6第7章平面立体
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课本6上第7章缩放图与比例尺[57页]
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4 影印機上的 50％ 表示影印後是原圖的 幾倍縮小圖？
答： 1 倍
2
搭配頁數 P.94
圖形縮小或放大時，對應角會相等，
新圖和原圖各組對應邊的比值就是圖
形縮放的倍數。例如：2 中，乙圖的
每個邊長分別是甲圖對應邊的
1 2
倍。
搭配頁數 P.95
3 原圖與放大圖的邊、角關係
甲圖是邊長1.5公分的
正方形，乙圖是甲圖
瀑布風景照
搭配頁數 P.92
1 放大圖、縮小圖與原圖的關係
說說看，甲圖、乙圖、丙圖和原圖有什 麼關係？
原圖
甲圖
搭配頁數 P.92
1 放大圖、縮小圖與原圖的關係
說說看，甲圖、乙圖、丙圖和原圖有什
麼關係？
乙圖
丙圖
丁圖
7-1
搭配頁數 P.93
1 放大圖、縮小圖與原圖的關係
說說看，甲圖、乙圖、丙圖和原圖有什 麼關係？
乙圖的長是原圖的2倍， 乙圖的長也是原圖的2倍。
答：2倍；2倍
搭配頁數 P.93
1 放大圖、縮小圖與原圖的關係
說說看，甲圖、乙圖、丙圖和原圖有什 麼關係？
3 丙圖的長是原圖的幾倍？丙圖的寬是原
圖的幾倍？
長：2÷
4＝
2 4
＝
1 2
寬：2÷
4＝
2 4
＝
1 2
答：
1 2
倍；
1 2
倍
丙圖的長是原圖的
1 2
3 原圖與放大圖的邊、角關係
甲圖是邊長1.5公分的
正方形，乙圖是甲圖
放大 4倍
的4倍放大圖，回答下 1.5cm
面問題。
1.5cm
4 乙圖的面積是甲圖的幾倍？
第7章-第1节简单几何体 直观图 三视图
高三一轮总复习
【解析】 命题①错，因为这条边若是直角三角形的斜边，则得不到圆 锥；命题②错，因为这条腰必须是垂直于两底的腰；命题③对；命题④错，必 须用平行于圆锥底面的平面截圆锥才可以，故选B.
【答案】 B
高三一轮总复习
3．给出下列四个命题： ①有两个侧面是矩形的图形是直棱柱； ②侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥； ③侧面都是矩形的直四棱柱是长方体； ④底面为正多边形，且有相邻两个侧面与底面垂直的棱柱是正棱柱． 其中不正确的命题为________．
高三一轮总复习
(2)如图，在原图形OABC中，应有OD＝2O′D′＝2×2 2 ＝4 2 cm，CD ＝C′D′＝2 cm.
∴OC＝ OD2＋CD2＝ 4 22＋22＝6 cm，∴OA＝OC，故四边形OABC是 菱形．因此选C.
【答案】 (1)D (2)C
高三一轮总复习
原图与直观图中的“三变”与“三不变” 坐标轴的夹角改变 1．“三变”与y轴平行的线段的长度改变减半 图形形状改变 平行性不变 2．“三不变”与x轴平行的线段长度不变 相对位置不变
ห้องสมุดไป่ตู้
高三一轮总复习
2．(2014· 湖北高考)在如图 714 所示的空间直角坐标系 Oxyz 中，一个四面 体的顶点坐标分别是(0,0,2)，(2,2,0)，(1,2,1)，(2,2,2)．给出编号为①②③④的四 个图，则该四面体的主视图和俯视图分别为( )
图 714
A．①和②
B．③和①
C．④和③
D．④和②
高三一轮总复习
2 (3)斜二测画法中，原图形面积S与其直观图面积S′的关系：S′＝ 4 S. 2．必清误区 底面是梯形的四棱柱侧放后，易被看作是四棱台．
7. 平面立体
A′ a
立体表面取点的 步骤﹕ 步骤﹕ AA先由已知点的投性,分析判断该 点所属的表面 表面; 点所属的表面;若该面有 积聚投影, 积聚投影,利用它可直接 补出点的另一投影; 补出点的另一投影;若该 面无积聚投影, 面无积聚投影,则过点在 该面内作一条辅助线, 该面内作一条辅助线,再 于此线上定点, 于此线上定点,并判别可 见性。 见性。
例题
求直线KL与三棱锥的贯穿点 求直线KL与三棱锥的贯穿点 KL
l′
k′ l
k
求贯穿点的方法﹕
P
N M K
L
包含直线作辅助平面,求得该辅助平面与立体的截 交线，而贯穿点是直线与截交线的交点。
作图过程： 作图过程： l′
(n′) m′ 1′ 2′ 3′
PV ① 包含直线作辅 助平面 ② 求辅助平面与 立体的截交线 ③ 求上述截交线 与被包含直线的交点 即贯穿点。
例题 求五棱柱的截交线
4′5′ 3′ 6′ 2′ 1′ 1〞 6″ 2″ 5″ 4″ 3″
