抛物线中平行四边形存在性问题习题
中考数学抛物线与平行四边形题+答案
1、如图，抛物线y=x 2+bx+c 的顶点为D （﹣1，﹣4），与y 轴交于点C （0，﹣3），与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧）．（1）求抛物线的解析式；（2）连接AC ，CD ，AD ，试证明△ACD 为直角三角形； （3）若点E 在抛物线的对称轴上，抛物线上是否存在点F ，使以A ，B ，E ，F 为顶点的的四边形为平行四边形？若存在，求出所有满足条件的点F 的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）由题意得，解得：b=2，c=﹣3，则解析式为：y=x 2+2x ﹣3；（2）由题意结合图形则解析式为：y=x 2+2x ﹣3， 解得x=1或x=﹣3， 由题意点A （﹣3，0）， ∴AC=，CD=，AD=，由AC 2+CD 2=AD 2，所以△ACD 为直角三角形； (3)123(1,4),(3,12),(5,12)F F F --- 2、如图，直角梯形OABC 中，AB ∥OC ，顶点A 的坐标为（4，0），腰BC 所在直线的解析式为y ＝－14x ＋3．（1）求顶点B 的坐标；（2）直线l 经过点C ，与直线AB 交于点E ，点O 关于直线l 的对称点为O ′，连接CO ′并延长交直线AB 于第一象限的点D ，当CD ＝5时，求直线l 的解析式；（3）在（2）的条件下，设点P 是直线l 上的动点，点Q 是直线OD 上的动点，以P 、Q 、B 、C 为顶点的四边形能否成为平行四边形？如果能，求出点P 的坐标；如果不能，说明理由．解：（1）∵直角梯形OABC 中，AB ∥OC ，顶点A 的坐标为（4，0）∴∠OAB ＝∠AOC ＝90°，点C 在y 轴上 又∵A （4，0），∴点B 的横坐标为4 把x ＝4代入y ＝－14x ＋3中，得y ＝2∴B （4，2） ····································································· 3分 （2）如图1，过C 作CF ⊥DA 于F由y ＝－14x ＋3，点C 在y 轴上，得C （0，3） ∵AB ∥OC ，∴∠OCE ＝∠DEC∵点O ′和点O 关于直线l 对称，∴∠DCE ＝∠OCE ∴∠DCE ＝∠DEC ，∴ DE ＝DC ＝5∵y ＝－14x ＋3，当x ＝0时，y ＝3，∴OC ＝AF ＝3 ∵CF ＝OA ＝4，∴DF ＝DC 2－CF 2＝3 ∴FE ＝DE －DF ＝2，AE ＝AF －FE ＝1 ∴E （4，1）设直线l 的解析式为y ＝kx ＋b ，把C 、E 两点坐标代入得⎩⎪⎨⎪⎧3＝b1＝4k ＋b 解得：⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－12b ＝3∴直线l 的解析式为y ＝－12x ＋3 ················································（3）∵DA ＝DE ＋AE ＝6，∴D （4，6）易得直线OD 的解析式为y ＝32x ①当BC 为边时，设P （x ，－12x ＋3）i ）如图2，∵B （4，2），C （0，3），∴Q （x －4，－12x ＋4） ∵Q 在直线OD 上，∴－12x ＋4＝32(x －4)，∴x ＝5∴P 1（5，12） ···································································· 9分 ii ）如图3，则Q （x ＋4，－12x ＋2）∵Q 在直线OD 上，∴－12x ＋2＝32(x ＋4)，∴x ＝－2∴P 2（－2，4） ·································································································· 10分②当BC 为对角线时，如图4，设P （a ，－12a ＋3），Q （b ，32b ），则：⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝4－12a ＋3＋32b ＝5 解得：⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2b ＝2 ∴P 3（2，2） ······································································································ 11分 综上，以P 、Q 、B 、C 为顶点的四边形能成为平行四边形，点P 的坐标为：P 1（5，12），P 2（－2，4），P 3（2，2） ··························································· 12分3、如图，抛物线y ＝13x 2－mx ＋n 与x 轴交于A 、B 两点（A 在B 的左侧），与y 轴交于点C （0．－1），且对称抽为x ＝l ． （1）求出抛物线的解析式及A 、B 两点的坐标；（2）在x 轴下方的抛物线上是否存在点D ，使四边形ABDC 的面积为3，若存在，求出点D 的坐标；若不存在，说明理由（使用图1）；（3）点Q 在y 轴上，点P 在抛物线上，要使Q 、P 、A 、B 为顶点的四边形是平行四边形，请求出所有满足条件的点P 的坐标（使用图2）．解：（1）∵抛物线与y 轴交于点C （0．－1），且对称抽为x ＝l∴⎩⎨⎧n ＝－1－－m 2×13＝1∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝23n ＝－1∴抛物线的解析式为y ＝13x 2－23x －1 ·························· 2分 令13x 2－23x －1＝0，得：x 1＝－1，x 2＝3∴A （－1，0），B （3，0） ·········································· 4分（2）设在x 轴下方的抛物线上存在点D （x ，13x 2－23x －1）（0＜x ＜3），使四边形ABDC 的面积为3，过D 作DH ⊥AB 轴于H则S 四边形ABDC ＝S △AOC ＋S 梯形OCDH ＋S △BHD ＝12×1×1＋12[1－(13x 2－23x －1)]＋12(3－x )[－(13x 2－23x －1)]＝－12x 2＋32x ＋2由－12x 2＋32x ＋2＝3，解得：x 1＝1，x 2＝2当x ＝1时，13x 2－23x －1＝43；当x ＝2时，13x 2－23x －1＝－1图1图2∴D 1（1，43），D 2（2，－1） ·············································································· 8分 （3）①当AB 为边时，只要PQ ∥AB ，且PQ ＝AB ＝4即可又知点Q 在y 轴上，所以点P 的横坐标为4或－4，这时，符合条件的点P 有两个当x ＝－4时，y ＝7；当x ＝4时，y ＝53∴P 1（－4，7），P 2（4，53） ············································································· 10分②当AB 为对角线时，只要线段PQ 与线段AB 互相平分即可 又知点Q 在y 轴上，且线段AB 中点的横坐标为1 所以点P 的横坐标为2，这时，符合条件的点P 只有一个 当x ＝2时，y ＝－1 ∴P 3（2，－1）综上，满足条件的点P 有三个，其坐标分别为：P 1（－4，7），P 2（4，53），P 3（2，－1） ···················· 12分4．已知抛物线y ＝12x 2－mx ＋2m －72．（1）试说明：无论m 为何实数，该抛物线与x 轴总有两个不同的交点；（2）如图，当该抛物线的对称轴为直线x ＝3时，抛物线的顶点为点C ，直线y ＝x －1与抛物线交于A 、B 两点，并与它的对称轴交于点D ．①抛物线上是否存在一点P 使得四边形ACPD 是正方形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由；②平移直线CD ，交直线AB 于点M ，交抛物线于点N ，通过怎样的平移能使得C 、D 、M 、N 为顶点的四边形是平行四边形．解：（1）∵y ＝12x 2－mx ＋2m －72∴△＝(－m )2－4×12×(2m －72)＝m 2－4m ＋7＝(m －2)2＋3＞0 ∴无论m 为何实数，该抛物线与x 轴总有两个不同的交点 （2）①∵抛物线的对称轴为直线x ＝3∴－－m2×12＝3，∴m ＝3 ∴抛物线的解析式为y ＝12x 2－3x ＋52＝12(x －3)2－2 ∴顶点C 坐标为（3，－2）解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －1y ＝12x 2－3x ＋52得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝1y 1＝0⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝7y 2＝6 ∴A （1，0）∵当x ＝3时，y ＝x －1＝3－1＝2，∴D （3，2）设抛物线的对称轴与x 轴的交点为E ，抛物线与x 轴的另一交点为P 则E （3，0），P （5，0）∴AE ＝PE ＝DE ＝CE ＝2，又DC ⊥AP ∴四边形ACPD 是正方形 ∴点P （5，0）即为所求②（Ⅰ）设直线CD 向右平移n 个单位（n ＞0）能使得C 、D 、M 、N 为顶点的四边形是平行四边形 则直线MN 的解析式为x ＝3＋n∴M （3＋n ，2＋n ），N （3＋n ，12n 2－2）∵D （3，2），C （3，－2），∴DC ＝4i ）当M 在N 上方时，MN ＝2＋n －(12n 2－2)＝－12n 2＋n ＋4∵MN ＝DC ，∴－12n 2＋n ＋4＝4 解得n 1＝0（舍去），n 2＝2∴直线CD 向右平移2个单位能使得四边形CDMN 是平行四边形ii ）当M 在N 下方时，NM ＝12n 2－2－(2＋n )＝12n 2－n －4∵NM ＝DC ，∴12n 2－n －4＝4解得n 1＝1－17（舍去），n 2＝1＋17∴直线CD 向右平移(1＋17)个单位能使得四边形CDNM 是平行四边形（Ⅱ）设直线CD 向左平移n 个单位（n ＞0）能使得C 、D 、M 、N 为顶点的四边形是平行四边形 则直线MN 的解析式为x ＝3－n∴M （3－n ，2－n ），N （3－n ，12n 2－2）i ）当M 在N 上方时，MN ＝2－n －(12n 2－2)＝－12n 2－n ＋4∵MN ＝DC ，∴－12n 2－n ＋4＝4解得n 1＝0（舍去），n 2＝－2（舍去）ii ）当M 在N 下方时，NM ＝12n 2－2－(2－n )＝12n 2＋n －4∵NM ＝DC ，∴12n 2＋n －4＝4解得n 1＝－1＋17，n 2＝－1－17（舍去）∴直线CD 向左平移(－1＋17)个单位能使得四边形CDNM 是平行四边形综上所述，直线CD 向右平移2或(1＋17)个单位或向左平移(－1＋17)个单位，能使得C 、D 、M 、N 为顶点的四边形是平行四边形。
初三数学二次函数专题平行四边形存在性问题-
【详解】
解：（1）由题意得抛物线 与x轴交于点A，B两点（A在B的左侧）与y轴交于点C，
∴当y=0时，
即（x+3）（1-x）=0
解得x1=-3，x2=1，
∴A的坐标为（-3，0），B的坐标为（1，0），
∴△BD B 是等腰直角三角形，
∴yD = |BB |，
∴ = （t-1），
解得t=3，
∴B （3，0），
∴y2=-x2+4x-3；
（3）①若Q在B 右边，则P在x轴上方，且CP∥B Q，
∴yP=yC=3，
此时P不在两条抛物线上，不符合题意舍去；
②若Q在B 左边，
当B Q为边时，则CP∥B Q，
此时yP=yC=3，P点在y1上，
当t=﹣ = 时，PM最长为 = ，再利用三角形的面积公式利用S△ABM=S△BPM+S△APM计算即可；
