上海市高考数学模拟练习1
2023-2024学年上海市奉贤区高考数学冲刺模拟试题(一模)含答案
2023-2024学年上海市奉贤区高考数学冲刺模拟试题（一模）一、填空题1．已知i 为虚数单位，则复数1i -的虚部是______．【正确答案】1-【分析】根据复数虚部的定义即可求解.【详解】根据复数虚部的定义可知，复数1i -的虚部是1-.故1-2．数据7，4，2，9，1，5，8，6的第70百分位数为______．【正确答案】7【分析】根据百分位数的定义即可求解.【详解】将数据从小到大重新排列为1,2,4,5,6,7,8,9，共8个数据，由于870% 5.6⨯=，所以第70百分位数为7.故73．不等式201x x ≥-的解集是______．【正确答案】(){}1,0+∞ 【分析】把分式不等式转化为()21010x x x ⎧-≥⎨-≠⎩，从而可解不等式.【详解】因为201x x ≥-，所以()21010x x x ⎧-≥⎨-≠⎩，解得1x >或0x =，所以不等式201x x -≥+的解集是(){}1,0+∞ .故(){}1,0+∞ 4．二项式()1012x +展开中，2x 项的系数为______．【正确答案】180【分析】求得二项式()1012x +展开式的通项，进而求得展开式中2x 的系数.【详解】由题意，二项式()1012x +的通项为11010C (2)2C r r r r r r T x x +==⋅，令2r =，可得22223102C 180T x x =⋅=，所以二项式()1012x +展开式中2x 的系数为180.故答案为.1805．已知命题p ：任意正数x ，恒有()1e 1x x +>，则命题p 的否定为______．【正确答案】存在正数0x ，使()001e 1x x +≤【分析】含有全称量词的否定，改成特称量词即可.【详解】由全称命题的否定为特称命题知：存在正数0x ，使()001e 1x x +≤.故存在正数0x ，使()001e 1x x +≤6．抛物线24y x =的准线与圆222x y +=相交于A 、B 两点，则AB =______．【正确答案】2【分析】首先求抛物线的准线方程，再根据直线与圆相交的弦长公式，即可求解.【详解】24y x =的准线方程为=1x -，圆心()0,0到直线=1x -的距离为1，所以弦长2AB ==.故27．在平行四边形ABCD 中，12BE BC = ，13AF AE = ．若AB mDF nAE =+ ，则m n +=______．【正确答案】43/113【分析】利用平面向量的线性运算求出,m n 即可.【详解】由题意可得()1122AB AE EB AE DA AE DF FA =+=+=++ 11152326AE DF AE DF AE ⎛⎫=+-=+ ⎪⎝⎭ ，所以12m =，56n =，所以43m n +=.故438．已知数列{}n a 满足1212n n n a a a ++⋅⋅=-，12a =-，214a =，则数列{}n a 的前n 项积的最大值为______．【正确答案】1【分析】根据1212n n n a a a ++⋅⋅=-，判断出{}n a 是一个周期数列，从而求前n 项积即可.【详解】1212n n n a a a ++⋅⋅=- ,12312n n n a a a +++∴⋅⋅=-，两式相除得：3 1n na a +=，所以数列{}n a 是以3为周期的周期数列,由12a =-，214a =，得：3121 1.2a a a =-=⋅记数列{}n a 的前n 项积为n T ,结合数列的周期性，，当*N k ∈时,()31231412k k k T a a a ⎛⎫== ⎪⎭≤-⎝，()3112341122122k k k T a a a a +⎛⎫⎛⎫==-⋅-≤-⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()321234514122kk k T a a a a a +⎛⎫==⋅- ⎪⎭≤-⎝，所以数列{}n a 的前n 项积的最大值为1.故19．两个圆锥的底面是一个球的同一个截面，顶点均在球面上，若球的体积为32π3，两个圆锥的高之比为1:3，则这两个圆锥的体积之和为______.【正确答案】4π【分析】根据球的体积公式，结合球的性质、圆锥的体积公式进行求解即可.【详解】设球的半径为r ，因为球的体积为32π3，所以有34π32π233r r =⇒=，设两个圆锥的高分别为12,h h ，于是有12:1:3h h =且1224h h r +==，所以有121,3h h ==，设圆锥的底面半径为R ，所以有222(21)23R R +-=⇒=，因此这两个圆锥的体积之和为21π(3)(13)4π3+=，故4π10．在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，120ABC ∠=︒，ABC ∠的平分线交AC 于点D ，且1BD =，则4a c +的最小值为________．【正确答案】9【分析】方法一：先根据角平分线性质和三角形面积公式得条件111a c+=，再利用基本不等式即可解出．【详解】［方法一］：【最优解】角平分线定义＋三角形面积公式＋基本不等式由题意可知，ABC ABD BCD S S S =+△△△,由角平分线定义和三角形面积公式得111sin1201sin 601sin 60222ac a c ︒=⨯⨯︒+⨯⨯︒，化简得ac a c =+，即111a c +=，因此11444(4)()5529,c a c a a c a c a c a c a c+=++=++≥+⋅=当且仅当23c a ==时取等号，则4a c +的最小值为9.故答案为.9［方法二］：角平分线性质＋向量的数量积＋基本不等式由三角形内角平分线性质得向量式a c BD BA BC a c a c=+++ ．因为1BD =，所以2222212()a c ac BA BC BA BC a c a c a c ⎛⎫⎛⎫=++⋅ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭，化简得1ac a c =+，即ac a c =+，亦即(1)(1)1a c --=，所以44(1)(1)5524(1)(1)9a c a c a c +=-+-+≥+--=，当且仅当4(1)1a c -=-，即3,32a c ==时取等号．［方法三］：解析法＋基本不等式如图5，以B 为坐标原点，BC 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系．设(,0)C a，11,22D A c ⎛⎛⎫- ⎪⎝⎭⎝⎭．因为A ，D ，C 三点共线，则AD CD k k =，即222111222c a =---，则有a c ac +=，所以111a c +=．下同方法一．［方法四］：角平分线定理＋基本不等式在BDC中，CD，同理AD =理知CD BC AD AB =a c=，两边平方，并利用比例性质得2211a a c c -=-，整理得()()0a c a c ac -+-=，当a c =时，可解得2,410a c a c ==+=．当a c ac +=时，下同方法一．［方法五］：正弦定理＋基本不等式在ABD △与BCD △中，由正弦定理得11,sin 60sin sin 60sin AD CD A C ==︒︒．在ABC 中，由正弦定理得sin sin sin120sin 60sin 60a b AD CD AD CD A B +===+︒︒︒．所以11sin sin sin a A A C =+，由正弦定理得111a a a c==+，即ac a c =+，下同方法一．［方法六］：相似＋基本不等式如图6，作AE BC ∥，交BD 的延长线于E ．易得ABE 为正三角形，则,1AE c DE c ==-．由ADE CDB ∽，得AE DE BC BD =，即11c c a -=，从而a c ac +=．下同方法一．【整体点评】方法一：利用角平分线定义和三角形面积公式建立等量关系，再根据基本不等式“1”的代换求出最小值，思路常规也简洁，是本题的最优解；方法二：利用角平分线的性质构建向量的等量关系，再利用数量积得到,a c 的关系，最后利用基本不等式求出最值，关系构建过程运算量较大；方法三：通过建立直角坐标系，由三点共线得等量关系，由基本不等式求最值；方法四：通过解三角形和角平分线定理构建等式关系，再由基本不等式求最值，计算量较大；方法五：多次使用正弦定理构建等量关系，再由基本不等式求最值，中间转换较多；方法六：由平面几何知识中的相似得等量关系，再由基本不等式求最值，求解较为简单．11．设12,F F 是双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点，O 是坐标原点，过2F 作C 的一条渐近线的垂线，垂足为P ．若1PF =，则C 的离心率为_______________________．【分析】由1POF ∠与2POF ∠互补，得到两角的余弦值互为相反数，两次利用余弦定理得到关于,a c 的方程.【详解】如图所示：因为焦点2F 到渐近线的距离为b ，所以2||PF b =，则OP a =，所以1PF =，因为12cos cos POF POF ∠=-∠，所以222222)22a c a c b ac ac+-+-=-，解得.223c a e =⇒求圆锥曲线的离心率主要有几何法和代数法，本题主要通过两次利用余弦定理进行代数运算，找到,a c 关系求得离心率.12．若曲线()e x y x a =+有两条过坐标原点的切线，则a 的取值范围是________________．