方向导数与偏导数
偏导数、全微分、方向导数三者之间的关系
数学学习与研究2014.14【摘要】本文通过定理及反例的形式给出偏导数、全微分、方向导数三者之间的关系,从而使学习者更加认清三者之间的联系.【关键词】偏导数;全微分;方向导数对于偏导数、全微分、方向导数三者之间的内在联系一直是学生难以理解和容易混淆的内容,本文以二元函数为例,通过定理及反例的形式给出偏导数、全微分、方向导数三者之间的关系,以便加深学生对上述内容的理解.一、偏导数存在与全微分存在之间的关系定理一如果函数z =f (x ,y )在点(x ,y )可微分,则该函数在点(x ,y )的偏导数∂z ∂x 、∂z ∂y存在.反之不成立.例1函数f (x ,y )=xy x 2+y2√,x 2+y 2≠0,0,x 2+y 2=0,{在点(0,0)处有f x (0,0)=0,f y (0,0)=0,但是lim ρ(Δx=Δy )→0Δz -(f x (0,0)Δx +f y (0,0)Δy )ρ=limρ(Δx=Δy )→0Δx ·Δx (Δx )2+(Δx )2=12,并不是比ρ高阶的无穷小,因此,该函数在点(0,0)处的全微分不存在.定理二如果函数z =(x ,y )的偏导数∂z ∂x ,∂z ∂y 在点(x ,y )连续,则函数在该点可微分.二、偏导数存在与任意方向的方向导数存在之间的关系首先,函数z =f (x ,y )在点(x ,y )两个偏导数存在,只能说明该函数在点(x ,y )沿=(1,0)(或=(-1,0))及=(0,1)(或=(0,-1)),(x ,y ).例2设函数f (x ,y )=xy x 2+y 2,x 2+y 2≠0,0,x 2+y 2=0,{函数f (x ,y )在(0,0)处有f x (0,0)=0,f y (0,0)=0.设l 是以(0,0)为始点、=cos π4,cosπ4()的一条射线,则limρ→0+f ρcos π4,ρcosπ4()-f (0,0)ρ=lim ρ→0+ρ2cos π4cos π4ρ3=12lim ρ→0+1ρ,此极限显然不存在,所以∂f∂l (0,0)不存在.其次,函数z =f (x ,y )在点(x ,y )沿任意方向的方向导数都存在并不能保证该函数在点(x ,y )偏导数存在.例3设f (x ,y )=x 2+y 2√,则f (x ,y )在点(0,0)沿任意射线l(=(cos α,cos β))的方向导数为:∂f∂l(0,0)=lim ρ→0+f (ρcos α,ρcos β)-f (0,0)ρ=lim ρ→0+(ρcos α)2+(ρcos β)2√ρ=1.但是,f x (0,0),f y (0,0)显然不存在.所以函数z =f (x ,y )在点(x ,y )处沿任意方向的方向导数存在既不是它在点(x ,y )处偏导数存在的充分条件也不是必要条件.三、任意方向的方向导数存在与全微分存在之间的关系定理三如果函数z =f (x ,y )在点(x ,y )全微分存在,则该函数在点(x ,y )沿任意方向的方向导数存在.反之不成立.例4设函数f (x ,y )=xy x 2+y 2√,x 2+y 2≠0,0,x 2+y 2=0,{则f (x ,y )在点(0,0)沿任意方向l(=l =(cos α,cos β))的方向导数为:∂f∂l (0,0)=lim ρ→0+f (ρcos α,ρcos β)-f (0,0)ρ=lim ρ→0+ρ2cos αcos βρ2=cos αcos β.但由例1可知,该函数在点(0,0)处的全微分不存在.上述定理的证明,可参考同济大学数学系编的《高等数学》,在此不再赘述.【参考文献】[1]同济大学数学系编.高等数学[M ].北京:高等教育出版社,2009.[2]刘玉琏,傅沛仁,林玎等.数学分析讲义[M ].北京:高等教育出版社,2010.偏导数、全微分、方向导数三者之间的关系◎徐志敏(大连交通大学116028). All Rights Reserved.。
直观理解梯度，以及偏导数、方向导数和法向量等（转载）