分析图形
6 5 1 4 2 3
求截交线上的 转折点 依次连接转折点 完成图形
例题﹕求作正垂面P截割六棱柱的截交线。 PV (5′) 3′ (6′) 2′ 1′
1、棱柱上截交线的求法
⑴ 分析
截平面P与六棱柱的六个 棱面都相交,截交线为一 个六边形;截平面P是正 垂面,其正面投影PV有积 聚性,截交线的正面投影 3〞 积聚在PV上,又因为六棱 柱的六个侧棱面都垂直 2〞于水平面,故截交线的水 平投影积聚在六棱柱各 棱面的水平投影上。所 以只需求截交线的侧面 投影。
求平面立体截交线的方法
• 交点法：求出截平面与立体各棱线的交点，再 按一定的连线原则将交点相连，即得截交线。 • 交线法：求出截平面与立体各棱面的交线，即 得截交线。 • 交点连成截交线的原则是：位于立体的同一表 面的两点才能相连，通常为闭合的平面折线。 位于可见平面的截交线为可见线，画成粗实线， 位于不可见平面的截交线为不可见线，画成细 虚线。
高中数学高考2022届高考数学一轮复习(新高考版) 第7章 §7 3 直线、平面平行的判定与性质
解析 连接BD，则AC∩BD＝O，连接OE(图略)， 则OE∥BD1，OE⊂平面ACE，BD1⊄平面ACE， ∴BD1∥平面ACE.
3.已知不重合的直线a，b和平面α， ①若a∥α，b⊂α，则a∥b； ②若a∥α，b∥α，则a∥b； ③若a∥b，b⊂α，则a∥α； ④若a∥b，a⊂α，则b∥α或b⊂α. 上面命题中正确的是___④_____(填序号).
基础自测
题组一 思考辨析 1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)若一条直线平行于一个平面内的一条直线，则这条直线平行于这个
平面.( × ) (2)若直线a∥平面α，P∈α，则过点P且平行于直线a的直线有无数条.( × ) (3)若直线a⊂平面α，直线b⊂平面β，a∥b，则α∥β.( × )
l∥a
l⊂β
⇒l∥b
α∩β＝b
2.面面平行的判定定理和性质定理
文字语言 一个平面内的两条 _相__交__直__线__与另一个平 判定 面平行，则这两个平面 定理 平行(简记为“线面平 行⇒面面平行”)
图形语言
符号语言
a∥β b∥β a∩b＝P a⊂α b⊂α
⇒α∥β
如果两个平行平面 同时和第三个平面 性质定理 _相__交___，那么它们 的 交线 平行
(4)如 果 两 个 平 面 平 行 ， 那 么 分 别 在 这 两 个 平 面 内 的 两 条 直 线 平 行 或
异面.( √ )
题组二 教材改编 2. 如 图 ， 在 正 方 体 ABCD － A1B1C1D1 中 ， E 为 DD1 的中点，则BD1与平面ACE的位置关系为__平__行___.
α∥β
α∩γ＝a ⇒a∥b β∩γ＝b
3.平行关系中的三个重要结论 (1)垂直于同一条直线的两个平面平行，即若a⊥α，a⊥β，则α∥β. (2)平行于同一个平面的两个平面平行，即若α∥β，β∥γ，则α∥γ. (3)若α∥β，a⊂α，则a∥β.
3.已知不重合的直线a，b和平面α， ①若a∥α，b⊂α，则a∥b； ②若a∥α，b∥α，则a∥b； ③若a∥b，b⊂α，则a∥α； ④若a∥b，a⊂α，则b∥α或b⊂α. 上面命题中正确的是___④_____(填序号).
基础自测
题组一 思考辨析 1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)若一条直线平行于一个平面内的一条直线，则这条直线平行于这个
平面.( × ) (2)若直线a∥平面α，P∈α，则过点P且平行于直线a的直线有无数条.( × ) (3)若直线a⊂平面α，直线b⊂平面β，a∥b，则α∥β.( × )
l∥a
l⊂β
⇒l∥b
α∩β＝b
2.面面平行的判定定理和性质定理
文字语言 一个平面内的两条 _相__交__直__线__与另一个平 判定 面平行，则这两个平面 定理 平行(简记为“线面平 行⇒面面平行”)
图形语言
符号语言
a∥β b∥β a∩b＝P a⊂α b⊂α
⇒α∥β
如果两个平行平面 同时和第三个平面 性质定理 _相__交___，那么它们 的 交线 平行
(4)如 果 两 个 平 面 平 行 ， 那 么 分 别 在 这 两 个 平 面 内 的 两 条 直 线 平 行 或
异面.( √ )
题组二 教材改编 2. 如 图 ， 在 正 方 体 ABCD － A1B1C1D1 中 ， E 为 DD1 的中点，则BD1与平面ACE的位置关系为__平__行___.