【正确答案】()(),40,-∞-+∞【分析】设出切点横坐标0x ，利用导数的几何意义求得切线方程，根据切线经过原点得到关于0x 的方程，根据此方程应有两个不同的实数根，求得a 的取值范围.【详解】∵()e x y x a =+，∴(1)e x y x a '=++，设切点为()00,x y ,则()000e x y x a =+,切线斜率()001e x k x a =++,切线方程为：()()()00000e 1e x x y x a x a x x -+=++-,∵切线过原点，∴()()()00000e 1e x x x a x a x -+=++-,整理得：2000x ax a +-=,∵切线有两条，∴240a a ∆=+>,解得4a <-或0a >,∴a 的取值范围是()(),40,-∞-+∞ ,故()(),40,-∞-+∞ 二、单选题13．记函数()π()sin 04f x x ωω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭>的最小正周期为T ．若ππ2T <<，且π()3f x f ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，则ω=（）A ．34B ．94C ．154D ．274【正确答案】C 【分析】由最小正周期ππ2T <<可得24ω<<，再由π()3f x f ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭即可得ππππ,Z 342k k ω+=+∈，即可求得154ω=.【详解】根据最小正周期ππ2T <<，可得π2ππ2ω<<，解得24ω<<；又π()3f x f ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，即π3x =是函数()f x 的一条对称轴，所以ππππ,Z 342k k ω+=+∈，解得33,Z 4k k ω=+∈.又24ω<<，当1k =时，154ω=.故选：C14．从某网络平台推荐的影视作品中抽取400部，统计其评分数据，将所得400个评分数据分为8组：[)66,70、[)70,74、L 、[]94,98，并整理得到如下的频率分布直方图，则评分在区间[)82,86内的影视作品数量是（）A ．20B ．40C ．64D ．80【正确答案】D 【分析】利用频率分布直方图可计算出评分在区间[)82,86内的影视作品数量.【详解】由频率分布直方图可知，评分在区间[)82,86内的影视作品数量为4000.05480⨯⨯=.故选：D.15．上海入夏的标准为：立夏之后，连续五天日平均气温不低于22℃．立夏之后，测得连续五天的平均气温数据满足如下条件，其中能断定上海入夏的是（）A ．总体均值为25℃，中位数为23℃B ．总体均值为25℃，总体方差大于0℃C ．总体中位数为23℃，众数为25℃D ．总体均值为25℃，总体方差为1℃【正确答案】D【分析】对于AB ，取连续五天的平均气温为21C,22C,23C,29C,30C ︒︒︒︒︒可判断；对于C ，取连续五天的平均气温为21C,22C,23C,25C,25C ︒︒︒︒︒可判断；对于D ，用反证法可验证.【详解】对于A ，如连续五天的平均气温为21C,22C,23C,29C,30C ︒︒︒︒︒，满足总体均值为25C ︒，中位数为23C ︒，故A 不正确；对于B ，如连续五天的平均气温为21C,22C,23C,29C,30C ︒︒︒︒︒，满足总体均值为25℃，总体方差大于0℃，故B 不正确；对于C ，如连续五天的平均气温为21C,22C,23C,25C,25C ︒︒︒︒︒，满足总体中位数为23℃，众数为25℃，故C 不正确；对于D ，当总体均值为25C ︒，总体方差为1C ︒，若存在有一天气温低于22C ︒，不妨令122C x ︒<，根据方差公式()()()()()2222221234515s x x x x x x x x x x ⎡⎤=-+-+-+-+-⎣⎦，可得()22192225155s ⨯=>->，因为方差为1，所以不可能存在有一天气温低于22C ︒，故D 正确.故选：D16．记函数11(),y f x x D =∈，函数22(),y f x x D =∈，若对任意的x D ∈，总有21()()f x f x ≤成立，则称函数1()f x 包裹函数2()f x .判断如下两个命题真假：①函数1()f x kx =包裹函数2()cos f x x x =的充要条件是1k ≥；②若对于任意120,()()p f x f x p >-<对任意x D ∈都成立，则函数1()f x 包裹函数2()f x .则下列选项正确的是（）A ．①真②假B ．①假②真C ．①②全假D ．①②全真【正确答案】D 【分析】①根据包裹函数的定义可以得到cos x k ≤，由cos 1x ≤，可得1k ≥，即①正确；②利用反证法证明可得12()()0f x f x -=，即12()()f x f x =，则函数1()f x 包裹函数2()f x ，即②正确.【详解】①因为函数1()f x kx =包裹函数2()cos f x x x =，所以cos cos cos x x kx x x k x x k ≤⇔≤⇔≤，又因为cos 1x ≤，所以1k ≥，所以函数1()f x kx =包裹函数2()cos f x x x =的充要条件是1k ≥，故①正确；②假设12()()0f x f x ->，令12()()0f x f x m -=>，则当2m p =时，12()()2m f x f x m p -=>=，与题意中12()()f x f x p -<矛盾，故假设不成立.所以12()()0f x f x -=，即12()()f x f x =，所以函数1()f x 包裹函数2()f x ，故②正确.故选：D.三、解答题17．如图所示，正四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的底面边长1，侧棱长4，AA 1中点为E ，CC 1中点为F ．(1)求证：平面BDE ∥平面B 1D 1F ；(2)连结B 1D ，求直线B 1D 与平面BDE 所成的角的大小．【正确答案】(1)证明见解析(2)arcsin 9．【分析】（1）以A 为原点，AB ，AD ，AA 1所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，如图利用向量法证DE ∥FB 1，进而//DE 平面11B D F ，同理//BD 平面11B D F ，可证平面BDE ∥平面B 1D 1F ；（2）利用向量法可求直线B 1D 与平面BDE 所成的角的大小．【详解】（1）以A 为原点，AB ，AD ，AA 1所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，如图则B （1，0，0），D （0，1，0），E （0，0，2），B 1（1，0，4），D 1（0，1，4），F （1，1，2），∵()10,1,2DE FB ==- ，∴DE ∥FB 1，1//,DE FB DE ⊄ 平面11B D F ，1FB ⊂平面11B D F ，//DE ∴平面11B D F ，同理//BD 平面11B D F ，∵BD ⊂平面BDE ，DE ⊂平面BDE ，BD DE D ⋂=平面BDE ，∴平面//BDE 平面11B D F ．（2）同（1）建系，()()1,1,0,1,0,2BD BE =-=-设平面BDE 的一个法向量为(),,n x y z =，则020n BD x y n BE x z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ ，得2x y x z =⎧⎨=⎩，不妨取z ＝1，则()2,2,1n =r，又()11,1,4DB =-，设直线B 1D 与平面BDE 所成的角为θ，故11sin 9n DB n DB θ⋅===⋅ ，直线B 1D 与平面BDE所成的角为arcsin9．18．已知数列{}n a ，n S 是其前n 项的和，且满足()*32n n a S n n =+∈N （1）求证：数列12n a ⎫⎧+⎨⎬⎩⎭为等比数列；（2）记12n n T S S S =++⋯+，求n T 的表达式．【正确答案】（1）见解析；（2）2239884n n n +---.【分析】（1）2n ≥时，由32n n a S n =+,得11321n n a S n --=+-，然后利用1n n n S S a --=，可得到131n n a a -=+，进而得到1113,22n n a a -⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭从而可以证明数列12n a ⎫⎧+⎨⎬⎩⎭为等比数列；（2）由（1）可以得到n a 的通项公式，代入32n n a S n =+可得到n S 的表达式，进而利用分组求和即可求出n T 的表达式．【详解】（1）1n =时，11132121a S a =+=+，所以11a =，当2n ≥时，由32n n a S n =+,得11321n n a S n --=+-，则()111332212121n n n n n n n a a S n S n S S a ----=+--+=-+=+，即131n n a a -=+，所以11111313,222n n n a a a --⎛⎫+=++=+ ⎪⎝⎭又113022a +=≠，故12n a ⎫⎧+⎨⎬⎩⎭就是首项为32，公比为3的等比数列，则1133,22n n a -+=⋅即131322n n a -=⋅-.