直观理解梯度，以及偏导数、⽅向导数和法向量等（转载）写在前⾯梯度是微积分中的基本概念，也是机器学习解优化问题经常使⽤的数学⼯具（梯度下降算法），虽然常说常听常见，但其细节、物理意义以及⼏何解释还是值得深挖⼀下，这些不清楚，梯度就成了“熟悉的陌⽣⼈”，仅仅“记住就完了”在⽤时难免会感觉不踏实，为了“⽤得放⼼”，本⽂将尝试直观地回答以下⼏个问题，梯度与偏导数的关系？梯度与⽅向导数的关系？为什么说梯度⽅向是上升最快的⽅向，负梯度⽅向为下降最快的⽅向？梯度的模有什么物理意义？等⾼线图中绘制的梯度为什么垂直于等⾼线？全微分与隐函数的梯度有什么关系？梯度为什么有时⼜成了法向量？闲话少说，书归正传。
在全篇“作⽤域”内，假定函数可导。
偏导数在博⽂《单变量微分、导数与链式法则 | | 》中，我们回顾了常见初等函数的导数，概括地说，导数是⼀元函数的变化率（斜率）。
导数也是函数，是函数的变化率与位置的关系。
如果是多元函数呢？则为偏导数。
偏导数是多元函数“退化”成⼀元函数时的导数，这⾥“退化”的意思是固定其他变量的值，只保留⼀个变量，依次保留每个变量，则NN元函数有NN个偏导数。
以⼆元函数为例，令z=f(x,y)z=f(x,y)，绘制在3维坐标系如下图所⽰，在分别固定yy和xx的取值后得到下图中的⿊⾊曲线——“退化”为⼀元函数，⼆维坐标系中的曲线——则偏导数∂z∂x∂z∂x和∂z∂y∂z∂y分别为曲线的导数（切线斜率）。
由上可知，⼀个变量对应⼀个坐标轴，偏导数为函数在每个位置处沿着⾃变量坐标轴⽅向上的导数（切线斜率）。
⽅向导数如果是⽅向不是沿着坐标轴⽅向，⽽是任意⽅向呢？则为⽅向导数。
如下图所⽰，点PP位置处红⾊箭头⽅向的⽅向导数为⿊⾊切线的斜率，来⾃链接⽅向导数为函数在某⼀个⽅向上的导数，具体地，定义xyxy平⾯上⼀点(a,b)(a,b)以及单位向量u=(cosθ,sinθ)u→=(cosθ,sinθ)，在曲⾯z=f(x,y)z=f(x,y)上，从点(a,b,f(a,b))(a,b,f(a,b))出发，沿u=(cosθ,sinθ)u→=(cosθ,sinθ)⽅向⾛tt单位长度后，函数值zz为F(t)=f(a+tcosθ,b+tsinθ)F(t)=f(a+tcosθ,b+tsinθ)，则点(a,b)(a,b)处u=(cosθ,sinθ)u→=(cosθ,sinθ)⽅向的⽅向导数为：=====ddtf(a+tcosθ,b+tsinθ)∣∣∣t=0limt→0f(a+tcosθ,b+tsinθ)−f(a,b)tlimt→0f(a+tcosθ,b+tsinθ)−f(a,b+tsinθ)t+limt→0f(a,b+tsinθ)−f(a,b)t∂∂xf(a,b)dxdt+∂∂yf(a,b)dydtfx(a,b)cosθ+fy(a,b)sinθ(fx(a,b),fy( (fx(a,b),fy(a,b))⋅(cosθ,sinθ)上⾯推导中使⽤了链式法则。
方向导数和偏导数
⽅向导数和偏导数1.⽅向导数定义设开集D⊂R n,f:D→R,→u是⼀个⽅向，如果极限limt→0f x0+tu−f x0t存在，那么这个\boldsymbol{极限}称为函数\boldsymbol{f}沿⽅向\overrightarrow{u}的⽅向导数，记作\displaystyle\frac{\partial f}{\partial\boldsymbol{u}}\left(\boldsymbol{x}_{0}\right)2.Notice and comments2.1与⼀维导数不同⽐较值得注意的是此处与⼀元导数的定义完全不同的⼀点是，按照这个定义，f(x)的⽅向导数在考察相反⽅向时，⽅向导数正负号相反。
\displaystyle\frac{f\left(x_{0}+t(-u)\right)-f\left(x_{0}\right)}{t}=-\frac{f\left(x_{0}+(-t) u\right)-f\left(x_{0}\right)}{-t}这⾥对⽐⼀维情况失去了⼀种对称性（即相反⽅向的⽅向导数相同），这是由于对于⼀维的情况，两点的”距离“可以简单的⽤⼀个有正负的数字表⽰，但是对于⾼纬度，两个点的距离没有正负的概念（当然可以强⾏定义，根据他们之间差向量的分量有多少正多少负来定义），这样，定义⽅向导数时，分母的正负是没有办法确定正负的。
所以失去的对称性可以认为是⾼维时难以⽤正负表⽰两个点的⽅向关系。
