 “: 最多有一人命中目标 A 5 “: 三人均命中目标” A 6 “: 三人均未命中目标”
”:
ABC
: ABCABCABC
: AC BABC ABC
”: BCACAB
:
ABC
:
ABC
21
小结
i1
i1
13
3. 积（交）事件 : 事件A与事件B同时发生，记
作 AB 或AB。
推广：n个事件A1, A2,…, An同时发生，记作
n
n
A1A2…An或 A i 或 A i
i1
i1
14
4. 差事件： A－B称为A与B的差事件, 表示事件 A发生而事件B不发生
15
5. 互不相容事件（也称互斥的事件）： 即事件 A与事件B不能同时发生。AB＝ 。
3
第一章 概率论的基本概念
§1.1 随机事件及其运算 §1.2 概率的定义及其性质 §1.3 古典概型与几何概型 §1.4 条件概率 §1.5 独立性
4
§1.1 随机事件及其运算
1.1.1 随机现象
自然界的现象按照发生的可能性（或者必然 性）分为两类：
一类是确定性现象，特点是条件完全决定结果 一类是随机现象，特点是条件不能完全决定结 果 在一定条件下，可能出现这样的结果，也可 能出现那样的结果，我们预先无法断言，这类现象 成为随机现象。
概率论与数理统计
1
概率论与数理统计是研究什么的？
随机现象：不确定性与统计规律性 概率论——从数量上研究随机现象的统计规律性的
科学。
数理统计——从应用角度研究处理随机性数据，建 立有效的统计方法，进行统计推理。
1.概率论的基本概念
问题： 问题： 下面的现象哪些是随机现象？ 下面的现象哪些是随机现象？
太阳从东方升起； A. 太阳从东方升起； 上抛物体一定下落； C. 上抛物体一定下落； 明天的最高温度； B. 明天的最高温度；
掷一颗骰子， D.掷一颗骰子，观察其向上点
数. 随机现象
{
大量性随机现象: 在完全相同的条件下 大量性随机现象: 可重复出现的随机现象 个别随机现象
i=1 ∞
A1 , A2 , …同时发生. 同时发生.
4°A 与 B 的差
A− B
不发生. 事A发生但事 B 不发生.
5°A 的逆事件 A
不发生. 事A 不发生.
对此有 A A = φ , A U A = Ω, A = Ω − A. 6°如果 A B = φ , 即 A 与 B 不同时发生, 不同时发生, 互不相容(或互斥). 则称A与 B 互不相容(或互斥). 要熟知一些常见的关系与运算, 要熟知一些常见的关系与运算,
测试其
可认为任一大于0的数都是一个可能结果， 可认为任一大于0的数都是一个可能结果，
**随机事件： 粗略地讲, 在一定条件下， **随机事件： 粗略地讲, 在一定条件下，试验中 随机事件 可能发生也可能不发生的事件称为 可能发生也可能不发生的事件称为 随机事件. 随机事件. 等表示事件. 一般以大写字母 A, B, C 等表示事件.
概率论与数理统计有广泛应用
(1).金融、信贷、医疗保险等行业策略制定； (1).金融、信贷、医疗保险等行业策略制定； 金融 (2).流水线上产品质量检验与质量控制 流水线上产品质量检验与质量控制； (2).流水线上产品质量检验与质量控制； (3).服务性行业中服务设施及服务员配置 服务性行业中服务设施及服务员配置； (3).服务性行业中服务设施及服务员配置； (4).生物医学中病理试验与药理试验 生物医学中病理试验与药理试验； (4).生物医学中病理试验与药理试验； (5).食品保质期 弹药贮存分析， 食品保质期、 (5).食品保质期、弹药贮存分析，电器与电 子产品寿命分析； 子产品寿命分析； (6). 物矿探测、环保监测、机械仿生与考古； (6). 物矿探测、环保监测、机械仿生与考古；
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2
0
A B
表示事件A与事件B中至少有一个事件发生,称此事
件为事件A与事件B的和（并）事件,或记为A+B. 事件A1，A2，…An 的和记为 ,或A1 ∪ A2 ∪ … ∪ An
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表示事件A与事件B同时发生, 称为事件A与事件B的 积（交）事件，记为AB。积事件AB是由A与B的公共
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例1.27 一张英语试卷，有10道选择填空题，每题有4 个选择答案，且其中只有一个是正确答案.某同学投机 取巧，随意填空，试问他至少填对6道的概率是多大？
解 设B=“他至少填对6道”.每答一道题有两个可能的 结果：A=“答对”及 =“答错”，P（A）=1/4，故 作10道题就是10重贝努里试验，n=10，所求概率为
定义1.2: 设事件A在n次重复试验中发生了k次, n很大时, 频率 稳定在某一数值p的附近波动,而随着试验次数 n的增加，波动的幅度越来越小，则称p为事件A发生的 概率，记为 P ( A) p
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2、概率的公理化定义
定义1.3
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概率的性质：
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解 设A1，A2，A3表示产品来自甲、乙、丙三个车间， B表示产品为“次品”的事件，易知A1，A2，A3是样本 空间Ω的一个划分，且有 P（A1）=0.45，P(A2)=0.35，P(A3)=0.2， P(B｜A1)=0.04，P(B｜A2)=0.02，P(B｜A3)=0.05.
