上海市2020高考数学二模试卷及答案
上海市普陀区2020届高三数学二模考试试题含解析
某某市普陀区2020届高三数学二模考试试题（含解析）一、填空题（本大共有12题，满分54分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对前6题得4分、后6题得5分，否则一律得零分） 1.数组“2，1.5，2.9，4.8，5，4.3”的中位数为______. 【答案】3.6 【解析】 【分析】把这组数据按从小到大排列，计算它的中位数即可．【详解】解：该组数据按从小到大排列为：1.5，2，2.9，4.3，4.8，5； 所以这组数据的中位数为1(2.9 4.3) 3.62⨯+=．故答案为：3.6．【点睛】本题考查了中位数的定义与计算问题，属于基础题． 2.若增广矩阵为23701m ⎛⎫ ⎪⎝⎭的线性方程组的解为21x y =⎧⎨=⎩，则实数m =______. 【答案】1 【解析】 【分析】根据增广矩阵概念直接求解.【详解】由增广矩阵为23701m ⎛⎫ ⎪⎝⎭的线性方程组的解为21x y =⎧⎨=⎩，则0211m ⨯+⨯=，得1m =. 故答案为：1.【点睛】本题考查了对增广矩阵的理解与应用，属于基础题.3.已知i 为虚数单位，若复数z 满足()15i z z a +=+-，则实数a 的值为______.【答案】5 【解析】 【分析】根据两个复数相等，实部和实部相等，虚部和虚部相等，即可得出结果. 【详解】设,,z m ni z m ni m n R =+=-∈，，则可得()215i m a =+-， 所以15,2==a m . 故答案为：5【点睛】本题考查了共轭复数、两个复数相等的转化，考查了理解辨析能力和数学运算能力，属于容易题.4.已知等比数列{}n a （n *∈N ）满足()26441a a a =-，则4a =______. 【答案】2 【解析】 【分析】利用等比中项求得关于4a 的方程，解方程即可得到答案； 【详解】()26441a a a =-，∴()()42424441202a a a a -⇒-==⇒=，故答案为：2.【点睛】本题考查等比中项的性质，考查运算求解能力，属于基础题.5.已知实数x 、y 满足条件001x y y x y -≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩.则目标函数2z x y =+的最大值为______.【答案】2 【解析】 【分析】作出约束条件所表示的可行域，当目标函数所表示的直线过点(1,0)A 时，目标函数取得最大值. 【详解】作出约束条件所表示的可行域，易得点(1,0)A ，当直线2y x z =-+过点A 时，直线在y 轴上的截距达到最大，∴max 2z =，故答案为：2【点睛】本题考查线性规划问题，考查数形结合思想，考查运算求解能力，求解时注意利用直线截距的几何意义进行求解.6.A ，B ，C ，D 四位同学参加甲、乙两项志愿者活动，两人一组，则A ，B 两位同学在同一组的概率为______.（结果用最简分数表示）【答案】13【解析】 【分析】古典概型，列出基本事件的总数和满足条件的基本事实个数，即可求出结果. 【详解】试验发生包含的事件是将A ，B ，C ，D 四个人平均分成两组，基本事件的总数：共有2242223=C C A ，即{}{}{},,,,,AB CD AC BD AD BC 满足条件的基本事件是A ，B 两人恰好在同一组，共有1种{},AB CD 根据古典概型概率公式得到13P =故答案为：13【点睛】本题考查古典概型，考查理解辨析能力、逻辑推理能力和数学运算能力，是一个基础题.7.已知一个半圆柱的高为4，其俯视图如图所示，其左视图的面积为8，则该半圆柱的表面积为______.【答案】1612+π 【解析】 【分析】由圆柱的主视图和左视图知该圆柱的底面直径为4，高为3，由此能求出该几何体的表面积，得到答案.【详解】由题意，其左视图为矩形，其左视图的面积为8，半圆柱的高h 为4， 可得半圆的半径r 为2，由于半圆柱的表面积为两个底面半圆面积加侧面展开图形的面积，即2211222224224161222S r rh rh πππππ=⨯⨯++=⨯⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=+. 故答案为：1612+π.【点睛】本题主要考查了空间几何体的三视图的应用，以及圆柱的表面积的计算问题，同时考查了圆柱的结构特征的应用，属于基础题. 8.设()()()()11101111nnn n n x a x a x a x a --+=-+-++-+，若110729n n a a a a -++++=，则3a =______.【答案】160 【解析】 【分析】先将(1)nx +化为(2(1))nx +-，然后利用赋值法求出n 的值，再求出3a 的值．【详解】解：原式[2(1)]nx =+-，令11x -=，即2x =得：611037293n n n a a a a -=++⋯++==，所以6n =．所以展开式中含3(1)x -项为：333362(1)160(1)C x x -=-．故3160a =． 故答案为：160．【点睛】本题考查二项式定理的应用，以及利用通项法研究特定项的问题，属于基础题． 9.设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和（n *∈N ）若86286S S -=-，则2lim 2→∞=n n Sn ______.【答案】12- 【解析】 【分析】由等差数列前n 项和公式有21()22n d dS n a n =+-，代入已知条件可求得公差d ，再计算数列极限．【详解】∵数列{}n a 是等差数列，21()22n d d S n a n ∴=+-（其中d 是公差），1()22n S d dn a n =+-，∵86286S S -=-， (86)22d∴-=-，2d =-．即 21(1)n S n a n =-++，21122(1)111lim lim lim()22222n n n n S n a n a n n n →∞→∞→∞-+++==-+=-． 故答案为：12-【点睛】本题考查等差数列的前n 项和，考查数列的极限．关键是掌握等差数列前n 项和公式：21()22n d dS n a n =+-，属于中档题． 10.在ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c，若22=+ab a b c，则角C 的大小为______. 【答案】4π 【解析】 【分析】由二阶行列式和余弦定理，即可得出结果.222+=+c a b即222c a b =+-，由余弦定理可得，cos 2C =，4C π∴=.故答案为：4π. 【点睛】本题考查了二阶行列式、余弦定理等基础知识，考查了理解辨析和数学运算能力，属于容易题目.11.在平面四边形ABCD 中，0AB BC AD DC ⋅=⋅=，1AB AD ==，12AB AD ⋅=-若点M 是边BC 上的任一动点，则AM DM ⋅的最小值为______.【答案】2116【解析】 【分析】连接BD ，则可证BCD ∆是等边三角形，建立平面直角坐标系，设(,0)M x ，用x 表示出AM DM ，则根据配方法得出最小值．【详解】解：连接BD ， 0AB BC AD DC ==，90ABC ADC ∴∠=∠=︒，1||||cos cos2AB AD AB AD BAD BAD =∠=∠=-，120BAD ∴∠=︒，BD ∴== 30ABD ADB ∴∠=∠=︒，60DBC BDC ∴∠=∠=︒，BCD ∴∆是等边三角形，以B 为原点，以BC 为x 轴，以BA 为y 轴建立平面直角坐标系，则(0,1)A ，C 0)，D 3)2，设(M x ，0)(03)x，则(,1)AM x =-，(DM x =，3)2，∴22321(216AM DM x x =+=+，∴当x =AM DM 取得最小值2116．故答案为：2116．【点睛】本题考查了平面向量的数量积运算，坐标法是常用方法之一，属于中档题．12.设双曲线r ：2221x y a-=（0a >）的左、右焦点分别为1F ，2F ，点M 在r 的右支上，向量()1,d a 是直线1F M 的一个方向向量，若124F MF π∠=，则r 的焦距为______.6 【解析】 【分析】由题意可得直线1F M 的斜率为a ，且0a >，设2||F M t =，由双曲线的定义可得1||2F M t a =+，在三角形12F MF 中，分别运用正弦定理、余弦定理，解方程可得a ，进而得到焦距2c ． 【详解】解：向量(1,)d a =是直线1F M 的一个方向向量，可得直线1F M 的斜率为a ，且0a >， 设2||F M t =，由双曲线的定义可得1||2F M t a =+，在三角形12F MF 中，由正弦定理可得122sin sin 4t c MF F π=∠，即222121t a a a +=+， 解得22t a =，由余弦定理可得22224(2)2(2)c t t a t t a =++-+， 即为22224(1)8(222)42(222)a a a a a a a +=++-+， 解得212a =，22312c a =+=，则焦距32262c =．【点睛】本题考查双曲线的定义、方程和性质，考查三角形的正弦定理、余弦定理的运用，考查方程思想和运算能力，属于中档题．二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一排得零分） 13.对于抛物线，“方程24y x =”是“焦点到准线的距离等于2”的（ ） A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件 C. 充要条件D. 既非充分也非必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据抛物线的几何性质，结合充分条件和必要条件的判定方法，即可求解.【详解】由抛物线方程24y x =，可得2p =，所以抛物线24y x =的焦点到准线的距离为2，即充分性是成立的；反之不成立，焦点到准线的距离为2，此时抛物线的方程可能是24x y =，即必要性不成立， 综上可得， “方程24y x =”是“焦点到准线的距离等于2”的充分非必要条件. 故选：A.【点睛】本题主要考查了充分条件和必要条件的判定，以及抛物线的标准方程及几何性质的应用，意在考查推理与运算能力，属于基础题.14.已知集合{}3M =，{}2,4N =，{}1,2,5Q =，从这三个集合中各取一个元素构成空间直角坐标系O xyz -中向量a 的坐标，则可确定不同向量a 的个数为（ ） A. 33B. 34C. 35D. 36【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，先求得不考虑限定条件确定的不同的点的个数，进而考虑集合,B C 中的相同元素2，出现了3个重复的情况，进而计算可得答案.【详解】由题意，不考虑限定条件确定的不同点的个数为11323336C C A =,但集合,B C 中有相同元素2，由3,2,2三个数确定的不同点的个数只有三个， 故所求的个数为36333-=个. 故选：A.【点睛】本题主要考查了排列、组合的综合运用，注意从反面分析，并且注意到集合,B C 中有相同元素2从而导致出现重复的情况，着重考查分析问题和解答问题的能力. 15.已知平面l αβ=，B ，C l ∈，A α∈，且A l ∉，D β∈，且D l ∉，则下列叙述错误的是（ ）A. 直线AD 与BC 是异面直线B. 直线CD 在α上的射影可能与AB 平行C. 过AD 有且只有一个平面与BC 平行D. 过AD 有且只有一个平面与BC 垂直 【答案】D【解析】 【分析】利用反证法判断选项A 正确；举例说明选项B 正确；由公理3的推论结合过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行判断选项C 正确；由异面直线垂直及线面关系判断选项D 错误． 【详解】对于选项A ，若直线AD 与BC 是共面直线，设AD 与BC 共面γ， 不共线的三点B ，C ，D 均在β与γ内，β∴与γ重合， 又不共线的三点A ，B ，C 均在α与γ内，α与γ重合，则α与β重合，与l αβ=矛盾，故直线AD 与BC 是异面直线，所以选项A 正确；对于选项B ，当AB l ⊥，CD l ⊥，且二面角l αβ--为锐二面角时，直线CD 在α上的射影与AB 平行，所以选项B 正确；对于选项C ，在AD 上任取一点，过该点作BC 的平行线l '，则由AD 与l '确定一个平面，该平面与BC 平行，若过AD 另外有平面与BC 平行，由直线与平面平行的性质，可得过直线BC 外的一点A 有两条直线与BC 平行，与过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行矛盾，所以选项C 正确；对于选项D ，只有当AD 与BC 异面垂直时，过AD 有且只有一个平面与BC ，否则，不存在过AD 与BC 垂直的平面，故选项D 错误． 故选：D ．点睛】本题考查空间中直线与直线、直线与平面位置关系的判定及应用，着重考查异面直线的性质，考查空间想象能力与思维能力，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平． 16.定义域均为D 的三个函数()f x ，()g x ，()h x 满足条件：对任意x D ∈，点()(),x g x 与点()(),x h x 都关于点()(),x f x 对称，则称()h x 是()g x 关于()f x 的“对称函数”.已知函数()g x =，()h x =()h x 是()g x 关于()f x 的“对称函数“，记()f x 的定义域为D ，若对任意s D ∈，都存在t D ∈，使得()22221f t t s a a =+++-成立，则实数a的取值X 围是（ ） A. .[][]1,01,2-⋃ B. .{}[]10,2- C. .[][]2,10,1-- D. .{}[]12,0⋃-【答案】C 【解析】 【分析】求得()f x 的解析式和导数，以及单调性和极值、最值，进而得到()f x 的值域；判断22()21m t t t a a =+++-在[0，1]递增，可得其值域，再由题意可得()f x 的值域包含在()m t 的值域内，可得a 的不等式组，解不等式可得所求X 围．【详解】解：由函数()g x =，()h x =()h x 是()g x 关于()f x 的“对称函数”，可得1()2f x =，01x ，()0f x >，1()()2f x x '=， 可得()0f x '=的解为34x =，由1(0)2f =，f （1）=3()14f =，且()f x 在3(0,)4递增，3(4，1)递减，可得()f x 的最小值为12，最大值为1， 可得()f x 的值域为1[2，1]，而22()21m t t t a a =+++-在[0，1]递增，可得()m t 的值域为2[1a a +-，22]a a ++，由题意可得[1，22][1a a ⊆+-，22]a a ++，即有221122a a a a +-<++，即为2101a a a -⎧⎨-⎩或，解得01a 或21a --，则a 的X 围是[][]2,10,1--，故选：C ．【点睛】本题考查函数的新定义的理解和运用，考查函数恒成立问题解法，注意运用转化思想和函数的单调性，考查化简运算能力，属于中档题．三、解答题本大共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸相应填号的规定区域内写出必要的步骤.17.设函数()()31,20,0x x f x g x x m -⎧--≤≤⎪=⎨<≤⎪⎩是偶函数.（1）某某数m 的值及()g x（2）设函数()g x 在区间[]0,m 上的反函数为()1gx -，当时，()122log 5ag ->（0a >且1a ≠）时，某某数a 的取值X 围.【答案】（1）2m =，()31xg x =-；（2）()20,1,5⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.【解析】 【分析】（1）直接利用偶函数的性质的应用求出结果．（2）利用反函数的性质的应用和不等式的应用求出结果．【详解】解：（1）因为函数()f x 为偶函数，所以定义域关于原点对称且()()f x f x -=， 则2m =，当02x <≤时，()()f x g x =，则20x -≤-<，()()31xf x f x -=-=，故()31xg x =-.（2）函数()g x 在区间[]0,2上的反函数为()1gx -，则()12312g --=，即()121g -=，即2log 15a <，则2log 1501a a ⎧<⎪⎨⎪<<⎩或2log 151a a ⎧<⎪⎨⎪>⎩，即205a <<或1a > 则实数a 的取值X 围为()20,1,5⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.【点睛】本题考查的知识要点：对数函数的性质的应用，反函数的性质的应用，不等式的的解法及应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题． 18.