2.2⼆元代换在考察⼆元函数时，⽐较普遍的⼀种⽅法是，借助三⾓代换u=(\cos \theta, \sin \theta)3。
偏导数和偏微分算⼦仍使⽤上个subsection的空间，考察这个空间的⼀组标准基：\begin{aligned} \boldsymbol{e}_{1} &=(1,0,0, \cdots, 0) \\ \boldsymbol{e}_{2} &=(0,1,0, \cdots, 0) \\ & \cdots \cdots \\\boldsymbol{e}_{n} &=(0,0, \cdots, 0,1) \end{aligned}则f在x_0处沿e_{i}的⽅向导数称为，f在x_0处的第i个偏导数，简记为：\displaystyle\frac{\partial f}{\partial x_{i}}\left(x_{0}\right) \quad or \quad D_{i} f\left(x_{0}\right)并称D_{i}=\frac{\partial}{\partial x_{i}}为第i个偏微分算⼦\在偏导数这⾥我们发现，偏导数由于没有规定和考虑反向，是⼀个确定的值。
方向导数,可微,偏导存在的基本关
方向导数,可微,偏导存在的基本关系!!
f(x,y)在(0,0)偏导数存在说明沿x,y轴的正,负方向导数存在.
那么(x,y)在任意点处偏导数存在和任意方向的方向导数存在是什么关系?
那么偏导数不存在和任意方向的方向导数存在是什么关系?
那么方向导数和可微的关系又是什么?
2李的新东方2004考研flash 29-2节说
f(x,y)在某点可微===》f(x,y)在某点沿任何方向存在方向导数==》f(x,y)在某点存在偏导数
但是660（2006版）题210页407题
函数z=(x^2+y^2)^(1/2)在点（0，0）
这个函数在(0,0)偏导不存在， 但是在这点处任意方向的方向导数存在（答案这么说的）
那么跟f(x,y)在某点沿任何方向存在方向导数==》f(x,y)在某点存在偏导数 是否矛盾，哪个对？
2.以二元函数为例,f(x,y)在(x,y)处关于x(或y)可偏导的充要条件是:f(x,y)沿着x轴的正方向和负方向的方向导数都存在且为相反数.
1.这只是我个人的想法哦,仅供参考:
"沿任何方向的方向导数存在"的条件虽然很强,但并不能保证沿着某个方向及其相反方向的方向导数互为相反数,因此不能保证偏导数存在;同样偏导数存在也不能保证在任何方向上方向导数都存在.
1.在M0点沿任何方向的方向导数存在 不能推出M0点偏导数存在
2.M0点偏导数存在 不能推出在M0点沿任何方向的方向导数存在
3.在M0点沿坐标轴方向的方向导数存在 不能推出M0点偏导数存在
4.M0点偏导数存在 一定有在M0点沿坐标轴方向的方向导数存在
1，3的反例 f(x,y)=|x|
2的反例 f(x,y)=xy/(x^2+y^2)^2。
偏导数与方向导数
偏导数与方向导数偏导数和方向导数是微积分中重要的概念，用于研究多变量函数的变化规律。
它们在各个学科领域中都有广泛的应用，如物理学、经济学、工程学等。
本文将详细介绍偏导数和方向导数的定义、计算方法以及实际应用。
一、偏导数偏导数是多元函数中对某一变量的导数，保持其他变量不变。
对于一个函数f(x1, x2, ..., xn)，我们可以对其中的任意一个变量进行求导，得到对应的偏导数。
用符号∂表示偏导数。
1.1 定义对于一个二元函数f(x, y)，它的偏导数可以表示为：∂f/∂x = lim(Δx→0)(f(x+Δx, y) –f(x,y))/Δx类似地，我们可以计算f(x, y)对y的偏导数：∂f/∂y = lim(Δy→0) (f(x, y+Δy) –f(x,y))/Δy1.2 计算方法偏导数的计算与求常导数类似，只需将其他变量视为常数。
对于高阶偏导数的计算，可逐个变量进行求导。
1.3 应用举例偏导数的应用非常广泛。
举几个例子：例1：经济学中的边际效应在经济学中，边际效应描述了某一变量的微小变化对整体效果的影响。
偏导数可以用来计算边际效应，帮助经济学家进行政策制定和预测。
例2：物理学中的速度与加速度在物理学中，速度和加速度是描述物体运动的重要概念。
对于复杂的多变量函数，通过求偏导数可以得到速度和加速度的具体数值。