（2）将131322n n a -=⋅-代入32n n a S n =+得()3132344n n S n =⋅-+,所以()()2312313333572344n n n T S S S n =++⋯+=+++⋯+-++⋯++=()()()()2231344393931413484884n n n n n n n n n +-++⋅-=--=----.分组求和与并项求和法：把数列的每一项拆分成两项或者多项，或者把数列的项重新组合，或者把整个数列分成两部分等等，使其转化成等差数列或者等比数列等可求和的数列分别进行求和，例如对通项公式为22n n a n =+的数列求和．19．我国风云系列卫星可以监测气象和国土资源情况．某地区水文研究人员为了了解汛期人工测雨量x （单位：dm ）与遥测雨量y （单位：dm ）的关系，统计得到该地区10组雨量数据如表：样本号i 12345678910人工测雨量i x 5.387.996.376.717.535.534.184.046.024.23遥测雨量iy 5.438.07 6.57 6.147.95 5.56 4.27 4.15 6.04 4.49i ix y -0.050.080.20.570.420.030.090.110.020.26并计算得1021353.6ii x ==∑，1021361.7ii y ==∑，101357.3i i i x y ==∑，233.62x =，234.42y =，34.02xy =，(1)求该地区汛期遥测雨量y 与人工测雨量x 的样本相关系数（精确到0.01），并判断它们是否具有线性相关关系；(2)规定：数组(),i i x y 满足0.1i i x y -<为“Ⅰ类误差”；满足0.10.3i i x y ≤-<为“Ⅱ类误差”；满足0.3i i x y -≥为“Ⅲ类误差”．为进一步研究，该地区水文研究人员从“Ⅰ类误差”、“Ⅱ类误差”中随机抽取3组数据与“Ⅲ类误差”数据进行对比，记抽到“Ⅰ类误差”的数据的组数为X ，求X 的概率分布与数学期望．附：相关系数()()10iix x y y r --=∑17.4≈【正确答案】(1)0.98r ≈，正相关性，相关性很强；(2)分布列见解析；期望()158E X =【分析】（1）根据参考公式和数据，代入求相关系数，即可判断相关性强或弱；（2）根据条件可知，0,1,2,3X =，再根据超几何分别求分布列和数学期望.【详解】（1）因为()()101010iii ix x y y x y xyr---=∑∑=17.10.9817.4=≈，由于样本相关系数0.98r ≈非常接近于1，可以推断该地区汛期遥测雨量y 与人工测雨量x ，两个变量正线性相关，且相关程度很强.（2）10组数据中，“Ⅰ类误差”有5组，“Ⅱ类误差”有3组，“Ⅲ类误差”有2组，从“Ⅰ类误差”，“Ⅱ类误差”中随机抽取3组数据，记抽到“Ⅰ类误差”的数据组数为X ，则X 的可取值为0，1，2，3，由题意可得，()035338C C 10C 56P X ===，()125338C C 151C 56P X ===，()215338C C 30152C 5628P X ====，()305338C C 1053C 5628P X ====，则X 的分布列为X0123P15615561528528所以()115155150123565628288E X =⨯+⨯+⨯+⨯=20．如图，中心在原点O 的椭圆Γ的右焦点为()F ，长轴长为8．椭圆Γ上有两点P 、Q ，连接OP 、OQ ，记它们的斜率为OP k 、OQ k ，且满足14OP OQ k k ⋅=-．(1)求椭圆Γ的标准方程；(2)求证：22OP OQ +为一定值，并求出这个定值；(3)设直线OQ 与椭圆Γ的另一个交点为R ，直线RP 和PQ 分别与直线x =交于点M 、N ，若PQR 和PMN的面积相等，求点P 的横坐标．【正确答案】(1)221164x y +=(2)证明见解析，20(3)点P 横坐标为4【分析】（1）利用椭圆的长轴长以及焦点坐标，求解a 、c ，然后求解b ，得到椭圆方程；（2）设()11,P x y 、()22,Q x y ，通过14OP OQ k k ⋅=-．结合得到坐标满足方程，转化求解22OP OQ +为一定值即可．（3）通过PQR PMN S S =△△，推出PM PQ PRPN=，转化求解点P 的横坐标即可．【详解】（1）由已知条件，设椭圆()2222:10x y a b a b Γ+=>>，则4c a ==，解得2b =，椭圆22:1164x y Γ+=．（2）证明：设()11,P x y 、()22,Q x y ，则121214OP OQ y y k k x x ⋅=-=，整理得121240x x y y +=，由221122224444x y x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，∴2222222212121238()4OP OQ x x y y x x +=+++=++，∵222222121212(4)(4)4416x x x x y y =--=，解得221216x x +=，将其代入22221238()204OP OQ x x +=++=，为定值.（3）设()11,P x y 、()22,Q x y ，由椭圆的对称性可知，()22,R x y --，∵PQR PMN S S =△△，∴PM PN PQ PR ⋅=⋅，∴PM PQ PRPN=，∴112x x x =+112x x x -=+222112)x x x -=-（或者222121)x x x =-（．∵221216x x +=，∴211640x +-=或者2113320x -+=（舍），解得：1x =，∴点P横坐标为．易错点点睛：解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：（1）注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；（2）强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．21．已知函数()ln af x ax x x=--．(1)若()f x 是定义域上的严格增函数，求a 的取值范围；(2)若1x >，()0f x >，求实数a 的取值范围；(3)设1x 、2x 是函数()f x 的两个极值点，证明：()()12f x f x -<．【正确答案】(1)1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭；(2)1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭；(3)证明见解析.【分析】（1）先求出函数的导数()f x '，由()f x 是定义域上的严格增函数转化为()0f x '≥在其定义域恒成立，再参变分离，利用基本不等式求得最值，进而求解即可；（2）先求出函数的导数，利用含参函数单调性的讨论中首项系数含参数问题讨论，将a 分为零正负，又通过判别根式对导函数是否有根进行分类求解即可；（3）由题意要证()()12f x f x -，只要证()()1221f x f x x x -<-，涉及到转化的思想，令211x t x =>，()21()ln 1t g t t t -=++，求()g t 的最小值即可求得结果.【详解】（1）依题意，2221()(0)a ax x a f x a x x xx-+'=-+=>.若()f x 是定义域上的严格增函数，则220ax x ax -+≥对于()0,x ∈+∞恒成立，即21x a x ≥+对于()0,x ∈+∞恒成立，而211112x x x x =≤++，当且仅当1x x =，即1x =时，等号成立.所以12a ≥，即a 的取值范围为1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭；（2）由（1）知2221()(0)a ax x a f x a x x x x -+'=-+=>.①当0a ≤时，在(1,)x ∈+∞上()0f x '<，所以()f x 在()1,+∞上单调递减，所以()(1)0f x f <=，所以0a ≤不符合题设.②当102a <<时，令()0f x '=，得20ax x a -+=，解得()110,12x a=，()21,x ∞=+，所以当()21,x x ∈时()0f x '<，所以()f x 在()21,x 上单调递减，所以()(1)0f x f <=，所以102a <<不符合题设.③当12a ≥时，判别式2140a ∆=-≤，所以()0f x '≥，所以()f x 在()1,+∞上单调递增，所以()(1)0f x f >=.综上，实数a 的取值范围是1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.（3）由（2）知，当102a <<时，()f x 在()10,x 上单调递增，在()12,x x 上单调递减，在()2,x +∞上单调递增，所以1x 是()f x 的极大值点，2x 是()f x 的极小值点.由（2）知，121=x x ，121x x a+=，则21x x a-=.综上，要证()()12f x f x -<()()1221f x f x x x -<-，因为()()()()2212112211121ln x x xx x f x f x a x x a x x x ---+=+--+⋅()()()21222121112122lnln x x x xa x x x x x x x x -=-+--=+()21221121ln 1x x x x x x -=-+，设211x t x =>，()21()ln 1t g t t t -=+-+.所以()()2221414()011g t t t t -'=-=>++，所以()g t 在()1,+∞上单调递增，所以()()10g t g >=.所以()()21120x x f x f x --+>，即得()()1221f x f x x x -<-成立．所以原不等式成立.方法点睛：对于利用导数研究函数的综合问题的求解策略：1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．。