α∥β
α∩γ＝a ⇒a∥b β∩γ＝b
3.平行关系中的三个重要结论 (1)垂直于同一条直线的两个平面平行，即若a⊥α，a⊥β，则α∥β. (2)平行于同一个平面的两个平面平行，即若α∥β，β∥γ，则α∥γ. (3)若α∥β，a⊂α，则a∥β.
机械制图 同济大学 上海交大 第7章部分课件
分析: P面与三个面交,Q面与两 个面交,R面与三个面交.
作图: 一、截平面与棱面的交线. 1.P面(3条12,13,24) 2.Q面(2条35,46) 3.R面(3条57,68,78); 二、求截平面间交线2条 三、整理轮廓线。 2 P 4 8 6
8 6
4 2 1 3
7
5
R
7
Q
3
1
类似四棱锥，但棱线不交于点
2
4 1
3
3. 求截交线的步骤：
1）.求截平面与各棱面的交线（红色，即求各边顶点）。
2）.求相邻两截平面之间的交线（黄色）。
18
*例 求做三棱锥被切割后的投影
1.分析：两截平面分别与前后两个 面交，共一个边（两个三角形，， 134，234）。 2.作图： 求截平面与棱线的交点1、2，截 平面之间的交线端点34。 判断可见性连线并处理轮廓线。
2’
2”
1’ 3’(4’)
4”
1”
3”
4 1 2
2
4 1
3
3
整理图线时注意 补齐截平面之间 的交线和棱线
19
举例：P14-4:上下底面水平矩形，左右棱面正垂面， 前后棱面侧垂面，补全H、W面。
1’(2’) 2’’ 1’’
PV
RV
7’(8’)
QV
5’(6’)
4’’ 3’(4’) 8’’6’’
3’’ 5’’ 7’’
3 4 1 2
2.作图：先画出八棱柱的水平投影， 再求截交线（八边形——即求P面与棱 线的8个顶点——知二求三）。
3.判断可见性连线并处理轮廓线（棱线）
4.检查截交线的投影 类似形
30
例6：求正垂面截切五棱柱后的 投影，并求出断面真形。
立体裁剪第七章裙装立体裁剪
4、捏出右侧裥 用同样的方法，捏出右侧所有的裥。
捏出右侧裥
25 第七章 裙装立体裁剪
5、别合右侧裥 整理裥量使其平整，并固定。
别合右侧裥
26 第七章 裙装立体裁剪
6、别合左侧裥 用别合右侧裥的手法完成左侧裥的造型。
别合左侧裥
27 第七章 裙装立体裁剪
7、修剪腰口缝份 修剪腰口，留1 cm缝份。
披后中心坯布
77 第七章 裙装立体裁剪
2）贴标记带。依据人台款式标记，用标记带在坯布上贴好款 式标记线。
贴标记带
78 第七章 裙装立体裁剪
3）依据分割线贴标记带并修剪缝份。
修剪缝份
79 第七章 裙装立体裁剪
（2）后侧片的立体裁剪 1）披布。将布料的布纹线与地面垂直，胸围、腰围、臀围的 布纹线与人台相应布纹线对齐并固定。
别合前后裙片造型
55 第七章 裙装立体裁剪
6、立体效果审视 根据裙长修剪下摆，装腰头，完成鱼尾裙立体造型。
鱼尾裙立体效果审视
56 第七章 裙装立体裁剪
7、鱼尾裙平面样板图
鱼尾裙平面样板图
57 第七章 裙装立体裁剪
第五节
连衣裙
连衣裙在结构上实为上衣下裙的结合。连衣裙被誉为“时尚皇后”， 是种类最多、最受青睐的裙装款式。
49 第七章 裙装立体裁剪
3、标记基准线 用铅笔标记前中心线和前中心线垂直线。
坯布准备和标记
50 第七章 裙装立体裁剪
五、立体裁剪操作步骤与方法
1、固定第一片坯布 将坯布对准人台中的第一块分割位置，根据标记线修剪缝份， 保留1 cm。
固定第一片坯布
51 第七章 裙装立体裁剪
2、固定第二片坯布 以同样的手法，固定第二片坯布。
捏出右侧裥
25 第七章 裙装立体裁剪
5、别合右侧裥 整理裥量使其平整，并固定。
别合右侧裥
26 第七章 裙装立体裁剪
6、别合左侧裥 用别合右侧裥的手法完成左侧裥的造型。
别合左侧裥
27 第七章 裙装立体裁剪
7、修剪腰口缝份 修剪腰口，留1 cm缝份。
披后中心坯布
77 第七章 裙装立体裁剪
2）贴标记带。依据人台款式标记，用标记带在坯布上贴好款 式标记线。
贴标记带
78 第七章 裙装立体裁剪