（3）由PM∥OB，根据平行四边形的判定得到当PM=OB时，点P、M、B、O为顶点的四边形为平行四边形，然后讨论：当P在第四象限：PM=OB=3，PM最长时只有 ，所以不可能；当P在第一象限：PM=OB=3，（t2﹣2t﹣3）﹣（t﹣3）=3；当P在第三象限：PM=OB=3，t2﹣3t=3，分别解一元二次方程即可得到满足条件的t的值．
（1）求抛物线的解析式．
（2）抛物线的顶点M与对称轴l上的点N关于x轴对称，直线AN交抛物线于点D，直线BE交AD于点E，若直线BE将△ABD的面积分为1：2两部分，求点E的坐标．
（3）P为抛物线上的一动点，Q为对称轴上动点，抛物线上是否存在一点P，使A、D、P、Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．Байду номын сангаас
九年级数学抛物线中平行四边形存在性问题习题
抛物线中平行四边形存在性问题习题1.如图2-1，在平面直角坐标系中，已知抛物线y ＝－x 2+2x ＋3与x 轴交于A 、B 两点，点M 在这条抛物线上，点P 在y 轴上，如果以点P 、M 、A 、B 为顶点的四边形是平行四边形，求点M 的坐标．2.（2019·内蒙古中考真题）已知，如图，抛物线2(0)y ax bx c a =++≠的顶点为(1,9)M ，经过抛物线上的两点(3,7)A --和(3,)B m 的直线交抛物线的对称轴于点C ．（1）求抛物线的解析式和直线AB 的解析式．（2）若点P 在抛物线上，点Q 在x 轴上，当以点,,,A M P Q 为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出满足条件的点P 的坐标．3.（2019·广西中考真题）如图，已知抛物线2y ax bx c =++的顶点为()4,3A ，与y 轴相交于点()0,5B -，对称轴为直线l ，点M 是线段AB 的中点.（1）求抛物线的表达式；（2）写出点M 的坐标并求直线AB 的表达式；（3）设动点P ，Q 分别在抛物线和对称轴l 上，当以A ，P ，Q ，M 为顶点的四边形是平行四边形时，求P ，Q 两点的坐标.4.（2019·甘肃中考真题）如图，已知二次函数y ＝x 2+bx+c 的图象与x 轴交于点A （1，0）、B （3，0），与y 轴交于点C ．（1）求二次函数的解析式；（2）若点P 为抛物线上的一点，点F 为对称轴上的一点，且以点A 、B 、P 、F 为顶点的四边形为平行四边形，求点P 的坐标；5.（2019·四川中考真题）如图，抛物线25(0)y ax bx a =+-≠经过x 轴上的点A （1，0）和点B 及y 轴上的点C ，经过B 、C 两点的直线为y x n =+． ①求抛物线的解析式．于点M，过抛物线上一动点N（不与点B、C重合）作直线③过点A作AM BCAM的平行线交直线BC于点Q．若点A、M、N、Q为顶点的四边形是平行四边形，求点N的横坐标．。
中考数学专题复习 二次函数背景下的平行四边形的存在性问题
专题二二次函数背景下的平行四边形的存在性问题知识梳理平行四边形的存在性问题是分类讨论中的一大难点。
此类题目多在直角坐标平面内，辅以二次函数为背景.一般会根据两个或者三个定点,在某个特定的位置上找另两个顶点或者第四个顶点，这样的顶点往往不止一个,需要仔细考虑解题策略,如:若已知两点构成的线段是平行四边形的一边或者对角线.如何利用平行四边形的性质确定出其他的顶点的位置，否则在分类时就容易漏解.【典型例题】【例1】如图.抛物线y= ax2 +bx+c与y轴正半轴交于点C，与x轴交于点A(1，0)、B (4，0)，∠OCA=∠OBC.(1)求抛物线的解析式;(2)在直角坐标平面内确定点M，使得以点M、A、B、C为顶点的四边形是平行四边形,请直接写出点M的坐标.[思路分析]本题在平行四边形分类讨论中已经有三个点是定点,则第四个顶点可利用平行四边形两组对边分别平行的方法去找，AC，AB，BC中任意两边可作为平行四边形的邻边，分别作这两邻边的平行线，它们的交点就是所求的平行四边形的第四个顶点.解：当CA和CB为平行四边形的邻边时，M在第四象限，BH=AO=1,M,=−2所以M3(5, −2)综上所述:M点的坐标为M1(3，2)或M2(−3，2)或M3(5， −2).[点评]M1，M2的坐标相对易求得，而M3的坐标利用平行四边形的性质:对角顶点到对角线距离相等或者三角形全等求得M3的坐标.【例2】如图，抛物线y=ax2+ 2ax+3与y轴交于点C，与x轴交于A、B两点(点A和点B分别在x轴的正、负半轴上)，cot∠OCA = 3.(1)求抛物线的解析式;(2)平行于x轴的直线l与抛物线交于点E, F(点F在点E的左边)，如果四边形OBFE是平行四边形,求点E的坐标.[思路分析]由题意得BO不可能是平行四边形的对角线,所以只可能OB = EF =3,又因为EF被对称轴平分,根据对称轴的方程便能求得点E的坐标[点评]本题借助于抛物线的一条重要性质：抛物线关于对称轴对称.因为EF // AB，所以E，F关于对称轴对称,同时线段EF被对称轴垂直平分.【例3】如图,抛物线y= ax2+ bx +3与y轴交于点C,与x轴交于A, B两点，tan∠OCA =1 3S△ABC = 6.(1)求点B的坐标;解：(2)求抛物线的解析式及顶点坐标;(3)若E 点在x 轴上，F 点在抛物线上,如果A, C, E, F 构成平行四边形,写出点E 的坐标。
二次函数平行四边形存在性问题例题.doc
二次函数平行四边形存在性问题例题一．解答题（共9 小题）1．如图，抛物线经过A（﹣ 1，0），B（5，0），C（0，）三点．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上有一点 P，使 PA+PC的值最小，求点 P 的坐标；（ 3）点 M为 x 轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N，使以 A，C，M，N 四点构成的四边形为平行四边形若存在，求点N 的坐标；若不存在，请说明理由．2．如图，在平面直角坐标系中，直线y=﹣3x﹣ 3 与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点C．抛物线 y=x2+bx+c 经过 A，C两点，且与 x 轴交于另一点 B（点 B 在点 A 右侧）．（ 1）求抛物线的解析式及点 B 坐标；（ 2）若点 M是线段 BC上一动点，过点 M的直线 EF 平行 y 轴交 x 轴于点 F，交抛物线于点 E．求 ME长的最大值；（ 3）试探究当 ME取最大值时，在 x 轴下方抛物线上是否存在点 P，使以 M，F，B，P 为顶点的四边形是平行四边形若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，试说明理由．3．已知：如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线与x轴、y轴的交点分别为 A、 B 两点，将∠ OBA对折，使点 O的对应点 H落在直线 AB上，折痕交 x 轴于点 C．（1）直接写出点 C 的坐标，并求过 A、B、C 三点的抛物线的解析式；（2）若（1）中抛物线的顶点为 D，在直线 BC上是否存在点 P，使得四边形 ODAP 为平行四边形若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由；（ 3）若把（ 1）中的抛物线向左平移个单位，则图象与x 轴交于 F、 N（点 F 在点 N 的左侧）两点，交y 轴于 E 点，则在此抛物线的对称轴上是否存在一点Q，使点 Q到 E、N 两点的距离之差最大若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．4．已知：如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线与x轴、y轴的交点分别为 A、 B，将∠ OBA对折，使点 O的对应点 H 落在直线 AB上，折痕交 x 轴于点C．（1）直接写出点 C 的坐标，并求过 A、B、C 三点的抛物线的解析式；（2）若抛物线的顶点为 D，在直线 BC上是否存在点 P，使得四边形 ODAP为平行四边形若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，说明理由；（3）设抛物线的对称轴与直线 BC的交点为 T，Q为线段 BT 上一点，直接写出 |QA ﹣ QO|的取值范围．v1.0可编辑可修改5．如图，Rt △OAB如图所示放置在平面直角坐标系中，直角边OA与x 轴重合，∠OAB=90°， OA=4，AB=2，把 Rt △OAB绕点 O逆时针旋转 90°，点 B 旋转到点 C 的位置，一条抛物线正好经过点 O，C，A 三点．（1）求该抛物线的解析式；（2）在 x 轴上方的抛物线上有一动点 P，过点 P 作 x 轴的平行线交抛物线于点 M，分别过点 P，点 M作 x 轴的垂线，交 x 轴于 E，F 两点，问：四边形 PEFM的周长是否有最大值如果有，请求出最值，并写出解答过程；如果没有，请说明理由．（3）如果 x 轴上有一动点 H，在抛物线上是否存在点 N，使 O（原点）、C、H、N四点构成以 OC为一边的平行四边形若存在，求出 N 点的坐标；若不存在，请说明理由．6．如图，直线 y=﹣x+3 与 x 轴交于点 C，与 y 轴交于点 B，抛物线 y=ax2+ x+c 经过 B、C 两点．（1）求抛物线的解析式；（2）如图，点 E 是直线 BC上方抛物线上的一动点，当△ BEC面积最大时，请求v1.0可编辑可修改出点 E 的坐标和△ BEC面积的最大值（ 3）在（ 2）的结论下，过点 E 作 y 轴的平行线交直线 BC于点 M，连接 AM，点Q是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点P，使得以P、Q、A、M为顶点的四边形是平行四边形如果存在，请直接写出点P 的坐标；如果不存在，请说明理由．27．如图，抛物线 y=ax +bx+2 与坐标轴交于 A、B、C 三点，其中 B（4，0）、C（﹣垂足为 E，交 AB于点 F．（1）求此抛物线的解析式；（2）在 DE上作点 G，使 G点与 D 点关于 F 点对称，以 G为圆心，GD为半径作圆，当⊙ G与其中一条坐标轴相切时，求 G点的横坐标；（3）过 D点作直线 DH∥AC交 AB于 H，当△ DHF的面积最大时，在抛物线和直线AB上分别取 M、 N 两点，并使 D、 H、 M、 N 四点组成平行四边形，请你直接写出符合要求的 M、N 两点的横坐标．8．已知直线y=kx+b（k≠0）过点 F（0，1），与抛物线y= x2相交于 B、C 两4第4页（共 29页）点．（1）如图 1，当点 C的横坐标为 1 时，求直线 BC的解析式；（2）在（ 1）的条件下，点 M是直线 BC上一动点，过点 M作 y 轴的平行线，与抛物线交于点D，是否存在这样的点M，使得以M、D、O、F 为顶点的四边形为平行四边形若存在，求出点 M的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图 2，设 B（ m． n）（m＜0），过点 E（0．﹣ 1）的直线 l ∥ x 轴， BR⊥l 于 R，CS⊥ l 于 S，连接 FR、 FS．试判断△ RFS的形状，并说明理由．9．抛物线 y=x2 +bx+c 经过 A（0，2），B（3，2）两点，若两动点D、E 同时从原点O分别沿着 x 轴、y 轴正方向运动，点 E 的速度是每秒 1 个单位长度，点 D的速度是每秒 2 个单位长度．（ 1）求抛物线与 x 轴的交点坐标；（ 2）若点 C为抛物线与 x 轴的交点，是否存在点 D，使 A、B、C、D 四点围成的四边形是平行四边形若存在，求点 D 的坐标；若不存在，说明理由；（ 3）问几秒钟时， B、D、E 在同一条直线上2017 年 05 月 03 日 99 的初中数学组卷参考答案与试题解析一．解答题（共9 小题）1．（2016? 安顺）如图，抛物线经过A（﹣ 1，0），B（5，0），C（0，）三点．