上海高三高中数学高考模拟带答案解析
上海高三高中数学高考模拟班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、填空题1.已知集合，且，则实数的取值范围是▲．2.方程的解为▲．3.已知向量，，若，则▲．4.以、为焦点，渐近线方程为的双曲线的标准方程是▲．5.如果矩阵是线性方程组的增广矩阵，则这个线性方程组的解可用矩阵表示为▲．6.如果以为首项，为公比的等比数列的各项和为，则实数=" " ▲．7.养鱼工作者常采用“捉－放－捉”的方法来估计一个鱼塘中鱼的数量．如果从这个鱼塘中随机捕捞出100条鱼，将这100条鱼分别作上记号后再放回鱼塘，数天后再从鱼塘中随机捕捞出200条鱼，发现其中带有记号的鱼有8条，从而可以估计鱼塘中的鱼约有▲ 条．8.若，且，则▲．9.当满足不等式组时，目标函数的最大值为▲．10.在(0,)内，使成立的的取值范围为▲．11.用一个不平行于底面的平面截一个底面直径为40的圆柱，截得如图几何体，若截面椭圆的长轴为50，几何体最短的母线长为70，则此几何体的体积为▲．12.函数的图像恒过定点A，若点A在直线，上，则的最小值是▲．13.若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是▲．14.将正整数按下表的规律排列，把行与列交叉处的一个数称为某行某列的数，记作，如第2行第4列的数是15，记作，则▲．1 4 5 16 17 36 ……2 3 6 15 18 35 ……9 8 7 14 19 34 ……10 11 12 13 20 33 ……25 24 23 22 21 32 ……26 27 28 29 30 31 ………………………………二、选择题1.中，，，，则A．B．C．D．或2.是直线和直线垂直的A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3.一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的正（主）视图与侧（左）视图分别如右图所示，则该几何体的俯视图为4.．给出下面类比推理命题（为实数集，为复数集，为向量集），其中类比结论正确的是A．由“若，则”类比推出“若，则”；B．由“若，且，则”类比推出“若，且，则”；C．“若，且，则且” 类比推出“若，且，则且”；D．“若，且，则或” 类比推出“若，且，则或”三、解答题1.（本题满分12分）已知复数，，若为纯虚数，求的值．2.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分已知正四棱锥的所有棱长都是，底面正方形两条对角线相交于点，点是侧棱的中点（1）求此正四棱锥的体积．（2）求异面直线与所成角的值．（用反三角函数表示）3.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分已知数列是正项等比数列，满足（1）求数列的通项公式；（2）记是否存在正整数，使得对一切恒成立，若存在，请求出M的最小值；若不存在，请说明理由。
上海地区高考数学模拟卷(带答案)
2023年上海地区高考数学模拟卷一、单选题：本题共8小题 每小题5分 共60分。
在每小题给出的四个选项中 只有一项是符合题目要求的。
1．设复数z 满足(1−i)z =2+i 则|z̅|=（ ）A ．√102B ．52C ．√10D ．√52．已知集合 A ={x|x >1} B ={−1,0,1,2} 则 A ∩B = （ ）A ．{2}B ．{1,2}C ．{0,1,2}D ．{x|x >−1}3．某工厂有三组员工 第一组有105人 第二组有135人 第三组有150人 工会决定用分层抽样的方法从这三组中随机抽取几名员工进行问卷调查.如果从第一组抽取得人数为7 那么从第二组抽取的人数为（ ） A ．8B ．9C ．10D ．114．已知函数f （x ）=5x g （x ）=ax 2﹣x 若f （g （1））=1 则a=（ ）A ．-1B ．1C ．2D ．35．已知F 1 F 2是椭圆和双曲线的公共焦点 P 是它们的一个公共点．且∠F 1PF 2= π3 则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为（ ） A ．4√33B ．2√33C ．3D ．26．已知α，β∈[−π2，π2] 且αsinα−βsinβ>0 则下列不等式一定成立的是（ ）A ．α>βB ．α<βC ．α+β>0D ．α2>β27．已知 △ABC 的三个内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c A =30∘,B =45∘ 则 ab= （ ）A ．√2B ．√22C ．√62D ．238．设 p:ln(2x −1)≤0,q:(x −a)[x −(a +1)]≤0 若 q 是 p 的必要而不充分条件 则实数 a 的取值范围是( ) A ．[0,12]B ．(0,12)C ．(−∞,0]∪[12,+∞)D ．(−∞,0)∪(12,+∞）二、选择题：本题共4小题 每小题5分 共20分。
在每小题给出的选项中 有多项符合题目要求。
2022届上海市普通高等学校招生全国统一考试数学模拟试题(一)(3)
一、单选题1. 若，，且，，则（ ）A．B．C．D．2. 已知函数，则的值域为A．B．C．D．3.等差数列的前9项的和等于前4项的和，若，则k=A ．10B ．7C ．4D ．34. 改革开放后，优越的区位条件及政策倾斜使得我国东南地区尤其是长三角地区的经济得到迅速发展，大幅度提高了长三角地区对外来人口流入的拉力作用，从而使得该地区的人口经济集聚程度进一步提升.为研究长三角地区人口密度对经济增长的贡献效应，经调查统计，得到长三角地区分阶段人口密度与贡献率，结果如图1.下列说法中错误的是（）A ．2009年以来，长三角地区新增人口渐趋平稳，人口集聚程度放缓B ．长三角地区人口密度对经济增长的贡献率呈现由增到减的发展走势C ．人口质量红利贡献率与人口数量红利贡献率相比较，人口质量红利贡献率的波动性较大D ．人口数量红利和人口质量红利相比较，人口数量红利对经济增长的贡献更为突出5. 宋代制酒业很发达，为了存储方便，酒缸是要一层一层堆起来的，形成堆垛，用简便的方法算出堆垛中酒缸的总数，古代称之为堆垛术.有这么一道关于“堆垛”求和的问题：将半径相等的圆球堆成一个三角垛，底层是每边为个圆球的三角形，向上逐层每边减少一个圆球，顶层为一个圆球，我们发现，当，2，3，4时，圆球总个数分别为1，4，10，20，则时，圆球总个数为（）A ．30B ．35C ．40D ．456. 已知向量，，则的面积为（ ）．A ．1B ．2C ．3D ．42022届上海市普通高等学校招生全国统一考试数学模拟试题（一）(3)2022届上海市普通高等学校招生全国统一考试数学模拟试题（一）(3)二、多选题三、填空题四、解答题7. 在数列中，，则A．B．C．D ．58. 为了支持民营企业发展壮大，帮助民营企业解决发展中的困难，某市政府采用分层抽样调研走访各层次的民营企业.该市的小型企业、中型企业、大型企业分别有900家、90家、10家.若大型企业的抽样家数是2，则中型企业的抽样家数应该是（ ）A ．180B ．90C ．18D ．99.已知向量，，，则下列说法正确的是（ ）A ．若，则B．若向量与的夹角为，则C ．若，则向量D ．若与的夹角为锐角，则实数的取值范围是10. 已知直线，圆的圆心坐标为，则下列说法正确的是（ ）A ．直线恒过点B．C ．直线被圆截得的最短弦长为D ．当时，圆上存在无数对点关于直线对称11. 已知O 为坐标原点，点F 为抛物线的焦点，点，直线：交抛物线C 于A ，B 两点（不与P 点重合），则以下说法正确的是（ ）A．B ．存在实数，使得C ．若，则D ．若直线PA 与PB的倾斜角互补，则12. 已知､，，则（ ）A．B．C．D．13.若，则________．14.已知双曲线，若两条直线与该双曲线有四个交点，则称该双曲线为“和谐双曲线”，请写出一个以为焦点的“和谐双曲线”的方程：______．15. 已知单位向量，的夹角为，若与垂直，则______．16. 已知函数．(1)当时，求曲线在点处的切线方程；(2)若恒成立，求实数m 的取值范围．17.如图，已知平面，平面，△为等边三角形，，为的中点.(1)求证：平面；(2) 求证：平面平面；(3) 求直线和平面所成角的正弦值.18. 乒乓球被称为中国的“国球”．20世纪60年代以来，中国乒乓球选手取得世界乒乓球比赛的大部分冠军，甚至多次包揽整个赛事的所有冠军．乒乓球比赛每局采用11分制，每赢一球得1分，一局比赛开始后，先由一方发2球，再由另一方发2球，依次每2球交换发球权，若其中一方先得11分且至少领先2分即为胜方，该局比赛结束；若双方比分打成平后，发球权的次序仍然不变，但实行每球交换发球权，先连续多得2分的一方为胜方，该局比赛结束．现有甲、乙两人进行乒乓球单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为，乙发球时甲得分的概率为，各球的结果相互独立，已知某局比赛甲先发球．(1)求该局比赛中，打完前4个球时甲得3分的概率；(2)求该局比赛结束时，双方比分打成且甲获胜的概率；(3)若在该局双方比分打成平后，两人又打了X个球该局比赛结束，求事件“”的概率．19. 如图，为圆锥的顶点，为底面圆心，点，在底面圆周上，且，点，分别为，的中点．求证：；若圆锥的底面半径为，高为，求直线与平面所成的角的正弦值．20. 设三个内角所对的变分别为已知(1)求角的大小；(2)如图，在的一个外角内取一点，使得，过点分别作直线的垂线，垂足分别为.设，求的最大值及此时的取值.21. 如图，在三棱锥中，H为的内心，直线AH与BC交于M，，.(1)证明：平面平面ABC；(2)若，，，求三棱锥的体积.。