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第三节 条件概率、全概率公式
1、条件概率的定义
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• 考察有两个小孩的家庭，其样本空间为{bb,bg,gb,gg} • （1）事件A=“家中至少有一个女孩“发生的概率？ • (2)若已知事件B=“家中至少有一个男孩”，再求事 件A发生的概率？ •
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例1.13 某科动物出生之后活到20岁的概率为0.7，活 到25岁的概率为0.56,求现年为20岁的动物活到25岁的 概率.
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对随机现象进行的观察或实验称为试验。
若一个试验具有下列三个特点：
（1）在相同条件下可重复进行。 （2）每次试验的可能结果不止一个，并且事
先可以知道试验的所有可能结果。
（3）进行一次试验之前，不能确定会出现 哪一个结果。 则把这一试验称为随机试验，常用E表示。
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下面举一些随机试验的例子.
得
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例1.9 12名新生中有3名优秀生，将他们随机地平均 （1） 每班各分配到一名优秀生的概率； （2） 3名优秀生分配到同一个班的概率.
解 12名新生平均分配到三个班的可能分法总数为
（1） 设A表示“每班各分配到一名优秀生”
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（2） 设B表示“3名优秀生分到同一班”，故3名优秀生
•每次试验中都不发生的事件，称为不可能事件 。
基本事件是样本空间的单点集。
复合事件是由多个样本点组成的集合。
必然事件包含一切样本点，它就是样本空间。
不可能事件不含任何样本点，它就是空集 。
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3、事件之间的关系及其运算 0 1 A B
表示事件A包含于事件B或称事件B包含事件A,指 事件A发生必然导致事件B发生.
实验者 德· 摩根 蒲丰 K· 皮尔逊 K· 皮尔逊 n 2048 4040 12000 24000 k 1061 2048 6019 12012 f 0.5181 0.5069 0.5016 0.5006
可见出现正面的频率总在0.5附近摆动.随着试验次数 的增加,它会逐渐稳定于0.5.
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E1：抛一枚硬币，观察正面H和反面T出现的情况.
E2：掷两颗骰子，观察出现的点数.
E3：在一批电视机中任意抽取一台，测试它的寿命.
E4：城市某一交通路口，指定一小时内的汽车流量.
E5：记录某一地区一昼夜的最高温度和最低温度.