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上有一点 P，使 PA+PC的值最小，求点 P 的坐标；（ 3）点 M为 x 轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N，使以 A，C，M，N 四点构成的四边形为平行四边形若存在，求点N 的坐标；若不存在，请说明理由．2【解答】解：（1）设抛物线的解析式为y=ax +bx+c（a≠0），∴，解得．∴抛物线的解析式为： y= x2﹣2x﹣；v1.0可编辑可修改（ 2）∵抛物线的解析式为：y= x2﹣2x﹣，∴其对称轴为直线x=﹣=﹣=2，连接 BC，如图 1 所示，∵ B（ 5， 0），C（0，﹣），∴设直线 BC的解析式为 y=kx+b（ k≠ 0），∴，解得，∴直线 BC的解析式为 y= x﹣，当x=2 时， y=1﹣ =﹣，∴ P（ 2，﹣）；（3）存在．如图 2 所示，①当点 N 在 x 轴下方时，∵抛物线的对称轴为直线x=2，C（0，﹣），∴ N（4，﹣）；7第7页（共 29页）v1.0可编辑可修改②当点 N 在 x 轴上方时，如图，过点 N2作 N2D⊥x 轴于点 D，在△ AN2D 与△ M2CO中，∴△ AN2D≌△ M2CO（ASA），∴N2D=OC= ，即 N2点的纵坐标为．∴x2﹣2x﹣ = ，解得 x=2+ 或 x=2﹣，∴ N2（2+ ，），N3（2﹣，）．综上所述，符合条件的点 N 的坐标为（4，﹣），（ 2+ ，）或（2﹣，）．2．（ 2016? 十堰一模）如图，在平面直角坐标系中，直线y=﹣3x﹣3 与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点 C．抛物线 y=x2+bx+c 经过 A，C两点，且与 x 轴交于另一点B（点 B 在点 A 右侧）．（1）求抛物线的解析式及点 B 坐标；（2）若点 M是线段 BC上一动点，过点 M的直线 EF 平行 y 轴交 x 轴于点 F，交抛物线于点 E．求 ME长的最大值；（3）试探究当 ME取最大值时，在 x 轴下方抛物线上是否存在点 P，使以 M，F，B，P 为顶点的四边形是平行四边形若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，试说明理由．【解答】解：（1）当 y=0 时，﹣ 3x﹣3=0， x=﹣1 ∴ A（﹣ 1，0）当x=0 时， y=﹣ 3，∴ C（ 0，﹣ 3），∴∴，抛物线的解析式是： y=x2﹣ 2x﹣3．当y=0 时， x2﹣2x﹣3=0，解得： x1=﹣1，x2=3∴ B（ 3， 0）．（2）由（ 1）知 B（ 3， 0），C（0，﹣ 3）直线 BC的解析式是： y=x﹣3，设 M（x，x﹣3）（0≤x≤3），则 E（ x， x2﹣2x﹣3）∴ ME=（x﹣3）﹣（ x2﹣ 2x﹣3）=﹣x2+3x=﹣（ x﹣）2+ ；∴当 x= 时， ME的最大值为．（3）答：不存在．由（ 2）知 ME取最大值时 ME= ，E（，﹣），M（，﹣）∴ MF= ，BF=OB﹣ OF= ．设在抛物线 x 轴下方存在点 P，使以 P、M、F、B 为顶点的四边形是平行四边形，则BP∥ MF，BF∥ PM．∴ P1（0，﹣）或P2（3，﹣）当 P1（0，﹣）时，由（1）知y=x2﹣2x﹣3=﹣3≠﹣∴ P1不在抛物线上．当 P2（3，﹣）时，由（1）知y=x2﹣2x﹣3=0≠﹣∴ P2不在抛物线上．综上所述：在 x 轴下方抛物线上不存在点 P，使以 P、M、F、B 为顶点的四边形是平行四边形．3．（ 2016? 义乌市模拟）已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，直线与x 轴、y 轴的交点分别为 A、B 两点，将∠ OBA对折，使点 O的对应点 H落在直线 AB上，折痕交 x 轴于点 C．（ 1）直接写出点 C 的坐标，并求过 A、B、C 三点的抛物线的解析式；（ 2）若（1）中抛物线的顶点为 D，在直线 BC上是否存在点 P，使得四边形 ODAP 为平行四边形若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由；（ 3）若把（ 1）中的抛物线向左平移个单位，则图象与x 轴交于 F、 N（点 F 在点 N 的左侧）两点，交y 轴于 E 点，则在此抛物线的对称轴上是否存在一点Q，使点 Q到 E、N 两点的距离之差最大若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）连接 CH由轴对称得 CH⊥ AB，BH=BO，CH=CO∴在△ CHA中由勾股定理，得22 2AC=CH+AH∵直线与 x 轴、 y 轴的交点分别为A、B 两点∴当 x=0 时， y=6，当 y=0 时， x=8∴B（ 0， 6），A（8，0）∴OB=6， OA=8，在 Rt△ AOB中，由勾股定理，得AB=10设C（a，0），∴ OC=a∴CH=a， AH=4， AC=8﹣a，在 Rt△ AHC中，由勾股定理，得（ 8﹣ a）2=a2 +42解得a=3C（3，0）设抛物线的解析式为： y=ax2+bx+c，由题意，得解得：∴抛物线的解析式为：∴（ 2）由（ 1）的结论，得D（）∴DF=v1.0可编辑可修改设 BC的解析式为： y=kx+b，则有解得直线 BC的解析式为： y=﹣2x+6设存在点 P 使四边形 ODAP是平行四边形， P（ m， n）作PE⊥ OA于 E， HD交 OA于 F．∴∠ PEO=∠AFD=90°， PO=DA，PO∥ DA∴∠ POE=∠DAF∴△ OPE≌△ ADF∴PE=DF=n=∴×=P（）当x= 时，y=﹣2×+6=1≠∴点 P 不再直线 BC上，即直线 BC上不存在满足条件的点P．（ 3）由题意得，平移后的解析式为：∴对称轴为： x=2，当x=0 时， y=﹣当y=0 时， 0=解得：∵ F 在 N的左边v1.0可编辑可修改F（，0），E（0，﹣），N（，0）连接 EF 交 x=2 于 Q，设 EF的解析式为： y=kx+b，则有解得：∴EF的解析式为： y=﹣ x﹣∴解得：∴ Q（ 2，）．4．（ 2016? 深圳模拟）已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，直线与x 轴、 y 轴的交点分别为 A、 B，将∠ OBA对折，使点 O 的对应点 H 落在直线 AB 上，折痕交 x 轴于点 C．（1）直接写出点 C 的坐标，并求过 A、B、C 三点的抛物线的解析式；（2）若抛物线的顶点为 D，在直线 BC上是否存在点 P，使得四边形 ODAP为平行四边形若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，说明理由；（3）设抛物线的对称轴与直线 BC的交点为 T，Q为线段 BT 上一点，直接写出 |QA ﹣ QO|的取值范围．【解答】解：（1）点 C 的坐标为（ 3，0）．（1 分）∵点 A、B 的坐标分别为 A（8，0），B（0，6），∴可设过 A、B、 C 三点的抛物线的解析式为y=a（ x﹣ 3）（x﹣8）．将x=0，y=6 代入抛物线的解析式，得．（2分）∴过 A、B、C 三点的抛物线的解析式为．（3 分）（ 2）可得抛物线的对称轴为直线，顶点D的坐标为，设抛物线的对称轴与x 轴的交点为 G．直线 BC的解析式为 y=﹣2x+分）设点 P 的坐标为（ x，﹣ 2x+6）．解法一：如图，作OP∥ AD交直线 BC于点 P，连接 AP，作 PM⊥x 轴于点 M．∵OP∥AD，∴∠ POM=∠GAD，tan ∠POM=tan∠GAD．∴，即．解得．经检验是原方程的解．此时点 P 的坐标为．（5分）但此时，OM＜GA．∵，∴OP＜AD，即四边形的对边 OP与 AD平行但不相等，∴直线 BC上不存在符合条件的点 P（ 6 分）v1.0可编辑可修改解法二：如图，取OA的中点 E，作点 D 关于点 E 的对称点 P，作 PN⊥x 轴于点N．则∠ PEO=∠DEA， PE=DE．可得△ PEN≌△ DEG．由，可得E点的坐标为（4，0）．NE=EG=， ON=OE﹣NE= ， NP=DG= ．∴点 P 的坐标为．（5分）∵ x=时，，∴点 P 不在直线 BC上．∴直线 BC上不存在符合条件的点P．（6 分）（ 3） |QA﹣QO|的取值范围是．（8分）当 Q在 OA的垂直平分线上与直线BC的交点时，（如点 K 处），此时 OK=AK，则 |QA ﹣ QO|=0，当 Q在 AH的延长线与直线BC交点时，此时 |QA﹣ QO|最大，直线 AH的解析式为： y=﹣x+6，直线 BC的解析式为： y=﹣ 2x+6，联立可得：交点为（ 0，6），∴OQ=6， AQ=10，∴|QA﹣QO|=4，∴|QA﹣QO|的取值范围是： 0≤|QA﹣QO|≤ 4．v1.0可编辑可修改5．（2016? 山西模拟）如图， Rt △OAB如图所示放置在平面直角坐标系中，直角边OA与 x 轴重合，∠OAB=90°，OA=4，AB=2，把 Rt△OAB绕点 O逆时针旋转90°，点 B 旋转到点 C 的位置，一条抛物线正好经过点 O，C，A 三点．（ 1）求该抛物线的解析式；（ 2）在 x 轴上方的抛物线上有一动点 P，过点 P 作 x 轴的平行线交抛物线于点 M，分别过点 P，点 M作 x 轴的垂线，交 x 轴于 E，F 两点，问：四边形 PEFM的周长是否有最大值如果有，请求出最值，并写出解答过程；如果没有，请说明理由．（ 3）如果 x 轴上有一动点 H，在抛物线上是否存在点 N，使 O（原点）、C、H、N四点构成以 OC为一边的平行四边形若存在，求出 N 点的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）因为 OA=4， AB=2，把△ AOB绕点 O逆时针旋转 90°，可以确定点 C 的坐标为（ 2， 4）；由图可知点 A 的坐标为（ 4， 0），又因为抛物线经过原点，故设y=ax2 +bx 把（ 2，4），（ 4， 0）代入，v1.0可编辑可修改得，解得所以抛物线的解析式为y=﹣x2+4x；（ 2）四边形 PEFM的周长有最大值，理由如下：由题意，如图所示，设点 P 的坐标为 P（a，﹣ a2 +4a）则由抛物线的对称性知OE=AF，∴EF=PM=4﹣ 2a，PE=MF=﹣a2+4a，2 2则矩形 PEFM的周长 L=2[4 ﹣2a+（﹣ a +4a）]= ﹣2（a﹣ 1） +10，（3）在抛物线上存在点 N，使 O（原点）、C、H、N 四点构成以 OC为一边的平行四边形，理由如下：∵ y=﹣x2+4x=﹣（ x﹣2）2 +4 可知顶点坐标（ 2，4），∴知道 C 点正好是顶点坐标，知道 C 点到 x 轴的距离为 4 个单位长度，过点 C 作 x 轴的平行线，与 x 轴没有其它交点，过 y=﹣ 4 作 x 轴的平行线，与抛物线有两个交点，这两个交点为所求的N 点坐标所以有﹣ x2+4x=﹣4 解得 x1=2+，x2=2﹣∴ N点坐标为 N1（2+，﹣4），N2（2﹣，﹣4）．v1.0可编辑可修改6．（2015? 葫芦岛）如图，直线y=﹣x+3 与 x 轴交于点 C，与 y 轴交于点 B，2抛物线 y=ax + x+c 经过 B、C 两点．（1）求抛物线的解析式；（2）如图，点 E 是直线 BC上方抛物线上的一动点，当△ BEC面积最大时，请求出点 E 的坐标和△ BEC面积的最大值（3）在（ 2）的结论下，过点 E 作 y 轴的平行线交直线 BC于点 M，连接 AM，点Q是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点P，使得以P、Q、A、M为顶点的四边形是平行四边形如果存在，请直接写出点P 的坐标；如果不存在，请说明理由．【解答】解：（1）∵直线 y=﹣x+3 与 x 轴交于点 C，与 y 轴交于点 B，∴点 B 的坐标是（ 0， 3），点 C 的坐标是（ 4， 0），∵抛物线 y=ax2 +x+c 经过 B、 C 两点，∴解得∴y=﹣ x2+ x+3．（ 2）如图 1，过点 E 作 y 轴的平行线 EF 交直线 BC于点 M，EF 交 x 轴于点 F，v1.0可编辑可修改，∵点 E 是直线 BC上方抛物线上的一动点，∴设点 E 的坐标是（ x，﹣x2+x+3），则点 M的坐标是（ x，﹣x+3），∴EM=﹣ x2+ x+3﹣（﹣ x+3）=﹣ x2+ x，∴S△BEC=S△BEM+S△MEC==×（﹣ x2+ x）× 4 =﹣ x2+3x=﹣（ x﹣ 2）2+3，∴当 x=2 时，即点 E 的坐标是（ 2， 3）时，△ BEC的面积最大，最大面积是 3．