二、方向导数方向导数可以理解为多元函数在给定方向上的变化率。
与偏导数类似，方向导数可以帮助我们理解函数在不同方向上的变化情况。
2.1 定义设函数f(x, y)在点P(x0, y0)处可微分，方向向量为u=(a, b)，则函数f(x, y)在P点沿u的方向导数为：∂f/∂u = ∂f/∂x * a + ∂f/∂y * b2.2 计算方法方向导数的计算需要使用向量运算。
可以根据给定的方向向量和偏导数，按照一定的公式计算得到方向导数。
2.3 应用举例方向导数的应用非常广泛，尤其在优化问题和最优化算法中常常用到。
偏导数的几何意义
偏导数的几何意义导数是微积分的重要概念，描述了函数的变化率和切线的斜率。
而函数可以是多变量的，也就是包含多个自变量的函数。
在多变量函数中，我们常常使用偏导数来描述函数在某个指定变量处的变化率。
本文将会探讨偏导数的几何意义以及其在实际应用中的重要性。
一、偏导数的定义和计算方法首先，我们来了解一下偏导数的定义。
对于多变量函数f(x1,x2,...,xn)，我们可以将其中一个自变量视为固定值，而对其他自变量求导。
这就得到了偏导数。
偏导数可以记作∂f/∂xi，其中∂表示对单个变量求导。
计算偏导数的方法与对单变量函数求导的方法类似。
对于多变量函数f(x1,x2,...,xn)，我们将其中的其他自变量视为常数，然后对指定的自变量进行求导。
例如，对于函数f(x,y)=x^2+y^2，在x处求偏导数时，我们将y视为常数，对x进行求导，得到2x；而在y处求偏导数时，我们将x视为常数，对y进行求导，得到2y。
二、1. 偏导数与斜率的关系偏导数可以看作是多变量函数图像上某点处的切线斜率。
在二维平面中，对于函数f(x,y)，偏导数∂f/∂x和∂f/∂y分别表示了函数在x和y 方向上的变化率。
因此，它们可以用来确定函数图像上某点处的切线斜率。
当在点(x0,y0)处求对x的偏导数时，结果表示了函数曲面在(x0,y0)点处关于x轴的切线斜率。
同理，对y的偏导数可表示函数曲面在(x0,y0)点处关于y轴的切线斜率。
2. 偏导数与方向导数的关系方向导数是一种描述函数在给定方向上变化率的概念。
对于多变量函数f(x1,x2,...,xn)，它的方向导数在点(x0,y0,...,zn)处的方向u处定义为：Duf(x0,y0,...,zn) = ∇f(x0,y0,...,zn)·u其中∇f(x0,y0,...,zn)表示函数在点(x0,y0,...,zn)处的梯度向量，u表示方向向量。
梯度向量可以看作是偏导数组成的向量，即：∇f(x0,y0,...,zn) = ( ∂f/∂x0, ∂f/∂y0,..., ∂f/∂zn )因此，可以将方向导数与偏导数联系起来。
偏导数与方向导数
偏导数与方向导数偏导数和方向导数是微积分中的重要概念，用于描述函数在某一点的变化率和方向性。
在本文中，我们将介绍偏导数和方向导数的定义、计算方法以及它们在实际问题中的应用。
一、偏导数的定义和计算方法偏导数是多元函数在某一点上对某个变量的偏导数。
对于一个函数f(x1, x2, ..., xn)，它的偏导数可以表示为∂f/∂xi，其中∂表示偏导数的符号，f表示函数，xi表示自变量。
偏导数的计算方法与一元函数的导数类似，只需将其他变量视为常数，对某个变量求导即可。
例如，对于函数f(x, y) = x^2 + 2xy + y^2，我们可以分别计算∂f/∂x和∂f/∂y。
计算∂f/∂x时，将y视为常数，对x求导，得到2x + 2y。
同理，计算∂f/∂y时，将x视为常数，对y求导，得到2x + 2y。
因此，函数f(x, y)的偏导数为∂f/∂x = 2x + 2y，∂f/∂y = 2x + 2y。
二、方向导数的定义和计算方法方向导数是多元函数在某一点上沿着某个方向的变化率。
对于一个函数f(x1, x2, ..., xn)，它的方向导数可以表示为∇f·u，其中∇f表示函数f的梯度，u表示方向向量。
方向导数的计算方法可以通过梯度向量和方向向量的点积来实现。
梯度向量∇f表示函数在某一点上的变化率最大的方向，它的计算方法为∇f = (∂f/∂x1, ∂f/∂x2, ..., ∂f/∂xn)。