上海市上海中学2022届高三下学期高考模拟1数学试题
一、单选题二、多选题1.已知向量，，且，则（ ）A．B．C．D．2.已知等差数列的前n项和为．若，则（ ）A ．60B ．50C ．30D ．203. 若直线是圆的一条对称轴，则（ ）A．B．C ．1D．4. 已知两个非零向量的夹角为，且，则（ ）A．B．C．D ．35.自点发出的光线经过轴反射，其反射光线所在直线正好与圆相切，则反射光线所在直线的所有斜率之和为（ ）A．B ．2C．D ．46. 设函数，若存在实数，满足，则，，的关系为（ ）A．B．C．D．7. 已知曲线：，曲线：的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（）A ．将曲线先向左平移个单位长度，再将各点的横坐标伸长到原来的2倍，得到曲线B．将曲线先向左平移个单位长度，再将各点的横坐标缩短到原来的倍，得到曲线C ．将曲线先向左平移个单位长度，再将各点的横坐标伸长到原来的2倍，得到曲线D ．将曲线先向左平移个单位长度，再将各点的横坐标缩短到原来的倍，得到曲线8. 设复数满足，为虚数单位，则在复平面上对应的点在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限9. 已知f (x )是定义在R 上的奇函数，若且，则)的值可能为（ ）A ．－2B ．0C ．2D ．410.已知反双曲正切函数，则（ ）A．是奇函数B．的定义域是C ．曲线在点处的切线方程为D ．函数有且仅有3个零点11. 已知函数，若，则（ ）上海市上海中学2022届高三下学期高考模拟1数学试题上海市上海中学2022届高三下学期高考模拟1数学试题三、填空题四、解答题A．B．C．D．12. 亚洲奥林匹克理事会宣布，原定于2022年9月10日至25日举行的杭州2022年第19届亚运会于2023年9月23日至10月8日举行，名称仍为杭州2022年第19届亚运会．为了加大宣传力度，杭州某社区进行了以“中国特色、浙江风采、杭州韵味”为主题的知识竞赛，现随机抽取30名选手，其得分如图所示．设得分的中位数为，众数为，平均数为，则（）A．B．C．D．13.若数列满足递推公式，且，则___________．14.曲线围成的图形的面积是___________.15.已知随机变量服从，则当______时，概率最大.16.已知数列的前项和为，且，，当时，，数列是正项等比数列，且，.(1)求和的通项公式；(2)把和中的所有项从小到大排列，组成新数列，例如的前7项为2，2，2，3，4，4，5，求数列的前1000项和.17. 如图，等腰梯形ABCD 中，，，现以AC为折痕把折起，使点B 到达点P 的位置，且.(1)证明：平面平面；(2)若M 为PD 的中点，求点P到平面的距离.18. 已知函数.(1)当时，求曲线在点处的切线方程；(2)当时，求函数的单调递增区间；(3)若函数在区间上只有一个极值点，求的取值范围.19.设三个内角所对的变分别为已知(1)求角的大小；(2)如图，在的一个外角内取一点，使得，过点分别作直线的垂线，垂足分别为.设，求的最大值及此时的取值.20. 某工厂统计了某产品的原材料投入（万元）与利润（万元）间的几组数据如下：原材料投入（万元）8284858688利润（万元）770800830850900(1)根据经验可知原材料投入（万元）与利润（万元）间具有线性相关关系，求利润（万元）关于原材料投入（万元）的线性回归方程；(2)当原材料投入为100万元时，预估该产品的利润为多少万元？附：，.21. 已知数列的前项和为，向量，满足条件.（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和.。
2022届上海市普通高等学校招生全国统一考试数学模拟试题(一) (2)
一、单选题1.已知向量，，若，则（ ）A．B．C．D．2.已知函数满足，且在上单调递增，则（ ）A．B．C．D．3. 过点有条直线与函数的图像相切，当取最大值时，的取值范围为（ ）A．B．C．D．4. 复印纸按照幅面的基本面积，把幅面规格分为A 系列、B 系列、C 系列，其中A系列的幅面规格为：，，，，，，所有规格的纸张的长度（以表示）和幅宽（以表示）的比例关系都为；将纸张沿长度方向对开成两等分，便成为规格；将纸张沿长度方向对开成两等分，便成为规格；，如此对开至规格.现有，，，，，纸各一张，已知纸的幅面面积为，则，，，，，这9张纸的面积之和是（ ）A．B．C．D．5.已知函数，若，则实数的取值范围是A．B．C．D．6. 设全集，集合，，则下面Venn 图中阴影部分表示的集合是（）A．B．C．D．7. 过双曲线的一个焦点F 作垂直于x 轴的直线交C于两点，坐标原点为O，且为等腰直角三角形，则此双曲线的离心率为（ ）A．B．C ．2D．8. 盒中有3个大小相同的球，其中白球2个，黑球1个，从中任意摸出2个，则摸出黑球的概率为（ ）A．B．C．D．9. 已知是某球面上不共面的四点，且，则此球的体积为（ ）A．B．C．D．10. 如图，正四棱锥的底面边长和高均为2，M 是侧棱PC 的中点，若过AM 作该正四棱锥的截面，分别交棱PB ､PD 于点E ､F (可与端点重合)，则四棱锥的体积的取值范围是（ ）2022届上海市普通高等学校招生全国统一考试数学模拟试题（一）二、多选题三、填空题A．B．C．D．11.设集合，，则A．B．C ．D．12. 已知O ，A ，B 是平面内的三个点，直线AB 上有一点C ，满足，则=A．B．C ．D．13. P为正方体对角线上的一点，且.下面结论确的是（ ）A ．；B ．若平面PAC ，则；C ．若为钝角三角形，则；D ．若，则为锐角三角形.14. 甲同学投掷骰子次，并请乙同学将向上的点数记录下来，计算出平均数和方差．由于记录遗失，乙同学只记得这五个点数的平均数为，方差在区间内，则这五个点数（ ）A．众数可能为B．中位数可能为C．一定不会出现D ．出现的次数不会超过两次15.双曲线的方程为，左、右焦点分别为，过点作直线与双曲线的右半支交于点，，使得，则（ ）A．B ．点的横坐标为C ．直线的斜率为或D ．的内切圆半径是16. 下图是一个正方体的平面展开图，则在该正方体中（）A．B．C．D．17. 已知四面体ABCD的所有棱长都相等，其外接球的体积等于，则下列结论正确的是___________.（填序号）①四面体ABCD 的棱长均为2；②四面体ABCD 的体积等于，③异面直线AC 与BD 所成角为.18. 已知x ，y 的对应值如下表所示：四、填空题五、解答题六、解答题02468113若y与x线性相关，且回归直线方程为，则______．19.若非零向量满足，则夹角的余弦值为_______.20.若，，则的最小值为__________，此时_______.21. 已知函数，则______；设数列满足，则此数列的前2023项的和为______.22. 随着寒冷冬季的到来，羽绒服进入了销售旺季，某调查机构随机调查了400人，询问他们选购羽绒服时更关注保暖性能还是更关注款式设计，得到以下的列联表：更关注保暖性能更关注款式设计合计女性16080240男性12040160合计280120400附：．0.100.050.0102.7063.841 6.635(1)是否有95%的把握认为男性和女性在选购羽绒服时的关注点有差异？(2)若从被调查的更关注保暖性能的人中按男女比例用分层抽样的方法抽取7人进行采访，再从这7人中任选2人赠送羽绒服，求这2人都是女性的概率．23.已知数列的前顶和为.且.(1)求数列的通项公式；(2)在数列中，，求数列的前项和.24. 每年的3月21日被定为“世界睡眠日”，拥有良好睡眠对人的健康至关重要，一夜好眠成为很多现代人的诉求．某市健康研究机构于2018年3月14日到3月20日持续一周，通过网络调查该市20岁至60岁市民的日平均睡眠时间（单位：小时），共有500人参加调查，其中年龄在区间的有200人，现将调查数据统计整理后，得到如下频数分布表：(1)根据上表，在给定坐标系中画出这500名市民日平均睡眠时间的频率分布直方图；七、解答题八、解答题(2)填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为该市20岁至60岁市民的日平均睡眠时间与年龄有关；，其中．25. 已知四棱锥中，，，，，平面.（1）求证：平面平面；（2）若直线与侧面所成角的正弦值为，求的值.26.五边形是由一个梯形与一个矩形组成的，如图甲所示，为的中点，.现沿着虚线将五边形折成直二面角，如图乙所示．（1）求证：平面平面；（2）求图乙中的多面体的体积.27. 某项选拔共有四轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮考核，否则即被淘汰．已知某选手能正确回答第一、二、三、四轮的问题的概率分别为，且各轮问题能否回答正确互不影响．(1)求该选手进入第四轮才被淘汰的概率；(2)求该选手至多进入第三轮考核的概率．九、解答题28. 在中，角所对边分别为,且.(1)求角的大小;(2)若.(i) 求的值;(ii) 求的值.。