3）依据分割线贴标记带并修剪缝份。
修剪缝份
79 第七章 裙装立体裁剪
（2）后侧片的立体裁剪 1）披布。将布料的布纹线与地面垂直，胸围、腰围、臀围的 布纹线与人台相应布纹线对齐并固定。
别合前后裙片造型
55 第七章 裙装立体裁剪
6、立体效果审视 根据裙长修剪下摆，装腰头，完成鱼尾裙立体造型。
鱼尾裙立体效果审视
56 第七章 裙装立体裁剪
7、鱼尾裙平面样板图
鱼尾裙平面样板图
57 第七章 裙装立体裁剪
第五节
连衣裙
连衣裙在结构上实为上衣下裙的结合。连衣裙被誉为“时尚皇后”， 是种类最多、最受青睐的裙装款式。
49 第七章 裙装立体裁剪
3、标记基准线 用铅笔标记前中心线和前中心线垂直线。
坯布准备和标记
50 第七章 裙装立体裁剪
五、立体裁剪操作步骤与方法
1、固定第一片坯布 将坯布对准人台中的第一块分割位置，根据标记线修剪缝份， 保留1 cm。
固定第一片坯布
51 第七章 裙装立体裁剪
2、固定第二片坯布 以同样的手法，固定第二片坯布。
哈工大工程制图作业答案
3-4 已知 ABC平行于 DEFG，作出其水平投影。
′
(2) 过直线AB作一平面△ABC∥DE。
′
c
′
′
′
′
′
′ ′
′
′
′
c
第三章 直线与平面、平面与平面的相对位置
3-5 △ABC平行于△DEF，点M属于△ABC，作出其正面投影。 3-6 判别已知两平面是否平行。
a
′
c ′ ′
b
′
′ ′
′
′
′
′
e′
′
′
′
′
c′′
b a′′
e
d′ c′
′ ′
d
c
30
第三章 直线与平面、平面与平面的相对位置
3-31 在△ABC内求作一直线与MN垂直相交。
3-32 AB为一直角边作直角△ABC,斜边AC为水平线,∠C为60 。
′
′
l′
′
k′
′
′
l
k
′
′
c
c
bc
30
AC
49
第四章 投影变换
习题 4-1 习题 4-4 习题 4-7
′
′
′
′
′
第三章 直线与平面、平面与平面的相对位置
习题 3-1,2 习题 3-7,8 习题 3-13,14 习题 3-19,20 习题 3-25,26 习题 3-31,32
习题 3-3,4 习题 3-9,10 习题 3-15,16 习题 3-21,22 习题 3-27,28
习题 3-5,6 习题 3-11,12 习题 3-17,18 习题 3-23,24 习题 3-29,30
人教版七年级下册数学全册教材分析及各单元分析【新整理】
人教版七年级下册数学全册教材分析及各单元分析一、全册教材分析七年级下册上接七年级上册4章内容，全书包括6章，共61课时，供七年级下学期使用。
具体内容如下：第五章相交线与平行线（15课时）主要内容：1.两条直线相交所成的角的位置及大小关系（邻补角、对顶角）；2.两条直线平行的判定及性质；3.平移及其基本性质。
第六章平面直角坐标系（8课时）主要内容：1.有序数对与平面直角坐标系；2.坐标方法的简单应用。
第七章三角形（9课时）主要内容：1.三角形的边、高、中线和角分线，三角形的稳定性；2.说明三角形内角和等于180成立的道理，三角形的外角及有关结论；3.多边形的有关概念及其内角和。
第八章二元一次方程组（10课时）主要内容：1.二元一次方程组是解决实际问题的一种数学模型；2.二元一次方程组的有关概念，通过消元解二元一次方程组。
第九章不等式与不等式组（13课时）主要内容：1.不等式是解决实际问题的一种数学模型；2.不等式的有关概念及性质；3.一元一次不等式（组）的解法。
第十章实数（6课时）主要内容：1.算数平方根与平方根；2.立方根；3.实数。
一、教科书内容和课程学习目标本册书的6章内容涉及《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》中“数与代数”“空间与图形”“实践与综合应用”三个领域，其中“实践与综合应用”以课题学习的形式安排在第七章和第九章，没有“统计与概率”的内容。