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2、样本空间与随机事件
随机事件（简称事件）：
在随机试验中，可能发生也可能不发生的结果。
第一章 概率论的基本概念
第一节 第二节 第三节 第四节 样本空间、随机事件 概率、古典概型 条件概率、全概率公式 独立性
第一节 样本空间 随机事件
1、随机试验
在一定条件下，试验有多种可能的结果，但事 先又不能预测是哪一种结果的现象称随机现象。
概率论与数理统计是研究和揭示随机现象统计 规律性的一门基础学科。
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3、全概率公式与贝叶斯公式
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定理1.2
全概率公式
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定理1.3
贝叶斯公式
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例1.19 设某工厂有甲、乙、丙3个车间生产同一种产 品，产量依次占全厂的45%，35%，20%，且各车间的 次品率分别为4%，2%，5%，现在从一批产品中检查 出1个次品，问该次品是由哪个车间生产的可能性最大？
样本点所构成的集合。
可列个事件A1 , A2 , … , An 的积记为A1 ∩ A2 ∩ … ∩ An 或A1A2 … An ，也可简记为 在可列无穷的场合，用 。
表示事件“A1、A2 、 …诸
事件同时发生。”
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事件A发生但事件B不发生,称为事件A与事件B的差 事件。显然有：
则称A和B是互不相容的或互斥的,指事件A与B不 可能同时发生。
例1.16 设盒中有m只红球，n只白球，每次从盒中任 取一只球，看后放回，再放入k只与所取颜色相同的球.
若在盒中连取四次，试求第一次，第二次取到红球，
第三次，第四次取到白球的概率. 解 设Ri(i=1,2,3,4)表示第i次取到红球的事件， (i=1,2,3,4)表示第i次取到白球的事件.则有
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基本事件是两两互不相容的。
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6
0
A B 且A B
, 表示“A不发生”这一事件。
则称A和B互为对立事件，或称A与B互为逆事件。
事件A的逆事件记为
对于任意的事件A，B只有如下分解：
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A B
A
A B
A B
B
A
A B
A B
B
A B
A Bຫໍສະໝຸດ 令1-（1-0.2）n≥0.95,得0.8n≤0.05，可得 n≥14.
即至少需要14门高射炮才有95%以上把握击中飞机.
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2、 伯努利试验
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例1.25 设在N件产品中有M件次品，现进行n次有放 回的检查抽样，试求抽得k件次品的概率. 解 由条件，这是有放回抽样，可知每次试验是在相 同条件下重复进行，故本题符合n重贝努里试验的条 件，令A表示“抽到一件次品”的事件.则 P（A）=p=M/N, 以Pn(k)表示n次有放回抽样中，有k次出现次品的概率， 由贝努里概型计算公式，可知
解 ：设A表示“活到20岁以上”的事件，B表示“活
到25
P（A）=0.7,P(B)=0.56，且B A.
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2、乘法定理 设P(A)>0,则有
P(AB)=P(A)P(B│A)
同样,当P(B)>0时,有：
P(AB)=P(B)P(A│B)
乘法定理可推广至任意有限个事件的情形:
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由此可见，该 次品由甲车间 生产的可能性
最大.
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例1.20 由以往的临床记录，某种诊断癌症的试验具有 如下效果：被诊断者有癌症，试验反应为阳性的概率 为0.95；被诊断者没有癌症，试验反应为阴性的概率 为0.98 中患有癌症的概率为0.005，求：已知试验反应为阳性， 该被诊断者确有癌症的概率. 解 设A表示“患有癌症”， 表示“没有癌症”，B 表示“试验反应为阳性”，则由条件得
通常用大写字母A、B,…表示。
基本结果： （1）每次试验必然出现且只能出现其中一个基本 结果。 （2）任何结果，都是由其中一些基本结果组成，
每个基本结果称样本点。
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样本空间：
随机试验E的全体基本事件组成的集合。记为。
随机事件中有两个极端情况： •每次试验中都必然发生的事件，称为必然事件 。
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解 将一枚硬币抛掷三次的样本空间
Ω={HHH,HHT,HTH,THH,HTT,THT,TTH,TTT}
Ω 中包含有限个元素，且由对称性知每个基本事件发生 的可能性相同. （1） 设A表示“恰有一次出现正面”， 则 A={HTT，THT，TTH}，
故有
P（A）=3/8.
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（2） 设B表示“至少有一次出现正面”，由 ={TTT}，
分到同一班共有3种分法，其他9名学生分法总数
为 ，故由乘法原理，B包含样本总数为
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4、几何概型 若试验具有如下特征:
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例1.11 两人相约在某天下午2∶00~3∶00在预定地方见面， 先到者要等候20分钟，过时则离去.如果每人在这指定的一 小时内任一时刻到达是等可能的，求约会的两人能会到面 的概率.
A B C 或 ABC.
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第二节 概率、古典概型
1、频率