设函数()22sin 1263f x x x ωππω⎛⎫⎛⎫=+++-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.（1）当01ω<<时，若函数()f x 的最大值为2f π⎛⎫ ⎪⎝⎭，求函数()f x 的最小正周期; （2）若函数()f x 在区间(),2ππ内不存在零点，求正实数ω的取值X 围. 【答案】（1）3π；（2）55110,,12612⎛⎤⎡⎤⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦. 【解析】 【分析】（1）利用降次公式，辅助角公式化简，再结合函数()f x 的最大值为2f π⎛⎫⎪⎝⎭，求出ω，再求出函数()f x 的最小正周期； （2）由题知()2sin 6f x x πω⎛⎫=+⎪⎝⎭在(),2ππ内不存在零点，转化为(),2,66k k ππωπωππππ⎛⎫++⊆+ ⎪⎝⎭，k ∈Z ，0>ω，求得ω的X 围.【详解】（1）()22sin 1263x f x x ωππω⎛⎫⎛⎫=+++-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1cos 133x x ππωω⎛⎫⎛⎫=-+++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2sin 6x πω⎛⎫=+⎪⎝⎭， 因为函数()f x 的最大值为2f π⎛⎫⎪⎝⎭，所以sin 126ππω⎛⎫⋅+= ⎪⎝⎭，即2262k πππωπ⋅+=+，k ∈Z ，即243k ω=+， 又01ω<<，则23ω=， 则函数()f x 的最小正周期为23ππω=.（2）因为函数()f x 在区间(),2ππ内不存在零点，所以(),2,66k k ππωπωππππ⎛⎫++⊆+ ⎪⎝⎭，k ∈Z .即626k k πωπππωπππ⎧+≥⎪⎪⎨⎪+≤+⎪⎩，则156212k k ω-≤≤+，k ∈Z ， 因为156212k k -≤+，k ∈Z ，所以76k ≤，k ∈Z ，即0k =，1，则所求的ω的取值X 围为55110,,12612⎛⎤⎡⎤⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦. 【点睛】本题考查了三角函数式的化简，考查了三角函数降次公式，辅助角，三角函数的性质，属于中档题.19.某小区楼顶成一种“楔体”形状，该“楔体”两端成对称结构，其内部为钢架结构（未画出全部钢架，如图1所示，俯视图如图2所示），底面ABCD 是矩形，10AB =米，50AD =米，屋脊EF 到底面ABCD 的距离即楔体的高为1.5米，钢架所在的平面FGH 与EF 垂直且与底面的交线为GH ，5AG =米，FO 为立柱且O 是GH 的中点.（1）求斜梁FB 与底面ABCD 所成角的大小（结果用反三角函数值表示）； （2）求此模体ABCDEF 的体积. 【答案】（1）32arctan 20；（2）350（立方米）. 【解析】 【分析】（1）连接BO ，由题可知FO ⊥平面ABCD ， FBO ∠是直线FB 与底面ABCD 所成角，由俯视图可知，GH BC ⊥，在Rt FOB △中进行计算即可得解；（2）由题可知，该“楔体”两端成对称结构，钢架所在的平面FGH 与EF 垂直，结合俯视图可知，可将该“楔体”分割成一个直三棱柱和两个相同的四棱锥，然后由题中条件结合椎体和柱体体积公式计算即可.【详解】（1）如下图，连接BO ，依题意FO 为立柱，即FO ⊥平面ABCD ， 则FBO ∠是直线FB 与底面ABCD 所成角，由俯视图可知，GH BC ⊥，则2252BO OH HB =+= 在Rt FOB △中，32tan 2052FO FOB BO ∠===，即FBO ∠=，则斜梁FB 与底面ABCD 所成角的大小为arctan20； （2）依题意，该“楔体”两端成对称结构，钢架所在的平面FGH 与EF 垂直，结合俯视图可知，可将该“楔体”分割成一个直三棱柱和两个相同的四棱锥， 则直三棱柱的体积()1122FGH V S EF GH FO AD AG =⋅=⋅⋅-△13104030022=⨯⨯⨯=（立方米），两个四棱锥的体积222233F GABH GABH V V S FO AG AB FO -==⋅=⋅⋅235105032=⨯⨯⨯=（立方米）， 则所求的楔体ABCDEF 的体积12350V V V =+=（立方米）.【点睛】本题考查线面角的计算，考查几何体体积的计算，考查空间想象能力和计算能力，属于常考题.20.已知椭圆C ：22194x y +=的左、右焦点分别为1F ，2F ，上顶点为M ，过点M 且斜率为1-的直线与C 交于另一点N ，过原点的直线l 与C 交于P ，Q 两点 （1）求2PQF 周长的最小值：（2）是否存在这样的直线，使得与直线MN 平行的弦的中点都在该直线上?若存在，求出该直线的方程：若不存在，请说明理由.（3）直线l 与线段MN 相交，且四边形MPNQ 的面积10813S ⎡∈⎢⎣⎦，求直线l 的斜率k 的取值X 围.【答案】（1）10；（2）存在满足条件的直线，其方程为490x y -=；（3）80,5⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【解析】 【分析】（1）根据椭圆的对称性和椭圆的定义，可知当弦PQ 的长度最小值时，2PQF 的周长取得最小值；（2）设与直线MN 平行的弦所在的直线方程为y x m =-+，将其代入曲线C 的方程，根据韦达定理和中点坐标公式可得中点坐标，消去参数m 可得结果；（3）设直线l 的方程为y kx =，代入曲线C ，解得两个交点坐标，联立直线2x y +=与曲线C 的方程，解得,M N 的坐标，求出点,P Q 到直线2x y +=的距离，然后求出四边形MPNQ 的面积()1212MN d d ⋅⋅+，根据10813S ⎡∈⎢⎣⎦解不等式可得结果. 【详解】（1）连接1PF ，又直线l 过原点，由椭圆的对称性得12PF QF =， 则2PQF 的周长22216PQ PF QF PQ PF PF PQ ++=++=+， 要使得2PQF 的周长最小，即过原点的弦PQ 最短，由椭圆的性质可知，当弦PQ 与C 的短轴重合时最短，即弦PQ 的最小值为4， 则2PQF 周长的最小值为10.（2）依题意，设与直线MN 平行的弦所在的直线方程为y x m =-+，与C 的交点坐标为()11,x y ，()22,x y ，平行弦中点的坐标为()00,x y ，联立22194x y y x m ⎧+=⎪⎨⎪=-+⎩，化简整理得2213189360x mx m -+-=， 当()()()22218413936144130m m m ∆=--⨯⋅-=-->即m <<则1209213x x x m +==，1212042213y y x x y m m ++==-+=，则00490x y -=， 故存在满足条件的直线，其方程为490x y -=.（3）设直线l 的方程为y kx =，点()11,P x y ，()22,Q x y .（不妨设12x x >），由22194x y y kx⎧+=⎪⎨⎪=⎩消去y 并化简得()229436k x +=，即1x =，21x x =-=，依题意，直线MN 的方程为2y x =-+，由221942x y x y ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩，得213360x x -=，解得0x =或3613x =， 所以3613N x =，1013N y =-，所以(0,2)M ，3610(,)1313N -，则13MN =. 又l 与线段MN 有交点且MPNQ 为四边形，所以10513361813ONk k ->==-，即5,18k ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭， 点P ，Q 到直线MN的距离分别为1d =2d =，则()12112213MPNQ S MN d d =⋅⋅+=⨯四边形12=118216(1)2131313k =⨯=+=，又108,1313S ⎡∈⎢⎣⎦，即108216131313≤≤. 化简整理得，225808172160k k k k ⎧-≤⎨-+≥⎩，解得805k ≤≤， 又5,18k ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭，所以805k ≤≤.则所求的直线l 的斜率k 的取值X 围为80,5⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 【点睛】本题考查了椭圆的定义和椭圆的对称性，考查了直线与椭圆的位置关系，点到直线的距离，考查了运算求解能力，属于中档题.21.对于无穷数列{}n a 的某一项k a ，若存在m N *∈，有()k k m a k a *+<∈N成立，则称ka 具有性质()P m .（1）设()*3n a n n N=-∈，若对任意的k *∈N ，ka 都具有性质()P m ，求m 的最小值；（2）设等差数列{}n a 的首项12a =-，公差为d ，前n 项和为()n S n N *∈，若对任意的k *∈N 数列{}n S 中的项k S 都具有性质()7P ，某某数d 的取值X 围； （3）设数列{}n a 的首项12a =，当()2n n *≥∈N 时，存在()11,i i n i *≤≤-∈N 满足2n i a a =，且此数列中恰有一项()299,t a t t *≤≤∈N 不具有性质()1P ，求此数列的前100项和的最大值和最小值以及取得最值时对应的t 的值. 【答案】（1）5；（2）1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭；（3）99t =时，最大值为99322⨯-；50t =或51t =时，最小值为50626⋅-. 【解析】 【分析】（1）计算得出167a a a <<<、256a a a <<<、()123k k k a a a k ++<<<≥，求得每种情况下对应m 的最小值，进而可得出结果；（2）求得n S ，根据题意得出7k k S S +<对任意的k *∈N 恒成立，可得出23d k >+，由此可得出d 的取值X 围； （3）根据题意得出121t t a a a a -<<<<，根据存在()11,i i n i *≤≤-∈N 满足2n i a a =，得出1a 、2a 、、t a 依次为：2、22、32、、2t ，进一步得知：欲使此数列的前100项和最大，1t a +、2t a +、、100a 依次为：2t 、12t +、、992，欲使此数列的前100项和最小，1t a +、2t a +、、100a 依次为：22、32、、1012t -，分别计算出两种情况下数列{}n a 的前100项和，根据表达式可求得前100项和分别取最大值或最小值时对应的t 值. 【详解】（1）经计算知：167a a a <<<，此时5m ≥；256a a a <<<，此时3m ≥；当3k ≥时，12k k k a a a ++<<<，此时m 1≥.综上可知，5m ≥，即对任意的k *∈N ，k a 都具有性质()P m 时，m 的最小值为5； （2）由已知可得，()122n n n S n d -=-+，若对任意的k *∈N ，数列{}n S 中的k S 都具有性质()7P ，则7k k S S +<对任意的k *∈N 恒成立， 即()()()()177122722k k k k k d k d -++--+<-++，整理得：23d k >+.因为1k ，则2132k ≤+，所以12d >.因此，实数d 的取值X 围是1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭； （3）对于299t ≤≤，t *∈N ， 因为1a 、2a 、、1t a -都具有性质()1P ，所以121t t a a a a -<<<<，而当()2n n *≥∈N 时，存()11,i i n i *≤≤-∈N 满足2ni aa =，所以1a 、2a 、、t a 依次为：2、22、32、、2t ，由已知t a 不具有性质()1P ，故1t a +的可能值为22、32、、2t ，又因为1t a +、2t a +、、100a 都具有性质()1P ，所以12100t t a a a ++<<<，欲使此数列的前100项和最大，1t a +、2t a +、、100a 依次为：2t 、12t +、、992， 欲使此数列的前100项和最小，1t a +、2t a +、、100a 依次为：22、32、、1012t -，下面分别计算前100项和：()()()()2319912121002222222t t t t t t a a a a a a ++++++++++=++++++++100222t =+-，当99t =时，此数列的前100项和最大，最大值为9910099222322+-=⨯-；()()()()232310112121002222222t t t t t a a a a a a -+++++++++=++++++++10122266262t t ⎛⎫=+-≥= ⎪⎝⎭.当且仅当101222tt =时，即1012t =时等号成立，但1012t *=∉N ， 这时取50t =或51t =时，此数列的前100项和最小，最小值为()5051502226626+-=⋅-.【点睛】本题考查数列的新定义，考查数列求和等知识，考查数列不等式恒成立问题的求解，考查推理能力与运算求解能力，属于难题.。
2020年上海市普陀区高考数学二模试卷
高考数学二模试卷题号一二三总分得分一、选择题（本大题共4小题，共20.0分）1.已知球O的半径为1，A、B、C三点都在球面上，且每两点间的球面距离均为，则球心O到平面ABC的距离为（）A. B. C. D.2.在△ABC中，AB=2，BC=1.5，∠ABC=120°，若将△ABC绕直线BC旋转一周，则所形成的旋转体的体积是（）A. B. C. D.3.将函数y=sin（x-）图象上的点P（，t）向左平移s（s＞0）个单位，得到点P′，若P′位于函数y=sin2x的图象上，则（）A. t=，s的最小值为B. t=，s的最小值为C. t=，s的最小值为D. t=，s的最小值为4.已知x，y∈R，且，则存在θ∈R，使得x cosθ+y sinθ+1=0成立的P（x，y）构成的区域面积为（）A. 4-B. 4-C.D. +二、填空题（本大题共12小题，共54.0分）5.已知集合A={x||x-1|＞3}，U=R，则∁U A=______．6.已知复数z=（i是虚数单位），则Imz=______．7.计算=______．8.行列式中第2行第1列元素的代数余子式的值为-10，则k=______．9.502019+1被7除后的余数为______．10.某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的侧面积是______11.已知tan（α+β）=1，tan（α-β）=7，则tan2β=______．12.从5名同学中任选3人担任上海进博会志愿者，则“甲被选中，乙没有被选中”的概率是______．13.如果（x2）n的展开式中只有第4项的二项式系数最大，那么展开式中的所有项的系数之和是______．14.若关于x、y的二元一次方程组=至少有一组解，则实数m的取值范围是______．15.已知=（a1，a2，a3），=（b1，b2，b3），且||=3，||=4，=12，则=______16.已知函数f（x）=，若存在唯一的整数x，使得不等式＞0成立，则实数a的取值范围是______．三、解答题（本大题共5小题，共76.0分）17.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为4，E、F分别是棱AB、D1C1的中点，联结EF、FB1、FA1、D1E、A1E、B1E．（1）求三棱锥A1-FB1E的体积；（2）求直线D1E与平面B1EF所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．18.已知函数f（x）=ax2-2ax+2（a＞0）在区间[-1，4]上的最大值为10．（1）求a的值及f（x）的解析式；（2）设g（x）=，若不等式g（3x）-t•3x≥0在x∈[0，2]上有解，求实数t的取值范围．19.如图，某城市有一条从正西方AO通过市中心O后向东北OB的公路，现要修一条地铁L，在OA，OB上各设一站A，B，地铁在AB部分为直线段，现要求市中心O 与AB的距离为10（km），设地铁在AB部分的总长度为y（km）．（1）按下列要求建立关系式：（i）设∠OAB=α，将y表示成α的函数；（i）设OA=m，OB=m用m，n表示y．（2）把A，B两站分别设在公路上离中心O多远处，才能使AB最短？并求出最短距离．20.已知动直线l与椭圆C：=1交于P（x1，y1），Q（x2，y2）两个不同的点，O为坐标原点．（1）若直线l过点（1，0），且原点到直线l的距离为，求直线l的方程；（2）若△OPQ的面积S△OPQ=，求证：x12+x22和y12+y22均为定值；（3）椭圆C上是否存在三点D、E、G，使得S△ODE=S△ODG=S△OEG=？若存在，判断△DEG的形状；若不存在，请说明理由．21.已知无穷数列{a n}的各项都不为零，其前n项和为S n，且满足a n•a n+1=S n（n∈N*），数列{b n}满足，其中t为正整数．