这6章大体上采用相近内容相对集中的方式安排，前三章基本属于“数与代数”领域，后三章基本属于“空间与图形”领域，这样安排有助于加强知识间的纵向联系。
在各章具体内容的编写中，又特别注意加强各领域之间的横向联系。
1．“空间与图形”领域关于“空间与图形”领域的内容，本册书在七年级上册“图形认识初步”基础上，安排了研究平面内两条直线的位置关系、平面直角坐标系及三角形的内容。
平面内两条直线的位置关系是“空间与图形”所要研究的基本问题。
这些内容学生在前两个学段有所接触，第5章“相交线与平行线”在学生已有知识的基础上，继续探究两直线相交所成的邻补角与对顶角的关系；垂直作为两条直线相交的特殊情况，与它有关的概念和结论（如点到直线的距离、垂线段最短等）是学习下一章“平面直角坐标系”的直接基础；平行公理（教科书称“基本事实”）是研究两直线平行的出发点，教科书通过设计一些探究性问题，让学生通过探究活动“发现”两条直线平行的判定与性质，并让学生初步感受推理的作用和意义；本章增加一节新内容“平移”，平移是图形的一种基本变换，平移变换是研究几何问题、发现几何结论的有效手段。
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直线与立体表面的交点称为贯穿点。即贯 穿点既是属于直线的点，又是属于立体表面 的点，因此，求贯穿点的问题，就是求线与 面交点的问题。
求贯穿点的方法：包含已知直线作一个 辅助截平面，求此截平面与立体的截交线， 截交线与已知直线的交点即为贯穿点。
例题 求直线KL与三棱锥的贯穿点
l′ k′
l
k
求贯穿点的方法﹕
相交的两立体常称为相贯体,相贯体表面的交线称为相贯线 相贯线的性质: • 相贯线为两立体表面的共有线,相贯线上的每个点都是两立
体的共有点 • 由于立体表面有一定的范围,所以相贯线一般都是闭合线.只
有当两立体具有重叠表面时,相贯线才不闭合. 对于两个立体都是平面立体来说,其相贯线一般都是闭
合的空间折线.其每一段线段都是两平面立体有关棱面的交 线,每一个折点都是一平面体的棱线对另一平面体的贯穿点
平面立体——表面由平面多边形围成的立体叫平面立体，平 面与平面的交线为立体的棱线，侧表面称为棱面，上下表面 分别叫顶面或底面。通常平面立体又分为棱柱体、棱锥体、 棱台体等。
平面立体的投影特征：由各个棱面、棱线的投影构成投影图， 通常由一些封闭的多边形组合而成，可见的棱线画成粗实线， 不可见的棱线画成细虚线。
6 （5）
4 1 2
（3）
35
1
6
2 4
例题4 求四棱锥
6
截切后的投影
5
4
3
1 2
Ⅵ Ⅴ
Ⅳ Ⅲ
ⅠⅡ
例题 求立体截切后的投影
4
3
（3）
5 （6）
4 6 5
1（2）
2
1
Ⅲ
2
3
1 6
Ⅳ
Ⅵ
Ⅱ
Ⅴ
Ⅰ
5
4
例题 已知带缺口正三棱锥的正面投影,补全水平投影和侧面投影
PV QV
•分析图形判断 截平面的空间位 置。
没有相交，而D、F棱
线与三棱锥没有相交，
因此，可以分析出总
共有6个相贯点。
•利用三棱柱的积聚 性，可直接定出Ⅰ、 Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ、Ⅴ、Ⅵ 点的水平投影
•按照求贯穿点的方法 求出六个点在V面的投 影。 s •依次连接相贯点，判 别可见性
•整理图形，完成图形。
例题 求三棱锥 和四棱柱的相贯线。
s′
s〞
d′
2、求相贯点
3、判别可见性画出相贯线
4、整理各棱线
s′
s〞
分析:如将四棱
柱抽出，成为
三棱锥被贯一
四棱柱孔，很
显然，相贯点
位置没变，即
相贯线没变，
只是在完成图
形时注意保留
a′
b′
c′ a〞
c〞
的线及线的虚
b〞 实。
a
c
s
b
例题
两平面立体相贯，完成相贯线的投影
3'
4'
解题步骤
2'
5'
1 分析 相贯线的正面投影已知，水平投
P
K
N
L
M
包含直线作辅助平面,求得该辅助平面与立体的截交 线，而贯穿点是直线与截交线的交点。
作图过程：
m′ 1′
k′
