概率论与数理统计总复习 公式概念定理
概率论与数理统计公式大全
概率论与数理统计公式大全一、概率基本公式1.事件的概率：对于事件A，在随机试验中发生的次数记为n(A)，则事件A的概率为P(A)=n(A)/n，其中n为试验总次数。
2.互斥事件的概率：对于互斥事件A和B，有P(A∪B)=P(A)+P(B)。
3.事件的余事件概率：设事件A为必然事件，全集的概率为P(S)=1，事件A的余事件为A'，则有P(A')=1-P(A)。
4.条件概率：对于两个事件A和B，假设事件B已经发生，事件A发生的概率记为P(A，B)，则P(A，B)=P(A∩B)/P(B)。
二、随机变量及其概率分布1.离散型随机变量：设X是一个离散型随机变量，其概率函数为P(X=k)，其中k为X的取值，概率函数满足P(X=k)≥0，且∑P(X=k)=12. 连续型随机变量：设X是一个连续型随机变量，其概率密度函数为f(x)，概率密度函数满足f(x)≥0，且∫f(x)dx = 13. 随机变量的数学期望：对于离散型随机变量X，其数学期望为E(X) = ∑k*P(X=k)；对于连续型随机变量X，其数学期望为E(X)=∫xf(x)dx。
4. 随机变量的方差：对于离散型随机变量X，其方差为Var(X) =E(X^2) - [E(X)]^2；对于连续型随机变量X，其方差为Var(X) = E(X^2) - [E(X)]^2三、常见的概率分布1.伯努利分布：表示一次实验成败的概率分布，概率函数为P(X=k)=p^k(1-p)^(1-k)，其中0≤p≤12.二项分布：表示n次独立重复的伯努利试验中成功次数的概率分布，概率函数为P(X=k)=C(n,k)*p^k(1-p)^(n-k)，其中C(n,k)为组合数。
3. 泊松分布：表示单位时间或单位面积内发生事件次数的概率分布，概率函数为P(X=k) = (lambda^k)/(k!)*e^(-lambda)，其中lambda为平均发生率。
4.均匀分布：表示在一个区间内取值相等的概率分布，概率密度函数为f(x)=1/(b-a)，其中[a,b]为区间。
(完整)概率论核心概念及公式(全)
A B
如果同时有 A B , B A ，则称事件 A 与事件 B 等价,或称 A 等于 B：A=B。
A、B 中至少有一个发生的事件：A B，或者 A+B。
（6）事 属于 A 而不属于 B 的部分所构成的事件，称为 A 与 B 的差，记为 A-B，也可表
件的关 示为 A-AB 或者 AB ，它表示 A 发生而 B 不发生的事件.
P(X k) Pn(k) Cnk pk qnk ， 其中 q 1 p,0 p 1, k 0,1,2,, n ,
则称随机变量 X 服从参数为n ， p 的二项分布。记为
X ~ B(n, p) 。
当n 1时，P(X k) pk q1k , k 0.1，这就是（0-1）分布，
所以（0—1)分布是二项分布的特例。
和事件 B，C，…表示事件,它们是 的子集。
为必然事件，Ø 为不可能事件.