（1）求a2018；（2）若不等式对任意n∈N*都成立，求首项a1的取值范围；（3）若首项a1是正整数，则数列{b n}中的任意一项是否总可以表示为数列{b n}中的其他两项之积？若是，请给出一种表示方式；若不是，请说明理由．答案和解析1.【答案】B【解析】解：显然OA、OB、OC两两垂直，如图，设O1为ABC所在平面截球所得圆的圆心，∵OA=OB=OC=1，且OA⊥OB⊥OC，∴AB=BC=CA=．∴O1为△ABC的中心．∴O1A=．由OO12+O1A2=OA2，可得OO1=．故选：B．先确定内接体的形状，确定球心与平面ABC的关系，然后求解距离．本题考查球的内接体问题，球心与平面的距离关系，考查空间想象能力，是中档题．2.【答案】D【解析】【解答】解：如图：△ABC中，绕直线BC旋转一周，则所形成的几何体是以ACD为轴截面的圆锥中挖去了一个以ABD为轴截面的小圆锥后剩余的部分．∵AB=2，BC=1.5，∠ABC=120°，∴AE=AB sin60°=，BE=AB cos60°=1，V1==，V2==π，∴V=V1-V2=，故选：D．【分析】所形成的几何体是以ACD为轴截面的圆锥中挖去了一个以ABD为轴截面的小圆锥后剩余的部分，故用大圆锥的体积减去小圆锥的体积，即为所求．本题考查圆锥的体积公式的应用，判断旋转体的形状是解题的关键．3.【答案】C【解析】解：将x=代入得：t=sin=，进而求出平移后P′的坐标，将函数y=sin（x-）图象上的点P（，t）向左平移s（s＞0）个单位，得到点P′，若P′位于函数y=sin2x的图象上，则sin（+2s）=cos2s=，则2s=±+2kπ，k∈Z，则s=±+kπ，k∈Z，由s＞0得：当k=0时，s的最小值为，故选：C．将x=代入得：t=，进而求出平移后P′的坐标，进而得到s的最小值．本题考查的知识点是函数y=A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的图象和性质，难度中档．4.【答案】A【解析】解：作出不等式组对应的平面区域如图：对应的区域为三角形OAB，若存在θ∈R，使得x cosθ+y sinθ+1=0成立，则（cosθ+sinθ）=-1，令sinα=，则cosθ=，则方程等价为sin（α+θ）=-1，即sin（α+θ）=-，∵存在θ∈R，使得x cosθ+y sinθ+1=0成立，∴|-|≤1，即x2+y2≥1，则对应的区域为单位圆的外部，由，解得，即B（2，2），A（4，0），则三角形OAB的面积S=×=4，直线y=x的倾斜角为，则∠AOB=，即扇形的面积为，则P（x，y）构成的区域面积为S=4-，故选：A．作出不等式组对应的平面区域，求解x cosθ+y sinθ+1=0成立的等价条件，利用数形结合求出对应的面积即可得到结论．本题主要考查线性规划的应用，根据条件作出对应的图象，求出对应的面积是解决本题的关键．综合性较强．5.【答案】[-2，4]【解析】解：A={x||x-1|＞3}={x|x-1＞3或x-1＜-3}={x|x＞4或x＜-2}，则∁U A={x|-2≤x≤4}，故答案为：[-2，4]．求出A的等价条件，结合补集的定义进行求解即可．本题主要考查集合的基本运算，根据条件求出集合A的等价条件，结合补集的定义是解决本题的关键．6.【答案】-1【解析】解：∵z==，∴Imz=-1．故答案为：-1．直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．7.【答案】【解析】解：∵=，∴=．∴原式==．故答案为：．利用极限的运算法则即可得出．本题考查了极限的运算法则，属于基础题．8.【答案】-14【解析】解：由题意得M21=（-1）3=2×2+1×k=-10解得：k=-14．故答案为：-14．根据余子式的定义可知，在行列式中划去第2行第1列后所余下的2阶行列式带上符号（-1）i+j为M21，求出其表达式列出关于k的方程解之即可．此题考查学生掌握三阶行列式的余子式的定义，会进行矩阵的运算，是一道基础题．9.【答案】2【解析】解：502019+1=（1+7）2019+1=1++•72+……++1=7（+•7+……+）+2．∴502019+1被7除后的余数为2，故答案为：2．利用二项式定理展开即可得出．本题考查了二项式定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．10.【答案】4π【解析】解：这个几何体为圆锥，圆锥的高为6，底面圆的直径为4，所以圆锥的母线长==2，所以该几何体的侧面积=•4π•2=4π．故答案为：4π．观察三视图．得到这个几何体为圆锥，圆锥的高为6，底面圆的直径为4，再利用勾股定理计算出母线长，然后根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形面积公式求解．本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．也考查了三视图．11.【答案】【解析】解：由tan（α+β）=1，tan（α-β）=7，得tan2β=tan[（α+β）-（α-β）]===．故答案为：-．由已知结合tan2β=tan[（α+β）-（α-β）]，展开两角差的正切求解．本题考查三角函数的化简求值，考查两角差的正切，是基础题．12.【答案】【解析】解：从5名同学中任选3人担任上海进博会志愿者，基本事件总数n==10，“甲被选中，乙没有被选中”包含的基本事件有m==3，∴“甲被选中，乙没有被选中”的概率P==．故答案为：．基本事件总数n==10，“甲被选中，乙没有被选中”包含的基本事件有m==3，由此能求出“甲被选中，乙没有被选中”的概率．本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．13.【答案】【解析】解：根据题意，在中，令x=1可得，其展开式中的所有项系数和是（）n，又由的展开式中中只有第四项的二项式系数最大，所以n=6．则展开式中的所有项系数和是（）6=；故答案为．先用赋值法，在中，令x=1可得，其展开式中的所有项系数和是（）n，进而根据题意，其展开式中中只有第四项的二项式系数最大，可得n的值为6，代入（）n中，即可得答案．本题考查二项式定理的应用，求二项式展开式所有项系数和的一般方法是令x=1，再计算二项式的值．14.【答案】（-∞，-1）∪（-1，+∞）【解析】解：关于x，y的二元一次方程组=，即二元一次方程组，若直线mx+y-（m+1）=0与直线x+my-2m=0平行，则，解得m=-1．∴若关于x、y的二元一次方程组=至少有一组解，则m≠-1，即m∈（-∞，-1）∪（-1，+∞）．故答案为：（-∞，-1）∪（-1，+∞）．先根据矩阵的乘法进行化简得到二元一次方程组，然后求出两直线平行的m的范围，取补集得答案．本题考查了二元一次方程组的解的个数，考查矩阵的乘法运算，属于中档题．15.【答案】【解析】解：由||=3，||=4，得=||×||×cosθ=3×4×cosθ=12，∴cosθ=1；又θ∈[0，π]，∴θ=0；∴=λ，且λ＞0；则||=λ||，∴λ==，∴===λ=，∴=λ=．故答案为：．由平面向量的数量积求得、的夹角θ=0，得出=λ，计算λ的值，即可求得====λ．本题考查了空间向量的坐标运算与数量积运算问题，是基础题．16.【答案】[0，3]∪[4，15]【解析】【分析】本题考查分段函数的应用，注意分析函数f（x）的图象，属于中档题．根据题意，由函数f（x）的解析式作出f（x）的函数图象，得出f（x）的单调性，对x 的符号进行讨论，根据不等式只有1整数解得出a的范围．【解答】解：根据题意，函数f（x）=，其图象如图：分2种情况讨论：①当x＞0时，f（x）≤f（1）=4，若存在唯一的整数x，使得不等式＞0成立，即f（x）-a＞0有唯一的整数解，又f（2）=0，则此时有0≤a＜4．②当x＜0时，则f（x）≥f（0）=0，若存在唯一的整数x，使得不等式＞0成立，即f（x）-a＜0有唯一的整数解，又由f（-1）=3，f（-2）=15，则此时有3＜a≤15，因为①②不能同时满足，否则不符合题意，综合可得：0≤a≤3或4≤a≤15；则a的取值范围为[0，3]∪[4，15]；故答案为：[0，3]∪[4，15]．17.【答案】解：（1）∵正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为4，E、F分别是棱AB、D1C1的中点，连结EF、FB1、FA1、D1E、A1E、B1E．∴三棱锥A1-FB1E的体积====．（2）以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，D1（0，0，4），E（4，2，0），B1（4，4，4），F（0，2，4），=（0，2，4），=（-4，0，4），=（-4，-2，4），设平面B1EF的法向量=（x，y，z），则，取x=1，得=（1，-2，1），设直线D1E与平面B1EF所成角的大小为θ，则sinθ===，∴直线D1E与平面B1EF所成角的大小为arcsin．【解析】（1）三棱锥A1-FB1E的体积==，由此能求出结果．（2）以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线D1E与平面B1EF所成角的大小．本题考查三棱锥的体积的求法，考查线面角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．18.【答案】解：（1）f′（x）=2ax-2a=2a（x-1），（a＞0），令f′（x）＞0，解得：x＞1，令f′（x）＜0，解得：x＜1，故f（x）在[-1，1）递减，在（1，4]递增，∵1-（-1）＜4-1，故f（x）max=f（4）=16a-8a+2=8a+2=10，解得：a=1，故f（x）=x2-2x+2；（2）由（1）g（x）=x+-2，若不等式g（3x）-t•3x≥0在x∈[0，2]上有解，则3x+-2-t•3x≥0在x∈[0，2]上有解，即t≤2-2（）+1=2+在x∈[0，2]上有解，令=u∈[，1]，∵x∈[0，2]，则t≤2+在u∈[，1]上有解，当u∈[，1]时，2+∈[，1]，于是t≤1，故实数t的范围是（-∞，1]．【解析】（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，求出a的值，求出函数的解析式即可；（2）问题转化为t≤2-2（）+1=2+在x∈[0，2]上有解，令=u∈[，1]，根据函数的单调性求出t的范围即可．本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，考查转化思想，换元思想，是一道综合题．19.【答案】解：（1）（i）过O作OH⊥AB于H由题意得，且即AH=10cotα即∴==（ii）由等面积原理得，即（2）选择方案一：当时，此时，而所以．选择方案二：因为，由余弦定理得=∴即（当且仅当时取等号）【解析】（1）（i）过O作OH⊥AB于H，则由及直角三角形的三角关系可求AH=10cotα，，而AB=AH+BH，整理即可（ii）由等面积原理得，可求AB（2）选择方案一：结合正弦函数的性质可求AB的最小值选择方案二：由余弦定理得=，结合基本不等式可求AB的最小值本题主要考查了解三角形在实际问题中的应用，综合考查了基本不等式的知识，解题的关键是合理的把实际问题转化为数学问题20.【答案】解：（1）设直线方程为x=my+1，∵原点到直线l的距离为，∴d==，解得m=±1时，此时直线方程为x±y-1=0，（2）1°当直线l的斜率不存在时，P，Q两点关于x轴对称，所以x1=x2，y1=-y2，∵P（x1，y1）在椭圆上，∴+y12=1 ①又∵S△OPQ=，∴|x1||y1|=②由①②得|x1|=1，|y1|=．此时x12+x22=2，y12+y22=1；2°当直线l的斜率存在时，是直线l的方程为y=kx+m（m≠0），将其代入+y2=1得（2k2+1）x2+4kmx+2（m2-1）=0，△=16k2m2-8（2k2+1）（m2-1）＞0即2k2+1＞m2，又x1+x2=-，x1•x2=，∴|PQ|=•=，∵点O到直线l的距离为d=，∴S△OPQ=|PQ|•d=••=••|m|又S△OPQ=，即••|m|=整理得2k2+1=2m2，此时x12+x22=（x1+x2）2-2x1x2=（）2-2×=2，y12+y22=（1-x12）+（1-x22）=2-（x12+x22）=1；综上所述x12+x22=2，y12+y22=1．结论成立．（3）椭圆C上不存在三点D，E，G，使得S△ODE=S△ODG=S△OEG=，证明：假设存在D（u，v），E（x1，y1），G（x2，y2），使得S△ODE=S△ODG=S△OEG=由（2）得u2+x12=2，u2+x22=2，x12+x22=2；v2+y12=1，v2+y22=1，y12+y22=1解得u2=x12=x22=1；v2=y12=y22=．因此u，x1，x2只能从±1中选取，v，y1，y2只能从±中选取，因此点D，E，G，只能在（±1，±）这四点中选取三个不同点，而这三点的两两连线中必有一条过原点，与S△ODE=S△ODG=S△OEG=矛盾．所以椭圆C上不存在满足条件的三点D，E，G．【解析】（1）根据点到直线的距离公式即可求出．（2）分情况讨论，根据已知设出直线l的方程，利用弦长公式求出|PQ|的长，利用点到直线的距离公式求点O到直线l的距离，根据三角形面积公式，即可求得x12+x22和y12+y22（3）假设存在D（u，v），E（x1，y1），G（x2，y2），使得S△ODE=S△ODG=S△OEG=由（2）得u2+x12=2，u2+x22=2，x12+x22=2；v2+y12=1，v2+y22=1，y12+y22=1，从而求得点D，E，G，的坐标，可以求出直线DE、DG、EG的方程，从而得到结论．本题考查了直线与椭圆的位置关系，弦长公式和点到直线的距离公式，是一道综合性的试题，考查了学生综合运用知识解决问题的能力．其中问题（3）是一个开放性问题，考查了同学们观察、推理以及创造性地分析问题、解决问题的能力，属于难题．21.【答案】解：（1）令n=1时，a1a2=S1，由于：无穷数列{a n}的各项都不为零，所以：a2=1，由：a n•a n+1=S n，所以：a n+1•a n+2=S n+1，两式相减得：a n+2-a n=1，所以：数列{a2n}是首项为1，公差为1的等差数列．则：．（2）由（1）知，数列{a2n}是首项为1，公差为1的等差数列，数列{a2n-1}的首项a1，公差为1的等差数列．故：a n=，所以：．①当n为奇数时，，即：，即：对任意的正奇数n都恒成立，所以：，即：0＜a1＜2．②当n为偶数时，，即：，即：对任意的正偶数恒成立，所以：，即：，综合①②得：．（3）数列{a2n}是首项为1，公差为1的等差数列，数列{a2n-1}的首项a1，公差为1的等得知：数列的各项都为正值．设b n=b m b k则：•取k=n+2，则：a k-a n=1，故：a m=a n（a n+2+t），．当n为偶数时，方程b n=b m b k的一组解是：，当n为奇数时，方程b n=b m b k的一组解是：，故：数列{b n}中的任意一项总可以表示为数列{b n}中的其他两项之积．【解析】（1）直接利用赋值法求出结果．（2）利用分类讨论法确定数列的首项的范围．（3）利用构造数列法求出数列的各项，进一步确定结果．本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，数列的前n项和的应用．。
2020年上海市交大附中高考数学二模试卷(含答案解析)