（ 3）在抛物线上存在点P，使得以 P、 Q、 A、 M为顶点的四边形是平行四边形．①如图 2，，∵点 M在直线 y=﹣x+3 上，∴点 M的坐标是（ 2，），又∵点 A 的坐标是（﹣ 2，0），∴ AM==，∴ AM所在的直线的斜率是：；∵y=﹣ x2+ x+3 的对称轴是 x=1，∴设点 Q的坐标是（ 1，m），点 P 的坐标是（ x，﹣x2+x+3），则解得或，∵x＜ 0，∴点 P 的坐标是（﹣ 3，﹣）．②如图 3，，∵点 M在直线 y=﹣x+3 上，∴点 M的坐标是（ 2，），又∵点 A 的坐标是（﹣ 2，0），∴ AM==，∴ AM所在的直线的斜率是：；∵y=﹣ x2+ x+3 的对称轴是 x=1，∴设点 Q的坐标是（ 1，m），点 P 的坐标是（ x，﹣x2+x+3），则解得或，∵x＞ 0，∴点 P 的坐标是（ 5，﹣）．③如图 4，，由（ 2），可得点 M的横坐标是 2，v1.0可编辑可修改∵点 M在直线 y=﹣x+3 上，∴点 M的坐标是（ 2，），又∵点 A 的坐标是（﹣ 2，0），∴ AM==，∵y=﹣ x2+ x+3 的对称轴是 x=1，∴设点 Q的坐标是（ 1，m），点 P 的坐标是（ x，﹣x2+x+3），则解得，∴点 P 的坐标是（﹣ 1，）．综上，可得在抛物线上存在点 P，使得以 P、Q、A、M为顶点的四边形是平行四边形，点 P 的坐标是（﹣ 3，﹣）、（5，﹣）、（﹣ 1，）．7．（2015? 梧州）如图，抛物线y=ax2+bx+2 与坐标轴交于A、B、C三点，其中B （4，0）、C（﹣2，0），连接AB、AC，在第一象限内的抛物线上有一动点D，过D作 DE⊥ x 轴，垂足为 E，交 AB于点 F．（1）求此抛物线的解析式；（2）在 DE上作点 G，使 G点与 D 点关于 F 点对称，以 G为圆心，GD为半径作圆，当⊙ G与其中一条坐标轴相切时，求 G点的横坐标；（3）过 D点作直线 DH∥AC交 AB于 H，当△ DHF的面积最大时，在抛物线和直线AB上分别取 M、 N 两点，并使 D、 H、 M、 N 四点组成平行四边形，请你直接写出符合要求的 M、N 两点的横坐标．v1.0可编辑可修改【解答】解：（1）∵ B，C两点在抛物线 y=ax2+bx+2 上，∴，解得：．∴所求的抛物线为： y= ．（ 2）抛物线 y= ，则点 A 的坐标为（ 0，2），设直线 AB的解析式为 y=kx+b，∴，解得：．∴直线 AB的解析式为 y=﹣x+2，设 F 点的坐标为（ x，x+2），则 D点的坐标为（ x，），∵ G点与 D点关于 F 点对称，∴ G点的坐标为（ x，），若以 G为圆心， GD为半径作圆，使得⊙ G与其中一条坐标轴相切，①若⊙ G与 x 轴相切则必须由 DG=GE，即﹣ x2+ x+2﹣（）= ，解得： x= ，x=4（舍去）；②若⊙ G与 y 轴相切则必须由DG=OE，v1.0可编辑可修改即解得： x=2， x=0（舍去）．综上，以 G为圆心， GD为半径作圆，当⊙ G与其中一条坐标轴相切时， G点的横坐标为 2 或．（ 3） M点的横坐标为 2± 2，N点的横坐标为± 2．8．（2015? 资阳）已知直线y=kx+b（ k≠ 0）过点 F（ 0， 1），与抛物线 y=x2相交于 B、C 两点．（1）如图 1，当点 C的横坐标为 1 时，求直线 BC的解析式；（2）在（ 1）的条件下，点 M是直线 BC上一动点，过点 M作 y 轴的平行线，与抛物线交于点D，是否存在这样的点M，使得以M、D、O、F 为顶点的四边形为平行四边形若存在，求出点 M的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图 2，设 B（ m． n）（m＜0），过点 E（0．﹣ 1）的直线 l ∥ x 轴， BR⊥l于R，CS⊥ l 于 S，连接 FR、 FS．试判断△ RFS的形状，并说明理由．【解答】解：（1）因为点 C 在抛物线上，所以 C（ 1，），又∵直线 BC过 C、F 两点，v1.0可编辑可修改故得方程组：解之，得，所以直线 BC的解析式为： y=﹣x+1；（ 2）要使以 M、D、O、F 为顶点的四边形为平行四边形，则MD=OF，如图 1 所示，设 M（x，﹣x+1），则 D（ x，x2），∵MD∥y 轴，∴MD=﹣ x+1﹣ x2，由MD=OF，可得 | ﹣ x+1﹣ x2 |=1 ，①当﹣ x+1﹣ x2=1 时，解得 x1=0（舍）或 x1 =﹣3，所以 M（﹣ 3，），②当﹣ x+1﹣ x2，=﹣1 时，解得， x= ，所以 M（，）或 M（，），综上所述，存在这样的点 M，使以 M、D、O、F 为顶点的四边形为平行四边形，M点坐标为（﹣ 3，）或（，）或（，）；（ 3）过点 F 作 FT⊥ BR于点 T，如图 2 所示，∵点 B（m，n）在抛物线上，2∴ m=4n，在Rt△ BTF中，BF=v1.0可编辑可修改===，∵n＞ 0，∴ BF=n+1，又∵ BR=n+1，∴ BF=BR．∴∠ BRF=∠BFR，又∵ BR⊥ l ， EF⊥l ，∴ BR∥EF，∴∠BRF=∠RFE，∴∠ RFE=∠BFR，同理可得∠ EFS=∠CFS，∴∠ RFS= ∠BFC=90°，∴△ RFS是直角三角形．v1.0可编辑可修改9．（2015? 百色）抛物线 y=x2+bx+c 经过 A（0，2）， B（ 3， 2）两点，若两动点D、E 同时从原点 O分别沿着 x 轴、y 轴正方向运动，点 E 的速度是每秒 1 个单位长度，点 D 的速度是每秒 2 个单位长度．（1）求抛物线与 x 轴的交点坐标；（2）若点 C为抛物线与 x 轴的交点，是否存在点 D，使 A、B、C、D 四点围成的四边形是平行四边形若存在，求点 D 的坐标；若不存在，说明理由；（3）问几秒钟时， B、D、E 在同一条直线上【解答】解：（1）抛物线 y=x2+bx+c 经过 A（0，2），B（3，2）两点，∴，解得，∴抛物线的解析式为： y=x2﹣3x+2，令y=0，则 x2﹣3x+2=0，解得： x1=1，x2 =2，∴抛物线与 x 轴的交点坐标是（ 1， 0），（2，0）；v1.0可编辑可修改（2）存在，由已知条件得 AB∥x 轴，∴ AB∥CD，∴当 AB=CD时，以 A、B、C、D 四点围成的四边形是平行四边形，设 D（m，0），当 C（1，0）时，则 CD=m﹣1，∴ m﹣ 1=3，∴ m=4，当 C（2，0）时，则 CD=m﹣2，∴ m﹣ 2=3，∴ m=5，∴ D（ 5， 0），综上所述：当 D（ 4， 0）或（ 5，0）时，使 A、B、C、D 四点围成的四边形是平行四边形；（3）设 t 秒钟时， B、D、E 在同一条直线上，则 OE=t，OD=2t，∴E（ 0， t ），D（2t ， 0），设直线 BD的解析式为： y=kx+b，∴，解得 k=﹣或k=（不合题意舍去），∴当 k=﹣，t=，∴点 D、E 运动秒钟时，B、D、E在同一条直线上．29第29 页（共 29页）。
专题21 平行四边形与特殊平行四边形存在性问题【考点精讲】(解析版)
若E为x轴上的一个动点,F为抛物线上的一个动点,使B,D,E,F构成平行四边形时,求出点E的坐标.以其中一个已知点(如:点B)作为起点，列出所有对角线的情况(如:BD,BE,BF),分别设出两个动点(点E,点F),运用中点坐标公式,求出每一种情况下，两条对角线的中点坐标,注意到两个中点重合,其坐标对应相等,列出方程组,求解即可.题型一：平行四边形存在性问题【例1】（2021·湖南）将抛物线2(0)y ax a=≠向左平移1个单位，再向上平移4个单位后，得到抛物线2:()H y a x h k=-+．抛物线H与x轴交于点A，B，与y轴交于点C．已知(3,0)A-，点P是抛物线H上的一个动点．（1）求抛物线H的表达式；（2）如图1，点P在线段AC上方的抛物线H上运动（不与A，C重合），过点P作PD AB⊥，垂足为D，PD交AC于点E．作PF AC⊥，垂足为F，求PEF的面积的最大值；（3）如图2，点Q是抛物线H的对称轴l上的一个动点，在抛物线H上，是否存在点P，使专题21 平行四边形与特殊平行四边形存在性问题知识导航题型精讲方法技巧得以点A ，P ，C ，Q 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，说明理由．【答案】（1）223y x x =--+；（2）PEF 的面积最大值为8164；（3）点P 的坐标为()4,5--或2,5或()2,3-． 【分析】（1）由题意易得平移后的抛物线H 的表达式为()214y a x =++，然后把点A 的坐标代入求解即可；（2）由（1）及题意易得()0,3C ，则有△AOC 是等腰直角三角形，△CAO =△ACO =45°，进而可得直线AC 的解析式为3yx ，设点()2,23P a a a --+，则(),3E a a +，然后可得△AED和△PEF 都为等腰直角三角形，过点F 作FT △PD 于点T ，则有12FT PE =，由三角形面积公式可得21124PEFSPE FT PE =⋅=，要使面积最大则PE 的值为最大即可，最后问题可求解； （3）由题意可知当以点A 、P 、C 、Q 为顶点的四边形是平行四边形时，则可分△当以AC 为平行四边形的边时，△当以AC 为平行四边形的对角线时，然后利用等腰直角三角形、平行四边形的性质及中点坐标公式分类进行求解即可． 【详解】解：（1）由题意得：平移后的抛物线H 的表达式为()214y a x =++，则把点()30A -,代入得：()23140a -++=，解得：1a =-，△抛物线H 的表达式为()214y x =-++，即为223y x x =--+； （2）由（1）可得抛物线H 的表达式为223y x x =--+，则有()0,3C ， △3OA OC ==，△△AOC 是等腰直角三角形， △△CAO =△ACO =45°， △PD AB ⊥， △△AED =△CAO =45°， △△AED =△PEF =45°， △PF AC ⊥，△△PEF 是等腰直角三角形，过点F 作FT △PD 于点T ，如图所示：△12FT PE =， △21124PEFSPE FT PE =⋅=， △要使面积最大则PE 的值为最大即可，设直线AC 的解析式为y kx b =+，代入点A 、C 的坐标得：303k b b -+=⎧⎨=⎩，解得：13k b =⎧⎨=⎩，△直线AC 的解析式为3yx ，设点()2,23P a a a --+，则(),3E a a +，△22239233324PE a a a a a a ⎛⎫=--+--=--=-++ ⎪⎝⎭， △-1＜0，开口向下，△当32a =-时，PE 有最大值，即为94PE =，△△PEF 面积的最大值为219814464⎛⎫⨯= ⎪⎝⎭；（3）存在以点A 、P 、C 、Q 为顶点的四边形是平行四边形，理由如下：由（2）可得()0,3C ，()30A -,，△CAO =△ACO =45°，抛物线的对称轴为直线1x =-， △32AC =，△CAO =△ADQ =45°，△当以AC 为平行四边形的边时，如图所示：过点P 作PG △l 于点G ， △四边形APQC 是平行四边形， △32PQ AC ==，AC △PQ ， △△ADQ =△PQG =45°， △△PQG 是等腰直角三角形， △3PG QG ==， △点P 的横坐标为-4， △()4,5P --；△当以AC 为平行四边形的边时，如图所示：同理△可得点P的横坐标为2，P；△2,5△当以AC为平行四边形的对角线时，如图所示：△四边形AQCP是平行四边形，△,AN CN PN QN ==，设点()()2,23,1,P m m m Q b --+-，△由中点坐标公式可得：13m -=-， △2m =-， △()2,3P -；综上所述：当以点A 、P 、C 、Q 为顶点的四边形是平行四边形，点P 的坐标为()4,5--或2,5或()2,3-．题型二：菱形存在性问题【例2】（2021·湖南中考真题）如图，在直角坐标系中，二次函数2y x bx c =++的图象与x 轴相交于点(1,0)A -和点(3,0)B ，与y 轴交于点C ．