不可能事件(Ø ）的概率为零,而概率为零的事件不一定是不可能事件;同理，
必然事件（Ω）的概率为 1，而概率为 1 的事件也不一定是必然事件。
①关系：
如果事件 A 的组成部分也是事件 B 的组成部分，（A 发生必有事件 B 发生）：
(2）加 法和乘 法原理
某件事由两种方法来完成，第一种方法可由 m 种方法完成，第二种方法可由 n 种方法来完成,则这件事可由 m+n 种方法来完成。 乘法原理(两个步骤分别不能完成这件事）：m×n 某件事由两个步骤来完成，第一个步骤可由 m 种方法完成，第二个步骤可由 n
种方法来完成，则这件事可由 m×n 种方法来完成。
（3） 重复排列和非重复排列（有序）
一些常 对立事件(至少有一个）
见排列 顺序问题
（4)随 如果一个试验在相同条件下可以重复进行，而每次试验的可能结果不止一个，
概率论与数理统计公式整理
概率论与数理统计公式整理在现代数学中，概率论与数理统计是两个重要的分支。
其中概率论是研究随机事件发生的可能性或概率的科学。
而数理统计则是利用概率论的方法，对已经发生的随机事件进行统计分析和推断。
本文将整理概率论与数理统计中常用的公式。
一、基本概率公式1.概率：$P(A)=\frac{n(A)}{n(S)}$其中，$P(A)$表示事件$A$发生的概率，$n(A)$表示事件$A$所包含的基本事件的个数，$n(S)$表示所有基本事件的个数。
2.加法原理：$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$其中，$A$和$B$是两个事件，$A\cup B$表示事件$A$和事件$B$中至少有一个发生的概率，$A\cap B$表示两个事件同时发生的概率。
3.条件概率：$P(B|A)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)}$其中，$P(B|A)$表示在事件$A$发生的条件下，事件$B$发生的概率。
4.乘法定理：$P(A\cap B)=P(A)P(B|A)$其中，$P(A\cap B)$表示两个事件同时发生的概率，$P(B|A)$表示在事件$A$发生的条件下，事件$B$发生的概率。
二、概率分布1.离散随机变量的概率分布律：$\sum\limits_{i=1}^{+\infty}{p(x_i)}=1$其中，$p(x_i)$表示离散随机变量取值为$x_i$的概率。
2.连续随机变量的概率密度函数：$\int_{-\infty}^{+\infty}{f(x)}\mathrm{d}x=1$其中，$f(x)$表示连续随机变量在$x$处的概率密度。
3.数学期望：$E(x)=\sum\limits_{i=1}^{+\infty}{x_ip(x_i)}$或$E(x)=\int_{-\infty}^{+\infty}{xf(x)}\mathrm{d}x$其中，$E(x)$表示随机变量$x$的数学期望，$p(x_i)$表示$x_i$这一离散随机变量取到的带权概率。
概率论与数理统计基础知识和公式整理
第1章随机事件与概率A B=不可能同时发生，称事件A与事件互不相容或者互斥。
基本事件是互不相容的。
=且B互为逆事件，或对A BΦ，则(P B-A{ωω21,P) (2=ω1()(|)n i i P A P A B ==∑对全概率公式可以利用课堂讲解过的概率树来描述和分析。
设事件B 1,B 2,…,B n 及1(|))(|i n j j P A B P P A B ==∑此公式即为贝叶斯公式。
1=i 2n第二章随机变量及其分布第三章多维随机变量及其分布的联合分布函数。
通过全平面上的区域来形}1z-)]n第四章随机变量的数字特征第五章大数定律和中心极限定理1（数理统计部分的知识都是从样本和样本统计量出发来分析总体的属性，例如：分析已知分布中的未知参数等）第六章数理统计的基本概念与抽样分布总体有相同分布的随机变量；观察之后，样本就是nk=2,3,.()},max{n n X X =常用统计量的基本性质~X N 221)~S χ-(X-第七章 参数估计,)mA θ=),,2∧m θ 即为参数n12,,,,)(;,)m i m P X θθθθ=∏=∂法的流程。
第八章 假设检验假设检验的基本步骤如下：1. 根据实际问题,提出原假设0H 及备择假设1H ；（可确定是单侧还是双侧假设检验）2. 依据实际条件构造检验统计量；（检验统计量不含任何未知参数且分布已知）3.对于给定显著性水平α，确定检验统计量的拒绝域；（拒绝域要与0H 为真时检验统计量的趋势相反）4.将样本值或者样本统计量的值代入检验统计量的表达式计算实际值，判断是否落入拒绝域，若落入拒绝域，则否定0H ，否则接受0H 。