2020年上海市交大附中高考数学二模试卷一、选择题（本大题共4小题，共12.0分）1.已知函数是R上的增函数，则对任意，，“”是“”的条件A. 充分非必要B. 必要非充分C. 充分必要D. 非充分非必要2.已知，，，则z对应的点在A. 圆上B. 抛物线上C. 双曲线上D. 椭圆上3.在平面直角坐标系中，O是坐标原点，两定点A，B满足，则点集所表示的区域的面积是A. B. C. D.4.已知，，，2，3，，为，，，中不同数字的种类，如1，2，，2，2，，求所有的256个的排列所得的的平均值为A. B. C. D.二、填空题（本大题共12小题，共36.0分）5.计算矩阵的乘积：______．6.______．7.已知，则的值等于______ ．8.若双曲线的焦距为6，则该双曲线的虚轴长为______．9.在首项为21，公比为的等比数列中，最接近于1的项是第______项．10.如图，二面角的大小是，线段，，AB与l所成的角为，则AB与平面所成的角是______用反三角函数表示．11.已知a，b，c分别为的三个内角A，B，C的对边，且，则面积的最大值为______．12.已知函数，是以2为周期的偶函数，且当时，有，则函数的反函数是______．13.已知是定义在R上的函数，方程恰好有7个解，则这7个解的和为______．14.设0．是一个循环节长度为两位的循环纯小数，其中a和b分别为10以内的非负整数，且，，若集合，则A中所有元素的和为______15.已知数列满足，是一个已知的正整数，若存在，当且为奇数时，恒为常数p，则______16.若实数x，y满足，则xy的最小值为______．三、解答题（本大题共5小题，共60.0分）17.如图所示，用一个半径为10厘米的半圆纸片卷成一个最大的无底圆锥，放在水平桌面上，被一阵风吹倒．求该圆锥的表面积S和体积V；求该圆锥被吹倒后，其最高点到桌面的距离d．18.已知函数的图象如图所示．求出函数的解析式；若将函数的图象向右移动个单位长度再把所有点的横坐标变为原来的纵坐标不变得到函数的图象，求出函数的单调递增区间及对称中心．19.若函数满足“存在正数，使得对定义域内的每一个值，在其定义域内都存在，使成立”，则称该函数为“依附函数”．分别判断函数，是否为“依附函数”，并说明理由；若函数的值域为，求证：“是依附函数”的充要条件是“”．20.如图，已知点P是x轴下方不含x轴一点，抛物线C：上存在不同的两点A、B满足，，其中为常数，且D、E两点均在C上，弦AB的中点为M．若P点坐标为，时，求弦AB所在的直线方程；在的条件下，如果过A点的直线与抛物线C只有一个交点，过B点的直线与抛物线C也只有一个交点，求证：若和的斜率都存在，则与的交点N在直线PM上；若直线PM交抛物线C于点Q，求证：线段PQ与QM的比为定值，并求出该定值．21.设数列是公差不为零的等差数列，满足，；数列的前n项和为，且满足．求数列、的通项公式；在和之间插入1个数，使，，成等差数列；在和之间插入2个数，，使，，，成等差数列；；在和之间插入n个数，，，，使，，，，成等差数列．求；是否存在正整数m，n，使成立？若存在，求出所有的正整数对；若不存在，请说明理由．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：解：函数是R上的增函数，则对任意，，“”“”，故选：C．利用增函数的定义即可判断出关系．本题考查了简易逻辑的判定方法、函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．2.答案：B解析：解：因为，所以，则，复数z在复平面内所对应的点为，设，则，消去b得：．故z对应的点在抛物线上，故选：B．由已知求得，代入z化简得到，设，则，消去b即可得到点P的轨迹．本题点的轨迹方程，考查复数代数形式的乘除运算，考查曲线的参数方程，是中档题．3.答案：D解析：解：由两定点A，B满足，，则，则，说明O，A，B三点构成边长为2的等边三角形．不妨设，再设．由，得：．所以，解得由．所以等价于或或或．可行域如图中矩形ABCD及其内部区域，则区域面积为．故选D．由两定点A，B满足，说明O，A，B三点构成边长为2的等边三角形，设出两个定点的坐标，再设出P点坐标，由平面向量基本定理，把P的坐标用A，B的坐标及，表示，把不等式去绝对值后可得线性约束条件，画出可行域可求点集P所表示区域的面积．本题考查了平面向量的基本定理及其意义，考查了二元一次不等式组所表示的平面区域，考查了数学转化思想方法，解答此题的关键在于读懂题意，属中档题．4.答案：D解析：【分析】本题考查排列、组合的应用，是新定义的题型，关键是理解题目中“不同数字的种类”的定义，属于一般题．根据题意，依次分析、2、3、4时的情况数目，结合“不同数字的种类”的定义分析可得答案．【解答】解：根据题意，的排列共有种，其中当时，即排列中只有1个数字，有4种情况，当时，即排列中有2个不同的数字，若有3个数字相同，有种情况，若有2个数字相同，有种情况，此时有种情况，当时，即排列中有3个不同的数字，有种情况，当时，即排列有4个不同的数字，有种情况，则的平均值为．故选：D．5.答案：解析：解：，，．故答案为：．利用矩阵的乘积运算法则即可得出．本题考查了矩阵的乘积运算法则，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．6.答案：解析：【分析】本题考查了二项式展开式定理的逆用问题，是基础题．【解答】解：．故答案为：．7.答案：解析：解：把两边平方得：，即，．故答案为：把已知的等式左右两边平方，左边利用同角三角函数间的基本关系及二倍角的正弦函数公式化简，右边计算出结果，整理后即可求出的值．此题考查了二倍角的正弦函数公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握公式及基本关系是解本题的关键．8.答案：解析：解：双曲线的焦距为6，可得，解得．所以双曲线的虚轴长为：．故答案为：．通过双曲线的焦距，求出m，然后求解双曲线的虚轴长．本题考查双曲线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力，是基本知识的考查．9.答案：5解析：解：可得，等比数列的通项公式，则数列单调递减，，，故当时，数列的项与1最接近．故答案为：5．由已知可先求出数列的通项公式，进而可求．本题主要考查了等比数列的通项公式的简单应用，属于基础试题．10.答案：解析：解：过点A作平面的垂线，垂足为C，在内过C作l的垂线，垂足为D，连接AD，由三垂线定理可知，故为二面角的平面角，为，又由已知，，连接CB，则为AB与平面所成的角．设，则，，．直线AB与平面所成的角的正弦值，即AB与平面所成的角是．故答案为：．过点A作平面的垂线，垂足为C，在内过C作l的垂线，垂足为D，连接AD，可得为二面角的平面角，连接CB，则为AB与平面所成的角，在直角三角形ABC中即可求解．本题考查平面与平面之间的位置关系，以及直线与平面所成角，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于中档题．11.答案：解析：【分析】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，基本不等式，三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．由正弦定理化简已知可得结合余弦定理可求A的值，由基本不等式可求再利用三角形面积公式即可计算得解．【解答】解：因为：因为：所以由正弦定理得所以：，面积，而当且仅当时取等号，所以：，即面积的最大值为．故答案为．12.答案：解析：解：当时，，，由单调性可知，又，所求反函数是，．故答案为：，．结合函数的奇偶性和反函数知识进行求解．本题考查对数的运算以及反函数与原函数的定义域和值域相反等知识，属于易错题．13.答案：解析：解：设，则，函数满足，函数关于直线对称，方程的所有实数根也是关于在数轴上对称分布，一旦在的左侧取到实数根，一定也能在的右侧取到相应实数根，且两根之和为1，方程恰好有7个解，即方程恰好有7个解，有一个根为，左右各对应3个根，这7个解的和为，故答案为：．构造函数，则函数满足，即函数关于直线对称，所以方程的7个解有一个根为，左右各对应3个根，从而求出这7个解的和．本题主要考查了函数的对称性，是中档题．14.答案：143解析：解：由题意可知0．，又和b分别为10以内的非负整数，且，，当时，，3，9，此时n依次等于99，33，11；当时，n均不存在．综合知：11，，故A中所有元素的和为．故答案为：143．先由题意得到0．，再利用列举法求出满足题意的n即可．本题主要考查两位的循环纯小数的形式及用列举法求集合中的元素，属于基础题．15.答案：解析：解：若存在，当且为奇数时，恒为常数p，则，，，解得．故答案为：．推导出，，，由此能求出p．本题考查常数的求法，考查递推公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．16.答案：解析：解：，，故，由基本不等式可得，或，，由三角函数的有界性可得，故，即，此时，即，，故，解得，故，当时，xy的最小值，故答案为：配方可得，由基本不等式可得，或，进而可得，，由此可得xy的表达式，取可得最值．本题考查基本不等式在最值问题中的应用，余弦函数的单调性，得出是解决问题的关键，属中档题．17.答案：解：设圆锥底面半径为r厘米，母线的长为l厘米，则厘米，且，解得：厘米，表面积平方厘米，圆锥的高厘米，体积立方厘米．由知，圆锥的轴截面为等边三角形，且边长为10厘米，最高点到底面的距离为等边三角形的高，厘米．故该圆锥被吹倒后，其最高点到桌面的距离厘米．解析：设圆锥底面半径为r厘米，母线的长为l厘米，则厘米，利用半圆周长等于圆锥底面周长列式求得厘米，则表面积可求，再求出圆锥的高，则体积可求．由知，圆锥的轴截面为等边三角形，且边长为10厘米，可得最高点到底面的距离为等边三角形的高．本题考查圆锥表面积与体积的求法，考查圆锥侧面积公式的应用，考查计算能力，是中档题．18.答案：解：由函数的图象可得，解得：．又由得：，．而得：，，，，综上：．显然，由，，得的单调递增区间为，，由，得：对称中心是，．解析：由函数的图象的顶点坐标求出A和b，由周期求出，最高点求出的值，可得函数的解析式．由题意利用正弦函数的单调性，以及图象的对称性，求出函数的单调递增区间及对称中心．本题主要考查由函数的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出A和b，由周期求出，最高点求出的值，正弦函数的单调性，以及图象的对称性，属于中档题．19.答案：解：可取，则对任意，存在，使得成立，分说明：可取任意正数，则分是“依附函数”，分对于任意正数，取，则，分此时关于的方程无解，不是“依附函数”分证明：必要性：反证法假设，的值域为，存在定义域内的，使得，分对任意正数，关于的方程无解，即不是依附函数，矛盾，分充分性：假设，取，分则对定义域内的每一个值，由，可得，而的值域为，存在定义域内的，使得，即成立，是“依附函数”分解析：根据“依附函数”的定义直接判断即可；从必要性及充分性两个角度，利用反正法求证即可．本题以新定义为载体，旨在考查学生的逻辑推理能力，以及接受新知识运用新知识的能力，考查创新意识及应用意识，属于中档题．20.答案：解：设，，由，，可得，，由D点在C上可得：，化简得：，同理可得：，、B两点不同，不妨设，，弦AB所在的直线方程为．证明：由可知，，，设：，与C：联立，并令，可得，同理的斜率，：，：，解方程组得：交点，而直线PM的方程为，得证．证明：设，，，由，得，代入，化简得：，同理可得：，显然，、是方程的两个不同的根，，，，即直线PM的方程为，，，，，线段PQ与QM的比为定值．解析：设，，求出D、E坐标，设，，然后判断求解弦AB所在的直线方程．设：，与C：联立，并令，可得，同理的斜率，求出交点坐标，然后推出直线PM的方程即可．设，设出A、B坐标，由，求出，代入，说明、是方程的两个不同的根，利用韦达定理，求出P、Q坐标，然后求解线段比例即可．本题考查直线与抛物线的位置关系的应用，考查数形结合以及转化思想的应用，考查计算能力，是难题．21.答案：解：设数列的公差为d，，则由，得，，，，将代入上式，得，，，，．由，当时，，，得，，，又，，是首项为，公比为的等比数列，，在和之间插入n个数，，，，，，，，成等差数列，设公差为，，则，，，则，，得，．，当时，，当时，，当时，，下证，当时，有，即证，设，，则，在上单调递增，故时，，，时，m不是整数，所有的正整数对为及．解析：设数列的公差为d，，利用等差数列的通项公式求出，从而再由，当时，，推导出是首项为，公比为的等比数列，由此能求出．在和之间插入n个数，，，，推导出，从而，进而，由此利用错位相沽法能求出．，当时，，当时，，当时，，再证明当时，，由此能求出所有的正整数对．本题考查数列的通项公式、前n项和、整数对的求法，考查等差数列、等比数列的性质、错位相减求和法、导数性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．。
2020年上海市虹口区高中数学高考二模试卷含详解
上海市虹口区2020届高三二模数学试卷2020.5一、填空题(本大题共12题,1-6每题4分,7-12每题5分,共54分)1.函数()3cos21f x x =+的最小值为.2.函数()f x =的定义域为.3.设全集UR =，若{}23A x x =-≥，则U C A =.4.3位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加志愿者服务活动，则周六没有同学参加活动的概率为.5.已知函数()g x 的图像与函数()2()log 31x f x =-的图像关于直线y x =对称，则(3)g =.6.设复数cos sin i ziαα=+（i为虚数单位），若z =，则tan 2α=.7.若52ax ⎛+ ⎝的展开式中的常数项为52-，则实数a 的值为.8.设ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c，若8,30b c A ︒===，则sin C =.9.已知点(3,2)A -，点P 满足线性约束条件201024x y x y +≥⎧⎪-≤⎨⎪-≤⎩，设O 为坐标原点，则OA OP ⋅ 的最大值为.10.已知12,F F是椭圆222:1(3x y C a a +=>的左、右焦点，过原点O 且倾斜角为60︒的直线与椭圆C 的一个交点为M ，若1212MF MF MF MF +=-，则椭圆C 的长轴长为.11.已知球O 是三棱锥P ABC -的外接球，2,PA AB BC CA PB =====，点D 为BC的中点，且PD =O 的体积为.12.已知函数51,1()8,11x x f x x x ⎧-<⎪=⎨≥⎪+⎩，若方程(())f f x a =恰有5个不同的实数根，则实数a 的取值范围为.二、选择题（本大题共4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应题号上，将所选答案的代号涂黑，选对得5分，否则一律零分。
13.已知抛物线24y x =上的点M 到它焦点的距离为5，则点M 到y 轴的距离为（）A.2B.4C.5D.614.某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的表面积（单位：cm ）为（）A.32B.36C.40D.4815.已知函数1()sin (0)62f x x πωω⎛⎫=++> ⎪⎝⎭在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上有且仅有两个零点，则实数ω的取值范围为（）14141010()2,()2,(),4(),63333A B C D ⎛⎤⎡⎫⎡⎫⎛⎤⎪⎪⎥⎢⎢⎥⎝⎦⎣⎭⎣⎭⎝⎦16.设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，首项11a =，且24323S S S +=，已知*,m n N ∈，若存在正整数,(1)i j i j <<，使得,,i j ma mn na 成等差数列，则mn 的最小值为（）A.16B.12C.8D.6三、解答题（本大题共5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的规定区域内写出必要的步骤。
2020年上海市普陀区高考数学二模试卷(有答案解析)
2020年上海市普陀区高考数学二模试卷一、选择题（本大题共4小题，共20.0分）1.若椭圆的焦点在x轴上，焦距为，且经过点，则该椭圆的标准方程为（）A. B. C. D.2.在△ABC中，设三个内角A、B、C的对边依次为a、b、c，则“”是“a2+b2=c2+ab”成立的（）A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分又非必要条件3.某公司对4月份员工的奖金情况统计如下：奖金（单位：元）80005000400020001000800700600500员工（单位：人）12461282052根据上表中的数据，可得该公司4月份员工的奖金：①中位数为800元；②平均数为1373元；③众数为700元，其中判断正确的个数为（）A. 0B. 1C. 2D. 34.设函数，若对于任意，在区间[0，m]上总存在唯一确定的β，使得f（α）+f（β）=0，则m的最小值为（）A. B. C. D. π二、填空题（本大题共12小题，共54.0分）5.设集合A={1，2，3}，B={x|x2-x-2≤0}，则A∩B=______6.双曲线的顶点到其渐近线的距离为______7.函数的定义域为______8.设直线l经过曲线（θ为参数，0≤θ≤2π）的中心，且其方向向量，则直线l的方程为______9.若复数z=1+i（i为虚数单位）是方程x2+cx+d=0（c、d均为实数）的一个根，则|c+di|=______10.若圆柱的主视图是半径为1的圆，且左视图的面积为6，则该圆柱的体积为______11.设x、y均为非负实数，且满足，则6x+8y的最大值为______12.甲约乙下中国象棋，若甲获胜的概率为0.6，甲不输的概率为0.9，则甲、乙和棋的概率为______13.设实数a、b、c满足a≥1，b≥1，c≥1，且abc=10，a lg a•b lg b•c lg c≥10，则a+b+c=______14.在四棱锥P-ABCD中，设向量，，，则顶点P到底面ABCD的距离为______15.《九章算术》中称四个面均为直角三角形的四面体为鳖臑，如图，若四面体ABCD为鳖臑，且AB⊥平面BCD，AB=BC=CD，则AD与平面ABC所成角大小为______（结果用反三角函数值表示）16.设函数f（x）是定义在R上的偶函数，记g（x）=f（x）-x2，且函数g（x）在区间[0，+∞）上是增函数，则不等式f（x+2）-f（2）＞x2+4x的解集为______三、解答题（本大题共5小题，共76.0分）17.如图所示，圆锥的顶点为P，底面中心为O，母线PB=4，底面半径OA与OB互相垂直，且OB=2．（1）求圆锥的表面积；（2）求二面角P-AB-O的大小（结果用反三角函数值表示）．18.设函数．（1）当x∈R时，求函数f（x）的最小正周期；（2）设，求函数f（x）的值域及零点．19.