上海高三高中数学高考模拟带答案解析
上海高三高中数学高考模拟班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、填空题1.方程的解是 .2.已知集合则 .3.若复数是虚数单位)，且为纯虚数，则实数= .4.直线（为参数）对应的普通方程是_____．5.若，且，则的值为 .6.某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的侧面积是_____．7.若函数在区间上有零点，则实数的取值范围是 .8.在约束条件下，目标函数的最大值为 .9.某学生在上学的路上要经过2个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是，则这名学生在上学路上到第二个路口时第一次遇到红灯的概率是_____．10.已知椭圆，其左、右焦点分别为.若此椭圆上存在点，使到直线的距离是与的等差中项，则的最大值为 .11.已知定点，动点在圆上，点关于直线的对称点为，向量是坐标原点，则的取值范围是 .12.已知递增数列共有项，且各项均不为零，，如果从中任取两项，当时，仍是数列中的项，则数列的各项和_____．二、选择题1.设分别是两条异面直线的方向向量，向量的夹角的取值范围为所成的角的取值范围为，则“”是“”的A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件2.将函数图象上的点向左平移个单位,得到点，若位于函数的图象上，则A．的最小值为B．的最小值为C．的最小值为D．的最小值为3.某条公共汽车线路收支差额与乘客量的函数关系如图所示（收支差额车票收入支出费用），由于目前本条线路亏损，公司有关人员提出了两条建议：建议(Ⅰ)不改变车票价格，减少支出费用；建议(Ⅱ)不改变支出费用，提高车票价格，下面给出的四个图形中，实线和虚线分别表示目前和建议后的函数关系，则A．①反映了建议（Ⅱ），③反映了建议（Ⅰ）B．①反映了建议（Ⅰ），③反映了建议（Ⅱ）C．②反映了建议（Ⅰ），④反映了建议（Ⅱ）D．④反映了建议（Ⅰ），②反映了建议（Ⅱ）4.设函数的定义域是，对于以下四个命题：(1)若是奇函数，则也是奇函数；(2)若是周期函数，则也是周期函数；(3)若是单调递减函数，则也是单调递减函数；(4)若函数存在反函数，且函数有零点，则函数也有零点．其中正确的命题共有A．1个B．2个C．3个D．4个三、解答题1.直三棱柱中，底面为等腰直角三角形，，，，是侧棱上一点，设．(1) 若，求的值；(2) 若，求直线与平面所成的角．2.设函数，函数的图像与函数的图像关于轴对称．(1)若，求的值；(2)若存在，使不等式成立，求实数的取值范围．3.如图所示，是某海湾旅游区的一角，其中，为了营造更加优美的旅游环境，旅游区管委会决定在直线海岸和上分别修建观光长廊和AC，其中是宽长廊，造价是元/米，是窄长廊，造价是元/米，两段长廊的总造价为120万元，同时在线段上靠近点的三等分点处建一个观光平台，并建水上直线通道（平台大小忽略不计），水上通道的造价是元/米．(1)若规划在三角形区域内开发水上游乐项目，要求的面积最大，那么和的长度分别为多少米？(2) 在(1)的条件下，建直线通道还需要多少钱？4.设直线与抛物线相交于不同两点、，与圆相切于点，且为线段中点．(1)若是正三角形（是坐标原点），求此三角形的边长；(2) 若，求直线的方程；(3)试对进行讨论，请你写出符合条件的直线的条数（直接写出结论）．5.已知是上的奇函数，，且对任意都成立.(1)求、的值；(2)设，求数列的递推公式和通项公式；(3)记，求的值.上海高三高中数学高考模拟答案及解析一、填空题1.方程的解是 .【答案】【解析】由,得,解得.即方程的解是，故答案为.2.已知集合则 .【答案】【解析】因为;而,所以.故答案为.3.若复数是虚数单位)，且为纯虚数，则实数= .【答案】【解析】因为=,其为纯虚数,所以,解得=1.故答案为.4.直线（为参数）对应的普通方程是_____．【答案】【解析】两式相加消去可得：，故答案为.5.若，且，则的值为 .【答案】【解析】展开式的通项公式,令,可得;令,可得;而,即,解得;即展开式的通项公式,令,可得.故答案为.【方法点晴】本题主要考查二项展开式定理的通项与系数，属于中档题. 二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项展开式定理的应用.6.某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的侧面积是_____．【答案】【解析】观察三视图可知：该几何体为底面半径为2，高为6的圆锥，则母线长为，故侧面积为，故答案为.7.若函数在区间上有零点，则实数的取值范围是 .【答案】【解析】因为函数在区间上有零点,则=,解得.即实数的取值范围是.故答案为.8.在约束条件下，目标函数的最大值为 .【答案】【解析】画出可行域,如图四边形所示;,,,.平移目标函数，当过点时,目标函数取得最大值.故答案为.【方法点晴】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.9.某学生在上学的路上要经过2个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是，则这名学生在上学路上到第二个路口时第一次遇到红灯的概率是_____．【答案】【解析】设“这名学生在上学路上到第二个路口首次遇到红灯”为事件，则所求概率为，故答案为.10.已知椭圆，其左、右焦点分别为.若此椭圆上存在点，使到直线的距离是与的等差中项，则的最大值为 .【答案】【解析】由题意得:该椭圆为焦点在轴的椭圆,且;而到直线的距离是与的等差中项，所以到准线的距离,即;而,即,解得;而,所以,解得.即的最大值为.故答案为11.已知定点，动点在圆上，点关于直线的对称点为，向量是坐标原点，则的取值范围是 .【答案】【解析】令,而点关于直线的对称点为，所以,;而,所以;而,所以;所以,=;而动点在圆上,所以,所以,即,所以的取值范围是.故答案为.12.已知递增数列共有项，且各项均不为零，，如果从中任取两项，当时，仍是数列中的项，则数列的各项和_____．【答案】【解析】∵当时，仍是数列中的项，而数列是递增数列，∴，所以必有，，利用累加法可得：，故，得，故答案为.点睛：本题主要考查了数列的求和，解题的关键是单调性的利用以及累加法的运用，有一定难度；根据题中条件从中任取两项，当时，仍是数列中的项，结合递增数列必有，，利用累加法可得结果.二、选择题1.设分别是两条异面直线的方向向量，向量的夹角的取值范围为所成的角的取值范围为，则“”是“”的A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】由题意得A=[0,π]，B=(0,π/2]，则 ;所以“α∈A”是“α∈B”的必要不充分条件.故选C.【方法点睛】本题主要考查异面直线的夹角、向量的夹角及充分条件与必要条件，属于中档题.判断充要条件应注意：首先弄清条件和结论分别是什么，然后直接依据定义、定理、性质尝试.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想化抽象为直观外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题；对于范围问题也可以转化为包含关系来处理.2.将函数图象上的点向左平移个单位,得到点，若位于函数的图象上，则A．的最小值为B．的最小值为C．的最小值为D．的最小值为【答案】A【解析】由题意得,排除B,D;平移后,而位于函数的图象上,所以,而,则的最小值为,排除C.故选A.3.某条公共汽车线路收支差额与乘客量的函数关系如图所示（收支差额车票收入支出费用），由于目前本条线路亏损，公司有关人员提出了两条建议：建议(Ⅰ)不改变车票价格，减少支出费用；建议(Ⅱ)不改变支出费用，提高车票价格，下面给出的四个图形中，实线和虚线分别表示目前和建议后的函数关系，则A．①反映了建议（Ⅱ），③反映了建议（Ⅰ）B．①反映了建议（Ⅰ），③反映了建议（Ⅱ）C．②反映了建议（Ⅰ），④反映了建议（Ⅱ）D．④反映了建议（Ⅰ），②反映了建议（Ⅱ）【答案】B【解析】∵建议(Ⅰ)是不改变车票价格，减少支出费用；也就是增大，车票价格不变，即平行于原图象，∴①反映了建议(Ⅰ)；∵建议(Ⅱ)是不改变支出费用，提高车票价格，也就是图形增大倾斜度，提高价格，∴③反映了建议（Ⅱ），故选B.点睛：此题主要考查了函数图象的性质，读函数的图象时首先要理解横纵坐标表示的含义，理解问题叙述的过程是做题的关键；观察函数图象可知，函数的横坐标表示乘客量，纵坐标表示收支差额，根据题意得；（I）的平行于原图象，（II）与原图象纵截距相等，但斜率变大，进而得到答案.4.设函数的定义域是，对于以下四个命题：(1)若是奇函数，则也是奇函数；(2)若是周期函数，则也是周期函数；(3)若是单调递减函数，则也是单调递减函数；(4)若函数存在反函数，且函数有零点，则函数也有零点．其中正确的命题共有A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】C【解析】(1)若是奇函数，则，∴也是奇函数，正确；(2) 若是周期函数，则，也是周期函数，正确；(3)若是单调递减函数，根据“同增异减”的原则，可得也是单调递增函数，故(3)不正确；(4) 若函数存在反函数，且函数有零点，即的图象与的图象有交点，而的图象与的图象关于直线对称，故三者交于一点，即函数也有零点，即(4)正确；故选C.三、解答题1.直三棱柱中，底面为等腰直角三角形，，，，是侧棱上一点，设．(1) 若，求的值；(2) 若，求直线与平面所成的角．