概率论与数理统计公式定理全总结
概率论与数理统计公式定理全总结一、概率论公式：1.基本概率公式：对于随机试验E，事件A的概率可以表示为P(A)=事件A的样本点数/所有样本点数。
2.条件概率公式：对于事件A和事件B，若P(B)>，则事件A在事件B发生的条件下的概率可以表示为P(A，B)=P(A∩B)/P(B)。
3.全概率公式：对于互不相容事件A1,A2,...,An，它们的和事件为全样本空间S，且概率P(Ai)>，则对于任意事件B有P(B)=Σ(P(Ai)×P(B，Ai))。
4.贝叶斯公式：对于互不相容事件A1,A2,...,An，它们的和事件为全样本空间S，且概率P(Ai)>，则对于任意事件B，有P(Ai，B)=(P(B，Ai)×P(Ai))/Σ(P(B，Ai)×P(Ai))。
二、数理统计公式：1.期望：随机变量X的期望E(X)=Σ(Xi×P(Xi))，其中Xi为随机变量X的取值，P(Xi)为随机变量X取值为Xi的概率。
2. 方差：随机变量X的方差Var(X) = Σ((Xi - E(X))^2 ×P(Xi))，其中Xi为随机变量X的取值，E(X)为随机变量X的期望，P(Xi)为随机变量X取值为Xi的概率。
3. 协方差：随机变量X和Y的协方差Cov(X,Y) = E((X - E(X))(Y - E(Y)))，其中E(X)和E(Y)分别为随机变量X和Y的期望。
4. 相关系数：随机变量X和Y的相关系数ρ(X,Y) = Cov(X,Y) / √(Var(X) × Var(Y))，其中Cov(X,Y)为随机变量X和Y的协方差，Var(X)和Var(Y)分别为随机变量X和Y的方差。
三、概率论与数理统计定理：1.大数定律：对于独立同分布的随机变量X1,X2,...,Xn，它们的均值X̄=(X1+X2+...+Xn)/n，当n趋向于无穷大时，X̄趋向于X的期望E(X)。
概率论与数理统计总复习知识点归纳
概率论与数理统计总复习知识点归纳1.概率论的基础概念-随机事件、样本空间和事件的关系。
-频率和概率的关系，概率的基本性质。
-古典概型和几何概型的概念。
-条件概率和乘法定理。
-全概率公式和贝叶斯公式。
-随机变量和概率分布函数的概念。
-离散型随机变量和连续型随机变量的定义、概率质量函数和概率密度函数的性质。
2.随机变量的数字特征-随机变量的数学期望、方差、标准差和切比雪夫不等式。
-协方差、相关系数和线性变换的数学期望和方差公式。
-两个随机变量的和、差、积的数学期望和方差公式。
3.大数定律和中心极限定理-大数定律的概念和三级强大数定律。
-中心极限定理的概念和中心极限定理的两种形式。
4.数理统计的基本概念和方法-总体、样本和抽样方法的概念。
-样本统计量和抽样分布的概念。
-点估计和区间估计的概念。
-假设检验的基本思想和步骤。
-正态总体的参数的假设检验和区间估计。
5.参数估计和假设检验的方法和推广-极大似然估计的原理和方法。
-矩估计的原理和方法。
-最小二乘估计的原理和方法。
-一般参数的假设检验和区间估计。
6.相关分析和回归分析-相关系数和线性相关的概念和性质。
-回归分析的一般原理。
-简单线性回归的估计和检验。
7.非参数统计方法-秩和检验和符号检验的基本思想和应用。
-秩相关系数的计算和检验。
8.分布拟合检验和贝叶斯统计-卡方拟合检验的原理和方法。
-正态总体参数的拟合优度检验。
-贝叶斯估计的基本思想和方法。
9.时间序列分析和质量控制-时间序列的基本性质和分析方法。
-时间序列预测的方法和模型。
-质量控制的基本概念和控制图的应用。
以上是概率论与数理统计总复习知识点的归纳，希望对你的复习有所帮助。
概率论与数理统计完整公式以及各知识点梳理【精选】
P( A1 A2 … An ) P( A1) P( A2 | A1) P( A3 | A1 A2) …… P( An | A1 A2 …
An 1) 。
①两个事件的独立性 设事件 A 、B 满足 P( AB) P( A) P( B) ， 则称事件 A 、B 是相互独立的。 若事件 A 、 B 相互独立，且 P( A) 0 ，则有
概率论与数理统计完整版公式 第1章
n Pm
随机事件及其概率
从 m 个人中挑出 n 个人进行排列的可能数。
（1）排列 组合公式
n Cm
m! (m n)!
m! 从 m 个人中挑出 n 个人进行组合的可能数。 n!(m n)!