例如，对于函数f(x, y) = x^2 + 2xy + y^2，在点(1, 2)处的方向导数可以表示为∇f(1, 2)·u，其中∇f(1, 2) = (4, 6)。
如果方向向量u为(1, 1)，则方向导数为(4, 6)·(1, 1) = 10。
这表示在点(1, 2)处沿着方向(1, 1)的变化率为10。
三、偏导数和方向导数的应用偏导数和方向导数在实际问题中有广泛的应用。
以下是一些常见的应用场景：1. 最优化问题：偏导数可以用于求解多元函数的最大值和最小值。
偏导存在但方向导数不存在的例子
偏导存在但方向导数不存在的例子例子1: 二元函数f(x, y) = |x| + |y|考虑二元函数f(x, y) = |x| + |y|，我们可以观察到在原点(0, 0)处，偏导数存在但方向导数不存在。
首先计算偏导数，对于f(x, y)来说，其偏导数分别为：∂f/∂x = sgn(x)，其中sgn(x)为x的符号函数∂f/∂y = sgn(y)，其中sgn(y)为y的符号函数我们可以看到，无论在原点(0, 0)处，x和y的偏导数都不存在。
这是因为在原点(0, 0)处，x和y的值都是0，而符号函数在0处的导数不存在。
接下来我们来看方向导数的计算。
方向导数可以通过梯度向量和方向向量的点积来计算。
对于方向向量(α, β)，其中α和β为实数，方向导数为：Df = ∇f · (α, β)其中∇f为梯度向量。
对于函数f(x, y) = |x| + |y|，梯度向量为：∇f = (sgn(x), sgn(y))将其代入方向导数的计算公式，得到方向导数为：Df = (sgn(x), sgn(y)) · (α, β) = αsgn(x) + βsgn(y)我们可以看到，无论方向向量(α, β)的取值如何，由于在原点(0, 0)处，x和y的符号函数的值都是0，方向导数都会变成0。
所以，在原点(0, 0)处，方向导数不存在。
例子2: 二元函数f(x, y) = xy/(x^2 + y^2)考虑二元函数f(x, y) = xy/(x^2 + y^2)，我们可以观察到在原点(0, 0)处，偏导数存在但方向导数不存在。
首先计算偏导数，对于f(x, y)来说，其偏导数分别为：∂f/∂x = (y(x^2 + y^2) - xy(2x))/(x^2 + y^2)^2 = y^3/(x^2 + y^2)^2∂f/∂y = (x(x^2 + y^2) - xy(2y))/(x^2 + y^2)^2 = x^3/(x^2 + y^2)^2我们可以看到，在原点(0, 0)处，偏导数∂f/∂x和∂f/∂y都为0，因为分子为0，分母为常数。
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¶l
t® 0
x0
t
t® 0
t
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方向导数的定义
定义: 设
单位向量为
r e
xr0
.
Î R2, 是平面上一向量，与l 同向的
二元函数
在
内让自变量x
l
由
xr0
沿与
r e
l
平行的直线变到
从而对应的函数值有改变量
lim f (xr0 + terl
f(
)-
xr0
f
r (+xr0t)el
第五章
3.1 方向导数与偏导数
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r l
引例: 设 xr0 Î 其单位向量记为
R2
r
,
e
,
是平面上某一向量，
r el
是一个二元函数.
l
现讨论
f
在点xr0
处沿l
L r x0
方向的变化率.
解：过点 作与l 平行的直线 L,它的方程为
f (x)在点xr0 处沿方向l 的变化率，就是当点x 在直线 L 上变化时f (x)在点xr0 处的变化率.
zx (x0 , y0 ) ;
即:
x0 x
x0
x
同理给出 f 对 y 的偏导数的记号和定义式.
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定义 设函数 z f (x, y)在区域D 内有定义，
则f 对x 及 y 的偏导函数分别定义为
及
其中 (x, y) ? D,(x Dx, y) ? D,(x, y Dy) ? D.