【答案】（1）（2）【解析】（1）以为坐标原点，以射线、、分别为、、轴建立空间直角坐标系，求出，，利用，求出的值；（2）求出直线的方向向量与平面的法向量，求出向量的夹角的余弦值可得结果.试题解析：（1）以为坐标原点，以射线、、分别为、、轴建立空间直角坐标系，如图所示，则,，，，由得，即解得．(2) 解法一：此时设平面的一个法向量为由得所以设直线与平面所成的角为则所以直线与平面所成的角为解法二：联结，则，，平面平面所以是直线与平面所成的角；在中，所以所以所以直线与平面所成的角为点睛：本题主要考查了空间向量在立体几何中的应用之利用空间向量的数量积证明垂直关系，利用空间向量求直线与平面所成的角角；两直线垂直等价于直线的方向向量互相垂直即数量积为0，直线与平面所成的角与直线的方向向量与平面的法向量之间所成的角相加为或相减为，且满足.2.设函数，函数的图像与函数的图像关于轴对称．(1)若，求的值；(2)若存在，使不等式成立，求实数的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】（1）依题意知，经过整理解出即可求得的值；(2)由得，移项可得，结合基本不等式，故而可求得实数的取值范围.试题解析：（1）由得所以（舍）或，所以（2）由得而，当且仅当时取等号所以，所以．3.如图所示，是某海湾旅游区的一角，其中，为了营造更加优美的旅游环境，旅游区管委会决定在直线海岸和上分别修建观光长廊和AC，其中是宽长廊，造价是元/米，是窄长廊，造价是元/米，两段长廊的总造价为120万元，同时在线段上靠近点的三等分点处建一个观光平台，并建水上直线通道（平台大小忽略不计），水上通道的造价是元/米．(1)若规划在三角形区域内开发水上游乐项目，要求的面积最大，那么和的长度分别为多少米？(2) 在(1)的条件下，建直线通道还需要多少钱？【答案】（1）和AC的长度分别为750米和1500米（2）万元【解析】（1）设长为米，长为米，依题意得，即，表示面积,利用基本不等式可得结论；（2）利用向量方法，将表示为，根据向量的数量积与模长的关系可得结果.试题解析：（1）设长为米，长为米，依题意得，即，=当且仅当，即时等号成立，所以当的面积最大时，和AC的长度分别为750米和1500米（2）在(1)的条件下，因为．由得，元所以，建水上通道还需要万元．解法二：在中，在中，在中，=元所以，建水上通道还需要万元．解法三：以A为原点，以AB为轴建立平面直角坐标系，则，,即，设由，求得，所以所以，元所以，建水上通道还需要万元．4.设直线与抛物线相交于不同两点、，与圆相切于点，且为线段中点．(1)若是正三角形（是坐标原点），求此三角形的边长；(2) 若，求直线的方程；(3)试对进行讨论，请你写出符合条件的直线的条数（直接写出结论）．【答案】（1）（2）（3）见解析【解析】（1）若是正三角形（是坐标原点），求出的坐标，即可求出此三角形的边长；（2）若，设直线，分类讨论，即可求出直线的方程；(3)根据直线与圆的位置关系，可得结论.试题解析：(1)设的边长为，则的坐标为所以所以此三角形的边长为．(2)设直线当时，符合题意当时，，，，，，，舍去综上所述，直线的方程为：(3)时，共2条；时，共4条；时，共1条．5.已知是上的奇函数，，且对任意都成立.(1)求、的值；(2)设，求数列的递推公式和通项公式；(3)记，求的值.【答案】(1)，；（2）；（3）.【解析】(1)在恒等式中，令、化简即可得结果；(2)取，可得，即，化简可得递推公式，累乘法可得通项公式；(3)代入，化简，利用，可得结果.试题解析：(1)对等式，令,所以令,所以(2)取，可得，即，所以而所以数列的递推公式为故所以数列的通项公式为.(3)由(2)代入得++++=则。
2022届上海市普通高等学校招生全国统一考试数学模拟试题(一)(2)
一、单选题1.已知圆的方程为，则“”是“函数的图象与圆有四个公共点”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2. 设动圆圆心为，该动圆过定点，且与直线相切（），圆心轨迹为曲线.过点的直线与轴垂直，若直线与曲线交于，两点，则（ ）A．B ．C．D．3.的展开式中的中间项为（ ）A．B．C．D．4. 不等式的解集是（ ）A ．或B．C．D．5. 某同学所在的课外兴趣小组计划用纸板制作一个简易潜望镜模型（图甲），该模型由两个相同的部件拼接粘连制成，每个部件由长方形纸板（图乙）沿虚线裁剪后卷一周形成，其中长方形卷后为圆柱的侧面．为准确画出裁剪曲线，建立如图所示的以为坐标原点的平面直角坐标系，设为裁剪曲线上的点，作轴，垂足为．图乙中线段卷后形成的圆弧（图甲），通过同学们的计算发现与之间满足关系式，现在另外一个纸板上画出曲线，如图丙所示，把沿虚线裁剪后的长方形纸板卷一周，求该裁剪曲线围成的椭圆的离心率为（）A．B．C．D．6.中，若，则该三角形一定是（ ）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形7. 已知函数，过点可作曲线的切线条数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．48. 紫砂壶是中国特有的手工制造陶土工艺品，其制作始于明朝正德年间．紫砂壶的壶型众多，经典的有西施壶､掇球壶､石飘壶､潘壶等．其中，石瓢壶的壶体可以近似看成一个圆台．如图给出了一个石瓢壶的相关数据（单位：），那么该壶的容积约接近于（）A．B．C．D．2022届上海市普通高等学校招生全国统一考试数学模拟试题（一）(2)2022届上海市普通高等学校招生全国统一考试数学模拟试题（一）(2)二、多选题三、填空题四、解答题9.将函数的图象向左平移个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到函数的图象，则下列关于描述正确的是（ ）A．最大值为，图象关于直线对称B ．图象关于轴对称C ．最小正周期为D ．图象关于点成中心对称10. 设函数，则（ ）A．的最小值为，其周期为B．的最小值为，其周期为C ．在单调递增，其图象关于直线对称D ．在单调递减，其图象关于直线对称11. 如图，点是函数的图象与直线相邻的三个交点，且，则（）A．B．C ．函数在上单调递减D ．若将函数的图象沿轴平移个单位，得到一个偶函数的图像，则的最小值为12.关于函数，下列说法正确的是（ ）A ．当时，函数在处的切线方程为B ．当时，函数在上单调递减C ．若函数在上恰有一个极值，则D ．当时，，满足13. 写出一个单调递减的奇函数______．14. 函数的单调递减区间为_____15.已知圆的圆心坐标是，若直线与圆相切于点，则______.16. 已知某射手射中固定靶的概率为，射中移动靶的概率为，每次射中固定靶､移动靶分别得1分､2分，脱靶均得0分，每次射击的结果相互独立，该射手进行3次打靶射击：向固定靶射击1次，向移动靶射击2次.（1）求“该射手射中固定靶且恰好射中移动靶1次”的概率；（2）求该射手的总得分X 的分布列和数学期望.17.定义在上的函数满足：对任意的实数，存在非零常数，都有成立.（1）若函数，求实数和的值；（2）当时，若，，求函数在闭区间上的值域；（3）设函数的值域为，证明：函数为周期函数.18. 如图，已知四棱台的上、下底面分别是边长为2和4的正方形，平面⊥平面ABCD，，点P是棱的中点，点Q在棱BC上．(1)若，证明：平面；(2)若二面角的正弦值为，求BQ的长．19. 已知等差数列的前n项和为，且.（1）求的通项公式；（2）求数列的前n项和20. 某教练统计了甲、乙两名三级跳远运动员连续次的跳远成绩（单位：米），统计数据如图所示．(1)分别求甲、乙跳远成绩的平均数；(2)通过平均数和方差分析甲、乙两名运动员的平均水平和发挥的稳定性．21. 已知函数，.(1)若（其中为的导函数），讨论的单调性；(2)求证：.。
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2018年高考数学5月模拟练习1一. 填空题1. 幂函数)(x f y =的图像经过点)21,4(，则1()4f 的值为2. 已知4cos 5α=，则cos()2sin()22tan()cot()2παπαππαα-+-=+++3. 计算：2211lim[()]12n n n n n →+∞--=++4. 已知二元一次方程组的增广矩阵是421m m m m +⎛⎫⎪⎝⎭，若该方程组无解，则实数m 的值为5. 已知x y R +∈、，且41x y +=，19x y+的最小值为 6. 等差数列{}n a 中，12a =，1015S =，记2482n n B a a a a =++++，则当n =时，n B 取得最大值7. 函数arcsin(1)arccos(2)y x x =-+的值域是8. 设正数数列{}n a 的前项和是，若{}n a 和{}n S 都是等差数列，且公差相等，则9. 已知函数2318,3()(13)3,3x tx x f x t x x ⎧-+≤⎪=⎨-->⎪⎩，记()n a f n =()n ∈*N ，若{}n a 是递减数列，则实数t 的取值范围是10. 已知()sin 2cos 2f x a x b x =+（a ，b 为常数），若对于任意x R ∈都有5()()12f x f π≥， 则方程()0f x =在区间[0,]π内的解为 11. 函数()()g x x ∈R 的图像如图所示，关于x 的方程2[()]()230g x m g x m +⋅++=有三个不同的实数解，则m 的取值范围是12. 已知无穷数列{}n a 具有如下性质: ① 为正整数；② 对于任意的正整数，当为偶数时，；当为奇数时，112n n a a ++=. 