（2）加法 和乘法原 理
加法原理（两种方法均能完成此事） ：m+n 某件事由两种方法来完成，第一种方法可由 m 种方法完成，第二种方法可由 n 种方法来完成，则这件事可由 m+n 种方法来完成。 乘法原理（两个步骤分别不能完成这件事） ：m×n 某件事由两个步骤来完成，第一个步骤可由 m 种方法完成，第二个步骤可由 n 种方法来完成，则这件事可由 m×n 种方法来完成。 重复排列和非重复排列（有序） 对立事件（至少有一个） 顺序问题 如果一个试验在相同条件下可以重复进行，而每次试验的可能结果不止一个， 但在进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果，则称这种试验为随机试 验。 试验的可能结果称为随机事件。 在一个试验下，不管事件有多少个，总可以从其中找出这样一组事件，它具有 如下性质： ①每进行一次试验，必须发生且只能发生这一组中的一个事件； ②任何事件，都是由这一组中的部分事件组成的。 这样一组事件中的每一个事件称为基本事件，用 来表示。 基本事件的全体，称为试验的样本空间，用 表示。 一个事件就是由 中的部分点（基本事件 ）组成的集合。通常用大写字母 A，B，C，…表示事件，它们是 的子集。 为必然事件，Ø 为不可能事件。 不可能事件（Ø）的概率为零，而概率为零的事件不一定是不可能事件；同理， 必然事件（Ω ）的概率为 1，而概率为 1 的事件也不一定是必然事件。 ①关系： 如果事件 A 的组成部分也是事件 B 的组成部分， （A 发生必有事件 B 发生） ：
概率论与数理统计公式总结(湖南大学)
2.设 的 和 两个样本，则有：
(1)
5.相关性
对于随机变量X,Y下列结论是等价的：
(1)X与Y不相关 (3)ρ=0 (5)D(X Y)=D(X)+D(Y)
(2)Cov(X,Y)=0 (4)E(XY)=E(X)E(Y)
X,Y相互独立可以推出上述五个结论。
※切比雪夫不等式
表明：对于任意正数ε，当随机变量X的方差越小时，事件 的概率越小，其对立面概率越大。
则
定理(2)X Y相互独立，g(x)和h(y)是两个一元连续函数，则g(X)和h(Y)也相互独立。
定理(3) 则 。且 只差一个常数因子。
(重点)※期望与方差的性质
1期望的性质
(1)一维的：
若Y=g(X),
二维的：
若Z=g(X,Y),
(2)性质：E(C)=C E(CX)=CE(X) (C为常数)
E(X+Y)=E(X)+E(Y)
3.边缘概率密度函数
4.二维正态分布(还是看一下会比较好)
(1)二维正态分布中X,Y相互独立的充要条件是参数ρ（相关系数）=0
※连续型随机变量之和的分布
1.一般地：
卷积公式：
2.其他分布
(1)瑞利分布: X, Y均服从N(0， )则 的概率密度为
(2)Max与Min 分布：（自己推广到n个变量的情况）
(3)若X,Y独立，则Cov(X,Y)=0
(4)Cov(aX,bY)=abCov(X,Y)
(5)Cov( )=Cov( Y)+Cov( )
3.标准化随机变量
4.相关系数
也可写做为X,Y的标准化协随机变量的协方差
性质：(1)
(2)|ρ|=1的充要条件，存在常数a，b(b不等于0)，使P{Y=a+bX}=1即X,Y以概率1线性相关。
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概率论与数理统计总复习第一章 概率论的基本概念 1. 事件的关系及运算互不相容事件：AB =Φ 即A,B 不能同时发生。
对立事件：A B =Ω且AB =Φ 即A B B ==Ω-差事件：A B - 即 A 发生但B 不发生的事件切记：()A B AB A AB AB B -==-=-2. 概率的性质 单调性：若BA ⊂，则)()()(A P B P A B P -=-加法定理：)()()()(AB P B P A P B A P -+=)()()()()(AB P C P B P A P C B A P -++=)()()(ABC P CA P BC P +--例1 设,,()0.7,()0.4,A C B C P A P A C ⊃⊃=-= ()0.5P AB =，求()P AB C -。
解：()()()P A C P A P AC -=-()()P A P C =- （AC C =）故 ()()()0.70.40.3P C P A P A C =--=-=由此 ()()()P AB C P AB P ABC -=-()()P AB P C =- （ABC C =）0.50.30.2=-=注：求事件的概率严禁画文氏图说明，一定要用概率的性质计算。