（1）求b c 、的值；（2）点(,)P m n 为抛物线上的动点，过P 作x 轴的垂线交直线:l y x =于点Q ． △当03m <<时，求当P 点到直线:l y x =的距离最大时m 的值；△是否存在m ，使得以点O C P Q 、、、为顶点的四边形是菱形，若不存在，请说明理由；若存在，请求出m 的值．【答案】（1）b =2-，c =3-；（2）△32m =；△不存在，理由见解析 【分析】（1）将A （-1，0），B （3，0）代入y =x 2+bx +c ，可求出答案；（2）△设点P （m ，m 2-2m -3），则点Q （m ，m ），再利用二次函数的性质即可求解； △分情况讨论，利用菱形的性质即可得出结论． 【详解】解：（1）△抛物线y =-x 2+bx +c 与x 轴交于点A （-1，0），B （3，0），△10930b c b c -+=⎧⎨++=⎩， 解得：23b c =-⎧⎨=-⎩，△b =2-，c =3-；（2）△由（1）得，抛物线的函数表达式为：y =x 223x --， 设点P （m ，m 2-2m -3），则点Q （m ，m ）， △0<m <3，△PQ =m -( m 2-2m -3)=-m 2+3m +3=-232m ⎛⎫- ⎪⎝⎭+214，△-1<0， △当32m =时，PQ 有最大值，最大值为214； △△抛物线的函数表达式为：y =x 2-2x -3， △C （0，-3）， △OB =OC =3，由题意，点P （m ，m 2-2m -3），则点Q （m ，m ）， △PQ △OC ，当OC 为菱形的边，则PQ =OC =3， 当点Q 在点P 上方时，△PQ =2333m m -++=，即230m m -+=， △()30m m -=， 解得0m =或3m =，当0m =时，点P 与点O 重合，菱形不存在，当3m =时，点P 与点B 重合，此时BC =232OC OC =≠，菱形也不存在；当点Q 在点P 下方时， 若点Q 在第三象限，如图，△△COQ =45°，根据菱形的性质△COQ =△POQ =45°，则点P 与点A 重合， 此时OA =1≠OC =3，菱形不存在， 若点Q 在第一象限，如图，同理，菱形不存在，综上，不存在以点O 、C 、P 、Q 为顶点的四边形是菱形． 题型三：矩形存在性问题【例3】（2021·山东中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线24y ax bx =+-交x 轴于()1,0A -，()4,0B 两点，交y 轴于点C ．（1）求该抛物线的表达式；（2）点P 为第四象限内抛物线上一点，连接PB ，过点C 作//CQ BP 交x 轴于点Q ，连接PQ ，求PBQ △面积的最大值及此时点P 的坐标；（3）在（2）的条件下，将抛物线24y ax bx =+-向右平移经过点1,02⎛⎫⎪⎝⎭时，得到新抛物线2111y a x b x c =++，点E 在新抛物线的对称轴上，在坐标平面内是否存在一点F ，使得以A 、P 、E 、F 为顶点的四边形为矩形，若存在，请直接写出点F 的坐标；若不存在，请说明理由．参考：若点()111,P x y 、()222,P x y ，则线段12PP 的中点0P 的坐标为1212,22x x y y ++⎛⎫⎪⎝⎭． 【答案】（1）该抛物线的表达式为：2y 34x x =--；（2）PBQ △面积最大值为8，此时P 点的坐标为：P （2，-6）；（3）()2,35F --+或()2,35F ---或()6,4F -或10,2F ⎛⎫⎪⎝⎭【分析】（1）将两个点分别代入抛物线可得关于a ，b 的二元一次方程组，可解得a ，b ； （2）设出P 、Q 两点坐标，应用三角形相似，及三角形面积公式，代入化简可得一个二次函数，求其最大值即可；（3）抛物线的平移可确定抛物线解析式及对称轴，设出点E 、F ，应用中点坐标公式及矩形特点分成的三角形为直角三角形，可得出答案． 【详解】解：（1）将A （-1,0），B （4,0）代入抛物线24y ax bx =+-可得：4016440a b a b --=⎧⎨+-=⎩， 解得：13a b =⎧⎨=-⎩，△该抛物线的表达式为：234y x x =--； （2）过点P 作PN △x 轴于点N ，如图所示：设()11,P x y 且11(04,0)x y <<<，()2,0Q x ， △2OQ x =，114,BN x PN y =-=-，4OC =， △//CQ BP ， △COQ PNB ∽，△OQ OCBN PN =，即21144x x y =--，△121416x x y -=， △114164x BQ y -=-， △()11111422416BPQy SB P y x y Q ⎛⎫=⋅=⨯-⨯- ⎪⎝⎭-， △点()11,P x y 在抛物线上， △211134y x x =--， △21128BPQSx x =-+，()104x <<，根据抛物线的基本性质：对称轴为()182222b x a =-=-=⨯-在104x <<内， △BPQS在12x =取得最大值，代入得：8BPQS =，当12x =时，2123246y =-⨯-=-，△PBQ △面积的最大值为8，此时点P 的坐标为：()2,6P -．（3）在（2）的条件下，原抛物线解析式为234y x x =--，将抛物线向右平移经过点1,02⎛⎫⎪⎝⎭，可知抛物线向右平移了32个单位长度， △可得：2333422y x x ⎛⎫⎛⎫=---- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，化简得平移后的抛物线：21164y x x =-+， 对称轴为：63221b x a -=-=-=⨯， 由（2）得：A （-1，0），()26P -，，点E 在对称轴上， △设E （3，e ），点F （m ，n ），矩形AEPF ，当以AP 为矩形的对角线时，则AP 的中点坐标为：1206,22-+-⎛⎫ ⎪⎝⎭，EF 的中点坐标为：3,22m e n++⎛⎫⎪⎝⎭，根据矩形的性质可得，两个中点坐标相同，可得：123220622m e n-++⎧=⎪⎪⎨-+⎪=⎪⎩解得：26m e n =-⎧⎨+=-⎩①②△矩形AEPF ，△AEF 为直角三角形，△222AE AF EF +=，△()()222130AE e =--+-，()()()22210AF m n =--+-，()()2223EF m n e =-+-，代入△化简可得：4en =，△△将△代入△可得：()64n n --=，化简得：2640n n ++=，根据判别式得：22464140b ac -=-⨯⨯>，△135n =-+，235n =--△()2,35F --+或()2,35F ---；当以AP 为矩形的边时，如图所示：过点P 分别作PG △x 轴于点G ，PH △x 轴，过点F 作PH 的垂线，垂足为H ，设抛物线的对称轴与x 轴的交点为M ，如图，△3,6AG PG ==，90AGP EMA FHP ∠=∠=∠=︒，AM =4，△tan 2GP GAP AG ∠==， △四边形APFE 是矩形， △90EAP APF ∠=∠=︒，AE =PF ，△90GAP APG GAP EAM APG GPF FPH GPF ∠+∠=∠+∠=∠+∠=∠+∠=︒，△EAM APG FPH ∠=∠=∠，△()AME PHF AAS ≌，△4,AM PH EM FH ===，△90EAM AEM ∠+∠=︒，△AEM GAP ∠=∠，△tan tan 2AEM GAP ∠=∠=，△2tan AM EM AEM==∠， △FH =2，△点()2,6P -，△()6,4F -，当以AP 为矩形的边时，如图所示：同理可得10,2F ⎛⎫ ⎪⎝⎭； 综上所述：以A 、P 、E 、F 为顶点的四边形为矩形，()2,35F --+或()2,35F ---或()6,4F -或10,2F ⎛⎫⎪⎝⎭ 题型四：正方形存在性问题【例4】（2020•牡丹江）如图，已知直线AB 与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，线段OA 的长是方程x 2﹣7x ﹣18＝0的一个根，OB =12OA ．请解答下列问题：（1）求点A ，B 的坐标；（2）直线EF 交x 轴负半轴于点E ，交y 轴正半轴于点F ，交直线AB 于点C ．若C 是EF 的中点，OE ＝6，反比例函数y =k x 图象的一支经过点C ，求k 的值；（3）在（2）的条件下，过点C 作CD △OE ，垂足为D ，点M 在直线AB 上，点N 在直线CD 上．坐标平面内是否存在点P ，使以D ，M ，N ，P 为顶点的四边形是正方形？若存在，请写出点P 的个数，并直接写出其中两个点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）解一元二次方程，得到点A 的坐标，再根据OB =12OA 可得点B 坐标；（2）利用待定系数法求出直线AB 的表达式，根据点C 是EF 的中点，得到点C 横坐标，代入可得点C 坐标，根据点C 在反比例函数图象上求出k 值；（3）画出图形，可得点P 共有5个位置，分别求解即可．【解析】（1）△线段 的长是方程 的一个根，解得：x ＝9或﹣2（舍），而点A 在x 轴正半轴，△A （9，0），△OB =12OA ，△B （0，92）， （2）△OE ＝6，△E （﹣6，0），设直线AB 的表达式为y ＝kx +b ，将点A 和B 的坐标代入，得：{0=9k +b 92=b ，解得：{k =−12b =92， △AB 的表达式为：y =−12x +92，△点C 是EF 的中点，△点C 的横坐标为﹣3，代入AB 中，y ＝6，则C （﹣3，6），△反比例函数y =k x 经过点C ，则k ＝﹣3×6＝﹣18；（3）存在点P ，使以D ，M ，N ，P 为顶点的四边形是正方形，如图，共有5种情况，在四边形DM 1P 1N 1中，M 1和点A 重合，△M 1（9，0），此时P 1（9，12）；在四边形DP 3BN 3中，点B 和M 重合，可知M 在直线y ＝x +3上，联立：{y =x +3y =−12x +92，解得：{x =1y =4， △M （1，4），△P 3（1，0），同理可得：P 2（9，﹣12），P 4（﹣7，4），P 5（﹣15，0）．故存在点P 使以D ，M ，N ，P 为顶点的四边形是正方形，点P的坐标为P1（9，12），P2（9，﹣12），P3（1，0），P4（﹣7，4），P5（﹣15，0）．1．（2020•黔东南州）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A、B两点（点A在点B 的左边），与y轴交于点C（0，﹣3），顶点D的坐标为（1，﹣4）．（1）求抛物线的解析式．（2）在y轴上找一点E，使得△EAC为等腰三角形，请直接写出点E的坐标．（3）点P是x轴上的动点，点Q是抛物线上的动点，是否存在点P、Q，使得以点P、Q、B、D为顶点，BD为一边的四边形是平行四边形？若存在，请求出点P、Q坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）根据抛物线的顶点坐标设出抛物线的解析式，再将点C坐标代入求解，即提分训练可得出结论；（2）先求出点A，C坐标，设出点E坐标，表示出AE，CE，AC，再分三种情况建立方程求解即可；（3）利用平移先确定出点Q的纵坐标，代入抛物线解析式求出点Q的横坐标，即可得出结论．