在数列{}n a 中，若当n k ≥时，1n a =，当1n k ≤<时，1n a >（2k ≥，*k N ∈），则首项1a 可取数值的个数为二. 选择题n n S =+d a 11a n n a 12n n a a +=n a13. 函数22log xy x =+的零点在区间（ ）内A. 11(,)43 B. 12(,)35C. 21(,)52D. 12(,)23 14. 已知a 、b 为实数，命题甲：2ab b >，命题乙：110b a<<，则甲是乙的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件 15. 如图，点P 在边长为1的正方形边上运动，M 是CD 的 中点，则当P 沿A B C M ---运动时，点P 经过的路程x 与APM ∆的面积y 的函数()y f x =的图像的形状大致是下 图中的（ ）A. B. C. D.16. 集合{(,,)|,,S x y z x y z =∈*N ，且x y z <<、y z x <<、z x y <<恰有一个成立}， 若(,,)x y z S ∈且(,,)z w x S ∈,则下列选项正确的是（ ）A. (,,)y z w S ∈，(,,)x y w S ∉B. (,,)y z w S ∈，(,,)x y w S ∈C. (,,)y z w S ∉，(,,)x y w S ∈D. (,,)y z w S ∉，(,,)x y w S ∉ 三. 解答题17. 已知集合21{|1,}1x A x x x -=≤∈+R ，集合{|||1,}B x x a x =-≤∈R . （1）求集合A ； （2）若RB A B =，求实数a 的取值范围.18.cos 0.5sin 01cos A x A A x x(0)A >1121312M M -+， 记函数1121()f x M M =+，且()f x 的最大值是4. （1）求A ；（2）将函数的图像向左平移12π个单位，再将所得图像上各点的横坐标扩大为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图像，求在11(,)1212ππ-上的值域.19. 钓鱼岛及其附属岛屿是中国固有领土，如图：点A 、B 、C 分别表示钓鱼岛、南小岛、黄尾屿，点C 在点A 的北偏东47°方向，点B 在点C 的南偏西36°方向，点B 在点A 的南偏东79°方向，且A 、B 两点的距离约为3海里. （1）求A 、C 两点间的距离；（精确到0.01）（2）某一时刻，我国一渔船在A 点处因故障抛锚发出求救信号. 一艘R 国舰艇正从点C 正东10海里的点P 处以18海里/小时的速度接近渔船，其航线为P →C →A （直线行进），而我东海某渔政船正位于点A 南偏西60°方向20海里的点Q 处，收到信号后赶往救助，其航线为先向正北航行8海里至点M 处，再折向点A 直线航行，航速为22海里/小时. 渔政船能否先于R 国舰艇赶到进行救助？说明理由.()y f x =()y g x =()g xP20. 已知无穷数列{}n a 前n 项和为n S ，且满足2n n n S Aa Ba C =++，（A 、B 、C 是常数）.（1）若0A =，3B =，2C =-，求数列{}n a 的通项公式； （2）若1A =，12B =，116C =，且0n a >，求数列{}n a 的前n 项和n S ；（3）试探究A 、B 、C 满足什么条件时，数列{}n a 是公比不为1-的等比数列.21. 已知函数2()log ()f x x a =+.（1）若10(12)()2f x f x <--<，当1a =时，求的取值范围； （2）若定义在R 上奇函数满足(2)()g x g x +=-，且当01x ≤≤时，，求()g x 在[3,1]--上的反函数()h x ；（3）对于（2）中的()g x ，若关于x 的不等式232()1log 382xx t g +-≥-+在R 上恒成立， 求实数t 的取值范围x )(x g )()(x f x g =参考答案一、填空题： 54分 1、 _22、125 3、 3 4、2- 5、 25 6、 4 7、,6ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦8、34 9、5,43⎛⎫ ⎪⎝⎭10、263x x ππ==或 11、34,23⎛⎤-- ⎥⎝⎦12、22k -二、选择题（每小题5分，共20分） 13、 C 14、 B 15、 A 16、 B三、解答题（本大题共5题，满分76分） 17、解：（1）由2111x x -≤+，得201x x -≤+ 所以(]1,2A =- （2）(](),12,RA =-∞-+∞ []1,1B a a =-+ 由RBA B =，得RB A ⊆所以11a +≤-或12a -> 所以a 的范围为(](),23,-∞-+∞18、解（1）11sin 0sin cos 1cos A x M A x x x==，221cos cos 221cos AA x A M A x x=-=-+()sin 2cos 2sin(2)2224A Af x x x x π=-=-，max 4f ==，所以A = （2）向左移12π得4sin(2)12y x π=-，横坐标变为原来2倍得()4sin()12g x x π=- 因为11(,)1212x ππ∈-，所以5(,)1266x πππ-∈-， 所以()(]4sin()2,412g x x π=-∈-19、解：（1）求得11,115CAB ABC ∠=︒∠=︒，由14.25sin11sin115AB ACAC =⇒≈︒︒海里（2）R 国舰艇的到达时间为：14.25101.3518+≈小时在AQM 中，222240064cos 602320AQ MQ AM AM AQ MQ +-+-︒==⋅⋅得17.44AM ≈海里， 所以渔政船的到达时间为：17.4481.1622+≈小时。
因为1.16 1.35<，所以渔政船先到，答：渔政船能先于R 国舰艇赶到进行救助。
20、解：（1）由32n n S a =-，得11a =；当2n ≥时，1133n n n n n a S S a a --=-=-， 即132n n a a -=，所以13()2n n a -=； （2）由211216n n n S a a =++，得211111216a a a =++，进而114a =，当2n ≥时，221111122n n n n n n n a S S a a a a ---=-=-+- 得()111()02n n n n a a a a --+--=， 因为0n a >，所以112n n a a --=， 进而()21444n n n n n S -=+= （3）若数列{}n a 是公比为q 的等比数列，① 当1q =时，1n a a =，1n S na =由2n n n S Aa Ba C =++，得2111na Aa Ba C =++恒成立.所以10a =，与数列{}n a 是等比数列矛盾；② 当1q ≠±，0q ≠时，11n n a a q -=，1111n n a aS q q q =---， 由2n n n S Aa Ba C =++恒成立，得2211112()011n na a a a A q B q C q q q q ⨯⨯+⨯-⨯++=--对于一切正整数n 都成立,所以0A =，11q B q =≠-或12或0，0C ≠ 事实上，当0A =，1B ≠或12或0，0C ≠时，n n S Ba C =+ 101Ca B=≠-，2n ≥时，11n n n n n a S S Ba Ba --=-=-，得101n n a B a B -=≠-或1- 所以数列{}n a 是以1C B -为首项，以1BB -为公比的等比数列 21、解：（1）原不等式可化为()()2210log 22log 12x x <--+<所以2211x x -<<+220x ->，10x +>得133x -<< （2）因为()g x 是奇函数，所以()00g =，得1a =① 当[]3,2x ∈--时，[]20,1x --∈()()()()222log 1g x g x g x x =-+=--=--此时()[]0,1g x ∈，()21g x x =--，所以()21x h x =--[]()0,1x ∈② 当[]2,1x ∈--时，[]20,1x +∈，()()()22log 3g x g x x =-+=-+ 此时()[]1,0g x ∈-，()23g x x -=-，所以()23x h x -=-[]()1,0x ∈-综上，()g x 在[]3,1--上的反函数为()[][]0,1,211,0,23x x x h x x -∈⎧--=⎨∈--⎩（3）由题意，当[]0,1x ∈时，()()2log 1g x x =+，在[]0,1上是增函数， 当[]1,0x ∈-，()()()2log 1g x g x x =--=--，在[]1,0-上也是增函数， 所以()g x 在[]1,1-上是增函数，设1213x x ≤<≤，则121221x x -≤-<-≤由()()1222g x g x -<-，得()()12g x g x > 所以()g x 在[]1,3上是减函数，由()g x 的解析式知215()()1log 322g g -==- 设()3211828812x x xt t u +-+==-++ ①当1t >-时，1(,)88tu ∈-，因为()5()2g u g >，所以582t ≤，即120t -<≤； ②当1t =-时，18u =-，满足题意；③当1t <-时，1(,)88t u ∈-，因为()1()2g u g >-，所以182t ≥-，即41t -≤<- 综上，实数t 的取值范围为[]4,20-。