3. 条件概率与三个重要公式 乘法公式全概率公式1()()(/)ni i i P A P B P A B ==∑贝叶斯公式（求事后概率）例2、（10分）盒中有6个新乒乓球，每次比赛从其中任取两个球来用，赛后仍放回盒中，求第三次取得两个新球的概率。
解：设A i ——第2次摸出i 个新球(i =0,1,2), B ——第3次摸出两个新球∵ A 0，A 1，A 2构成Ω的一个划分 ∴ 由全概率公式 其中故;)/()()(A B P A P AB P =()(/)(/)()i i i P B P A B P B A P A =2()()(|)kkk P B P A P B A ==∑201102244224012222666186(),()()151515C C C C C C P A P A P A C C C ======202002334242012222666631(|)(|)(|)151515C C C C C C P B A P B A P B A C C C ======4()0.1625P B ==4. 事件的独立性A 与B 独立→P (AB )=P (A )P (B ) → P (B/A )= P (B )A 与B 互不相容→ AB=φ→ P (A ∪B )=P (A )+P (B )注：n （>2）个事件两两独立与相互独立的区别！例3若A 与B 独立，且A 与B 互不相容，则P (A )P (B )=____第二、三章 随机变量及其分布1. 5中常见分布及其对应模型和相互关系；2. 联合分布函数、边缘分布函数、联合分布律、边缘分布律、联合概率密度、边缘概率密度之间的关系；3. 随机变量落在某区间（域）的概率 ()(),()()x X X x P X x f t dt P X x f t dt +∞-∞≤=≥=⎰⎰5.随机变量函数的分布1） 公式法{(,)}(,)GP X Y G f x y d σ∈=⎰⎰()(,)()()()(,)()()X Y i i X Y X Y X Y P X Y k P X i Y k i P X i p Y k i f z f x z x dx f x f z x dx +∞+∞+-∞-∞⎧+====-===-⎪⎪⎨⎪=-=-⎪⎩∑∑⎰⎰与独立与独立[()](),()0,X Y f h y h y y f y αβ'⎧⋅<<=⎨⎩其他()()()y g x X x h y f x ==⇒2） 分布函数法注意画图分段讨论 6.随机变量的独立性 若 X 、Y 相互独立⇔ ⇔(,)()()X Y F x y F x F y =试考虑其它等价条件注：若 X 、Y 相互独立()()()E XY E X E Y ⇒= 反之不成立。
见习题四 21例4 设X,Y 联合概率密度如下，问它们是否相互独立8,01(,)0,xy x y f x y ≤≤≤⎧=⎨⎩其它 解：X,Y 的边缘概率密度为1284(1),01f ()(,)0x X xydy x x x x f x y dy +∞-∞⎧=-≤≤⎪==⎨⎪⎩⎰⎰其它同理(){(,)}Z F z P g X Y z =≤⇒()()Z Z f z F z '={,}{}{}P X x Y y P X x P Y y ≤≤=≤≤30Y 84,01f ()(,)0yxydx y y y f x y dx +∞-∞⎧=≤≤⎪==⎨⎪⎩⎰⎰其它显然(,)()()X Y f x y f x f y ≠ 故不相互独立 例5设随机变量X 与Y 相互独立, 其概率密度分别为求随机变量Z=X+Y 的概率密度函数f Z (z ).解其中D 如图，则1,01,()0,X x f x ≤≤⎧=⎨⎩其他.2,01,()0,Y y y f y ≤≤⎧=⎨⎩其他.()()()Z X Y f z f x f z x dx+∞-∞=-⎰01(,)01x D x z z x ⎧⎫≤≤⎪⎪=⎨⎬≤-≤⎪⎪⎩⎭201210,02,()2(),01,2()2,1 2.z Z z z z f z z x dx z z z x dx z z z -⎧<>⎪⎪⎪=-=≤≤⎨⎪⎪-=-≤≤⎪⎩⎰⎰或第四章随机变脸的数字特征1. 期望与方差的意义期望：随机变量取值的集中点；方差：随机变量取值离集中点的偏离程度2. 熟记5种常见分布的期望与方差3. 随机变量的函数的期望（定理4.1.1，定理）4. 利用期望与方差的性质求期望与方差（涉及随机变量的分解）例6民航机场的送客汽车载有20名乘客，从机场开出，乘客可以在10个车站下车，如果到达某一站时无顾客下车，则不停车，设随机变量X表示停车次数，假定每个乘客在各站下车都是等可能的，求平均停车次数。
