八年级几何之动点问题

八年级几何之动点问题中考数学动点几何问题动点求最值：例1：在正方形ABCD中，面积为12，△ABE是等边三角形，点E在正方形内，在对角线AC上有一动点P，使PD+PE的值最小，则其最小值是多少？例2：在直角梯形中，AD∥BC，AB⊥BC，AD=2，BC=DC=5，点P在BC上移动，当PA+PD取得最小值时，△APD中AP边上的高为多少？一定两动型：例3：在锐角△ABC中，AB=4√2，∠BAC=45°，∠BAC 的平分线交BC于点D，M、N分别是AD、AB上的动点，则BM+MN的最小值是多少？例4：在正方形ABCD中，边长为2，E为AB的中点，P 是AC上的一动点，连接BP，EP，则PB+PE的最小值是多少？例5：在⊙O的半径为2的圆上，点A、B、C满足OA⊥OB，∠AOC=60°，P是OB上的一动点，PA+PC的最小值是多少？例6：在∠AOB=45°的情况下，P是∠AOB内一点，PO=10，Q、R分别是OA、OB上的动点，求△PQR周长的最小值是多少？例7：在△ABC中，∠B=60°，BA=24cm，BC=16cm，(1)求△ABC的面积；(2)现有动点P从A点出发，沿射线AB向点B方向运动，动点Q从C点出发，沿射线CB也向点B方向运动，如果点P的速度是4cm/s，点Q的速度是2cm/s，它们同时出发，△PBQ的面积是△ABC的面积的一半；(3)在第（2）问题前提下，P、Q两点之间的距离是多少？例8：在梯形ABCD中，DC∥AB，A=90°，AD=6cm，DC=4cm，BC的坡度i=3∶4，动点P从A出发以2cm/s的速度沿AB方向向点B运动，动点Q从点B出发以3cm/s的速度沿B→C→D方向向点D运动，两个动点同时出发，当其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止．设动点运动的时间为t秒．（1）求边BC的长；（2）当t为何值时，PC与BQ相互平分；（3）连结PQ，设△PBQ的面积为y，求y与t 的函数关系式，求t为何值时，y有最大值？例9、在直角三角形$ABC$中，$\angle ACB=90^\circ$，$\angle B=60^\circ$，$BC=2$。

点$O$是$AC$的中点，过点$O$的直线$l$从与$AC$重合的位置开始，绕点$O$作逆时针旋转，交$AB$边于点$D$。

过点$C$作$CE\parallel AB$交直线$l$于点$E$，设直线$l$的旋转角为$\alpha$。

1）当$\alpha=60^\circ$时，四边形$EDBC$是等腰梯形，此时$AD$的长为多少？2）当$\alpha=30^\circ$时，四边形$EDBC$是直角梯形，此时$AD$的长为多少？3）当$\alpha=90^\circ$时，判断四边形$EDBC$是否为菱形，并说明理由。

例10、在等腰梯形$ABCD$中，$AD\parallel BC$，$E$是$AB$的中点，过点$E$作$EF\parallel BC$交$CD$于点$F$。

$AB=4$，$BC=6$，$\angle B=60^\circ$。

1）求点$E$到$BC$的距离；2）点$P$为线段$EF$上的一个动点，过$P$作$PM\perp EF$交$BC$于点$M$，过$M$作$MN\parallel AB$交折线$ADC$于点$N$，连结$PN$，设$EP=x$。

①当点$N$在线段$AD$上时，$\triangle PMN$的形状是否发生改变？若不变，求出$\triangle PMN$的周长；若改变，请说明理由；②当点$N$在线段$DC$上时，是否存在点$P$，使$\triangle PMN$为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的$x$的值；若不存在，请说明理由。

例11、数学课上，___出示了问题：如图，四边形$ABCD$是正方形，点$E$是边$BC$的中点。

$\angleAEF=90^\circ$，且$EF$交正方形外角$\angle DCG$的平分线$CF$于点$F$，求证：$AE=EF$。

经过思考，___展示了一种正确的解题思路：取$AB$的中点$M$，连接$ME$，则$AM=EC$，易证$\triangle AME\cong\triangle ECF$，所以___在此基础上，同学们作了进一步的研究：1）___提出：如果把“点$E$是边$BC$的中点”改为“点$E$是边$BC$上（除$B$，$C$外）的任意一点”，其它条件不变，那么结论“$AE=EF$”仍然成立，你认为___的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由；2）___提出：点$E$是$BC$的延长线上（除$C$点外）的任意一点，其他条件不变，结论“$AE=EF$”仍然成立。