(1) 定义中的 t 的绝对值是两点 xr0 与xr0 + terl 之间的距离d .
(2)
方向导数实际上是函数 f
在
r x0
沿
l
方向
关于距离的变化率.
(3)
若方向导数 ¶ f > 0(< 0),
¶ l xr0
则
f
在
r x0
处
沿 l 方向增加(减少).
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方向导数的几何意义
f 对 x 的偏导函数简记为 f 对 y 的偏导函数简记为
抖f z
fx , zx , 抖x ,
. x
f
y
,
z
y
,
抖f 抖y
,
z. y
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例3.2
设函数 z = arctan y ,
x
求
抖z 抖x
,
z y
及 ¶z .
¶ x (1,1)
解： 把 y 看作常数，对x求导得
把 x 看作常数，对y求导得
)
-
f (xr0 ). 若
t® 0
t
存在，则称此极限值为f 在点x0处沿 l 方向的方向导数.
记作
¶f ,
¶ l xr0
或 ¶ f (xr0 ) ,
¶l
即
r
r
¶ f = lim f (x0 + tel ) -
r f (x0 ) .
¶ l xr0
t® 0
t
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关于方向导数的几点说明
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(2) 当t <0,
uuur P0 P
的方向与l
的方向相反，
rr
r
f (x0 + tel ) - f (x0 )
t = f (xr0 ) - f (xr0 + terl )
-t
表示
uuur PP0
(关于 l 的方向)的斜率.
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当 t ® 0,
的斜率，即
fx (x0, y0 ) = tan a ,
同理，
f y (x0 , y0 ) = tan b .
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n元函数的方向导数与偏导数
二元函数的方向导数的定义及偏导数定义可直 接推广到n元函数中.
方向导数定义为
¶ f = lim f (x0 + tel ) - f (x0 )
¶ l x0 t® 0
t
偏导数定义为
其中
¶f 禗xi
x0
=
lim
Dxi? 0
f (x0 +
D xiei ) xi
f (x0 )
x0 = (x0,1, x0,2 ,L , x0,n ).
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过直线
L : xr =
r x0 +
r tel
作平行于z
轴的平面л，
平面与曲面相交的曲线为C.
(1) 当t >0,
uuur P0 P
的方向与l
的方向相对应，
f (x0 + tel ) - f (x0 ) t
表示曲线C的割线
uuur P0 P
与向量 l
交角的正切值, 即
uuur P0 P
(关于 l 的方向)的斜率.
从而 ¶ f (0,0) = 0.
¶l
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偏导数的定义
定义3.2 设函数 z f (x, y) 在点(x0 , y0 ) 的邻域 U (x0, y0) 内定义，若 f 在点 (x0 , y0 ) 处沿 x 轴( y 轴)
正向的方向导数存在，则称此方向为 f 在点 (x0, y0) 处对x ( y )的偏导数. f 对x的偏导数，记为
解：当 cosq ¹ 0 时，有
? f (0,0) = lim f (t cos q,t sin q) f (0,0)
¶l
t® 0
t
cosq×sin2 q sin2 q
=
lim
t® 0
cos2
q
+
t2 sin4 q
=
; cos q
当 cosq = 0 时，由于
f (t cosq,t sin q) - f (0,0) = 0,
x®
r x0 ,
割线转化为切线.
如果极限 lim f (xr0 + terl ) - f (xr0 )
t® 0
t
存在，那么曲线C 在点 P0 仅有唯一的切线T，
它关于
l 方向的斜率是方向导数
¶f ¶l
.
xr0
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例3.1. 设二元函数
求 f 在点(0,0)沿方向
的方向导数.
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在
xr0与
r e
l
固定的情况下，当点x
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
在直线L
上变化时，函数
是自变量为t 的一元函数，记作
F (t) = f (xr0 + terl ).
因此，f (x)在xr0 处沿方向l 的变化率就是函数F(t)在t=0
处的导数，即
¶ f = lim F (t) - F (0) = lim f (xr0 + terl ) - f (xr0 ) .
由
¶z ¶x
得
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二元函数偏导数的几何意义
由方向导数的意义知，z = f (x, y) 在点 (x0, y0) 处
对x 的偏导数就是曲面 z = f (x, y) 与平面 y = y0 的交线
C
:
ìïïíïïî
z
= y
f =
(x, y0
y)
在点 M (x0, y0, f (x0, y0 )) 处切线 Tx