解：设i X 为汽车在第(1,2,,10)i i =站停车次数，则1,0i X ⎧=⎨⎩该站有乘客下车，无乘客下车 因每个乘客在每站下车等可能，故2020209(i ){0}10i P P X ====第站无人下车（0.9） 所以2020X (1,1(0.9)),(X )1(0.9)i i B E -=-，而110X X X =++故201()()10[1(0.9)]n i i E X E X ===-∑ 5.协方差的计算与相关系数的实际意义 1）随机变量相互独立则他们不相关2）对二维正态随机变量，不相关等价于相互独立 例，随机变量X, Y 均是正态随机变量，他们不相关，问 他们时候独立。
6．多维正态随机变量的性质(P118)解 令 U =X +Y, V=X －Y(1) E(U )= E(X)+E(Y )=3μ； D(U )= D(X)+D (Y )=2σ2；E(V )= E(X ) － E(Y )=μ；D(V )= D(X ) + D(Y )=2σ2故（2）E [(X +Y ) (X －Y )]= E(X 2 )－E(Y 2 ) = D (X ) +E (X ) 2 －D (Y )－E (Y )2 = 3μ2例， 且相互独立.(1)写出随机变量(X +Y )与(X －Y )的概率密度 (2)求随机变量(X +Y )与(X －Y )的相关系数ρ；(3)随机变量(X +Y )与(X －Y )是否相互独立),2(~2σμN X ),(~2σμNY 2222(3)(3)22411(),z z U f z eez Rμμσσ----⨯==∈2222()()22411(),z z V f z eez Rμμσσ----⨯==∈()()()0UVE UV E U E V ρρ-===1111U X V Y ⎛⎫⎡⎤⎛⎫= ⎪ ⎪⎢⎥-⎝⎭⎣⎦⎝⎭因为Ｘ,Ｙ是相互独立的正态分布，所以(X ,Y )是二维正态分布，从而(U ,V )也是二维正态分布.由二维正态分布的性质和(2)，可知X +Y 与X -Y 相互独立． 例（习题四，21）设随机变量22(,)(1,3;0,4;1/2)X Y N -，设32X YZ =+，试求（1) Z 的数学期望与方差； （2) X 与Z 的相关系数XZ ρ； （3) 问X 与Z 是否相互独立。
解：（1）111()()()()32323X Y E Z E E X E Y =+=+=11()()()()53294X Y D Z D D X D Y =+=+=（2）1cov(,)*3*462XYX Y ρ==-=-而cov(,)cov(,)3211()cov(,)032X YX Z X D X X Y =+=+= 故0XZ ρ=（3）因（X,Y ）是二维正态随机变量，X, Z 均是X,Y 的线性组合，故(X,Z)也是二维正态随机变量，而他们不相关 故独立。
第五章1. 切比雪夫不等式：注：切比雪夫不等式只能粗略估计概率，一般除题目特殊说明不能使用。
2.中心极限定理注意是极限运算，要注意打不等号例 随机抽查验收产品, 如果在一批产品中查出10个以上的次品, 则拒绝接收.问至少检查多少个产品, 能保证次品率为 10%的一批产品被拒收的概率不低于解 设检查的产品数为 n , 查出的次品数为X , 则X ~2{|)| }D X P XE X εε-≥≤()(2{|| } 1.D X P X E X εε-<≥-()()或者1221()()()n n k k X E X P x x x x ⎧⎫-⎪⎪⎪⎪≤<≈Φ-Φ⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎩⎭∑∑B ( n , , 按题意, 有P { 10＜X ≤n }≥由棣莫佛 - 拉普拉斯中心极限定理, 有 P { 10＜X ≤n }于是故即求解得 n ≥ 或 n ≤－，所以至少取 n = 147 能够保证要求.0.1100.1n n n --≈Φ-Φ100.1n -=Φ-Φ100.1{10}1n P X n -<≤≈-Φ0.110()n -=Φ0.1100.9n -Φ≥0.110 1.28n -≥。