某热力公司每年燃料费约24万元，为了“环评”达标，需要安装一块面积为x（x≥0）（单位：平方米）可用15年的太阳能板，其工本费为（单位：万元），并与燃料供热互补工作，从此，公司每年的燃料费为（k为常数）万元，记y为该公司安装太阳能板的费用与15年的燃料费之和．（1）求k的值，并建立y关于x的函数关系式；（2）求y的最小值，并求出此时所安装太阳能板的面积．20.设数列{a n}满足：a1=2，2a n+1=t•a n+1（其中t为非零实常数）．（1）设t=2，求证：数列{a n}是等差数列，并求出通项公式；（2）设t=3，记b n=|a n+1-a n|，求使得不等式成立的最小正整数k；（3）若t≠2，对于任意的正整数n，均有a n＜a n+1，当a p+1、a t+1、a q+1依次成等比数列时，求t、p、q的值．21.设曲线Γ：y2=2px（p＞0），D是直线l：x=-2p上的任意一点，过D作Γ的切线，切点分别为A、B，记O为坐标原点．（1）设D（-4，2），求△DAB的面积；（2）设D、A、B的纵坐标依次为y0、y1、y2，求证：y1+y2=2y0；（3）设点M满足，是否存在这样的点D，使得M关于直线AB的对称点N在Γ上？若存在，求出D的坐标，若不存在，请说明理由．-------- 答案与解析 --------1.答案：D解析：解：由椭圆的焦点在x轴上，设椭圆的方程为（a＞b＞0），∵焦距为，且椭圆经过点，∴，解之得a2=9，b2=3（舍负）因此，椭圆的标准方程为：．故选：D．设椭圆的方程为（a＞b＞0），根据题意建立关于a、b的方程组，解出a2、b2的值，即可得到所求椭圆标准方程．本题给出椭圆的焦距与经过的定点坐标，求椭圆的标准方程．着重考查了椭圆的标准方程与简单几何性质等知识，属于基础题．2.答案：B解析：解：∵a2+b2=c2+ab，∴cos C==，∵0＜C＜π，∴C=，∴”是“a2+b2=c2+ab”成立的必要非充分条件，故选：B．先根据余弦定理求出C的大小，再根据充分条件和必要条件即可判断本题考查了余弦定理和充分条件和必要条件，属于基础题3.答案：C解析：解：将员工的奖金的中位数为800元，平均数为82400÷60=，众数为700，故①③正确，②错误．故选：C．根据中位数，平均数，众数的概念求出中位数，平均值，众数可得．本题考查了众数，中位数，平均数，属基础题．4.答案：B解析：解：因为，x∈[-，-]，所以x-]，所以f（x）∈[-，0]，即f（α）∈[-，0]，由在区间[0，m]上总存在唯一确定的β，使得f（α）+f（β）=0，则在区间[0，m]上总存在唯一确定的β，使得f（β）∈[0，]，由函数f（x）在[0，]为增函数，值域为：[-，1]，又f（）=sin=，即m，故m的最小值为：，故选：B．由三角函数图象的单调性得：因为，x∈[-，-]，所以x-]，所以f（x）∈[-，0]，即f（α）∈[-，0]，由三角函数的最值得：在区间[0，m]上总存在唯一确定的β，使得f（α）+f（β）=0，则在区间[0，m]上总存在唯一确定的β，使得f（β）∈[0，]，由函数f（x）在[0，]为增函数，值域为：[-，1]，又f（）=sin=，即m，故m的最小值为：，得解．本题考查了三角函数图象的单调性，三角函数的最值，属中档题．5.答案：{1，2}解析：解：∵集合A={1，2，3}，B={x|x2-x-2≤0}={x|-1≤x≤2}，∴A∩B={1，2}．故答案为：{1，2}．先分别求出集合A，B，由此能求出A∩B．本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．6.答案：解析：解：双曲线的一个顶点坐标（4，0），其一条渐近线方程为3x+4y=0，所以所求的距离为：=．故答案为：．求出双曲线的渐近线方程，顶点坐标，利用点到直线的距离求解即可．本题考查双曲线的简单性质的应用，考查计算能力．7.答案：[0，1）解析：解：要使原函数有意义，则：；∴0≤x＜1；∴原函数的定义域为[0，1）．故答案为：[0，1）．可看出，要使得原函数有意义，则需满足，解出x的范围即可．考查函数定义域的定义及求法，对数函数的定义域．8.答案：y=x解析：解：由曲线C的参数方程消去参数θ得（x-1）2+（y-1）2=4可得圆的中心即圆心为（1，1），因为直线l的方向向量=（1，1），所以直线l的斜率为1，根据点斜式可得直线l的方程为：y-1=x-1，即y=x，故答案为：y=x．将曲线C的参数方程消去参数θ可得曲线C的普通方程，是一个圆，可得中心为圆心（1，1），根据直线l的方向向量得直线l的斜率，根据点斜式可得直线l的直角坐标方程．本题考查了圆的参数方程，属中档题．9.答案：解析：解：∵z=1+i是方程x2+cx+d=0（c、d均为实数）的一个根，∴（1+i）+（1-i）=-c，（1+i）（1-i）=d，则c=-2，d=2．则|c+di|=|-2+2i|=．故答案为：．由已知可得（1+i）+（1-i）=-c，（1+i）（1-i）=d，求得c，d的值，再由复数模的计算公式求解．本题考查实系数一元二次方程虚根成对原理的应用，考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．10.答案：3π解析：解：由题意可知几何体是放倒的圆柱，底面半径为1，左视图的面积为6，可得正视图是矩形，圆柱的高为3，所以圆柱的体积为：12•π•3=3π．故答案为：3π．由题意求解圆柱的高，然后求解圆柱的体积．本题考查三视图求解几何体的体积，画出直观图，转化求解是解题的关键．11.答案：40解析：解：画出可行域又z=6x+8y可变形为直线y=-x+（即斜率为-在y轴上的截距为），所以当该直线经过点A时z取得最大值，且解得点A的坐标为（0，5），所以z max=0+8×5=40．故答案为：40．先画出可行域，然后把z=6x+8y变形为直线y=-x+（即斜率为-在y轴上的截距为），再画出其中一条y=-x，最后通过平移该直线发现当这类直线过点A时其在y轴上的截距最大，则问题解决．本题考查画可行域及由可行域求目标函数最值问题，解题的关键是画出满足条件的区域图，属于基础题．12.答案：0.3解析：解：甲约乙下中国象棋，甲获胜的概率为0.6，甲不输的概率为0.9，甲、乙和棋的概率为：P=0.9-0.6=0.3．故答案为：0.3．利用互斥事件概率加法公式直接求解．本题考查概率的求法，考查互斥事件的概率加法公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．13.答案：12解析：解：由a≥1，b≥1，c≥1，且abc=10，可得0≤lg a≤1，0≤lg b≤1，0≤lg c≤1．∴lg2a≤lg a，lg2b≤lg b，lg2c≤lg c，又a lg a•b lg b•c lg c≥10⇔lg（a lg a•b lg b•c lg c）≥lg10，可得lg2a+lg2b+lg2c≥1=lg abc=lg a+lg b+lg c，∴lg2a=lg a，lg2b=lg b，lg2c=lg c，则a=10或1，b=10或1，c=10或1．由对称思想，不妨a=10，则b=1，c=1．∴a+b+c=12．故答案为：12．由已知可得0≤lg a≤1，0≤lg b≤1，0≤lg c≤1，得到lg2a≤lg a，lg2b≤lg b，lg2c≤lg c，由a lg a•b lg b•c lg c≥10⇔lg（a lg a•b lg b•c lg c）≥lg10，可得lg2a+lg2b+lg2c≥1=lg abc=lg a+lg b+lg c，从而得到lg2a=lg a，lg2b=lg b，lg2c=lg c，由此得到a，b，c的值，则答案可求．本题考查对数的运算性质，考查逻辑思维能力与推理运算能力，属中档题．14.答案：2解析：解：四棱锥P-ABCD中，向量，，，设底面ABCD的法向量=（x，y，z），则，取x=1，得=（1，4，），∴顶点P到底面ABCD的距离为：d===2．∴顶点P到底面ABCD的距离为2．故答案为：2．求出底面ABCD的法向量，由此能求出顶点P到底面ABCD的距离．本题考查点到平面的距离的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．15.答案：arcsin解析：解：∵四面体ABCD为鳖臑，且AB⊥平面BCD，AB=BC=CD，∴BC⊥DC，以C为原点，CD为x轴，CB为y轴，过C作平面BDC的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，设AB=BC=CD=1，则A（0，1，1），D（1，0，0），B（0，1，0），C（0，0，0），=（1，-1，-1），平面ABC的法向量=（1，0，0），设AD与平面ABC所成角为θ，则sinθ===，∴θ=arcsin，∴AD与平面ABC所成角大小为arcsin．故答案为：arcsin．推导出BC⊥DC，以C为原点，CD为x轴，CB为y轴，过C作平面BDC的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出AD与平面ABC所成角大小．本题考查线面角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．16.答案：（-∞，-4）∪（0，+∞）解析：解：根据题意，g（x）=f（x）-x2，且f（x）是定义在R上的偶函数，则g（-x）=f（-x）-（-x）2=f（x）-x2=g（x），则函数g（x）为偶函数，f（x+2）-f（2）＞x2+4x⇒f（x+2）-（x+2）2＞f（2）-4⇒g（x+2）＞g（2），又由g（x）为增函数且在区间[0，+∞）上是增函数，则|x+2|＞2，解可得：x＜-4或x＞0，即x的取值范围为（-∞，-4）∪（0，+∞）；故答案为：（-∞，-4）∪（0，+∞）．根据题意，分析可得g（x）为偶函数，进而分析可得f（x+2）-f（2）＞x2+4x⇒f（x+2）-（x+2）2＞f（2）-4⇒g（x+2）＞g（2），结合函数的奇偶性与单调性分析可得|x+2|＞2，解可得x的取值范围，即可得答案．本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，注意分析g（x）的奇偶性与单调性，属于基础题．17.答案：解：（1）∵圆锥的顶点为P，底面中心为O，母线PB=4，底面半径OA与OB互相垂直，且OB=2．∴圆锥的表面积S=πr2+πrl=π×22+π×2×4=12π．（2）以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，OP==2，则A（2，0，0），B（0，2，0），P（0，0，2），=（2，0，-2），=（0，2，-2），设平面PAB的法向量=（x，y，z），则，取z=1，得=（，，1），平面ABO的法向量=（0，0，1），设二面角P-AB-O的大小为θ，则cosθ===，∴θ=arccos．∴二面角P-AB-O的大小为arccos．解析：（1）圆锥的表面积S=πr2+πrl，由此能求出结果．（2）以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角P-AB-O的大小．本题考查圆锥的表面积的求法，考查二面角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．18.答案：解：（1）函数=sin x cosx+cos2x-cos2x+=sin2x-•+=sin（2x-），故它的周期为T=π．（2）当时，2x-∈[-，]，sin（2x-）∈[-1，]，f（x）∈[-1，]，故函数的值域．令2x-=kπ，求得x=+，k∈Z，令k=0，可得函数的零点为．解析：（1）利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性，得出结论．（2）由题意利用正弦函数的定义域和值域、零点，求得函数f（x）的值域及零点．本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的周期性，定义域和值域，属于中档题．19.答案：解：（1）由公司每年的燃料费为（k为常数）万元，取x=0，得，则k=2400，∴该公司安装太阳能板的费用与15年的燃料费之和为：y=15×=+，x≥0；（2）+=+≥2=57.5，当且仅当，即x=55时取等号．∴当x为55平方米时，y取得最小值为57.5万元．解析：本题考查函数最值的应用，着重考查分析与理解能力，考查基本不等式的应用，是中档题．（1）由，可求得k，从而得到y关于x的函数关系式；（2）利用基本不等式即可求得y取得的最小值及y取得最小值时x的值．20.答案：解：（1）求证：t=2时，2a n+1=2a n+1，∴a n+1-a n=，∴{a n}是等差数列，首项为2，公差为，∴a n=2+（n-1）×=．（2）t=3时，2a n+1=3a n+1，a n+1=a n+，∴a n+1-1=（a n-1），又a1-1=1，∴数列{a n-1}是首项为1，公比为的等比数列，∴a n-1=（）n-1，∴a n=（）n-1-1，b n=|a n+1-a n|=×（）n-1，b1+b2+b3+…+b k==1-（）k，∴1-（）k≥，得（）k≤，∴k≥=≈=≈9.097，k的最小正整数值为10．（3）t≠2时，由2a n+1=ta n+1得a n+1=a n+，得a n+1-=（a n-）a n-=（2-）•n-1，∴a n=+（2-）•n-1，∵a n＜a n+1，∴{a n}递增，∴2-＞0，且＞1解得t＜2且t≠0，又因为t+1≥1，即t≥0，故t=1，a p+1、a t+1、a q+1依次成等比数列①若公比≠1，不妨设a p+1＜a t+1，则1≤p+1＜t+1，即p=0，a p+1=2，a t+1=a2=5，，q不是整数，不成立．②若公比为1，则a p+1=a t+1=a q+1，∴p=t=q=1，综上，p=t=q=1．解析：（1）t=2时易证数列{a n}满足等差数列的定义，即可求出通项公式．（2）构造含有a n的数列为等比数列，即可求出a n的通项公式，进而得到b n的通项公式，再将不等式转化为S k即可求出k的最小正整数值．（3）构造含有a n的数列为等比数列，即可求出a n的通项公式，再根据a n＜a n+1，可以得到t的范围，最终确定t=1，a p+1、a t+1、a q+1依次成等比数列时，分类讨论得到p，q的值．本题考查了等比数列，等差数列的定义和性质，考查构造法求数列的通项公式，分类讨论思想，综合性强，属于难题．21.答案：解：（1）∵D（-4，2），∴2p=4，∴p=2，曲线方程为y2=4x，即y=±2，y′=±．设A（x1，y1），B（x2，y2），其中y1＞0，y2＜0，则x1=，x2=，∴切线PA的斜率为=，切线PB的斜率为-=，故切线DA的方程为：y-y1=（x-x1），即y1y=2x-2x1+y12=2x+2x1，切线DB的方程为：y2y=2x+2x2，∵D（-4，2）在两切线上，∴，故A，B都在直线2y=-8+2x，即x-y-4=0上，∴直线AB的方程为x-y-4=0，联立方程组，消元得：x2-12x+16=0，∴x1+x2=12，x1x2=16，∴|AB|==4．又D到直线AB的距离为d==5，∴S△DAB==．（2）证明：如下图所示，设A（x1，y1），B（x2，y2），则直线AD的方程为y1y=p（x+x1），即，同理可得直线BD的方程为，联立直线AD和BD的方程，解得，由于点D的纵坐标为y0，所以，，即y1+y2=2y0；（3）设N（x3，y3），设A（x1，y1），B（x2，y2），由题意得M（x1+x2，y1+y2），则MN的中点Q坐标为（，），k AB===，设直线AB的方程为y-y1=（x-x1），由点Q在直线AB上，并注意到点（，）也在直线AB上，代入得y3=x3．若N（x3，y3）在抛物线上，则y32=2px3，因此y3=0或y3=2y0．即N（0，0）或N（，2y0）．①当y0=0时，则y1+y2=2y0=0，此时，点D（-2p，0）适合题意．②当y0≠0，对于N（0，0），此时M（，2y0），k MN==，又k AB===，由MN⊥AB，所以k AB•k MN=•=-1，即y12+y22=-4p2，矛盾．对于N（，2y0）．因为M（，2y0），此时直线MN平行于y轴，又k AB=，所以直线AB与直线MN不垂直，与题设矛盾，所以y0≠0时，不存在符合题意的D点．综上所述，仅存在一点D（-2p，0）适合题意．解析：（1）求得抛物线方程，求得导数和切线斜率，可得切线方程，求得AB的方程和距离，由三角形的面积公式，可得所求值；（2）求得AD，BD的方程和交点，即可得证；（3）设N（x3，y3），A（x1，y1），B（x2，y2），结合向量的坐标表示和（2）的结论，以及中点坐标公式和抛物线方程，可得N的坐标，讨论y0是否为0，结合题意，可得所求D的坐标．本题考查抛物线的方程和性质，考查直线和抛物线的位置关系，以及向量的坐标表示，考查分类讨论思想和化简整理的运算能力，属于难题．。
2020年上海市普陀区高考数学二模试卷（含答案解析）
故直线的倾斜角为一 故答案为：7. 把参数方程、极坐标方程化为直角坐标方程，根据直线过曲线的中心，求得直线斜率士的值，可得直
a 线的倾斜角 本题主要考查把参数方程、极坐标方程化为直角坐标方程的方法，直线的倾斜角和斜率，属于基础
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题.