(n′) 3′ 2′
1
n
3 m
k
2
PV l′
① 包含直线作辅 助平面
② 求辅助平面与 立体的截交线
③ 求上述截交线 l 与被包含直线的交点
即贯穿点。
注意： 贯穿点之 间没有线。
§7-4 平面立体与平面立体的相贯
立体表面取点的
步骤﹕
AA先由已知点的投影位
d 置及可见性,分析判断该
点所属的表面;若该面有
Cc
积聚投影,利用它可直接 补出点的另一投影;若该
a
面无积聚投影,则过点在
该面内作一条辅助线,再
b
于此线上定点,并判别可 见性。
s′
e kK
a′
b′
a
k s
Ee
b
s〞 三棱锥表面上取点
e
k
棱线上取点(较 特殊的点）
1〞
1 2
6 5
4 3
3″
2″
分析图形 求截交线上的 转折点 依次连接转折点 完成图形
例题﹕求作正垂面P截割六棱柱的截交线。 ⑴ 分析
PV
4〞
(5′) 4′ 5〞
3′
(6′) 2′
6〞 1〞
1′
截平面P与六棱柱的六个
棱面都相交,截交线为一
个六边形;截平面P是正
垂面,其正面投影PV有积
3〞
聚性,截交线的正面投影 积聚在PV上,又因为六棱
• 判别可见性：位于两立体均为可见表面上的相贯线才 是可见的。
• 完成图形。
d′
e′
a′
b′
c′
a
d
e
c b
f′
s′
例题：求三 棱锥与三棱 柱的相贯线
f s
作图过程：
d′
1′ a′
e′
f′
2′
5′
4′ b′ 3′ 6′
c′
a
d
1
f 2
4 3e
c
5(6)
b
s′
•分析形体，可以看
出，BS棱线与三棱柱
2 求出相贯线上的折点Ⅰ、Ⅱ、 Ⅲ等；
3 顺次地连接各点，作出相贯线，并且判 别可见性；
4 整理轮廓线。
1
2 3
d′
e′ (g)′
f′
c′
作业评讲：
求平面
ABC与四
a′
棱柱的截
交线
b′
a
g
c
d
f
b b
2′ 4′
1′
5′ 3′
2 3 4,5
1
作业评 讲
作业 评讲
§7－5 同坡屋面的交线
一、屋面的形式 二、坡屋面的种类 三、同坡屋面的定义 四、同坡屋面投影作图的原理 五、例题
一、屋面的形式
平屋顶 折板
壳体
坡屋顶 悬索
二、坡屋面的种类
两坡屋面
四坡屋面
十字脊
庑殿
歇山
三、什么是同坡屋面
所谓的同坡 屋面，是指各屋 面与水平面的倾 角相等（α角相 等），檐线又属 于同一水平面的 情况加以研究。
从立体角度看， 是截头三棱柱相 贯。
斜沟
平脊
斜脊 屋檐
四、同坡屋面投影作图原理
一、棱柱的形体特征及投影特性
当正棱柱 的侧棱垂 直于投影 面时，它 在该投影 面上的投 影积聚为 多边形， 另外两个 投影轮廓 线为矩形。
注意:我们这
里去掉了轴
线和45°辅
助线,这是由
于通过体上
的棱线的相
对位置来决
y
定三个棱线
投影的位置,
但是要特别
注意在另一
个图上去找
y
相对的坐标
值.
六棱柱的投影图
例题：作出带截面和缺口的四棱柱的水平投影。
1′ 2′ 3′ 4′
1〞
2〞
4〞 3〞
6′ 5′ 8′ 7′
8 5
1 4
5〞 6〞
8〞
7〞
V
76
32
作业评讲：
作出六棱锥
被P、Q平
面截割后的
PW
投影。
QW
y
y
作业评讲： 完成带缺口 三棱柱的H、 W投影
y
y
作业评讲：
求带缺口 的四棱台 的H投影
§7-3 平面立体的贯穿点
例题 求立体截切后的投影
1'
1"
2'（3'） 3"
(5′)
2"
4′
5"
4"
10'
8（' 9'）6' (7′)
9" 7"
10" 6" 8"
3 (9) 5(7)
yy
yy
1 (10)
4 (6) 2 (8)
例题 求立体截切后的投影
1'（2'）
2"
4‘（3'）
3"
5‘ （10'）
10"
1"
4" 5"
11'
e′
d〞 e〞
g′
f′
a′
b′
dg
ef
a
s
g〞f〞
c′
ca〞〞
c
b
dg
ef
d〞e〞
g〞f〞 b〞
求三棱锥 和四棱柱的相贯线。
s′
s〞
PV
d′
e′
QV g′
a′ dg
a