【解析】（1）△抛物线的顶点为（1，﹣4），△设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）2﹣4，将点C（0，﹣3）代入抛物线y＝a（x﹣1）2﹣4中，得a﹣4＝﹣3，△a＝1，△抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）2﹣4＝x2﹣2x﹣3；（2）由（1）知，抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3，令y＝0，则x2﹣2x﹣3＝0，△x＝﹣1或x＝3，△B（3，0），A（﹣1，0），令x＝0，则y＝﹣3，△C（0，﹣3），△AC=√10，设点E（0，m），则AE=√m2+1，CE＝|m+3|，△△ACE是等腰三角形，△△当AC＝AE时，√10=√m2+1，△m＝3或m＝﹣3（点C的纵坐标，舍去），△E（0，3），△当AC＝CE时，√10=|m+3|，△m＝﹣3±√10，△E（0，﹣3+√10）或（0，﹣3−√10），△当AE＝CE时，√m2+1=|m+3|，△m=−4，3△E（0，−4），3）；即满足条件的点E的坐标为（0，3）、（0，﹣3+√10）、（0，﹣3−√10）、（0，−43（3）如图，存在，△D（1，﹣4），△将线段BD向上平移4个单位，再向右（或向左）平移适当的距离，使点B的对应点落在抛物线上，这样便存在点Q，此时点D的对应点就是点P，△点Q 的纵坐标为4，设Q （t ，4），将点Q 的坐标代入抛物线y ＝x 2﹣2x ﹣3中得，t 2﹣2t ﹣3＝4，△t ＝1+2√2或t ＝1﹣2√2，△Q （1+2√2，4）或（1﹣2√2，4），分别过点D ，Q 作x 轴的垂线，垂足分别为F ，G ，△抛物线y ＝x 2﹣2x ﹣3与x 轴的右边的交点B 的坐标为（3，0），且D （1，﹣4）， △FB ＝PG ＝3﹣1＝2，△点P 的横坐标为（1+2√2）﹣2＝﹣1+2√2或（1﹣2√2）﹣2＝﹣1﹣2√2，即P （﹣1+2√2，0）、Q （1+2√2，4）或P （﹣1﹣2√2，0）、Q （1﹣2√2，4）．2．（2021·广东）已知二次函数2y ax bx c =++的图象过点()1,0-，且对任意实数x ，都有22412286x ax bx c x x -≤++≤-+．（1）求该二次函数的解析式；（2）若（1）中二次函数图象与x 轴的正半轴交点为A ，与y 轴交点为C ；点M 是（1）中二次函数图象上的动点．问在x 轴上是否存在点N ，使得以A 、C 、M 、N 为顶点的四边形是平行四边形．若存在，求出所有满足条件的点N 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）223y x x =--；（2）存在，()1,0或()5,0或()72,0-或()27,0-- 【分析】（1）令2412286x x x -=-+，解得123x x ==，可得函数2y ax bx c =++ 必过 (3,0)，再结合2y ax bx c =++ 必过 (1,0)-得出2b a =-，3c a =-，即可得到223y ax ax a =--，再根据242123x ax x a a --≤-，可看成二次函数223y ax ax a =--与一次函数412y x =-仅有一个交点，且整体位于412y x =-的上方，可得0a >，242123x ax x a a --=-有两个相等的实数根，再根据0∆=，可解得a 的值，即可求出二次函数解析式．（2）结合（1）求出点C 的坐标，设()2,23,(,0)M m m m N n --，△当AC 为对角线时，△当AM 为对角线时，△当AN 为对角线时,根据中点坐标公式分别列出方程组，解方程组即可得到答案．【详解】解：（1）令2412286x x x -=-+，解得123x x ==，当3x =时，24122860x x x -=-+=，△2y ax bx c =++ 必过 (3,0)，又△2y ax bx c =++ 必过 (1,0)-，△029303a b c b a a b c c a ⎧-+==-⎧⇒⎨⎨++==-⎩⎩， △223y ax ax a =--，即242123x ax x a a --≤-，即可看成二次函数223y ax ax a =--与一次函数412y x =-仅有一个交点，且整体位于412y x =-的上方△0a >，∴242123x ax x a a --=-有两个相等的实数根∴0∆=△2(24)4(123)0a a a +--=，△2(1)0a -=，△1a =，△2b =-，3c =-，△223y x x =--．（2）由（1）可知：(3,0)A ，(0,3)C -，设()2,23,(,0)M m m m N n --， △当AC 为对角线时，A C M N A Cn N x x x x y y y y +=+⎧⎨+=+⎩ △2300(3)230m n m m +=+⎧⎨+-=--+⎩，解得10m =（舍），22m =， △1n =，即1(1,0)N ．△当AM 为对角线时，A M C N A MC N x x x x y y y y +=+⎧⎨+=+⎩ △23002330m n m m +=+⎧⎨+--=-+⎩，解得10m =（舍）22m =， △5n =，即2(5,0)N ．△当AN 为对角线时，A N C M AN C M x x x x y y y y +=+⎧⎨+=+⎩△23000323n m m m +=+⎧⎨+=-+--⎩，解得1217,17m m =+=-， △72n =-或27n =--，△43(72,0),(27,0)N N ---．综上所述：N 点坐标为()1,0或()5,0或()72,0-或()27,0--． 3．（2021·内蒙古）如图，抛物线23y ax bx =++交x 轴于()3,0A ，()1,0B -两点，交y 轴于点C ，动点P 在抛物线的对称轴上．（1）求抛物线的解析式；（2）当以P ，B ，C 为顶点的三角形周长最小时，求点P 的坐标及PBC 的周长；（3）若点Q 是平面直角坐标系内的任意一点，是否存在点Q ，使得以A ，C ，P ，Q 为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出所有符合条件的点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1) 2y x 2x 3=-++；(2) P 点坐标为(1,2)，BCP ∆的周长最小值为1032+；(3) Q 点坐标存在，为(2，2)或(4，17)或(4，17-)或(2-，314+)或(2-，314-)【分析】(1)将()3,0A ，()1,0B -代入即可求解；(2)连接BP 、CP 、AP ，由二次函数对称性可知，BP=AP ，得到BP +CP =AP +CP ，当C 、P 、A 三点共线时，△PBC 的周长最小，由此求出AC 解析式，将P 点横坐标代入解析式中即可求解；(3)设P 点坐标为(1，t )，Q 点坐标为(m ，n )，按AC 为对角线，AP 为对角线，AQ 为对角线分三种情况讨论即可求解．【详解】解：(1)将()3,0A ，()1,0B -代入二次函数表达式中， △093303a b a b =++⎧⎨=-+⎩ ，解得12a b =-⎧⎨=⎩， △二次函数的表达式为：2y x 2x 3=-++；(2)连接BP 、CP 、AP ，如下图所示：由二次函数对称性可知，BP=AP ，△BP +CP =AP +CP ， BCP C BP CP BC PA CP BCBC 为定直线，当C 、P 、A 三点共线时，PA CP 有最小值为AC ， 此时BCP ∆的周长也最小，设直线AC 的解析式为：y kx m =+，代入()3,0,(0,3)A C ， △0=330k m m +⎧⎨=+⎩，解得13k m =-⎧⎨=⎩， △直线AC 的解析式为：3y x =-+，二次函数的对称轴为12b x a =-=，代入3y x =-+，得到2y =， △P 点坐标为(1,2)，此时BCP ∆的周长最小值=222213331032BC AC ； (3)()3,0,(0,3)A C 设P 点坐标为(1，t )，Q 点坐标为(m ，n )， 分类讨论：情况一：AC 为菱形对角线时，另一对角线为PQ ，此时由菱形对角互相平分知：AC 的中点也必定是PQ 的中点， 由菱形对角线互相垂直知：1AC PQ k k ，△30103111mt nn tm⎧⎪+=+⎪+=+⎨⎪-⎪-⋅=--⎩，解得221mnt=⎧⎪=⎨⎪=⎩，△P点坐标为(1，1)，对应的Q点坐标为(2，2)；情况二：AP为菱形对角线时，另一对角线为CQ，同理有：310030312mt nt nm⎧⎪+=+⎪+=+⎨⎪--⎪⋅=--⎩，解得417317mnt=⎧⎪=⎨⎪=+⎩或417317mnt=⎧⎪=-⎨⎪=-⎩，△P点坐标为(1，317+)或(1，317-)，对应的Q点坐标为(4，17)或(4，17-)；情况三：AQ为菱形对角线时，另一对角线为CP，()3,0,(0,3)A C设P点坐标为(1，t)，Q点坐标为(m，n)，同理有：3010303131mn tn tm⎧⎪+=+⎪+=+⎨⎪--⎪⋅=--⎩，解得231414mnt=-⎧⎪=+⎨⎪=⎩或231414mnt=-⎧⎪=-⎨⎪=-⎩，△P点坐标为(1，14)或(1，14-)，对应的Q点坐标为(-2，314+)或(-2，314-)；纵上所示，Q点坐标存在，为(2，2)或(4，17)或(4，17-)或(2-，314+)或(2-，314-)．4．（2020•重庆）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝x2+bx+c与直线AB相交于A，B两点，其中A（﹣3，﹣4），B（0，﹣1）．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）点P为直线AB下方抛物线上的任意一点，连接P A，PB，求△P AB面积的最大值；（3）将该抛物线向右平移2个单位长度得到抛物线y＝a1x2+b1x+c1（a1≠0），平移后的抛物线与原抛物线相交于点C，点D为原抛物线对称轴上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点E，使以点B，C，D，E为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）将点A 、B 的坐标代入抛物线表达式，即可求解；（2）△P AB 面积S =12×PH ×（x B ﹣x A ）=12（x ﹣1﹣x 2﹣4x +1）×（0+3）=−32x 2−92x ，即可求解；（3）分BC 为菱形的边、菱形的的对角线两种情况，分别求解即可．【解析】（1）将点A 、B 的坐标代入抛物线表达式得{−4=9−3b +c c =−1，解得{b =4c =−1，故抛物线的表达式为：y ＝x 2+4x ﹣1；（2）设直线AB 的表达式为：y ＝kx +t ，则{−4=−3k +t t =−1，解得{k =1t =−1，故直线AB 的表达式为：y ＝x ﹣1， 过点P 作y 轴的平行线交AB 于点H ，设点P （x ，x 2+4x ﹣1），则H （x ，x ﹣1），△P AB 面积S =12×PH ×（x B ﹣x A ）=12（x ﹣1﹣x 2﹣4x +1）×（0+3）=−32x 2−92x ， △−32＜0，故S 有最大值，当x =−32时，S 的最大值为278；（3）抛物线的表达式为：y ＝x 2+4x ﹣1＝（x +2）2﹣5， 则平移后的抛物线表达式为：y ＝x 2﹣5，联立上述两式并解得：{x =−1y =−4，故点C （﹣1，﹣4）；设点D （﹣2，m ）、点E （s ，t ），而点B 、C 的坐标分别为（0，﹣1）、（﹣1，﹣4）； △当BC 为菱形的边时，点C 向右平移1个单位向上平移3个单位得到B ，同样D （E ）向右平移1个单位向上平移3个单位得到E （D ），即﹣2+1＝s 且m +3＝t △或﹣2﹣1＝s 且m ﹣3＝t △，当点D 在E 的下方时，则BE ＝BC ，即s 2+（t +1）2＝12+32△， 当点D 在E 的上方时，则BD ＝BC ，即22+（m +1）2＝12+32△， 联立△△并解得：s ＝﹣1，t ＝2或﹣4（舍去﹣4），故点E （﹣1，3）； 联立△△并解得：s ＝1，t ＝﹣4±√6，故点E （1，﹣4+√6）或（1，﹣4−√6）； △当BC 为菱形的的对角线时，则由中点公式得：﹣1＝s ﹣2且﹣4﹣1＝m +t △， 此时，BD ＝BE ，即22+（m +1）2＝s 2+（t +1）2△， 联立△△并解得：s ＝1，t ＝﹣3， 故点E （1，﹣3），综上，点E 的坐标为：（﹣1，2）或（﹣3，﹣4+√6）或（﹣3，﹣4−√6）或（1，﹣3）． 5．（2021·黑龙江中考真题）综合与探究如图，在平面直角坐标系中，抛物线2()20y ax x c a =++≠与x 轴交于点A 、B ，与y 轴交于点C ，连接BC ，1OA =，对称轴为2x =，点D 为此抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线上C ，D 两点之间的距离是__________；（3）点E 是第一象限内抛物线上的动点，连接BE 和CE ．