你认为___的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由。

如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，BC=53，∠C=30°。

点D从点C出发沿CA方向以每秒2个单位长的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动。

设点D、E运动的时间是t秒（t＞0）。

过点D作DF⊥BC于点F，连接DE、EF。

1）证明：AE=DF。

解析：由于∠C=30°，所以___。

又因为∠B=90°，所以△ABC为等腰直角三角形，AB=AC=BC/√3=53/√3.设DF=x，则AF=AC-x=53/√3-x，由于△ADE与△ABC相似，所以AE/AB=AD/AC，即AE/(53/√3)=t×2/AC，解得AE=106t/53√3.又因为△DEF为等腰直角三角形，所以DF=DE=AE/√2，代入可得x=53t/106.2）能否构成菱形？若能，求出相应的t值；若不能，说明理由。

解析：四边形AEFD能够成为菱形，当且仅当AE=ED，即106t/53√3=53t/106，解得t=3√3.3）当t为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由。

解析：由于△DEF为等腰直角三角形，所以只需证明∠EDF=90°。

设∠DEF=α，则∠FED=45°-α/2，∠FDC=30°+α/2，∠EDC=180°-∠___-∠FED=105°-α/2.又因为△EDC为等腰三角形，所以∠DEC=105°-α/2，即∠DEF+∠FED+∠DEC=180°，解得α=30°。

所以当t=2/√3时，△DEF为直角三角形。

如图，已知△ABC中，AB=AC=10厘米，BC=8厘米，点D为AB的中点。

1）如果点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动。

点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由。

解析：由于△BPD与△CQP均为直角三角形，只需证明BP=CQ即可。

设BP=x，则PC=8-x，AQ=10-x。

由于点Q的运动速度与点P的运动速度相等，所以PQ平行于AB且PQ=2BP=2x。

由于△ABC为等腰三角形，所以AD=BC/2=4.由于点P运动了1秒，所以PD=3.根据勾股定理可得x=3，所以BP=3，CQ=5，BP=CQ，因此△BPD与△CQP全等。

2）若Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当Q的运动速度为多少时，使△BPD与△CQP全等？解析：设点Q的运动速度为v，则PQ平行于AB且PQ=2BP=6.由于点P、Q分别从B、C出发，所以BP=3，CQ=5-v，由勾股定理可得PD=3，QC=√(8^2+(5-v)^2)，因为△BPD与△CQP全等，所以BP=CQ，解得v=1.如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90º，AB＝12cm，AD＝8cm，BC＝22cm，AB为⊙O的直径，动点P从点A开始沿AD边向点D以1cm/s的速度运动，动点Q 从点C开始沿CB边向点B以2cm/s的速度运动，P、Q分别从点A、C同时出发，当其中一点到达所在运动边的另一个端点时，运动即停止．设运动时间为t(s)．1）当t为何值时，四边形PQCD为平行四边形？解析：设DP=x，则PC=22-x，AQ=12-x。

由于P、Q分别从A、C同时出发，所以PQ平行于AD且PQ=2DP=2x。

由于AB为⊙O的直径，所以∠AOC=90°，所以△ABC为等腰直角三角形，AC=BC/√2=11√2.根据勾股定理可得AD=10，BD=√204.由于点P、Q分别从A、C出发，所以AP=8-x，CQ=√(204+(22-x)^2)，因为四边形PQCD为平行四边形，所以AP=CQ，解得x=3.2）当t为何值时，PQ与⊙O相切？解析：设DP=x，则PC=22-x，AQ=12-x。

由于P、Q分别从A、C同时出发，所以PQ平行于AD且PQ=2DP=2x。

由于AB为⊙O的直径，所以∠AOC=90°，所以△ABC为等腰直角三角形，AC=BC/√2=11√2.根据勾股定理可得AD=10，BD=√204.由于点P、Q分别从A、C出发，所以AP=8-x，CQ=√(204+(22-x)^2)，因为PQ与⊙O相切，所以AP=CQ且AP+PC=AC，解得x=4.一个平行四边形？若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由。

已知RtΔABC中，∠C=90°，AC=4cm，BC=3cm。

点P由B出发沿BA方向向点A匀速运动，速度为1cm/s；点Q由A出发沿AC方向向点C匀速运动，速度为2cm/s。

连接PQ。

假设运动的时间为t（s）（0<t<2），解答以下问题：1) 当PQ∥BC时，t为何值？2) 设ΔAQP的面积为y（cm²），求y与t之间的函数关系式。

3) 是否存在某一时刻t，使线段PQ恰好平分RtΔABC的周长和面积？若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由。

4) 如图②，连接PC，并把ΔPQC沿QC翻折，得到四边形PQP′C。

是否存在某一时刻t，使四边形PQP′C为一个平行四边形？若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由。

注：已删除明显有问题的段落，未改写每段话。