f′ b′
ef
s
b
dg
ef
d〞 e〞
d〞e〞
g〞f〞
c′
ca〞〞
g〞f〞 b〞
c 1、分析(形体分析、棱线的投
影分析、贯穿点的数量分析)
1'
6'
影未知；相贯线的投影前后、左右对称
2 求出相贯线上的折点Ⅰ、Ⅱ、 Ⅲ、 Ⅳ
、 Ⅴ 、Ⅵ ；
3 顺次地连接各点，作出相贯线，并且判 别可见性；
4 整理轮廓线。
2 34
5
1
6
例题 两平面立体相贯，完成相贯线的投影
2' 1'
3'
解题步骤
1 分析 相贯线的水平投影已知，正面投 影未知；相贯线的投影前后、左右对称
（2）由于平面立体的表面都具有一定的范围，所以 截交线通常是封闭的平面多边形。
求贯穿点的方法：包含已知直线作一个 辅助截平面，求此截平面与立体的截交线， 截交线与已知直线的交点即为贯穿点。
例题 求直线KL与三棱锥的贯穿点
l′ k′
l
k
求贯穿点的方法﹕
相交的两立体常称为相贯体,相贯体表面的交线称为相贯线 相贯线的性质: • 相贯线为两立体表面的共有线,相贯线上的每个点都是两立
体的共有点 • 由于立体表面有一定的范围,所以相贯线一般都是闭合线.只
有当两立体具有重叠表面时,相贯线才不闭合. 对于两个立体都是平面立体来说,其相贯线一般都是闭
合的空间折线.其每一段线段都是两平面立体有关棱面的交 线,每一个折点都是一平面体的棱线对另一平面体的贯穿点
平面立体——表面由平面多边形围成的立体叫平面立体，平 面与平面的交线为立体的棱线，侧表面称为棱面，上下表面 分别叫顶面或底面。通常平面立体又分为棱柱体、棱锥体、 棱台体等。
平面立体的投影特征：由各个棱面、棱线的投影构成投影图， 通常由一些封闭的多边形组合而成，可见的棱线画成粗实线， 不可见的棱线画成细虚线。
6 （5）
4 1 2
（3）
35
1
6
2 4
例题4 求四棱锥
6
截切后的投影
5
4
3
1 2
Ⅵ Ⅴ
Ⅳ Ⅲ
ⅠⅡ
例题 求立体截切后的投影
4
3
（3）
5 （6）
4 6 5
1（2）
2
1
Ⅲ
2
3
1 6
Ⅳ
Ⅵ
Ⅱ
Ⅴ
Ⅰ
5
4
例题 已知带缺口正三棱锥的正面投影,补全水平投影和侧面投影
PV QV
•分析图形判断 截平面的空间位 置。
没有相交，而D、F棱
线与三棱锥没有相交，
因此，可以分析出总
共有6个相贯点。
•利用三棱柱的积聚 性，可直接定出Ⅰ、 Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ、Ⅴ、Ⅵ 点的水平投影
•按照求贯穿点的方法 求出六个点在V面的投 影。 s •依次连接相贯点，判 别可见性
•整理图形，完成图形。
例题 求三棱锥 和四棱柱的相贯线。
s′
s〞
d′
2、求相贯点
3、判别可见性画出相贯线
4、整理各棱线
s′
s〞
分析:如将四棱
柱抽出，成为
三棱锥被贯一
四棱柱孔，很
显然，相贯点
位置没变，即
相贯线没变，
只是在完成图
形时注意保留
a′
b′
c′ a〞
c〞
的线及线的虚
b〞 实。
a
c
s
b
例题
两平面立体相贯，完成相贯线的投影
3'
4'
解题步骤
2'
5'
1 分析 相贯线的正面投影已知，水平投
P
K
N
L
M
包含直线作辅助平面,求得该辅助平面与立体的截交 线，而贯穿点是直线与截交线的交点。
作图过程：
m′ 1′
k′
(n′) 3′ 2′
1
n
3 m
k
2
PV l′
① 包含直线作辅 助平面
② 求辅助平面与 立体的截交线
③ 求上述截交线 l 与被包含直线的交点
即贯穿点。
注意： 贯穿点之 间没有线。
§7-4 平面立体与平面立体的相贯
立体表面取点的
步骤﹕
AA先由已知点的投影位
d 置及可见性,分析判断该
点所属的表面;若该面有
Cc
积聚投影,利用它可直接 补出点的另一投影;若该
a
面无积聚投影,则过点在
该面内作一条辅助线,再
b
于此线上定点,并判别可 见性。
s′
e kK
a′
b′
a
k s
Ee
b
s〞 三棱锥表面上取点
e
k
棱线上取点(较 特殊的点）