9 .答案：5
解析：解：由z = 1 + 43 得5= l-4i. 则 2z +，= 2 X (1 + 4i) + 1 — 4i = 3 + 4t,
21 .如图所示，抛物线C必=22%3>0)的焦点为e 过点F且斜率存在的直线/交抛物线C于
A，B两点、,已知当直线/的斜率为1时，\AB\ = 8.
(I)求抛物线。的方程； (11)过点人作抛物线。的切线交直线％ =；于点0,试问：是否存在定点M在以为直径的圆 上？若存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理由
6 .答案：V2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
解析：解：设。>0,则双曲线卷一r=1的一个顶点为(。,0),
一条渐近线方程为y = a
即为2x-ay = 0,
由一个顶点到一条渐近线的距离为四，
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可得高=低 解得a = 2, 即有C = 2同 e = - = y]2. 故答案为：V2. 求得双曲线的顶点和一条渐近线方程，运用点到直线的距离公式，求得a = b = 2,进而得到双曲线 的离心率. 本题考查双曲线的方程和性质，主要考查渐近线方程和离心率的求法，属于中档题.
径为1的圆，那么这个圆柱的体积为
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故答案为：g. 利用已知条件，直接求解几何体的体积即可.
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本题考查几何体的三视图与直观图的对应关系，圆柱的体积的求法，考查计算能 力.
2020年上海市宝山区高考数学二模试卷 (含答案解析)
2020年上海市宝山区高考数学二模试卷一、选择题（本大题共4小题，共12.0分）1. 用数学归纳法证明“1+12+13+⋯+12n <F (n )”时，由n =k 不等式成立，证明n =k +1时，左边应增加的项数是( )A. 2k−1B. 2k −1C. 2kD. 2k +12. 设a ⃗ ，b ⃗ 是非零向量，记a ⃗ 与b ⃗ 所成的角为θ，下列四个条件中，使a⃗ |a⃗ |=b⃗ |b⃗ |成立的充要条件是( ) A. a ⃗ //b ⃗B. θ=0C. θ=π2D. θ=π3. 若双曲线C ：x 2a 2−y 2b2=1(a >0,b >0)的右焦点F(4,0)到其渐近线的距离为2，则C 的渐近线方程为( )A. y =±√33x B. y =±√3xC. y =±√55xD. y =±√5x4. 已知向量a ⃗ =(1,−2,m2−2)，b ⃗ =(m,3，−m2−2)，若(a ⃗ +b ⃗ )⊥(a ⃗ −b ⃗ )，则m 的值为( )A. 0B. −2C. 2D. ±2二、填空题（本大题共12小题，共36.0分）5. 已知集合A 中的元素满足x ≥2，若a ∉A ，则实数a 的取值范围是________．6. 圆x 2+y 2−4x =0的圆心坐标是______；半径为______．7. 过点(2,−2)的抛物线的标准方程是______ ．8. i 是虚数单位，则|5−i1+i |的值为______．9. 已知(ax −√x2)9的展开式中x 3的系数为94，常数a 的值为______ ． 10. 设关于x 、y 的不等式组{3x −4≥0(y −1)(3x +y −6)≤0表示的平面区域为D ，已知点O(0,0)、A(1,0)，点M 是D 上的动点，OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λ|OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |，则λ的取值范围是______． 11. 若两球体积之比为1:2，则其表面积之比是__________． 12. 方程∣∣∣√3cosx sinx cosxcosx ∣∣∣=√32，x ∈(3,4)实数解x 为______ ． 13. 如图点O 是边长为1的等边三角形ABC 的边BC 中线AD 上一点，且|AO|=2|OD|，过O 的直线交边AB 于M ，交边AC 于N ，记∠AOM =θ， (1)则θ的取值范围为______ (2)1|OM|2+1|ON|2的最小值为______．14.从装有3个黑球和3个白球(大小、形状相同)的盒子中随机摸出3个球，用X表示摸出的黑球个数，则P(X≥2)的值为________．15.在无穷等比数列{a n}中，a1=√3，a2=1，则limn→∞(a1+a3+a5+⋯+a2n−1)=______ ．16.点P是曲线y=x2−lnx上任意一点，则点P到直线x−y−4=0的距离的最小值是__________．三、解答题（本大题共5小题，共60.0分）17.三棱锥P−ABC中△PAC是边长为4的等边三角形，△ABC为等腰直角三角形，∠ACB=90°，平面PAC⊥面ABC，D、E分别为AB、PB的中点．(1)求证AC⊥PD；(2)求三棱锥P−CDE的体积．(3)(理)求点P到面CDE的距离．18.已知在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边长分别为a，b，c，设函数f(x)=12cos2x−√32sinxcosx+34.若△ABC满足：f(A)=12．(1)求∠A的大小；(2)若a=√7，c=1，求△ABC面积S的大小．19.某投资商到一开发区投资72万元建起一座蔬菜加工厂，经营中，第一年支出12万元，以后每年支出增加4万元，从第一年起每年蔬菜销售收入50万元，设f(n)表示前n年的纯利润总和(f(n)前n年总收入前n年的总支出−投资额72万元)(1)该厂从第几年开始盈利？(2)写出年平均纯利润的表达式．20.已知椭圆E:y2a2+x2b2=1(a>b>0)的离心率为√32，又点A(1,√2)在该椭圆上．(1)求椭圆E的方程；(2)若斜率为√2的直线l与椭圆E交于不同的两点B，C，求△ABC的最大面积．21.已知函数g(x)=1x⋅sinθ+lnx在[1,+∞)上为增函数．且θ∈(0,π)，f(x)=mx−m−1x−lnx (m∈R)(1)求θ的值；(2)若f(x)−g(x)在[1,+∞)函数是单调函数，求m的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：【分析】本题考查数学归纳法，属于基础题．由数学归纳法直接求解即可．【解答】解：由n=k不等式成立，即1+12+13+......+12k<F(k)，由n=k(k>1)不等式成立，等式左边有2k项，因此推证n=k+1时，左边应有2k+1项，因此应该增加的项数是2k，故选C．2.答案：B解析：解：若a⃗|a⃗ |=b⃗|b⃗|成立，则表示a⃗与b⃗ 同向共线，即θ=0，故选：B．根据单位向量的定义以及向量相等的条件，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合向量相等的等价条件是解决本题的关键．3.答案：A解析：【分析】本题考查双曲线的简单性质的应用，双曲线的离心率的求法，考查计算能力．直接利用已知条件求出双曲线的a、b、c，即可求解双曲线的渐近线方程．【解答】解：双曲线C：x2a −y2b=1(a>0,b>0)的右焦点F(4,0)到其渐近线的距离为2，∴c=4，b=2，∴a2=c2−b2=16−4=12，∴a=2√3，双曲线的方程为：x212−y24=1，所求的双曲线的渐近线方程为：y=±√33x．故选：A．4.答案：B解析：【分析】本题考查空间向量垂直的判断，注意空间向量的坐标计算公式．根据题意，由空间向量数量积的计算公式可得(a⃗+b⃗ )⋅(a⃗−b⃗ )=(1+m)(1−m)−5−4m=0，解可得m的值，即可得答案．解析：解：根据题意，a⃗+b⃗ =(1+m,1,−4)，a⃗−b⃗ =(1−m,−5,m)，所以由(a⃗+b⃗ )⊥(a⃗−b⃗ )，则有(a⃗+b⃗ )⋅(a⃗−b⃗ )=(1+m)(1−m)−5−4m=0所以m=−2；故选：B．5.答案：a<2解析：【分析】本题主要考查的知识点是元素与集合的概念，以及元素与集合的关系．根据集合A中的元素满足x≥2，a∉A，即可得到a的取值范围．【解答】解：由题意a不满足不等式x≥2，即a<2．6.答案：(2,0)；2解析：【分析】本题主要考查把圆的一般方程化为标准方程的方法，属于基础题．把圆的一般方程化为标准方程，可得它的圆心坐标(2,0)和半径为2．【解答】解：圆x2+y2−4x=0，即(x−2)2+y2=4，它的圆心坐标是(2,0)，半径等于2，故答案为：(2,0)；2．7.答案：y2=2x或x2=−2y解析：解：①设焦点在x轴上的抛物线的标准方程为y2=ax，将点(2,−2)代入可得a=2，故抛物线的标准方程为y2=2x②设焦点在y轴上的抛物线的标准方程为x2=by，将点(2,−2)代入可得b=−2故抛物线的标准方程为x2=−2y故答案为：y2=2x或x2=−2y分别设焦点在x轴和在y轴上的抛物线的方程，然后将点代入即可．本题主要考查抛物线的标准方程，考查学生的计算能力，正确分类是关键．8.答案：√13解析：【分析】本题主要考查复数的模及复数的基本运算，考查计算能力，属于基础题．利用复数四则运算先化简，再求模长．【解答】解：由题意，可知：5−i 1+i =(5−i)(1−i)(1+i)(1−i)=4−6i1−i2=2−3i，∴|5−i1+i|=|2−3i|=√22+(−3)2=√13．故答案为√13．9.答案：4解析：解：(ax −√x2)9的展开式的通项为T r+1=C9r(ax)9−r(−√x2)r=(−√22)r a9−r C9r x3r2−9令3r2−9=3解得r=8∴展开式中x3的系数为916a∵展开式中x3的系数为94∴916a =94解得a=4故答案为4利用二项展开式的通项公式求出第r+1项，令x的指数为3求出展开式中x3的系数，列出方程解得．本题考查二项展开式的通项公式是解决二项展开式的特定项问题的工具．10.答案：(√1010,1]解析： 【分析】考查不等式组表示平面区域的概念，能根据不等式组找出不等式组所表示的平面区域，数量积的计算公式，以及余弦函数的单调性，向量夹角的定义，数形结合解题的方法，属于中档题． 先画出不等式组所表示的平面区域D ，而由OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λ|OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |便可得到，λ=cos∠MOA ，所以求cos∠MOA 的取值范围即可，通过图形找出∠MOA 的变化过程，从而便可求得cos∠MOA 的变化范围． 【解答】解：由不等式组{3x −4≥0(y −1)(3x +y −6)≤0得：{x ≥43,y ≥1,y ≤−3x +6,或{x ≥43,y ≤1,y ≥−3x +6. ∴平面区域D 如下图阴影部分所示：由OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λ|OM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |得，λ=cos∠MOA ； 如图所示，若设直线x =43和y =−3x +6的交点为B ，则B 点坐标为(43,2)，所以|OB|=2√133，当M 点从B 点开始向x 轴靠近的过程中，∠MOA 不断减小，并减小到0，当∠MOA =0°时对应的λ的值达到最大值，而当M 从x 轴并在阴影部分远离x 轴时，∠MOA 又逐渐增大，可知∠MOA 的最大值(极限值)一定在直线y =−3x +6上取得，比较此极限值和M 在B 点对应的λ值即可求出λ的最小值． 当M 点在B 点时，cos∠MOA =432√133=2√1313； 当M 点在第四象限且在直线上时，设M(x,−3x +6)， 则cos∠MOA =√x 2+(−3x+6)2=√110+(36x 2−36x)，当x 趋近于正无穷时，cos∠MOA 趋近于√1010，∵2√1313>√1010， ∴λ的取值范围是(√1010,1]．故答案为：(√1010,1]．11.答案：1:√43解析：∵球的体积公式是V =43πR 3，两球体积之比是1:2，∴半径R 之比是1:√23，球的表面积公式是S =4πR 2，∴表面积之比是1:√43．12.答案：7π6解析：解：因为∣∣∣√3cosx sinx cosxcosx ∣∣∣=√32， 所以√3cosxcosx −sinxcosx =√32，即√3×1 +cos2x2−12sin2x =√32， ∴tan2x =√3，∵x ∈(3,4) ∴2x =7π3，∴x =7π6故答案为：7π6．通过二阶行列式的定义，利用二倍角的余弦函数及同角公式，求出tan2x =√3，再结合x 的范围，求出结果即可．本题考查二阶行列式的定义、三角函数的同角公式，二倍角公式的应用，考查计算能力．13.答案：[π3,2π3]；12解析：解：(1)由题意可得，点O 为等边三角形ABC 的重心，当点N 与点C 重合时，MN 与AB 垂直，M 为AB 的中点，OM 取得最小值， 此时，θ最小，由cosθ=MO AO=12，可得θ=π3．当M 与B 重合时，此时，MN 垂直于AC ，θ取得最大值，由于cos(π−θ)=ONAO =12，可得θ=2π3．综上可得，θ的取值范围为[π3,2π3].(2)由题意可得，AO =23AD =23×√32=√33；设∠ANO =α，则∠AMO =2π3−α．△ANO 中，由正弦定理可得ONsin30∘=AOsinα，解得ON =√36sinα．同理求得OM =√36Sin(2π3−α)．