求BCE 面积的最大值； （4）点P 在抛物线对称轴上，平面内存在点Q ，使以点B 、C 、P 、Q 为顶点的四边形为矩形，请直接写出点Q 的坐标．【答案】（1）215222y x x =-++；（2）22；（3）12516；（4）(7,4)或7(3,)2--或3(3,)2或(3,4)． 【分析】（1）先根据对称轴可得a 的值，再根据1OA =可得点A 的坐标，代入抛物线的解析式即可得；（2）利用抛物线的解析式分别求出点,C D 的坐标，再利用两点之间的距离公式即可得； （3）过点E 作x 轴的垂线，交BC 于点F ，先利用待定系数法求出直线BC 的解析式，再设点E 的坐标为215(,2)22E t t t -++，从而可得05t <<和F 的坐标，然后根据BCE CEF BEF S S S =+△△△可得BCES关于t 的函数关系式，利用二次函数的性质求解即可得；（4）设点P 的坐标为(2,)P m ，分△当BC 为矩形BCPQ 的边时，△当BC 为矩形BCQP 的边时，△当BC 为矩形BPCQ 的对角线时三种情况，再分别利用待定系数法求直线的解析式、矩形的性质、点坐标的平移变换规律求解即可得． 【详解】解：（1）抛物线2()20y ax x c a =++≠的对称轴为222x a=-=， 12a ∴=-，2122y x x c ∴=-++，1OA =，且点A 在x 轴负半轴上，(1,0)A ∴-，将点(1,0)A -代入2122y x x c =-++得：1202c --+=，解得52c =，则抛物线的解析式为215222y x x =-++；（2）215222y x x =-++化成顶点式为219(2)22y x =--+，则顶点D 的坐标为9(2,)2D ，当0x =时，52y =，即5(0,)2C ，则抛物线上,C D 两点之间的距离是2295(20)()2222-+-=，故答案为：22；（3）如图，过点E 作x 轴的垂线，交BC 于点F ，(1,0)A -，抛物线的对称轴为2x =， (5,0)B ∴，设直线BC 的解析式为y kx b =+，将点(5,0),5(0,)2C B 代入得：5052k b b +=⎧⎪⎨=⎪⎩，解得1252k b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 则直线BC 的解析式为1522y x =-+，设点E 的坐标为215(,2)22E t t t -++，则05t <<，15(,)22F t t -+，221515152()222222EF t t t t t ∴=-++--+=-+，22115115()(5)()222222BCECEFBEFSSSt t t t t t ∴=+=-++--+， 255125()4216t =--+，由二次函数的性质得：在05t <<内，当52t =时，BCES 取最大值，最大值为12516， 即BCE 面积的最大值为12516； （4）设点P 的坐标为(2,)P m ， 由题意，分以下三种情况：△当BC 为矩形BCPQ 的边时，则CP BC ⊥， 设直线CP 的解析式为2y x n =+，将点5(0,)2C 代入得：52n =， 则直线CP 的解析式为522y x =+， 将点(2,)P m 代入得：5132222m =⨯+=，即13(2,)2P ， ∴将点C 先向右平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度可得到点P ，四边形BCPQ 是矩形，∴点C 平移至点P 的方式与点B 平移至点Q 的方式相同，(5,0)B ，(52,04)Q ∴++，即(7,4)Q ；△当BC 为矩形BCQP 的边时，则BP BC ⊥， 同（4）△的方法可得：点Q 的坐标为7(3,)2Q --；△当BC 为矩形BPCQ 的对角线时，则BP CP ⊥，222CP BP BC ∴+=，即22222255(20)()(25)(0)(50)(0)22m m -+-+-+-=-+-，解得4m =或32m =-，(2,4)P ∴或3(2,)2P -，当点P 的坐标为(2,4)P 时，则将点P 先向左平移2个单位长度，再向下平移32个单位长度可得到点C ， 四边形BPCQ 是矩形，∴点P 平移至点C 的方式与点B 平移至点Q 的方式相同，3(52,0)2Q ∴--，即3(3,)2Q -；同理可得：当点P 的坐标为3(2,)2P -时，点Q 的坐标为(3,4)Q ，综上，点Q 的坐标为(7,4)或7(3,)2--或3(3,)2或(3,4)．6．（2021·四川中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线2y x bx c =-++交x 轴于点A 和()1,0C ，交y 轴于点()0,3B ，抛物线的对称轴交x 轴于点E ，交抛物线于点F ．（1）求抛物线的解析式；（2）将线段OE 绕着点О沿顺时针方向旋转得到线段'OE ，旋转角为()090αα︒<<︒，连接'AE ，'BE ，求13''BE AE +的最小值． （3）M 为平面直角坐标系中一点，在抛物线上是否存在一点N ，使得以A ，B ，M ，N 为顶点的四边形为矩形？若存在，请直接写出点N 的横坐标；若不存在，请说明理由； 【答案】（1）223y x x =--+；（2）823；（3）存在，N 点的横坐标分别为：2，1-，152-+或152--． 【分析】（1）待定系数法求二次函数解析式，设解析式为2y x bx c =-++将()1,0C ，()0,3B 两点代入求得b ，c 的值即可；（2）胡不归问题，要求13''BE AE +的值，将折线化为直线，构造相似三角形将13'AE 转化为13'DE ，再利用三角形两边之和大于第三边求得13''BE AE +最值； （3）分2种情形讨论：△AB 为矩形的一条边，利用等腰直角三角形三角形的性质可以求得N 点的坐标;△AB 为矩形的对角线，设R 为AB 的中点,RN =12AB ,利用两点距离公式求解方程可得N 点的坐标． 【详解】解：（1）△2y x bx c =-++过()1,0C ，()0,3B△103b c c -++=⎧⎨=⎩△2b =-，3c =△抛物线的解析式为：223y x x =--+（2）在OE 上取一点D ，使得13OD OE =，连接'AE ，BD△11'33OD OE OE ==对称轴3112x -+==-． △()1,0E -，1OE ='1OE OE ==，3OA = △'1'3OE OD OA OE ==，''DOE E OA ∠=∠ △''DOE E OA ∆∆∽ △1''3DE AE =△1''''3BE AE BE DE +=+当B ，'E ，D 三点在同一点直线上时，''BE DE +最小为BD ． 在Rt BOD ∆中，13OD =，3OB =△2222182333BD OB OD ⎛⎫=+=+=⎪⎝⎭ 即13''BE AE +最小值为823．（3）情形△如图，AB 为矩形的一条边时，联立223y y x x =⎧⎨=--+⎩得31,00x x y y =-=⎧⎧⎨⎨==⎩⎩ (3,0),3A OA ∴-=3OB =ABO ∴是等腰Rt ，45BAO ∠=︒分别过,A B 两点作AB 的垂线，交223y x x =--+于点12,N N ， 过12,N N 作1N Q y ⊥轴，2N P x ⊥轴,1245QBN PAN ∴∠=∠=︒∴ 1BN Q △,2AN P △也是等腰直角三角形设QB m =，则1N Q m =，所以1(,3)N m m -+代入223y x x =--+，解得11m =,20m =（不符题意，舍）∴1(1,4)N -同理，设OP n =，则=3PN n + ，所以2(,3)N n n -- 代入223y x x =--+，解得1n 2=,23n =-（不符题意，舍）2(2,-5)N ∴△ AB 为矩形的对角线，设R 为AB 的中点,则12RN AB =()3,0,()0,3A B -33(,)22R ∴-，223332AB =+=13222RB AB ∴==12RN AB = 32=2RN ∴ 设2(,23)N x x x --+ ，则 22223332()(2)()222x x x +++-=整理得：2(3)(1)0x x x x ++-=解得：1=0x （不符题意，舍），23x =-（不符题意，舍）， 315=2x -+ ， 415=2x --∴ 综上所述：N 点的横坐标分别为：2，1-，152-+或152--．。
2020年中考数学二次函数压轴题之平行四边形的存在性问题
2020年中考数学二次函数压轴题之平行四边形的存在性问题1．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+bx+2（a≠0）与 x 轴交于 A（﹣1， 0），B（3，0）两点，与 y 轴交于点C，连接 BC．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）若点N 为抛物线对称轴上一点，抛物线上是否存在点M，使得以 B，C，M，N 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点 M 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）点 P 是直线 BC 上方抛物线上的点，若∠PCB＝∠BCO，求出 P 点的到 y 轴的距离．【解析】解：（1）将点 A（﹣1，0），B（3，0）代入 y＝ax2+bx+2，可得 a = -2/3 , b = 4/3 ,∴ y＝-2/3 x2+ 4/3 x + 2，（2）存在点 M 使得以 B，C，M，N 为顶点的四边形是平行四边形，由题得，B（3，0），C（0，2），设N（1，n），M（x，y），尚老师数学【分类讨论】分别以 BC 为边和对角线作平行四边形来讨论，能画出图形是解题的关键！【对点法求坐标】Xp = 1/2（Xm + Xb）= 1/2（Xc + Xn）, （坐标中点公式）①四边形 CMNB 是平行四边形时，1/2 = （3 + x）/ 2，∴ x＝﹣2，∴ M（-2，-3/10）；②四边形 CNBM 是平行四边形时，3/2 = （1 + x）/ 2，，∴ x＝2，∴ M（2，2）；③四边形 CNMB 是平行四边形时，（1 + 3）/2 = x/ 2，∴ x＝4，∴ M（4，-3/10）；综上所述：M（2，2）或 M（4，-3/10）或 M（-2，-3/10）；（3）解【转化数学思想】通过转化构造出直角三角形，问题迎刃而解，作出辅助线是解题的关键！如何作辅助线？一定要结合已知条件（∠PCB＝∠BCO）！过点 B 作 BH 平行于 y 轴交 PC 的延长线与 H 点．∵ BH∥OC，∴ ∠OCB＝∠HBC，又∠OCB＝∠BCP，∴ ∠PCB＝∠HBC，∴ HC＝HB，又∵ OC⊥OB，∴ HB⊥OB，故可设 H（3，m），即 HB＝HC＝m，过点 H 作 HN 垂直 y 轴于 N，在Rt△HCN 中，则 m2＝3^2 +（m﹣2）2，解得 m = 13/4 ,∴ H（3,13/4），由点 C、P 的坐标可得，设直线 CP 的解析式为：y = 5/12 x + 2 , 故有 -2/3 x2+ 4/3 x + 2 = 5/12 x + 2 ,解得 x1＝0（舍去），x2 = 11/8 ,即点 P 到 y 轴的距离是 11/8 。
专题05二次函数中特殊平行四边形存在性问题(原卷版)