1〞
1 2
6 5
4 3
3″
2″
分析图形 求截交线上的 转折点 依次连接转折点 完成图形
例题﹕求作正垂面P截割六棱柱的截交线。 ⑴ 分析
PV
4〞
(5′) 4′ 5〞
3′
(6′) 2′
6〞 1〞
1′
截平面P与六棱柱的六个
棱面都相交,截交线为一
个六边形;截平面P是正
垂面,其正面投影PV有积
3〞
聚性,截交线的正面投影 积聚在PV上,又因为六棱
• 判别可见性：位于两立体均为可见表面上的相贯线才 是可见的。
• 完成图形。
d′
e′
a′
b′
c′
a
d
e
c b
f′
s′
例题：求三 棱锥与三棱 柱的相贯线
f s
作图过程：
d′
1′ a′
e′
f′
2′
5′
4′ b′ 3′ 6′
c′
a
d
1
f 2
4 3e
c
5(6)
b
s′
•分析形体，可以看
出，BS棱线与三棱柱
2 求出相贯线上的折点Ⅰ、Ⅱ、 Ⅲ等；
3 顺次地连接各点，作出相贯线，并且判 别可见性；
4 整理轮廓线。
1
2 3
d′
e′ (g)′
f′
c′
作业评讲：
求平面
ABC与四
a′
棱柱的截
交线
b′
a
g
c
d
f
b b
2′ 4′
1′
5′ 3′
2 3 4,5
1
作业评 讲
作业 评讲
§7－5 同坡屋面的交线
一、屋面的形式 二、坡屋面的种类 三、同坡屋面的定义 四、同坡屋面投影作图的原理 五、例题
一、屋面的形式
平屋顶 折板
壳体
坡屋顶 悬索
二、坡屋面的种类
两坡屋面
四坡屋面
十字脊
庑殿
歇山
三、什么是同坡屋面
所谓的同坡 屋面，是指各屋 面与水平面的倾 角相等（α角相 等），檐线又属 于同一水平面的 情况加以研究。
从立体角度看， 是截头三棱柱相 贯。
斜沟
平脊
斜脊 屋檐
四、同坡屋面投影作图原理
一、棱柱的形体特征及投影特性
当正棱柱 的侧棱垂 直于投影 面时，它 在该投影 面上的投 影积聚为 多边形， 另外两个 投影轮廓 线为矩形。
注意:我们这
里去掉了轴
线和45°辅
助线,这是由
于通过体上
的棱线的相
对位置来决
y
定三个棱线
投影的位置,
但是要特别
注意在另一
个图上去找
y
相对的坐标
值.
六棱柱的投影图
例题：作出带截面和缺口的四棱柱的水平投影。
1′ 2′ 3′ 4′
1〞
2〞
4〞 3〞
6′ 5′ 8′ 7′
8 5
1 4
5〞 6〞
8〞
7〞
V
76
32
作业评讲：
作出六棱锥
被P、Q平
面截割后的
PW
投影。
QW
y
y
作业评讲： 完成带缺口 三棱柱的H、 W投影
y
y
作业评讲：
求带缺口 的四棱台 的H投影
§7-3 平面立体的贯穿点
例题 求立体截切后的投影
1'
1"
2'（3'） 3"
(5′)
2"
4′
5"
4"
10'
8（' 9'）6' (7′)
9" 7"
10" 6" 8"
3 (9) 5(7)
yy
yy
1 (10)
4 (6) 2 (8)
例题 求立体截切后的投影
1'（2'）
2"
4‘（3'）
3"
5‘ （10'）
10"
1"
4" 5"
11'
e′
d〞 e〞
g′
f′
a′
b′
dg
ef
a
s
g〞f〞
c′
ca〞〞
c
b
dg
ef
d〞e〞
g〞f〞 b〞
求三棱锥 和四棱柱的相贯线。
s′
s〞
PV
d′
e′
QV g′
a′ dg
a
f′ b′
ef
s
b
dg
ef
d〞 e〞
d〞e〞
g〞f〞
c′
ca〞〞
g〞f〞 b〞
c 1、分析(形体分析、棱线的投
影分析、贯穿点的数量分析)
1'
6'
影未知；相贯线的投影前后、左右对称
2 求出相贯线上的折点Ⅰ、Ⅱ、 Ⅲ、 Ⅳ
、 Ⅴ 、Ⅵ ；
3 顺次地连接各点，作出相贯线，并且判 别可见性；
4 整理轮廓线。
2 34
5
1
6
例题 两平面立体相贯，完成相贯线的投影
2' 1'
3'
解题步骤
1 分析 相贯线的水平投影已知，正面投 影未知；相贯线的投影前后、左右对称
（2）由于平面立体的表面都具有一定的范围，所以 截交线通常是封闭的平面多边形。