∴1|OM|2+1|ON|2=36sin 2(2π3−α)3+36sin 2α3=12×1−cos(4π3−2α)2+12×1−cos2α2=12−6[cos(4π3−2α)+cos2α]=12−6(12cos2α−√32sin2α)=12−6cos(2α+π3).由(1)可得π3≤5π6−(2π3−α)≤2π3，可得π6≤2α≤π2， ∴π2≤2α+π3≤π+5π6，−√32≤cos(2α+π3)≤0，故当2α+π3=π2时，cos(2α+π3)取得最大值为0，12−6cos(2α+π3)取得最小值为12−0=12，故答案为：12．(1)由题意可得，点O 为等边三角形ABC 的重心，当点N 与点C 重合时，θ最小，由cosθ=MO AO，可得θ的值．当M 与B 重合时，θ取得最大值，由于cos(π−θ)=ONAO ，可得θ的值，从而求得θ的取值范围．(2)先求得AO =23AD 的值，设∠ANO =α，则∠AMO =2π3−α.△ANO 中，由正弦定理求得ON =√36sinα，同理求得OM =√36Sin(2π3−α)，计算1|OM|2+1|ON|2=12−6cos(2α+π3).由π3≤5π6−(2π3−α)≤2π3，求得α的范围，利用余弦函数的定义域和值域求得12+6cos(2α+π3)的最小值．本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用，余弦函数的定义域和值域，属于难题．14.答案：12解析： 【分析】本题考查古典概率的计算，属基础题．P (X ≥2)=P (X =2)+P (X =3)，由此利用古典概型概率计算公式能求出结果． 【解答】解：从装有3个黑球和3个白球(大小、形状相同)的盒子中随机摸出3个球， 用X 表示摸出的黑球个数， 则P (X ≥2)=P (X =2)+P (X =3)=C 32C 31C 63+C 33C 63=12．故答案为12．15.答案：3√32解析：解：公比q =√3，q 2=13．∴则lim n→∞(a 1+a 3+a 5+⋯+a 2n−1)=a 11−q 2=√31−13=3√32．故答案为：3√32． 利用无穷等比数列的求和公式即可得出．本题考查了无穷等比数列的求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．16.答案：2√2解析：因为点P 是曲线y =x 2−lnx 上任意一点，则点P 到直线x −y −4=0的距离的最小值是在点P 的切线与该直线平行的时候，由y′=2x −1x =1⇒x =1(负值x =−12舍去)，所以点P 的坐标为(1,1)，此时点P 到直线x −y −4=0的距离为d =1−1−4√12+12=4√2=2√2．17.答案：(1)证明：取AC 中点O ，连PO ，则PO ⊥AC ，又面PAC ⊥面ABC ，∴PO ⊥面ABC ，连OD ，则OD//BC ，则DO ⊥AC ， ∴AC ⊥面POD ，∴AC ⊥PD.(2)解：V P−CDE =V D−PCE ，∵E 为PB 中点，∴S △PCE =12S △PBC ，V D−PCE =12V D−PBC =12V P−DBC =14V P−ABC ，即V P−CDEVP−ABC=14．易求得V P−ABC =16√33，故V P−CDE =4√33． (3)解：(理)∵面PAC ⊥面ABC ，且AC ⊥BC ， ∴BC ⊥面PAC ，∴BC ⊥PC ，又E 为PB 中点，∴CE =12PB =12√PB 2+BC 2=2√2，同理得CD =2√2，又DE =12PA =2，∴S △CDE =√7 ∵V P−CDE =13S △CDE ⋅ℎ，∴ℎ=4√217所以，点P 到面CDE 的距离为4√217解析：(1)取AC 中点O ，连PO ，则PO ⊥AC ，证明AC ⊥面POD ，然后说明AC ⊥PD ． (2)通过V P−CDE =V D−PCE ，求出S △PCE =12S △PBC ，利用V P−CDEVP−ABC=14.求解几何体的体积即可．(3)证明BC ⊥面PAC ，求出CE ，CD ，通过几何体的体积求解点P 到面CDE 的距离． 本题考查直线与平面垂直，几何体的体积的求法，点到平面的距离的求法，考查计算能力．18.答案：解：(1)化简得，由f(A)=12，可得，则又A∈(0,π )，所以．(2)在△ABC中，由余弦定理可知，求得b=3，则．解析：此题考查了余弦定理，以及三角形的面积公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．(1)利用二倍角公式及辅助角公式化简函数解析式，求出的值，结合∠A的范围，即可确定出A的度数；(2)利用余弦定理列出关系式，把a，c，cos A的值代入求出b的值，再利用三角形面积公式即可求出三角形ABC面积S．19.答案：解：(1)依题意，根据f(n)=前n年的总收入−前n年的总支出−投资金额72万元，可得f(n)=50n−[12n+n(n−1)2×4]−72=−2n2+40n−72，由f(n)>0，即−2n2+40n−72>0，解得：2<n<18，由于n为整数，故该厂从第3年开始盈利；(2)年平均纯利润f(n)n =−2n+40−72n=40−2(n+36n).解析：(1)通过f(n)=前n年的总收入−前n年的总支出−投资金额72万元即可列出表达式，进而解不等式f(n)>0即得结论；(2)通过年平均纯利润为f(n)n，直接列式即可．本题考查函数模型的选择与应用，考查分析问题、解决问题的能力，注意解题方法的积累，属于基础题．20.答案：解：(1)依题意，得{ca =√22a2=b2+c21 b2+2a2=1，解得{a=2b=√2 c=√2，∴椭圆的方程为x22+y24=1．(2)设B(x1,y1)，C(x2,y2)，BC的方程为y=√2x+m，则有{y=√2x+m x22+y24=1，整理，得4x2+2√2mx+(m2−4)=0，由△=(2√2m)2−16(m2−4)=−8m2+64>0，解得−2√2<m<2√2，由根与系数的关系，得：x1+x2=−√22m，x1x2=m2−44，|BC|=√(x1−x2)2+(y1−y2)2=√1+2|x1−x2|=√62√8−m2，设d为点A到直线BC的距离，则d=√2−√2+m|√(√2)2+(−1)2=√33|m|，∴S△ABC=12|BC|⋅d=√24√m2(8−m2)．∵√m2(8−m2)≤m2+8−m22=4，当且仅当m=±2时取等号，∴当m=±2时，△ABC的面积取得最大值√2．解析：本题考查直线与椭圆方程的综合应用，椭圆方程的求法，考查分析问题解决问题的能力，转化思想的应用．(1)利用离心率以及点的坐标满足椭圆方程，求解椭圆的几何量，即可得到椭圆的方程．(2)设B(x1,y1)，C(x2,y2)，BC的方程为y=√2x+m，与椭圆方程联立，利用根与系数的关系以及弦长公式，求出三角形的面积，利用基本不等式求解△ABC的面积的最大值．21.答案：解：(1)求导得到g′(x)=−1sinθx2+1x≥0在x≥1时成立∴1x ≥1sinθx2∴1≥1sinθ⋅x∵θ∈(0,π)∴sinθ>0∴sinθx≥1∴sinθ=1θ=π2(2)(f(x)−g(x))′=m+m−1x2−1x+1x2−1x=m+mx2−2x使其为单调∴ℎ(x)=m+mx2−2x=mx2−2x+mx2，在x≥1时m=0时ℎ(x)<0恒成立．m≠0时对于ℎ(x)=mx2−2x+mx2，令K(x)=mx2−2x+m=0的形式求解因为[1,+∞)上函数为增函数，所以m>0时对称轴x=1m所以使K(1)≥0则成立所以m−2+m≥0所以m≥1m<0时使K(1)≤0所以m≤1综上所述m≥1或m≤0解析：(1)先对函数g(x)进行求导，根据g′(x)≥0在x≥1时成立可得1x ≥1sinθx2，根据θ∈(0,π)可知sinθ>0，所以sinθ=1求得θ的值．(2)对函数f(x)−g(x)进行求导，使其为单调，需m=0时，恒小于0 成立m不等于0时对于ℎ(x)可变为K(x)=mx2−2x+m=0的形式求解进而根据对称轴求得所以使K(1)≥0则成立的条件求得m的范围．m<0时，使K(1)≤0，所以m≤−1.综合可得答案．本题主要考查了方程与函数的综合运用．考查了用导数法研究函数的单调性问题．。
2020年上海市普陀区高考数学二模试卷（有答案解析）
2020年上海市普陀区⾼考数学⼆模试卷（有答案解析）2020年上海市普陀区⾼考数学⼆模试卷⼀、选择题（本⼤题共4⼩题，共20.0分）1.若椭圆的焦点在x轴上，焦距为，且经过点，则该椭圆的标准⽅程为（）A. B. C. D.2.在△ABC中，设三个内⾓A、B、C的对边依次为a、b、c，则“”是“a2+b2=c2+ab”成⽴的（）A. 充分⾮必要条件B. 必要⾮充分条件C. 充要条件D. 既⾮充分⼜⾮必要条件3.奖⾦（单位：元）80005000400020001000800700600500员⼯（单位：⼈）12461282052根据上表中的数据，可得该公司⽉份员⼯的奖⾦：①中位数为元；②平均数为1373元；③众数为700元，其中判断正确的个数为（）A. 0B. 1C. 2D. 34.设函数，若对于任意，在区间[0，m]上总存在唯⼀确定的β，使得f（α）+f（β）=0，则m的最⼩值为（）A. B. C. D. π⼆、填空题（本⼤题共12⼩题，共54.0分）5.设集合A={1，2，3}，B={x|x2-x-2≤0}，则A∩B=______6.双曲线的顶点到其渐近线的距离为______7.函数的定义域为______8.设直线l经过曲线（θ为参数，0≤θ≤2π）的中⼼，且其⽅向向量，则直线l的⽅程为______9.若复数z=1+i（i为虚数单位）是⽅程x2+cx+d=0（c、d均为实数）的⼀个根，则|c+di|=______10.若圆柱的主视图是半径为1的圆，且左视图的⾯积为6，则该圆柱的体积为______11.设x、y均为⾮负实数，且满⾜，则6x+8y的最⼤值为______12.甲约⼄下中国象棋，若甲获胜的概率为0.6，甲不输的概率为0.9，则甲、⼄和棋的概率为______13.设实数a、b、c满⾜a≥1，b≥1，c≥1，且abc=10，a lg a?b lg b?c lg c≥10，则a+b+c=______14.在四棱锥P-ABCD中，设向量，，，则顶点P到底⾯ABCD的距离为______15.《九章算术》中称四个⾯均为直⾓三⾓形的四⾯体为鳖臑，如图，若四⾯体ABCD为鳖臑，且AB⊥平⾯BCD，AB=BC=CD，则AD与平⾯ABC所成⾓⼤⼩为______（结果⽤反三⾓函数值表⽰）16.设函数f（x）是定义在R上的偶函数，记g（x）=f（x）-x2，且函数g（x）在区间[0，+∞）上是增函数，则不等式f（x+2）-f（2）＞x2+4x的解集为______三、解答题（本⼤题共5⼩题，共76.0分）17.如图所⽰，圆锥的顶点为P，底⾯中⼼为O，母线PB=4，底⾯半径OA与OB互相垂直，且OB=2．（1）求圆锥的表⾯积；（2）求⼆⾯⾓P-AB-O的⼤⼩（结果⽤反三⾓函数值表⽰）．18.设函数．（1）当x∈R时，求函数f（x）的最⼩正周期；（2）设，求函数f（x）的值域及零点．19.某热⼒公司每年燃料费约24万元，为了“环评”达标，需要安装⼀块⾯积为x（x≥0）（单位：平⽅⽶）可⽤15年的太阳能板，其⼯本费为（单位：万元），并与燃料供热互补⼯作，从此，公司每年的燃料费为（k为常数）万元，记y为该公司安装太阳能板的费⽤与15年的燃料费之和．（1）求k的值，并建⽴y关于x的函数关系式；（2）求y的最⼩值，并求出此时所安装太阳能板的⾯积．20.设数列{a n}满⾜：a1=2，2a n+1=t?a n+1（其中t为⾮零实常数）．（1）设t=2，求证：数列{a n}是等差数列，并求出通项公式；（2）设t=3，记b n=|a n+1-a n|，求使得不等式成⽴的最⼩正整数k；（3）若t≠2，对于任意的正整数n，均有a n＜a n+1，当a p+1、a t+1、a q+1依次成等⽐数列时，求t、p、q的值．21.设曲线Γ：y2=2px（p＞0），D是直线l：x=-2p上的任意⼀点，过D作Γ的切线，切点分别为A、B，记O为坐标原点．（1）设D（-4，2），求△DAB的⾯积；（2）设D、A、B的纵坐标依次为y0、y1、y2，求证：y1+y2=2y0；（3）设点M满⾜，是否存在这样的点D，使得M关于直线AB的对称点N在Γ上？若存在，求出D的坐标，若不存在，请说明理由．-------- 答案与解析 --------1.答案：D解析：解：由椭圆的焦点在x轴上，设椭圆的⽅程为（a＞b＞0），∵焦距为，且椭圆经过点，∴，解之得a2=9，b2=3（舍负）因此，椭圆的标准⽅程为：．故选：D．设椭圆的⽅程为（a＞b＞0），根据题意建⽴关于a、b的⽅程组，解出a2、b2的值，即可得到所求椭圆标准⽅程．本题给出椭圆的焦距与经过的定点坐标，求椭圆的标准⽅程．着重考查了椭圆的标准⽅程与简单⼏何性质等知识，属于基础题．2.答案：B解析：解：∵a2+b2=c2+ab，∴cos C==，∵0＜C＜π，∴C=，∴”是“a2+b2=c2+ab”成⽴的必要⾮充分条件，故选：B．先根据余弦定理求出C的⼤⼩，再根据充分条件和必要条件即可判断本题考查了余弦定理和充分条件和必要条件，属于基础题3.答案：C解析：解：将员⼯的奖⾦的中位数为800元，平均数为82400÷60=，众数为700，故①③正确，②错误．故选：C．根据中位数，平均数，众数的概念求出中位数，平均值，众数可得．本题考查了众数，中位数，平均数，属基础题．4.答案：B解析：解：因为，x∈[-，-]，所以x-]，所以f（x）∈[-，0]，即f（α）∈[-，0]，由在区间[0，m]上总存在唯⼀确定的β，使得f（α）+f（β）=0，则在区间[0，m]上总存在唯⼀确定的β，使得f（β）∈[0，]，由函数f（x）在[0，]为增函数，值域为：[-，1]，⼜f（）=sin=，即m，故m的最⼩值为：，故选：B．