挑战2023年中考数学解答题压轴真题汇编专题05 二次函数中特殊平行四边形存在性问题一．平行四边形的存在性1．（2022•重庆）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B（0，3）．（1）求抛物线的函数表达式；（2）点P为直线AB上方抛物线上一动点，过点P作PQ⊥x轴于点Q，交AB于点M，求PM+AM的最大值及此时点P的坐标；（3）在（2）的条件下，点P′与点P关于抛物线y＝﹣x2+bx+c的对称轴对称．将抛物线y＝﹣x2+bx+c向右平移，使新抛物线的对称轴l经过点A．点C在新抛物线上，点D在l上，直接写出所有使得以点A、P′、C、D为顶点的四边形是平行四边形的点D的坐标，并把求其中一个点D的坐标的过程写出来．2．（2022•郴州）已知抛物线y＝x2+bx+c与x轴相交于点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴相交于点C．（1）求抛物线的表达式；（2）如图1，将直线BC向上平移，得到过原点O的直线MN．点D是直线MN上任意一点．①当点D在抛物线的对称轴l上时，连接CD，与x轴相交于点E，求线段OE的长；②如图2，在抛物线的对称轴l上是否存在点F，使得以B，C，D，F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点F与点D的坐标；若不存在，请说明理由．3．（2022•攀枝花）如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于O（O为坐标原点），A两点，且二次函数的最小值为﹣1，点M（1，m）是其对称轴上一点，y轴上一点B（0，1）．（1）求二次函数的表达式；（2）二次函数在第四象限的图象上有一点P，连结P A，PB，设点P的横坐标为t，△P AB的面积为S，求S与t的函数关系式；（3）在二次函数图象上是否存在点N，使得以A、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有符合条件的点N的坐标，若不存在，请说明理由．4．（2022•内蒙古）如图，抛物线y＝ax2+x+c经过B（3，0），D（﹣2，﹣）两点，与x轴的另一个交点为A，与y轴相交于点C．（1）求抛物线的解析式和点C的坐标；（2）若点M在直线BC上方的抛物线上运动（与点B，C不重合），求使△MBC面积最大时M点的坐标，并求最大面积；（请在图1中探索）（3）设点Q在y轴上，点P在抛物线上，要使以点A，B，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，求所有满足条件的点P的坐标．（请在图2中探索）5．（2022•资阳）已知二次函数图象的顶点坐标为A（1，4），且与x轴交于点B （﹣1，0）．（1）求二次函数的表达式；（2）如图，将二次函数图象绕x轴的正半轴上一点P（m，0）旋转180°，此时点A、B的对应点分别为点C、D．①连结AB、BC、CD、DA，当四边形ABCD为矩形时，求m的值；②在①的条件下，若点M是直线x＝m上一点，原二次函数图象上是否存在一点Q，使得以点B、C、M、Q为顶点的四边形为平行四边形，若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．二．矩形的存在性6．（2022•泸州）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2+x+c经过A（﹣2，0），B（0，4）两点，直线x＝3与x轴交于点C．（1）求a，c的值；（2）经过点O的直线分别与线段AB，直线x＝3交于点D，E，且△BDO与△OCE的面积相等，求直线DE的解析式；（3）P是抛物线上位于第一象限的一个动点，在线段OC和直线x＝3上是否分别存在点F，G，使B，F，G，P为顶点的四边形是以BF为一边的矩形？若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．8．（2021•齐齐哈尔）综合与探究如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+2x+c（a≠0）与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，连接BC，OA＝1，对称轴为直线x＝2，点D为此抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线上C、D两点之间的距离是2；（3）点E是第一象限内抛物线上的动点，连接BE和CE，求△BCE面积的最大值；（4）点P在抛物线对称轴上，平面内存在点Q，使以点B、C、P、Q为顶点的四边形为矩形，请直接写出点Q的坐标．9．（2022•随州）如图1，平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）与x轴分别交于点A和点B（1，0），与y轴交于点C，对称轴为直线x＝﹣1，且OA＝OC，P为抛物线上一动点．（1）直接写出抛物线的解析式；（2）如图2，连接AC，当点P在直线AC上方时，求四边形P ABC面积的最大值，并求出此时P点的坐标；（3）设M为抛物线对称轴上一动点，当P，M运动时，在坐标轴上是否存在点N，使四边形PMCN为矩形？若存在，直接写出点P及其对应点N的坐标；若不存在，请说明理由．10．（2023•秦都区校级二模）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0）、B两点（点B在点A的右侧），与y轴交于点C，且OC＝3OA，点D为抛物线的对称轴与x轴的交点，连接CD．（1）求抛物线的函数表达式；（2）点F为坐标平面内一点，在第一象限的抛物线上是否存在点E，使得以点C、D、E、F为顶点的四边形是以CD为边的矩形？若存在，请求出符合条件的点E的横坐标；若不存在，请说明理由．7．（2022•元宝区校级二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，连接BC，OA＝1，对称轴为直线x＝2，点D为此抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线上C、D两点之间的距离是11；（3）点E是第一象限内抛物线上的动点，连接BE和CE，求△BCE面积的最大值；（4）点P在抛物线对称轴上，平面内存在点Q，使以点B、C、P、Q为顶点的四边形为矩形，请直接写出点Q的坐标．8．（2022•鱼峰区模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c与坐标轴交于A（0，﹣2），B（4，0）两点，直线BC：y＝﹣2x+8交y轴于点C．（1）求该抛物线的解析式；（2）在第二象限内是否存在一点M，使得四边形ABCM为矩形？如果存在，求出点M的坐标；如果不存在，请说明理由．三．菱形的存在性9．（2022•朝阳）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+2x+c与x轴分别交于点A（1，0）和点B，与y轴交于点C（0，﹣3），连接BC．（1）求抛物线的解析式及点B的坐标．（2）如图，点P为线段BC上的一个动点（点P不与点B，C重合），过点P 作y轴的平行线交抛物线于点Q，求线段PQ长度的最大值．（3）动点P以每秒个单位长度的速度在线段BC上由点C向点B运动，同时动点M以每秒1个单位长度的速度在线段BO上由点B向点O运动，在平面内是否存在点N，使得以点P，M，B，N为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出符合条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由．10．（2021•湘潭）如图，一次函数y＝x﹣图象与坐标轴交于点A、B，二次函数y＝x2+bx+c图象过A、B两点．（1）求二次函数解析式；（2）点B关于抛物线对称轴的对称点为点C，点P是对称轴上一动点，在抛物线上是否存在点Q，使得以B、C、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，求出Q点坐标；若不存在，请说明理由．11．（2021•鄂尔多斯）如图，抛物线y＝x2+2x﹣8与x轴交于A，B两点（点A 在点B左侧），与y轴交于点C．（1）求A，B，C三点的坐标；（2）连接AC，直线x＝m（﹣4＜m＜0）与该抛物线交于点E，与AC交于点D，连接OD．当OD⊥AC时，求线段DE的长；（3）点M在y轴上，点N在直线AC上，点P为抛物线对称轴上一点，是否存在点M，使得以C、M、N、P为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．12．（2021•通辽）如图，抛物线y＝ax2+bx+3交x轴于A（3，0），B（﹣1，0）两点，交y轴于点C，动点P在抛物线的对称轴上．（1）求抛物线的解析式；（2）当以P，B，C为顶点的三角形周长最小时，求点P的坐标及△PBC的周长；（3）若点Q是平面直角坐标系内的任意一点，是否存在点Q，使得以A，C，P，Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出所有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．13．（2021•娄底）如图，在直角坐标系中，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴相交于点A（﹣1，0）和点B（3，0），与y轴交于点C．（1）求b、c的值；（2）点P（m，n）为抛物线上的动点，过P作x轴的垂线交直线l：y＝x于点Q．①当0＜m＜3时，求当P点到直线l：y＝x的距离最大时m的值；②是否存在m，使得以点O、C、P、Q为顶点的四边形是菱形，若不存在，请说明理由；若存在，请求出m的值．14．（2021•山西）综合与探究如图，抛物线y＝x2+2x﹣6与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连接AC，BC．（1）求A、B，C三点的坐标并直接写出直线AC，BC的函数表达式．（2）点P是直线AC下方抛物线上的一个动点，过点P作BC的平行线l，交线段AC于点D．①试探究：在直线l上是否存在点E，使得以点D，C，B，E为顶点的四边形为菱形，若存在，求出点E的坐标，若不存在，请说明理由；②设抛物线的对称轴与直线l交于点M，与直线AC交于点N．当S△DMN ＝S△AOC时，请直接写出DM的长．15．（2020•阜新）如图，二次函数y＝x2+bx+c的图象交x轴于点A（﹣3，0），B（1，0），交y轴于点C．点P（m，0）是x轴上的一动点，PM⊥x轴，交直线AC于点M，交抛物线于点N．（1）求这个二次函数的表达式；（2）①若点P仅在线段AO上运动，如图，求线段MN的最大值；②若点P在x轴上运动，则在y轴上是否存在点Q，使以M，N，C，Q为顶点的四边形为菱形．若存在，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．。
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对称轴为直线 l ，点 M 是线段 AB 的中点. （1）求抛物线的表达式； （2）写出点 M 的坐标并求直线 AB 的表达式； （3）设动点 P ， Q 分别在抛物线和对称轴 l 上，当以 A ， P ，Q ， M 为顶点的四边形是平行四边形 时，求 P ， Q 两点的坐标.
抛物线中平行四边形存在性问题习题 1.如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线 y＝－x2+2x＋3 与 x 轴交于 A、B 两点，点 M 在这条抛物 线上，点 P 在 y 轴上，如果以点 P、M、A、B 为顶点的四边形是平行四边形，求点 M 的坐标．
2.（2019·内蒙古中考真题）已知，如图，抛物线 y ax2 bx c(a 0) 的顶点为 M (1,9) ，经过抛物 线上的两点 A(3, 7) 和 B(3, m) 的直线交抛物线的对称轴于点 C ． （1）求抛物线的解析式和直线 AB 的解析式． （2）若点 P 在抛物线上，点 Q 在 x 轴上，当以点 A, M , P,Q 为顶点的四边形是平行四边形时，直接写 出满足条件的点 P 的坐标．
4.（2017·泰安）如图，是将抛物线 ri 平移后得到的抛物线，其对称轴为 r ，与 x 轴的一 个交点为 t i ， 体，另一个交点为 B，与 y 轴的交点为 C． t 体求抛物线的函数表达式； t 体若点 N 为抛物线上一点，且 t t，求点 N 的坐标； tt体点 P 是抛物线上一点，点 Q 是一次函数 r t t的图象上一点，若四边形 OAPQ 为平行四边形， 这样的点 P、Q 是否存在？若存在，分别求出点 ， 的坐标；若不存在，说明理由．