由三⾓函数图象的单调性得：因为，x∈[-，-]，所以x-]，所以f（x）∈[-，0]，即f（α）∈[-，0]，由三⾓函数的最值得：在区间[0，m]上总存在唯⼀确定的β，使得f（α）+f（β）=0，则在区间[0，m]上总存在唯⼀确定的β，使得f（β）∈[0，]，由函数f（x）在[0，]为增函数，值域为：[-，1]，⼜f（）=sin=，即m，故m的最⼩值为：，得解．本题考查了三⾓函数图象的单调性，三⾓函数的最值，属中档题．5.答案：{1，2}解析：解：∵集合A={1，2，3}，B={x|x2-x-2≤0}={x|-1≤x≤2}，∴A∩B={1，2}．故答案为：{1，2}．先分别求出集合A，B，由此能求出A∩B．本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能⼒，是基础题．6.答案：解析：解：双曲线的⼀个顶点坐标（4，0），其⼀条渐近线⽅程为3x+4y=0，所以所求的距离为：=．故答案为：．求出双曲线的渐近线⽅程，顶点坐标，利⽤点到直线的距离求解即可．本题考查双曲线的简单性质的应⽤，考查计算能⼒．7.答案：[0，1）解析：解：要使原函数有意义，则：；∴0≤x＜1；∴原函数的定义域为[0，1）．故答案为：[0，1）．可看出，要使得原函数有意义，则需满⾜，解出x的范围即可．考查函数定义域的定义及求法，对数函数的定义域．8.答案：y=x解析：解：由曲线C的参数⽅程消去参数θ得（x-1）2+（y-1）2=4可得圆的中⼼即圆⼼为（1，1），因为直线l的⽅向向量=（1，1），所以直线l的斜率为1，根据点斜式可得直线l的⽅程为：y-1=x-1，即y=x，故答案为：y=x．将曲线C的参数⽅程消去参数θ可得曲线C的普通⽅程，是⼀个圆，可得中⼼为圆⼼（1，1），根据直线l的⽅向向量得直线l的斜率，根据点斜式可得直线l的直⾓坐标⽅程．本题考查了圆的参数⽅程，属中档题．9.答案：解析：解：∵z=1+i是⽅程x2+cx+d=0（c、d均为实数）的⼀个根，∴（1+i）+（1-i）=-c，（1+i）（1-i）=d，则c=-2，d=2．则|c+di|=|-2+2i|=．故答案为：．由已知可得（1+i）+（1-i）=-c，（1+i）（1-i）=d，求得c，d的值，再由复数模的计算公式求解．本题考查实系数⼀元⼆次⽅程虚根成对原理的应⽤，考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．10.答案：3π解析：解：由题意可知⼏何体是放倒的圆柱，底⾯半径为1，左视图的⾯积为6，可得正视图是矩形，圆柱的⾼为3，所以圆柱的体积为：12?π?3=3π．故答案为：3π．由题意求解圆柱的⾼，然后求解圆柱的体积．本题考查三视图求解⼏何体的体积，画出直观图，转化求解是解题的关键．11.答案：40解析：解：画出可⾏域⼜z=6x+8y可变形为直线y=-x+（即斜率为-在y轴上的截距为），所以当该直线经过点A时z取得最⼤值，且解得点A的坐标为（0，5），所以z max=0+8×5=40．故答案为：40．先画出可⾏域，然后把z=6x+8y变形为直线y=-x+（即斜率为-在y轴上的截距为），再画出其中⼀条y=-x，最后通过平移该直线发现当这类直线过点A时其在y轴上的截距最⼤，则问题解决．本题考查画可⾏域及由可⾏域求⽬标函数最值问题，解题的关键是画出满⾜条件的区域图，属于基础题．12.答案：0.3解析：解：甲约⼄下中国象棋，甲获胜的概率为0.6，甲不输的概率为0.9，甲、⼄和棋的概率为：P=0.9-0.6=0.3．故答案为：0.3．利⽤互斥事件概率加法公式直接求解．本题考查概率的求法，考查互斥事件的概率加法公式等基础知识，考查运算求解能⼒，是基础题．13.答案：12解析：解：由a≥1，b≥1，c≥1，且abc=10，可得0≤lg a≤1，0≤lg b≤1，0≤lg c≤1．∴lg2a≤lg a，lg2b≤lg b，lg2c≤lg c，⼜a lg a?b lg b?c lg c≥10?lg（a lg a?b lg b?c lg c）≥lg10，可得lg2a+lg2b+lg2c≥1=lg abc=lg a+lg b+lg c，∴lg2a=lg a，lg2b=lg b，lg2c=lg c，则a=10或1，b=10或1，c=10或1．由对称思想，不妨a=10，则b=1，c=1．∴a+b+c=12．故答案为：12．由已知可得0≤lg a≤1，0≤lg b≤1，0≤lg c≤1，得到lg2a≤lg a，lg2b≤lg b，lg2c≤lg c，由a lg a?b lg b?c lg c≥10?lg（a lg a?b lg b?c lg c）≥lg10，可得lg2a+lg2b+lg2c≥1=lg abc=lg a+lg b+lg c，从⽽得到lg2a=lg a，lg2b=lgb，lg2c=lg c，由此得到a，b，c的值，则答案可求．本题考查对数的运算性质，考查逻辑思维能⼒与推理运算能⼒，属中档题．14.答案：2解析：解：四棱锥P-ABCD中，向量，，，设底⾯ABCD的法向量=（x，y，z），则，取x=1，得=（1，4，），∴顶点P到底⾯ABCD的距离为：d===2．∴顶点P到底⾯ABCD的距离为2．故答案为：2．求出底⾯ABCD的法向量，由此能求出顶点P到底⾯ABCD的距离．本题考查点到平⾯的距离的求法，考查空间中线线、线⾯、⾯⾯间的位置关系等基础知识，考查运算求解能⼒，考查数形结合思想，是中档题．15.答案：arcsin解析：解：∵四⾯体ABCD为鳖臑，且AB⊥平⾯BCD，AB=BC=CD，∴BC⊥DC，以C为原点，CD为x轴，CB为y轴，过C作平⾯BDC的垂线为z轴，建⽴空间直⾓坐标系，设AB=BC=CD=1，则A（0，1，1），D（1，0，0），B（0，1，0），C（0，0，0），=（1，-1，-1），平⾯ABC的法向量=（1，0，0），设AD与平⾯ABC所成⾓为θ，则sinθ===，∴θ=arcsin，∴AD与平⾯ABC所成⾓⼤⼩为arcsin．故答案为：arcsin．推导出BC⊥DC，以C为原点，CD为x轴，CB为y轴，过C作平⾯BDC的垂线为z轴，建⽴空间直⾓坐标系，利⽤向量法能求出AD与平⾯ABC所成⾓⼤⼩．本题考查线⾯⾓的求法，考查空间中线线、线⾯、⾯⾯间的位置关系等基础知识，考查运算求解能⼒，考查数形结合思想，是中档题．16.答案：（-∞，-4）∪（0，+∞）解析：解：根据题意，g（x）=f（x）-x2，且f（x）是定义在R上的偶函数，则g（-x）=f（-x）-（-x）2=f（x）-x2=g（x），则函数g（x）为偶函数，f（x+2）-f（2）＞x2+4x?f（x+2）-（x+2）2＞f（2）-4?g（x+2）＞g（2），⼜由g（x）为增函数且在区间[0，+∞）上是增函数，则|x+2|＞2，解可得：x＜-4或x＞0，即x的取值范围为（-∞，-4）∪（0，+∞）；故答案为：（-∞，-4）∪（0，+∞）．根据题意，分析可得g（x）为偶函数，进⽽分析可得f（x+2）-f（2）＞x2+4x?f（x+2）-（x+2）2＞f（2）-4?g（x+2）＞g（2），结合函数的奇偶性与单调性分析可得|x+2|＞2，解可得x的取值范围，即可得答案．本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应⽤，注意分析g（x）的奇偶性与单调性，属于基础题．17.答案：解：（1）∵圆锥的顶点为P，底⾯中⼼为O，母线PB=4，底⾯半径OA与OB互相垂直，且OB=2．∴圆锥的表⾯积S=πr2+πrl=π×22+π×2×4=12π．（2）以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OP为z轴，建⽴空间直⾓坐标系，OP==2，则A（2，0，0），B（0，2，0），P（0，0，2），=（2，0，-2），=（0，2，-2），设平⾯PAB的法向量=（x，y，z），则，取z=1，得=（，，1），平⾯ABO的法向量=（0，0，1），设⼆⾯⾓P-AB-O的⼤⼩为θ，则cosθ===，∴θ=arccos．∴⼆⾯⾓P-AB-O的⼤⼩为arccos．解析：（1）圆锥的表⾯积S=πr2+πrl，由此能求出结果．（2）以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OP为z轴，建⽴空间直⾓坐标系，利⽤向量法能求出⼆⾯⾓P-AB-O的⼤⼩．本题考查圆锥的表⾯积的求法，考查⼆⾯⾓的求法，考查空间中线线、线⾯、⾯⾯间的位置关系等基础知识，考查运算求解能⼒，考查数形结合思想，是中档题．18.答案：解：（1）函数=sin x cosx+cos2x-cos2x+=sin2x-?+=sin（2x-），故它的周期为T=π．（2）当时，2x-∈[-，]，sin（2x-）∈[-1，]，f（x）∈[-1，]，故函数的值域．令2x-=kπ，求得x=+，k∈Z，令k=0，可得函数的零点为．解析：（1）利⽤三⾓恒等变换化简函数的解析式，再利⽤正弦函数的周期性，得出结论．（2）由题意利⽤正弦函数的定义域和值域、零点，求得函数f（x）的值域及零点．本题主要考查三⾓恒等变换，正弦函数的周期性，定义域和值域，属于中档题．19.答案：解：（1）由公司每年的燃料费为（k为常数）万元，取x=0，得，则k=2400，∴该公司安装太阳能板的费⽤与15年的燃料费之和为：y=15×=+，x≥0；（2）+=+≥2=57.5，当且仅当，即x=55时取等号．∴当x为55平⽅⽶时，y取得最⼩值为57.5万元．解析：本题考查函数最值的应⽤，着重考查分析与理解能⼒，考查基本不等式的应⽤，是中档题．（1）由，可求得k，从⽽得到y关于x的函数关系式；（2）利⽤基本不等式即可求得y取得的最⼩值及y取得最⼩值时x的值．20.答案：解：（1）求证：t=2时，2a n+1=2a n+1，∴a n+1-a n=，∴{a n}是等差数列，⾸项为2，公差为，∴a n=2+（n-1）×=．（2）t=3时，2a n+1=3a n+1，a n+1=a n+，∴a n+1-1=（a n-1），⼜a1-1=1，∴数列{a n-1}是⾸项为1，公⽐为的等⽐数列，∴a n-1=（）n-1，∴a n=（）n-1-1，b n=|a n+1-a n|=×（）n-1，b1+b2+b3+…+b k==1-（）k，∴1-（）k≥，得（）k≤，∴k≥=≈=≈9.097，k的最⼩正整数值为10．（3）t≠2时，由2a n+1=ta n+1得a n+1=a n+，得a n+1-=（a n-）a n-=（2-）?n-1，∴a n=+（2-）?n-1，∵a n＜a n+1，∴{a n}递增，∴2-＞0，且＞1解得t＜2且t≠0，⼜因为t+1≥1，即t≥0，故t=1，a p+1、a t+1、a q+1依次成等⽐数列①若公⽐≠1，不妨设a p+1＜a t+1，则1≤p+1＜t+1，即p=0，a p+1=2，a t+1=a2=5，，q不是整数，不成⽴．②若公⽐为1，则a p+1=a t+1=a q+1，∴p=t=q=1，综上，p=t=q=1．解析：（1）t=2时易证数列{a n}满⾜等差数列的定义，即可求出通项公式．（2）构造含有a n的数列为等⽐数列，即可求出a n的通项公式，进⽽得到b n的通项公式，再将不等式转化为S k即可求出k的最⼩正整数值．（3）构造含有a n的数列为等⽐数列，即可求出a n的通项公式，再根据a n＜a n+1，可以得到t的范围，最终确定t=1，a p+1、a t+1、a q+1依次成等⽐数列时，分类讨论得到p，q的值．本题考查了等⽐数列，等差数列的定义和性质，考查构造法求数列的通项公式，分类讨论思想，综合性强，属于难题．21.答案：解：（1）∵D（-4，2），∴2p=4，∴p=2，曲线⽅程为y2=4x，即y=±2，y′=±．设A（x1，y1），B（x2，y2），其中y1＞0，y2＜0，则x1=，x2=，∴切线PA的斜率为=，切线PB的斜率为-=，故切线DA的⽅程为：y-y1=（x-x1），即y1y=2x-2x1+y12=2x+2x1，切线DB的⽅程为：y2y=2x+2x2，∵D（-4，2）在两切线上，∴，故A，B都在直线2y=-8+2x，即x-y-4=0上，∴直线AB的⽅程为x-y-4=0，联⽴⽅程组，消元得：x2-12x+16=0，∴x1+x2=12，x1x2=16，∴|AB|==4．⼜D到直线AB的距离为d==5，∴S△DAB==．（2）证明：如下图所⽰，设A（x1，y1），B（x2，y2），则直线AD的⽅程为y1y=p（x+x1），即，同理可得直线BD的⽅程为，联⽴直线AD和BD的⽅程，解得，由于点D的纵坐标为y0，所以，，即y1+y2=2y0；（3）设N（x3，y3），设A（x1，y1），B（x2，y2），由题意得M（x1+x2，y1+y2），则MN的中点Q坐标为（，），k AB===，设直线AB的⽅程为y-y1=（x-x1），由点Q在直线AB上，并注意到点（，）也在直线AB上，代⼊得y3=x3．若N（x3，y3）在抛物线上，则y32=2px3，因此y3=0或y3=2y0．即N（0，0）或N（，2y0）．①当y0=0时，则y1+y2=2y0=0，此时，点D（-2p，0）适合题意．②当y0≠0，对于N（0，0），此时M（，2y0），k MN==，⼜k AB===，由MN⊥AB，所以k AB?k MN=?=-1，即y12+y22=-4p2，⽭盾．对于N（，2y0）．因为M（，2y0），此时直线MN平⾏于y轴，⼜k AB=，所以直线AB与直线MN不垂直，与题设⽭盾，所以y0≠0时，不存在符合题意的D点．综上所述，仅存在⼀点D（-2p，0）适合题意．解析：（1）求得抛物线⽅程，求得导数和切线斜率，可得切线⽅程，求得AB的⽅程和距离，由三⾓形的⾯积公式，可得所求值；（2）求得AD，BD的⽅程和交点，即可得证；（3）设N（x3，y3），A（x1，y1），B（x2，y2），结合向量的坐标表⽰和（2）的结论，以及中点坐标公式和抛物线⽅程，可得N的坐标，讨论y0是否为0，结合题意，可得所求D的坐标．本题考查抛物线的⽅程和性质，考查直线和抛物线的位置关系，以及向量的坐标表⽰，考查分类讨论思想和化简整理的运算能⼒，属于难题．。